3.5.2分式的基本性质

分式的基本性质思维导图分式是代数中一种带有变量的表达式，它由分子和分母组成。

分式的基本性质包括：1.分式的加减法：在加减分式时，必须先约分分式，然后对分子分别进行加减运算，分母不变。

2.分式的乘除法：在乘除分式时，可以先将分子和分母分别进行乘除运算，然后约分分式。

3.分式的约分：约分是指将分式化简为最简分式，这通常通过求最大公约数来实现。

4.分式的倒数：倒数是指将分子和分母互换位置，即分子变为分母，分母变为分子。

5.分式的含义：分式表示一个量与另一个量的比值，分子表示被除数，分母表示除数。

1.分式的加减法：在加减分式时，必须先约分分式，然后对分子分别进行加减运算，分母不变。

例如：(2/3) + (4/6) = (2/3) + (2/3) = (2+2)/3 = 4/3(x/2) - (2x/4) = (x/2) - (x/2) = 02.分式的乘除法：在乘除分式时，可以先将分子和分母分别进行乘除运算，然后约分分式。

例如：(2/3) * (4/5) = (24)/(35) = 8/15(x/2) / (2x/4) = (x/2) * (4/2x) = x/4x = 1/43.分式的约分：约分是指将分式化简为最简分式，这通常通过求最大公约数来实现。

例如：8/15 约分为8/15 = 8/5 * 3/3 = 8/5 * 1 = 8/54.分式的倒数：倒数是指将分子和分母互换位置，即分子变为分母，分母变为分子。

例如：1/x 的倒数为x/1 = x5.分式的含义：分式表示一个量与另一个量的比值，分子表示被除数，分母表示除数。

例如：2/3 表示2个物品与3个物品的比值，即2/3。

x/y 表示x个量与y个量的比值，即x/y6.分式的零值：分母不能为零，因为除数不能为零。

如果分母为零，则分式的值为无穷大或不存在。

7.分式的混合运算：分式的混合运算就是分式的加减乘除混合运算，例如：(2x + 3)/(4x - 5) + (6x - 7)/(8x + 9) = (2x + 3)(8x + 9) + (6x - 7)(4x - 5) / (4x - 5)(8x + 9)8.分式的次数: 分式中变量的次数称为分式的次数。

1. 知识整理：分式的约分，分解因式
2. 方法归纳： 分解因式，约分
6、课后巩固
将课本第121页的作业题完成。
教学过程：
1、旧知尝试
1.分式的概念：表示两个整式相除，且除式中含有字母的代数式。
2.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为 ＝ ， ＝ （其中M是不等于零的整式）
3.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分。其中约分的结果是最简分式或整式.
1.已知x=2y，求分式 的值。
分析：直接代入计算，同时请学生用另一种方法试试看，并进行交流哪种方式比较简单。
2.已知3x－4y=0，求分式 的值。
分析：先变形成令一个未知数表示另一个未知数的代数式，同时请学生用另一种方法试试看，并进行交流哪种方式比较简单。
3.计算：
（1）（3ab2－2a2b）÷（2a－3b）
教学内容
分式的基本性质2
总课时2
第2课时
教学目标
1、进一步掌握分式的基本性质及其应用.
2、会在已知等式的情况下将分式化简或求值，体验等量替换、整体代换的数学思想和方法.
3、会运用分式的约分进行多项式除法.
教学重点、
难点
教学重点：
运用分式的约分进行多项式除法.
教学难点：在已知等式的情况下将分式化简或求值，常涉及所求式和已知式两方面的变形，需要有一定的思维灵活性.
（二）例3计算：
（1）（4x2－9）÷（3－2x）（2）（9a2＋6ab＋b2）÷（9a2b－b3）
1.分析：整式的除法主要包括以下内容：同底数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式，以及多项式除以多项式。

(1) 0.01x 0.5 0.3x 0.04
2a 3 b
(2)
2 2ab
3
当系数是小数时：一般情况下，分式的分子、分母都乘
以10的倍数。
当系数是分数时：分式的分子、分母都乘以每一项系数 的分母的最小公倍数；
分式基本性质应用（3）约分
4a3b2 (2a3bc)
9 x 2 2x 2 6x
(2)(9a2 6ab b2)
解：1原式= 4x2 9
3 2x
2x 32x 3
= 3 2x
(92a2原b 式b=3)9. a92 a26babb3 3a b2
=
b 3a b3a b
b2
2x 3
3a b 3a b
1把两个多项式相除表示成分式形式2把分子分母分别进行因式分解3约分用最简分式或整式表示所求的商
银湖中学 刘少丰
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零 的整式，分式的值不变．
A AM , A AM B BM B BM
(M 是不等于0的整式)
分式基本性质应用（1）处理符号
x2 2xy
3x2 y2 40 y2
9


4 3
y
2


2

4 3
y

3
4 3
y
2

y2
40
y
3 16 y2 8 y2 93 3 16 y2 y2
9
39 y2 39
9
分式基本性质应用（5）多项式相除
课本P120 例3 计算：
(1)(4x2 9) (3 2x).

分式的性质一、分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看符合分式概念的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．二、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四、分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六、最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．七、约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．。