平方根
课 程 平方根 课时安排 1课时
学情分析 学习过 “棋盘上的故事”就认识了一种运算 “乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方。知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0。学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根。那么这一课时进一步学习平方根。本节也为后面学习 “立方根”做基础。
教学目标 ①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系。
②进一步明确平方和开平方是互逆的运算关系。
③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力。
教学重点 ①了解平方根、开平方的概念。
②了解开方与乘方是互逆的运算，会算术平方根和平方根。
③了解平方根与算术平方根的区别与联系。
教学难点 ①平方根与算术平方根的区别和联系。
②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算。
教学过程设计 本节采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节
第一环节：复习旧知，引入新知；第二环节：形成概念，辨析概念；第三环节：例题和巩固练习；第四环节：课堂小结；第五环节：思维拓展；第六环节：布置作业。
教学设计 二次备课
一、复习旧知 引入新知
方法一：复习引入
1．什么叫算术平方根？
2. 3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 。
3. 52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是__52___。
4. 展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米
5. 到目前为止，我们已学过哪些运算？这些运算之间的关系如何？
6. 乘方有没有逆运算？ 7. 平方和算术平方根之间的关系？
已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为_1_。将它扩展，面积变为原来的2倍，那么它的边长为_2_；面积变为原来的3倍，则边长为_3_；面积变为原来的n倍，则边长为__n__。
方法二：复习引入
《平方根》教案
教学目标
一、教学知识点
1.了解平方根的概念、开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.
3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.
二、能力训练要求
1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论数据.
2.提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与合作，变学会知识为会学知识.
三、情感与价值观要求
通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走上社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.
教学重点
1.了解平方根、开平方的概念.
2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.
教学难点
1.平方根与算术平方根的区别与联系.
2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.
教学方法
讨论比较法.
即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=a，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是(－2)2=4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.
二、讲授新课
1.平方根、开平方的概念 ［师］请大家先思考两个问题.
(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？
(2)平方等于254的数有几个？平方等于0.64的数呢？
［生］－3的平方也是9.
52的平方是254，－52的平方也是254，即平方等于254的数有两个.
［生］平方等于9的数有两个，平方等于254的数有两个，由此可知平方等于0.64的数也有两个.
平方根
师：上课，同学们好！
师：多媒体展示了一道题，老师请一位同学帮助念一遍，其它同学认真听，思考答案。
师：老师听见有同学说答案是5，谁来说一下，你的解题思路。XX你来说，很好，请坐。他
说正方形的面积是25，根据正方形的面积公式可知边长乘以边长等于25，所以边长就是5，
大家同意吗？恩，很好，这有一张表，根据正方形的面积求出正方形的边长。大家动手填一
下。
师：做好的同学请举手，给大家看一下你的结果。同学们对照一下XX的计算结果，和大家
算的一样吗？已知正方形面积求边长，是不是可以转化为已知一个正数的平方，求这个正数
的问题。
师：一般的，已知一个正数的平方是a，即2xa=，那么这个正数叫做a的算术平方根。 记作：a；读作：根号a，a叫做被开方数。 0的算术平方根是0；
请同学们默读几遍算术平方根的概念。
师：为了检查同学们对算术平方根定义的掌握情况，黑板上有几道题，大家快速做一做，我
们再来对答案。
师：接下来，我们来组织一个活动，大家桌子上面都放有两张面积为1的正方形纸，请同学
们想一想，如何利用这两张纸拼出面积为2的一个大正方形？
师：请XX说一下你的方法，恩，很好，他说沿两个小正方形的对角线剪开，得到四个直角
三角形，将这四个直角三角形拼在一起，就是一个面积为2的正方形。有没有同学知道这个大正方形的边长是多少？老师听见有同学说是2，答案对不对啊，是的，边长就是2，那么2有多大呢？有没有人知道？
师：老师这有一组数据，通过这组数据同学们能发现什么规律？ 师：有的同学说，2大于1.414小于1.415，还有的同学说2是一个无限不循环小数，因
为它的小数部分有无限个，而且没有规律可循。同学们说的都很正确，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数，以后大家就会知道357、、等都是无限不循环小数。那么
如何快速的算出一个正有理数的算术平方根呢？在这里，老师要向大家介绍一种工具-计算
器。
师：同学们看老师的手中，这个键就是开根号的键，我们先按这个键，在输入被开方数，再
初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 根号的由来
现在，我们已经会用根号来表示平方根、立方根等，并感觉到使用起来既简洁又方便，你知道根号是怎样产生而又演变成现在这样的吗?
古时候，埃及人用记号“”表示平方根，印度人在开平方时，在被开数的前面写ka，阿拉伯人用表示48.1480年以后，德国人用一个点“·”来表示平方根，两个点“··”表示4次方根，三个点表示立方根，比如，·3、··3、···3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根，到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成了“”.1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写是2，是3，并用表示348,8.但这种写法未得到普遍的认可与采纳.
与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q，或“立方”的第一个字母c来表示开的是多少次方.例如，现在的4352，当时有人写成R.q.4352．现在的3147，用数学家邦别利（1526～1572年）的符号可以写成：R.c.┖7p.R.q.14┙，其中“┖ ┙”相当于今天的括号，p相当于今天的加号（那时候，连加减号“＋”“－”还没有通用）.
直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596～1650年）第一个使用了现今用的根号“”.在一本书中，笛卡尔写道：“如果我想求a2＋b2的平方根，就写作22ba，如果想求a3＋b3＋abb的立方根，则写作abbbac33.”.
这是出于什么考虑呢?有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩），就成为现在的根式形式.
现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一些书中看到符号的使用，比如25的立方根用325表示.以后，诸如等等形式的根号渐渐使用开来.
由此可见，一种符号的普遍采用是多么艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数学家们集体智能的结晶。
