高中数学比赛试题及答案

高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．

x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）

其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．

2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．

【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．

4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄

【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2

对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．

5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．

【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1

2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案

一、

选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）

1．“a =2，

2b

”是“曲线C：22

221(,,0)xy

abRab

ab

经过点

2,1”的( A )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A.

解答：当a =2， 2b

曲线C：22

221xy

ab

经过

2,1；当曲线C：22

221xy

ab

经过

点

2,1时，即有

2221

1

ab

，显然2,2ab

也满足上式。所以“a =2，

2b

”

是“曲线C：22

221xy

ab

经过点

2,1”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2mmm，则实数m的取值范围为

( B )．

A． 1m B． 3

1

2m C．3

3

2m D．3m

答案：B.

解答：由题意可知：

222(1)2

(2)(1)(1)mmm

mmmmm





解得3

1

2m

。

3． 如图，在正方体ABCD-A

1B

1C

1D

1中，M为BB

1的中点，

则二面角M-CD

1-A的余弦值为( C )．

A．

3

6 B． 1

2 C．

3

3 D

．6

3

答案：C.

解答：以D

为坐标原点，

1,,DADCDD

所在的直线分别为,,xyz

轴建立空间直角坐标系，则

11

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)

2DACDM

，且平面

1ACD

的法向量为第3题图

MC

1

B

1D

1

A

1

CD

A

B1n(1,1,1)

，平面

1MCD法向量为

2(1,2,2)n。因此

12

3cos,

3nn

，即二面角

M-CD

1

-A的余弦值为3

3。

4．若实数,ab满足20

10

1ab

ba

a









，则2

2ab

ab

的最大值为 ( C )．

广州市黄埔区高中数学教师解题比赛

试题

（考试时间：2004年12月12日9：00－11：

00）

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，

共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出

的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，把你认为的正确选择支填在答题卷的相应

题号下）

（1）设集合A＝{a，b}，且A∪B＝{a，b，c}，那么满足条件的集合B

共有

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（2）已知a＝（1，2），b＝（x，1），当（a＋2b）⊥（2a－b）时，

实数x的值为

（A）6 （B）－2 （C） （D）－2，

（3）给出四个命题：

①若直线a∥平面α，直线b⊥α，则a⊥b；②若直线a∥平面α，a⊥

平面β，则α⊥β；

③若a∥b，且b 平面α，则a∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，

则α⊥γ.

其中不正确的命题个数是（A）1 （B）2 （C）3

（D）4

（4）已知a＜0，点A（a＋，a－），点B（1，0），则|AB|的最小值为

A9 （B （C）3 （D）1

（5）已知，函数f（x）＝2sinωx在［0，］上递增，且在这个区间上的

最大值是，那么ω等于

（A） （B）或 （C） （D）

（6）甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别是、、，今三人各投篮一次

至少有一人

命中的概率是（A） （B） （C） （D）

（7）已知复数z－1的辐角为，z＋1的辐角为，则复数z等于

（A） （B）（C） （D） 规格类型A规格B规格（8）若关于x的方程x2－x＋a＝0，x2－x＋b＝0（a≠b）的四个实数根组

成以为首项的等差数列，则a＋b的值为（A） （B）

（C） （D）

（9）把正方形ABCD沿对角线BD折叠后得到四面体ABCD，则AC与平

面BCD所成角不可能是

（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

（10）若以(y＋2)2＝4（x－1）上任一点P为圆心作与y轴相切的圆，那

.

.

1、已知方程0表示一个圆.

（1）求t的取值范围；

（2）求该圆半径的取值范围.

2、若两条直线的交点P在圆的内部，求实数的取值范围.

3、已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在上.

（1）求圆M的方程；

（2）设P是直线上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.

4、已知一圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积.

5、已知两点A(-1,0),B(0,2)，点P是圆上任意一点，求△PAB面积的最大值与最小值.

6、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1，求实数c的取值范围.

7、已知圆经过第一象限，与轴相切于点，且圆上的点到轴的最大距离为2，过点作直线．

⑴求圆的标准方程； ⑵当直线与圆相切时，求直线的方程；

⑶当直线与圆相交于、两点，且满足向量，时，求的取值范围．

8、在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．

9、已知点P(0,5)及圆Cx2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

10、已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．

11、已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为__________，公共弦长为________．

12、在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.