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【纯Word版解析】2013年普通高等学校招生统一考试——文科数学(湖北卷)1

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不．正确．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π67．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC． D． 8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = . 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2， 则输出的结果i = .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .第13题图15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.第20题图如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B U BA =ð}.4,3{}5,4,3{}4,3,2{=2．D 在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有1cos sin 222=+=θθc ，即焦距相等3．A 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ . 4．D 在○1中，y 与x 不是负相关；○1一定不正确；同理○4也一定不正确.5．C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B. 故选C.6．B因为sin ()y x x x =+∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称.7．A AB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ. 8．D 函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有)(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.9．C 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租金）为y x k 24001600+=，如图所示.将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：3680012240051600=⨯+⨯=k （元）.10．B ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作x y ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为11-=x x y . 切点在切线上，则0100=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21.二、填空题：11． 23i -+ 复数123i z =-在复平面内的对应点Z 1（2，－3），它关于原点的对称点Z 2为（－2,3），所对应的复数为322+-=z i. 12． （Ⅰ）7 （Ⅱ）2 （Ⅰ）7()747109459787101=+++++++++； （Ⅱ）2 []222222)74(2)75()77(3)78()79(2)710(101-+-+-+-+-+-=s =21040=. 13． 4 初始值m =2，A =1，B=1,i =0，第一次执行程序，得 i=1，A=2，B=1，因为A <B 不成立，则第二次执行程序，得i=2，A =2×2=4，B =1×2=2，还是A <B 不成立，第三次执行程序，得 i=3，A=4×2=8，B=2×3=6，仍是A<B 不成立，第四次执行程序，得i =4，A =8×2=16，B =×4=24，有A <B 成立，输出i=4. 14． 4 这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 的距离为1sin cos 122=+θθ，所以圆O 上到直线l的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示.15． 3 因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[－m ，m ] ，其区间长度为2m. 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间 [2,4]-分为[－2，m]和[m ，4] ，且两区间的长度比为5:1，所以m =3.16． 3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()ππ19631061069322⨯=⨯++⨯=V （立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为=⨯）（寸寸23196)(19633（寸）.17． （Ⅰ）3, 1, 6 （Ⅱ）79（Ⅰ）3, 1, 6 S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6；（Ⅱ）79 根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 14=+c b ， ○1 由（Ⅰ）有36=++c b a ， ○2再由格点△DEF 中，S=2，N=0，L=6，得26=+c b ， ○3 联立○1○2○3，解得.1,1,21=-==a cb 所以当71N =，18L =时， S =791182171=-⨯+. 三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.19． （Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得 2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----. 若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . 20． （Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11AC 的中点， 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高， 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形， 即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估.21． （Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减. （Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)()[b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+≥(1)f f ≥.由①得()b f f a ≤. （ii ）由（i ）知()bf H a =，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞； 当a b >时，01ba<<，从而b a <()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得bx a≤≤x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣； 当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦. 22． 依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.m n λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，第22题解答图1第22题解答图2等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>，所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。

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2013年高考数学(文科)试题word文档含答案(全国1卷)

2013年高考数学(文科)试题word文档含答案(全国1卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = （ ）（A ）｛0｝ （B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)i i +=-（ ） （A ）112i --（B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i - （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）错误！未找到引用源。

（B ）错误！未找到引用源。

（C ）14 错误！未找到引用源。

（D ）16错误！未找到引用源。

（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。

，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）（A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S属于（A ）[3,4]-（B ）[5,2]-（C ）[4,3]-（D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ） （C ） （D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10 （B ）9（C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)Word版含答案

2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)Word版含答案

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =（ ） （A ）｛0｝ （B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)i i +=-（ ） （A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i - （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）16 （4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =± （5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q )C. (綈p )∧(綈q ) D ．p ∨q4．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π65．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等6．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－31527．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 28．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 49．如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( ) A.126125 B.65 C.168125 D.7510．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)(一)必考题(11～14题)11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示． (1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250]内的户数为________．12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________．13．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________． 14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分)15．(选修4－1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________． 16．(选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________． 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点． (1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.20．(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？21．(本小题满分13分)如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n (m >n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .记λ＝mn ，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 22．(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x >－1)的最小值．(2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，⎣⎡⎦⎤－32＝－1. 令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S ]的值． (参考数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3， 12643≈631.7)湖北卷(理工类)1．解析：先化简复数z ，再写出其共轭复数，然后根据其实部和虚部作出判断．z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限． 答案：D2．解析：先化简集合A ，B ，再借助数轴进行集合的交集运算．A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，于是A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}． 答案：C3．解析：根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断．依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )． 答案：A4.解析：先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数得到m 的表达式，求得m 的最小值．由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时，m 取得最小值π6.答案：B5．解析：先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ.故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等． 答案：D6．解析：首先求出AB →，CD →的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：A7．解析：首先求出速度等于0时的时刻，从而得到汽车行驶的时间，然后利用定积分求出汽车行驶的距离．由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v(t)d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （t ＋1）4＝4＋25ln 5.答案：C8．解析：先根据三视图判断四个几何体的形状，再结合所给数据计算各个几何体的体积，最后做出比较．由三视图可知，四个几何体自上而下依次是：圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V 1＝13×1×(π＋2π＋4π)＝73π，V 2＝π×12×2＝2π，V 3＝23＝8，V 4＝13×1×(4＋8＋16)＝283，于是有V 2<V 1<V 3<V 4. 答案：C9．解析：先求出随机变量X 的分布列，然后利用均值的计算公式求得E(X)．依题意得X 的取值可能为0，1，2，3，且P(X ＝0)＝32125＝27125，P(X ＝1)＝9×6125＝54125，P(X ＝2)＝3×12125＝36125，P(X ＝3)＝8125.故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65. 答案：B10．解析：由已知得f′(x)＝0有两个正实数根x 1，x 2(x 1<x 2)，从而f′(x)的图象与x 轴有两个交点，即f ′(x)的极大值大于0，得到x 1，x 2的取值范围，然后将x 1，x 2代入f(x)的解析式，比较f(x 1)与f(x 2)的大小．f ′(x)＝ln x ＋1－2ax(x>0)，依题意ln x ＋1－2ax ＝0有两个正实数根x 1，x 2(x 1<x 2)．设g(x)＝ln x ＋1－2ax ，则g′(x)＝1x －2a ，显然当a ≤0时不合题意，必有a>0.令g′(x)＝0，得x ＝12a ，于是g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上是减函数，所以g(x)在x ＝12a 处取得极大值，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a >0，即12a >1，0<a<12，且应有x 1<12a <x 2. 于是f(x 1)＝x 1ln x 1－ax 21＝x 1(2ax 1－1)－ax 21＝ax 21－x 1＝x 1(ax 1－1)<0.又x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，x 2时，f ′(x)>0，x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)<0，所以x 2是f(x)的极大值点，所以f(x 2)>f(1)＝－a>－12.答案：D11．解析：(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1，可求出x 的值；(2)求出月用电量落在[100，250)内的频率，即可求得月用电量在[100，250)内的户数． (1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在[100，250)内的户数为100×0.7＝70. 答案：(1)0.004 4 (2)7012．解析：按照程序框图的执行流程分析循环过程，得到输出结果．程序框图的执行流程及中间结果如下：第一步：a ＝10，i ＝1，a ≠4，a 不是奇数，a ＝102＝5，i ＝2；第二步：a≠4，a 是奇数，a ＝3×5＋1＝16，i ＝3；第三步：a≠4，a 不是奇数，a ＝162＝8，i ＝4；第四步：a≠4，a 不是奇数，a ＝82＝4，i ＝5；第五步，a ＝4，这时跳出循环，输出i ＝5.答案：513．解析：先利用柯西不等式求出x ＋2y ＋3z 的最值，再结合题目条件得到x ＋2y ＋3z 的值，然后根据等号成立的条件求出x ，y ，z 的值，从而求得x ＋y ＋z 的值． 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z)2，即(x ＋2y ＋3z)2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y ＝147，z＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.答案：314714．解析：先根据给出的几个结论，推测出当k 为偶数时，N(n ，k)的表达式，然后再将n＝10，k ＝24代入，计算N(10，24)的值．由N(n ，4)＝n 2，N(n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N(n ，k)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N(n ，24)＝11n 2－10n ，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000. 答案：1 00015．解析：设出圆的半径，利用相交弦定理求出CD 的长，再利用射影定理求EO 和CE 的长，从而得到比值．设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R3.由相交弦定理，得CD 2＝AD·DB ，所以CD ＝223R. 在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R 9，于是CE ＝R －R 3＝8R 9，故CEEO ＝8.答案：816．解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a ，b ，c 的等式，再结合a 2＝b 2＋c 2求得离心率． 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m.又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c ，0)，则得c ＝m.又因为直线l 与圆O 相切，所以|m|2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 答案：6317．解：(1)由cos 2A －3cos (B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57.18．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m1a n ＝35·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1（k∈N ＋）0，m ＝2k ，（k ∈N ＋），故∑n ＝1m 1a n <1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．19．(1)解：直线l ∥平面PAC .证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .(2)证法一(综合法)：如图(1)，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC . 已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BE ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l ⊥BF . 故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角，即∠CBF ＝β. 由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ， 所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影．故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，所以BD ⊥BF ，所以∠BDF 为锐角．故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得 sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF， 从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.证法二(向量法)：如图(2)，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD .由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，P (0，0，2c )，Q (a ，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，c ，F (0，0，c )．于是FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c )，BF →＝(0，－b ，c )，所以cos α＝|FE →·QP →||EF →||QP →|＝a a 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2.取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)， 可得sin θ＝|m ·QP →||m |·|QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2. 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝|m ·n ||m ||n |＝bb 2＋c2，从而sin β＝1－cos 2β＝c b 2＋c 2.故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c 2＝ca 2＋b 2＋c 2＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．解：(1)由于随机变量X 服从正态分布N (800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y ，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y ，还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6)． 由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆． 21．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a >m >n >0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图(1)，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD ||OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，所以S 1S 2＝|BD ||AB |. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD ||AB |＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1. 若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简，得λ2－2λ－1＝0. 由λ>1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1. 方法二：如图(1)，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ； |AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD ||OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB ||ON |＝12a |AB |.所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简，得λ2－2λ－1＝0. 由λ>1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图(2)，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)，点M (－a ，0)，N (a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak1＋k2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1， S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ，即|BD |＝λ|AB |.由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |， 于是|AD ||BC |＝λ＋1λ－1.①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B＝ana 2k 2＋n 2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是 |AD ||BC |＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m na 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.②从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③ 令t ＝λ＋1λ（λ－1），则由m >n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）.因为k ≠0，所以k 2>0.于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)⎝⎛⎭⎪⎫t 2－1λ2<0. 由λ>1，可解得1λ<t <1，即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1.由λ>1，解得λ>1＋ 2.所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图(2)，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)，点M (－a ，0)，N (a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1， S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ.因为|BD ||AB |＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1. 由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2Bn2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0.(*) 依题意得x A >x B >0，所以x 2A >x 2B .所以由(*)式可得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）. 因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B<λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.22．(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r－1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当－1<x <0时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1，0)内是减函数；当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，知当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，即(1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故当x >－1且x ≠0时，有(1＋x )r ＋1>1＋(r ＋1)x .①故①中，令x ＝1n(这时x >－1且x ≠0)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n. 上式两边同乘nr ＋1，得(n ＋1)r ＋1>nr ＋1＋n r(r ＋1)，即n r<（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.②当n >1时，在①中，令x ＝－1n (这时x >－1且x ≠0)，类似可得n r>n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1.③且当n ＝1时，③也成立．综合②③，得n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.④(3)解：在④中，令r ＝13，n 分别取值81，82，83，…，125，得34(8143－8043)<381<34(8243－8143)，34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， …，34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)． 将以上各式相加并整理，得34(12543－8043)<S <34(12643－8143)， 代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2，3 4()12643－8143≈210.9.由[S]的定义，得[S]＝211.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北文

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北文

2013年湖北文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2，B=2,3,4，则B∩∁U A= A. 2B. 3,4C. 1,4,5D. 2,3,4,52. 已知0<θ<π4，则双曲线C1:x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ−x2sin2θ=1的 A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等3. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为 A. ¬p∨¬qB. p∨¬qC. ¬p∧¬qD. p∨q4. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y=2.347x−6.423；②y与x负相关且y=−3.476x+5.648；③y 与x正相关且y=5.437x+8.493；④y与x正相关且y=−4.326x−4.578，其中一定不正确的结论的序号是 A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是 A. B.C. D.6. 将函数y=3cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A. π12B. π6C. π3D. 5π67. 已知点A−1,1，B1,2，C−2,−1，D3,4，则向量AB在CD方向上的投影为 A. 322B. 3152C. −322D. −31528. x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f x=x−x在R上为 A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 周期函数9. 某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行，A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为 A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元10. 已知函数f x=x ln x−ax有两个极值点，则实数a的取值范围是 C. 0,1D. 0,+∞A. −∞,0B. 0,12二、填空题（共7小题；共35分）11. i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2−3i，则z2=．12. 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为．13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i=．．设圆O上到直线l的距离等于1的14. 已知圆O:x2+y2=5，直线l:x cosθ+y sinθ=10<θ<π2点的个数为k，则k=．15. 在区间[−2,4]上随机地取一个数x，若x满足∣x∣≤m的概率为5，则m=．616. 我国古代数学名著《数书九章》中有＂天池盆测雨＂题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17. 在平面直角坐标系中，若点P x,y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=（用数值作答）．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A−3cos B+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sin B sin C的值．19. 已知S n是等比数列a n的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=−18．（1）求数列a n的通项公式．（2）是否存在正整数n，使得S n≥2013 ?若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．20. 如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1，同样可得在B，C 处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1<d2<d3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1−A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（1）证明：中截面DEFG是梯形．（2）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为 ，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1−A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中⋅ 来估算．已知V=13d1+d2+d3S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．21. 设a>0，b>0，已知函数f x=ax+bx+1．（1）当a≠b时，讨论函数f x的单调性；（2）当x>0时，称f x为a，b关于x的加权平均数．（i）判断f1，f ba ，f ba是否成等比数列，并证明f ba≤f ba；（ii）a，b的几何平均数记为G，称2aba+b为a，b的调和平均数，记为H，若H≤f x≤G，求x 的取值范围．22. 如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n m>n，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记λ=mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2 ?并说明理由．答案第一部分1. B2. D3. A4. D5. C【解析】[答案] C[解析] 选项A，随时间的推移，小明离学校越远，不正确；选项B，先匀速，再停止，后匀速，不正确；选项C，与题意相吻合；选项D，中间没有停止，故选C．6. B 【解析】y=3cos x+sin x=2sin x+π3，向左平移m个单位后，得到的函数为y=2sin x+π3+m ，若所得到的图象关于y轴对称，则π3+m=π2+kπ,k∈Z，所以m=π6+kπ，k∈Z．当k=0时，m=π6．7. A 8. D 9. C 10. B【解析】由已知得fʹx=0有两个正实数根x1,x2x1<x2，即fʹx的图象与x轴有两个交点，从而得a 的取值范围．fʹx=ln x+1−2ax,依题意ln x+1−2ax=0有两个正实数根x1,x2x1<x2．设g x=ln x+1−2ax，函数g x=ln x+1−2ax有两个零点，显然当a≤0时不合题意，必有a>0；gʹx=1x−2a,令gʹx=0，得x=12a，于是g x在0,12a 上单调递增，在12a,+∞ 上单调递减，所以g x在x=12a处取得极大值，即fʹ12a=ln12a>0,12a>1,所以0<a<1 2 .第二部分11. −2+3i12. （1）7，（2）213. 414. 415. 316. 3【解析】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为1214+6=10寸．则盆中水的体积为13×π×962+102+6×10=588π（立方寸）．所以平地降雨量等于588ππ×14=3（寸）．17. 3，1，6，79【解析】（1）由图可知，四边形DEFG是直角梯形，高为，下底为2S=2+22×22=3,由图知，N=1，L=6．（2）取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S=4，N=1，L=8，结合△ABC、四边形DEFG，可列方程组4b+c=1,a+6b+c=3,a+8b+c=4,解得a=1,b=12,c=−1,故S=1×71+12×18−1=79．第三部分18. （1）由cos2A−3cos B+C=1，得2cos2A+3cos A−2=0,即2cos A−1cos A+2=0.解得cos A=12或cos A=−2（舍去）．因为0<A<π，所以A=π3．（2）由S=12bc sin A=12bc⋅32=3 bc=53,得bc=20．又b=5，所以c=4．由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21,所以a=21．从而由正弦定理，得sin B sin C=basin A⋅casin A=bc2⋅sin2A=20×3=5 7 .19. （1）设等比数列a n的公比为q，则a1≠0，q≠0．由题意得S2−S4=S3−S2,a2+a3+a4=−18,即−a1q2−a1q3=a1q2,a1q1+q+q2=−18,解得a1=3,q=−2.故数列a n的通项公式为a n=3×−2n−1.（2）由（1）有S n=31−−2n1−−2=1−−2n.假设存在n，使得S n≥2013，则1−−2n≥2013，即−2n≤−2012.当n为偶数时，−2n>0，上式不成立；当n为奇数时，−2n=−2n≤−2012，即2n≥2012．即n≥11．综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n∣n=2k+1,k∈N,k≥5.20. （1）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3，所以四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．又点M，N分别为AB，AC的中点，则点D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE，FG分别为梯形A1A2B2B1，A1A2C2C1的中位线，因此DE=12A1A2+B1B2=12d1+d2,FG=12A1A2+C1C2=1d1+d3,而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．（2）V估<V．证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．由MN是△ABC的中位线，可得MN=1BC=1a,即为梯形DEFG的高．因此S 中=S梯形DEFG=1d1+d2+d1+d3⋅a =a82d1+d2+d3,即V 估=S中⋅=a2d1+d2+d3.又S=12a ，所以V=1d1+d2+d3S=a6d1+d2+d3.于是V−V估=a6d1+d2+d3−a82d1+d2+d3 =ad2−d1+d3−d1.由d1<d2<d3，得d2−d1>0,d3−d1>0,故V估<V．21. （1）f x的定义域为−∞,−1∪−1,+∞，fʹx=a x+1−ax+b2=a−b2.当a>b时，fʹx>0，函数f x在−∞,−1，−1,+∞上单调递增；当a<b时，fʹx<0，函数f x在−∞,−1，−1,+∞上单调递减．（2）（i）计算得f1=a+b>0,f b=2ab>0,f b= ab>0,故f1f ba=a+b2⋅2aba+b=ab= fba2, ⋯⋯①所以f1，f ba ，f ba成等比数列．因为a+b2≥ab，即f1≥f b a,由①得f ba ≤f ba．（ii）由①知f ba=H,fba=G,故由H≤f x≤G，得f b≤f x≤fb. ⋯⋯②当a=b时，f ba =f x=f ba=a．这时，x的取值范围为0,+∞；当a>b时，0<ba <1，从而ba<ba，由f x在0,+∞上单调递增与②式，得ba≤x≤ba,即x的取值范围为ba ,ba；当a<b时，ba >1，从而ba>ba，由f x在0,+∞上单调递减与②式，得b≤x≤b,即x的取值范围为ba ,ba．22. （1）依题意，可设C1，C2的方程分别为C1:x2a2+y2m2=1,C2:x2+y2=1,其中0<n<m<a，λ=mn>1．方法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x =0，则S 1=1∣BD∣⋅∣OM∣=1a∣BD∣,S 2=12∣AB∣⋅∣ON∣=12a∣AB∣,所以S 12=∣BD∣. 在C 1和C 2的方程中分别令x =0，可得y A =m ,y B =n ,y D =−m ,于是∣BD∣∣AB∣=∣y B −y D ∣∣y A −y B ∣=m +n=λ+1λ−1. 若S 1S 2=λ，则λ+1λ−1=λ，化简得λ2−2λ−1=0.由λ>1，可解得λ= 2+1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λS 2，则λ= 2+1． 方法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则∣BD∣=∣OB∣+∣OD∣=m +n ,∣AB∣=∣OA∣−∣OB∣=m −n ;S 1=12∣BD∣⋅∣OM∣=12a∣BD∣,S 2=12∣AB∣⋅∣ON∣=12a∣AB∣.所以S 1S 2=∣BD∣∣AB∣=m +n m −n =λ+1λ−1. 若S1S 2=λ，则λ+1λ−1=λ，化简得λ2−2λ−1=0.由λ>1，可解得λ= 2+1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λS 2，则λ= 2+1．（2）方法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l:y=kx k>0，点M−a,0，N a,0到直线l的距离分别为d1，d2，则d1=∣−ak−0∣1+k2=ak1+k2d2=1+k2=1+k2所以d1=d2．又S1=12∣BD∣d1,S2=12∣AB∣d2,所以S1 2=∣BD∣=λ,即∣BD∣=λ∣AB∣．由对称性可知∣AB∣=∣CD∣，所以∣BC∣=∣BD∣−∣AB∣=λ−1∣AB∣,∣AD∣=∣BD∣+∣AB∣=λ+1∣AB∣,于是∣AD∣∣BC∣=λ+1λ−1. ⋯⋯①将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得x A=ama2k2+m2x B=a2k2+n2根据对称性可知x C=−x B，x D=−x A，于是∣AD∣=1+k2A D 1+k2∣x B−x C∣=2x A 2x B=mn a2k2+n2a2k2+m2. ⋯⋯②从而由①和②式可得a2k2+n2 222=λ+1. ⋯⋯③令t=λ+1λλ−1，则由m>n，可得t≠1，于是由③可解得k2=n2λ2t2−122.因为k≠0，所以k2>0．于是③式关于k有解，当且仅当n 2λ2t2−1a21−t2>0，等价于t2−1 t2−12<0.由λ>1，可解得1λ<t<1，即1λ<λ+1λλ−1<1.由λ>1，解得λ>1+ 2.所以当1<λ≤1+l，使得S1=λS2；当λ>1+2时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．方法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l:y=kx k>0，点M−a,0，N a,0到直线l的距离分别为d1，d2，因为d1=1+k2=1+k2d2=1+k2=1+k2所以d1=d2．又S1=12∣BD∣d1,S2=12∣AB∣d2,所以S1 2=∣BD∣=λ.因为∣BD∣∣AB∣=1+k2B D1+k2∣x A−x B∣=x A+x Bx A−x B=λ,所以x A B =λ+1.由点A x A,kx A，B x B,kx B分别在C1，C2上，可得x A 2a 2+k 2x A 2m 2=1,x B 2+k 2x B 2=1,两式相减可得x A 2−x B 2a 2+k 2 x A 2−λ2x B 2 m 2=0. ∗ 依题意得x A >x B >0，所以x A 2>x B 2．所以由 ∗ 式可得k 2=m 2 x A 2−x B 2 a 2 λ2x B 2−x A 2 . 因为k 2>0，所以由m 2 x A 2−x B 2a λx B 2−x A 2 >0，可解得 1<x A x B<λ. 从而1<λ+1λ−1<λ，解得 λ>1+ 2,所以当1<λ≤1+ 2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2； 当λ>1+ 2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2．。

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