【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选考前小题狂练1 苏教版

小题狂练(四)1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M ∩N ＝________.2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．4．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.5．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线l ，则l 与线段BC 相交的概率为________．6．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为________．7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．9．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝________.10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余11．已知函数f(x)＝x33＋ax22＋2bx＋c在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，则z＝(a＋3)2＋b2的取值范围为________．12．平面向量a，b满足|a＋2b|＝5，且a＋2b平行于直线y＝2x＋1，若b＝(2，－1)，则a＝________.13．(2012·南师大附中阶段测试)已知函数f(x)＝|x2＋2x－1|，若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，则ab＋a＋b的取值范围是________．14．定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐角三角形的两内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是________．参考答案小题狂练(四)1．解析M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．答案M∩N＝{2,3}2．解析由(z－2)i＝1＋i，得z＝1＋ii＋2＝3－i，所以|z|＝10.答案 103．解析 平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18， 故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 54．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.答案 4 65．解析 ∠BAC ＝60°，故所求的概率60°360°＝16.答案 166．解析 因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1⇒a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 57．解析 由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2，所以φ＝π3.答案 π38．解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 3 9．解析 这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1,3,5,7,9,11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.答案 3610．解析 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确．答案 ④11．解析 因为函数f (x )在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3,0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，到点(－1,0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 12．解析 因为a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，所以可设a ＋2b ＝(m,2m )，所以|a＋2b |2＝5 m 2＝5，解得m ＝1或－1，a ＋2b ＝(1,2)或(－1，－2)，所以a ＝(1,2)－(4－2)＝(－3,4)或(－1，－2)－(4，－2)＝(－5，0)．答案 (－3,4)或(－5,0)13．解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)．答案 (－1,1)14．解析 因为f (x ＋2)＝f (x )⇒f (x )的周期为2，所以f (x )，x ∈[－1,0]的单调性与[－3，－2]一致，单调递减，又f (x )是偶函数，所以在[0,1]上单调递增．又α，β是锐角三角形的两个内角，所以π2＜α＋β＜π⇒0＜π2－β＜α＜π2⇒1＞sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β＞0⇒f (sin α)＞f (cos β)． 答案 f (sin α)＞f (cos β)。

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测1 苏教版(2)一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则该幂函数的解析式为f (x )＝________.2．(xx·山东改编)函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为________．3．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋3，若f ⎝⎛⎭⎪⎫12 013＝4，则f (2 013)值为________．4．(xx·泰州期末)设A 为奇函数f (x )＝x 3＋x ＋a (a 为常数)图象上一点，在A 处的切线平行于直线y ＝4x ，则A 点的坐标为________． 5．(xx·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f x ＋1， x ≤2，3－x， x ＞2，则f (log 32)的值为________．6．设f (x )＝x 3＋log 2()x ＋x 2＋1，则不等式f (m )＋f (m 2－2)≥0(m ∈R )成立的充要条件是________．(注：填写m 的取值范围)7．定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx (a ，b ∈R )，若y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为________．9．给出下列说法：①若f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数f (x )的极值；②若f (x 0)是函数f (x )的极值，则f (x )在x 0处可导；③函数f (x )至多有一个极大值和一个极小值；④定义在R 上的可导函数f (x )，若方程f ′(x )＝0无实数解，则函数f (x )无极值．其中正确说法的序号是________(填上你认为正确的所有说法的序号)10．(xx·盐城模拟)若y ＝f (x )是定义在R 上周期为2的周期函数，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________． 11．(x x·常州质检)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数 f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ＞k ，k ，f x ≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为______________．12．(xx·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________.13．(xx·南通密卷)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，那么k 的取值范围是________．14．对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题(本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|的单调递增区间和值域；(2)若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在[0,3]上有唯一解，求m 的取值范围． 16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x－kx ，x ∈R .(1)若k ＝e ，试确定函数f (x )的单调区间；(2)若k ＞0，且对于任意x ∈R ，f (|x |)＞0恒成立，试确定实数k 的取值范围． 17．(本小题满分14分)(xx·南京、盐城模拟)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v (米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数；(2)设0＜v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少．18．(本小题满分16分)(xx·苏北四市调研)若函数f (x )在(0，＋∞)上恒有xf ′(x )＞f (x )成立(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)，则称这类函数为A 型函数． (1)若函数g (x )＝x 2－1，判断g (x )是否为A 型函数，并说明理由；(2)若函数h (x )＝ax －3－ln x －1－ax是A 型函数，求函数h (x )的单调区间；(3)若函数f (x )是A 型函数，当x 1＞0，x 2＞0时，证明f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)． 19．(本小题满分16分)(xx·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋12a ln x －2ax .(1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分16分)(xx·扬州中学质检)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞2x 的解集为(－1,3)．(1)若函数g (x )＝xf (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，求a 的取值范围；(2)当a ＝－1时，证明方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根；(3)当x ∈[0,1]时，试讨论|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件．过关检测(一) 1．解析 设幂函数f (x )＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14代入解得α＝－2，故该幂函数的解析式为f (x )＝x －2.答案 x －22．解析 根据使函数有意义的条件求解．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案 (－1,0)∪(0,2]3．解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＝4，∴a log 212 013－b log 312 013＋3＝4，即－a log 22 013＋b log 32 013＋3＝4，∴a log 22 013－b log 32 013＝－1， ∴f (2 013)＝a log 22 013－b log 32 013＋3＝－1＋3＝2. 答案 24．解析 由函数f (x )＝x 3＋x ＋a (a 为常数)为奇函数得a ＝0，设点A 的横坐标为x ，则f ′(x )＝3x 2＋1＝4，解得x ＝－1或1，又f (－1)＝－2，f (1)＝2，所以A 点的坐标为(1,2)或(－1，－2)．答案 (1,2)或(－1，－2)5．解析 因为log 32∈(0,1)，所以log 32＋2∈(2,3)，所以f (log 32)＝f (log 32＋2)＝3－(log 32＋2)＝12×19＝118.答案 1186．解析 判断函数是奇函数，且在R 上是递增函数，∴f (m )＋f (m 2－2)≥0即为f (m 2－2)≥－f (m )＝f (－m )，∴m 2－2≥－m ，解得m ≥1或m ≤－2. 答案 m ≥1或m ≤－27．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，所以不等式f (a )≥f (2)即为f (|a |)≥f (2)，又函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以|a |≥2，解得a ≥2或a ≤－2.答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)8．解析 由题意可知f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立，∴1－2a －b ≤0且4＋4a －b ≤0，作出可行域如图，当直线经过两直线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，取得最小值32. 答案 329．解析 对于说法①，对于可导函数f (x )，f (x 0)是函数f (x )的极值，除了要有f ′(x 0)＝0，还要在x ＝x 0的左右两边的导函数符号相反，所以①错误；f (x 0)是函数f (x )的极值时，由极值的概念可知，f (x )在x 0处不一定可导，所以②错误；函数f (x )极值点的个数可能有多个，所以③错误；方程f ′(x )＝0无实数解，则函数f (x )肯定无极值，但它的逆命题不对，所以答案选择④.答案 ④10．解析 利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝log 3|x |的图象如图，由图象可知原函数有4个零点．答案 4 11．解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3|x |，x ＜－33或x ＞3313，－33≤x ＜0或0＜x ≤33，所以函数f 13(x )的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－33. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－33(开区间也对) 12．解析 因为0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，所以0＜m ＜1＜n ，且m ＝1n.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2， 所以最大值为f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，所以m 2＝14，因为0＜m ＜1，所以m ＝12，n ＝2，所以m ＋n ＝52.答案 5213．解析 由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，9414．解析 ∵定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数，①正确；∵f (x ＋2π)≠f (x )，∴2π不是函数f (x )的周期，②错误； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≠－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，∴点(π，0)不是函数f (x )的图象的一个对称中心，③错误； ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，又∵函数f (x )是偶函数，∴在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减，④正确，所以真命题的序号是①④. 答案 ①④15．解 (1)利用复合函数的单调性可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|的单调递增区间即为函数y ＝|x ＋2|的递减区间，即(－∞，－2)；∵|x ＋2|≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|∈(0,1]，即值域为(0,1]；(2)原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x －m ＞03－x ＞00≤x ≤3－x 2＋3x －m ＝3－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜3－x 2＋4x －3＝m令y 1＝－x 2＋4x －3，y 2＝m ，在同一坐标系内，画出它们的图象，如图．其中注意0≤x ＜3，当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时，原方程有唯一解，当m ＝1，或－3≤m ≤0时，原方程有唯一解，因此m 的取值范围为[－3,0]∪{1}．16．解 (1)由k ＝e 得f (x )＝e x－e x ，所以f ′(x )＝e x－e.由f ′(x )＞0得x ＞1，故f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 由f ′(x )＜0得x ＜1，故f (x )的单调递减区间是(－∞，1)． (2)由f (|－x |)＝f (|x |)可知f (|x |)是偶函数．于是f (|x |)＞0对任意x ∈R 恒成立等价于f (x )＞0对任意x ≥0恒成立．由f ′(x )＝e x－k ＝0得x ＝ln k . ①当k ∈(0,1]时，f ′(x )＝e x －k ＞1－k ≥0(x ＞0)．此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增．故f (x )≥f (0)＝1＞0，符合题意．②当k ∈(1x (0，ln k ) ln k (ln k ，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 极小值 单调递增依题意，k －k ln k ＞0，又k ＞1，∴1＜k ＜e.综合①，②得，实数k 的取值范围是0＜k ＜e.17．解 (1)潜入水底用时30v ，用氧量为30v×cv 2＝30cv ；水底作业时用氧量为5×0.4＝2；返回水面用时60v ，用氧量为60v ×0.2＝12v.所以y ＝30cv ＋2＋12v(v ＞0)．(2)y ＝30cv ＋2＋12v≥2＋230cv ×12v＝2＋1210c .当且仅当30cv ＝12v，即v ＝25c时取等号． 当25c ≤5，即c ≥2125时，v ＝25c时，y 的最小值2＋1210c . 当 25c ＞5，即c ＜2125时，y ′＝30c －12v 2＝30cv 2－12v 2＜0，因此函数y ＝30cv ＋2＋12v在(0,5]上为减函数，所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋225.综上，当c ≥2125时，下潜速度为 25c 时，用氧量最小为2＋1210c ；当0＜c ＜2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋225.18．解 (1)因为g ′(x )＝2x ，所以xg ′(x )－g (x )＝2x 2－(x 2－1)＝x 2＋1＞0在(0，＋∞)上恒成立，即xg ′(x )＞g (x )在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )＝x 2－1是A 型函数．(2)h ′(x )＝a －1x ＋1－a x 2(x ＞0)，由xh ′(x )＞h (x )，得ax －1＋1－ax＞ax －3－ln x －1－ax，因为x ＞0，所以可化为2(a －1)＜2x ＋x ln x ，令p (x )＝2x ＋x ln x ，p ′(x )＝3＋ln x ，令p ′(x )＝0，得x ＝e －3，当x ∈(0，e －3)时，p ′(x )＜0，p (x )是减函数；当x ∈(e －3，＋∞)时，p ′(x )＞0，p (x )是增函数，所以p (x )min ＝p (e －3)＝－e －3，所以2(a －1)＜－e －3，a ＜1－12e －3.①当a ＝0时，由h ′(x )＝1－xx2＞0，得x ＜1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；②当a ＜0时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得0＜x ＜1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； ③当0＜a ＜12时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得x ＜1，或x ＞1－a a ，所以增区间为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，1；④当a ＝12时，h ′(x )≥0，所以，函数增区间为(0，＋∞)；⑤12＜a ＜1－12e －3时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得x ＜1－a a，或x ＞1， 所以增区间为(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，1.(3)证明：函数f (x )是(0，＋∞)上的每一点处都有导数，且xf ′(x )＞f (x )在(0，＋∞)上恒成立，设F (x )＝f x x ，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2＞0在(0，＋∞)时恒成立， 所以函数F (x )＝f xx在(0，＋∞)上是增函数，因为x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2＞x 1＞0，x 1＋x 2＞x 2＞0， 所以F (x 1＋x 2)＞F (x 1)，F (x 1＋x 2)＞F (x 2)， 即f x 1＋x 2x 1＋x 2＞f x 1x 1，f x 1＋x 2x 1＋x 2＞f x 2x 2，所以f (x 1)＜x 1f x 1＋x 2x 1＋x 2，f (x 2)＜x 2f x 1＋x 2x 1＋x 2，两式相加，得f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)．19．解 (1)f (x )＝12x 2－116ln x ＋x (x ＞0)，f ′(x )＝x －116x ＋1＝16x 2＋16x －116x＝0解得x ＝－2－54或－2＋54，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－2＋54时单调减，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2＋54，＋∞时单调增，故f (x )在x ＝－2＋54时取极小值，无极大值．(2)f ′(x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12ax (x ＞0)，令g (x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12a ，Δ＝4a 2－3a 2－2a ＝a 2－2a ，设g (x )＝0的两根为x 1，x 2(且x 1＜x 2)， 10当Δ≤0时，即0≤a ≤2，f ′(x )≥0，∴f (x )单调递增，满足题意 20当Δ＞0时，即a ＜0或a ＞2时，①若x 1＜0＜x 2，则34a 2＋12a ＜0，即－23＜a ＜0时，f (x )在(0，x 2)上单调减，(x 2，＋∞)上单调增，f ′(x )＝x ＋34a 2＋12a x－2a ， f ′′(x )＝1－34a 2＋12a x2≥0，∴f ′(x )在(0，＋∞)单调增，不合题意； ②若x 1＜x 2＜0则⎩⎪⎨⎪⎧ 34a 2＋12a ≥0a ＜0，即a ≤－23时f (x )在(0，＋∞)上单调增，满足题意．③若0＜x 1＜x 2则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a ＞0a ＞0即a ＞2时，∴f (x )在(0，x 1)单调增，(x 1，x 2)单调减，(x 2，＋∞)单调增，不合题意综上得a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[0,2] 20．解 (1)∵f (x )－2x ＞0的解集为(－1,3)，∴可设f (x )－2x ＝a (x ＋1)(x －3)，且a ＜0，因而f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＋2x ＝ax 2＋2(1－a )x －3a ① g (x )＝xf (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax ，∵g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a3内单调递减，∴g ′(x )＝3ax 2＋4(1－a )x －3a 在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a3上的函数值非正，由于a ＜0，对称轴x ＝2a －13a ＞0，故只需g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 33＋43a (1－a )－3a ≤0，注意到a＜0，∴a 2＋4(1－a )－9≥0，得a ≤－1或a ≥5(舍去)． 故所求a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，即证方程2x 3＋x 2－4x －4＝0仅有一个实数根．令h (x )＝2x 3＋x 2－4x －4，由h ′(x )＝6x 2＋2x －4＝0，得x 1＝－1，x 2＝23，易知h (x )在(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－1，23上递减，h (x )的极大值h (－1)＝－1＜0，故函数h (x )的图象与x 轴仅有一个交点，∴a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，得证．(3)设r (x )＝f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1＝ax 2＋x ＋1，r (0)＝1，对称轴为x ＝－12a，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ＜0r 1＝a ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ≤3r 1＝a ＋2≥－3，解出－5≤a ＜0，故使|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件是－5≤a ＜0.27140 6A04 樄21335 5357 南g^31967 7CDF糟U?Fc38664 9708 霈 25076 61F4 懴36070 8CE6 賦|•。

小题狂练(四)(限时40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |x 2＋y 2＝1}和集合B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B 等于( )．A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(0，＋∞)D ．{(0,1)，(1,0)}2．复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“α＝2k π－π4(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( )．A ．20,15,15B ．20,16,14C ．12,14,16D ．21,15,14 5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )．6．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．67．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝( )．A ．8B ．6C ．4D ．28．若 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )．A ．2B ．3C ．4D ．69．函数f(x)＝e 1－x 2的部分图象大致是( )．10．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－2,1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则|2a －λb |的值为( )．A ．1 B. 5 C ．5 D ．5 511．在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( ).A.1 B．2 C．3 D．412．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数下列关于函数f(x)的命题：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为________________．14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c＝3，a＝2，a＝2b sin A，则△ABC的面积为________．15．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________． 16. 下面四个命题：①已知函数f (x )＝sin x ，在区间[0，π]上任取一点x 0，则使得f (x 0)>12的概率为23；②函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； ③命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥34”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<34”；④若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，则f (2 012)＝0. 其中所有正确命题的序号是________．参考答案 【小题狂练(四)】1．B2．B [因为(3＋4i)·i＝－4＋3i ，所以在复平面上对应的点位于第二象限，选B.]3．A [由α＝2k π－π4(k ∈Z)可得tan α＝－1；而由tan α＝－1得α＝k π－π4(k∈Z)，故选A.]4．B [根据系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N.第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数为20,16,14.] 5．B6．B [当A ＝1，S ＝1时，执行S ＝S ＋2A，A ＝A ＋1后，S 的值为3，A 的值为2，……依次类推，当A ＝4时，执行S ＝S ＋2A，A ＝A ＋1后，S 的值为31，A 的值为5，所以M 的值为4.]7．A [由题意可知a ＝1，且点P 在右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝2，又3|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8.]8．A [由题意知，a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2，故选A.] 9．C [容易得出函数f (x )是偶函数，且f (x )>0恒成立，故选C.] 10．D [a ＋λb ＝(4,3)＋λ(－2,1)＝(4－2λ，3＋λ)， ∵(a ＋λb )⊥b ，∴(4－2λ，3＋λ)·(－2,1)＝0，解得λ＝1,2a －λb ＝(8,6)－(－2,1)＝(10,5)，|2a －λb |＝102＋52＝5 5.]11．A [先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得，所以选12．D [①显然错误；③容易造成错觉，t max ＝5；④错误，f (2)的不确定影响了正确性；②正确，可有f ′(x )<0得到．] 13．解析 待定系数法求圆的方程．答案 (x －3)2＋y 2＝414．解析 由题意知，b sin A ＝1，又由正弦定理得：b sin A ＝2sin B ，故解得sin B ＝12，所以△ABC 的面积为12ac sin B ＝32.答案 3215．解析 等式左边第一个数为对应行数，每行的整数个数为奇数个，等式右边为对应奇数个的平方，所以通项公式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)216．解析 ②错误，应该向左平移π6；①使得f (x 0)>12的概率为p ＝56π－16ππ＝23；④f (2 012)＝f (0)＝0. 答案 ①③④。