最短路径的Dijkstra算法及Matlab程序

C语言迪杰斯特拉实现最短路径算法迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是一种用于在加权图中寻找从起点到终点的最短路径的算法。

它使用贪心算法的原理，每次选择权重最小的边进行扩展，直到找到终点或者无法扩展为止。

下面是C语言中迪杰斯特拉算法的实现。

```c#include <stdio.h>#include <stdbool.h>//定义图的最大节点数#define MAX_NODES 100//定义无穷大的距离#define INFINITY 9999//自定义图的结构体typedef structint distance[MAX_NODES][MAX_NODES]; // 节点间的距离int numNodes; // 节点数} Graph;//初始化图void initGraph(Graph* graph)int i, j;//设置所有节点之间的初始距离为无穷大for (i = 0; i < MAX_NODES; i++)for (j = 0; j < MAX_NODES; j++)graph->distance[i][j] = INFINITY;}}graph->numNodes = 0;//添加边到图void addEdge(Graph* graph, int source, int destination, int weight)graph->distance[source][destination] = weight;//打印最短路径void printShortestPath(int* parent, int node)if (parent[node] == -1)printf("%d ", node);return;}printShortestPath(parent, parent[node]);printf("%d ", node);//执行迪杰斯特拉算法void dijkstra(Graph* graph, int source, int destination) int i, j;//存储起点到各个节点的最短距离int dist[MAX_NODES];//存储当前节点的父节点int parent[MAX_NODES];//存储已访问的节点bool visited[MAX_NODES];//初始化所有节点的距离和父节点for (i = 0; i < graph->numNodes; i++)dist[i] = INFINITY;parent[i] = -1;visited[i] = false;}//设置起点的距离为0dist[source] = 0;//寻找最短路径for (i = 0; i < graph->numNodes - 1; i++)int minDist = INFINITY;int minNode = -1;//选择距离最小的节点作为当前节点for (j = 0; j < graph->numNodes; j++)if (!visited[j] && dist[j] < minDist)minDist = dist[j];minNode = j;}}//标记当前节点为已访问visited[minNode] = true;//更新最短距离和父节点for (j = 0; j < graph->numNodes; j++)if (!visited[j] && (dist[minNode] + graph->distance[minNode][j]) < dist[j])dist[j] = dist[minNode] + graph->distance[minNode][j];parent[j] = minNode;}}}//打印最短路径及距离printf("Shortest Path: ");printShortestPath(parent, destination);printf("\nShortest Distance: %d\n", dist[destination]); int maiGraph graph;int numNodes, numEdges, source, destination, weight;int i;//初始化图initGraph(&graph);//输入节点数和边数printf("Enter the number of nodes: ");scanf("%d", &numNodes);printf("Enter the number of edges: ");scanf("%d", &numEdges);graph.numNodes = numNodes;//输入边的信息for (i = 0; i < numEdges; i++)printf("Enter source, destination, and weight for edge %d: ", i + 1);scanf("%d %d %d", &source, &destination, &weight);addEdge(&graph, source, destination, weight);}//输入起点和终点printf("Enter the source node: ");scanf("%d", &source);printf("Enter the destination node: ");scanf("%d", &destination);//执行迪杰斯特拉算法dijkstra(&graph, source, destination);return 0;```上述代码中，我们首先定义了一个图的结构体，里面包括节点间的距离矩阵和节点数。

基于遗传算法的机器人路径规划MATLAB源代码基本思路是：取各障碍物顶点连线的中点为路径点，相互连接各路径点，将机器人移动的起点和终点限制在各路径点上，利用最短路径算法来求网络图的最短路径，找到从起点P1到终点Pn的最短路径。

上述算法使用了连接线中点的条件，因此不是整个规划空间的最优路径，然后利用遗传算法对找到的最短路径各个路径点Pi (i=1,2,…n)调整，让各路径点在相应障碍物端点连线上滑动，利用Pi= Pi1+ti×(Pi2-Pi1)（ti∈[0,1] i=1,2,…n）即可确定相应的Pi，即为新的路径点，连接此路径点为最优路径。

function [L1,XY1,L2,XY2]=JQRLJGH(XX,YY)%% 基于Dijkstra和遗传算法的机器人路径规划% GreenSim团队——专业级算法设计&代写程序% 欢迎访问GreenSim团队主页→/greensim%输入参数在函数体内部定义%输出参数为% L1 由Dijkstra算法得出的最短路径长度% XY1 由Dijkstra算法得出的最短路径经过节点的坐标% L2 由遗传算法得出的最短路径长度% XY2 由遗传算法得出的最短路径经过节点的坐标%程序输出的图片有% Fig1 环境地图（包括：边界、障碍物、障碍物顶点之间的连线、Dijkstra的网络图结构）% Fig2 由Dijkstra算法得到的最短路径% Fig3 由遗传算法得到的最短路径% Fig4 遗传算法的收敛曲线（迄今为止找到的最优解、种群平均适应值）%% 画Fig1figure(1);PlotGraph;title('地形图及网络拓扑结构')PD=inf*ones(26,26);for i=1:26for j=1:26if D(i,j)==1x1=XY(i,5);y1=XY(i,6);x2=XY(j,5);y2=XY(j,6);dist=((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)^0.5;PD(i,j)=dist;endendend%% 调用最短路算法求最短路s=1;%出发点t=26;%目标点[L,R]=ZuiDuanLu(PD,s,t);L1=L(end);XY1=XY(R,5:6);%% 绘制由最短路算法得到的最短路径figure(2);PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('由Dijkstra算法得到的初始路径')%% 使用遗传算法进一步寻找最短路%第一步：变量初始化M=50;%进化代数设置N=20;%种群规模设置Pm=0.3;%变异概率设置LC1=zeros(1,M);LC2=zeros(1,M);Yp=L1;%第二步：随机产生初始种群X1=XY(R,1);Y1=XY(R,2);X2=XY(R,3);Y2=XY(R,4);for i=1:Nfarm{i}=rand(1,aaa);end% 以下是进化迭代过程counter=0;%设置迭代计数器while counter<M%停止条件为达到最大迭代次数%% 第三步：交叉%交叉采用双亲双子单点交叉newfarm=cell(1,2*N);%用于存储子代的细胞结构Ser=randperm(N);%两两随机配对的配对表A=farm{Ser(1)};%取出父代AB=farm{Ser(2)};%取出父代BP0=unidrnd(aaa-1);%随机选择交叉点a=[A(:,1:P0),B(:,(P0+1):end)];%产生子代ab=[B(:,1:P0),A(:,(P0+1):end)];%产生子代bnewfarm{2*N-1}=a;%加入子代种群newfarm{2*N}=b;for i=1:(N-1)A=farm{Ser(i)};B=farm{Ser(i+1)};newfarm{2*i}=b;endFARM=[farm,newfarm];%新旧种群合并%% 第四步：选择复制SER=randperm(2*N);FITNESS=zeros(1,2*N);fitness=zeros(1,N);for i=1:(2*N)PP=FARM{i};FITNESS(i)=MinFun(PP,X1,X2,Y1,Y2);%调用目标函数endfor i=1:Nf1=FITNESS(SER(2*i-1));f2=FITNESS(SER(2*i));if f1<=f2elsefarm{i}=FARM{SER(2*i)};fitness(i)=FITNESS(SER(2*i));endend%记录最佳个体和收敛曲线minfitness=min(fitness);meanfitness=mean(fitness);if minfitness<Yppos=find(fitness==minfitness);Xp=farm{pos(1)};Yp=minfitness;endif counter==10PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(3)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第10代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==20PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(4)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第20代')hold onx1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==30PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(5)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第30代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==40PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(6)PlotGraph;hold onx1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第40代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendif counter==50PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];figure(7)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法第50代')hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendendLC2(counter+1)=Yp;LC1(counter+1)=meanfitness;%% 第五步：变异for i=1:Nif Pm>rand&&pos(1)~=iAA=farm{i};AA(POS)=rand;farm{i}=AA;endendcounter=counter+1;disp(counter);end%% 输出遗传算法的优化结果PPP=[0.5,Xp,0.5]';PPPP=1-PPP;X=PPP.*X1+PPPP.*X2;Y=PPP.*Y1+PPPP.*Y2;XY2=[X,Y];L2=Yp;%% 绘制Fig3figure(8)PlotGraph;hold onhold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k');hold onendtitle('遗传算法最终结果')figure(9)PlotGraph;hold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY1(i,1);y1=XY1(i,2);x2=XY1(i+1,1);y2=XY1(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',1);hold onendhold onfor i=1:(length(R)-1)x1=XY2(i,1);y1=XY2(i,2);x2=XY2(i+1,1);y2=XY2(i+1,2);plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',2);hold onendtitle('遗传算法优化前后结果比较')%% 绘制Fig4figure(10);plot(LC1);hold onplot(LC2);xlabel('迭代次数');title('收敛曲线');源代码运行结果展示。

最短路径算法(dijkstra)经典例题
以下是一个经典的最短路径算法(dijkstra)的例题：
假设有一张地图，如下所示：
```
A--2--B
| |
4 3
| |
C--5--D
```
其中，A、B、C、D代表地点，数字代表两个地点之间的距离。

从A出发，要求找到到达D的最短路径。

首先，我们需要初始化节点的距离。

假设A节点的距离初始
为0，其他节点的距离初始为无穷大。

1. 选择起始节点A，并将其距离设为0。

2. 从A开始，计算A的邻居节点的距离。

B距离为2，C距离
为4。

3. 选择距离最小的节点，即B。

将B的距离设为已知最小距离，并标记为已访问。

4. 计算B的邻居节点C和D的距离。

C距离为6，D距离为5。

5. 选择距离最小的节点，即D。

将D的距离设为已知最小距离，并标记为已访问。

6. 计算D的邻居节点C的距离。

C距离为7。

7. 选择距离最小的节点，即C。

将C的距离设为已知最小距离，并标记为已访问。

8. 计算C的邻居节点B和D的距离。

B距离为9，D距离为12。

9. 选择距离最小的节点，即B。

将B的距离设为已知最小距离，并标记为已访问。

10. 到达目标节点D，找到最短路径。

最终的最短路径为A -> B -> D，距离为2 + 3 = 5。

在实际应用中，为了更高效地计算最短路径，可以使用优先队列或者最小堆来实现节点的选择过程。

Dijkstra算法是一种用于计算图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径的算法。

它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。

Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步找到最短路径。

以下将详细介绍Dijkstra算法的步骤，并给出一个例题和表格供读者参考。

一、算法步骤1. 初始化- 设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大。

- 将起始顶点加入已访问的顶点集合。

2. 更新- 从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合。

- 更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，如果经过新加入的顶点到其他顶点的路径长度小于当前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。

3. 重复更新直到所有顶点都被访问过。

二、算法实例为了更好地理解Dijkstra算法的具体应用步骤，我们通过一个实际的例题来演示算法的执行过程。

假设有以下带权重的图，起始顶点为A：顶点 A B C D EA 0 3 4 ∞ ∞B ∞ 0 ∞ 1 7C ∞ 4 0 2 ∞D ∞ ∞ ∞ 0 5E ∞ ∞ ∞ ∞ 0表中每个元素表示从对应顶点到其它顶点的边的权重，"∞"表示没有直接相连的边。

我们按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。

1. 初始化起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的最短路径长度为∞。

将A加入已访问的顶点集合。

2. 更新选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。

更新A到C和A到D的最短路径长度。

3. 重复更新依次选择离起始顶点最近的顶点，并更新最短路径长度，直到所有顶点被访问。

通过不断的更新，最终得到从顶点A到其他顶点的最短路径长度表格如下：顶点 A B C D E最短路径长度 0 3 4 5 9三、总结通过以上Dijkstra算法的步骤和实例计算，我们可以清晰地了解该算法的执行过程和原理。

最短路径问题的优化算法最短路径问题是计算网络中两个节点之间最短路径的一个经典问题。

在许多实际应用中，如导航系统、交通规划和物流管理等领域，寻找最短路径是一个重要的任务。

然而，当网络规模较大时，传统的最短路径算法可能会面临计算时间长、耗费大量内存等问题。

为了解决这些问题，研究人员提出了许多优化算法，以提高最短路径问题的计算效率。

一、Dijkstra算法的优化Dijkstra算法是最短路径问题中最经典的解法之一，但当网络中的节点数量较大时，其计算时间会显著增加。

为了优化Dijkstra算法，研究者提出了以下几种改进方法：1. 堆优化Dijkstra算法中最耗时的操作是从未访问节点中选取最短路径的节点。

传统的实现方式是通过线性搜索来选择下一个节点，时间复杂度为O(N)，其中N是节点的数量。

而使用堆数据结构可以将时间复杂度降低到O(lgN)，从而提高算法的效率。

2. 双向Dijkstra算法双向Dijkstra算法是通过同时从起点和终点开始搜索，以减少搜索的范围和时间。

在搜索过程中，两个搜索方向逐渐靠近，直到找到最短路径为止。

双向Dijkstra算法相比传统的Dijkstra算法能够减少搜索空间，因此在网络规模较大时可以提供更快的计算速度。

二、A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，常用于解决最短路径问题。

与传统的Dijkstra算法不同，A*算法通过引入启发函数来优先搜索距离终点较近的节点。

启发函数的选择对算法的效率有重要影响，一般需要满足启发函数低估距离的性质。

A*算法的时间复杂度取决于启发函数，如果启发函数选择得恰当，可以在大规模网络中快速找到最短路径。

三、Contraction Hierarchies算法Contraction Hierarchies（CH）算法是近年来提出的一种高效解决最短路径问题的方法。

CH算法通过预处理网络，将网络中的节点进行合并，形成层次结构。

在查询最短路径时，只需在层次结构上进行搜索，大大减少了计算复杂度。

Dijkstra算法描述目录一、算法概述1二、算法原理及计算12.1算法原理12.2计算过程22.3改良的算法〔Dijkstra-like〕分析5三、源码分析6四、接口调用7一、算法概述Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法是典型的单源最短路径计算算法，用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题，它采用了分治和贪心〔动态规划的特殊形式〕的思想搜索全局最优解。

本系统采用了主流、开源的JAVA图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题，它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法，由经典的Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法演化和改良而来。

二、算法原理及计算2.1算法原理Dijkstra算法思想为：设(,)= 是带权有向图，V代表图中顶点集合，E代G V E表图中含权重的边集合。

将全部顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，用S表示〔初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将该路径的终点参加到集合S中〕；第二组为其余待确定最短路径的顶点集合，用U表示。

按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个参加到S集合中，约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。

算法的终止条件是集合U为空集，即集合U的顶点全部参加到集合S中。

2.2计算过程以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程，即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径，设源点为①，逐步搜索，每次找出一个结点到源点①的最短路径，直至完成所有结点的计算。

图1 带权有向图记()D v为源点①到某终点v的距离，是源点①到终点v某条路径的所有链路长度之和。

记(,)l w v 是源点w到终点v的距离。

Dijkstra算法归纳如下：S=，U是其余未确〔1〕初始化，令S是已求出最短路径的顶点集合，{}U=，可写出：定最短路径的顶点集合，{}(1,)()l v D v ⎧=⎨∞⎩(1-1) 公式1-1中，(1,)l v 是源点①与终点v 的直连路径长度，而∞代表源点①与终点v 不相连,初始化结果如表1所示；〔2〕遍历集合U 中的所有结点v 并计算[]min (),()(,)D v D w l w v + 。

dijkstra标号法
Dijkstra标号法是一种用于解决最短路径问题的算法。

该算法是由荷兰计算机科学家EdsgerW.Dijkstra在1956年提出的，被广泛应用于路由协议、网络规划、城市规划等领域。

该算法的基本思想是从一个起点开始，逐步扩展到周围的点，直到到达目标点。

在这个过程中，每个点都被赋予一个标号，表示从起点到该点的最短距离。

算法使用一个称为“优先队列”的数据结构来维护待扩展的点，以保证每次扩展的点都是当前距离起点最近的点。

Dijkstra标号法的具体步骤如下：
1. 初始化：将起点的标号设为0，其余点的标号设为无限大。

2. 将起点加入优先队列中。

3. 从优先队列中取出距离起点最近的点，更新与该点相邻的点的标号值。

4. 将更新后的点加入优先队列。

5. 重复步骤3和4，直到到达目标点或者优先队列为空。

6. 如果到达目标点，则返回该点的标号值，否则表示不存在从起点到目标点的路径。

Dijkstra标号法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E表示边数，V 表示点数。

虽然该算法在解决最短路径问题方面表现出色，但是它不能处理带有负权边的图，因为负权边会导致优先队列的错误排序。

对于带有负权边的图，应该使用另一种算法——Bellman-Ford算法。

- 1 -。

最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。

最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

路由算法中的Dijkstra算法实现原理路由算法是计算机网络中的一项重要技术，它指导着数据在网络中的传输过程。

路由算法中的Dijkstra算法是其中一种比较常用的算法，它通过计算最短路径来选择数据传输方案，进而实现高效稳定的数据传输。

本文将详细介绍Dijkstra算法的实现原理。

一、Dijkstra算法的概述Dijkstra算法是一种用于计算带权图最短路径的算法。

它的基本思想是：维护一个当前已知的最短路径集合S和距离源点最短的节点v，然后以v为基础扩展出一些新的节点，并计算这些节点到源点的距离并更新路径集合S。

重复这一过程，一直到源点到所有节点的最短路径集合已经确定为止。

该算法求解的是一个有向带权图中一个节点到其他所有节点的最短路径问题，其中「带权」表示图的边权值是一个非负实数。

二、Dijkstra算法的实现Dijkstra算法可以使用多种数据结构的实现，常见的有数组、链表、堆等。

这里我们以使用优先队列为例进行实现。

首先，定义一个数组distance用于存储源点至所有节点的最短距离。

初始状态下，将源点与其它节点的距离初始化为正无穷大。

同时，构建一个优先队列，用于维护已经遍历过的节点。

具体实现过程如下：1. 初始化distance数组和优先队列。

将源点源加入优先队列中，与源点相邻的节点按照距离增序加入队列中。

2. 从队列中取出距离源点最短的节点u，然后遍历所有与节点u相邻的节点v。

通过计算distance[u] + w(u,v)可得到源点到节点v的距离。

如果这个距离比已经存储在distance[v]中的距离更短，则更新distance[v]的值，同时将节点v加入到优先队列中。

3. 重复步骤2，直到所有节点都已经加入到队列中，并且所有节点的最短路径都已经被确定。

三、Dijkstra算法的时间复杂度分析Dijkstra算法的时间复杂度主要取决于寻找当前距离源点最短的节点的过程。

如果使用数组实现，该过程的时间复杂度为O(n^2)，n为节点数量。

加权聚类系数和加权平均路径长度matlab代码加权聚类系数和加权平均路径长度是图论中一对重要的指标，用于评价网络图中节点之间的连接密度和通信效率。

在本文中，我将重点介绍加权聚类系数和加权平均路径长度的概念，并提供相应的Matlab代码来计算这些指标。

1. 加权聚类系数加权聚类系数是一种度量网络图中节点局部连接密度的指标。

对于一个节点而言，它的聚类系数定义为该节点的邻居节点之间实际存在的边数与可能存在的边数的比值。

在加权网络图中，我们需要考虑边的权重。

对于给定的节点i，其邻居节点集合定义为Ni，该节点的聚类系数Ci可以通过以下步骤计算得到：1. 对于节点i的每对邻居节点j和k，计算其边的权重wij和wik。

2. 对于每对邻居节点j和k，计算其边的权重的乘积相加，即sum =Σ(wij * wik)。

3. 计算节点i的邻居节点之间可能的边数，即possible_edges = (|Ni| * (|Ni| - 1)) / 2。

4. 计算节点i的加权聚类系数Ci = 2 * sum / possible_edges。

下面是使用Matlab实现计算加权聚类系数的代码：```matlabfunction weighted_clustering_coefficient =compute_weighted_clustering_coefficient(adjacency_matrix) num_nodes = size(adjacency_matrix, 1);weighted_clustering_coefficient = zeros(num_nodes, 1);for i = 1:num_nodesneighbors = find(adjacency_matrix(i, :) > 0);num_neighbors = length(neighbors);if num_neighbors >= 2weights = adjacency_matrix(i, neighbors);weighted_sum = 0;for j = 1:num_neighbors-1for k = j+1:num_neighborsweighted_sum = weighted_sum + (weights(j) * weights(k));endendpossible_edges = (num_neighbors * (num_neighbors - 1)) / 2;weighted_clustering_coefficient(i) = 2 * weighted_sum / possible_edges;endendend```在上述代码中，我们首先根据给定的邻接矩阵的大小确定节点数量。

Dijkstra算法（邻接矩阵存储）⾸先我们需要熟悉Dijkstra算法的原理：从某个源点到其余各顶点的最短路径，即单源点最短路径。

单源点最短路径是指：给定带权有向图G和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

迪杰斯特拉（Dijkstra）提出了按路径长度递增的顺序产⽣各顶点的最短路径算法。

该算法的基本思想是：（1）设置两个顶点的集合S和T＝V－S，集合S中存放已找到最短路径的顶点，集合T存放当前还未找到最短路径的顶点；（2）初始状态时，集合S中只包含源点v0；（3）从集合T中选取到某个顶点vi（要求vi到v0的路径长度最⼩）加⼊到S中；（4）S中每加⼊⼀个顶点vi，都要修改顶点v0到T中剩余顶点的最短路径长度值，它们的值为原来值与新值的较⼩者，新值是vi的最短路径长度加上vi到该顶点的路径长度；（5）不断重复（3）和（4），直到S包含全部顶点。

算法的代码实现很巧妙：1.⾸先函数⾥⾯运⽤数组D[n]表⽰源点到节点n的最短距离，s[n]表⽰某⼀节点n是否已经进⼊集合S，如果进⼊则将s[i]置为1.P[n]表⽰当前节点n的前驱节点（⽤来输出路径）。

2.在开始遍历之前，⾸先给数组D[n]赋值为源点到该点的距离，这样便能第⼀次找到源点到相邻节点的最短距离（D[i]=C[v1][i];）。

3.下⾯找出最短距离：if((!S[j])&&(D[j]<min)){min=D[j];k=j;}4.更新各节点的最短距离：for(j=0;j<n;j++){if((!S[j])&&(D[j]>D[k]+C[k][j]))//调整各节点（未进⼊集合S）的距离值{D[j]=D[k]+C[k][j]; //修改蓝点j+1的距离P[j]=k+1; //k+1是j+1的前趋}}4.代码实现：1 #include<stdio.h>2#define maxsize 1000 //表⽰两点间不可达，距离为⽆穷远3#define n 7 //结点的数⽬4void dijkstra(int C[][n],int v);//求原点v到其余顶点的最短路径及其长度5void main()6 {78//对邻接矩阵进⾏赋值，没有直接连通的赋值为maxsize9int C[n][n]=10 {11 {maxsize,13,8,maxsize,30,maxsize,32},12 {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,9,7},13 {maxsize,maxsize,maxsize,5,maxsize,maxsize,maxsize},14 {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,6,maxsize,maxsize},15 {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,2,maxsize},16 {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,17},17 {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,maxsize}18 },v=1,i,j;1920 dijkstra(C,v);//迪杰斯特拉算法2122 }23void dijkstra(int C[][n],int v)//求原点v到其余顶点的最短路径及其长度24 {252627int D[n];//⽤来存储从起点到某⼀节点的最短距离28int P[n],S[n];//p[n]表⽰某⼀节点的⽗亲，s[n]相当于标志数组29int i,j,k,v1,pre;30int min,max=maxsize,inf=1200;31 v1=v-1;//节点号和存储的数⽬差132333435for(i=0;i<n;i++)36 {37 D[i]=C[v1][i]; //置初始距离值38if(D[i]!=max) //说明存在边39 P[i]=v;//把⽗亲置为v40else41 P[i]=0;//否则⽗亲置为042 }43444546for(i=0;i<n;i++)47 S[i]=0; //如果某点i被访问则把该点值置为1，否则为048495051 S[v1]=1;//已经被访问置为152 D[v1]=0; //源点v送S53545556for(i=0;i<n-1;i++) //扩充红点集57 {585960 min=inf;//令inf>max，保证距离值为max的蓝点能扩充到S中 61for(j=0;j<n;j++)//在当前蓝点中选距离值最⼩的点k+162 {63if((!S[j])&&(D[j]<min))64 {65 min=D[j];//找从起点开始的最⼩权值66 k=j;67 }68 }697071 S[k]=1; //已经被访问，置为1727374for(j=0;j<n;j++)75 {76if((!S[j])&&(D[j]>D[k]+C[k][j]))//调整各蓝点的距离值77 {78 D[j]=D[k]+C[k][j]; //修改蓝点j+1的距离79 P[j]=k+1; //k+1是j+1的前趋80 }81 }828384 } //所有顶点均已扩充到S中858687for(i=0;i<n;i++)//输出结果和最短路径88 {89 printf("%d到%d的最短距离为",v,i+1);90 printf("%d\n",D[i]); //打印结果91 pre=P[i];92 printf("路径：%d",i+1);93while(pre!=0) //继续找前趋顶点94 {95 printf("<——%d",pre);96 pre=P[pre-1];97 }98 printf("\n");99 }100101102 }。

dijkstra算法公式
Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法。

它的主要目标是找到一个节点到图中所有其他节点的最短路径。

算法的公式可以表示为：
1. 创建一个包含所有节点的集合Q，并将起始节点标记为0。

2. 初始化一个距离数组dist，用于存储每个节点到起始节点的最短距离。

将起始节点的距离设为0，其余节点的距离设为无穷大。

3. 当Q集合非空时，执行以下步骤：
a. 从dist数组中选择距离最小的节点u，并将其从Q中移除。

b. 遍历u的所有邻居节点v，计算节点v到起始节点的距离new_dist。

如果new_dist小于dist[v]，则更新dist[v]为new_dist。

4. 重复步骤3，直到Q集合为空。

在实际应用中，Dijkstra算法的实现通常使用优先队列来选择最小距离节点，以提高算法的效率。

算法的核心思想是不断更新节点的最短距离，直到找到所有节点的最短路径。

除了计算最短路径之外，Dijkstra算法还可以用于解决其他问题，例如图的连通性问题和网络流量优化问题等。

然而，需要注意的是，Dijkstra算法只适用于没有负权边的图。

如果图中存在负权边，那么需要使用其他算法，如Bellman-Ford算法或SPFA算法来解决最短路径问题。

总之，Dijkstra算法是一种非常实用的算法，它能够解决最短路径问题，并在实际应用中发挥重要作用。

通过理解和掌握Dijkstra算法的公式，我们可以更好地应用它来解决各种实际问题。

Dijkstra算法图⽂详解Dijkstra算法Dijkstra算法算是贪⼼思想实现的，⾸先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛⼀次再找出最短的，所谓的松弛操作就是，遍历⼀遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。

问题引⼊：指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。

例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。

下⾯我们来模拟⼀下：这就是Dijkstra算法的基本思路：接下来是代码：已经把⼏个过程都封装成了基本模块：#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#define Inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int map[1005][1005];int vis[1005],dis[1005];int n,m;//n个点，m条边void Init (){memset(map,Inf,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++){map[i][i]=0;}}void Getmap(){int u,v,w;for(int t=1;t<=m;t++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(map[u][v]>w){map[u][v]=w;map[v][u]=w;}}}void Dijkstra(int u){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int t=1;t<=n;t++){dis[t]=map[u][t];}vis[u]=1;for(int t=1;t<n;t++){int minn=Inf,temp;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i]&&dis[i]<minn){minn=dis[i];temp=i;}}vis[temp]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(map[temp][i]+dis[temp]<dis[i]) {dis[i]=map[temp][i]+dis[temp]; }}}}int main(){scanf("%d%d",&m,&n);Init();Getmap();Dijkstra(n);printf("%d\n",dis[1]);return 0;}。

最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。

如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。

那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。

在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。

在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。

最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。

一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。

首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。

（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。

例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。

Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。

执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。

在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。

例1中，s=1。

因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。

最短路径优先算法
最短路径优先算法是指从源节点到目标节点的路径中，选择权值最小的一条路径作为最短路径的过程。

常见的最短路径优先算法有Dijkstra 算法和Floyd算法。

Dijkstra算法是一种基于贪心策略的单源最短路径算法，可以求出一个顶点到所有其他顶点的最短路径。

该算法使用了一种叫做“标号法”的方法，通过使用已经确定为最短路径的节点来更新其他节点的距离。

具体实现中，可以使用一个优先队列来维护最小距离的候选节点，每次从中选出一个距离最短的节点进行扩展。

Dijkstra算法适用于权值为正的有向无环图（DAG）和权值为正的无向图。

Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出任意两个节点之间的最短路径，适用于权值可以为负的图。

Floyd算法的核心思想是利用中间节点的信息来更新路径长度，通过不断缩小问题规模，最终得到最优解。

具体实现中，可以使用一个二维数组来存储任意两点之间的距离，通过不断更新数组中的值来求解最短路径。

两种算法的时间复杂度均为O(n^2)，但是Dijkstra算法的空间复杂度更低，因为它只需要记录每个节点到源节点的距离；而Floyd算法需要记录任意两个节点之间的距离，空间复杂度较高。

最短路径问题最短路径问题是图论中一个重要的研究领域，即求解两个节点之间的最短路径。

在实际生活中，最短路径问题有着广泛的应用，例如导航系统、交通规划以及网络通信等领域。

本文将介绍最短路径问题的定义、常见算法以及应用实例。

一、定义最短路径问题可以用来求解从一个节点到另一个节点的最短路径。

在图论中，最短路径通常指的是路径上的边的权重之和最小。

图可以由节点和边组成，边可以有权重，表示两个节点之间的距离或成本。

最短路径问题的目标是找到两个节点之间的路径，使得路径上的边的权重之和最小。

二、算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一。

该算法采用贪心策略，逐步确定起点到其他节点的最短路径。

具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，所有其他节点的距离为无穷大。

（2）选择一个未被访问过的节点，标记为当前节点。

（3）对于当前节点的所有邻居节点，更新其距离为当前节点距离加上边的权重，并更新最短路径。

（4）继续选择未被访问过的节点中最短路径最小的节点，标记为当前节点，重复步骤（3）。

（5）重复步骤（3）和（4），直到所有节点都被访问过。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。

2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的算法。

与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。

该算法通过迭代更新距离数组，逐步确定最短路径。

具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

（2）对于图中的每条边，重复以下步骤：a. 从边的起点到终点的距离是否可以通过起点到起点的距离加上边的权重来达到更小值。

b. 如果是，则更新终点的距离为该更小值。

（3）重复步骤（2）|V|-1次，其中V为节点的数量。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。

遍历所有点的最短路径算法最短路径算法是图论中的一个经典问题，其目的是找到图中两个节点之间的最短路径。

在无权图中，最短路径是指从一个节点到另一个节点经过的边数最少的路径；在有权图中，则是指路径上边权之和最小的路径。

常见的最短路径算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，下面将介绍一种遍历所有点的最短路径算法。

算法步骤：1. 初始化一个dist数组，dist[i]表示从起点到节点i的最短路径长度。

初始时，起点的dist值为0，其他节点的dist值为正无穷。

2. 将起点加入一个优先队列Q中，以dist值作为优先级。

优先队列中的元素按照dist值从小到大排序，每次取出队首元素。

3. 对于队首元素u，遍历所有与u相邻的节点v，计算从起点经过u到v的距离，并更新v的dist值。

如果v的dist值被更新，则将v加入优先队列中。

4. 重复步骤2和3直到优先队列为空。

5. 遍历所有节点的dist值，就得到了从起点到所有节点的最短路径长度。

算法分析：该算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E是图中的边数，V是节点数。

具有遍历所有节点的特点，适用于需要获取所有节点最短路径的情况。

算法优化：该算法可以通过一些优化来提高效率，例如：1. 引入一个visited数组，记录每个节点是否被访问过，避免重复访问。

2. 引入一个prev数组，记录到每个节点的最短路径上的上一个节点，可以用于输出最短路径的路径。

3. 使用堆优化的Dijkstra算法或SPFA算法来代替普通的Dijkstra算法或Bellman-Ford算法，可以进一步减少时间复杂度。

总结：遍历所有点的最短路径算法是一种常用的求解最短路径问题的方法，其核心思想是通过不断更新节点的dist值来获取最短路径。

算法实现比较简单，但时间复杂度比其他最短路径算法稍高，适用于需要求解所有节点最短路径的情况。

在实际应用中，可以根据具体情况选择不同的最短路径算法。

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解Dijkstra算法是⼀种计算单源最短⽆负边路径问题的常⽤算法之⼀，时间复杂度为O(n2)算法描述如下：dis[v]表⽰s到v的距离，pre[v]为v的前驱结点，⽤以输出路径,vis[v]表⽰该点最短路径是否已经确认初始化：dis[v]=INT dis[s]=0 pre[s]=0 执⾏n次 在没有确定的点中找到⼀个路径最短的，并修改为已经确认 通过这个点修改其他所有没有确定的点 直到所有点已经确认为最短路径，退出循环现在证明算法的正确性：⾸先，我们说明两条性质：1.确定任何⼀个点为最短路径时，前驱p⼀定已经是最短路径（假设源点的前驱是它本⾝）。

2.任意时刻在还没有确定最短路径的点的集合中路径最短的点就是可以被确定的点。

稍微证明⼀下这两条性质（反证法）：证明1：假如前驱p还不是最短路径，那么显然当p是最短路径时到当前节点的路径更短，即不是最短路径的节点所确定的节点⼀定不是最短路径（好像很显然）证明2：为了⽅便描述，我们定义已经确定的点为⽩点，没有确定的点为蓝点。

若是蓝点中路径最短x还不能确定为⽩点，那么x的最短路径上必定存在⼀个蓝点y。

即dis[x]>dis[y]+edge[y][x]。

⽽dis[y]处于两种状态：(1)dis[y]已经是y点的最短路径，那么显然与dis[x]为蓝点中最短的相⽭盾。

(2)dis[y]还不是y点的最短路径，那么它的前驱显然是另外⼀个蓝点，即dis[y]>=dis[x]（这⾥省略了⼀些步骤，不过⾃⼰稍微想⼀下，我觉得挺显然的），也⽭盾。

综上，性质2得证。

回过头再看我们的算法：在刚开始的时候，⾸先确定的最短路（就是直接和源点相连的点）进⼊⽩点集合，满⾜性质1，2。

此后每个过程都满⾜以上两个性质，所以算法正确。

算法实现：1 memset(vis,0,sizeof(vis));2 vis[s]=1;3 dis[s]=0;4 for(int i=1;i<n;i++)5 {6 int m=INT_MAX;7 int k=0;8 for(int j=1;j<=n;j++)9 {10 if(!vis[j] && dis[j]<m)11 {12 m=dis[j];13 k=j;14 }15 }16 if(k==0)17 break;18 vis[k]=1;19 for(int j=1;j<=n;j++)20 {21 if(dis[k]+e[k][j]<dis[j])22 dis[j]=dis[k]+e[k];23 }24 }View Code。