天津市南开区南开翔宇学校2020-2021学年九年级上学期第二次月考数学试题

2020年天津市南开区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算（﹣5）﹣3的结果等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．82．sin45°的值等于（）A．B．C．D．13．下列表示天气的图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．据国家统计局全国农村贫困监测调查，按现行国家农村贫困标准测算，2018年末，全国农村贫困人口1660万人，比上年末减少13860000人．将13860000用科学记数法表示为（）A．0.1386×108B．1.386×107C．13.86×106D．1386×1045．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．6．估计2的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．计算+1的结果为（）A．B．C．D．8．若关于x，y的方程组的解是，则mn的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知在反比例函数y＝上有两个点A（x A，y A），B（x B，y B），若x A＜0＜x B，则下列结论正确的是（）A．y A+y B＜0 B．y A+y B＞0 C．y A＜y B D．y A＞y B10．某同学记录了一个秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系，如图所示，则这个秋千摆动第一个来回所需的时间为（）A．0.7s B．1.4s C．2.8s D．5.4s11．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一个动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝2，BC＝5，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．不确定，随点E位置的变化而变化12．如图，一段抛物线y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象．垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），且x1，x2，x3均为正数，设t＝x1+x2+x3，则t的最大值是（）A．15 B．18 C．21 D．24二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算：（﹣3a）2a3＝．14．（3分）化简：（）÷的结果是．15．（3分）已知直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，该直线解析式可以是．16．（3分）如图在圆形靶中，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，且∠BAC＝30°，则射击到靶中阴影部分的概率是．17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．18．（3分）如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．（Ⅰ）线段CD的长等于；（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在某中学举行的一次知识竞赛活动中，每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现九年级一班和二班的成绩整理并绘制出如下的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（Ⅰ）每个班参加竞赛的学生人数为；（Ⅱ）二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%，则m＝；（Ⅲ）求一班参加竞赛学生成绩的平均数；（Ⅳ）求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．21．已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．（Ⅰ）如图①，点P在线段OA上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小．22．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上，在救助船B的西南方向上，船B在船A正北方向150海里处．（Ⅰ）求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；（Ⅱ）若救助船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75，结果保留整数23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都让利酬宾，在甲商场按累计购物金额的85%收费；在乙商场累计购物金额超过400元后，超出400元的部分按75%收费，设小红在同一商场累计购物金额为x元，其中x＞400．（Ⅰ）根据题意，填写如表（单位：元）：累计购物实际花费500 700 (x)在甲商场425 …在乙商场625 …（Ⅱ）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（Ⅲ）“五一”节期间，小红如何选择这两家商场去购物更省钱？24．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）25．如图所示，Rt△ABO的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，4），抛物线y＝+bx+c经过点B，且顶点在直线x＝3上．（Ⅰ）求抛物线对应的函数关系式；（Ⅱ）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别是D、C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接BD．已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O，B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM，PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．2020年天津市南开区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】将减法转化为加法，再根据加法法则计算可得．【解答】解：（﹣5）﹣3＝（﹣5）+（﹣3）＝﹣8，故选：A．【点评】本题主要考查有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法法则．2．【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．【解答】解：sin45°＝．故选：B．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．3．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将13 860 000用科学记数法表示为：1.386×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得：有3列小正方形第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第3列有1个正方形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时不但要具有丰富的数学知识，而且还应有一定的生活经验．6．【分析】根据的取值范围进行估计解答．【解答】解：∵2.6＜＜2.7，∴5＜＜6，故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．7．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式＝＝，故选：B．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8．【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把未知数的值代入方程组求出m、n的值，根据有理数的乘法法则进行计算即可．【解答】解：把代入方程组中，可得：，解得：m＝﹣1，n＝2，所以mn＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和有理数的乘方，掌握能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解是解题的关键，注意有理数的乘法法则的正确运用．9．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中的k＝﹣1＜0，∴反比例函数y＝﹣的图象经过第二、四象限．∵x A＜0＜x B，∴点A（x A，y A）在第二象限，则y A＞0，点B（x B，y B）在第四象限，则y B＜0，∴y A＞y B，故选：D．【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．10．【分析】结合荡秋千的经验，秋千先从一端的最高点下落到最低点，再荡到另一端的最高点，再返回到最低点，最后回到开始的一端，符合这一过程的即是0～2.8s，由此即可得出结论．【解答】解：观察函数图象，可知：秋千摆动第一个来回需2.8s．故选：C．【点评】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．【分析】由△AEH∽△ACD，找到EH和AH关系，从而得到FG和AG关系，根据tan∠AFE ＝tan∠FAG求解．【解答】解：∵EH∥CD，∴△AEH∽△ACD．∴．设EH＝2x，则AH＝5x，∴HG＝GF＝2x．∴tan∠AFE＝tan∠FAG＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质、解直角三角形，解题的关键是转化角进行求解．12．【分析】先求出旋转后函数的顶点和对称轴，再由垂直于y轴的直线l与新图象相交，所以交点的横坐标关于对称抽对称，得到x1+x2＝12，再结合0≤x3≤6即可求t的最大值．【解答】解：由已知可得：A1（3，0），D1（0，9），将C1绕点A1旋转180°后，得到：D2（6，﹣9），新函数的对称轴为x＝6，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点关于对称轴x＝6对称，∴x1+x2＝12，∵垂直于y轴的直线l与线段D1D2交于点P3（x3，y3），∴0≤x3≤6，∴t＝x1+x2+x3＝12+x3，当x3＝6时，t有最大值18．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象的旋转．解题中找到旋转后的对称轴和顶点坐标是解题的关键，能够根据点的对称性将三个变量的关系转化为一个变量是解题的突破点．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．【解答】解：（﹣3a）2a3＝9a2•a3＝9a5．故答案为：9a5．【点评】此题主要考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．14．【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【解答】解：原式＝＝×＝．【点评】此题的关键是明白除法运算可以转化成乘法运算来计算．15．【分析】根据一次函数y＝kx+b的系数与图象的关系解答．【解答】解：∵直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，∴k＜0．∴该直线解析式可以是y＝﹣x+1．故答案是：y＝﹣x+1（答案不唯一）【点评】考查了一次函数的性质．k＞0，该函数图象经过第一、三象限；k＜0，该函数图象经过第二、四象限．16．【分析】先利用圆周角定理证四边形ABCD是矩形，据此可得阴影部分面积＝S扇形AOD+S，设⊙O半径为r，则射击到靶中阴影部分的概率是，从而得出答案．扇形BOC【解答】解：∵AC是直径，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴四边形ABCD是矩形，则S△COD＝S△AOD，S△AOB＝S△BOC，∴阴影部分面积＝S扇形AOD+S扇形BOC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝∠AOD＝60°，设⊙O半径为r，则射击到靶中阴影部分的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查了几何概率；本题将概率的求解设置于黑白两色的正三角形和弓形中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D ＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF ＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝，∴GH＝BF＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．18．【分析】（Ⅰ）由勾股定理求解可得．（Ⅱ）1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．【解答】解：（Ⅰ）CD＝＝2．故答案为：2；（Ⅱ）如图，1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．答案为：1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；2、借助网格作AE⊥OA；3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，则矩形ARST即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握勾股定理、圆周角定理、矩形的判定与性质等知识点．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】（I）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；（II）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；（III）在数轴上表示出来即可；（IV）根据数轴得出即可．【解答】解：（I）解不等式①得：x＜3，故答案为：x＜3；（II）解不等式②得：x≥1，故答案为：x≥1；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：；（IV）原不等式组的解集为1≤x＜3，故答案为：1≤x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．20．【分析】（Ⅰ）根据一班的成绩，利用条形统计图的信息解决问题即可．（Ⅱ）根据百分比之和为100%，计算即可．（Ⅲ）根据平均数的定义计算即可．（Ⅳ）根据众数，中位数的定义判断即可．【解答】解：（Ⅰ）每个班参加竞赛的学生人数为5+10+2+3＝20（人）；故答案为20人．（Ⅱ）二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%，则m＝100﹣25﹣35﹣30＝10；故答案为10．（Ⅲ）求一班参加竞赛学生成绩的平均数＝＝88.5．（Ⅳ）二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数分别为100分，80分．【点评】本题考查众数，加权平均数，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（Ⅰ）连接OQ，根据圆周角定理求出∠BQA，根据切线的性质得到∠OQE＝90°，结合图形计算，得到答案；（Ⅱ）连接OQ，根据切线的性质得到∠OQE＝90°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OQ，∵OA⊥OB，∴∠BOA＝90°，由圆周角定理得，∠BQA＝∠BOA＝45°，∵QE为⊙O的切线，∴∠OQE＝90°，∴∠OQB＝90°﹣∠BQA﹣∠AQE＝17°，∵OB＝OQ，∴∠OBQ＝∠OQB＝17°；（Ⅱ）如图②，连接OQ，∵QE为⊙O的切线，∴∠OQE＝90°，∴∠OQA＝90°﹣∠AQE＝62°，∵OA＝OQ，∴∠OAQ＝∠OQA＝62°，∴∠AOQ＝180°﹣62°×2＝56°，∵OA⊥OB，∴∠BOA＝90°，∴∠BOQ＝90°﹣56°＝34°，∴∠OBQ＝（180°﹣34°）÷2＝73°．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22．【分析】（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；（Ⅱ）分别求出PA、PB的长，根据两船航行速度，计算出两艘船到达P点时各自所需要的时间，即可作出判断．【解答】解：（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠BPE＝36.8°，∠EPA＝45°，设PE为x海里，则AE＝PE＝x海里，∵AB＝150海里，∴BE＝（150﹣x）海里，在Rt△PBE中，，即：解得：x≈64，∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离约为64海里；（Ⅱ）在Rt△PBE中，PE＝64海里，∠EPA＝45°，则AP＝PE＝64≈110.5海里，A船需要的时间为：110.5÷40≈2.76小时，在Rt△BAE中，，∴BP＝PE÷cos∠BPE＝64÷0.8＝80海里，∴B船需要的时间为：80÷30≈2.67小时，∵2.76＞2.67，∴B船先到达．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．23．【分析】（Ⅰ）根据两种购买方案即可求解；（Ⅱ）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解；（Ⅲ）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解．【解答】解：（Ⅰ）700×85%＝595（元），在甲商场购买x元的金额时，实际花费是0.85x （元）；400+（500﹣400）×75%＝475（元），在甲商场购买x元的金额时，实际花费是400+（x ﹣400）×75%＝0.75x+100．故答案是：595；0.85x；475；0.75x+100；（Ⅱ）根据题意，有0.85x＝0.75x+100，解得x＝1000，∴当x＝1000时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．（Ⅲ）由0.85x＜0.75x+100，解得x＜1000．由0.85x＞0.75x+100，解得x＞1000．∴当小红累计购物的金额超过1000时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物的金额不超过1000元时，在甲商场购物更省钱．【点评】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出方程或不等式，进行求解．24．【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；【解答】解：（1）∵CD＝6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为（3，4）．（2）①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y＝x﹣1上，∴2a+2＝a﹣1，解得a＝﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y＝x﹣1上时，∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，解得a＝﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y＝x﹣1上，∴4＝a﹣1，解得a＝5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y＝x﹣1上，∴﹣4＝﹣a﹣1，解得a＝3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM＝PM′＝6，PN＝4，∴NM′＝＝2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2＝GM′2，∴22+（2+m）2＝m2，解得m＝﹣，∴P（﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG＝∠M′GR，推出M′R＝M′G＝GM，设M′R＝M′G＝GM＝x．∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2＝22+（x﹣1）2，解得x＝，∴P（﹣，3）．点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）．【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（I）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，可求出b，c的值，进而可得出抛物线对应的函数关系式；（II）由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，结合菱形的性质可得出点D，C的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出：点C不在该抛物线上，点D在该抛物线上；（III）过点B作BB′∥x轴，交抛物线于点B′，连接B′D交抛物线对称轴于点P，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，由点B的坐标结合抛物线的对称性可得出点B′的坐标，由点B′，D的坐标利用待定系数法可求出直线B′D的函数关系式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，由MN∥BD可得出ON＝t，利用三角形的面积公式结合S△PMN＝S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ，可得出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（I）∵抛物线y＝+bx+c经过点B（0，4），且顶点在直线x＝3上，∴，解得：，∴抛物线对应的函数关系式为y＝x2﹣3x+4．（II）点C不在该抛物线上，点D在该抛物线上，理由如下：∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．∵四边形ABCD是菱形，∴点D的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，4）．当x＝2时，y＝x2﹣3x+4＝0，∴点D在该抛物线上；当x＝5时，y＝x2﹣3x+4＝≠4，∴点C不在该抛物线上．（III）过点B作BB′∥x轴，交抛物线于点B′，连接B′D交抛物线对称轴于点P，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，如图2所示．∵点B的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝3，∴点B′的坐标为（6，4）．设直线B′D的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），将B′（6，4），D（2，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线B′D的函数关系式为y＝x﹣2．当x＝3时，y＝x﹣2＝1，∴点P的坐标为（3，1）．∵MN∥BD，∴＝＝，∴ON＝OM＝t．∴S△PMN＝S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ，＝（OM+PQ）•OQ﹣OM•ON﹣PQ•NQ，＝（t+1）×3﹣•t•t﹣×1×（3﹣t），＝﹣t2+t，∴S＝﹣t2+t（0＜t＜4）．∵S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，﹣＜0，∴当t＝时，S取得最大值，最大值为，此时点M的坐标为（0，）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、勾股定理、菱形的性质、平行线分线段成比例以及三角形的面积，解题的关键是：（I）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，求出b，c的值；（II）利用菱形的性质，求出点C，D的坐标；（III）利用分割图形求面积法，找出S关于t的函数关系式．。

九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.如图所示的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列成语描述的事件为随机事件的是（）A. 水涨船高B. 守株待兔C. 水中捞月D. 缘木求鱼3.在平面直角坐标系中，点P（2，1）关于原点O的对称点P′的坐标是（）A. (−2,−1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−1,−2)4.A，B是⊙O上的两点，OA=1，AB的长是13π，则∠AOB的度数是（）A. 30B. 60∘C. 90∘D. 120∘5.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A. a<0，b>0，c>0B. a<0，b<0，c>0C. a<0，b>0，c<0D. a<0，b<0，c<06.下列图形一定是相似图形的是（）A. 任意两个菱形B. 任意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘8.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=2，AB=8，则⊙O的直径是（）A. 25B. 45C. 5D. 109.正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接等边三角形EFG的边长为（）A. 6B. 22C. 26D. 4210.小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如表所示，下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，可以估计树苗成活的概率是0.902；③若小张移植1000棵这种树苗，则可能成活900棵；①③①④②③②④11.如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.12.已知二次函数y=ax2+2ax+a2+a+4（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A. −5或1B. −5或5C. 5D. 1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.一个不透明的袋中装有除颜色外无其他仼何差别的12个红球和n个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是35，则n=______．14.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为______m．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为______．16.如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降1m时，则水面的宽度为______m．17.如图，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为6的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动，当滚动一周回到原位置时，点C运动的路径长为______．18.如图所示，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，弧BC所对的圆心角为60°，点P、E、F分别是弧BC、线段AB和线段AC上的动点，则PE+EF+FP的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，0）和C点（0，-4），与x轴另一个交点为B．（1）求此二次函数的解析式和顶点D的坐标；（2）求出A、B两点之间的距离；（3）直接写出当y＞-4时，x的取值范围．20.不透明的袋子中装有红色小球2个，绿色小球1个，除颜色外无其他差别．（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两球都是红色”的概率．（2）随机摸出两个小球，直接写出两球颜色不同的概率．21.已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（I）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小；（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．22.如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，弦CD平分∠ACB，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，3AM=4BN，⊙O的半径为5．（1）连接AD，求AD的长；（2）求CD的长．23.如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为36m2的花圃，AB的长是多少米？（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB=______，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．25.已知抛物线C：y=x2-4x．（1）求抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）将抛物线C向下平移，得抛物线C′，使抛物线C′的顶点落在直线y=-x-7上．①求抛物线C′的解析式；②抛物线C′与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线C′的对称轴于x轴的交点为N，点M是线段AN上的一点，过点M作直线MF⊥x轴，交抛物线C′于点F，点F关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MF上一点，且MP=14MF，连接PD，作PE⊥PD交x轴于点E，且PE=PD，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】B【解析】解：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选：B．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】A【解析】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，∴点P（2，1）关于原点O的对称点P′的坐标是（-2，-1）．故选：A．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（2，1）关于原点O的对称点是P′（-2，-1）．本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.【答案】B【解析】解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．5.【答案】B【解析】解：根据图象知，抛物线的开口方向向下，则a＜0．对称轴方程x=-＜0，则＞0，故a、b同号，所以b＜0；又因为抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴，则c＞0．综上所述，a＜0，b＜0，c＞0．故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴方程以及抛物线与y轴的交点来判定系数a、b、c的符号．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．6.【答案】B【解析】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100°，∴∠B=∠ADB=×（180°-100°）=40°．故选：B．根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：连接OA，∵C是AB的中点，∴AC=AB=4，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA-2）2+42，解得，OA=5，∴⊙O的直径是10，故选：D．连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键．9.【答案】C【解析】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90°，∴AC是直径，AC=4，∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，在Rt△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠GEF=30°，∴OM=，EM=OM=，∴EF=2．故选：C．连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在Rt△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】C【解析】解：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，可以估计树苗成活的概率是0.902，故正确；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误．故选：C．随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.902附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.902，据此进行判断即可．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．11.【答案】A【解析】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y==．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y==∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：A．此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．12.【答案】D【解析】解：∵二次函数y=ax2+2ax+a2+a+4=a（x+1）2+a2+4，∴该函数的对称轴是直线x=-1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，∴a＞0，当x=1时，a（x+1）2+a2+4=9，解得，a=1，故选：D．根据题意可以判断a的正负和关于a的方程，从而可以求得a的值，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13.【答案】8【解析】解：根据题意得：=，解得：n=8，故答案为：8．用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出n的值．此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】7【解析】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故答案为：7．此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．15.【答案】（1，-1）【解析】解：连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，由题意：，∴，∴直线CC′为y=x+，∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，），∴直线EF为y=-3x+2，由得，∴P（1，-1）．故答案为（1，-1）．连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．16.【答案】26【解析】解：从图象看，函数定点坐标C为（0，2），点B的坐标为（2，0），则函数的表达式为：y=ax2+2，把点B坐标代入上式得：a=-，设：水面下降1米，到D的位置，则D坐标为（x，-1），把D点坐标代入函数表达式得：x=，故答案为2．把C（0，2）、B的坐标为（2，0）代入二次函数表达式即可求解；把则D坐标为（x，-1）代入函数表达式求出x即可．本题考查的是二次函数的应用，关键要确定点的坐标，这是一道基础题．17.【答案】（3+22）π【解析】解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°；同理可证：∠OAD′=60°，∴∠D′AB=120°；∵∠D′AB′=90°，∴∠BAB′=120°-90°=30°，由旋转变换的性质可知∠C′AC=∠B′AB=30°；∵四边形ABCD为正方形，且边长为6，∴∠ABC=90°，AC==6，∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：=π．以D或B为圆心滚动时，每次C点运动π，以A做圆心滚动两次，以B和D做圆心滚动三次，所以总路径=×2+π×3=（3+2）π．故答案为：（3+2）π．作辅助线，首先求出∠D′AB的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．18.【答案】21-3【解析】解：连接BC，取AB的中点D，连接CD，则AD=BD=1，∴AD=BD=AC，∵∠BAC=60°，∴△ADC是等边三角形，∴CD=AC=1，∴CD=AB，∴∠ACB=90°，连接AP，O，OA．分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF．∴AM=AP=AN，∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，∵∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°，∴∠MAN=120°∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，设AP=r，易求得：MN=r，∵PE=ME，PF=FN，∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA-OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，在Rt△ABC中，∵AC=1，∠BAC=60°，∴BC=，∵∠BOC=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC=BC=，作OH⊥AC 交AC的延长线于H．在Rt△OCH中，∵OC=，∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，在Rt△AOH中，AO===，此时AP=r=-，∴PE+EF+PF的最小值为-3，故答案为：-3．连接AP，OP，OA．分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以AM=AP=AN，设AP=r，易求得：MN=r，所以PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，即当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值．本题考查圆的有关知识，涉及轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，等边三角形的性质与判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．19.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，0）和C点（0，-4），∴16−4b+c=0c=−4，得b=3c=−4，即抛物线y=x2+3x-4，∵y=x2+3x-4=（x+32）2-254，∴该抛物线的顶点坐标为（-32，-254）；（2）令y=0，0=x2+3x-4，解得，x1=-4，x2=1，∴点B的坐标为（1，0），∵点A的坐标为（-4，0），∴AB=1-（-4）=5；（3）∵y=x2+3x-4=（x+32）2-254，过点（0，-4），∴当y＞-4时，x的取值范围是x＜-3或x＞0．【解析】（1）根据抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，0）和C点（0，-4），可以求得该函数的解析式，然后根据配方法即可求出该函数的顶点坐标；（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点B的坐标，然后根据点A的坐标，即可求得AB的长；（3）根据题目中的函数解析式和过点C（0，-4）、二次函数的性质即可写出当y ＞-4时，x的取值范围．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．20.【答案】解：（1）绿色小球用数字1表示，两个红色小球分别用2和3表示，列表由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是红色的结果有4个，所以P（两球都是红色）=49；（2）一次摸出两球是一个不放回试验，共有6种等可能的结果，两球颜色不同有4种，故随机摸出两个小球，两次两球颜色不同概率=46=23．【解析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可；（2）由（1）中的树状图即可求出两球颜色不同的概率．本题考查了用列表法求概率，解题的关键是列表将所有等可能的结果全部列举出来并分清是否为放回试验．21.【答案】解：（Ⅰ）连接BO，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，∵∠AOP=65°，∴∠APO=90°-65°=25°，∴∠BPO=∠APO=25°，＜∠AOP=∠BPO+∠C，∴∠C=∠AOP-∠BPO=65°-25°=40°，（Ⅱ）连接OB，设∠AOP=x，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO=x，PA⊥AO，PB⊥OB，∴∠APO=90°-∠AOP=90°-x，∠BOP=90°-∠BPO=90°-x，∴∠BOC=180°-∠AOP-∠BOP=2x，∴∠OCB=90°-∠BOC=90°-2x，∵OC∥BD，∴∠DBP=∠C=90°-2x，∴∠OBD=2x，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD=2x，∵∠OBD+∠ODB+∠DOB=180°，∴x=30°，∴∠C=90°-2x=30°．【解析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．本题考查了切线的性质，解本题的关键是根据切线的性质和三角形的内角和解答．22.【答案】解：（1）如图1，连接AD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∴AD=BD，∵⊙O的半径为5，∴AB=10，∴AD=52；（2）如图2，连接OD，作OF⊥CD于F，设AB交CD于点P，∵AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM∥BN，∴APBP=AMBN=43，又AB=10，∴AP=407，BP=307，则OP=57，∵弦CD平分∠ACB，∴ACBC=APBP=43，∴AC=8，又∵∠CAM=45°，∴AM=42，∵AD=52，∴DM=32，∵CM=AM=43，∴CD=72．【解析】（1）连接AD，BD，根据AB为⊙O的直径，得到∠ACB=∠ADB=90°，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD，解直角三角形即可得到结论；（2）连接OD，作OF⊥CD于F，根据平行线的性质求出AP、PB、OP的长，根据角平分线的性质得到==，求出AC，得到AM的长，根据勾股定理计算即可．本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意相似三角形的判定和性质的应用．23.【答案】解：（1）根据题意，得S=x（24-3x），即所求的函数解析式为：S=-3x2+24x，又∵0＜24-3x≤9，∴5≤x＜8；（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24-3x∴-3x2+24x=36．整理，得x2-8x+12=0，解得x=2或6，当x=2时，BC=24-6=19＞9不成立，当x=6时，BC=24-18=6＜9成立，∴AB长为6m；（3）S=24x-3x2=-3（x-4）2+48∵墙的最大可用长度为9m，0≤BC=24-3x≤9，∴5≤x＜8，∵对称轴x=4，开口向下，∴当x=5m，有最大面积的花圃．即：x=5m，最大面积=24×5-3×52=45m2．【解析】（1）根据AB为xm，BC就为（24-3x），利用长方体的面积公式，可求出关系式．（2）将s=36m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．（3）将（1）中所求的解析式配方变为顶点式，再根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积．主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．24.【答案】10【解析】解：（1）如图①，∵点A（8，0），点B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB=10，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=10；故答案为：10；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=6，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°-∠HBO′=30°，∴BH=BO′=3，O′H=BH=3，∴OH=OB+BH=6+3=9，∴O′点的坐标为（3，9）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，-6），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（3，9），C（0，-6）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x-6，当y=0时，x-6=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A′=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D=O′P′=，P′D=O′D=，∴DH=O′H-O′D=3-=，∴P′点的坐标为（，）．（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB=10，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=6，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；（3）由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x-6，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．本题考查了几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、一次函数的应用、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：（1）∵y=x2-4x=（x-2）2-4，∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-4）；（2）①设抛物线C′的解析式为y=（x-2）2-4-m，则抛物线C′的顶点坐标为（2，-4-m），∵抛物线C′的顶点落在直线y=-x-7上，∴-4-m=-2-7，解得m=5．故抛物线C′的解析式为y=（x-2）2-9；②如图，连接FD，由①可得抛物线C′的解析式为y=x2-4x-5，令y=0可得x2-4x-5=0，解得x=-1或x=5，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（5，0），∵点F关于抛物线对称轴对称点为D，且MF⊥x轴，∴DF⊥MF，∴∠EMP=∠PFD=90°，∵PE⊥PD，∴∠EPD+∠MPE=∠EPD+∠D=90°，∴∠MPE=∠D，在△EPM和△PDF中∠MPE=∠D∠EMP=∠PFDPE=PD∴△EPM≌△PDF（AAS），∴PM=DF，EM=PF，设点F坐标为（t，t2-4t-5），∵点M在线段AN上，∴-1＜t＜2，∴DF=2（2-t），PM=-14（t2-4t-5），∵PM=DF，∴2（2-t）=-14（t2-4t-5），解得t=1或t=11（不合题意，舍去），∴M（1，0），F（1，-8），∴MF=8，MP=2，∴PF=8-2=6，∴EM=PF=6，∴OE=OM+ME=7，∴E点坐标为（7，0）．【解析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）①可设平移后的抛物线解析式为y=x2-4x-m，可求得其顶点坐标，代入直线y=-x-7，可求得m的值，则可求得抛物线C′的解析式；②连接FD，由条件可证明△EPM≌△PDF，可求得PM=DF，EM=PF，设出F点坐标，则可分别表示出PM和DF的长，由条件可得到关于点F坐标的方程，可求得M、F的坐标，则可出E点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、图象的平移、全等三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中把抛物线解析式化为顶点式是解题的关键，在（2）①中求得平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键，在（2）②中构造全等三角形，用F点的坐标表示出PM和DF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

天津市南开区南开翔宇学校2020-2021学年九年级上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．二次函数 y ＝（x +2）2﹣1 的顶点为（ ） A ．（2，﹣1） B ．（-2，﹣1） C ．（2，1）D ．（-2，﹣1）2．下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，若⊙C ＝35°，则⊙OAB 的度数是（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°4．下列说法中正确的是( )A ．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为12B ．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C ．“同位角相等”这一事件是不可能事件D ．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件 5．一元二次方程()()32632x x x +=+ 的解是（ ） A ．6x =B ．23x =-C ．16x =，223x =-D ．16x =-，223x =6．用配方法解方程2420x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(2)4x +=C ．2(26)x -=D ．2(2)3x -=7．下列判断正确的是（ ） A ．平分弦的直线垂直于弦B ．平分弧的直线必定平分这条弧所对的弦C ．弦的中垂线必平分弦所对的两条弧D ．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧8．如图，O 的直径12AB =，CD 是O 的弦，CD AB ⊥，垂足为P ，且:1:5BP AP =，则CD 的长为（ ）A．B ．C ．D ．9．在反比例函数y ＝﹣2x 图象上有三个点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3），若x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列结论正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 3＜y 1＜y 210．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，⊙AIC=124°，点E 在AD 的延长线上，则⊙CDE 的度数为（ ）A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°11．如图，四边形ABCD 内接于半径为6的O 中，连接AC ，若,45AB CD ACB =∠=︒，12ACD BAC ∠=∠，则BC 的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．12．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过点(0,2)，且关于直线1x =-对称，()1,0x 是抛物线与x 轴的一个交点.有下列结论：⊙方程22ax bx c ++=的一个根是x=-2；⊙若112x <<，则2134a -<<-；⊙若4m =时，方程2ax bx c m ++=有两个相等的实数根，则2a =-；⊙若302x -≤≤时，23y ≤≤，则1a =-.其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．已知点A(x ，1）与点B(2，y )关于原点对称，则(x －y )2020的值为_________． 14．在一个不透明的盒子中装12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是13，则黄球的个数_________．15．若关于x 的一元二次方程(k -1)x 2－4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________．16．如图，圆锥的母线AB ＝6，底面半径CB ＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．17．如图，正方形ABCD 的边长为1，AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：⊙四边形AEGF 是菱形；⊙△HED 的面积是1⊙⊙AFG ＝135°；⊙BC +FG ＝_____．（填入正确的序号）三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B 均落在格点上，AB 为⊙O 的直径．（1）AB 的长等于__________；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出一个以AB 为斜边、面积为5的Rt PAB ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 19．解方程：（1）2 2410--=x x （2）2(1)66+=+x x 20．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-3，-1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．（1）从中任取一球，将球上的数字记为a ，求关于x 的一元二次方2230ax ax a -++=有实数根的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x （不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y 。

2020年天津市南开区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 计算：1−(−13)=( ) A. 23 B. −23 C. 43 D. −43 2. tan30°的值为( ) A. 12 B. √22 C. √32 D. √333. “5300万“用科学记数法可表示为( )A. 5.3×103B. 5.3×104C. 5.3×107D. 5.3×1084. 下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是( )A. B. C. D.5. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体所用的小正方体的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 86. 估计3√11的值的范围应该在( )A. 9与9.5之间B. 9.5与10之间C. 10与10.5之间D. 10.5与11之间 7. 若x =−5，y =2，则2x x 2−16y 2−1x−4y 的值等于( )A. 117B. 115C. 17D. 13 8. 二元一次方程组{x +y =6,x −3y =−2的解是( ) A. {x =5,y =1 B. {x =4,y =2 C. {x =−5,y =−1D. {x =−4,y =−2 9. 已知点A(2,a)与点B(3,b)都在反比例函数y =k x (k >0)的图象上，则a 与b 的大小关系是( )A. a >bB. a =bC. a <bD. 不能确定10. 如图，四边形ABCE 内接于⊙O ，∠DCE =50∘，则∠BOE =( )A. 50∘B. 75∘C. 100∘D. 130∘11.如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(6,0)是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为()A. (3,√3)B. (3,2√3)C. (92,3√3 2)D. (94,3√3 4)12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A. ac>0B. 当x>−1时，y<0C. b=2aD. 9a+3b+c=0二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.把多项式mx2+2m2x+m3分解因式的结果是______．14.计算(2√3+√6)2的结果等于______．15.已知点(x1,y1)，(x2,y2)是直线y=kx−4上的两点，且当x1<x2时，y1<y2，则该直线经过______象限．16. 甲、乙、丙三人并排照相，那么甲、乙不相邻的概率是______．17. 如图，直线y =−43x +4与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕点A 按逆时针旋转90°后得到△AO 1B 1，则点B 1的坐标是______．18. 如图，将∠BOA 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点O 、A 均落在格点上，角的一边OA 与水平方向的网格线重合，另一边OB 经过格点B ．(Ⅰ)tan∠BOA 等于______；(Ⅱ)如图∠BOC 为∠BOA 内部的个锐角，且tan∠BOC =23，请在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出∠COA ，使得∠COA =∠BOA −∠BOC ，请简要说明∠COA 是如何找到的(不要求证明)三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19. 解不等式组{3x −2≤x 2x+15<x+12并把解集在数轴上表示出来．20. 某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②.请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______，图①中m 的值为______；(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；(Ⅲ)求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵．21.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P.过点D作⊙O的切线与AB的延长线交于点E．(1)若∠ABC=56∘，求∠E的度数；(2)若CD=6，BP=2，求⊙O的半径．22.广宇同学想测量一栋楼上竖立的旗杆的长(图中线段EF的长).已知直线EF垂直于地面，垂足为点C.在地面A处测得点E的仰角为31°，在B处测得点E的仰角为61°、点F的仰角为45°，AB=48米，且A、B、C三点在一直线上．请你根据以上数据帮助广宇同学求旗杆EF的长．(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80.)23.为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时(包括15吨)，采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量(吨)水费(元)4225152045(1)求该市每吨水的基本价和市场价．(2)设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．(3)小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？24.A.如图1，已知□ABCD的边AB平行于x轴，AB=6，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点．(图1)(图2)(1)若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．(2)若点P在边AD或CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标(直接写出答案)．B.如图，RtΔABC中，∠BAC=900，∠ABC=300，AB=16√3.点D是射线CA上一动点，过点C作射线DB的垂线，垂足为点H，点M为AB的中点，连结HM，则HM的最小值为____．25.如图，抛物线y=x2−2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,−3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC，若∠DAB=∠ACO，求点D的坐标；(3)若点E为线段OC上一动点，试求2AE+√2EC的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：1−(−13)=1+13=43．故选：C．根据有理数的减法法则，即可解答．本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则．2.答案：D解析：本题主要考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．直接利用tan30°=√33即可得结果．解：tan30°=√33．故选D．3.答案：C解析：解：5300万=5.3×107．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：B解析：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.答案：D解析：本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数；结合三视图，在俯视图中每个小正方形中标出在该位置小正方体的个数，如图，故搭成这个几何体所用小正方体的个数为1+ 1+1+1+2+2=8．结合三视图的知识，主视图以及左视图底面有6个小正方体，共有两层三行，第二层有2个小正方体．解：综合主视图，俯视图，左视图底面有6个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是8．如图，故搭成这个几何体所用小正方体的个数为1+1+1+1+2+2=8．故选：D．6.答案：B解析：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出3√11=√99是解题关键．直接得出3√11=√99，进而估算得出答案．解：∵3√11=√99，∴9<√99<10，∵9.52=90.25，∴3√11的值的范围应该在：9.5与10之间．故选B ．7.答案：D解析：解：原式=2x (x−4y)(x+4y)−1x−4y=2x (x −4y)(x +4y)−x +4y (x −4y)(x +4y) =x −4y (x −4y)(x +4y) =1x +4y当x =−5，y =2时，原式=13故选D ．本题主要考查分式的化简求值，正确运用分式的性质和通分的方法是解决问题的关键.先对分式进行变形后找出最简公分母变成同分母分式后再进行加减即可． 8.答案：B解析：本题考查了解二元一次方程组−代入消元法，根据解二元一次方程组−代入消元法的步骤，由第一个方程可得：x =6−y ，代入第二个方程：6−y −3y =−2，解得：y =2，再代入x =6−y 求得x ，进一步求得方程组的解．解：{x +y =6,x −3y =−2由第一个方程可得：x =6−y ，代入第二个方程：6−y −3y =−2，解得：y =2，则x =6−y =6−2=4，所以方程组的解为{x =4y =2, 故选B ．9.答案：A解析：根据反比例函数的增减性即可求得a 与b 的大小关系．本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．解：∵k >0，∴反比例函数图象的两个分支在第一三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小；又∵点A(2,a)与点B(3,b)都在反比例函数y =k x (k >0)的图象上，且2<3，∴a >b ；故选：A ． 10.答案：C解析：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．解：∵四边形ABCE 内接于⊙O ，∴∠A +∠BCE =180∘，又∵∠DCE +∠BCE =180∘，∴∠A =∠DCE =50∘，∴∠BOE =2∠A =100∘．故选C ．11.答案：A解析：本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P 的位置．作N 关于OA 的对称点N′，连接N′M 交OA 于P ，则此时，PM +PN 最小，由作图得到ON =ON′，∠N′ON =2∠AON =60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M ⊥ON ，解直角三角形即可得到结论．解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N(6,0)，∴ON=6，∵点M是ON的中点，∴OM=3，∴PM=√3，∴P(3,√3 )．故选A．12.答案：D解析：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.A.由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置即可确定a、c的符号；B.根据抛物线与x轴的交点，可得出y<0时，x的取值范围；C.根据抛物线的对称轴直接得出答案；D.根据抛物线与x轴的交点和抛物线的对称轴，即可得出抛物线与x轴的另一个交点，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号．解：A.由抛物线的开口向上，得a>0，抛物线与y轴负半轴相交，得c<0，则ac<0，故本选项错误；B.根据抛物线与x轴的交点，可得出y<0时，−1<x<3，故本选项错误；=1，直接得出b=−2a，故本选项错误；C.根据抛物线的对称轴x=−b2aD.根据抛物线与x轴的一个交点(−1,0)和抛物线的对称轴x=1，即可得出抛物线与x轴的另一个交点(3,0)，然后把x=3代入方程即9a+3b+c=0，故本选项正确．故选D．13.答案：m(x+m)2解析：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．解：mx2+2m2x+m3=m(x2+2mx+m2)=m(x+m)2．故答案为m(x+m)2．14.答案：18+12√2解析：解：原式=12+6+12√2=18+12√2．故答案为18+12√2．利用完全平方公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.答案：一、三、四解析：本题考查了一次函数的性质和一次函数图象与系数的关系．根据函数图象的单调性求得k的符号是解题的关键．根据一次函数的增减性判断出k的符号，然后由k的符号来确定该直线所经过的象限．解：∵点(x1,y1)、(x2,y2)是直线y=kx−4上的两点，且当x1<x2时，y1<y2，∴y随x的增大而增大，∴k>0．∴该直线经过第一、三象限．又直线y=kx−4中的−4<0，∴该直线与y轴交于负半轴，∴该函数图象经过第一、三、四象限．故答案是一、三、四．16.答案：13解析：本题考查的是用列表法与树状图法及概率公式的知识点；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙二人不相邻的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人不相邻的有2种情况，∴甲、乙二人不相邻的概率是：26=13．故答案为：13．17.答案：(−1,−3)解析：利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB的长度，再利用旋转的性质结合图形可得出点O1、B1的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及旋转的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标是解题的关键．解：直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴点B的坐标为(0,4)，点A的坐标为(3,0)，∴OA=3，OB=4．根据旋转的性质，可知：AO 1=AO =3，O 1B 1=OB =4，∴点O 1的坐标为(3,−3)，点B 1的坐标为(−1,−3)．故答案为：(−1,−3)18.答案：5解析：解：(Ⅰ)tan∠BOA =51=5， 故答案为5；(Ⅱ)取格点C ，作射线OC 即可．理由：连接BC ，易证BC ⊥OC ，BC =2√2，OC =3√2，可得tan∠BOC =BCOC =√23√2=23． (1)借助于直角三角形解决问题即可．(2)取格点C ，作射线OC 即可．本题考查作图−复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19.答案：解：{3x −2≤x ①2x+15<x+12②， 由①得：x ≤1，由②得：x >−3，∴原不等式组的解集是：−3<x ≤1．在数轴上表示如下：解析：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，把其公共解集在数轴上表示出来即可．=20%，即m=20，20.答案：解：(Ⅰ)根据题意得：8÷40%=20，m%=420故答案为：20；20；(Ⅱ)本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为都为5棵；(Ⅲ)根据题意得：4×20%+5×40%+6×30%+7×10%=0.8+2+1.8+0.7=5.3(棵)，则260×5.3=1378(棵)，即估计这260名学生共植树1378棵．解析：此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，以及众数，弄清题中的数据是解本题的关键．(Ⅰ)由棵数为5的人数除以占的百分比求出调查学生总数，进而确定出m的值即可；(Ⅱ)根据条形统计图中的数据确定出众数与中位数即可；(Ⅲ)求出本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计出这260名学生共植树的棵数即可．21.答案：解：(1)∵∠ABC=56∘，CD⊥AB，∴∠DCB=90°−56°=34°，连接OD，则∠DOB=2∠DCB=68°，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠E=90°−68°=22°；(2)设⊙O的半径为x，则OP=x−2，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，CD=3，∴DP=12在Rt△ODP中，由勾股定理可得：x2=(x−2)2+32，．解得：x=134．故⊙O的半径134解析：本题主要考查切线的性质，垂径定理以及勾股定理．(1)先求就出∠DCB=34°，连接OD，有∠DOB=2∠DCB=68°，根据切线可知∠ODE=90°，即可求得结果；CD=3，(2)设⊙O的半径为x，则OP=x−2，根据垂径定理可得DP=12在Rt△ODP中，由勾股定理可得x2=(x−2)2+32，解方程求出x的值即可．22.答案：解：在Rt△BCF中，∠CBF=45°，∴BC=FC，在Rt△CBE中，，设BC=CF=x，∵∠CBE=61°，∴CE=BC×tan∠CBE≈1.8x，在Rt△CAE中，tan∠CAE=CE，AC∵∠CAE=31°，AB=48米，∴0.6≈ 1.8x，x+48∴x≈24，∴EF=CE−FC≈0.8x=19.2(米)．答：旗杆EF的长为19.2米．解析：此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出BC的长是解题关键．在Rt△BCF中根据已知条件得到BC=CF，设BC=CF=x，可得CE=BC⋅tan∠CBE≈1.8x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．23.答案：解：(1)根据当每月用水量不超过15吨时(包括15吨)，采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费，∵4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，∴市场价收费标准为：(51−45)÷(22−20)=3(元/吨)，设基本价收费为x元/吨，根据题意得出：15x+(22−15)×3=51，解得：x=2，故该市每吨水的基本价和市场价分别为：2元/吨，3元/吨；(2)当n≤15时，m=2n，当n>15时，m=15×2+(n−15)×3=3n−15，(3)∵小兰家6月份的用水量为26吨，∴她家要缴水费15×2+(26−15)×3=63元．解析：(1)利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：(51−45)÷(22−20)=3(元/吨)，进而得出每吨水的基本价；(2)利用(1)中所求不同水价，再利用当n≤15时，m=2n，当n>15时，分别求出即可．(3)根据(1)中所求得出，用水量为26吨时要缴水费．此题主要考查了一次函数的应用.关键是分段函数的写法以及求自变量时把函数值正确代入相对应的函数，此题难度不大，是初中阶段考查重点．24.答案：A.解：(1)∵□ABCD的边AB平行于x轴，AB=6，点D的坐标为(−3,4)，∴点C的坐标为(3,4)，∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P的坐标为(3,4)；(2)如图1中，当点P 在线段CD 上时，设P(m,4)，设PM 与y 轴的交点为N ，设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∵A(1,−4)，D(−3,4)，∴{k +b =−4−3k +b =4， 解得：{k =−2b =−2， ∴直线AD 的解析式为y =−2x −2，∵点G 是AD 与y 轴的交点，∴G(0,−2)，PM =6，由题可知：PM ⊥MG ，∠PM′G =∠PMG =90°，在Rt △PNM′中，∵PM =PM′=6，PN =4，∴NM′=√M′P 2−PN 2=√62−42=2√5，在Rt △OGM′中，∵OG 2+OM′2=GM 2，∴22+(2√5+m)2=m 2，解得：m =−65√5，∴P(−65√5,4)， 根据对称性可知：满足条件的另一个点P 的坐标为(65√5,4)；如图3中，当点P 在线段AD 上时，设AD 与x 轴交于点R ，易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x，∵直线AD的解析式为y=−2x−2，∴R(−1,0)，在Rt△OGM′中，有x2=22+(x−1)2，解得：x=52，∴P(−52,3)；综上所述，点P的坐标为(−65√5,4)或(65√5,4)或(−52,3)．B.8解析：A.本题考查了平行四边形的性质，点的坐标的求法，图形的翻折，勾股定理及其应用.解题的关键是理解数形结合的数学思想、分类讨论的数学思想．(1)首先根据已知条件得出P、C两点重合，然后根据点C的坐标直接写出点P的坐标即可；(2)当点P在线段CD上时，设P(m,4)，设PM与y轴的交点为N，首先求出直线AD的解析式，得出点G的坐标，再根据已知条件求出PM、PM′、NM′的长，然后利用勾股定理得到关于m的方程，解这个关于m的方程，得出点P的坐标；再根据对称性求出满足题意的另一个点P的坐标；同样的思路与方法求出点P在线段AD上的坐标即可．B.本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线性质，线段的性质.设BC的中点为E，连接ME，首先根据三角形的中位线性质得出ME的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出EH的长，即可求解．解：设BC的中点为E，连接ME，如图：根据线段的性质可知：当H、M、E三点共线时，HM最短，此时ME是△ABC的中位线，HE是Rt△HBC 斜边BC上的中线，HM的最小值是HE−EM的值，∵RtΔABC中，∠BAC=900，∠ABC=300，AB=16√3，∴BC=2AC，(2AC)2−AC2=(16√3)2，∴AC=16，BC=32，∴ME=12AC=8，EH=12BC=16，∴HM的最小值是：HM=HE−EM=16−8=8．故答案为8．25.答案：解：(1)把点C的坐标代入抛物线表达式得：3m=−3，解得：m=−1，故该抛物线的解析式为：y=x2+2x−3；(2)令y=0，得x2+2x−3=0，解得x=−3或x=1，∴A(1,0)，B(−3,0)，过D点作x轴的垂线，交x轴于点H，设：点D的坐标为(m,m2+2m−3)，∵∠DAB=∠ACO，∴tan∠DAB=tan∠ACO，即：DHAH =AOCO，m2+2m−31−m=13，解得：m=−103或m=1(舍去)，故点D的坐标为(−103,139)；(3)过点E作EF⊥BC，交BC于点F，∵B(−3,0)，C(0,−3)，即OB=OC=3，∴∠ABC=∠OCB=45°，则EF=√22EC，AE+√22EC=AE+EF，∴当A、E、F三点共线时，AE+√22EC最小，即2AE+√2EC最小，∵AF⊥BC，∴∠BAF=45°，即OA=OE=1，则EC=3−1=2，AE=√2，2AE+√2EC=2√2+2√2=4√2．解析：本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，(3)中，当A、E、F三点共线时，AE+√22EC最小，是本题的难点．(1)把点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)过D点作x轴的垂线，交x轴于点H，tan∠DAB=tan∠ACO，即：DHAH =AOCO，即可求解；(3)过点E作EF⊥BC，交BC于点F，当A、E、F三点共线时，AE+√22EC最小，即2AE+√2EC最小，即可求解．。

天津市南开区中考数学二模试卷（解析版）一、选择题1．-6÷的结果等于（）A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=﹣6×6=﹣36故选：D．【点评】本题考查有理数的运算法则，解题的关键是熟练运用除法法则，本题属于基础题型．2．（3分）2sin60°的值等于（）A．B．2 C．1 D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：2sin60°=2×=，故选：A．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．3．（3分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学计数法表示为（）A．2×10﹣5 B．2×10﹣6C．5×10﹣5D．5×10﹣6【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为5×10﹣6．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：=0.000005=5×10﹣6．故选：D．【点评】考查了科学计数法﹣表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法a×10n 的形式时，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．5．（3分）用五块大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看，是两层都有两个正方形的田字格形排列．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的正面看得到的视图．6．（3分）在实数﹣，﹣2，，中，最小的是（）A．﹣B．﹣2 C．D．【分析】为正数，，﹣2为负数，根据正数大于负数，所以比较与﹣2的大小即可．【解答】解：正数有：；负数：，﹣2，∵，∴，∴最小的数是﹣2，故选：B．【点评】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵BD=2AD，∴===，则=，∴A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．8．（3分）一个正六边形的半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是（）A．r=R B．r=R C．r=R D．r=R【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．【解答】解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r=R，故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h=a （a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．9．（3分）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据反比例函数图象的性质得出k的取值范围，进而根据一次函数的性质得出一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限．【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，∴x1＜x2＜0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，∴一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是：第一象限．故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k的取值范围是解题关键．10．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，可求得∠ADO与∠ODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．【解答】解：连接AD，∵OA=OD，∠AOD=50°，∴∠ADO==65°．∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOC=50°，∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，∴∠B=180°﹣∠ADC=65°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．11．（3分）观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中的小点一共有（）A．162个B．135个C．30个D．27个【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．【解答】解：第1个图形有3=3×1=3个点，第2个图形有3+6=3×（1+2）=9个点第3个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；……第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；当n=9时，==135，故选：B．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与y轴交点可判断①；由①知y=ax2﹣2ax+1，根据x=﹣1时y＜0可判断②；由抛物线顶点在一次函数图象上知a+b+1=k+1，即a+b=k，结合b=﹣2a可判断③；根据0＜x＜1时二次函数图象在一次函数图象上方知ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，两边都除以x可判断④．【解答】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣=1，即b=﹣2a＞0，由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，则abc＜0，故①正确；由①知y=ax2﹣2ax+1，∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，∴a＜﹣，故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，∴a+b+1=k+1，即a+b=k，∵b=﹣2a，∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，∵x＞0，∴ax+b＞k，故④正确；故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．二、填空题（3&#215;6=18）13．（3分）分解因式：x2﹣5x=x（x﹣5）．【分析】直接提取公因式x分解因式即可．【解答】解：x2﹣5x=x（x﹣5）．故答案为：x（x﹣5）．【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．14．（3分）计算×（﹣2）的结果等于2﹣2．【分析】利用二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=﹣2=2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（3分）有四张卡片，分别写有数﹣2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无差别）洗匀后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出卡片上的数的积是正数的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为2种，所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2．【分析】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．【点评】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．17．（3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（﹣，）．【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，∵点B的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE和△AOE中，，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣x）2=x2+12，∴x=，∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，又∵DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，即：3=：DF=1：AF，∴DF=，AF=，∴OF=﹣1=，∴D的坐标为：（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点（Ⅰ）AB的长等于（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA=CB且△ABC的面积等于=），作直线PN，再证=，并简要说明点C的位置是如何找到的取格点P、N（使得S△PAB作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，（Ⅱ）取格点P、N（S△PAB点C即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AB==，故答案为．=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交（Ⅱ）如图取格点P、N（使得S△PABPN于点C，点C即为所求．=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于故答案为：取格点P、N（S△PAB点C，点C即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（66分）19．（8分）解不等式组请结合题填空，完成本题的解答（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1（Ⅱ）解不等式②，得x＜3（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x＜3【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1，（Ⅱ）解不等式②，得：x＜3，（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，故答案为：x≥﹣1、x＜3、﹣1≤x＜3．【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．20．（8分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户外活动的时间情况，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题；（Ⅰ）在图①中，m的值为20，表示“2小时”的扇形的圆心角为54度；（Ⅱ）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得m的值和表示“2小时”的扇形的圆心角的度数；（Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以求得这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．【解答】解：（Ⅰ）m%=1﹣40%﹣25%﹣15%=20%，即m的值是20，表示“2小时”的扇形的圆心角为：360°×15%=54°，故答案为：20、54；（Ⅱ）这组数据的平均数是：=，众数是：1，中位数是：1．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．21．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【分析】（Ⅰ）连接OD，如图1，理由圆周角定理得到∠AOD=90°，则OD⊥AB，再理由平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DE为⊙O的切线；（Ⅱ）连接OC，如图1，利用垂径定理得到AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠COF=60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OF=，CF=，所以CD=2CF=，AF=，接着证明AF为△CDE的中位线得到DE=2AF=3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、理由如下：连接OD，如图1，∵∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（Ⅱ）连接OC，如图1，∵点F是CD的中点，∴AB⊥CD，CF=DF，∵∠COF=2∠CAB=60°，∴OF=OC=，CF=OF=，∴CD=2CF=，AF=OA+OF=，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE=2AF=3，∴△CDE的面积=×3×=．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理和垂径定理．22．（10分）某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米运的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米（Ⅰ）求∠BAD的正切值；（Ⅱ）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）【分析】（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．（Ⅱ）在R t△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，得到方程BF﹣EF=﹣=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．【解答】解：（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，∴BG=DF=5米，∵AB=13米，∴AG==12米，∴tan∠BAD==1：2.4；（Ⅱ）在R t△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，∵BE=4米，∴BF﹣EF═﹣=4，解得：CF=16．∴DC=CF+DF=16+5=21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．23．（10分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系．（Ⅰ）根据题意完成下列表格票价x（元）1015x18参观人数y（人）70004500﹣500x+120003000（Ⅱ）在这样的情况下，如果要确保每周有40000元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应定位多少元？（Ⅲ）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？【分析】（Ⅰ）由题意可知每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系，把点（10，7000）（15，4500）分别代入y=kx+b，求出k，b的值，即可把表格填写完整；（Ⅱ）根据参观人数×票价=40000元，即可求出每周应限定参观人数以及门票价格应定位；（Ⅲ）先得到二次函数，再配方法即可求解．【解答】解：（I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b，把（10，7000）（15，4500）代入y=kx+b中得，解得，∴y=﹣500x+12000，x=18时，y=3000，故答案为：﹣500x+12000，3000；（II）根据确保每周4万元的门票收入，得xy=40000即x（﹣500x+12000）=40000x2﹣24x+80=0解得x1=20 x2=4把x1=20，x2=4分别代入y=﹣500x+12000中得y1=2000，y2=10000因为控制参观人数，所以取x=20，y=2000答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格应是20元/人．（III）依题意有x（﹣500x+12000）=﹣500（x2﹣24）=﹣500（x﹣12）2+72000，y=﹣500×12+12000=6000．故门票价格应该是12元时门票收入最大，这样每周应有6000人参观．【点评】此题考查了二次函数以及一次函数的应用，解答此类题目的关键是要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B 匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．（1）填空：AB的长是10，BC的长是6；（2）当t=3时，求S的值；（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；（4）若S=，请直接写出此时t的值．【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN 的面积；（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出=，即=，可得BG=8﹣t，由此即可解决问题；（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB===10．BC==6，故答案为10，6．（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．∵C（﹣2，4），∴CE=4OE=2，在Rt△COE中，OC===6，当t=3时，点N与C重合，OM=3，=•OM•CE=×3×4=6，∴S△ONM即S=6．（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．∵OF=4，OB=8，∴BF=8﹣4=4，∵GN∥CF，∴=，即=，∴BG=8﹣t，∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．（4）①当点N在边长上，点M在OA上时，•t•t=，解得t=（负根已经舍弃）．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，由题意 [10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]•=，解得t=8，同法当M、N在线段AB上，相遇之后．由题意•[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]•=，解得t=，综上所述，若S=，此时t的值8s或s或s．【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25．（10分）已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2﹣8ax﹣交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．（1）求抛物线l1，l2的表达式；（2）当x的取值范围是2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，求出抛物线l1的解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可；（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）由题意抛物线l1的对称轴x=﹣=4，∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6，∴A（1，0），B（7，0），把A（1，0）代入y=ax2﹣8ax﹣，解得a=﹣，∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+4x﹣，把C（5，n）代入y=﹣x2+4x﹣，解得n=4，∴C（5，4），∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，∴可以假设抛物线l2的解析式为y=x2+bx+c，把A（1，0），C（5，4）代入y=x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线l2的解析式为y=x2﹣2x+．（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，顶点E（2，﹣），顶点F（4，）所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，故答案为2≤x≤4．（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，∴M（m，﹣m2+4m﹣），N（m，m2﹣2m+），①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，∴m=3时，MN的最大值为4．②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，5＜m≤7时，在对称轴右侧，MN随m的增大而增大，∴m=7时，MN的值最大，最大值是12，综上所述，MN的最大值为12．_._【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．_._。

天津市南开区2020年中考数学二模试卷（解析版）一、选择题1．（3分）的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．9【解答】解：的值为3．故选：B．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴A=30°，∴B=60°，∴sinB=．故选：A．3．（3分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．故选：A．4．（3分）下列代数运算正确的是（）A．x•x6=x6B．（x2）3=x6C．（x+2）2=x2+4 D．（2x）3=2x3【解答】解：A、x•x6=x7，原式计算错误，故本选项错误；B、（x2）3=x6，原式计算正确，故本选项正确；C、（x+2）2=x2+4x+4，原式计算错误，故本选项错误；D、（2x）3=8x3，原式计算错误，故本选项错误．故选：B．5．（3分）一组数据2，6，2，5，4，则这组数据的中位数是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：从小到大排列此数据为：2、2、4、5、6，则这组数据的中位数是4，故选：B．6．（3分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选：B．7．（3分）如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示﹣1的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：∵3.5＜＜4，∴2.5＜﹣1＜3，∴表示﹣1的点是Q点，故选：D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，点D在线段AB、BC的垂直平分线上，若∠D=110°，则∠B度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°【解答】解：连接BD，∵点D在线段AB、BC的垂直平分线上，∴BD=AD，DC=BD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C，∴∠ABC=（360°﹣∠D）÷2=125°．故选：D．9．（3分）如图，C、D是以AB为直径、O为圆心的半圆上的两点，OD∥BC，OD与AC交于点E，下列结论中不一定成立的是（）A．AD=DC B．∠ACB=90°C．△AOD是等边三角形D．BC=2EO【解答】解：连接CD，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴DO⊥AC，∴AD=CD，故A、B正确；∵AO=DO，不一定等于AD，因此C错误；∵O为圆心，∴AO：AB=1：2，∵EO∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴EO：AB=AO：BC=1：2，∴BC=2EO，故D正确；故选：C．10．（3分）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣，y=的图象交于B、A两点，则tan∠OAB的值的变化趋势为：（）A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【解答】解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；∵∠AOB=90°，∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，∴∠BOM=∠OAN，∵∠BMO=∠ANO=90°，∴△BOM∽△OAN，∴=；设B（﹣m，），A（n，），则BM=，AN=，OM=m，ON=n，∴mn=，mn==4；∵∠AOB=90°，∴t an∠OAB=①；∵△BOM∽△OAN，∴====②，由①②知tan∠OAB=为定值，∴∠OAB的大小不变，故选：D．11．（3分）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG=∠HEF=90°，∵∠AEF=143°，∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=53°，∠EAH=37°，在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米），∵AB=1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．故选：A．12．（3分）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A．160 B．161 C．162 D．163【解答】方法一：解：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，故选B．方法二：，，，，…，∴，⇒（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（a n﹣a n﹣1）=a n﹣a1，∴a n﹣a1=4×（3+32+…+3n﹣1）=4×（3+32+…+3n﹣1）=（用错位相减法可求出）∴，∵a1=5，∴．12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与y轴交点可判断①；由①知y=ax2﹣2ax+1，根据x=﹣1时y＜0可判断②；由抛物线顶点在一次函数图象上知a+b+1=k+1，即a+b=k，结合b=﹣2a可判断③；根据0＜x＜1时二次函数图象在一次函数图象上方知ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，两边都除以x可判断④．【解答】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣ =1，即b=﹣2a＞0，由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，则abc＜0，故①正确；由①知y=ax2﹣2ax+1，∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，∴a＜﹣，故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，∴a+b+1=k+1，即a+b=k，∵b=﹣2a，∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，∵x＞0，∴ax+b＞k，故④正确；故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．二、填空题（3&#215;6=18）13．（3分）分解因式：x2﹣5x= x（x﹣5）．【分析】直接提取公因式x分解因式即可．【解答】解：x2﹣5x=x（x﹣5）．故答案为：x（x﹣5）．【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．14．（3分）计算×（﹣2）的结果等于2﹣2 ．【分析】利用二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=﹣2=2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（3分）有四张卡片，分别写有数﹣2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无差别）洗匀后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出卡片上的数的积是正数的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为2种，所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 2 ．【分析】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．【点评】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．17．（3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（﹣，）．【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，∵点B的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE和△AOE中，，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣x）2=x2+12，∴x=，∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，又∵DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，即：3=：DF=1：AF，∴DF=，AF=，∴OF=﹣1=，∴D的坐标为：（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点（Ⅰ）AB的长等于（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA=CB且△ABC的面积等于，并简要说明点C的位置是如何找到的取格点P、N（使得S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；（Ⅱ）取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AB==，故答案为．（Ⅱ）如图取格点P、N（使得S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．故答案为：取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（66分）19．（8分）解不等式组请结合题填空，完成本题的解答（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1（Ⅱ）解不等式②，得x＜3（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x＜3【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1，（Ⅱ）解不等式②，得：x＜3，（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，故答案为：x≥﹣1、x＜3、﹣1≤x＜3．【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．20．（8分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户外活动的时间情况，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题；（Ⅰ）在图①中，m的值为20 ，表示“2小时”的扇形的圆心角为54 度；（Ⅱ）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得m的值和表示“2小时”的扇形的圆心角的度数；（Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以求得这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．【解答】解：（Ⅰ）m%=1﹣40%﹣25%﹣15%=20%，即m的值是20，表示“2小时”的扇形的圆心角为：360°×15%=54°，故答案为：20、54；（Ⅱ）这组数据的平均数是： =，众数是：1，中位数是：1．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．21．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【分析】（Ⅰ）连接OD，如图1，理由圆周角定理得到∠AOD=90°，则OD⊥AB，再理由平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DE为⊙O的切线；（Ⅱ）连接OC，如图1，利用垂径定理得到AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠COF=60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OF=，CF=，所以CD=2CF=，AF=，接着证明AF为△CDE的中位线得到DE=2AF=3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、理由如下：连接OD，如图1，∵∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（Ⅱ）连接OC，如图1，∵点F是CD的中点，∴AB⊥CD，CF=DF，∵∠COF=2∠CAB=60°，∴OF=OC=，CF=OF=，∴CD=2CF=，AF=OA+OF=，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE=2AF=3，∴△CDE的面积=×3×=．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理和垂径定理．22．（10分）某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米运的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米（Ⅰ）求∠BAD的正切值；（Ⅱ）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）【分析】（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．（Ⅱ）在R t△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，得到方程BF﹣EF=﹣=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．【解答】解：（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，∴BG=DF=5米，∵AB=13米，∴AG==12米，∴tan∠BAD==1：2.4；（Ⅱ）在R t△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，∵BE=4米，∴BF﹣EF═﹣=4，解得：CF=16．∴DC=CF+DF=16+5=21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．23．（10分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系．（Ⅰ）根据题意完成下列表格票价x（元）10 15 x 18参观人数y（人）7000 4500 ﹣500x+12000 3000 （Ⅱ）在这样的情况下，如果要确保每周有40000元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应定位多少元？（Ⅲ）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？【分析】（Ⅰ）由题意可知每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系，把点（10，7000）（15，4500）分别代入y=kx+b，求出k，b的值，即可把表格填写完整；（Ⅱ）根据参观人数×票价=40000元，即可求出每周应限定参观人数以及门票价格应定位；（Ⅲ）先得到二次函数，再配方法即可求解．【解答】解：（I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b，把（10，7000）（15，4500）代入y=kx+b中得，解得，∴y=﹣500x+12000，x=18时，y=3000，故答案为：﹣500x+12000，3000；（II）根据确保每周4万元的门票收入，得xy=40000即x（﹣500x+12000）=40000x2﹣24x+80=0解得x1=20 x2=4把x1=20，x2=4分别代入y=﹣500x+12000中得y1=2000，y2=10000因为控制参观人数，所以取x=20，y=2000答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格应是20元/人．（III）依题意有x（﹣500x+12000）=﹣500（x2﹣24）=﹣500（x﹣12）2+72000，y=﹣500×12+12000=6000．故门票价格应该是12元时门票收入最大，这样每周应有6000人参观．【点评】此题考查了二次函数以及一次函数的应用，解答此类题目的关键是要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B 匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．（1）填空：AB的长是10 ，BC的长是 6 ；（2）当t=3时，求S的值；（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；（4）若S=，请直接写出此时t的值．【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN 的面积；（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB 于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出=，即=，可得BG=8﹣t，由此即可解决问题；（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB===10．BC==6，故答案为10，6．（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．∵C（﹣2，4），∴CE=4OE=2，在Rt△COE中，OC===6，当t=3时，点N与C重合，OM=3，∴S△ONM=•OM•CE=×3×4=6，即S=6．（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB 于F．则F（0，4）．∵OF=4，OB=8，∴BF=8﹣4=4，∵GN∥CF，∴=，即=，∴BG=8﹣t，∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．（4）①当点N在边长上，点M在OA上时，•t•t=，解得t=（负根已经舍弃）．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，由题意 [10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]• =，解得t=8，同法当M、N在线段AB上，相遇之后．由题意•[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]• =，解得t=，综上所述，若S=，此时t的值8s或s或s．【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25．（10分）已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2﹣8ax﹣交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．（1）求抛物线l1，l2的表达式；（2）当x的取值范围是2≤x≤4 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，求出抛物线l1的解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可；（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）由题意抛物线l1的对称轴x=﹣=4，∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6，∴A（1，0），B（7，0），把A（1，0）代入y=ax2﹣8ax﹣，解得a=﹣，∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+4x﹣，把C（5，n）代入y=﹣x2+4x﹣，解得n=4，∴C（5，4），∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，∴可以假设抛物线l2的解析式为y=x2+bx+c，把A（1，0），C（5，4）代入y=x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线l2的解析式为y=x2﹣2x+．（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，顶点E（2，﹣），顶点F（4，）所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，故答案为2≤x≤4．（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，∴M（m，﹣ m2+4m﹣），N（m， m2﹣2m+），①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，∴m=3时，MN的最大值为4．②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，5＜m≤7时，在对称轴右侧，MN随m的增大而增大，∴m=7时，MN的值最大，最大值是12，综上所述，MN的最大值为12．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．。

翔宇学校2020届九年级上学期初期初考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列方程中是一元二次方程是（）A．B．2x+6＝7 C．x2+y2＝5 D．3x2﹣5x+2＝0 2．如图，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．某学习小组的6名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、74分，则下列结论正确的是（）A．中位数是90分B．众数是94分C．平均分是91分D．方差是204．如果a、b同号，那么二次函数y＝ax2+bx+1的大致图象是（）A．B．C．D．5．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（）A．开口向上，顶点坐标（3，1）B．开口向下，顶点坐标（3，1）C．开口向上，顶点坐标（﹣3，1）D．开口向下，顶点坐标（﹣3，1）6．函数y＝3x+k﹣2的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（）A．k≤2 B．k≤﹣2 C．k＞2 D．k＜27．如图，△ODC是由△OAB统点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（）A．70°B．75°C．60°D．65°8．受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费（）A．52.5元B．45元C．42元D．37.8元9．在函数y＝（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y1B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．4 C．D．511．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB 的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）12．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（）A．7 B．3+C．8 D．3+二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．已知函数y＝﹣x2+2x+3，当时，函数y随x增大而减小．14．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有个白球．15．若x＝0是关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+m2﹣4＝0的一个根，则m的值为．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为．17．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有．18．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）AC的长度等于；（Ⅱ）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC＝PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共6小题，共66分）19．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）（2）（x+4）2＝5（x+4）20．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣3，1）、B（m，3）两点，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积．22．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？23．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）若该公司所建的两种户型住房可全部售出，利用函数的知识说明采取哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润．24．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y＝﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B 与2：y＝x相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线1于点E，交直线l2于点D，交x轴于点M，且ED＝2DM，求a的值；（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO＝135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列方程中是一元二次方程是（）A．B．2x+6＝7 C．x2+y2＝5 D．3x2﹣5x+2＝0 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、不是整式方程，故错误．B、是一元一次方程，故错误；C、方程含有两个未知数，故错误；D、符合一元二次方程的定义，正确；故选：D．2．如图，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．3．某学习小组的6名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、74分，则下列结论正确的是（）A．中位数是90分B．众数是94分C．平均分是91分D．方差是20【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及方差的计算公式对各选项进行判断．【解答】解：A、这组数据按从小到大排列为：74、80、90、94、94、98，所以这组数据的中位数为92（分），所以A选项错误；B、这组数据的众数为94（分），所以B选项正确；C、这组数据的平均分：（94+98+90+94+80+74）＝88.3（分），所以C选项错误；D、方差＝[（94﹣88）2+（98﹣88）2+（90﹣88）2+（94﹣88）2+（74﹣88）2+（80﹣88）2]≈73，所以D选项错误．故选：B．4．如果a、b同号，那么二次函数y＝ax2+bx+1的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点情况分析判断即可得解．【解答】解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴x＝﹣＜0，在y轴左边，与y 轴正半轴相交，a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，D选项符合．故选：D．5．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（）A．开口向上，顶点坐标（3，1）B．开口向下，顶点坐标（3，1）C．开口向上，顶点坐标（﹣3，1）D．开口向下，顶点坐标（﹣3，1）【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向及顶点坐标，可得出答案．【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，1），故选：A．6．函数y＝3x+k﹣2的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（）A．k≤2 B．k≤﹣2 C．k＞2 D．k＜2【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．【解答】解：一次函数y＝3x+k﹣2的图象不经过第二象限，则可能是经过一三象限或一三四象限，经过一三象限时，k﹣2＝0；经过一三四象限时，k﹣2＜0．故k≤2．故选：A．7．如图，△ODC是由△OAB统点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（）A．70°B．75°C．60°D．65°【分析】由旋转的性质知∠AOD＝30°、OA＝OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．【解答】解：由题意得∠AOD＝30°、OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝＝75°，故选：B．8．受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费（）A．52.5元B．45元C．42元D．37.8元【分析】由图象知用水量不超过15吨时水费为27÷15＝1.8元/吨，超过部分为（39.5﹣27）÷（20﹣15）＝2.5元/吨．搞清楚价格后再计算就好办了．【解答】解：设直线AB解析式为y＝kx+b，把（15，27）（20，39.5）代入得：，解之得：即y＝2.5x﹣10.5，当x＝21时，y＝42．故选：C．9．在函数y＝（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y1B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．【解答】解：∵反比例函数的比例系数为a2+1＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，∵﹣1＜﹣＜0，∴点（﹣1，y1），（﹣，y2）在第三象限，∴y2＜y1＜0，∵＞0，∴点（，y3）在第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故选：A．10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．4 C．D．5【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝5，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝24，∴AH＝故选：C．11．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB 的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD 值最小，如图所示．令y＝x+4中x＝0，则y＝4，∴点B的坐标为（0，4）；令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y＝kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．令y＝﹣x﹣2中y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD 值最小，如图所示．令y＝x+4中x＝0，则y＝4，∴点B的坐标为（0，4）；令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．又∵OP∥CD，∴点P为线段CD′的中点，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选：C．12．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（）A．7 B．3+C．8 D．3+【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故选：D．二．填空题（共6小题）13．已知函数y＝﹣x2+2x+3，当x＞1 时，函数y随x增大而减小．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该函数开口向下，当x＞1时，y随x的增大而减小，故答案为：x＞1．14．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有12 个白球．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【解答】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，∴白球所占的比例为＝，设盒子中共有白球x个，则＝，解得：x＝12．故答案为：12．15．若x＝0是关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+m2﹣4＝0的一个根，则m的值为﹣2 ．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．【解答】解：把x＝0代入方程（m+2）x2﹣3x+m2﹣4＝0得到m2﹣4＝0，解得：m＝±2，∵m﹣2≠0∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为7 ．【分析】过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA＝OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA ＝OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM＝OF，OM＝FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC＝MF，AM＝CF，等量代换可得出CF＝OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，又∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝5，∴OF＝CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC＝6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，解得：CF＝OF＝6，∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，则BC＝CF+BF＝6+1＝7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM＝ON，MA＝NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC＝6，∴CM＝ON＝6．∴MA＝CM﹣AC＝6﹣5＝1，∴BC＝CN+NB＝6+1＝7．故答案为：7．17．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有①②③④．【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝AB，从而得到AE＝AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH＝HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，然后根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC ﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵AD＝AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DOH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠DOH＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正确；∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°在△BEH和△HDF中∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD﹣DF，∴BC﹣CF＝（CD+HE）﹣（CD﹣HE）＝2HE，所以④正确；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④．故答案为：①②③④．18．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）AC的长度等于 5 ；（Ⅱ）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC＝PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理即可解决问题；（Ⅱ）取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO 的交点于点P，点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC＝，故答案为：5；（2）如图所示：点P即为所求：故答案为：取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．三．解答题（共6小题）19．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）（2）（x+4）2＝5（x+4）【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±；（2）∵（x+4）2＝5（x+4）∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，∴（x+4﹣5）（x+4）＝0，∴x＝1或x＝﹣4；20．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果；（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为＝．21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣3，1）、B（m，3）两点，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积．【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y＝（a ≠0），把A（﹣3，1）代入y＝即可求出反比例函数的解析式，把B（m，3）代入y＝﹣求出B的坐标，把A、B的坐标代入y＝kx+b求出k、b，即可求出一次函数的解析式；（2）根据A、B的坐标和图象得出即可；（3）求出一次函数和两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y＝（a≠0），把A（﹣3，1）代入y＝得：a＝﹣3，即反比例函数的解析式为y＝﹣，把B（m，3）代入y＝﹣得：3＝﹣，解得：m＝﹣1，即B的坐标为（﹣1，3），把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，解得：k＝1，b＝4，即一次函数的解析式为y＝x+4；（2）∵函数y＝﹣和y＝x+4的交点为A（﹣3，1）、B（﹣1，3），∴使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1或x＞0；（3）设一次函数y＝x+4和x轴的交点为N，和y轴的交点为M，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，即OM＝4，ON＝4，∵A（﹣3，1）、B（﹣1，3），∴△ABO的面积为S△MON﹣S△BOM﹣S△AON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝4．22．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝360°﹣60°﹣60°﹣60°＝180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．23．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）若该公司所建的两种户型住房可全部售出，利用函数的知识说明采取哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据表格中的数据和该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案；（2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到利润与建造A型住房的函数关系，然后根据一次函数的性质即可解答本题．【解答】解：（1）设建造A型的住房x套，则建造B型住房（80﹣x）套，，解得，48≤x≤50，∵x为整数，∴x＝48，49，50，∴共有三种建房方案，方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，方案二：建造A型的住房49套，建造B型住房31套，方案三：建造A型的住房50套，建造B型住房30套；（2）设利润为w元，w＝（30﹣25）x+（34﹣28）（80﹣x）＝﹣x+480，∵48≤x≤50，∴当x＝48时，w取得最大值，此时w＝﹣48+480＝432，80﹣x＝32，答：采用建房方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元．24．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y＝﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B 与2：y＝x相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线1于点E，交直线l2于点D，交x轴于点M，且ED＝2DM，求a的值；（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO＝135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出C的坐标；（2）将x＝1代入两直线方程求出对应y的值，确定出D与E的纵坐标，即OD与OE的长，由OE﹣OD求出DE的长，根据ED＝2DM，求出MN的长，将x＝a代入两直线方程，求出M与N对应的横坐标，相减的绝对值等于MN的长列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值；（3）AP⊥BP，理由为：过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，由∠BPO为135°，得到∠OPQ为45°，又∠POQ为直角，可得出三角形OPQ为等腰直角三角形，再利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP与三角形BOQ相似，由相似三角形的对应角相等得到∠APO＝∠BQO＝45°，由∠BPO﹣∠APO得到∠APB为直角，即AP⊥BP．【解答】解：（1）联立两直线解析式得：，解得：，则C坐标为（3，1）；（2）由题意：M（a，0）D（a，a）E（a，﹣a+4）∵DE＝2DM∴|a﹣（﹣a+4）|＝2|a|解得a＝2或6．（3）如图2中，过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，可得∠POQ＝90°，∵∠BPO＝135°，∴∠OPQ＝45°，∴∠Q＝∠OPQ＝45°，∴△POQ为等腰直角三角形，∴OP＝OQ，∵∠AOB＝∠POQ＝90°，∴∠AOB+∠BOP＝∠POQ+∠POB，即∠AOP＝∠BOQ，∵OA＝OB＝4，∴＝，∴△AOP∽△BOQ，∴∠APO＝∠BQO＝45°，∴∠APB＝∠BPO﹣∠APO＝90°，则AP⊥BP．。

2020年天津市南开区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．计算)3(9--的结果等于 A ．6B ．12C ．12-D ．3-2．3tan30°的值等于 A ．3B ．33C ．3D ．13．5月18日，我市新一批复课开学共涉及全市877所小学、489所中学，63万名中小学生. 将“63万”用科学记数法表示为A ．630×103B ．63×104C ．6.3×105D ．0.63×104. 下列常用手机APP 的图标中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．右图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知221+=m ，估计m 的值在A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间7. 化简yx yy x y xy x ---++22222的结果是（ ）A.y x x - B. y x y + C. 6-=x D. 21-=x 8. 二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-392y x y x 的解为A. ⎩⎨⎧-=-=12y x B.⎩⎨⎧==52y x C. ⎩⎨⎧-=-=52y x D. ⎩⎨⎧-==52y x D9. 已知点A )6(1-，x ，B )2(2-，x ，C )2(3，x 在反比例函数xa y 12+=图象上，则321x x x 、、的大小关系是A. 321x x x <<B. 312x x x <<C. 132x x x <<D.123x x x << 10. 如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是 A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°第10题 第11题为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（ ） A.（2，2） B. )2525(， C. )3838(， D. （3，3） 12. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论： ①abc ＜0； ②3a+c ＞0；③（a+c ）2-b 2＜0； ④a+b≤m （am+b ）（m 为实数）． 其中结论正确的个数为A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 把多项式x x 253-分解因式的结果是 .14. 计算2)63(+的结果等于 .15. 已知直线42+=x y 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，线段AB 的长为 .16. 在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A 、B 、C ，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线xy3=经过点A，将△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为.18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、B、D、E为格点，C为AD、BE的延长线的交点.（1）sin∠CAB的结果为；（2）若点R在线段AB上，点S在线段BC上，点T在线段AC上，且满足四边形ARST为菱形，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出菱形ARST，并简要说明点R、S、T的位置时如何找到的（不要求证明）.三、解答题（共7小题，满分66分）19．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-≤--②，①.31)1(213)1(xxx请结合意填空，完成本题的解答（Ⅰ）解不等式Ⅰ，得；（Ⅰ）解不等式Ⅰ，得；（Ⅰ）把不等式Ⅰ和Ⅰ的解集在数轴上表示出来（Ⅰ）原不等式组的解集为．BCD E20. 某校350名学生参加植树活动，要求每人植4~7棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A ：4棵；B ：5棵；C ：6棵；D ：7棵，将各类的人数绘制成了图1和图2两个统计表. 请根据相关信息回答下列问题：（1）此次共随机抽查了 名学生每人的植树量；图Ⅰ中m 的值为 . （2）求统计的这组数据的平均数、众数、中位数； （3）根据样本数据，估计这350名学生共植树多少棵？图Ⅰ 图Ⅰ21. 如图1，AB 是ⅠO 的直径，弦CD ⊥AB 于G ，过C 点的切线与射线DO 相交于点E ，直线DB 与CE 相交于点H ，OG=BG ，BH=1． （1）求ⅠO 的半径；（2）将射线DO 绕D 点逆时针旋转，得射线DM （如图2），DM 与AB 交于点M ，与ⅠO 及切线CF 分别相交于点N ，F ，当GM=GD 时，求切线CF 的长．C 24%A 20%D 16% B m%10 9 8 7 6 5 4 321A B C D 类型51064人数22. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°，点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB=5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60，sin31°=0.52，cos31°=0.86，tan31°=0.60．）23. 某市中心城区居民用水实行以户为单位的三级阶梯收费方法： 第I 级：居民每户每月用水不超过18吨时，每吨收水费3元；第II 级：居民每户每月用水超过18吨但不超过25吨，未超过18吨的部分按照第I 级标准收费，超过的部分每吨收水费4元；第II 级：居民每户每月用水超过25吨，未超过25吨的部分按照第I 、II 级标准收费，超过的部分每吨收水费6元；现把上述水费阶梯收费方法称为方案Ⅰ；假设还存在方案Ⅰ：居民每户月用水一律按照每吨4元的标准缴费. （1）根据题意填表：（2）设方案Ⅰ应缴水费为1y 元，方案Ⅰ应缴水费为2y 元，分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）当25 x 时，通过计算说明居民选择哪种付费方式更合算..24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点O （0，0），点A （3，0），点C （0，4）；D 为AB 边上的动点.（1）如图1，将ⅠABC 对折，使得点B 的对应点B 1落在对角线AC 上，折痕为CD ，求此刻点D 的坐标； （2）如图2，将ⅠABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕交AB 于点D ，交AC 于点E ，求直线CD 的解析式； （3）在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外），使得ⅠAPC 与ⅠABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.图Ⅰ 图Ⅰ 备用图25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为（-1，0），且OA=OC=4OB ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y ，图象经过A ，B ，C 三点． （1）求A ，C 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．AODCBB 1 AO DCBEAODCBE2020年天津市南开区中考数学二模试卷参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1. B2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. D9. B 10. C 11. C 12. C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13. x (x 5)(x 5) 14. 15 66 15. 25 16.3117.(2，23) 18.（1）54；（Ⅱ）如图，取格点 F ，G ， H ，连 接GH ，连接 AF 分别交GH ，BC 于点O ，S ； 取 AC 与网格线的交点为T ，连接TO 并延长交 AB 于点 R . 连接 RS ，ST 得到四边形 ARST 即 为所求.19．解：（1）x -≥2；（2） x ＜3；（3）（4）-2≤ x ＜3． 20． 解：（1）25，40； （2）观察条形统计图，∵ 36.546105476610554=+++⨯+⨯+⨯+⨯=x∴ 这组数据的平均数是 5.36 .∵在这组样本数据中，5 出现了 10 次，出现的次数最多， ∴ 这组样本数据的众数是 5 .将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是 5， ∴这组样本数据的中位数是5. （3） ∵样本数据的平均数是 5.36 ∴可以用样本平均数估计总体平均数为 5.36 ∴350×5.36 =1876 ．答：这 350 人约共植树 1876 棵．21．解：（1）连接 OC ∵CE 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CE ∴∠OCH ＝90°， ∵ CD ⊥AB ，OG ＝BG ∴OC ＝CB ， 又∵OB ＝OC ∴ OB ＝OC ＝CB ∴△BOC 为等边三角形 ∴∠4＝∠OCB ＝60°∴∠BCH ＝∠OCH －∠OCB ＝90°－60°＝30° ∵OC ＝BC ，CD ⊥OB ∴∠1＝∠3＝21∠OCB=30° 由同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可知：∠2＝21∠4=30° ∴ ∠2＝∠3 ∴DH ∥OC ∴∠H ＝90°在 Rt △BCH 中，∠H ＝90°， ∠BCH ＝30°，BH =1 ∴BC ＝2BH ＝2 ∴OB ＝BC ＝2 即 ⊙O 的半径为 2.（2）如图 2，过点 F 作 FQ ⊥DC ．交 DC 延长线于点 Q ， ∴∠CFQ +∠FCQ ＝90°， ∵OC ⊥FC ，∴∠OCG +∠FCQ ＝90°， ∴∠CFQ ＝∠OCG ＝30°，设 CQ ＝x ，则 CF ＝2x ，QF ＝3x ， ∵GM ＝GD ，MG ⊥CD ， ∴∠MDG ＝45°， ∵FQ ⊥QD ，∴∠DFQ ＝90°－∠MDG ＝45°＝∠MDG ，∴QF ＝QD ＝QC +CD ，∵AB ⊥CD ，OC ＝2，OG ＝GB ＝1， 又∵CD ＝2CG ＝2×321222=- ∴3x ＝x ＋23 解得 x ＝3＋3∴CF ＝2CQ ＝6+2322. 解：由题意，得 ∠BPM ＝90°，∠NAP ＝45°，∠MAP ＝58°，∠B ＝31°，AB ＝5． 在 Rt △APN 中，∠APN ＝90°，∠NAP=45°， ∴△APN 为等腰直角三角形 ∴AP ＝NP ． 设 AP ＝NP ＝x在 Rt △APM 中，tan ∠MAP=APMPⅠⅠMAP=58°∴ MP=AP ⋅tan ∠MAP=AP ⋅tan 58°，在 Rt △BPM 中，tan ∠MBP =BPMP，∵∠MBP=31°，AB=5 又∵BP ＝AB ＋AP∴ tan ∠MBP =AP AB AP +︒⋅58tan∴AP AB AP +︒⋅=︒58tan 31tan∴xx+=56.16.0 ∴x=3经检验，x=3是原方程的解 ∴AP ＝NP ＝3∴MN ＝MP －NP=AP ⋅tan 58－NP=1.6x －x=0.6x=1.8（米） 答：广告牌的宽MN 的长为1.8米． 23. （1）（2）方案①：当 0≤x ≤18 时， y 1= 3x ；当18＜x ≤25 时，184)18(41831-=-+⨯=x x y ； 当 x ＞25 时，686)25(6)1825(41831-=-+-+⨯=x x y 方案②： y 2=4x （x ≥0）.（3）设方案①与方案②的总费用的差为 y 元． 则 y =（6x －68）－4x ，即 y=2x －68． 当 y = 0 时，即 2x － 68=0，得 x=34 ． ∴ 当 x=34 时，居民选择这两种方案一样合算． ∵ 2＞0 ，∴ y 随 x 的增大而增大．∴ 当 25 < x < 34 时，有 y < 0，居民选择方案①更合算； 当 x > 34 时，有 y > 0 ，居民选择方案②更合算24. 解：（1）∵在矩形 OABC 中，点 A （3，0），点C （0，4）； ∴ BC = OA = 3 ， OC = AB = 4 ； 在 Rt △AOC 中， AC=522=+OC OA 由翻折可知：△CBD ≌△CB 1D∴ B 1C =BC =3， BD=B 1D ，∠CB 1D =∠B = 90° 设 AD ＝t ，则 BD=B 1 D =AB －AD= 4－t在 Rt △AB 1D 中，AB 1= AC －B 1C =5－3=2，∠AB 1D =90° 由勾股定理得： AB 12+B 1D 2 =AD 2 ，即 22 + (4－t ) 2=t 2 ； 解得： 25=t∵点 D 在 AB 边上 ∴D 点坐标为（3，25） （3）设 D 点坐标为（3， m ） 则 AD = m ， BD = 4－m由翻折可知：CD ＝AD ＝t ，CE ＝AE ＝25 在 Rt △CBD 中，由勾股定理得：BC 2 + BD 2= CD 2 ，即32 + (4－m ) 2=m 2；解得：m=825∴D （3，825）11 设直线 CD 的解析式为 y = kx + b 则⎪⎩⎪⎨⎧+==b k b 38254，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=4247b k ∴直线 CD 的解析式为4247+-=x y . （3）符合条件的点 P 的坐标为（0，0），（25722596，）或（25282521，-） 25. 解：（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，故点 A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：)43()4)(1(2--=-+=x x a x x a y ， 即－4a =－4，解得： a =1，故抛物线的表达式为：432--=x x y ；（3）直线 CA 过点 C ，设其函数表达式为： y =kx －4 ， 将点 A 坐标代入上式并解得：k ＝1，故直线 CA 的表达式为：y ＝x ﹣4，过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H ，∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°，设点 P （x ，x 2﹣3x ﹣4），则点 H （x ，x ﹣4），PD ＝HP sin ∠PFD ＝ 22（x ﹣4﹣x 2+3x +4）＝﹣22x 2 +22x ， ∵﹣22＜0，∴PD 有最大值，当 x ＝2 时，其最大值为 22， 此时点 P （2，﹣6）。

2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法中正确的是（）A．该函数图象的开口向下B．该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣7）C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点两侧3．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1 B．：1 C．3：D．3：24．如果要得到y＝x2﹣6x+7的图象，需将y＝x2的图象（）A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位5．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O．若S△DOE：S△COA＝4：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：56．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC，则BC1的长为（）A．B．C．4 D．67．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（）A．64°B．120°C．122°D．128°10．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）A．2 B．4 C．6D．411．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（）A．9 B．8 C．15 D．14.512．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．14．圆锥的底面半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的高是．15．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，此二次函数的解析式为．16．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和上，且点A是线段OB的中点，则的长为．17．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝6，对角线AC、BD交于E点，且AB＝BD，EC＝1，则AD的长是．18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，P，Q，B，C均为格点，线段PQ、BC相交于点A．（Ⅰ）PA：AQ＝；（Ⅱ）尺规作图：设∠QAB＝α，将线段AB绕点A逆时针旋转α+90°的角，点B的对应点为B′，请你画出点B′．三．解答题（共7小题）19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点（3，﹣5）．（1）求二次函数的表达式；（2）如果点（﹣1，m），（n，7）也在这个函数的图象上，求m与n的值．20．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．22．已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点F，且E为弧DF的中点．（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若BC＝8，BE＝6，求半径的长．23．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．24．如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A 按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．（1）线段AB与AC的位置关系是；数量关系是．（2）当t＝2时，求CF的长；（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．25．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项符合题意．故选：D．2．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法中正确的是（）A．该函数图象的开口向下B．该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣7）C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点两侧【分析】根据二次函数的性质解题．【解答】解：A、由于y＝x2﹣4x﹣3中的a＝1＞0，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．B、由y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7知，该函数图象的顶点坐标是（2，﹣7），故本选项不符合题意．C、由y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7知，该抛物线的对称轴是x＝2且抛物线开口方向向上，所以当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．D、由y＝x2﹣4x﹣3知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，则该抛物线与x轴有两个不同的交点；设a、b是该抛物线与x轴交点横坐标，则ab＝﹣3＜0，所以两个不同的交点分布在坐标原点两侧，故本选项符合题意．故选：D．3．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1 B．：1 C．3：D．3：2【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．4．如果要得到y＝x2﹣6x+7的图象，需将y＝x2的图象（）A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．【解答】解：函数y＝x2图象向右平移3个单位，得抛物线y＝（x﹣3）2，再向下平移移2个单位可得到抛物线y＝（x﹣3）2﹣2＝x2﹣6x+7故选：B．5．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O．若S△DOE：S△COA＝4：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DEO∽△CAO，∵S△DOE：S△COA＝4：25，∴（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE与S△CDE的比＝2：3，故选：C．6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC，则BC1的长为（）A．B．C．4 D．6【分析】根据旋转的性质得出AC＝AC1，∠BAC1＝90°，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．故选：B．7．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PM，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．8．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（）A．64°B．120°C．122°D．128°【分析】根据圆周角定理可求∠CAD＝32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故选：C．10．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4【分析】连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，证出△COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝＝．∵∠OCN＝30°，∴ON＝OC＝，CN＝2，∴CE＝2CN＝4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，故选：D．11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（）A．9 B．8 C．15 D．14.5【分析】由勾股定理可求AM的长，通过证明△ABM∽△EMA，可求AE＝10，可得DE＝6，由平行线分线段成比例可求DF的长，即可求解．【解答】解：∵AB＝4，BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，∴∠EAM＝∠AMB，且∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴，∴∴AE＝10，∴DE＝AE﹣AD＝6，∵AD∥BC，∴，∴＝3，∵DF+CF＝4，∴DF＝3，∴S△DEF＝DE×DF＝9，故选：A．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的图象与系数的关系，利用开口方向得出a的符号，结合图象与x 轴交点位置得出c的符号，再结合对称轴位置得出b的符号，结合图象与x轴交点位置分别判断①，②，③，再结合已知AO＝OC，即可得出BO＝4+c，进而判断④，即可求出答案．【解答】解：由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；令x＝3，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误；∵OA＝OC＜1，∴c＞﹣1，故③正确；观察图象可知关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，由OC＝OA，则OB＝4+c，即关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，故④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（，）．【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD＝2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA＝1，∴OD＝，∵四边形ODEF是正方形，∴DE＝OD＝．∴E点的坐标为：（，）．故答案是：（，）．14．圆锥的底面半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的高是．【分析】设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到R，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，根据题意得2π•1＝，解得R＝4，∵θ＝90°，∴r＝1，∴R＝4，∴h＝．故答案为：15．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，此二次函数的解析式为y＝﹣（x+7）（x﹣1）．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣3，4）代入函数解析式y＝a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（﹣7，0）、（1，0）．故设该抛物线解析式为y＝a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．把顶点（﹣3，4）代入得到：4＝a（﹣3+7）（﹣3﹣1），解得a＝﹣．则该二次函数解析式为：y＝﹣（x+7）（x﹣1）．故答案是：y＝﹣（x+7）（x﹣1）．16．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和上，且点A是线段OB的中点，则的长为π．【分析】连接OC，求出OB长，根据勾股定理求出OC，求出∠DOA，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OC．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO，∵A为OB的中点，∴OB＝2AB＝4，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝2，∵A为OB的中点，AB＝AD＝2，∴OA＝AD＝2，∵∠DAO＝90°，∴∠DOA＝∠ADO＝45°，∴的长为＝π，故选：D．17．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝6，对角线AC、BD交于E点，且AB＝BD，EC＝1，则AD的长是．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形的相似可以求得CD的长，然后根据勾股定理可以求得AD的长．【解答】解：连接BO交AD于点F，连接OD，∵BA＝BD，OA＝OD，∴BF是线段AD的垂直平分线，∴BF⊥AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即AD⊥DC，∴BF∥CD，∴△BOE∽△DCE，∴，∵AC＝6，EC＝1，∴OB＝3，OC＝3，∴OE＝2，∴，解得，CD＝，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝6，CD＝，∴AD＝，故答案为：．18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，P，Q，B，C均为格点，线段PQ、BC相交于点A．（Ⅰ）PA：AQ＝5：4 ；（Ⅱ）尺规作图：设∠QAB＝α，将线段AB绕点A逆时针旋转α+90°的角，点B的对应点为B′，请你画出点B′．【分析】（Ⅰ）取格点K．连接PK．由CQ∥PK，可得PA：AQ＝PK：CQ＝2.5：2＝5：4；（Ⅱ）如图2中，取格点T、L、H、R，连接TL，HR交于点S，连接AS，在AS上截取AB′＝AB即可．线段AB′即为所求；【解答】解：（Ⅰ）取格点K．连接PK．∵CQ∥PK，∴PA：AQ＝PK：CQ＝2.5：2＝5：4，故答案为5：4．（Ⅱ）如图2中，取格点T、L、H、R，连接TL，HR交于点S，连接AS，在AS上截取AB′＝AB即可．线段AB′即为所求；三．解答题（共7小题）19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点（3，﹣5）．（1）求二次函数的表达式；（2）如果点（﹣1，m），（n，7）也在这个函数的图象上，求m与n的值．【分析】（1）根据题意解方程即可得到结论；（2）把x＝﹣1或y＝7分别代入函数解析式，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点（3，﹣5），∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣9，∴﹣5＝a（3﹣1）2﹣9，解得：a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣9；（2）当x＝﹣1时，m＝（﹣1﹣1）2﹣9＝﹣5，当y＝7时，（n﹣1）2﹣9＝7，解得：n＝5或﹣3．20．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．【分析】（1）根据∠D＝60°，可得出∠B＝60°，继而求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．【解答】解：（1）∵∠D＝60°，∴∠B＝60°（圆周角定理），又∵AB＝6，∴BC＝3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥AC，∴OE∥BC，又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝；（2）连接OC，则易得△COE≌△AFE，故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，S扇形FOC＝＝π．即可得阴影部分的面积为π．22．已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点F，且E为弧DF的中点．（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若BC＝8，BE＝6，求半径的长．【分析】（1）要证AC是⊙O的切线，只要连接OE，再证DE⊥AC即可；（2）根据相似三角形的性质即可求出结论．【解答】（1）证明：连接OE．∵E为的中点，∴＝，∴∠OBE＝∠CBE，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∵BC⊥AC，∴∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°，即OE⊥AC，又∵OE为半圆O的半径，∴AC是半圆O的切线；（2）∵E为的中点，∴＝，∴∠OBE＝∠CBE，∵∠BED＝∠C＝90°，∴△BDE∽△BEC，∴＝，∴＝，∴BD＝9，∴半径的长为．23．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意得到w＝（x﹣6）（﹣1x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280，故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280；（2）根据题意得，（x﹣6）（﹣10x+280）＝720，解得：x1＝10，x2＝24（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；（3）根据题意得，w＝（x﹣6）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，∵﹣10＜0，∴当x＜17时，w随x的增大而增大，当x＝12时，w最大＝960，答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．24．如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A 按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．（1）线段AB与AC的位置关系是AB⊥AC；数量关系是AB＝2AC．（2）当t＝2时，求CF的长；（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．【分析】（1）根据“线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C”推知AB与AC 的关系；（2）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF＝OA＝t，由此求出CF的值；（3）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；（4）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示；t＝8时，如答图2所示；．【解答】解：（1）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，∴AB＝2AC，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．故答案是：AB＝2AC，AB⊥AC；（2）∵∠BAO+∠CAF＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠CAF，∵∠AOB＝∠AFC＝90°，∴Rt△ACF∽Rt△BAO，∴＝．∵AB＝2AC，∴CF＝OA＝t．当t＝2时，CF＝1；（3）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，∴＝，∴AF＝OB＝2，∴FD＝AF＝2，．∵点C落在线段BD上，∴△DCF∽△DBO，∴＝，即＝，整理得t2+4t﹣16＝0解得t＝2﹣2或t＝﹣2﹣2（不合题意，舍去）∴当t＝2﹣2时，点C落在线段BD上．此时，CF＝t＝﹣1，OF＝t+2＝2，∴点C的坐标为（2，﹣1+）；（4）①当0＜t≤8时，如题图1所示：S＝BE•CE＝（t+2）•（4﹣t）＝﹣t2+t+4；②当t＞8时，如答图1所示：CE＝CF﹣EF＝t﹣4S＝BE•CE＝（t+2）•（t﹣4）＝t2﹣t﹣4；③如答图2，当点C与点E重合时，CF＝OB＝4，可得t＝OA＝8，此时S＝0．25．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）当△AOC∽△AEB时，＝（）2＝（）2＝，求出y E＝﹣，由△AOC ∽△AEB得：＝＝，即可求解；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，即可求解．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∴AO＝1，BO＝3，∴∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：＝＝，∴＝；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；。

天津市南开区翔宇中学 2020-2021学年九年级上学期期末模拟数学试题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线2．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B ．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C ．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D ．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯3．对于二次函数2()y a x k k =++（0a ≠）而言，无论k 取何实数，其图象的顶点都在（ ） A ．x 轴上B ．直线y x =上C ．y 轴上D ．直线y x =-上4．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；①相等的圆心角所对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，①三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知二次函数y=﹣x 2+2x+3的图象过点M （﹣2，y 1），N （﹣3，y 2），K （6，y 3），则y 1，y 2，y 3的关系从小到大的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 26．二次函数y ＝﹣（x －2）2＋1的图象中，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣27．把二次函数2114y x x =+-化为2()y a x m n =++的形式是A ．21(1)24y x =++ B ．21(2)24y x =+-C ．21(2)24y x =-+D ．21(2)24y x =--8．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，将ABC 绕点C 逆时针旋转θ角到DEC 的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为（ ）．A ．60︒B ．45︒C ．30D ．55︒9．如图，函数ky x=与2(0)y kx k =-+≠在同一平面直角坐标系中的图像大致( ) A ． B ．C ．D ．10．如图，四边形ABCD 中，①DAB ＝30°，连接AC ，将ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 与对应点D 重合，得到EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则AC 的长度为（ ）A．5 B ．6 C D 11．如图，①O P 是直线6y x =-+上的一点，过点P 作①O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为A ．3B ．4C ．6D ．112．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线x=2，下列结论：①40a b +=；①93a c b +>-；①7320a b c -+>；①若点1(3,)A y -，点21,2()B y -，点3(7,)C y 在该函数图象上，则123y y y <<；①若方程()230ax bx c a ++=-≠的两根分别为1x 和2x ，且12x x <，则1215x x <-<<．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．若函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过P （1，0），Q （5，﹣4）当1≤x ≤5时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的范围_____．14．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______． 15．如图，AB ，AC 分别为①O 的内接正六边形，内接正方形的一边，BC 是圆内接n 边形的一边，则n 等于_____．16．如图，在①ABC 中，AB=8㎝，BC=4㎝，①ABC=30°，把①ABC 以点B 为中心按逆时针方向旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的C′处，那么图中阴影部分的面积是__________2cm ．（结果保留π）17．直角梯形ABCD 中，//,90,BC AD BAD AC BD ∠=︒⊥，已知BC k AD=，则ACBD =_________18．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．三、解答题19．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n 个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为57．求n 的值．20．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线 ky x= 与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB①x 轴于B 且S △ABO =32． （1）求这两个函数的解析式．（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积．21．如图，已知：ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC ==，16BC =，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，12BP =，APD B ∠=∠，求AD 的长．22．在①ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的①O 分别交边BC 、AC 于点D 、点E ，且AE =BE ．（1）如图①，求①EBC 的度数；（2）如图①，过点D 作①O 的切线交AB 的延长线于点G ，交AC 于点F ，若①O 的直径为10，求BG 的长．23．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为16米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？花圃的面积是多少？24．平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A ，C 在坐标轴上，点B （6，6），P 是射线OB 上一点，将AOP 绕点A 顺时针旋转90°，得ABQ △，Q 是点P 旋转后的对应点.（1）如图（1）当OP = Q 的坐标；（2）如图（2），设点P （x ，y ）（06x <<），APQ 的面积为S. 求S 与x 的函数关系式，并写出当S 取最小值时，点P 的坐标；（3）当BP+BQ = 时，求点Q 的坐标（直接写出结果即可）25．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,4)，抛物线252y x x a =-+-的顶点为C ．（1）若抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围； （3）若满足不等式2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值．参考答案：1．C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．A【解析】【分析】根据概率事件的定义理解逐一判断即可．【详解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为12，是随机事件，故此选项错误D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为13，是随机事件，故此选项错误故答案选A【点睛】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键．3．D【解析】【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标，然后求解即可．【详解】顶点坐标为（-k，k），可知，顶点的横坐标与纵坐标互为相反数，=-上．所以，图象的顶点都在直线y x故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，判断出顶点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心性质即可．【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故①错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故①错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故①正确；综上，错误结论的序号为：①①①，共有3个，故选：C．【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心是解题的关键．5．B【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：①y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，①图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，①K（6，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣4，y3），且﹣4＜﹣3＜﹣2，①y3＜y2＜y1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基本题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．B【解析】【分析】根据二次函数的性质，即可得到y随x的增大而减小时x的取值范围．【详解】解：二次函数y＝﹣（x－2）2＋1，对称轴为直线x=2，开口向下，①当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，①若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x＞2，故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．B【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】原式＝14（x 2＋4x−4）＝14（x 2＋4x ＋4−8） ＝14（x ＋2）2−2 故选：B ． 【点睛】此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解． 8．A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EB=CB ，然后根据旋转的性质可得EC CB =，ECB θ∠=，即可证出EBC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出结论． 【详解】解：①点B 恰好落在边DE 中点上，90ECD ACB ︒∠=∠=， ①EB=CB ，由旋转的性质可得EC CB =，ECB θ∠= ①EB CB EC == ①EBC 是等边三角形， ①60ECB θ︒∠==． 故选A ． 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质和等边三角形的判定及性质是解决此题的关键． 9．B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的图像，判断k 的符号，然后再判断一次函数的图像．A中，反比例函数经过一、三象限，故k＞0，则一次函数应经过一、二、四象限，错误；B中，反比例函数经过一、三象限，故k＞0，则一次函数应经过一、二、四象限，正确；C中，反比例函数经过二、四象限，故k＜0，则一次函数应经过一、二、三象限，错误；D中，反比例函数经过二、四象限，故k＜0，则一次函数应经过一、二、三象限，错误；故选：B．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图像的性质，解题关键是通过函数的系数符号，判断函数图象经过的象限.10．D【解析】【分析】根据旋转的性质可得BA＝BE，①ABE＝60°，AC＝DE，进而可得①ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和已知条件可得①EAD＝90°，根据勾股定理可求出DE的长，即为AC的长【详解】解：①①EBD是由①ABC旋转得到，①BA＝BE，①ABE＝60°，AC＝DE，①①ABE是等边三角形，①①EAB＝60°，①①BAD＝30°，①①EAD＝90°，①AE＝AB＝5，AD＝4，①DE故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．11．B【详解】试题解析：①P 在直线y=-x+6上，①设P 坐标为（m ，6-m ），连接OQ ，OP ，由PQ 为圆O 的切线，得到PQ①OQ ，在Rt △OPQ 中，根据勾股定理得：OP 2=PQ 2+OQ 2，①PQ 2=m 2+（6-m ）2-2=2m 2-12m+34=2（m-3）2+16，则当m=3时，切线长PQ 的最小值为4．故选B ．点睛：由P 在直线y=-x+6上，设P （m ，6-m ），连接OQ ，OP ，由PQ 为圆O 的切线，得到PQ①OQ ，在直角三角形OPQ 中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ 的最小值．12．B【解析】【分析】①观察图象，对称轴在x=2，根据二次函数图像与系数的关系解题；①代入特殊值x=3，根据二次函数图象的性质解题；①二次函数与坐标轴的交点即图象特征解题；①根据抛物线的对称性解题；①由抛物线的对称性，解得抛物线与x 轴的另一个交点，由交点式方程结合图象解题．【详解】22b x a=-= 40a b ∴+=，故①正确；由函数图象可知：当3x =时，0y >即930a b c ++>93a c b ∴+>-，故①正确；抛物线与x 轴的一个交点为(10)-， 0a b c ∴-+=又4b a =-40a a c ∴++=即5c a =-，抛物线开口向下0a ∴<7320a b c ∴-+<故①错误； 抛物线的对称轴为22b x a=-=，点C 3(7)y ，在抛物线上， ∴与点C 关于对称轴对称的点的坐标为3(3)y -，，点在该抛物线的图象上，13y y ∴= 1322-<-< 132y y y ∴=<，故①错误；抛物线与x 轴的一个交点为(10)-，，对称轴为2x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(5)0，∴()21(5)y ax bx c a x x =++=+-过(0，-3)点作x 轴的平行线，直线3y =-与抛物线的交点的横坐标即为方程的()1(5)3a x x +-=-两个根，由函数的图象可知，1215x x <-<<，故①正确，【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与坐标轴的交点、抛物线的对称性等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．1144a -≤≤． 【解析】【分析】由于不知道a 的范围，要讨论a 的正负零三种情况，当a ＝0时，是一次函数，当a ≠0时是二次函数，当a 当a ＞0时，P ， Q 两点在对称轴的左边，当a ＜0时，P ， Q 两点在对称轴的右边，把P ，Q 代入函数表达式从而可以得到a,b 的关系式，从而可以得到两个不等式，求出a 的范围．【详解】当a ＝0时，b ＜0时，y 随x 的增大而减小，把P （1，0），Q （5，﹣4）代入解析式得，02554a b c a b c ++=⎧⎨++=-⎩， 两式相减得，b ＝﹣1﹣6a ，抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a ＝12a +3， 当a ＞0时，12a +3≥5，y 随x 的增大而减小，即0＜a ≤14， 当a ＜0时，12a +3≤1，y 随x 的增大而减小，即﹣14≤a ＜0， 故答案为：﹣1144a ． 【点睛】本题主要考察了一次函数，二次函数图像的性质，准确讨论出a 的三种情况和a 与b 的关系式是解题关键．14．25【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：画树状图如图所示：①共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于6的有8种结果，①两次摸出的小球的标号之和大于6的概率为：82 205；故答案为：25．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．12【解析】【详解】连接AO，BO，CO,如图所示：①AB、AC分别为①O的内接正六边形、内接正方形的一边，①①AOB=36060o=60°，①AOC=3604o=90°，①①BOC=30°，①n=36030oo=12，故答案为12.16．20π．【解析】【分析】根据旋转的性质，和全等三角形的性质可知，AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积=扇形BAA′与扇形BCC′的面积差．解：150360π×（64-16）=20πcm 2． 故答案为：20π．17【解析】【分析】先画出图形，设(0)AD a a =>，从而可得BC ka =，再根据平行线的性质可得90CBA ∠=︒，然后根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得ACB DBA ∠=∠，最后根据相似三角形的判定与性质可得AC AB BC BD AD AB==，由此即可得出答案． 【详解】如图，设(0)AD a a =>，则BC ka =，//,90BC AD BAD ∠=︒， 18090CBA BAD ∴∠=︒-∠=︒，90DBA DBC CBA ∠∴∠==+∠︒，AC BD ，90ACB DBC ∠∴=+∠︒，ACB DBA ∠=∠∴，在ABC 和DAB 中，90CBA BAD ACB DBA∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ABC DAB ∴~，AC AB BC BD AD AB∴==， 22AB AD BC ka ∴=⋅=，解得AB =或AB =（不符题意，舍去），AC ABBD AD ∴=，【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．18．3【解析】【分析】证明DEF BCF ，可得31BF CB DF ED ==，结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】在平行四边形ABCD 中，AD BC =，//AD BC ， ①21AE ED =，AE ED AD +=，①13ED AD = ①//AD BC ，13DF ED ED BF BC AD ∴===． ①3BCF DGF SBF S DF==． 故答案为：3．【点睛】 本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．19．（1）概率为13；（2）概率为49；（3）n=4． 【解析】【分析】（1）直接利用列举法就可以得到答案；（2）利用画树状图的方法可以得到两次摸出的球恰好颜色不同的概率；（3）利用概率计算公式列出等式，求解即可．【详解】（1）①一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，①摸出1个球是白球的概率为13； （2）画树状图得：①一共有9种可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，①两次摸出的球恰好颜色不同的概率为49； （3）由题意得：1537n n +=+， 解得：n=4． 经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，①n=4．20．（1）y=﹣3x；y=﹣x+2（2）4. 【解析】【详解】试题分析：（1）根据 S △ABO =32，即1322x y ⋅=，所以3x y ⋅= ，又因为图象在二四象限，所以xy=﹣3即 k =-3，从而求出反比例函数解析式将 k =-3代入 ()1y x k =--+，求出一次函数解析式；（2）将两个函数关系式 y=﹣3x和y =﹣x +2联立，解这个方程组，可求出两个交点A ，C 的坐标；（3）将x=0代入 y =﹣x +2中，求出D 点坐标，根据①AOC 的面积=①ADO 的面积+①CDO 的面积求解即可.解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），且x ＜0，y ＞0则S △ABO =•|OB|•|AB|=•（﹣x ）•y=32①xy=﹣3又①y= ①k=﹣3 ①所求的两个函数的解析式分别为y=﹣3x，y=﹣x +2（2）A 、C 两点坐标满足32y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 121213,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ①交点A 为（﹣1，3），C 为（3，﹣1）（3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．①直线y=﹣x+2与y 轴的交点D 的坐标为（0，2）点睛：本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积.将已知点的坐标代入解析式，求出未知系数，从而求出函数解析式；将两个函数关系式联立，解所得到的方程组，可求出函数的交点坐标；求不规则图形的面积，一般采用割或补的方式求解.21．5.2【解析】【详解】分析：由AB=AC ，可得①B=①C ，又由①APD=①B ．利用三角形外角的性质，可得①BAP=①APD ，继而可证得①ABP①①PCD ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD 的长．本题解析：①AB AC =，①B C ∠=∠，①APC APD DPC B BAP ∠=∠+∠=∠+∠且APD B ∠=∠，①BAP DPC ∠=∠，①ABP PCD ∽， ①AB BP PC CD=， ①16BC =，12BP =，10AB =，①4PC =，① 4.8CD =，① 5.2AD =．点睛：本题考查了相似三形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合的应用．22．（1）22.5°；（2）5．【解析】【分析】（1）由AB 为①O 的直径，得到①AEB=90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）连接OD ，AD ，由FG 是①O 的切线，得到①ODG=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD①AC ，于是得到①GOD=①BAC=45°，于是得到结论．【详解】解：（1）①AB 为①O 的直径，①①AEB=90°，①AE=BE ， ①①A=①ABE=180902︒-︒=45°， ①AB=AC ，①①ABC ＝①ACB ＝180452︒-︒=67.5°， ①①EBC=①ABC-①ABE=22.5°；（2）连接OD ，AD ，①FG是①O的切线，①GF①OD，①①ODG=90°，①AB为①O的直径，①①ADB=90°，①AD①BC，①AB=AC，①BD=DC，①OA=OB，①OD是①ABC的中位线，①OD①AC，①①GOD=①BAC=45°，①cos①GOD=ODOG①①O的直径为10，①OB=OD=5，．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）S=-2x2+16x(0<x<163)，（2）AB=4米，花圃的面积最大．【解析】【分析】（1）因为AB=x米，所以BC为（16-2x）米，由长方形的面积列式即可；（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a （x-h ）2+k ，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=h 时，取得最大值．【详解】（1）①四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米，①CD=AB=x （米），①矩形除AD 边外的三边总长为16米，①BC=16-2x （米），①S=x （16-2x ）=-2x 2+16x ．由0＜x ＜16-2x 可得0＜x ＜163． 自变量x 的取值范围是0＜x ＜163． （2）①S=-2x 2+16x=-2（x-4）2+32，且x=4在0＜x ＜163的范围内， ①当x=4时，S 取最大值．即AB 边的长为4米时，花圃的面积最大．【点睛】本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a ＞0时函数有最小值；当a ＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．24．（1）(8,4)Q ；（2）2618S x x =-+，(3,3)P ；（3）(13,1)Q -．【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质、解直角三角形可得2OG PG ==，4AG =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得2,4AH PG QH AG ====，从而可得8OH =，由此即可得出答案；（2）先根据正方形的性质得出OG PG x ==，x y =，再根据旋转的性质、勾股定理可得2221236AP x x =-+，,90AP AQ PAQ =∠=︒，然后根据直角三角形的面积公式可得S 与x 的函数关系式，最后利用二次函数的解析式即可得点P 的坐标；（3）先根据旋转的性质、正方形的性质得出BP OP +=OB =P 在OB 的延长线上，再根据线段的和差可得OP BP ==1）的方法可得7OG PG ===，APG QAH ≅，最后根据三角形全等的性质、线段的和差可得1,13QH OH ==，由此即可得出答案．【详解】（1）如图1，过P 点作PG x ⊥轴于点G ，过Q 点作QH x ⊥轴于点H①四边形OABC 是正方形①45AOB ∠=︒① (6,6)B①6OA =在Rt OPG中，sin 452PG OP =⋅︒=，2OG PG == ①4AG OA OG =-=①AOP 绕点A 顺时针旋转90︒得到ABQ △①,AQ AP BQ OP ==，PAG BAQ ∠=∠90APG PAG QAH BAQ ∠+∠=∠+∠=︒APG QAH ∴∠=∠ 在APG 和QAH 中，90AGP QHA APG QAHAP QA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()APG QAH AAS ≅①2,4AH PG QH AG ====①628OH OA AH =+=+=则点Q 的坐标为(8,4)Q ；（2）如图2，过P 点作PG x ⊥轴于点G①AOP 绕点A 顺时针旋转90︒得到ABQ △①,90AP AQ PAQ =∠=︒①(,),45P x y POG ∠=︒①OG PG x ==，x y =① 6AG OA OG x =-=-在Rt APG △中，由勾股定理得：22222(6)AP AG PG x x =+=-+整理得：2221236AP x x =-+①226181122AP AQ A x P S x =⋅==-+ 整理得：2(3)9S x =-+06x <<∴由二次函数的性质可知，当03x <≤时，S 随x 的增大而减小；当36x <<时，S 随x 的增大而增大则当3x =时，S 取得最小值，最小值为9此时3==y x故点P 的坐标为(3,3)P ；（3）①AOP 绕点A 顺时针旋转90︒得到ABQ △①OP BQ =①BP BQ +=①BP OP +=①四边形OABC 是正方形，且边长6OA AB ==∴对角线OB ==①点P 在OB 的延长线上①2BP OP OP OB OP OP +=-+=-=解得OP =BP OP OB ∴=-如图3，过P 点作PG x ⊥轴于点G ，过Q 点作QH x ⊥轴于点H同（1）可得：7OG PG ==，APG QAH ≅ 761QH AG OG OA ∴==-=-=，7AH PG ==6713OH OA AH ∴=+=+=则点Q 的坐标为(13,1)Q -．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形全等的判定定理与性质、二次函数的性质等知识点，较难的是题（3），正确得出点P 的位置是解题关键．25．（1）533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）a 的取值范围是06a <或a=494；（3）8a =． 【解析】【分析】（1）将B 点坐标代入抛物线即可求出a 的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A 点和B 点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB 有交点时a 的范围；（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，252=0x x a -+-，代入即可求出a 的值．【详解】解：（1）依据题意，将得点B 的坐标(6,4)代入抛物线得：436302a =-+-，解得0a =．此时，252y x x =--．所以顶点C 的坐标为533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）当抛物线过(0,4)A 时，6a =，此时，254y x x =-+．当抛物线过(6,4)B 时，0a =，此时，252y x x =--．当抛物线顶点在线段AB 上时，a=494 .结合下面图象可知，a 的取值范围是06a <或a=494．（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，不等式有最大值且最大值为0，则 252=0x x a -+-，代入得23532=0a -⨯+-，解得8a =．则实数a 的值为8．【点睛】本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．。

2020-2021学年天津市南开翔宇学校九年级（上）期初数学试卷一.选择题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．4，5，6C．9，12，15D．1，，2．一次函数y＝﹣4x+5的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件B．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数一定是50次4．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（）A．6B．6.5C．13D．不能确定5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD 的周长为（）A．20B．16C．12D．86．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（）A．B．C．D．7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（）A．40°B．55°C．75°D．80°8．抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）9．若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3 10．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．A，B两城相距300千米B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时C．乙车出发后1.5小时追上甲车D．在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，t＝11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10B．8C．6D．512．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac﹣b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题13．计算（+2）（﹣2）的结果是．14．一个不透明的布袋中装有3个红球，5个黄球，2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到黄球的概率为．15．已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于负半轴，且y随x的增大而增大，请写出符合上述条件的一个解析式：．16．将抛物线y＝﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．17．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC＝4，CO＝，那么BC＝．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C为格点，D为小正方形边的中点．（1）AC的长等于；（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD+PQ取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺找到点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题19．解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）20．在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额（单位：元），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组学生捐款数据的样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校此次捐款总金额为多少元？21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围；（2）若这个关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值．22．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝12，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．23．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．24．某校开展“文明在行动”的志愿者活动，准备购买某一品牌书包送到希望学校，在A 商店，无论一次购买多少，价格均为每个50元，在B商店，一次购买数最不超过10个时，价格为每个60元；一次购买数量超过10个时，超出10个部分打八折．设一次购买谈品牌书包的数量为x个．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/个51015…A商店花费/元500…B商店花费/元600…（Ⅱ）设在A商店花费y1元，在B商店花费y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解折式；（Ⅲ）根据题意填空；①若小丽在A商店和在B商店一次购买书包的数量相同，且花费相同，则她在同一商店一次购买书包的数量为个；②若小丽在同一商店一次购买书包的数量为50个，则她在A，B两个商店中的商店购买花费少；③若小丽在同一商店一次购买书包花费了1800元，则她在A，B两个商店中商店购买数量多．25．如图1，直线y＝﹣x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．（1）求OB的长；（2）如图2，F，G是直线AB上的两点，若△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P，Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．2020-2021学年天津市南开翔宇学校九年级（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．4，5，6C．9，12，15D．1，，【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、92+122＝152，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．2．一次函数y＝﹣4x+5的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝﹣4x+5的图象经过第一、二、四象限，此题得解．【解答】解：∵k＝﹣4＜0，b＝5＞0，∴一次函数y＝﹣4x+5的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y＝﹣4x+5的图象不经过第三象限．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件B．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数一定是50次【分析】直接利用概率的意义以及三角形内角和定理分别分析得出答案．【解答】解：A、“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，故此选项错误；B、某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，不一定有1张中奖，故此选项错误；C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数一定是50次，错误．故选：C．4．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（）A．6B．6.5C．13D．不能确定【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD 的周长为（）A．20B．16C．12D．8【分析】首先证明：OE＝BC，由AE+EO＝4，推出AB+BC＝8即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE＝EB，∴OE＝BC，∵AE+EO＝4，∴2AE+2EO＝8，∴AB+BC＝8，∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，故选：B．6．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：＝．故选：C．7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（）A．40°B．55°C．75°D．80°【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC ＝60°，又可得∠E＝∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，∴∠E＝∠DAE，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°．∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°，故选：C．8．抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标．【解答】解：y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，故抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是：（3，﹣5）．故选：C．9．若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3【分析】把三个点的坐标分别代入y＝﹣中，这样可计算出x1、x2、x3的值，从而可判断它们的大小．【解答】解：把A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）分别代入y＝﹣得1＝﹣，﹣2＝﹣，﹣3＝﹣，所以x1＝﹣1，x2＝，x3＝，所以x1＜x3＜x2．故选：B．10．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．A，B两城相距300千米B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时C．乙车出发后1.5小时追上甲车D．在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，t＝【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故A正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙＝100t﹣100，令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，乙的速度：150÷（2.5﹣1）＝100，乙的时间：300÷100＝3，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故B正确；甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故C正确；乙还未出发，甲在时前进了40米，乙在甲后面40km时，y甲﹣y乙＝40，可得60t﹣100t+100＝40，解得t＝，乙车在甲车前面40km时，100t﹣100﹣60t＝40或60t＝300﹣40，解得t＝或t＝．即在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，t＝或或t＝或t＝，故D 错误．故选：D．11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10B．8C．6D．5【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD 最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故选：C．12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac﹣b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称性可判断点B在（2，0）的右侧，则当x＝2时，4a+2b+c＞0，则可对②进行判断；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到B（2+c，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵点A到直线x＝1的距离大于1，∴点B到直线x＝1的距离大于1，即点B在（2，0）的右侧，∴当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误；∵C（0，c），OA＝OC，∴A（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③正确；∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B（2+c，0），∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．故选：C．二.填空题13．计算（+2）（﹣2）的结果是﹣1．【分析】利用平方差公式计算，再根据二次根式的性质计算可得．【解答】解：原式＝（）2﹣22＝3﹣4＝﹣1，故答案为：﹣1．14．一个不透明的布袋中装有3个红球，5个黄球，2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到黄球的概率为．【分析】让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．【解答】解：共有球3+2+5＝10个，黄球有5个，因此摸出的球是黄球的概率为：＝．故答案为．15．已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于负半轴，且y随x的增大而增大，请写出符合上述条件的一个解析式：y＝x﹣1（k＞0，b＜0即可）．【分析】根据一次函数图象的性质解答．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象交y轴于负半轴，∴b＜0，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，例如y＝x﹣1（答案不唯一，k＞0，b＜0即可）．故答案为：y＝x﹣1（答案不唯一，k＞0，b＜0即可）．16．将抛物线y＝﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣11．【分析】根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣2即y＝﹣x2+6x﹣11，故答案为y＝﹣x2+6x﹣11．17．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC＝4，CO＝，那么BC＝8．【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG后，即可求出BC的长．【解答】解：如图，延长CB到点G，使BG＝AC＝4，∵根据题意，四边形ABED为正方形，∴∠4＝∠5＝45°，∠EBA＝90°，∴∠1+∠2＝90°，又∵△ABC是直角三角形，AB为斜边，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠5＝∠3+∠4，∴∠CAO＝∠GBO，在△CAO和△GBO中，，∴△CAO≌△GBO（SAS），∴CO＝GO＝，∠6＝∠8，∵∠7+∠8＝90°，∴∠6+∠7＝90°，∴∠COG＝90°，∴＝，∴BC＝CG﹣BG＝12﹣4＝8．故答案为：8．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C为格点，D为小正方形边的中点．（1）AC的长等于5；（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD+PQ取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺找到点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）取格点T，K，连接TK交BC于点P，取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接PJ交AC于点Q，此时DP+PQ的值最小，点P，Q即为所求．【分析】（1）利用勾股定理计算即可．（2）取格点T，K，连接TK交BC于点P，取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接PJ交AC于点Q，此时DP+PQ的值最小，点P，Q即为所求．【解答】解：（1）AC＝＝5，故答案为5．（2）取格点T，K，连接TK交BC于点P，取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接PJ交AC于点Q，此时DP+PQ的值最小．故答案为：取格点T，K，连接TK交BC于点P，取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接PJ交AC于点Q，此时DP+PQ的值最小，点P，Q即为所求．三、解答题19．解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）【分析】（1）先移项得x2﹣2x＝1，再把方程两边都加上1得x2﹣4x+4＝3，配成（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法求解；（2）先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，x1＝1+，x2＝1﹣．（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，∴x1＝3，x2＝．20．在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额（单位：元），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为50，图①中m的值为30；（Ⅱ）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组学生捐款数据的样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校此次捐款总金额为多少元？【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据求得的平均数，可以得到该校此次捐款总金额为多少元．【解答】解：（Ⅰ）8+12+15+10+5＝50（人），m%＝1﹣16%﹣24%﹣20%﹣10%＝30%，故答案为：50，30；（Ⅱ）这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%＝29.2，众数是30，中位数是30；（Ⅲ）1800×29.2＝52560（元），答：该校此次捐款总金额为52560元．21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围；（2）若这个关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（1﹣m）2﹣4×＞0，然后解不等式即可；（2）把x＝﹣代入方程得+（1﹣m）×（﹣）+＝0，然后解方程，利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（1﹣m）2﹣4×＞0，解得m＜；（2）把x＝﹣代入方程得+（1﹣m）×（﹣）+＝0，整理得m1＝，m2＝﹣，而m＜，所以m的值为﹣．22．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝12，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE 【分析】为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；（2）证明△ABC是等边三角形，得出OA＝×12＝6，由勾股定理得出OB＝6，由菱形的性质得出OD＝OB＝6，即可求出四边形AODE的面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形AODE是矩形，故四边形AODE是矩形；（2）解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴OA＝×12＝6，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD∴由勾股定理OB＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB＝6，∴四边形AODE的面积＝OA•OD＝6×＝3623．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；（2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（33﹣2x+2）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，33﹣2x+2＝15＜18，当x2＝7.5时33﹣2x+2＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（33﹣2x+2）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．24．某校开展“文明在行动”的志愿者活动，准备购买某一品牌书包送到希望学校，在A 商店，无论一次购买多少，价格均为每个50元，在B商店，一次购买数最不超过10个时，价格为每个60元；一次购买数量超过10个时，超出10个部分打八折．设一次购买谈品牌书包的数量为x个．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/个51015…A商店花费/元250500750…B商店花费/元300600840…（Ⅱ）设在A商店花费y1元，在B商店花费y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解折式；（Ⅲ）根据题意填空；①若小丽在A商店和在B商店一次购买书包的数量相同，且花费相同，则她在同一商店一次购买书包的数量为60个；②若小丽在同一商店一次购买书包的数量为50个，则她在A，B两个商店中的A商店购买花费少；③若小丽在同一商店一次购买书包花费了1800元，则她在A，B两个商店中A商店购买数量多．【分析】（Ⅰ）利用单价×数量可求解；（Ⅱ）根据题意可以直接写出y1，y2关于x的函数关系式；（Ⅲ）根据题意和y1，y2关于x的函数关系式，可以解答本题．【解答】解：（Ⅰ）在A商店，购买5个费用＝5×50＝250元，购买15个费用为15×50＝750元，在B商店，购买5个费用＝5×60＝300元，购买15个费用为10×60+60×0.8（15﹣10）＝840元，故答案为：250，750，300，840；（Ⅱ）由题意可得：y1＝50x（x≥0），当0≤x≤10时，y2＝60x，当x＞10时，y2＝60×10+60×0.8×（x﹣10）＝48x+120（x＞10），∴y2＝；（Ⅲ）①由题意可得：50x＝48x+120，解得x＝60，故答案为：60；②∵50×50＜48×50+120，∴在A商店购买花费少，故答案为：A；③若在A商店，＝36个，若在B商店，＝35个，∵36＞35，∴在A商店购买的数量多，故答案为：A．25．如图1，直线y＝﹣x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．（1）求OB的长；（2）如图2，F，G是直线AB上的两点，若△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P，Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．【分析】（1）设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中，根据BC2+CD2＝BD2，构建方程即可解决问题；（2）作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，由△DMG≌△FND（AAS），推出GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DM＝m，DM＝FN＝n，根据G、F在直线AB上，构建方程组即可解决问题；（3）如图，设Q（a，﹣a+6），因为PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，推出P （a，﹣a+6），PQ＝a，作QH⊥x轴于H．由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，想办法构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴B（3，0）．（2）设直线AB的解析式为y＝kx+6，∵B（3，0），∴3k+6＝0，∴k＝﹣2，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，∴△DMG≌△FND（AAS），∴GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，∵G、F在直线AB上，则：m＝﹣2（8﹣n）+6，﹣n＝﹣2（8﹣m）+6，解得：m＝2，n＝6∴F（6，﹣6）．（3）①当点E在y轴左侧时，如图，设Q（a，﹣a+6），∵PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，∴P（a，﹣a+6），∴PQ＝a，作QH⊥x轴于H．∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6，∴＝，由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，∴QH＝DQ＝a，∴a＝a﹣6，∴a＝16，∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6），∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0），∴E（﹣2，0）．②当点E在y轴右侧时，同理可得：点E（3.4，0）（舍去）；故点E的坐标为（﹣2，0）．。

2020-2021天津市南开翔宇学校九年级数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75 B．4.8 C．5 D．43．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．44．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（）A．16B．29C．13D．236．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a （x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（）A．12019B．2020C．2019D．20188．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（）A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°9．解一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（）A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝11C．（x+4）2＝21D．（x﹣4）2＝21 10．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）11．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（）．A．摸出的4个球中至少有一个球是白球B．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D．摸出的4个球中至少有两个球是白球12．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2二、填空题13．关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a 的取值范围是___________14．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.15．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C （0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标：_____．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,23A CD ︒∠==，则⊙O 的半径是_______．19．已知关于x 的二次函数y=ax 2+(a 2-1)x-a 的图象与轴的一个交点的坐标为(m ，0)，若2<m<3，则a 的取值范围是_________．20．如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为 米．三、解答题21．如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ∆，连接DE.（1）如图1，求证：CDE ∆是等边三角形；（2）如图2，当6<t<10时，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）．23．已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AC·AD=AB·AE ； （2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．24．关于x 的一元二次方程2223()0m x mx m +++=-有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．25．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B 选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C 选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D 选项中是中心对称图形又是轴对称图形.考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．B解析：B【解析】【分析】设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD ，连接CF ，CD ，则有FD ⊥AB ；由勾股定理的逆定理知，△ABC 是直角三角形，FC+FD=PQ ，由三角形的三边关系知，FC+FD ＞CD ；只有当点F 在CD 上时，FC+FD=PQ 有最小值，最小值为CD 的长，即当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ=CD 有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，则FD ⊥AB ． ∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ ，∴FC+FD ＞CD ，∵当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ=CD 有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B ．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．3．C解析：C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.4．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.5．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P （一红一黄）=26=13．故选C ． 6．B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．B解析：B【解析】【分析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1得到at2+bt-1=0，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数．【详解】连接OA，OB，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．9．D解析：D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】解：∵x2-8x=5，∴x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，故选D．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．10．B解析：B【解析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).故选B..11．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．12．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l228610，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．二、填空题13．<a<-2【解析】【分析】【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0解得：a＞−设f （x）=ax2-3x-1如图∵实数根都在-1解析：94-<a<-2【解析】【分析】【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得：a＞−9 4设f（x）=ax2-3x-1，如图，∵实数根都在-1和0之间，∴-1＜−32a-＜0，∴a＜−32，且有f（-1）＜0，f（0）＜0，即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，解得：a＜-2，∴−94＜a＜-2，故答案为−94＜a＜-2．14．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，解得x1=4,x2=8，即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.15．【解析】【分析】连接OCODOC与AD交于点E根据圆周角定理有根据垂径定理有：解直角即可【详解】连接OCODOC与AD交于点E直尺的宽度：故答案为【点睛】考查垂径定理熟记垂径定理是解题的关键解析：53 3【解析】【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有130,2BAD BOD∠=∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD==解直角OAE△即可.【详解】连接OC,OD,OC与AD交于点E，130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 10 3.cos303AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-=-= 故答案为533【点睛】 考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.16．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D 坐标为（46）；当将点C 与点O 重合时点C 向下平移4个单位得到△解析：（4，2）．【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果.【详解】解：∵△CDO 绕点C 逆时针旋转90°，得到△C BD′，则BD′=OD =2，∴点D 坐标为（4，6）；当将点C 与点O 重合时，点C 向下平移4个单位，得到△OAD ′′，∴点D 向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为（4，2）．【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.17．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．2【解析】【分析】连接BC 由圆周角定理和垂径定理得出由直角三角形的性质得出得出求出即可【详解】解：连接BC 如图所示：∵AB 是⊙O 的直径弦于H 在中即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理 解析：2【解析】【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出190,32ACB CH DH CD ︒∠====角三角形的性质得出223,323,2AC CH AC BC AB BC =====，得出2,4BC AB ==，求出2OA =即可．【详解】解：连接BC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，19032ACB CH DH CD ∴∠︒＝，＝＝＝ 30A ∠︒Q ＝，223AC CH ∴＝＝，在Rt ABC ∆中，30A ∠︒＝，3232AC BC AB BC ∴＝＝，＝，24BC AB ∴＝，＝，2OA ∴＝，即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．19．<a<或-3＜a ＜-2【解析】【分析】先用a 表示出抛物线与x 轴的交点再分a ＞0与a ＜0两种情况进行讨论即可【详解】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a ）∴当y=0时x1=x2= 解析：13<a<12或-3＜a ＜-2． 【解析】【分析】 先用a 表示出抛物线与x 轴的交点，再分a ＞0与a ＜0两种情况进行讨论即可．【详解】解：∵y=ax 2+（a 2-1）x-a=（ax-1）（x+a ），∴当y=0时，x 1=1a，x 2=-a ， ∴抛物线与x 轴的交点为（1a ，0）和（-a ，0）． ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为（m ，0）且2＜m ＜3，∴当a ＞0时，2＜1a ＜3，解得13＜a ＜12； 当a ＜0时，2＜-a ＜3，解得-3＜a ＜-2．故答案为：13<a<12或-3＜a ＜-2．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．20．【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为x米依题意得（30-2x）（20-x）=532整理得x2-35x+34=0解得x1=1x2=34∵34＞30（不合题意舍去）∴x=1答：小道进出口的宽度应为1米解析：【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532，整理，得x2-35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．考点：一元二次方程的应用．三、解答题21．（1）详见解析；（2）存在，；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】试题分析：（1）由旋转的性质结合△ABC是等边三角形可得∠DCB=60°，CD=CE，从而可得△CDE 是等边三角形；（2）由（1）可知△CDE是等边三角形，由此可得DE=CD，因此当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，结合△ABC是等边三角形，AC=4即可求得此时DE=CD=（3）由题意需分0≤t＜6，6＜t＜10和t＞10三种情况讨论，①当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，由此可知：此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°；②当6＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，由此可知：此时△DBE不可能是直角三角形；③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，结合∠CDE=60°可得∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°，由此可得∠BED<60°，由此可知此时若△BDE 是直角三角形，则只能是∠BDE=90°；这样结合已知条件即可分情况求出对应的t的值了.试题解析：（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最小，此时∠ADC=90°，又∵∠ACD=60°，∴∠ACD=30°，∴ AD=12AC=2，∴ CD=22224223AC AD-=-=，∴ DE=23（cm）；（3）存在，理由如下：①当0s≤t＜6s时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°，∴∠CDA=∠CEB=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2（s）；②当6s＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，∴此时△DBE不可能是直角三角形；③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14（s）；综上所述：当t=2s或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：（1）解第2小题的关键是：抓住点D在运动过程中，△DBE是等边三角形这一点得到DE=CD，从而可知当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，由此即可由已知条件解得DE的最小值；（2）解第3小题的关键是：根据点D的不同位置分为三段时间，结合已知条件首先分析出在每个时间段内△BDE中哪个角能够是直角，然后再结合已知条件进行解答即可求得对应的t 的值了.22．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π.【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可；【详解】（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形 =()()22222290?·1390?·11360360ππ++-=2π．【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）AC=4.【解析】【分析】（1）连接DE ，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A 是公共角，从而可得△ADE ∽△ABC ，由相似比即可得；（2）连接OB ，由BD 是切线，得OD ⊥BD ，有E 为OB 中点，则可得OE=BE=OD ，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；【详解】（1）连接DE ，∵AE 是直径，∴∠ADE=90o ，∴∠ADE=∠ABC ，在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，∠A 是公共角，∴△ADE ∽△ABC ，∴，即AC·AD=AB·AE （2）连接OD ，∵BD 是圆O 的切线，则OD ⊥BD ，在Rt △OBD 中，OE=BE=OD∴OB=2OD ，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt △ABC 中，AC=2BC=2×2=4.考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.24．（1）6m <且2m ≠；（2）12x =-，243x =-【解析】【分析】（1）根据题意可得20m -≠且()()()22423m m m ∆＝--+()460m >＝--，由此即可求得m 的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m 的值，代入解方程即可.【详解】（1）Q 关于x 的一元二次方程()22230m x mx m -+++=有两个不相等的实数根， 20m ∴-≠且()()()22423m m m ∆＝--+()460m >＝--. 解得6m <且2m ≠.m ∴的取值范围是6m <且2m ≠.（2）在6m <且2m ≠的范围内，最大整数为5.此时，方程化为231080x x ++=.解得12x =-，243x =-. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．25．（1）作图见解析；裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2；（2）当裁掉边长为2.5dm 的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．【解析】试题分析：（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm ，则题意可列出方程，可求得答案；（2）由条件可求得x 的取值范围，用x 可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．试题解析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）∵长不大于宽的五倍，∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．考点：1、二次函数的应用；2、一元二次方程的应用。

2021-2021学第一学期第二次月考九年级数学试卷一、选择题(本题共2小题,每题3分,共36分,在每小题所给的选项中,只有—个选项正确)1.如图所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是2.下列成语描述的事件为随机事件的是A.水涨船高B.守株待兔C.水中捞月D.缘木求鱼3.点A(2,1)关于原点的对称点的坐标为A.(2,1)B.(-2,-1)C.(1,-2)D.(2,-1)4.已知A 、B 是⊙O 上的两点,OA=1,弧AB 的长是π31,则∠AOB 的度数是A.30°B.60°C.90°D.120°5.抛物线()02≠++=a c bx ax y 的图象如下图所示,那么第5题 第7题 8题A.000＞，＜，＜c b aB.000＞，＞，＜c b aC.000＜，＞，＜c b aD.000＜，＜，＜c b a6.下列图形不一定是相似图形的是A.任意两个菱形B.任意两个等边三角形C.两个等腰直角三角形D.两个圆形7.如图,将ABC 绕点A 逆时针旋转100°,得到△ADE ，若点D 在线段BC 的延长线上,则∠B 的大小为A.30°B.40°C.50°D.60°8.如图,AB 是⊙O 的弦,C 是AB 的中点,连接OC 并延长交⊙O 于点D 若CD=2,AB=8，则⊙O 的直径是 A.52 B.54 C.5 D.109.正方形ABCD 内接于⊙O,其边长为4,则⊙O 的内接等边三角形EFG 的边长为A.6B.22C.62D.2410.小张承包了一片荒山,他想把这片荒山改造成一个苹果园,现在有一种苹果树苗,它的成活率如表所示，下面有四个推断：①当移植的树数是1500时,表格记录成活数是1335,所以这种树苗成活的概率是0.890； ②随着移植棵数的增加,可以估计树苗成活的概率是0.902；③若小张移植1000棵这种树苗,则可能成活900棵；④若小张移植20210棵这种树苗,则一定成活18000棵，其中合理的是A.①③B.①④C.②③D.②④11.如图,等腰 Rt △ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2,且AC 与DE 在同一直线上,开始时点C 与点D 重合,让ABC 沿这条直线向右平移,直到点A 与点E 重合为止.设CD 的长为x ,△ABC 与正方形DEFG 重合部分图中阴影部分的面积为y ,则y 与x 之间的函数关系的图象大致是12.已知二次函数4222++++=a a ax ax y (其中x 是自变量),当2≥x 时,y 随x 的增大而增大,且12≤≤-x 时,y 的最大值为9,则a 的值为A.-5或1B.55或-C.5D.1二.填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)13.—个不透明的袋中装有除颜色外无其他仼何差别的12个红球和n 个黄球,从中随机摸出一个,摸到红球的概率是53,则=n _______. 14.如图,为了测量某棵树的高度,用长为2m 的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子怡好落在地面的同一点A 处,此时,竹笔与这一点相距6m,与树相距15m,则树的高度为_______m.第14题 第15题15.如图,平面直角坐标系中,'''C B A △是由△ABC 绕点P 旋转得到,则点P 的坐标为_______.16.如图,是抛物线形拱桥：当拱顶离水面2m 时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系,若水面下降1m 时,则水面的宽度为_______m.17.如图,边长为6的正方形ABCD 的顶点A 、B 在一个半径为6的圆上,顶点C 、D 在圆内,将正方形ABCD 沿圆的内壁作无滑动的滚动当滚动一周回到原位置时,点C 运动的路径长为___. 第16题 第7题 第18题18.如图所示,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,弧BC 所对的圆心角为60°，点P 、E 、F 分别是弧BC 、线段AB 和线段AC 上的动点,则PE+EF+FP 的最小值为_______.三、解笞题(本题共7小题,其中19题、20题各8分,20-25题各10分,共66分)19.如图,抛物线c bx x y ++=2经过点A(-4,0)和C 点(0,-4),与x 轴另一个交点为B.(1)求此二次函数的解析式和顶点D 的坐标；(2)求出A 、B 两点之间的距离；(3)直接写出当4-＞y 时,x 的取值范围。

2023-2024学年天津市南开区九年级上学期数学月考试卷及答案一、选择题（共12小题，每小题3分）1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能180︒够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：选项B 、C 、D 后与原来180︒的图形重合，所以不是中心对称图形；选项A 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心180︒对称图形；故选：A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．2. 关于x 的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ 20ax bx c ++=420a b c -+=）A.B. C. D. 2x =-2x =12x =-12x =【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果． 420a b c -+=【详解】解：∵，当时，，20ax bx c ++=2x =-420a b c -+=∴该方程必有一个根是，2x =-故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．3. 将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为2y x =（ ）A.B. 223y x x =+-223y x x =-+C.D. 223y x x =++2=23y x x --【答案】C【解析】【分析】根据平移规律确定解析式，后化成一般式即可．【详解】将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的解析式为: 2y x =，2(x +1)2y =+∴化成一般式为；223y x x =++故选:C ．【点睛】本题考查了二次函数平移，熟练二次函数平移规律左加右减，上加下减是解题的关键．4. 抛物线与x 轴两交点间的距离是（ ）2=23y x x --A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】用十字相乘法将抛物线解析式进行因式分解，令，即可求出两个交点的横坐0y =标，从而求出交点间的距离.【详解】解：，2(1)(3)23y x x x x +-=-=-当时 0y =则，(1)(3)0x x +-=解得：，．11x =-23x =与x 轴的交点坐标为，．(1,0)-(3,0)则抛物线与x 轴两交点间的距离为．3(1)4--=故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点坐标求法，令，解一元二次方程即可得到交点0y =的横坐标．5. ） x =A. B. C. D. 22310x x ++=22310x x -+=22310x x +-=22310x x --=【答案】C【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可．【详解】A ．方程的解为： 22310x x ++=x =B ．方程的解为：，故不符合题意； 22310x x -+=x =C ．方程的解为：，故符22310x x +-=x ==合题意；D ．方程的解为：，故不符合题意． 22310x x --=x =故选C ．【点睛】本题考查由公式法解一元二次方程．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．6. 已知二次函数(a>0)，当x 分别取2，3，0时，对应的y 的值分别为()223y a x =--m ，n ，q ，则m ，n ，q 的大小关系为（ ）A. m ＞n ＞qB. q ＞n ＞mC. n ＞q ＞mD. q ＞m ＞n【答案】B【解析】【分析】根据二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大进行求解即可．【详解】解：∵(a>0)，()223y a x =--∴图象的对称轴为x=2，开口向上，离对称轴越远函数值越大，∵当x 分别取2，3，0时，离对称轴的距离分别为0，1，2，∴q＞n ＞m ，故选B ．【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟知二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大是解题的关键．7. 已知关于x 的一元二次方程有一个根为，则a 的值为()221210a x x a --+-=0x =（ ）A. 0B. C. D. 41±1-【答案】C【解析】【分析】将代入，得，再根据一元二次方程的0x =()221210a x x a --+-=210a -=定义确定a 的值即可．【详解】解：将代入，得， 0x =()221210a x x a --+-=210a -=解得，1a =±∵一元二次方程，10a -≠∴，1a ≠∴，1a =-故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的解及解一元二次方程的定义是解题的关键．8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，2y ax =y bx c =+则二次函数的图象可能是（ ） 2y ax bx c =++A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】题干中二次函数的图象开口向下，可以判断出a 的符号为负，一次函数2y ax =的图象与x ，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，可以据此y bx c =+90︒判断出b 、c 的符号皆为正，再去判断四个选项哪个符合二次函数的图2y ax bx c =++象．【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，2y ax =∴a<0，又∵一次函数y=bx+c 的图象与x 轴正方向夹角小于，且与y 轴交点在y 轴的正半轴， 90︒∴b>0，c>0，∴， 02b a->可知二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，且与y 轴交点在y 的正半2y ax bx c =++轴，观察四个选项，只有选项D 图象符合，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据已知图象判断出a ，b ，c 的符号．9. 如图，将等边三角形OAB 放在平面直角坐标系中，A 点坐标（1，0），将△OAB 绕点O 逆时针旋转60°，则旋转后点B 的对应点B ＇的坐标为（ ）A. （）B. （－1，） 12 12C. （－D. ，） 3212【答案】A【解析】【分析】如图，作点B 作BH⊥OA 于H ，设BB′交y 轴于J ．求出点B 的坐标，证明B ，B′关于y 轴对称，即可解决问题．【详解】解：如图，故点B 作于H ，设BB′交y 轴于J ．∵A（1，0）， ∴OA=1，∵△AOB 是等边三角形，BH⊥OA，∴OH=AH=OA=，， 1212∴B（， 12∵∠AOB=∠BOB′=60°，∠JOA=90°，∴∠BOJ=∠JOB′=30°，∵OB=OB′，∴BB′⊥OJ， ∴BJ=JB′，∴B，B′关于y 轴对称，∴B′（-）， 12故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10. 某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有张床位的旅馆，当每张床位每天收100费元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高元，则相应的减少了张床位10210租出．如果每张床位每天以元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张2床位每天最合适的收费是（ ）A. 14元B. 15元C. 16元D. 18元 【答案】C【解析】【分析】设每张床位提高x 个单位，每天收入为y 元，根据等量关系“每天收入=每张床的费用×每天出租的床位”可求出y 与x 之间的函数关系式，运用公式求最值即可．【详解】设每张床位提高x 个2元，每天收入为y 元．根据题意得：y=（10+2x ）（100﹣10x）=﹣20x 2+100x+1000．当x=﹣=2.5时，可使y 有最大值． 2b a又x 为整数，则x=2时，y=1120；x=3时，y=1120；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=10+3×2=16（元）．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，利用二次函数对称性得出是解题的关键．11. 如图，把以点A 为中心逆时针旋转得到，点B ，C 的对应点分别是点ABC ADE V D ，E ，且点E 在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）BC BDA.B.CAE BED ∠=∠AB AE =C.D. ACE ADE ∠=∠CE BD =【答案】A【解析】 【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】根据题意，由旋转的性质，可得，，，AB AD =AC AE =BC DE =无法证明，，故B 选项和D 选项不符合题意，AB AE =CE BD ==ABC ADE ∠∠=ACE ABC BAC ÐÐ+Ð，故C 选项不符合题意，∴=ACE ADE BAC ÐÐ+Ð=ACB AED ÐÐ=ACB CAE CEA ÐÐ+Ð=AED CEA BED ÐÐ+Ð，故A 选项符合题意，∴=CAE BED ÐÐ故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．12. 二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …y ＝ax 2+bx+c… t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x ＝时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论： 12-①abc＜0；②m＝n ；③﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根；④． 83a <其中，正确结论的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可 【详解】解：①函数的对称轴为：x ＝（0+1）＝，则ab ＜0，c ＝﹣2＜0，故abc ＞0，1212故①错误，不符合题意；②根据表格可得：x ＝﹣1和x ＝2关于函数对称轴对称，故m ＝n 正确，符合题意； ③函数的对称轴为：x ＝，根据表格可得：x ＝﹣2和x ＝3关于函数对称轴对称，此时的12函数值为t ，则﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根，故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为：x ＝，则b=-a ，当x ＝﹣时，y ＝a b﹣2＞0，所以 3a﹣8＞12121412-0，故④错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．二、填空题（共6小题，每小题3分）13. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=______．()1,3A m --()2B n ，m n +【答案】2【解析】【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O 的对称点是，进而得出m ，n 的值．(),P x y (),P x y '--【详解】解：∵点，关于原点对称， ()1,3A m --()2B n ，∴， 123m n -=-⎧⎨-=-⎩解得， 13m n =-⎧⎨=⎩∴．2m n +=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．14. 将方程化为的形式，则的值为__________．2430x x ++=2()x a b +=a b +【答案】3【解析】【分析】利用完全平方公式整理后，即可求出与的值，然后代入求解即可．a b 【详解】解：方程，2430x x ++=变形得：，243x x +=-配方得：，即，24434x x ++=-+2(2)1x +=则，，2a =1b =故，213a b +=+=故答案为：3．【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．-15. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m ． 1(10)(4)12y x x =--+OA =【答案】10【解析】【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 0y =10(10)(4)12x x =--+【详解】解：令，则， 0y =10(10)(4)12x x =--+解得：，，110x =24x =-∴，10OA =故答案为：．10【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关0y =键．16. 如图，点P 是正方形ABCD 内一点，PA ＝PB ，∠APB＝135°，则PC 的长是___．【答案】4【解析】【分析】先根据正方形的性质得BA=BC ，∠ABC=90°，把△APB 绕点B 顺时针旋转90°得到△CEB，连接PE ，得到BP=BE ，AP=CE ，可判断△PBE 为等腰直角三角形，得到∠PEC=90°，然后在Rt△PEC 中利用勾股定理计算PC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，把△APB 绕点B 顺时针旋转90°得到△CEB，连接PE ，如图，，AP=CE= ∴△PBE 为等腰直角三角形，PB=2，∠PEB=45°，∴∠PEC=135°-45°=90°，在Rt△PEC 中，∵PE=2，CE==4，故答案为：4．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定和性质．17. 二次函数的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程有2y ax bx =+20ax bx m +-=实数根，则m 的取值范围是________．【答案】4m ≥-【解析】【分析】根据题意可得，二次函数的图象与直线有交点，由图象求出2y ax bx =+4y =-的取值范围即可．m 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象20ax bx m +-=2y ax bx =+与直线有交点，由图象得， ，4y =-4m ≥-故答案为：．4m ≥-【点睛】此题考查了抛物线与横线的交点，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题．18. 如图，在带有平面直角坐标系的正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转ABC得到格点，点与，点与，点与是对应点．()0180αα︒<<111A B C △A 1A B 1B C 1C （1）请通过画图找出旋转中心，点的坐标为__________．M M （2）直接写出旋转角的度数为__________． α【答案】 ①. ②. ##90度()3,190︒【解析】【分析】（1）连接,分别做它们的垂直平分线相交于一点，该点即为所求；11,AA CC （2）观察所作图形，，从而得到答案．1CMC α∠=∠【详解】解：（1）如下图所示，点即为所求．M ()3,1M（2）观察第一问的图形，可知190CMC α∠=∠=︒【点睛】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键．三、解答题（共7小题）19. 解一元二次方程：（1）．2450x x --=（2）．22()10x x +-=【答案】（1），15=x 21x =-（2）， 1x =2x =【解析】【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）化为一般式后用公式法求解即可．【小问1详解】∵2450x x --=∴()()510x x -+=∴或，50x -=10x +=∴，15=x 21x =-【小问2详解】∵22()10x x +-=∴22410x x +-=∴ ()2442124∆=-⨯⨯-=∴x ==∴ 1x =2x =【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20. 如图，在中，，将绕点A 逆时针ABC 90305cm C ABC AC ∠=︒∠=︒=，，ABC 旋转角度至位置(点B 与点对应，点C 与点对应)，αAB C '' B 'C '（1）根据“旋转角相等”得： _______，的度数为_______．'CAC ∠=∠α=α（2）求的周长．'ABB 【答案】（1）；'BAB 60︒（2）30cm 【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得出答案；（2）由直角三角形的性质得出，，证明是等210AB AC cm ==()10330cm ⨯=ABB ' 边三角形，则可得出答案．【小问1详解】解：∵，9030C ABC ∠=︒∠=︒，∴，60BAC ∠=︒∵将绕点A 逆时针旋转角度至位置，''AB C α∴，的度数为；''CAC BAB ∠=∠α60︒【小问2详解】解：由旋转得：,''',60AB AB BAB CAC ∠∠===︒∴是等边三角形，ABB ' 在中，Rt ABC △∵，30ABC ∠=︒∴，，210AB AC cm ==()10330cm ⨯=∴周长是；ABB ' 30cm 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．21. 二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … 3- 2- 1-0 1 2 …y … 0 3- 4- 3- m 5 …（1）直接写出表格当中的m 值：_________；（2）直接写出这个二次函数的表达式_________；（3）在图中画出这个二次函数的图象．（4）直接写出当时，y 的取值范围是_________．40x -<<（5）直接写出当时，x 的取值范围是_________．3y <-【答案】（1）0 （2）()214y x =+-（3）见解析 （4）45y -≤＜（5）2y -<＜0【解析】【分析】（1）根据函数的对称性即可求解； （2）抛物线的顶点坐标为，则设抛物线的表达式为，将点()14--，()214y a x =+-代入上式求解即可； ()03-，（3）描点、连线画出函数的图像即可；（4）根据函数的对称性求得时的函数值为5，又函数有最小值，据此即可解4x =-4-答；（5）根据表格数据即可解答．【小问1详解】解：∵或的函数值相同，都是，2x =-0x =3-∴函数的对称轴为， 2012x -+==-∵点和点关于直线对称， ()30-，()1,0=1x -∴．0m =故答案为0．【小问2详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ()14--，∴设抛物线的表达式为， ()214y a x =+-∵将点 ()03-，∴，解得： a=1，()23014a -=+-故抛物线的表达式为．()214y x =+-【小问3详解】解：画出函数图像如下： 【小问4详解】解：∵关于直线对称， ()()25,45-，，=1x -∴时，函数，4x =-5y =∵函数有最小值，4-∴当时，，40x -＜＜45y -≤＜故答案为：．45y -≤＜【小问5详解】解：∵关于直线对称，()()2,-，30，3=1x -∴时，函数，=1x -4y =-∵，3y <-∴当时，．3y <-2y -<＜0【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质、画二次函数图像、二次函数的对称性、增减性等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．22. 已知关于x 的方程的两实数根为，． ()22210x m x m --+=1x 2x （1）求m 的取值范围；（2）若，求m 的值．()()12113++=x x 【答案】（1） 12m ≤（2）1-【解析】【分析】（1，解之即可得出840m ∆=-+≥的取值范围；m （2）根据根与系数的关系可得，结合2121221()x x m x x m +=-⋅=、()()12113++=x x 即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．m 【小问1详解】∵关于x 的方程有两个实数根，222(1)0x m x m --+=∴，22214[()]1840m m m ∆=---⨯⨯=-+≥解得，； 12m ≤【小问2详解】依据题意可得，，，122(1)x x m +=-212x x m ⋅=由（1）可知， 12m ≤∵()()12113++=x x 即12122x x x x ++=∴， ()2212m m +-=解得 (舍去)，11m =-21m =-+∴的值是m 1--【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合0∆≥得出关于的一元二次方程．()()12113++=x x m 23. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园60m ABCD EF 的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计）MN MN 39m（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．2252m AB （2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．AB 8m 【答案】（1）可能；的长为14；理由见解析AB （2）288【解析】【分析】（1）根据题意，设长为，则长为，利用矩形面积公式列AB m x BC ()603m x -方程求解即可得到答案；（2）由（1）设长为，则长为，根据题中条件得到，从AB m x BC ()603m x -78x ≤≤而得到菜园面积，结合二次函数图像与性质分析即可得到答()2603360S x x x x =-=-+案．【小问1详解】解：可能．理由如下：设长为，则 长为，AB m x BC ()603m x -，解得或，∴()603252x x -=6x =14x =当时，，不合题意，舍去；6x =60184239BC =-=>当时，，符合题意；14x =60421829BC =-=<【小问2详解】解：由（1）知，设长为，则长为，AB m x BC ()603m x -，解得， ∴860339x x ≤⎧⎨-≤⎩78x ≤≤令菜园面积为，则，S ()2603360S x x x x =-=-+即是关于的二次函数，其图像开口向下，对称轴为，S x 10x =∴当时，面积随的增大而增大，78x ≤≤S x ∴当时，面积的最大值为．8x =S ()86038836288⨯-⨯=⨯=【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数解是解决问题的，读懂题意，找准题中描述的关系得到相应方程及函数表达式是解决问题的关键．24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点AOBC ()0,0O ()10,0A ()0,6B ．以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为，A AOB ADE V O B D ． E（1）如图1，当点落在边上时，求点的坐标；D BC D （2）如图2，当点落在线段上时，与交于点．D BE AD BCF ①求证：；ADB AOB ≌②求点的坐标；F （3）记为线段的中点，为的面积，请直接写出的取值范围．K AB S KDE S 【答案】（1）()2,6D（2）①见解析；② 34,65F ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）3030S ≤+≤-【解析】【分析】（1）根据点的坐标及旋转的性质得，在直角三角形中运用勾股定理5AD AO ==可求出的长，从而可确定答案；CD （2）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可，②根据①知，故，在中，运用勾股定理可求得BAD CBA ∠=∠BF AF =Rt ACF AF 的长，得出坐标；（3）在矩形旋转的过程中，根据点K 与直线的距离范围即可确定S 的取值范围．DE 【小问1详解】∵点，点，()10,0A ()0,6B ∴，．10OA =6OB =∵四边形是矩形，AOBC ∴，，.6AC OB ==10BC OA ==90OBC C ∠=∠=︒∵矩形是由矩形旋转得到的，ADEF AOBC ∴．10AD AO ==在中，， Rt ADC 222A D A C D C =+∴， ===8D C ∴，2BD BC DC =-=∴点D 的坐标是；(2,6)【小问2详解】①证明：由四边形是矩形，知．ADEF 90ADE ∠=︒∵点在线段上，得.D BE 90ADB ∠=︒由（1）知，，AD AO =又，，AB AB =90AOB ∠=︒∴；Rt ADB ≌Rt AOB △②由，得．Rt ADB ≌Rt AOB △BAD BAO ∠=∠在矩形中，，AOBC OA BC ∥∴，CBA OAB ∠=∠∴，BAD CBA ∠=∠∴．BF AF =设，则，．=<<(010)B F t t AF t =10FC BC BF t =-=-在中，，Rt ACF 222AF AC FC =+∴，2226(10)t t =+-解得， 345t =∴， 345BF =∴点F 的坐标是； 34,65F ⎛⎫⎪⎝⎭【小问3详解】S ≤≤如图，当矩形顶点在线段上时，点到直线的距离最小，最小值为线段的D AB K DE DK长，则， =-=-=-110102D K A D A B∴． (=⋅=⨯⨯-=-116103022S D K D E如图，当矩形顶点D 在的延长线上时，点K 到直线距离最大，最大值为线段BA DE DE的长，则=+=+1102D K A D A B∴， =⋅=+1302S D K D E所以 3030S ≤+≤-【点睛】本题主要考查了矩形的旋转问题，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，弄清线段的运动路径是解题的关键．25. 已知，如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， 28y ax bx =+-，点P 为x 轴下方的抛物线上一点． 643OA OB ==，（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接，求四边形面积的最大值；AP CP 、AOCP （3）是否存在这样的点P ，使得点P 到和两边的距离相等，若存在，请求出点P AB AC 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 21483y x x =+-（2）33 （3）存在这样的点，使得点P 到和两边的距离相等 541,612P ⎛⎫-⎪⎝⎭AB AC 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示，连接，过点P 作轴交于D ，先求出直线的解析式，AC PD x ⊥AC AC 设，则，则，求出的最大值，21483P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，483D t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，26PD t t =--APC S 再由可知当最大时，最大，由此即可得到答ACP AOC AOCP S S S =+△△四边形APC S AOCP S 四边形案；（3）如图所示，取点E 使其坐标为，连接，取中点F ，连接，先()40，AC CE 、CE AF 证明，进而得到平分，则直线上的点到的距离相AE AC =AF CAE ∠AF AC AB 、等，由此即可知点P 即为直线与抛物线的交点，据此求解即可． AF 【小问1详解】解：∵， 643OA OB ==，∴， ()46003A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，∴可设抛物线解析式为， (463y a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又∵当时，，即， 0x =8y =-()08C -，∴， 4683a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭∴，1a =∴抛物线解析式为； ()24146833y x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭【小问2详解】解：如图所示，连接，过点P 作轴交于D ，设直线的解析式为AC PD x ⊥AC AC ，1y kx b =+∴， 11608k b b -+=⎧⎨=-⎩∴， 1438k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴直线的解析式为， AC 483y x =--设，则， 21483P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，483D t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴， 2241488633PD t t t t t ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭∴APC APD CPD S S S =+△△△ ()()1122P A C P PD x x PD x x =⋅-+⋅- ()12C A PD x x =⋅-3PD =，()2339t =-++∵，30-<∴当时，最大，最大为9，3t =-APC S ∵，， ACP AOC AOCP S S S =+△△四边形11682422AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△∴，24ACP AOCP S S =+△四边形∴当最大时，最大，最大为； APC S AOCP S 四边形92433+=【小问3详解】解：如图所示，取点E 使其坐标为，连接，取中点F ，连接，()40，AC CE 、CE AF∵， ()()()60089040A C AOC E --=︒，，，，∠，，∴，，1010AE AC ===，()24F -，∴，AC AE =∵F 是的中点，CE ∴平分，AF CAE ∠∴直线上的点到的距离相等， AF AC AB 、设直线的解析式为，AF 12y k x b =+∴， 12126024k b k b -+=⎧⎨+=-⎩∴，12123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴直线的解析式为， AF 132y x =--联立得，21321483y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩2631300x x +-=解得或（舍去）， 564112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩60x y =-⎧⎨=⎩∴点P 的坐标为． 541,612⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．。

天津市南开区翔宇中学2020-2021学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（二）一、单选题（共12题；共36分）1.下列图形中，是中心对称图形的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.下列事件中，属于随机事件的是（）A. 科学实验，前500次实验都失败了，第501次实验会成功B. 投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点C. 天空出现两个太阳D. 用长度分别是6cm，8cm，10cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形3.若点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，则当y≥0时，x的取值范围是（）A. ﹣1＜x＜3B. x＜﹣1或x＞3C. ﹣1≤x≤3D. x≤﹣1或x≥34.下列说法中，不正确的个数是（）①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若二次函数y=x2－6x+c的图像过A（－1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y2＞y1＞y3D. y3＞y1＞y26.已知二次函数y=﹣（x+h）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x 的增大而减小，当x=0时，y的值为（）A. ﹣1B. ﹣9C. 1D. 97.抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（）A. （2，5）B. （2，﹣19）C. （﹣2，5）D. （﹣2，﹣43）8.如图，在ΔABC中，∠CAB=70°，将ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A. 70°B. 35°C. 40°D. 50°9.反比例函数y= kx与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.10.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP‘重合，如果AP=3，那么PP’的长等于（）A. 3√3B. 2√3C. 4√2D. 3√211.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（）A. √13B. √5C. 3D. 212.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1,2)和(1,0)，下列结论中：①abc>0；②2a+b<0；③(2a+12c)2<b2④a>1；⑤3a+c<2；其中正确的结论有（）个A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共6题；共18分）13.若二次函数y=mx2+(m−2)x+m的顶点在x轴上，则m=________.14.从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是________.15.己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为________．16.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为弧AD的中点，连接DE，EB．若图中阴影部分面积为6π，则⊙O的半径为________．17.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O ，则等于________。