三角函数的概念及习题

5.2 三角函数的概念【题组一 三角函数的定义】1．（2020·河南高三其他（理））若角α的终边过点8,6cos ()60P m --，且4cos 5α=-则实数m 的值为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】C【解析】6cos603-=-，则点P 的坐标为(8,3)P m --， 因为4cos 5a =-．所以角a 的终边在第二象限或第三象限，故0m >．45=-，即214m =，解得12m =-（舍)或12m =.故选：C ． 2．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））点(,)A x y 是300︒角终边上异于原点的一点，则yx值为（ ）．A B ．C ．3D ．3-【答案】B 【解析】tan 300yx==-3．（2020·浙江丽水·高一期末）已知角α的终边经过点()1,P m ，且sin 10α=-，则cos α=（ ）A ．B ．CD ．13【答案】C【解析】由三角函数定义得sin 0,310m m α==-<=-由三角函数定义得cos 10α==C4．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边上有一点P ⎝⎭，则sin cos αα+ ________.【答案】5-【解析】因为角α的终边上有一点P ⎝⎭，则221⎛+= ⎝⎭⎝⎭所以sin α=，cos α=所以sin cos αα⎛+=+= ⎝⎭-5．（2020·浙江高一课时练习）已知角α的终边上一点的坐标为33sin ,cos 44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角α的最小正值为________. 【答案】74π【解析】∵角α的终边上一点坐标为33sin ,cos 44M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即22M ⎛- ⎝⎭， 故点M在四象限，且tan 12α==-，则角α的最小正值为74π.故答案为：74π6．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)”，求2sin α＋cos α. 【答案】1或－1.【解析】因为r5a =． ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r＝4455a a =，cos α＝3355x a r a -==-， 所以2sin α＋cos α＝83155-=，②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限.sin α＝4455a a =--，cos α＝3355a a -=-， 所以2sin α＋cos α＝83155-+=-.7．（2020·全国高一课时练习）已知θ终边上一点()(),30P x x ≠，且cos 10x θ=，求sin θ、tan θ. 【答案】当1x =时，sin 10θ=，tan 3θ=；当1x =-时，sin 10θ=，tan 3θ=-.【解析】由题意知r OP ==cos x x r θ===，0x ≠，解得1x =±.当1x =时，点()1,3P，由三角函数的定义可得sin 10θ==，3tan 31θ==；当1x =-时，点()1,3P -，由三角函数的定义可得sin θ==，3tan 31θ==--. 综上所述，当1x =时，sin 10θ=，tan 3θ=；当1x =-时，sin 10θ=，tan 3θ=-. 【题组二 三角函数值正负判断】1．（2019·上海中学高一期中）若cos 0tan 0＞，＜，αα则α在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由于cos 0α>，故角α为第一、第四象限角.由于tan 0α<，故角α为第二、第四象限角.所以角α为第四象限角.故选D.2．（2019·安徽省舒城中学高一月考）若sin 0tan αα>且cos tan 0αα⋅<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题,因为sin 0tan αα>,则α的终边落在第一象限或第四象限； 因为cos tan 0αα⋅<,则α的终边落在第三象限或第四象限；综上,α的终边落在第四象限故选D3．（2020·南昌市新建一中高一期末）已知角α满足sin 0α<且cos 0α>，则角α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】由题意，根据三角函数的定义sin y r α=＜0，cos xrα=＞0 ∵r ＞0，∴y ＜0，x ＞0．∴α在第四象限，故选：D ．4．（2020·上海高一课时练习）已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】A【解析】tan 0α>则角为第一或第三象限，而sin cos 0αα+>，故角为第一象限角. 5．（2020·甘肃高一期末）已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】由题意可得00cos tan αα<⎧⎨<⎩,则0sin cos αα>⎧⎨<⎩,所以角α的终边在第二象限，故选B.6．（2019·广东越秀·高一期末）若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y xr r rθθ==>，所以0,0x y ><， 所以θ在第四象限，故选D ．7．（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限+【答案】C【解析】因为点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，所以sin 0cos 0θθ<⎧⎨<⎩，因此角θ在第三象限.故选：C.8．（2020·全国高一课时练习）“点(tan ,cos )P αα在第三象限”是“角α为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵(tan ,cos )P αα为第三象限，∴tan 0α<，cos 0α<，∴α为第二象限角，反之也成立. 故选：C.9．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C 【题组三 三角函数线】1．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）设5sin 12a π=，5cos 12b π=，5tan 12c π=，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】设512π的终边与单位圆相交于点P ，根据三角函数线的定义可知5sin 12a MP π==，5cos 12b OM π==，5tan 12c AT π==，显然AT MP OM >>所以b a c <<故选：D2．（2020·全国高一课时练习）若02θπ≤<,且不等式cos sin θθ<和tan sin θθ<成立,则角θ的取值范围是( )A ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由三角函数线知,在[)0,2π内使cos sin θθ<的角5,44πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使tan sin θθ<的角3,,222πθπππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故θ的取值范围是,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.3．（2020·全国高一课时练习）如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<【答案】C【解析】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.4．（2020·全国高一课时练习）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.（1）sin α≥2（2）cos α≤－12. 【答案】（1）作图见解析；22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣；（2）作图见解析；2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣.【解析】（1）作直线y A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣. （2）作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣. 【题组四 同角三角函数】1．已知sin θ=a−11+a ,cos θ=−a1+a ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．−12 B ．−2C ．−34D ．−43【答案】C【解析】由sin 2θ+cos 2θ=1，得：(a−11+a )2+(a1+a )2=1，化简，得： a 2−4a =0，因为θ是第二象限角，所以，a =4， tan θ=sin θcos θ=a−11+a ×(−1+a a)＝1−a a=1a −1＝−34，故选C.2．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角α的终边落在直线0x y +=上，cos α+的值等于（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．2-或2【答案】A【解析】由题意，若角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，当角α的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=；当角α的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=，故选A.3．（2019·江西高三月考（文））已知tan 2α，其中α为三角形内角，则cos α=（）A.D. 【答案】A【解析】因为tan 2α，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，所以解得：sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α为三角形内角，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为:A.【题组五 弦的齐次】1.（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ．2．（2020·辽宁高一期末）若3sin 5cos 1sin 2cos 5αααα+=--，则tan α的值为（ ）A ．32B ．﹣32C ．2316D ．﹣2316【答案】D 【解析】因为3sin 5cos 3tan 51sin 2cos tan 25αααααα++==---，解得23tan 16α=-.故选：D3．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知θ是第二象限角，(),2P x 为其终边上一点且cos θ5x =，则2sin cos sin cos θθθθ-+的值A ．5B ．52C ．32D ．34【答案】A【解析】由题意得cos 5θ==1x =±．又θ是第二象限角，∴1x =-．∴tan 2θ=-．∴2sin cos 2tan 1415sin cos tan 121θθθθθθ----===++-+．选A ．4．（2020·内蒙古集宁一中高一期末（理））已知sin αα=，则2sin sin cos 1ααα++=（ ）A B C ．1 D ．3【答案】B【解析】由sin αα=可得tan α=22222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin sin cos 1sin cos tan 1αααααααααααα++++++====++． 故选：B ．5．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知4tan 3α=，求下列各式的值． ①222sin 2sin cos 2cos sin ααααα+⋅-； ②sin cos αα． 【答案】①20；②1225. 【解析】①原式2222442tan 2tan 33202tan 423ααα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭． ②原式22224sin cos tan 123sin cos tan 125413αααααα====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 6．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））（1）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值 .（2）已知3tan 4θ=-，求22sin cos cos θθθ+-的值. 【答案】（1）57；（2）2225. 【解析】（1）∵tan 3α= ∴cos 0α≠∴原式=1(4sin 2cos )4tan 24325cos =153tan 5337(5cos 3sin )cos αααααααα-⨯-⨯-==++⨯+⨯.（2）()2222222sin cos sin cos cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++-+-=+=2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos 1tan θθθθθθθθθ++++=++ =223393211224484925311164⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫++- ⎪⎝⎭. 7．（2020·山东潍坊·高一期末）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点()04,A y ，其中00y ≠.（1）若cos 5α=，求0y 的值； （2）若04y =-，求2sin 3cos cos 4sin αααα+-的值. 【答案】（1）2±；（2）15. 【解析】（1）由题意知，OA =cos α==. 解得02y =±，所以02y =±.（2）当04y =-时，0tan 14y α==-，所以2sin 3cos 2tan 31cos 4sin 14tan 5αααααα++==--. 8．（2020·四川凉山·高一期末）已知tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且32ππα<<，求cos sin αα+的值【答案】【解析】由题意，tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 可得21tan 31tan k αα⋅=-=，解得2k =±， 又由32ππα<<，则1tan 2tan k αα+==，解得tan 1α=，则sin cos 2αα==-，所以cos sin αα+= 【题组六 sinacosa 与sina±cosa 】1．（2020·浙江高三专题练习）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0,)4π，则sin θ－cos θ的值为( ) AB ．13 CD ．－13【答案】A【解析】∵sinθ+cosθ=43，∴（sinθ+cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=169 ，所以2sinθcosθ=79 又因为0＜θ＜4π，所以0<sinθ<cosθ∴sinθ﹣cosθ＜0，∴（sinθ﹣cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ=29 ，则sinθ﹣cosθ=﹣3 ．故选A ．2．（2020·山西应县一中高三开学考试（文））若cosα＋2sinα，则tanα＝________.【答案】2【解析】由2221cos sin sin cos αααα⎧⎪⎨+=⎪⎩＋sin α，cos α=，∴tanα＝sin αcos α=2， 故答案为2.3．（2019·石嘴山市第三中学高一期中）已知sinθ−cosθ=15（1）求sinθcosθ的值；（2）当0<θ<π时，求tanθ的值．【答案】(1) sinαcosα=1225 (2) tanθ=43【解析】（1）(sin θ−cos θ)2=1−2sin θcos θ =(15)2=125⇒sin αcos α=1225.（2）∵0<θ<π且sin αcos α>0，∴0<θ<π2.由{sinθ−cosθ=15sinθcosθ=1225 ⇒{sinθ=45cosθ=35 得tanθ=sin θcos θ=43.。

5．2．1 三角函数的概念【知识点梳理】 知识点一：三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则22r x y +，那么： （1）y r 做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=； （2） x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x rα=； （3）y x叫做α的正切，记做tan α，即tan (0)yx x α=≠．知识点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离22r x y +，那么22sin x y α=+22cos x y α=+，tan yxα=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．知识点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三：诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+=tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求02π～（或0360︒︒～）范围内角的三角函数值．知识点四、特殊角的三角函数值 0° 30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π sin α 0 12 22 3213222 12 0 1-cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0tan α0 331 33-1- 33- 0【题型归纳目录】 题型一：三角函数的定义 题型二：判断三角函数值的符号 题型三：确定角所在象限 题型四：诱导公式（一）的应用 题型五：圆上的动点与旋转点 【典型例题】题型一：三角函数的定义例1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，(),8P x 为其终边上的一点，且4sin 5α，则x =（ ） A ．3- B ．4-C ．6-D ．10-例2．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（ ） A ．22B ．22-C ．2D ．1例3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos αα+的值为（ ） A ．35 B ．25C ．1或25-D ．25或25-变式1．（2022·山西大附中高三阶段练习（文））已知角x 的终边上一点的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（ ） A ．56πB ．53π C ．6π D ．3π变式2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））已知点2π(cos ,1)3P 是角α终边上一点，则cos α=（ ）A 5B ．5C 25D ．3变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos 11tan ααα--+的值为（ ）A ．65-B ．1C ．2D ．3变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m ，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值．变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在函数()102y x x =->的图像上，求sin α，cos α的值．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点(,)P x y ，P 到原点的距离为r （0r >）．则sin y rα=，cos xr α=．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型二：判断三角函数值的符号例4．（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．cos 0α< D ．sin cos 0αα>例5．（2022·湖北·高一阶段练习）下列各式的符号为正的是（ ） A ．cos3 B ．5ππsin cos 36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin2cos2-D ．7πtan8例6．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））sin 4tan7⋅的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不大于0变式7．（2022·江西省万载中学高一期中）设02πα≤<，如果sin 0α<且cos20α<，则α的取值范围是（ ） A ．π<α<3π2B ．3π2<α<2π C ．π4<α<34π D ．5π4<α<7π4【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（2022·全国·高一课时练习）点()cos2018,sin 2018P ︒︒所在的象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四例8．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限例9．（2022·陕西汉中·高一期中）若cos tan 0αα<，且sin cos 0αα<，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角变式8．（2022·全国·高三专题练习）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限变式9．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限变式10．（2022·辽宁·高一期末）坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型四：诱导公式（一）的应用例10．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）17sin 4π=____________．例11．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）13sin 3π=_________.例12．（2022·湖南·高一课时练习） 17tan()3π-＝______.变式11．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））()cos 300-︒=______．变式12．（2022·湖南·()3tan330sin 60︒+︒+-︒．【方法技巧与总结】利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为·360k α︒＋（k 为整数，0360α︒≤<︒）或2k πβ＋（k 为整数，02βπ≤<）的形式．（2）将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 题型五：圆上的动点与旋转点例13．（2022·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系xOy 中，一个质点在半径为2的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点0P 为起点，沿逆时针方向匀速运动到P 点，每5s 转一圈，则2s 后0P P 的长为（ ） A ．42sin 5πB ．42cos 5πC ．24sin 5π D ．24cos5π例14．（2022·全国·高一专题练习）点P 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ） A ．13,22B ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛- ⎝⎭D ．321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭例15．（2022·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 从()2,0出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动43π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是（ ） A ．(3- B ．(1,3--C ．(3D ．(1,3-变式13．（2022·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（ ）A．13B．12C2D3变式14．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠P，Q同时从点(2,0)A出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P，Q各自滚动的路程．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点132P⎛-⎝⎭，则sinα的值为（）A．3B．12-C3D．122．（2022·江西赣州·高一期末）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin9︒的近似值为（π取近似值3.14）（）A ．0.039B ．0.157C ．0.314D ．0.0793．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角α的终边与单位圆O 的交点34(,)55A -，则4cos 2sin 5cos 3sin αααα-=+（ ）A ．203B ．23C ．45D ．203-4．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点1,3P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．223B ．13C ．22D ．13±5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sin αcos α的值为（ ）A ．15B ．25C 5D 256．（2022·北京市第五中学高一期末）在直角坐标系xOy 中，已知43sin ,cos 55αα=-=，那么角α的终边与单位圆O 坐标为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角8．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁二、多选题9．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ） A ．sin20α>B ．cos20α>C ．cos02α> D ．tan02α>10．（2022·全国·高一单元测试）下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为32πC ．若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角11．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin 7θ=-B ．α为钝角C ．27cos α= D ．点(tan θ，tan α)在第四象限12．（2022·全国·高一）以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标不可能的是（ ）A ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．312⎫⎪⎪⎝⎭C ．132⎛ ⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭三、填空题13．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）角α的终边上有一点()()3,40P a a a ->，则sin α的值为______；14．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在射线3(0)y x x =≥上，则角α的正弦值为______，余弦值为______．15．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin 4α=，则m 的值为______．16．（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 17．（2022·江苏盐城·高一期末）已知角α为第一象限角，其终边上一点(),P x y 满足()()222ln 2ln x y x y -=+，则2cos α-sin α=________．四、解答题18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值.19．（2022·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m ，且满足2sin 4m α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．20．（2022·全国·高一课时练习）已知11sin sin αα=-，且lg cos α有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点3,5M m⎛⎫⎪⎝⎭，且1OM=（O为坐标原点），求实数m的值及sinα的值．21．（2022·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405sin450cos750︒-︒+︒；(2)t 15s25ann3i4ππ⎛⎫-⎝+⎪⎭.。

三角函数知识点及典型例题三角函数知识点及典型例题§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+?∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α.3、弧长公式： R4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos rx=α，_____tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+kk k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=-4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=??-=-5、诱导公式六：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=??+=+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==f .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=. 3、22tan tan 21tan ααα=- 1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<="">623.（ P 24 习题9(2)）设tan α=-21，计算αααα22cos 2cos sin sin 1--。

三角函数基础练习题三角函数的概念三角函数是数学中的一种函数，用来描述三角形中各边和角之间的关系。

在三角函数中，最基本的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。

设角α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)，P与原点的距离为r=√(x^2+y^2)>0，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

在各象限中，三角函数的符号不同。

在第一象限中，正弦和余割是正的，余弦和正割是正的，正切和余切是正的。

在第二象限中，正弦和余割是正的，余弦和正割是负的，正切和余切是负的。

在第三象限中，正弦和余割是负的，余弦和正割是负的，正切和余切是正的。

在第四象限中，正弦和余割是负的，余弦和正割是正的，正切和余切是负的。

重要结论：1.当0<x<π/2时，XXX<x<tanx。

2.若ocosx，若π/2<x<π，则sinx<cosx。

3.同角三角函数的基本关系式：sin^2α+cos^2α=1，sinα/cosα=tanα，tanα/cotα=1.4.诱导公式：把±α的三角函数化为α的三角函数，概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

课前预：1.将18°、-120°、735°、22°30'、57°18'、-1200°24'转换为弧度制。

2.将7π/5、5π/2、3π/10、5、1.4转换为度数制。

3.特殊角的度数与弧度数对应表。

终边落在坐标轴上的角的集合是{2kπ|k∈Z}。

已知半径为1的扇形面积为kπ，则扇形的中心角为2k。

弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为4.弓形的弦长为2cm，则弓形的面积为2sin(1/3)cm^2.8、在半径为2的圆中，60度的圆周角所对的弧长是多少？11、弧度制下，度的弧度数为多少？14、下列各角中，终边在第四象限的是哪一个？17、若sinθ=−1/2，tanθ>0，则cosθ等于多少？22、已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为多少？23、如果α与120°角终边相同，α是第几象限角？24、已知α的终边经过点(3a−9,a+2)，且sinα>0，cosα≤0，则a的取值范围是什么？25、sin(−π/6)的值等于多少？26、下列角中终边与330°相同的角是哪一个？函数y=|sinx|+|cosx|+|tanx|的值域是什么？1.删除第一段，因为没有明确的内容和题目。

三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。

一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。

按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。

2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。

3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。

4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。

二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。

四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（ ）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（ ）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为 ．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝ ．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为 ．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。

三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。

首先，角的概念是基础。

我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

角可以用弧度制或角度制来度量。

弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。

接下来是三角函数的定义。

在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。

二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。

3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。

三角函数的定义专题关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 ：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。

但既有联系，又有区别。

定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

三角函数的专题复习-最经典最全
1. 三角函数的基本概念
- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义及其关系- 弧度和角度的转换及其应用
- 三角函数在直角三角形中的应用
2. 三角函数的性质
- 周期性和奇偶性
- 正负变化规律
- 三角函数的大小关系及其应用
3. 三角函数的图像和性质
- 正弦函数的图像和性质
- 余弦函数的图像和性质
- 正切函数的图像和性质
- 三角函数图像的平移、伸缩等变换
4. 三角函数的求值和计算
- 特殊角的三角函数值
- 三角函数的和差化积公式
- 三角函数的倍角和半角公式
- 三角函数的三角恒等式
5. 三角函数的应用
- 三角函数在几何中的应用
- 三角函数在物理中的应用
- 三角函数在工程中的应用
- 三角函数在生活中的应用
6. 典型例题和题解析
- 理解和掌握三角函数的概念和性质
- 运用不同的定理和公式解决相关问题
- 练解题技巧和应用能力
以上是三角函数的专题复习内容，包括基本概念、性质、图像和性质、求值和计算、应用以及典型例题和习题解析。

希望这份文档对您的复习有所帮助，祝您复习顺利！。

三角函数例题和知识点总结一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们描述了三角形中边与角之间的关系。

首先，我们来了解一下角度的度量。

角度可以用度（°）或弧度来表示。

一个完整的圆周对应的角度是 360°，而用弧度表示则是2π 弧度。

接下来，我们认识一下常见的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。

正弦函数sinθ 表示在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。

二、三角函数的基本公式1、同角三角函数的基本关系sin²θ ＋cos²θ ＝ 1tanθ ＝sinθ ／cosθ2、诱导公式例如：sin(π θ) ＝sinθ ，cos(π θ) ＝cosθ 等三、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波形，其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。

2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π 的波形，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。

3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ （k 为整数），值域为 R 。

四、三角函数的例题例 1：已知sinθ ＝ 08，且θ 在第一象限，求cosθ 和tanθ 的值。

因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 08²) ＝06 。

tanθ ＝sinθ ／cosθ ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3 。

例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的周期和振幅。

三角函数任意角三角函数任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrx r y x x y r x r y ======ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数.三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.三、经典例题导讲 [例1]填入不等号：（1） ；（2） tan3200_______0；（3）；（5）。

[例2] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos < A ．1 B.2 C.3 D.4[例3] 若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（ ）象限. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值.[例5]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+三角函数基本关系式与诱导公式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =；倒数关系：1cot tan =⋅αα 三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． [例1]已知=∈=+θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________ [例2]求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α； （2）cos （2π3+α）=sin α．[例3]若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.[例4]化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．三角函数的恒等变换1.两角和、差、倍、半公式 两角和与差的三角函数公式βαβαβαs i n c o s s i n s i n )s i n (±+=± βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n( ±=±二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=半角公式2cos 12sin2αα-=， 2c o s 12c o s 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= [例1] 13.已知sincos22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 ; [例2] △ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ）A.6516B.6556C.6516或6556D.6516-[例3]求值：213)sin124cos 122︒-︒-[例4]已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++ （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间； （2）当0a <且[0,]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.三角函数的图像与性质)sin(ϕω+=x A y +)0,0(>≠ωA B 中，ω,,B A 及ϕ，对正弦函数x y sin =图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.x y 2sin =向右平移6π个单位，应得)6(2sin π-=x y ，而不是)62sin(π+=x y 用“五点法”作)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 图时，将ϕω+x 看作整体，取2,0π，πππ2,23,来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 单调性的确定，基本方法是将ϕω+x 看作整体，如求增区间可由22ππ-k ≤ϕω+x ≤)(22z k k ∈+ππ解出x 的范围.若x 的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.[例1] 为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π[例2]要得到y=sin2x 的图像,只需将y=cos(2x-4л)的图像 ( ) A.向右平移8л B.向左平移8л C.向右平移4л D.向左平移4л[例3]下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（）个. A ．1 B ．2C ．3D ．4[例4]函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ[例5]已知定义在区间]32,[ππ-上的函数y π]32,6[ππ-∈x 时，函数()sin()(ϕω>+=A x A x f 其图像如图所示. （1）求函数)(x f y =在]32,[ππ- （2）求方程22)(=x f 的解.x解三角形及三角函数的应用解三角形的的常用定理:(1) 内角和定理:π=++C B A 结合诱导公式可减少角的个数.(2) 正弦定理:R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 指△ABC 外接圆的半径） )sin 21sin 21sin 21(B ac A bc C ab S ===(3) 余弦定理: 222cos 2c C ab b a =-+及其变形. (4) 勾股定理: 222c b a ABC Rt =+∆中[例1]在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴 同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一 三角函数的定义及函数值符号 【例1】 有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二 求三角函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应 熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一 般用弧度制表示.考点三 诱导公式一的应用 【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记 忆特殊角的三角 函数值.考点四 三角函数线的应用【例4】 利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点 与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连 线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内 的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

板块一 基础知识一、锐角三角函数的定义1. 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．2. 正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c =． 3. 余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． 4. 正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 5. 余切：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot A ，即cot b A a=． 从定义中可以看出，① 正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 、cot A 分别是正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切、余切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住．三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot bA a=，三角函数 0︒ 30︒45︒60︒90︒sin A 012 22 321cos A 132 22 12 0tan A 03313-cot A - 3 1 33三角函数所以0sin 10cos 1tan 0cot 0A A A A <<<<>>，，，．四、三角函数关系 1. 同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=，tan cot 1A A ⋅= 2. 互余角三角函数关系：⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-； ⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； ⑶ 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-；⑷ 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值：()cot tan 90A A =︒-． 3. 锐角三角函数值的变化规律：令1c =，锐角A ∠越小，则a 越小，则b 越大；当A ∠越大，则a 就越大，b 就越小，且a c b c <<，，所以当角度在0~90︒︒范围内变化时，正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．而正切值也是随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．可以应用0~90︒︒间的正弦值、余弦值、正切值、余切值的增减性来比较角的正弦、余弦、正切、余切值的大小，其规律是：⑴A B 、为锐角且A B >，则sin sin A B >，cos cos A B <，tan tan A B >，cot cot A B <；⑵A B 、为锐角且A B <，则sin sin A B <，cos cos A B >，tan tan A B <，cot cot A B >．该规律反过来也成立．板块二 常用公式1. 和角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅；2. 差角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+⋅；3. 倍角公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin22sin cos ααα=，22tan tan 21tan ααα=-； 4. 半角公式：21cos cos 22αα+=，21cos sin 22αα-=，sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； 5. 万能公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+，221tan 2cos 1tan 2ααα-=+，22tan2tan 1tan 2ααα=-；6. 积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--，1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--．7. 和差化积公式：cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=，cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-，sin sin 2sin cos22αβαβαβ+-+=，sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=．板块一、三角函数基础【例1】 已知如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，.求sin A 和sin B 的值。

三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些例题来深入理解三角函数的知识点。

一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。

例如，一个直角三角形的一个锐角为θ，对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则sinθ ＝ a/c，cosθ ＝ b/c，tanθ ＝ a/b。

二、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（如 0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。

｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜三、三角函数的诱导公式诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

例如，sin(180° α) ＝sinα，cos(180° α) ＝cosα 等。

四、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波浪线，其值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝π/2 处取得最大值 1，在 x ＝3π/2 处取得最小值－1。

2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π的波浪线，值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝ 0 处取得最大值 1，在 x ＝π 处取得最小值－1。

五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 1/2，且α为锐角，求α的度数和cosα的值。

因为sinα ＝ 1/2，且α为锐角，所以α ＝ 30°。

三角函数性质与应用例题和知识点总结三角函数是数学中重要的一类函数，它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

本文将通过一些例题来深入探讨三角函数的性质，并对相关知识点进行总结。

一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

以正弦函数为例，对于一个锐角α，它的正弦值定义为对边与斜边的比值，即sinα ＝对边／斜边。

余弦函数cosα ＝邻边／斜边，正切函数tanα ＝对边／邻边。

二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sinx，cos(x＋2π) ＝ cosx。

例如，sin(π/6 ＋2π) ＝sin(π/6) ＝ 1/2。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sinx；余弦函数是偶函数，即 cos(x) ＝ cosx。

比如，sin(π/4) ＝sin(π/4) ＝√2/2，cos(π/4) ＝cos(π/4) ＝√2/2。

3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是-1, 1，正切函数的值域是 R。

4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

余弦函数在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ（k∈Z）上单调递增。

正切函数在(π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ)（k∈Z）上单调递增。

三、三角函数的应用例题例题 1：已知sinα ＝ 08，且α是锐角，求cosα和tanα的值。

解：因为sin²α ＋cos²α ＝ 1，所以cosα ＝√（1 si n²α) ＝√（1 08²) ＝ 06。

tanα ＝sinα ／cosα ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3。

例题 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3)的周期、振幅和初相。

三角函数知识点及题型总结
三角函数是数学中的一种基本概念，主要用于研究三角形的几何性质和三角函数的性质。

下面是三角函数的知识点和题型总结：
知识点：
1. 三角函数的定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

它们分别表示三角形中的角度与其对应的边长或高度之间的关系。

2. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像呈周期性变化，余切函数和正切函数的图像呈双曲线形状。

三角函数的图像可以用来确定角度的大小和方向。

3. 三角函数的性质：三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。

这些性质可以用来解决三角函数的相关问题。

题型总结：
1. 三角函数的定义和性质：这类题目主要考察对三角函数定义和性质的理解和掌握程度。

例如，给出一个角度和对应的边长或高度，要求计算该角度的正弦值、余弦值或正切值等。

2. 三角函数的图像：这类题目主要考察对三角函数图像的观察和理解能力。

例如，给定一个角度或一个角度范围，要求画出对应的三角函数图像。

3. 三角函数的应用：这类题目主要考察三角函数在实际问题中的应用能力。

例如，要求解决一个三角形的几何问题，需要利用三角函数的性质和图像来求解。

总之，三角函数是数学中的一个重要概念，需要掌握其定义、性质和图像，并能够在实际问题中灵活运用。

1、三角函数的定义在α的终边上任取一点P(x,y)(与原点不重合)，记r=|OP|=22y x +，则sin α= ,cos α= ,tan α= . sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域值域最值当x= 时，max 1y =；当 x= 时，min 1y =-．当x= 时，max 1y =；当 x= 时，min 1y =-．周期性 奇偶性单调性在()k ∈Z 上是增函数；在()k ∈Z 上是减函数． 在 ()k ∈Z 上是增函数； 在()k ∈Z 上是减函数．在()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心对称轴图象变换：（1）x y sin = )sin(ψ+=x y)sin(ψω+=x y )sin(ψω+=x A yx y sin = )sin(x y ω= )sin(ψω+=x y（2）函数)0,0)(sin(>>+=ωψωA x A y ，则振幅是_____，周期是_____，频率是____，初相是_____。

函 数性 质例1、 已知角α的终边经过点P (4，，3)，则2sin cos αα+的值等于________ 因为角α的终边过点()4,3,5P r OP -==， 所以利用三角函数的定义，求得34,cos 55sin αα=-=， 3422cos 2555sin αα∴+=-⨯+=-练习1：如图，设A 、B 是半径为1的圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等边三角形，记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.（1）若点A 的坐标为34(,)55，求5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-值；（2）设2()||f BC θ=，求函数()f θ的解析式和值域.解：（1）A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ∴根据三角函数的定义可知，4sin 5θ=，3cos 5θ=，4tan 3θ= ∴5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++- 5sin 5cos 3tan θθθ=-++ 4345533553=-⨯+⨯+⨯=；（2）)AOB 为正三角形，3AOB π∴∠=．cos cos()3COB πθ∴∠=+222()||||||2||||cos 22cos 3f BC OC OB OC OB COB πθθ⎛⎫∴==+-∠=-+ ⎪⎝⎭62ππθ<<， 5236πππθ∴<+<， 3cos 03πθ⎛⎫∴-<+< ⎪⎝⎭，所以222cos 23πθ⎛⎫<-+<+ ⎪⎝⎭(2()2,f θ∴∈．例2、已知函数()23sin(2),.4f x x x R π=--∈（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间； （2）求函数)(x f 取最大值时相应的x 的集合； (3) 若(0,)2x π∈，求函数值域；（4）求函数)(x f 图像的对称中心，对称轴；（5）该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以由)(2sin R x x y ∈=的图象得到。

三角函数的概念及习题角的概念的推广(基础班)知识点:1 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,负角:按顺时针方向旋转的角叫负角象限角:第一象限{a|k·360o<a<a<="" 第二象限{a|+k·360o="">第三象限{a|180o +k·360o <a<="">+k·2π<a<="" p="">例1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°例2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°例4、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝例5、已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。

5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打(“×”)．(1)sin α＝y .( × )(2)第三象限角的正弦值、余弦值、正切值都是负值．( × ) (3)终边相同的角不一定相等，其三角函数值一定相等．( √ )题型1 三角函数的定义2．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin αcos β＝( B )A ．－3665B ．－313C ．413D ．4865解析：∵角α，β的终边与单位圆分别交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，∴由定义知sin α＝513，cos β＝－35，∴sin αcos β＝513×⎝⎛⎭⎫－35＝－313. 3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D ) A ．45B ．35C ．－35D ．－45解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝(－4)2＋32＝5，所以cos α＝x r ＝－45.4．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( B )A ．⎝⎛⎭⎫12，32B ．⎝⎛⎭⎫－12，32C ．⎝⎛⎭⎫－32，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，－32解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32.题型2 三角函数的符号5．代数式sin 120°cos 210°的值为( B ) A ．正数 B ．负数 C ．0D ．不存在解析：因为120°是第二象限角，所以sin 120°>0；又210°是第三象限角，所以cos 210°<0.所以sin 120°cos 210°<0.故选B.6．如果点P (sin θcos θ，cos θ)位于第四象限，则角θ是( C ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：因为点P (sin θcos θ，cos θ)位于第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ cos θ>0，cos θ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0，cos θ<0，所以角θ是第三象限角．7．若x 是象限角，求函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域．解：当x 是第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝1＋1＋1＝3； 当x 是第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝1－1－1＝－1； 当x 是第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1－1＋1＝－1； 当x 是第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0， y ＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域是{－1,3}． 题型3 公式一的应用 8．计算：sin(－1 410°)＝ 12.解析：sin(－1 410°)＝sin(－4×360°＋30°)＝sin 30°＝12.9．计算：cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝ 32. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝cos π6＝32. 10．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝32. 解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.易错点1 忽视不是象限角的情况致误11．若sin α>0，cos α≥0，则角α的终边位于__第一象限或y 轴的正半轴__． 解析：因为sin α>0，cos α≥0，所以角α的终边位于第一象限或y 轴的正半轴． [误区警示] 本题容易忽视cos α＝0时，角α的终边在坐标轴上的情况． 易错点2 对公式一理解不透致误 12．sin13π4__<__0.(用“>”“<”“＝”填空) 解析：sin13π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋5π4＝sin 5π4<0. [误区警示] 本题容易出现sin13π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π4＝sin π4>0的错误．(限时30分钟)一、选择题1．已知角α的终边过点P (2，－2)，则tan α的值为( B ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：由三角函数的定义知，tan α＝－22＝－1.2．sin(－1 380°)的值为( D ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32. 3．如果角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( D ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：依题意可知点(2sin 30°，－2cos 30°)，即(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，因此sin α＝y r ＝－32.4．(多选题)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则sin α＋cos α等于( BD )A ．－35B ．－105C ．35D ．105解析：①当在角α的终边上取一点P (1，－3)时，此时x ＝1，y ＝－3，所以r ＝1＋(－3)2＝10.所以sin α＝y r ＝－310，cos α＝x r ＝110.所以sin α＋cos α＝－310＋110＝－105.②当在角α的终边上取一点(－1,3)时，此时x ＝－1，y ＝3，所以r ＝10.所以sin α＝yr ＝310，cos α＝x r ＝－110，所以sin α＋cos α＝105.5．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为tan x <0，所以角x 的终边在第二或第四象限，又sin x －cos x <0，所以角x 的终边在第四象限．6．(多选题)下列命题中正确的是( CD ) A ．若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限角 B ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角C ．若角α是第三象限角，则sin αcos α＞0且cos αtan α＜0D ．设角α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2为第三象限角 解析：若cos θ＜0，则θ为第二或第三象限角或终边在x 轴的负半轴上，A 不正确；若sin α＝sin β，则α与β的终边不一定相同，B 不正确；∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，∴sin αcos α＞0且cos αtan α＜0，C 正确；∵角α为第二象限角，∴角α2在第一或第三象限，又由条件知cos α2≤0，∴α2在第三象限，D 正确．二、填空题7．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝__1__.解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)·cos(－720°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 8．sin13π6＋cos 13π3－tan ⎝⎛⎭⎫－23π4的值为__0__.解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3－tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.9．已知角α的终边经过点P (3，－4t )，且sin(2k π＋α)＝－35，其中k ∈Z ，则t 的值为916. 解析：因为sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，所以sin α＝－35.又角α的终边过点P (3，－4t )，故sin α＝－4t9＋16t 2＝－35，解得t ＝916⎝⎛⎭⎫t ＝－916舍去. 三、解答题10．已知角α的终边所在的直线上有一点P (－3，m ＋1)，m ∈R . (1)若α＝60°，求实数m 的值；(2)若cos α＜0且tan α＞0，求实数m 的取值范围．解：(1)依题意，得tan α＝m ＋1－3＝tan 60°＝3，解得m ＝－4.(2)由cos α＜0且tan α＞0，得α为第三象限角，故m ＋1＜0，所以m ＜－1. 11．已知角α的终边经过点P (3,4)． (1)求tan(－6π＋α)的值； (2)求sin (α－4π)cos (6π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π＋α)的值．解：因为角α的终边经过点P (3,4)， 所以x ＝3，y ＝4，则r ＝32＋42＝5， 所以sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43.(1)tan(－6π＋α)＝tan α＝43.(2)原式＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α＝⎝⎛⎭⎫452＝1625.。