衍生金融工具复习

付息票债券的远期价格偏高时的套利机会

市场情况

一年后交割的附息票债券远期合约的价格为930美元。债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后12个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风险利率分别为9%和10%。

套利机会

远期价格偏高，套利者可以：

1. 即期借900美元，买入一份债券。

2. 卖空一份债券的远期合约。

在即期所借900美元中，其中38.24美元以9%的年利率借入6个月，另外861.76美元以10%的年利率借入一年。首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期38.24美元贷款的本金和利息。一年之后，收到了第二次利息40美元，根据远期合约条款卖出债券收到930美元。861.76美元的贷款到期共需偿还本金和利息952.39美元。该策略净盈利为：

40930952.3917.61

操作 0t 0.5t 1t

卖空F 0 0 930TS

买入B 900 40 40TS

借入 0.090.50.090.59004090040ee 40 0.090.510.190040ee

合计 0 0 17.61

付息票债券的远期价格偏低时的套利机会

市场情况

一年后交割的附息票债券远期合约的价格为905美元。债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后12个月后分别支付利息40美元。6个月期和12个月期的无风险利率分别为9%和10%。

套利机会

远期价格偏低，套利者可以：

3. 卖出一份债券。

4. 签署一年后购买一份债券的远期合约。

卖出债券得到900美元，其中38.24美元作6个月无风险投资，另外861.76美元作一年无风险投资。此策略在6个月和12个月后分别产生40美元和952.39美元的现金流入。前面40美元用来支付6个月后的债券利息；后面952.39美元中40美元用来支付一年后的债券利息，905美元用来根据远期合约条款购回债券，即期出售债券而远期将该债券购回的策略所产生的净收益为：

952.39409057.39

比简单的持有一年该债券的收益更多。

操作 0t 0.5t 1t

买入F 0 0 905TS

卖空B 900 40 40TS

存银行 0.090.50.090.59004090040ee 40 0.090.510.190040ee

合计 0 0 17.61

3.5 一种股票预计在两个月后会每股支付1美元红利，5个月后再支付一次。股票价格为50美元，无风险利率为8%（对任何到期日连续复利计息）。一位投资者刚刚持有这种股票的6个月远期合约的空头寸。（a）远期价格为多少？远期合约的初始价值为多少？

（b）3个月后，股票价格为48美元，无风险利率不变。远期价格和远期合约空头头寸的价值为多少？

（a） 股票分配股息的现值为：

250.080.0812121111.9540Iee

远期价格：0.080.5111501.954050.01rtFSIee

因为投资者刚刚持有该头寸，所以远期合约初始价值10f，且1KF

（b）3个月后， 股票分配股息的现值为：

20.0812210.9868Ie

远期价格：230.0812222480.986847.96rtFSIee

远期合约空头头寸价值：230.0812247.9650.012.01rtfFKee

5.31 一家银行向企业客户提供两种选择：一种是按11%的利率借入现金，另一种是以2%利率借入黄金（当借入黄金时，必须以黄金形式支付利息，因此，如果今天借入100盎司，在1年后必须偿还102盎司黄金）。无风险利率为每年9.25%，贮存费为每年0.5%。讨论同现金贷款利率相比，借入黄金的利率是太高还是太低？这里两种贷款的利率均为每年复利一次，无风险利率和贮存费用利率均为连续复利。

设黄金价格为1000美元/盎司，并且这个客户想借入的资金为1000000美元。该客户既可以直接借入1000000美元现金，也可以借入1000盎司黄金。如果直接借入现金，则到期需偿还1000000×1.11=1110000美元。如果借入1000盎司黄金，到期需偿还1020盎司黄金。

由于9.25%r，0.5%u，根据教材公式，可得远期价格为：

0.09250.005110001102.41ruTFSee

通过在远期市场买入1020盎司黄金，该企业客户可以锁定借入黄金的到期偿还额为：

10201102.411124460

很明显，直接借入现金要优于借入黄金（1124460>1110000）。计算结果表明，借入黄金的利率过高。那么多高的利率是合理的呢？假定R是借入黄金的利率，那么到期该企业客户需偿还黄金数为1000×（1+R）盎司，根据上面的远期价格，则借款成本为：

100011102.4111100000.688%RR

因此借入黄金的利率比合理利率高出1.31个百分点。

老师课上做法：

111%r

0.09250.0052102102111.02112.44%100100ruTFSereSS

所以应该选择直接借入现金。

3.10 瑞士和美国按连续复利计息的两个月期的年利率分别为3%和8%。瑞士法郎的即期价格为0.65美元。两个月后交割的期货合约的期货价格为0.66美元。问存在什么样的套利机会？

理论上期货价格：10.080.0360.650.6554Fe

所以实际的期货价格被高估，套利者可以通过借入美元买入瑞士法郎同时卖出瑞士法郎期货合约进行套利。

3.11、一家公司持有价值为2000万美元、=1.2的股票组合。该公司想利用标普500期货来对冲风险。股指期货的当前水平是1080，每一份期货合约是关于250美元乘股指。什么样的对冲可以使风险最小化？公司怎么做才可以将组合的β值降低到0.6？

应卖空的合约数量200000001.288.91080250AFVNV

近似为整数，应卖空的合约数为89份。如果欲将组合的β值降低到0.6，应卖空的合约数为前者的一半，即应卖空44份合约。

3.12假定今天是7月16日，一家公司持有价值1亿美元的股票组合，组合的=1.2，这家公司希望用CME的12月标普500股指期货组合在7月16日至11月16日之间变化的由1.2变成0.5.当前股指期货价格为1000，每一份期货合约的规模是250美元与股指的乘积。（a）公司应做什么样的交易？（b）假如公司改变初衷而想将投资组合的由1.2增加到1.5，公司应持有什么样的头寸？

（a）公司应卖出的期货合约的数量：

*1000000001.20.52801000250AFVNV

（b）公司应买入的期货合约的数量： *1000000001.51.21201000250AFVNV

3.13、标准普尔指数=200，股票组合的价值=204万美元，无风险年利率=10%，指数红利收益率=4%，股票组合的β=1.5.假设利用4个月有效期的标准普尔500指数期货合约对冲股票组合在未来3个月的风险。一份指数期货合约的价值等于指数乘以500美元。则目前的期货价格应该为：

0.10.0413200204.04rqTFSee

于是期货合约价格500204.04=102020FV美元。由20400001.530102020FSNV

假设指数在3个月内变为180，期货的价格为：0.10.04112180180.90rqTFSee

卖空股票指数期货合约可获利30204.04180.90500347100美元

在股票指数上的损失为10%，指数每年支付4%的股利，即每3个月为1%。如果将股利考虑在内，投资者在3个月内获得的指数收益为—9%。无风险利率大约为每3个月2.5%。由组合的β=1.5。得到股票组合的期望收益率为：

2.5%1.5%9%2.5%14.75%

在3个月末，股票组合的价值（包含股利）为：

204000010.14751739100美元

套期保值者的头寸期望值（包含在指数期货上的盈利）：

1739100+347100=2086200美元

当一个变量增加而其他变量保持不变时，对于股票期权价格的影响

变量 欧式看涨 欧式看跌 美式看涨 美式看跌

当前股票价格 ＋ － ＋ －

执行价格 － ＋ － ＋

时间期限 ？ ？ ＋ ＋

波动率 ＋ ＋ ＋ ＋

无风险利率 ＋ － ＋ －

股息数量 － ＋ － ＋

期权价格的上限与下限

期权类型 上下限

无股息股票美式看涨 00max,0rTSXeCS

无股息股票欧式看涨 00max,0rTSXecS 无股息股票美式看跌 0max,0XSPX

无股息股票欧式看跌 0max,0rTrTXeSPXe

欧式看涨看跌平价关系 0rTcXepS

美式期权看涨看跌关系 00rTSXCPSXe

考虑股息欧式看涨期权下限 0max,0rTSDXe

考虑股息欧式看跌期权下限 0max,0rTXeDS

支付股息平价关系 0rTcDXepS

考虑股息时的D应为贴现值

欧式看跌看涨期权不满足平价关系时的套利机会

相对看跌期权价格而言看涨期权价格太低

市场情况

某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价，股票价格为31美元，3个月期无风险利率为年利率10%，看涨期权和看跌期权的执行价格都是30美元，3个月后到期。

欧式看涨期权价格：3美元

欧式看跌期权价格：2.25美元

策略

1、购买看涨期权

2、出售看跌期权

3、卖空一股股票

结果

这个策略给出的初试现金流为：31-3+2.25=30.25美元。将这笔资金按无风险利率投资3个月，3个月末本息为：310%1230.2531.02e美元。3个月末，有如下两种可能性：

1、如果股票价格大于30美元，投资者执行看涨期权。即按照30美元价格购买一份股票，平仓空头，获利31.02-30=1.02美元。

2、如果股票价格小于30美元，该投资者的对手执行看跌期权。即投资者按照30美元的价格购买一份股票，平仓空头，获利31.02-30=1.02美元。

操作 0t tT

买入看涨 3 max30,0TS

卖出看跌 2.25 min30,0TS

卖空股票 31 TS

存入银行 30.25 31.02