高中数学 3.2.1古典概型的特征和概率计算公式教学设计 北师大版必修3

第二课时 3.2.1古典概型的特征和概率计算公式

教学目标

（1）理解基本事件、等可能事件等概念；

（2）会用枚举法求解简单的古典概型问题；

教学重点、难点

古典概型的特征和用枚举法解决古典概型的概率问题．

教学过程

一、问题情境

1．情境：

将扑克牌（52张）反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？

2．问题：

是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好的解决方法吗？

二、学生活动

把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52中情况的可能性是相等的。

所以，当出现红心是“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情形之一时，事件B就发生，于是131()524PB；

三、建构数学

1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；

2．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；

3．古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型

①所有的基本事件只有有限个；

②每个基本事件的发生都是等可能的。

4．古典概型的概率：

如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为()mPAn．

四、数学运用

例1．一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？

分析：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．

解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)

(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)

因此，共有10个基本事件．

（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故 3()10PA

∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310；

例2．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,Dd基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．

分析：由于第二子代的,Dd基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．

解：Dd与Dd的搭配方式共有４中：,,,DDDddDdd，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.754

答：第二子代为高茎的概率为0.75．

例3、从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件？

活动：师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.

解：基本事件共有6个:

A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}.

点评：一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法.

例4． 用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求 (1)3个矩形颜色都相同的概率；

(2)3个矩形颜色都不同的概率．

分析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）

解：基本事件共有27个；

(1)记事件A＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A包含的基本事件有133个，故

31()279PA

(2)记事件B＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B包含的基本事件有236个，故

62()279PB 答：3个矩形颜色都相同的概率为19；3个矩形颜色都不同的概率为29．

说明：古典概型解题步骤：

⑴阅读题目，搜集信息；

⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；

⑶求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；

⑷用公式()mPAn求出概率并下结论.

五、课堂小结：

1.古典概型具有

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.

2.古典概型计算任何事件的概率计算公式

P（A）=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A.

3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表）,应做到不重不漏.

课堂练习：

1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ B ）

A．4030 B．4012 C．3012 D．以上都不对

解：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为4012，因此选B.

2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ C ）

A．51 B．41 C．54 D． 101

解：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）=108=54.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－102=54.

3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是107.

解：记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为107.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解.