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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲不定方程

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第十二讲不定方程趣题引路】暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯“足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17 分•比赛规泄胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次.解析设胜x 场，平y 场，则有3x+y= 17, 即 3x=17-y.•••0W3xW17, •••0WxW5, 点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数， 一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不左方程，但上面的问题中隐含了条件x,)€N,我们对其进 行分析，得出了 x, y 的有限解，也就说明了不泄方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行 研究.知识延伸】一、不定方程的整数解求不左方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知 数的取值范围，再在这个范围中取值求解.1. 构造不等式缩小取值范围求解例1求21x4-15y=123的正整数解.解析原方程可以化为7.r4-5y=41,7x=41—5y,Vx, y^N',.・.7W7xW36,.•・1W X W5.V5 I 5y, A5 I (41-7x),.・.7x 的个位数必是1或6,.Jx = 3• • ' • y = 4点评：通常先确左系数较大的未知数的范用，本题求出1W X W5后，本可以使x 分别取1~5五个整数代入 求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便.2. 利用通解定理求解.¥ = 0 y = 17 \ = 1 (x = 2x = 3 Jx = 4 >* = 8 * y = 5泄理：如果心"是互质的整数，c是整数，且方程ax+hy=c有一组解则此方程的一切整数解可表丿=>0示为|2勺+切,（其中『为整数）y =儿_（"例2 （198年“希望杯“试题）篮球、排球、足球放在一堆共25个，英中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是__________ .解析设足球x个，排球y个，则篮球7x个.依题意有8x+y=25・\ = 3yWN',易知/ '是方程的解，l.v = 1Y — 3 + /•I其通解为Q （M）y = 1-8/又U1可解得一2W/W0当t=—2时，»一［;y = 17当『=一1时，彳jy = 9. x = 3当F=0时，所以，排球数为1个、9个或17个.点评：对于一些系数比较简单的不左式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由泄理得出通解，然后根据题意求出/的取值范围，再代入求出未知数的值.3.分离整系数求解例3 （2002年新加坡数学竞赛题）正整数加、"满足8加+9“=加+6,则m的最大值为______________解析Sm—nin = — 9〃+6；即（8—n）m = — 9〃+6・当n=8时，原方程无解：心-9n + 6 = -％+ 72「66 “十亘— 71 + 8 — n + 8 n— 8当料一8 = 1,即”=9时，加有最大值9+66=75,满足题意.所以，加的最大值为75.二、不定方程组一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求”个未知数需要”个独立的关于它的方程.当未知 数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组.例 4 已知 x 、y 、z 满足［严〉'；4「5 ，则 x+y+z= __________ .7x+y + 3z = 14 ②解析 要求岀x+y+z 的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1 ： 1 ： 1.①><«得2也+5灯+4仗=15匕③③+②得(2£+7)x+(5k+l)y+(4k+3)z=15£+14・④依题意得 2k+7=5k+1 =4k+3,解之得k=2.将k=2代人④式得llx+lly+llz=44,••」+y+z=4.点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来， 否则是求不出来的.如本题求x+y+2z 是求不岀来的，因为由2k+7=5£+l 得出k=2,代入2(氓+3)不能等 于5£+1・已知、且如°’求普浄的值・7解析：①-②得女-2円，即「2.7将代人②得y=-- z ・点评：同例4 一样，本题也求不出八y 、x 的具体值，但方程组和求岀的代数式是关于儿八z 的齐次式, 所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出. 三、不定方程组的整数解不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将英化为不左方程求解.例6中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁.鸡母、 鸡雏各几何？解析：设鸡翁、鸡母.鸡雏的只数分别为八y 、z,则有x + y + z = 100① 5x + 3>- + | = 100 ②消去x 得7x+4y=100③再将尸寺代人所求代数式普殳 2 1 1(yZ )(--Z )+ 2(--Z )Z(討+(-討-F 6 —z 11S yWN•••os= 100—4応 100,•••0WU14,•••41(100—4y), A4 I 7x, A4lx, /•x =0, 4> 8> 12,代入③式得y=25, 18, 11, 4, 代人①式得z=75, 78, 81, 84 # € ■ 点评：本题转化成求7A -4-4V =100的非负整数问题后，也可以用通解方法求解，易知x=0, y=25是特解. 好题妙解】佳题新题品味例不定方程4A +7V =2001 W ____ 组正整数解.解析：4x+7y=3X667易知“二〕?是英一组特解’ y = 667.•.其通解为F 心 y = 667-4/-667 + 7曰667 - 4&1解之得96WfW166•••/可取整数值共71个•••4x+7y=2001有71组正整数解.点评：将常数项分解，结合未知数系数的特点，使找特解变得容易•像这类解的组数较多的问题，一般 用通解定理解决.中考真题欣赏例（广州市中考题）在车站开始检票时，有a （“>0）名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍 有旅客继续前来排队检票进站•设旅客按固左速度增加.检票口检票速度也是固左的，若开放一个检票口，则 需30min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕：若开放两个检票口，则需lOmin 方可将排队等候检票的 旅客全部检票完毕；如果要在5min 内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客随到随检， 至少要同时开放几个检票口？解析：题中有几个未知量，不妨设旅客增加的速度为〃名/分钟，每个窗口检票的速度为c •人/分钟，需要 开x 个窗口•依据题意，有a + 30b = 30c ①< e/ + 10/?=20c② a + 5Z?W5cv»③ 则①、②式，得< ;1 /? = -C 2 ， “=15c代入③式得x$3・5,•: xwN 、•••心站=4,即最少需要开4个窗口 点评：检票进站涉及原有旅客、新增旅客、检票速度、需开检票口等多个未知量，依据题中的相等关系 和不等关系，综合运用方程（组）、不等式（组）、不左方程（组）的相关知识求解. X = 0 x = 4 A = 8\ = 12 < y = 25 , < v = 18 , < y = 11, «y = 4 z = 75 5 = 78 z = 81z = 84竞赛样题展示例（1999年湖南省竟赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，若每次2粒、3粒、4粒、6粒的取出，最终盒内都剩一粒棋子：若每次11粒取出，那么刚好取完•求盒子里共有多少粒棋子？解析：设盒子中有棋子y粒，则易知12 I （j-1）, 11 I y,不妨设pi2〃? + l （加，“丘”）.则有1“ y = 1 b? —\2m=l.■易知f0 = ",是其一组特解,故有門T+⑵（心）,叫=一1 ［加=一1 + 1”由加W16, nW 18,又m219>「1W-1+12/W18■"W16解之得f=l,= 11, = 10»y= 121.故盒子里共有121粒棋子.点评：由21©—1）, 31（〉一1）, 41©—1）, 61©—1）,可得121©—1）・过关检测】1 •求方程13.r+5y=8的整数解.2.求方程7.r+19y=213的所有正整数解.3.求方程5x-15.y=22的所有整数解.4•用2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同凑法?5•—个六位数，若将它们的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为原来的六位数的6倍•求此六位数.6•小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中了一次，共得61分，问小鸡至少被套中了几次？7•李林在银行兑换了一张面值100元以内的支票，兑换员不小心将支票上的元数与角、分数字看倒置了（如：把12. 34元看成了34.12元），并按看错的数字支付，李林将其款花去了 3.50元，发现其余数恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行退钱，那么李林应退回多少元？B级1.求所有可使得19加+90+弘=1998的正整数对（皿⑵的对数.2•某校一学期举行了20次数学测试，共出题347道，每次出题16. 21或24道•问有多少次测试岀题21 道？3•求所有被29整除余7、被41整除余28的正整数中，能被7整除的最小正整数.4.求不圧方程x+2y+3z=18的非负整数解的组数.5•证明：存在无穷多组正整数（儿八X）使得八八z两两不等，且八儿2中任意两个数之积是列一个数的倍数，并且x+y—x=l・6•在。

7之间，将所有分母不超过99的最简分数从小到大排列，求疇相邻的两个数.第十二讲不定方程A 级l *解:因为⑴,5)J 所以方程有整数诃::二是方程的一组柚•所X 方程的整数解为二爲.这—販2.解:因为(7.19) = 1,所以原方程有整数解『且*0=6,是方程的一组特解.于是，原方程的整数解为 % =9.｛；:爲:珂:; 当 E"｛;::;“25,了=2・P"45,是原方程的一组特解.于是•原方程的所有整数解是1/0 M 2.厂=45-仝>0,于是，.]“<9,即”0」,2,...,8,共9组解，故共有9种不同的凑法.ly =2 +2t >0, 5. 無：设原六位数前三位数字组成的数为珀后三位数字组成的数为儿则有6(1000工"000y +血 142厂857*.由于(857,142) = 1,则 142b,857【人且 142",857ly,且7 为三位数，所以»s W2.r = 857.即这个六位数是142857.6・解;设小鸡被套中了工次,小猴被套中了 y 次，则小狗被套中了( W -并-刃次・依題意有9—刃+ ・，｛；：[即小鸡被套中5次. 7-解:设支票上的元数与角、分数分别为m 则有方程1(X)7 a - 350 =2(100缶*),这里工』为整 数，且 0O v 100.0 Wy <100.化簡方程，得 98y = 19% + 350,即 199x - 9分=-350,其特解为 r _ J 所以”方程 1 皿-9 収=-350 的通解为?=14+982> 又由于 0<x<100,0^r <100.pJ(#e L% 二九・ = 32 + 199#.5仁:故李林所持支票的面额为14.32元展看成32. 14元■应退回32. 14-14.32 “7, 82(元).即原方程的正整数解为｛；:: 3. 解:因为(5.-15)=5,而5\22,故原方程没有整数解，4. 解:设2分的硬币丫个和5分的硬币y 个，可凑成一元钱，则依题意可得2“5—100,显然 『皿亠'这里(为整数.令ly-2 +2«,x=251r=2.JK>O f2(L0-r-y) =61■即lx +3y«41 f J&. y>O f(m = 100 -8r f< .s /为整数.In =1 4 叽由ra>0,n>0,可得0W1W12.所以,满足条件的正整数对(m』)有13对.2.解:设出题数为1G、21、24的测试次数分别为工、“,则依题意•有厂x4Z+x=20r16x+21y+24r^374・•于是5y + 8z=54,解之得卩号为整数，进而可得"11+3(.U =3 +5*.由于兀、八2都为非负整数，故,只能为6,从而有6次测试是出题21道.3.解：设所求的正甦数为工，并设"29"7 =416+28=7e.这里为正整数.解不定方程29a-4L221,得｛；鳥：；：‘(为整数•又7129a+7,故7 la,从而，符合条件的垠小正整数a =70,此时工=2037.4・解:设(a,y,x)是方程的非负整数解，則0WZW6,分别就“0,1,2严,6讨论,可知方程的非负整数解的组数为借卜閱打自+5-证明:为满足任意两数之积是另一个数的倍数，液们令= 则要求ab + be -ca =E.不妨取0 = a -1,® c = a(a - 1) -1.所以，若a为大于1的正整数，则正整数组Jyz)满足要求，这里%=«(a-l)；r = (a-!)[fl(a- 1)■叮S从而命题成立.的正整数解出发•得解r:十:；/为整数，鉴于汗99,故使丁垠大的正掩数解为m而当4 心，[y =85.17—6Q2时,駕务斋弓爲^為•所以与骡邻的数中,左边那个为篇类似地，可知右边那个为丽,(「9 ] I• 6 1 riTrl1.解,注意到叫'〔°0'是其一个特解,所以原方程的通解为.所以17厂76Q1,先从不定方程17y-76x si。

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页

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初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。

【例3】 解关于的方程。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。

高中数学竞赛辅导初等数论不定方程

高中数学竞赛辅导初等数论不定方程

不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程 （1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。

（2）沛尔)(pell 方程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]n nn n n n x x x y x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（1,2,3,n =）给出.①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x ,满足的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n nn n x x x x y x y y ----=-⎧⎨=-⎩ ， （3）勾股方程222z y x =+这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。

容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。

定理三：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数.4．不定方程zt xy =这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：设a z x =),(，则ad z ac x ==,，其中1),(=d c ，故1),(,,===d c dt cy adt acy 因即， 所以bc t bt y y d ==则设,,|. 因此方程zt xy =的正整数解可表示为d c b a bc t ad z bd y ac x ,,,.,,,====都是正整数，且1),(=d c .反过来，易知上述给出的t z y x ,,,都是解.也可采用如下便于记忆的推导： 设d c d c y t z x 这里,==是既约分数，即1),(=d c . 由于z x 约分后得出dc，故ad z ac x ==,，同理.,ab y cb t ==2．不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法； 5．因式分解法6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个） 7．无穷递降法由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法. 注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例： 证明：方程442x y z +=无正整数解。

初中七年级数学知识点专题讲解与练习18---简单的不定方程、方程组(培优版)

初中七年级数学知识点专题讲解与练习18---简单的不定方程、方程组(培优版)


入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
6 / 11
对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
1 / 11
【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
4 / 11
邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子
初中数学竞赛辅导-一次不定方程

初中数学竞赛辅导-一次不定方程

学科：奥数教学内容：一次不定方程经验谈一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。

思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。

多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。

内容综述：我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程，解这个方程可得。

如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程。

显然这个方程有无数多组解。

比如等。

这种未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。

不定方程（组），顾名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。

我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。

本期主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。

要点讲解：§1、二元一次方程的整数解例1 求方程的整数解解若x,y为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。

由上例可以得到下面的定理定理1若二元一次不定方程，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。

由此，当a,b的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑x,y的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有定理2若整数a,b 互素，则方程有整数时，同时方程也有整数解。

若是方程的一个整数解，则是方程的一个整数解。

★★例2 求方程的整数解解设x,y是已知方程的整数解由x,y之中较小的系数4去除各项得把和中的整数分离出来，得因为5-y和x都是整数，则也是整数，设，k为整数，则，把代入已知方程得所以是方程的整数解，并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。