构造函数解不等式

《数学之友》　２０１０年第８期　

构造函数模型解不等式恒成立问题　解题探索　蒋松华　（江苏省泰兴市第二高级中学，２２５４００）　高中数学教学中的很多问题属于恒成立问题，　近几年恒成立问题成为高考的一大亮点，在高考试　题中屡见不鲜．对于匿成立问题应如何求解，本文通　过几道例题介绍一些解题方法．　例１　已知函数／（　）＝导　一÷　＋（口＋１）　Ｊ　二　＋１，其中ｎ为实数，若不等式厂（　）＞　一　一口＋１　对任意。∈（０，＋∞）都成立，求实数　的取值范围．　解法一：由题意，知　一３ｘ＋０＋１＞　一　一口　＋１对任意０∈（０，＋∞）都成立，　且　ｎ（　＋２）一　一２ｘ＞０对任意０∈（０，＋∞）　都成立．设ｇ（ａ）＝ａ（ｘ　＋２）一　一２ｘ（口∈Ｒ），则对　任意的　∈Ｒ，ｇ（ｎ）为单调递增函数（口∈Ｒ　）．　．‘．对任意口∈（０，＋∞），ｇ（ａ）＞０恒成立的充　要条件是ｇ（０）＞１０，即一　一２ｘ≥０．　．’．一２≤　≤Ｏ．　于是　的取值范围为｛ｘ／一２≤　≤０｝．　解法二：由题意，知　一３ｘ＋口＋１＞　一　一口　＋】对任意０∈（０，＋∞）者　成立，且ｐⅡ（　＋２）一　一２ｘ＞０对任意口∈（０，＋∞）都成立．　于是０＞　等对任意口∈（０，＋∞）都成立．　十二　２　ｌ，）　即　≤０，．・．一２≤　≤０．　．　的取值范围为｛　Ｉ一２≤　≤Ｏ｝．　说明：解法一属主元法，即把。看成主元，构造　辅助函数ｇ（口），解法二属分离参数法，进而往下转　化为解不等式的问题．ｍ＞ｆ（　）恒成立甘ｍ＞　［厂（　）］　，ｍ＜厂（　）恒成立舒ｍ＜［厂（　）］　ｉ　．当　）　的最值取不到时，注意表达式要规范，如　）＜１，　则ｍ＞ｆｌ　）恒成立甘ｍ≥１．　例２　函数ｆ（　）＝　。一３ｘ＋１对于任意的　戈∈［一１，１］，总有ｆ（　）≥０成立，求实数ａ的取　值范围．　解：由ｆｌ　）＝似。一３ｘ＋１，　得厂（　）＝３ａｘ　一３＝３（ｎ　一１）．　所以，１。当口≤０时　（０）＜０，　则厂（　）是［一１，１］上的减函数．　．・．　）的最小值为　１）＝口一２，　由题意，得口一２≥０．　．‘．口／＞２与口≤Ｏ矛盾，故不成立．　２。・．‘　Ｅ［一１，１］，．・．０≤　≤１．　．‘．当０＜。≤１时　（　）≤Ｏ．　所以　）依然是［一１，１］的减函数．　由１。可知仍然不成立．　３。当口＞１时，令厂（　）＝０，　即　一１＝０，解的　＝±＾／　．　Ｖ“　列表如下：　一ｌ　ｆ－】一　１｜１　（一　，　／１　（　，，）　ｌ　＼　。　ａ，　口√　，（　）　＋　Ｏ　Ｏ　＋　，（　）　４一ｎ　增　极大值１＋２　／　减　极小值１一　√÷　增　口一２　Ｖ　ａ　由表可知，　）ｆｎｉ　＝　用小２　，或　ｆ（ｘ）。　＝４一ｎ，或　）　ｉ　＝口一２．　根据题意，得　

２００８年第１期　数学教育研究　・　５１　・　

构造函数解决不等式及相关问题　

刘会丰　（山东省菏泽市第一中学２７４０００）　

函数是中学数学中最重要的一部分内容，学习函　

数，不但要理解某些具体函数的性质，会解决一些函数　

问题，更重要的是学会函数思想，应用函数思想解决问　

题．构造函数就是函数思想的一个典型应用，本文就以　

几个简单的例子说明构造函数在解决不等式及相关问　

题中的应用．　

１构造单调函数　

在解决一些不等式问题或一些参数的取值范围问　

题时，有时若能构造出恰当的单调函数，许多看似不好　

下手的问题也可很容易解决．　

例１　ｎ，ｂ，ｆ为实数，且它们的绝对值都不大于１，　

求证：口６＋　＋ｃａ＋１≥０　

分析：这是个不等式问题，只是利用不等式知识　

直接去证不太好证．可以考虑转化为函数问题，而这里　

面没有变量，因此可以考虑任选ｎ，ｂ，ｃ之一作为一个　

变量，原问题便可转化为一个函数问题．　

证明：令ｆ（ａ）一（６＋ｆ）口＋ｂｃ＋１　

则函数ｆ（ａ）是关于ａ的一次函数，所以ｆ（ａ）是单　

凋函数，　

因此只需证明厂（１）＞０且厂（一１）＞０，　

而＿厂（１）一ｂ＋ｃ＋ｂｃ＋１一（６＋１）・（ｆ＋１），由ｂ，Ｃ　

的取值范围，可得厂（１）＞Ｏ，同理可得厂（一１）＞０，　

所以，厂（ａ）＞０，即ｎ６＋　＋Ｃａ十１≥Ｏ．　

例２　ａ，ｂ，Ｃ，ｍ均为正数，且ｎ　＋ｂ　一Ｃ　．求使得　

能以ｎ，ｂ，Ｃ为边构成三角形　的取值范围．　

分析：要使得能以ａ，ｂ，Ｃ为边构成三角形，只需ｎ，　

６，Ｃ任意两数之和大于第三个数，由ａ　＋ｂ　一Ｃ　，且ｎ，　

ｂ，ｆ，　均为正数，所以显然Ｃ最大，因此只需ａ＋６＞Ｃ　

即可．而由条件等式可得：ｃ一　＋ｂ　。所以只需ａ＋ｂ　

＞　＋ｂ　，即（ａ＋６）　＞ａ　＋ｂ　，再化简一次便有　

（　）＋（　。　）＜１．原问题便等价转化为这个式　

子成立的参数的取值范围问题．所以只需构造函数　

厂（　）一（　）＋（　），该函数显然是一个单调　

高中数学不等式的恒成立问题

不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。

一、构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.

例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即 解得故的取值范围是.

注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法

在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.

例2 已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立

注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.

用构造函数的方法解决有关不等式问题　江苏省泗洪中学张飞飞　在中学数学教材中，对于不等式的证明，一般只介绍两种方　法．一种是作差法，一种是求商法。但是有些不等式的证明却不　能用这些方法解决威者说用这些方法解决起来难度大。我们可　以尝试用构造函数的方法，通过求导证明不等式。下面我结合　具体的实例来阐述这种数学方法。　例１若Ⅱ。ｂ＞Ｏ，求证ｌｎａ一１ｎ６≥１－ｂ．　证明：令　＝　，则　＝一１．因为ａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ，所以，构造函数　ｆ（ｔ）＝Ｉｎｔ＋÷一１，　，（￡）＝｝专＝　．　（ｉ）当０≥６时，ｔ≥１　（￡）≥０，即　￡）单调递增。当拄１时，　Ｊ（ｔ）ｍ￣＝ｌｎｌ＋ｌ一１＝０．所以ｆｉｔ）＞ｉ０．　（ｉｉ）当ａ＜ｂ，￡＜１时　（　）＜０，即　）单调递减。当ｔ＝ｌ时　一＝　Ｉｎｌ＋ｌ一１＝０，所以　）＞０．　综上所述　ｔ）恒大于等于０，　所以　Ｉｎａ－Ｉｎｂ≥１－ａ　．　０　例２证明：当时ｘ＞ｌ时。ｅ　＞ｅｘ．　证明：构造函数Ｉ，　）＝ｅ　ｅｘ（ｘ＞１），由于／　）在【１，＋。。）上连续且　可导，且／’　）＝ｅ　ｅ＞０（ｘ＞Ｕ，因此函数／　）＝ｅ　一ｅｘ在【１，＋　）上单调增　加。所以当ｘ＞ｌ时　）坝１）＝０，　即ｅＸ－ｅｘ＞Ｏ．ｅＸ＞ｅｘ．　例３若ｘ＞Ｏ，试证　＜１ｎ（１懈）　．　证明：设／　）＝１ｎ（１　），则／　）在［０卅上满足拉格朗日中值定　理，故存在８ｅ［０，　】使，（８）＝　，　即击＝ｌｎ（　ｌ＋ｘ）一．　因为０＜５＜ｘ，　＜　＜１，　所以土＜　＜１，　即≠一＜１ｎ（１帆　．　例４证明不等式Ｉｓｉｎ俨ｓｉｎｂｌ≤ｌａ—ｂ１．　证明：构造函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，并设ａ＞ｂ，显然函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ在闭　区间【ｎ，６】上连续，在开区间　６）内可导，ＪＪ．ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ，由拉格朗日　中值定理得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）　（∈）（６一　，　即ｓｉｎａ－ｓｉｎｂ＝ｌａ－ｂＩｃｏｓ￣，　，６）．　因为ＩｃｏｓＯ≤１。　所Ｉ）ＡＩｓｉｎａ—ｓｉｎｂｌ＝ｌａ—ｂｌｌｃｏｓ￣ｌ≤Ｉ　６Ｉ．　得证．　例５已知函数　）＝ａｘ２＋ｌｎｘ￣（ｘ）＝　１　ｘ２＋争　＋５　ｌｎｘＡ（ｘ）＝　１　２＋２似，畦　．　・ｌ６－涪数外学司・教学参考　（１）若／　）　）在区间（１，＋。。）上恒成立，求。的取值范围；　（２）当　时，求证：在区间（１，＋。。）上，满足　）＜ｇ　）　）恒　成立的函数ｇ　）有无穷多个。　解：（１）令ｐ　）　）　）＝ａ一　一２ａｘ＋ｌｎｘ＜０，对　∈（１，＋ｏｏ）恒　成立，　因为ｐ’　）＝（２。一１江－２ｎ＋　一（２ａ－１）ｘ　￣－２ａｘ＋１一＝　（ｘ－１）ｌ（２ａ－１）ｘ－１］一．　令ｐ’　）＝０，得极值点　１：１　・　①当　＜ｎ＜１时，有ｘ２＞ｘｌ＝１，即　＜Ⅱ＜１时，在（　＋ｏ。）上有　ｐ’　）＞０，此时ｐ　）在区间　：＋ａ。）上是增函数，并且在该区间上有　ｐ　）Ｅ　２），。。），不合题意；　②当ｎ≥１时，有Ｘｚ＜Ｘ。＝１，同理可知，ｐ　）在区间（１，＋　）上，　有ｐ　）∈（Ｐ（１），＋ｏ。），也不合题意；　③当。≤　时，有２ａ－１≤０，此时在区间（１，＋　）上恒有Ｐ’　＜ｏ，　从而ｐ　）＜Ｏ在区间（１，＋　）上是减函数；　要使Ｐ’　）＜０在此区间上恒成立，只须满足ｐ（１）＝－ａ－　１≤０　ｊ口≥一　１，所以一下１≤。≤　１．　综上可知。的范围是［一下１，　］．　（２）当　争时　）：ｌｘ２＋　４　＋　１ｎｘ，ｆｉ（ｘ）＝　１　２　＿－＿＿４　记　）　）　）＝Ｔ１　ｘ２－　１吡　Ｅ（１，＋ｏ。）．　因为ｙ’＝孚一　：　＞０，所以ｙ＝ｆＥ（ｘ）－ｆｉ（ｘ）：￣（１，＋　）上　为增函数，所以　）　）　１）　（１）＝　１．　设　）　）＋｝　，（０＜　＜１），则　）　）　），　所以在区间（１，＋。。）上，满足　）＜ｇ　）　）恒成立的函数ｇ　）　有无穷多个。　此题是一道比较函数大小的问题，在这两问中，我们都采用　了构造函数的方法来建构一个新的函数，第一问建立了函数　ｐ　）　）　）＝ａ一　一２ａｘ＋ｌｎｘ，第－－Ｉ￣Ｔ函数　）　）一　）＝丁１　Ｘ２－　１ｎｘ，　Ｅ（１，＋　），把比较函数大小的问题转化为新函　数的最值问题。　以上例题都阐述了构造新函数的方法。构造函数的核心是　构造，即在解题时打破常规，另辟蹊径，表现出简洁、明快、精巧　等特色。一般来说，它会运用到一些解压轴题上，如果学生能够　深入领会，那么在解决一些难题上会有很大帮助。