江西省上饶市上饶中学2016届高三上学期期中考试数学试题(理零、培优、实验、理补) Word版
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2015-2016学年江西省上饶中学高三(上)期中数学试卷(理科)(零、培优、实验、理补班)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每题5分,共60分)1.已知集合A={x|x2﹣16<0},B={﹣5,0,1},则()A.A∩B=∅B.B⊆A C.A∩B={0,1} D.A⊆B【考点】交集及其运算.【专题】集合.【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【解答】解:A={x|x2﹣16<0}={x|﹣4<x<4},B={﹣5,0,1},则A∩B={0,1},故选:C【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S4+a25=5,则一定有()A.a6是常数 B.S7是常数 C.a13是常数D.S13是常数【考点】等差数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1,即a7=1,利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵等差数列{a n}中S4+a25=5,∴,∴a1+6d=1,即a7=1,∴,故选:D.【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质,属于一道基础题.3.若0<x<y<1,0<a<1,则下列不等式正确的是()A.3log a x<log a y2 B.cosax<cosayC.a x<a y D.x a<y a【考点】不等式的基本性质.【专题】计算题;不等式.【分析】利用幂函数的性质判断即可.【解答】解:∵0<x<y<1,0<a<1,∴x a<y a,故选:D.【点评】此题考查了不等式的基本性质,熟练掌握幂函数的单调性是解本题的关键.4.记cos(﹣80°)=k,那么tan100°=()A. B.﹣C.D.﹣【考点】弦切互化.【专题】计算题.【分析】法一:先求sin80°,然后化切为弦,求解即可.法二:先利用诱导公式化切为弦,求出求出结果.【解答】解:法一,所以tan100°=﹣tan80°=.:法二cos(﹣80°)=k⇒cos(80°)=k,=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互化这一转化思想的应用.5.已知点A(﹣1,0),B(1,0),过定点M(0,2)的直线l上存在点P,使得,则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.DD.【考点】平面向量数量积的运算;直线的倾斜角.【专题】平面向量及应用.【分析】先需要设出直线l的方程,所以需讨论l是否存在斜率:存在斜率时l方程便为y=kx+2,这样即可设出P(x,kx+2),所以能得到的坐标,从而根据条件会得到关于x的不等式(1+k2)x2+4kx+3<0,要满足条件,该不等式便有解,从而△>0,这样便得到k,这样即可求出此时l倾斜角α的范围;而不存在斜率时,用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件,从而得到,这两种情况的α求并集即可.【解答】解:如图,(1)若l存在斜率,设直线l的方程为y=kx+2;∴设P(x,kx+2);∴=(﹣1﹣x,﹣kx﹣2)•(1﹣x,﹣kx﹣2)=(1+k2)x2+4kx+3<0;∴该不等式有解;∴△=16k2﹣12(1+k2)>0;解得k,或k;∴;∴,且;(2)若l不存在斜率,则l方程为x=0;∴设P(0,y);∴;∴﹣1<y<1;即存在P点使;而此时;∴综上得直线l的倾斜角的范围是.故选:A.【点评】考查直线的点斜式方程,由点的坐标求向量的坐标,向量数量积的坐标运算,一元二次不等式是否有解和判别式△的关系,熟悉正切函数的图象,知道倾斜角的取值范围,注意不要漏了斜率不存在的情况.6.设,,且tanα=,则下列结论中正确的是()A.2α﹣β=B.2α+β= C.α﹣β=D.α+β=【考点】二倍角的余弦;二倍角的正弦.【专题】三角函数的求值.【分析】利用二倍角公式得出,然后分子分母同时除以cosβ,最后由角的范围得出答案即可.【解答】解:.因为,β+∈(,),所以.故选:C.【点评】本题主要考查了二倍角的应用,属于基础题.7.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)﹣1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.B.C.D.【考点】绝对值不等式;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】计算题.【分析】化简|f(x)﹣1|<a得<x<.化简|x+1|<b得﹣b﹣1<x<b﹣1,由题意可得(,)⊆(﹣b﹣1,b﹣1),故﹣b﹣1≤,b﹣1≥,由此求得a,b之间的关系.【解答】解:|f(x)﹣1|<a即|2x+2|<a,即﹣a<2x+2<a,即<x<.|x+1|<b即﹣b<x+1<b 即﹣b﹣1<x<b﹣1.∵|f(x)﹣1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),∴(,)⊆(﹣b﹣1,b﹣1),∴﹣b﹣1≤,b﹣1≥,解得b≥,故选A.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,绝对值不等式的解法,属于中档题.8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),如果对于0<x<y,都有f(x)>f(y),不等式f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2的解集为()A.[﹣1,0)∪(3,4]B.[﹣1,0)C.(3,4]D.[﹣1,4]【考点】抽象函数及其应用.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】由已知令x=y=1求得f(1)=0,再求f(2)=﹣1,即有f(4)=﹣2,原不等式f (﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2即为f[﹣x(3﹣x)]≥f(4).再由单调性即可得到不等式组,解出它们即可.【解答】解:由于f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1则f(1)=2f(1),即f(1)=0,则f(1)=f(2×)=f(2)+f()=0,由于,则f(2)=﹣1,即有f(4)=2f(2)=﹣2,不等式f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2即为f[﹣x(3﹣x)]≥f(4).由于对于0<x<y,都有f(x)>f(y),则f(x)在(0,+∞)上递减,则原不等式即为,即有,即有﹣1≤x<0,即解集为[﹣1,0).故选B.【点评】本题考查抽象函数及运用,考查函数的单调性和运用:解不等式,考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,属于中档题.9.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为()A.(2,﹣2)B.(﹣4,0)C.(4,0) D.(7,3)【考点】简单线性规划.【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用.【分析】由题意作出其平面区域,将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,由图象可得最优解.【解答】解:由题意作出其平面区域,将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,则由平面区域可知,使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为(4,0);故选C.【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.10.函数y=的图象大致为()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【专题】函数的性质及应用.【分析】先判断函数的奇偶性,再根据函数值的变化规律即可得到答案.【解答】解:∵函数f(x)==,∴f(﹣x)==﹣=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,故排除A,∵当x从右趋向于0时,f(x)趋向于+∞,当x趋向于+∞时,f(x)趋向于0,故排除BC,故选:D【点评】本题考查了函数图象的识别,常用的方法利用函数的奇偶性,单调性,特殊值,属于中档题.11.已知点G是△ABC的重心,(λ,μ∈R),若∠A=120°,,则的最小值是()A.B.C. D.【考点】平面向量的综合题.【专题】计算题.【分析】由三角形重心的性质可得,,设,由向量数量积的定义可知,可得xy=4,然后根据向量数量积的性质可得|=,结合基本不等式可求【解答】解:由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,∵∠A=120°,,则根据向量的数量积的定义可得,设∴即xy=4==x2+y2≥2xy=8(当且仅当x=y取等号)∴即的最小值为故选:C【点评】此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题,解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为==,还利用了基本不等式求解最值.12.设曲线y=(ax﹣1)e x在点A(x0,y0)处的切线为l1,曲线y=(1﹣x)e﹣x在点B(x0,y1)处的切线为l2,若存在x0∈[0,],使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,1]B.(,+∞)C.(1,)D.[1,]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】导数的概念及应用;直线与圆.【分析】根据曲线方程分别求出导函数,把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率,然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为﹣1,列出关于x0的等式,求出a,对a的函数求得导数,判断为减函数,求出其值域即可得到a的取值范围【解答】解:函数y=(ax﹣1)e x的导数为y′=(ax+a﹣1)e x,∴l1的斜率为k1=(ax0+a﹣1),函数y=(1﹣x)e﹣x的导数为y′=(x﹣2)e﹣x∴l2的斜率为k2=(x0﹣2),由题设有k1•k2=﹣1从而有(ax0+a﹣1)•(x0﹣2)=﹣1,∴a(x02﹣x0﹣2)=x0﹣3,∵x0∈[0,],得到x02﹣x0﹣2≠0,所以a=,又a′=﹣,令导数大于0得,1<x0<5,故a=在(0,1)是减函数,在(1,)上是增函数,x0=0时取得最大值为;x0=1时取得最小值为1.∴1≤a≤.故选D.【点评】此题是一道综合题,考查学生会利用导数求切线的斜率,会求函数的值域,掌握两直线垂直时斜率的关系.二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)13.已知x,y∈(0,+∞),,则的最小值为3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】由可得x+y=3;化简=•+•=++,从而利用基本不等式求最值.【解答】解:∵,∴x﹣3=﹣y;即x+y=3;故=•+•=++≥+2=+=3;(当且仅当=,即x=1,y=2时,等号成立)故答案为:3.【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用,属于中档题.14.已知数列{a n}中a1=2,a2=1,a n+2=(n∈N*),S n是数列{a n}的前n项和,则S2015=5239.【考点】数列的求和.【专题】方程思想;转化思想;归纳法;等差数列与等比数列.【分析】由a1=2,a2=1,a n+2=(n∈N*),可得a n+5=a n.即可得出.【解答】解:∵a1=2,a2=1,a n+2=(n∈N*),∴a3==2,a4==4,a5==4,a6==2,a7==1,…,∴a n+5=a n.∴S2015=S5×403=(2+1+2+4+4)×403=5239.故答案为:5239.【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.如图,在平面直角坐标系xoy中,将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋=π()2dx=|=据此类比:将曲线y=x2转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V圆锥(x≥0)与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V=2π.【考点】用定积分求简单几何体的体积.【专题】导数的概念及应用;推理和证明.【分析】根据类比推理,结合定积分的应用,即可求出旋转体的体积.【解答】解:根据类比推理得体积V==πydy=,故答案为:2π【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算,根据类比推理是解决本题的关键.16.已知函数f(x)=g(x)=asin(x+)﹣2a+2(a>0),给出下列结论:①函数f(x)的值域为[0,];②函数g(x)在[0,1]上是增函数;③对任意a>0,方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解;④若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是[,].其中所有正确结论的序号是①②④.【考点】分段函数的应用.【专题】阅读型;函数的性质及应用.【分析】求得f(x)的各段的值域,再求并集,即可判断①;化简g(x),判断g(x)的单调性即可判断②;求出g(x)在[0,1]的值域,求出方程f(x)=g(x)在[0,1]内无解的a的范围,即可判断③;由③得,有解的条件为:g(x)的最小值不大于f(x)的最大值且g(x)的最大值不小于f(x)的最小值,解出a的范围,即可判断④.【解答】解:当x∈[0,]时,f(x)=﹣x是递减函数,则f(x)∈[0,],当x∈(,1]时,f(x)==2(x+2)+﹣8,f′(x)=2﹣>0,则f(x)在(,1]上递增,则f(x)∈(,].则x∈[0,1]时,f(x)∈[0,],故①正确;当x∈[0,1]时,g(x)=asin(x+)﹣2a+2(a>0)=﹣acos x﹣2a+2,由a>0,0≤x≤,则g(x)在[0,1]上是递增函数,故②正确;由②知,a>0,x∈[0,1]时g(x)∈[2﹣3a,2﹣],若2﹣3a>或2﹣<0,即0<a<或a>,方程f(x)=g(x)在[0,1]内无解,故③错;故存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则解得≤a≤.故④正确.故答案为:①②④.【点评】本题考查分段函数的运用,考查函数的值域和单调性及运用,考查存在性命题成立的条件,转化为最值之间的关系,属于易错题和中档题.三、解答题(17题10分,其它每题12分)17.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0.(1)求∠B;(2)设函数f(x)=﹣2cos(2x+B),将f(x)的图象向左平移后得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简,整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形,求出cosB的值,即可确定出∠B的大小;(2)根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g(x),再由正弦函数的单调递增区间、整体思想,求出函数g(x)的单调递增区间.【解答】解:(1)由(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0及正弦定理得,(2sinA﹣sinC)cosB﹣sinBcosC=0,即2sinAcosB﹣sin(B+C)=0,因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=,由B是三角形内角得,B=,(2)由(1)得,B=,则f(x)=﹣2cos(2x+B)=﹣2cos(2x+),所以g(x)=﹣2cos[2(x+)+],=﹣2cos(2x+)=2sin2x,由得,,故函数g(x)的单调递增区间是:.【点评】本题主要考查正弦定理,诱导公式、两角和的正弦公式,以及正弦函数的单调性的应用,属于中档题.18.若m∈R,命题p:设x1,x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根,不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2,2]恒成立,命题q:函数f(x)=x3+mx2+(m+)x+3在(﹣∞,+∞)上有极值,求使p且¬q为真命题,求实数m的取值范围.【考点】复合命题的真假.【专题】简易逻辑.【分析】对于p,先求出|x1﹣x2|∈[2,4],再根据不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2,2]恒成立,得到|m+1|≥4,解得m的范围,对于q,函数f(x)=x3+mx2+(m+)x+3在(﹣∞,+∞)上有极值,则f′(x)=3x2+2mx+(m+)=0有实根,根据判别式求出a的范围,由于p且¬q为真命题,得到p真,q假,问题得解.【解答】解:若命题p为真命题,∵x1,x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根∴x1+x2=a,x1x2=﹣3,∴|x1﹣x2|==,∵a∈[﹣2,2],∴|x1﹣x2|∈[2,4],∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2,2]恒成立,则只要|m+1|≥|x1﹣x2|max在a∈[﹣2,2]成立即可∴|m+1|≥4∴m+1≥4或m+1≤﹣4,∴m≥3,或m≤﹣5,若命题q为真命题,∵f(x)=x3+mx2+(m+)x+3,∴f′(x)=3x2+2mx+(m+),∵函数f(x)=x3+mx2+(m+)x+3在(﹣∞,+∞)上有极值,∴f′(x)=3x2+2mx+(m+)=0有实根,∴△=4m2﹣12m﹣40≥0,解得m≤﹣2,或m≥5,∵p且¬q为真命题,∴p真,q假,∴,解得3≤m<5,实数m的取值范围为[3,5)【点评】本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用,解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P,Q为真时的m的取值范围,属于中档题.19.已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列,首项a1=1,其前n项和为S n,数列{b n}是等比数列,首项b1=2,且b2S2=16,b3S3=72.(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;,c2k+1=a2k+kb k,其中k=1,2,3…,求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1.(Ⅱ)令c1=1,c2k=a2k﹣1【考点】数列的求和;等差数列的性质.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则d>0,利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;(II)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则d>0,依题意有,解得:或(舍去),∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,.(Ⅱ)T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1,+(a2n+nb n)=1+S2n+(b1+2b2+…+nb n),∴T2n+1=c1+a1+(a2+b1)+a3+(a4+2b2)+…+a2n﹣1令①∴②,∴①﹣②得:,∴,∵,∴.【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足:g(x)+2g(﹣x)=e x+﹣9,h (﹣2)=h(0)=1且h(﹣3)=﹣2.(1)求g(x)和h(x)的解析式;(2)对于x1,x2∈[﹣1,1],均有h(x1)+ax1+5≥g(x2)﹣x2g(x2)成立,求a的取值范围.【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题;二次函数的性质.【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】(1)令x=﹣x得到g(﹣x)+2g(x)=2e x+﹣9,与g(x)+2g(﹣x)=e x+﹣9构成方程组,解得即可求出g(x),h(x)是二次函数,且h(﹣2)=h(0)=1,可设h(x)=ax(x+2)+1,带值计算即可;(2)构造函数设φ(x)=h(x)+ax+5=﹣x2+(a﹣2)x+6,F(x)=g(x)﹣xg(x)=e x ﹣3﹣x(e x﹣3)=(1﹣x)e x+3x﹣3,转化为,当﹣1≤x≤1时,φ(x)min≥F(x)max.利用导数求出最值即可.【解答】解:(1)∵g(x)+2g(﹣x)=e x+﹣9,①∴g(﹣x)+2g(x)=e﹣x+﹣9,即g(﹣x)+2g(x)=2e x+﹣9,②由①②联立解得,g(x)=e x﹣3.∵h(x)是二次函数,且h(﹣2)=h(0)=1,可设h(x)=ax(x+2)+1,由h(﹣3)=﹣2,解得a=﹣1,∴h(x)=﹣x(x+2)+1=﹣x2﹣2x+1,∴g(x)=e x﹣3,h(x)=﹣x2﹣2x+1.(2)设φ(x)=h(x)+ax+5=﹣x2+(a﹣2)x+6,F(x)=g(x)﹣xg(x)=e x﹣3﹣x(e x﹣3)=(1﹣x)e x+3x﹣3,依题意知,当﹣1≤x≤1时,φ(x)min≥F(x)max.∵F′(x)=﹣e x+(1﹣x)e x+3=﹣xe x+3,在[﹣1,1]上单调递减,∴F′(x)min=F′(1)=3﹣e>0,∴F(x)在[﹣1,1]上单调递增,∴F(x)max=F(1)=0,∴解得﹣3≤a≤7,∴实数a的取值范围为[﹣3,7].【点评】本题考查了函数解析式的求法,和导数和函数的最值问题,培养了学生的转化能力,运算能力,属于中档题.21.设正项数列{a n}的前n项和S n,且满足S n=a+(n∈N*).(Ⅰ)计算a1,a2,a3的值,猜想{a n}的通项公式,并证明你的结论;(Ⅱ)设T n是数列{}的前n项和,证明:T n<.【考点】数列的求和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)由已知条件利用递推导思想求出a1=1,a2=2,a3=3.由此猜想a n=n,再用数学归纳法进行证明.(Ⅱ)证法一:由,利用裂项求和法和放缩法进行证明.证法二:利用用数学归纳法进行证明.【解答】(Ⅰ)解:当n=1时,,解得a1=1,,解得a2=2,,解得a3=3.猜想a n=n….3分,证明:(ⅰ)当n=1时,显然成立.(ⅱ)假设当n=k时,a k=k….4分,则当n=k+1时,,结合a n>0,解得a k+1=k+1…..6分,于是对于一切的自然数n∈N*,都有a n=n…7分.(Ⅱ)证法一:∵,…10分∴.…14分证法二:用数学归纳法证明:(ⅰ)当n=1时,,,….8分(ⅱ)假设当n=k时,…9分则当n=k+1时,要证:只需证:由于所以…13分于是对于一切的自然数n∈N*,都有….14分【点评】本题考查数列的通项公式的求法和证明,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意数学归纳法的合理运用.22.已知函数f(x)=在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求实数a的值及f(x)的极值;(Ⅱ)是否存在区间(t,t+)(t>0),使函数f(x)在此区间上存在极值和零点?若存在,求实数t的取值范围,若不存在,请说明理由;(Ⅲ)如果对任意的,有|f(x1)﹣f(x2)|≥k||,求实数k的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)由函数f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行求得a的值,然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间,则函数的极值可求;(Ⅱ)假设存在区间(t,t+)(t>0),使函数f(x)在此区间上存在极值和零点,则得到,解此不等式组求得t的取值范围;(Ⅲ)由(I)的结论知,f(x)在[e2,+∞)上单调递减,然后构造函数F(x)=f(x)﹣,由函数在[e2,+∞)上单调递减,则其导函数在在[e2,+∞)上恒成立,由此求得实数k的取值范围.【解答】解:(I)由f(x)=,得.∵f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,∴,∴a=1,∴,x>0,.当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减,故f(x)在x=1处取得极大值1,无极小值;(Ⅱ)∵x>1时,,当x→0时,y→﹣∞,由(I)得f(x)在(0,1)上单调递增,∴由零点存在原理,f(x)在区间(0,1)存在唯一零点,函数f(x)的图象如图所示:∵函数f(x)在区间(t,t+),t>0上存在极值和零点.∴,解得.∴存在符合条件的区间,实数t的取值范围为();(III)由(I)的结论知,f(x)在[e2,+∞)上单调递减,不妨设,则|f(x1)﹣f(x2)|≥k||,则.∴.∴函数F(x)=f(x)﹣在[e2,+∞)上单调递减,又,∴在[e2,+∞)上恒成立,∴k≤lnx在[e2,+∞)上恒成立.在[e2,+∞)上,k≤2.【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,训练了函数零点的判定方法,训练了利用恒成立问题求参数的范围,综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力,是压轴题.。
上饶中学2015-2016学年高三上学期第一次月考 数 学 试 卷(理科零班、培优、实验、理补)考试时间:120分钟 分值:150分一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1、已知集合}5,1,0,2{=U ,集合}2,0{=A ,则A C U =( ) A.φ B.}2,0{ C.}5,1{ D.}5,1,0,2{2、“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要 3、函数()()13cos f x x x =+的最小正周期为 ( ) A .2π B .32π C .π D .2π4、若函数()()3,5,2,5x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()2f 的值为 ( )A.5B.3C.1D.1-5、已知命题p :若 x y >,则x y -<-;命题q :若B A >,则B A sin sin >.在命题 ①p q ∨ ②;p q ∧;③()p q ∧⌝;④()p q ⌝∨中,真命题是( ) A . ①③ B.①④ C.②③ D.②④6、已知0.12a =,b=ln 0.1,c=sin 1,则 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c7、已知f (x )=2sin(ωx +φ)的部分图像如图所示,则f (x )的表达式为( )A .)181134sin(2)(π-=x x f B .)9234sin(2)(π+=x x f C .)4323sin(2)(π-=x x f D .)423sin(2)(π+=x x f8、计算dx x )11(12⎰-+的结果为( )A.1B.4π C. 21π+ D. 41π+9、将函数y= sin (2x+θ)的图象向右平移6π个单位,得到的图象关于x=4π对称,则θ的一个可能的值为 ( ) A .π32B .32π-C .π65D .65π-10、 定义在R 上的函数)(x f 满足)2()2(),()(+=--=-x f x f x f x f ,且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则)20(log 2f =( ) A .54 B .54- C .1 D .1- 11、设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数,(1)0f -=,当0x >时,()()0xf x f x '->,则使得函数()0f x >成立的x 取值范围是( )A. ()()1,01,-+∞UB. ()(),10,1-∞-UC. ()(),11,+-∞-∞UD. ()()1,00,1-U12、函数22()log (0)1x g x x x =>+,关于方程2()()230g x m g x m +++=有三个不同实数解,则实数m 的取值范围为( )A. 32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. (44-+D. ((),44-∞-++∞U 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13、集合{}{}{}3,2,,4a A B a b A B A B ==⋂=⋃,则,则则=+b a _______________ 14、设a 为实数,函数x a ax x x f )3()(23-++=的导函数为)('x f ,且)('x f 是偶函数,则曲线)(x f y=在2=x 处切线的斜率为____________________.15、若满足3,,3===∠BC m AC ABC π的ABC ∆恰有一解,则实数m 的取值范围是___________________________16、若函数)(x f 满足:在定义域D 内存在实数0x ,使得)1()()1(00f x f x f +=+成立, 则称函数)(x f 为“1的饱和函数”.给出下列四个函数:①xx f 2)(=;②xx f 1)(=; ③)2lg()(2+=x x f ;④x x f πcos )(=.其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为___________________三.解答题(本大题共6小题,其中第17题10分,其余各小题每题12分,共70分) 17、 (本小题满分10分)已知集合{}{}3)2(log |,73|2<-=<≤=x x B x x A , 求A C R (∪)B ,)(A C R ∩B18、(本小题满分12分)已知两个命题r (x ):对∀x ∈R ,sin x +cos x >m ,s (x ):对∀x ∈R ,x 2+mx +1>0. 如果r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题.求实数m 的取值范围.19、 (本小题满分12分)已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ,且周期为π. (1)求ω的值及)(x f 的增区间;(2)当x ∈[20π,]时,求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.20、(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知CcB b a cos cos 3=-. (1)求C sin 的值; (2)若3=c ,求ABC ∆的面积S 的最大值.21. (本小题满分12分)已知),(3)(23R x b ax x x f ∈+-=其中R b a ∈≠,0 (1)求)(x f 的单调区间;(2)设]43,21[∈a ,函数)(x f 在区间]2,1[上的最大值为M ,最小值为m ,求m M - 的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数()ln ()=+∈f x ax x x a R(1)若函数)(x f 在区间),[+∞e 上为增函数,求a 的取值范围;(2)当1a =且Z k ∈时,不等式(1)()k x f x -<在(1,)x ∈+∞上恒成立,求k 的最大值.上饶中学2015-2016学年高三上学期第一次月考 数学参考答案(理科零班、培优、实验、理补)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 6 14. 9 15 3233≥=m m 或 16. ①、④ 三.解答题(本大题共6小题,其中第17题10分,其余各小题每题12分,共70分) 17. 解:A C R (∪)B ={}10,2|≥≤x x x 或. .........................(5分) )(A C R ∩B ={}107,32|<≤<<x x x 或. .........................(10分)18. 解:∵sin x +cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4≥-2,∴当r (x )是真命题时,m <- 2..............(2分)又当s (x )为真命题,即x 2+mx +1>0恒成立, 有Δ=m 2-4<0,∴-2<m <2. .................................... .................. ......... .........................(3分)∴当r (x )为真,s (x )为假时,m <-2,同时m ≤-2或m ≥2,即m ≤-2;...............(7分)当r (x )为假,s (x )为真时,m ≥-2且-2<m <2,即-2≤m <2. ...............(11分) 综上,实数m 的取值范围是m ≤-2或-2≤m <2. . .........................(12分)19. 解:∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+= =)42sin(2πω+x ..................................................................(2分) ∵π=T 且ω>, 故1,22==ωπωπ则......................................................................(4分)此时)42sin(2)(π+=x x f ,由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ得:)(883Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ ∴函数)(x f 的增区间为)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ...............................................(6分) (II ) 由(1)知)42sin(2)(π+=x x f ∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ..........(7分)∴1)42sin(22≤+≤-πx .∴2)42sin(21≤+≤-πx ............................(9分) ∴当242ππ=+x 时,即8π=x ,y 取得最大值为2............................................(12分)20..解:(1)由C c B b a cos cos 3=-得CCB B A cos sin cos sin sin 3=-,即 AC B C B C B C A sin )sin(sin cos cos sin cos sin 3=+=+=,,31cos =∴C 由于),,0(π∈C 故322sin =C .......................................(6分)(2)由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=,即ab ab ab ab b a 3432232322=-≥-+= (当且仅当23==b a 时,等式成立) 49≤∴ab ,则,42332sin 21≤==∆ab C ab S ABC 即()423max =∆ABC S ...............(12分)21. 解:(12分)(1))2(363)(2'a x x ax x x f -=-= 令a x x x f 20,0)('===或得当0>a 时,)),(,在(+∞∞,20)(a x f -单调递增,在)2,0(a 上单调递减当0<a 时,)),(,在(+∞∞,02)(a x f -单调递增,在)0,2(a 上单调递减.....(5分)(2)由4321≤≤a 知)(x f 在]2,1[a 上递减,在]2,2[a 递增097)1()2(>-=-a f f 3334128)2(,128)2(a b b a a a f m b a f M -=+-==+-==81243+-=-a a m M设0)1)(1(121212)(,8124)(2'3<-+=-=+-=a a a a g a a a g所以]4321[)(,在a g 上单调递减,1611)43()(,25)21()(min max ====g a g g a g所以251611≤-≤m M ...........................(12分)22. 解:(1)2a ≥- . .........................(4分)(2)()()ln ,1f x f x x x x k x =+<-,即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立。
上饶中学2015-2016学年高三上学期期中考试数 学 试 卷(理:零、培优、实验、理补班)考试时间:120分钟 分值:150分考察内容:集合与简易逻辑、函数与导数、数列、向量、三角、不等式 一、选择题(每题5分,共60分)1.已知集合A={x|x 2﹣16<0},B={﹣5,0,1},则( )A . A∩B=∅B . B ⊆AC . A∩B={0,1}D . A ⊆B 2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 4+a 25=5,则一定有( )A .a 6是常数B .S 7是常数C .a 13是常数D .S 13是常数3.若10<<<y x ,10<<a ,则下列不等式正确的是( )A .2log log 3y x a a <B .ay ax cos cos <C .y x a a <D .a a y x < 4.记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )A.21k k -B.-21k k - C.21k k - D.-21k k-5.已知点A (﹣1,0),B (1,0),过定点M (0,2)的直线l 上存在点P ,使得,则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A .B .C .D .6.设(0,),(0,)24ππαβ∈∈,且1sin 2tan cos 2βαβ+=,则下列结论中正确的是( )A .24παβ-=B .24παβ+=C .4παβ-=D .4παβ+=7.已知f (x )=2x+3(x ∈R ),若|f (x )﹣1|<a 的必要条件是|x+1|<b (a ,b >0),则a ,b 之间的关系是( )A .B .C .D .8.已知函数()f x 的定义域是),0(+∞,且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f = 如果对于0x y<<,都有()()f x f y>,不等式()()32f x f x-+-≥-的解集为()A.[)(]-1,03,4U B.[)-1,0 C.(]3,4 D.[]-1,49.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为()A.(2,﹣2) B.(﹣4,0) C.(4,0) D.(7,3)10.函数14)62sin(2-+=xx xyπ的图象大致为()11.已知点G是△ABC的重心,(λ,μ∈R),若∠A=120°,,则的最小值是()A.B.C.D.12.设曲线x eaxy)1(-=在点),(yxA处的切线为1l,曲线xexy--=)1(在点),(1yxB处的切线为2l,若存在]23,0[∈x,使得21ll⊥,则实数a的取值范围是()]1,)((-∞A),21)((+∞B)23,1)((C]23,1)[(D二、填空题(每题5分,共20分)13.已知x,y∈(0,+∞),,则的最小值为.14.已知数列{a n}中nnnnnnnSNnaaaaaaaa),(2,42,2,1,2*111221∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥===++++是数列{a n}的前n 项和,则S2015= 。
2015—2016学年江西省上饶中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题有且只有一个正确答案)1.函数的定义域是()A.[﹣1,+∞)B.[﹣1,0) C.(﹣1,+∞)D.(﹣1,0)2.A.a n=(﹣1)n B.a n=(﹣1)nC.a n=(﹣1)n+1D.a n=(﹣1)n+13.=(1﹣i),则复数z的模|z|=()A.﹣1 B.1 C.D.24.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|﹣1<x<2},则ab的值为()A.1 B.﹣C.4 D.﹣5.已知α∈(0,π),cos(α+)=﹣,则tan2α=()A.B.﹣或﹣C.﹣D.﹣6.已知向量=(1,3),=(﹣2,﹣6),||=,若(+)•=5,则与的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°7.下列四个命题中错误的是()A.若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面8.已知函数y=()x﹣2与y=x3图象的交点坐标为(x0,y0),则x0所在的大致区间()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4)9.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},则()A.∀m∈A,都有f(m+3)>0 B.∀m∈A,都有f(m+3)<0C.∃m0∈A,使得f(m0+3)=0 D.∃m0∈A,使得f(m0+3)<010.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,﹣<φ<),其部分图象如图所示,将f(x)的图象纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sin(x+1)B.g(x)=sin(x+1)C.g(x)=sin(x+1)D.g(x)=sin(x+1)11.已知函数f(x)=,则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是()(注:e为自然对数的底数)A.(0,)B.[,]C.(0,)D.[,e]12.,则点P的轨迹经过△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知变量x,y满足,则2x+y的最大值为.14.(2015•闵行区二模)空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,则线段AB的长度为.16.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x)的图象如图所示,对于满足0<x1<x2<1的任意x1,x2,给出下列结论:①f(x2)﹣f(x1)>x2﹣x1;②x2f(x1)>x1f(x2);③;④>0.其中正确结论的序号是.(把所有正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,其中17题10分,其余每题12分,共70分)17.设函数f(x)=|2x﹣m|+4x.(I)当m=2时,解不等式:f(x)≤1;(Ⅱ)若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤﹣2},求m的值.18.已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n﹣2.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=a n•log2a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.19.在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥面ABCD,DC∥AB,DC=1,AB=4,BC=,∠CBA=30°.(I)求证:AC⊥PB;(II)当PD=2时,求此四棱锥的体积.20.已知向量=(cos x,sin x),=(cos,sin),且x∈[0,].(1)求•及|+|;(2)若f(x)=•﹣2λ|+|的最小值为﹣,求实数λ的值.21.当时,求防护网的总长度;(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍,试确定∠AOM的大小.22.已知a为实常数,函数f(x)=lnx﹣ax+1.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2).(ⅰ)求实数a的取值范围;(ⅱ)求证:<x1<1,且x1+x2>2.(注:e为自然对数的底数)2015-2016学年江西省上饶中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题有且只有一个正确答案)1.函数的定义域是()A.[﹣1,+∞) B.[﹣1,0) C.(﹣1,+∞)D.(﹣1,0)【考点】函数的定义域及其求法.【专题】计算题.【分析】要使函数有意义,只需x+1>0,解出即可.【解答】解:要使函数有意义,只需x+1>0,解得x>﹣1,所以函数的定义域为(﹣1,+∞),故选C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,属基础题,注意结果要表示为集合或区间.2.A.a n=(﹣1)n B.a n=(﹣1)nC.a n=(﹣1)n+1 D.a n=(﹣1)n+1【考点】数列的概念及简单表示法.【专题】等差数列与等比数列.【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列,我们可以用(﹣1)n+1来控制各项的符号,再由各项的分母为一等比数列,分子2n+1,由此可得数列的通项公式.【解答】解:由已知中数列,﹣,,﹣,…可得数列各项的分母为一等比数列{2n},分子2n+1,又∵数列所有的奇数项为正,偶数项为负故可用(﹣1)n+1来控制各项的符号,故数列的一个通项公式为a n=(﹣1)n+1故答案为:D.【点评】本题考查数列的通项公式的求解,找出其中的规律是解决问题的关键,属基础题.3.=(1﹣i),则复数z的模|z|=()A.﹣1 B.1 C.D.2【考点】复数代数形式的乘除运算;复数求模.【专题】计算题;函数思想;数系的扩充和复数.【分析】利用复数的除法运算法则化简,然后求出是的模.【解答】解:,所以有|z|=1,故选B.【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模的求法,考查计算能力.4.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|﹣1<x<2},则ab的值为()A.1 B.﹣C.4 D.﹣【考点】一元二次不等式的解法.【专题】计算题.【分析】根据一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|﹣1<x<2},可得方程ax2+bx+1=0的解为﹣1,2,利用韦达定理即可解答本题.【解答】解:∵一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|﹣1<x<2},∴方程ax2+bx+1=0的解为﹣1,2∴﹣1+2=﹣,(﹣1)×2=∴a=﹣,b=,∴ab=﹣.故选:B.【点评】本题重点考查一元二次不等式的解集,明确一元二次不等式的解集与方程解之间的关系是解题的关键,属于基础题.5.已知α∈(0,π),cos(α+)=﹣,则tan2α=()A.B.﹣或﹣C.﹣D.﹣【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的正切.【专题】三角函数的求值.【分析】由已知求得α+∈(,),从而可求sin(α+)的值,进而可求tan(α+)=±1,从而解得tanα=﹣2或+2,从而由二倍角公式可求tan2α的值.【解答】解:∵α∈(0,π),∴α+∈(,),∵cos(α+)=﹣,∴sin(α+)=±=±,∴tan(α+)====±1,从而解得tanα=﹣2或+2,∴tan2α===﹣或tan2α===﹣.故选:C.【点评】本题考查二倍角的正切,求得tanα的值是关键,考查运算能力,属于基本知识的考查.6.已知向量=(1,3),=(﹣2,﹣6),||=,若(+)•=5,则与的夹角为() A.30°B.60°C.120°D.150°【考点】数量积表示两个向量的夹角.【专题】计算题.【分析】设出要求的向量的坐标,得到两个向量的和,根据两个向量的数量积的值,得到关于x,y 的关系式,写出两个向量的夹角的余弦值,根据夹角的范围得到结果.【解答】解:设=(x,y)∵,,∴,∵,∴﹣x﹣3y=5,∴=﹣5∴cosθ==﹣,∵θ∈[0°,180°]∴θ=120°,故选C.【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角,在解题过程中比较好的一点是,两个向量的和与其中一个向量是相反向量,求解时作用比较大.7.下列四个命题中错误的是()A.若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面【考点】平面的基本性质及推论;异面直线的判定.【专题】证明题.【分析】根据公理2以及推论判断A和B,由线线位置关系的定义判断C,利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D.【解答】解:A、由两条直线平行确定一个平面判断正确,故A不对;B、根据三棱锥的四个顶点知,任意三点都不共线,故B不对;C、若两条直线没有公共点,则这两条直线异面或平行,故C对;D、根据线面垂直的性质定理知,这两条直线平行,即不可能,故D不对.故选C.【点评】本题考查了的内容多,涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义,难度不大,需要掌握好基本知识.8.已知函数y=()x﹣2与y=x3图象的交点坐标为(x0,y0),则x0所在的大致区间()A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【考点】幂函数的性质;幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】函数的性质及应用.【分析】构造函数f(x)=﹣x3,判断函数f(x)的零点在哪个区间即可.【解答】解:根据题意,设f(x)=﹣x3,则f(0)=﹣03=4>0,f(1)=﹣13=1>0,f(2)=﹣23=﹣7<0;∴函数f(x)存在零点x0∈(1,2),即函数y=()x﹣2与y=x3图象的交点横坐标x0所在的区间为(1,2).故选:B.【点评】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题,是基础题目.9.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},则()A.∀m∈A,都有f(m+3)>0 B.∀m∈A,都有f(m+3)<0C.∃m0∈A,使得f(m0+3)=0 D.∃m0∈A,使得f(m0+3)<0【考点】二次函数的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意可得a>0,且c<0,﹣2<<﹣,x=1为f(x)的一个零点,再由根与系数的关系可得,另一零点为.可得A={m|<m<1},m+3>1,有f(m+3)>0恒成立,从而得出结论.【解答】解:∵函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,故有a>0,且c<0.∴0<a+a+c=2a+c,即>﹣2,且0>a+c+c=a+2c,即<﹣,因此有﹣2<<﹣,又f(1)=a+b+c=0,故x=1为f(x)的一个零点.由根与系数的关系可得,另一零点为<0,所以有:A={m|<m<1}.所以,m+3>+3>1,所以有f(m+3)>0恒成立,故选A.【点评】本题主要考查二次函数的性质,一元二次方程根的分布与系数的关系,体现了转化的数学思想,属于中档题.10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,﹣<φ<),其部分图象如图所示,将f(x)的图象纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sin(x+1)B.g(x)=sin(x+1) C.g(x)=sin(x+1)D.g(x)=sin(x+1)【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式,再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.【解答】解:由函数的图象可得A=1,T==1﹣(﹣1)=2,∴ω=.再由五点法作图可得,(﹣1)+φ=0,∴φ=,函数f(x)=sin(x+).将f(x)的图象纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,可得函数y=sin(x+)的图象;再向右平移1个单位得到g(x)=sin[(x﹣1)+]=sin(x+)的图象,故函数g(x)的解析式为g(x)=sin(x+1),故选:B.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.11.已知函数f(x)=,则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是()(注:e为自然对数的底数)A.(0,) B.[,]C.(0,) D.[,e]【考点】分段函数的应用.【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围.【解答】解:∵方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,∴y=f(x)与y=ax有2个交点,又∵a表示直线y=ax的斜率,∴y′=,设切点为(x0,y0),k=,∴切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=,∴直线l1的斜率为,又∵直线l2与y=x+1平行,∴直线l2的斜率为,∴实数a的取值范围是[,).故选:B.【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题,解题时应结合图象,以及函数与方程的关系,进行解答,是易错题.12.,则点P的轨迹经过△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【考点】向量在几何中的应用.【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用.【分析】解出,计算并化简可得出结论.【解答】解:=λ(+),∴,∴,即点P在BC边的高上,即点P的轨迹经过△ABC的垂心.故选D.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用,根据条件中的角计算是关键.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知变量x,y满足,则2x+y的最大值为8.【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,设z=x+y,利用z的几何意义,先求出z的最大值,即可得到结论.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:设z=x+y,则y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大,此时z最大.由,解得,即A(1,2),代入z=x+y得z=1+2=3.即z=x+y最大值为3,∴2x+y的最大值为23=8.故答案为:8.【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算,利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键.14.+()+…+()==9,解得n=99.故答案为:99.【点评】本题考查数列的性质和应用,数列求和的方法,解题时要认真审题,仔细解答.15.空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,则线段AB的长度为.【考点】简单空间图形的三视图.【专题】空间位置关系与距离.【分析】根据三视图得出,正方体的体对角线,符合题意,根据图形求解即可.【解答】解:∵空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,∴把它放到正方体中研究得出:可判断出正方体的棱长为1,体对角线为,∴线段AB为故答案为:.【点评】本题考查了简单几何体的三视图的知识,构建常见的几何体,镶嵌其中即可,属于中档题,需要很好的空间思维能力.16.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x)的图象如图所示,对于满足0<x1<x2<1的任意x1,x2,给出下列结论:①f(x2)﹣f(x1)>x2﹣x1;②x2f(x1)>x1f(x2);③;④>0.其中正确结论的序号是②③④.(把所有正确结论的序号都填上)【考点】函数的图象.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用直线的斜率的几何意义,利用数形结合的思想研究函数的单调性与最值即可得到答案.【解答】解:函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象如下:对于①设曲线y=f(x)上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),直线AB的斜率k AB=<k op=1,∴f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1,故①错误;对于②,由图可知,k oA>k oB,即>,0<x1<x2<1,于是有x2f(x1)>x1f (x2),故②正确;对于③,由于函数f(x)为上凸函数,根据凸函数的性质可知,故③正确,对于④,由图象可知函数为增函数,所以>0.故④正确故答案:②③④【点评】本题考查函数的图象,着重考查直线的斜率的几何意义,考察函数的单调性,突出考查作图象的能力与数形结合解决问题的能力,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,其中17题10分,其余每题12分,共70分)17.设函数f(x)=|2x﹣m|+4x.(I)当m=2时,解不等式:f(x)≤1;(Ⅱ)若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤﹣2},求m的值.【考点】带绝对值的函数;绝对值不等式的解法.【专题】计算题;不等式的解法及应用.【分析】(I)当m=2时,函数f(x)=|2x﹣2|+4x,由不等式f(x)≤1 可得①,或②,分别求出①②的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)由f(x)=,可得连续函数f(x) 在R上是增函数,故有f(﹣2)=2,分当≥﹣2和当<﹣2两种情况,分别求出m的值,即为所求.【解答】解:(I)当m=2时,函数f(x)=|2x﹣2|+4x,由不等式f(x)≤1 可得①,或②.解①可得x∈∅,解②可得x≤﹣,故不等式的解集为{x|x≤﹣}.(Ⅱ)∵f(x)=,连续函数f(x)在R上是增函数,由于f(x)≤2的解集为{x|x≤﹣2},故f(﹣2)=2,当≥﹣2时,有2×(﹣2)+m=2,解得m=6.当<﹣2时,则有6×(﹣2)﹣m=2,解得m=﹣14.综上可得,当m=6或m=﹣14 时,f(x)≤2的解集为{x|x≤﹣2}.【点评】本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.18.已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n﹣2.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n =a n •log 2a n+1,求数列{b n }的前n 项和T n . 【考点】数列的求和;等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】(I)利用“n=1,a 1=S 1;n ≥2,a n =S n ﹣S n ﹣1”可得a n 与a n ﹣1的关系,利用等比数列的通项公式即可得出;(II )利用“错位相减法”即可得出. 【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a 1=2,当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣(2a n ﹣1﹣2) 即:,∴数列{a n }为以2为公比的等比数列,∴.(Ⅱ)∵,∴两式相减,得,∴.【点评】本题考查了利用“n=1,a 1=S 1;n ≥2,a n =S n ﹣S n ﹣1”求a n 、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识与基本技能方法,属于中档题.19.在四棱锥P ﹣ABCD 中,PC ⊥面ABCD ,DC ∥AB ,DC=1,AB=4,BC=,∠CBA=30°.(I )求证:AC ⊥PB ;(II)当PD=2时,求此四棱锥的体积.【考点】直线与平面垂直的性质;棱锥的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(I)先在△ABC中,利用余弦定理,得出AC2+BC2=AB2,从而得出AC⊥BC,再结合PC⊥AC,而BC、PC是平面PBC内的相交直线,得到AC⊥平面PBC,最后根据线面垂直的定义,可证出AC⊥PB;(II)过点C作CE⊥AB于E,在Rt△BCE中,利用三角函数的定义,得到CE=BC=,从而可得梯形ABCD的面积为.再结合PC⊥平面ABCD,在Rt△PCD中,利用勾股定理算出PC=,最后=S ABCD•PC=••=.利用锥体的体积公式,得V P﹣ABCD【解答】解:(I)∵△ABC中,AB=4,BC=,∠CBA=30°,∴根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcos∠CBA=4∴AC2+BC2=4+12=16=AB2∴AC⊥BC又∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∴PC⊥AC∵BC、PC是平面PBC内的相交直线∴AC⊥平面PBC∴结合BC⊂平面PBC,可得AC⊥BC(II)过点C作CE⊥AB于E,∵Rt△BCE中,BC=2,∠ECB=30°∴CE=BC=可得梯形ABCD的面积为:S ABCD==又∵PC⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD∴PC⊥CD,Rt△PCD中,PC===S ABCD•PC=••=,所以,根据锥体的体积公式,得V P﹣ABCD即此四棱锥的体积的体积为.【点评】本题以底面为梯形、一条侧棱垂直于底的四棱锥为例,通过证明线线垂直和求体积,着重考查了空间垂直关系的证明与体积公式等知识点,属于中档题.20.已知向量=(cos x,sin x),=(cos,sin),且x∈[0,].(1)求•及|+|;(2)若f(x)=•﹣2λ|+|的最小值为﹣,求实数λ的值.【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.【专题】三角函数的图像与性质;平面向量及应用.【分析】(1)通过数量积,即模的运算再利用两角和公式和二倍角公式化简整理即可;(2)先求出函数f(x)的表达式,再根据x的范围,进而利用二次的单调性求得函数的最值,问题得以解决.【解答】解:(1)=(cos x,sin x),=(cos,sin),∴•=cos xcos+sin xsin=cosx,|+|2=(cos x+cos)2+(sin x+sin)2=2+2cosx=4cos2,∵x∈[0,].∴cos>0,∴|+|=2cos;(2)由(1)有f(x)=•﹣2λ|+|=cosx﹣4λcos=2cos2﹣4λcos﹣1=2(cos﹣λ)2﹣1﹣2λ2,∵x∈[0,],∴∈[0,],∴cos∈[,1],当λ<时,当且仅当cos=时,f min(x)=2×﹣4λ×﹣1=﹣,解得λ=(舍);当≤λ≤1时,当且仅当cos=λ时,f min(x)=﹣1﹣2λ2=﹣,解得λ=或λ=(舍);当λ>1时,当且仅当cos=1时,f min(x)=2﹣4λ﹣1=﹣,解得λ=(舍);综上所述,λ=.【点评】本题主要考查了二次函数的最值,和两角和公式,二倍角公式的运用.三角函数的基本公式较多,注意多积累,属于中档题.21.当时,求防护网的总长度;(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍,试确定∠AOM的大小.【考点】函数模型的选择与应用.【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用;解三角形.【分析】(1)由已知求出∠OAB=60°,OM=,从而OM⊥AN,进而△OAN为正三角形,由此能求出防护网的总长度.(2)设∠AOM=θ,(0°<θ<60°),由已知得ON=6sinθ,ON=,从而6sin,由此能确定∠AOM的大小.【解答】解:(1)在△OAB中,∵OA=3,OB=3,∠AOB=90°,∴∠OAB=60°,在,∠OAM=60°,∴由余弦定理,得OM==,∴OM2+AM2=OA2,∴OM⊥AN,∴∠AOM=30°,∴△OAN为正三角形,∴△OAN的周长为9,∴防护网的总长度为9km.(2)设∠AOM=θ,(0°<θ<60°),∵,∴,∴ON=6sinθ,在△OAN中,由=,得ON=,从而6sin,∴sin2,∵0°<2θ<120°,∴2θ=30°,∴θ=15°,∴∠AOM=15°.【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用,是中档题,解题时要认真审题,注意正弦定理、余弦定理、勾股定理的合理运用.22.已知a为实常数,函数f(x)=lnx﹣ax+1.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2).(ⅰ)求实数a的取值范围;(ⅱ)求证:<x1<1,且x1+x2>2.(注:e为自然对数的底数)【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【专题】综合题;导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)写出函数f(x)的定义域,求出f'(x),分a≤0,a>0两种情况讨论,通过解不等式f'(x)>0,f'(x)<0可得单调区间;(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)可知,当a≤0时f(x)单调,不存在两个零点;当a>0时,可求得f(x)有唯一极大值,令其大于零,可得a的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;(ⅱ)由(i)知可判断f(x)的单调性,根据零点存在定理可判断<1;分析:由0,得,故只要证明:f()>0就可以得出结论.下面给出证明:构造函数:g(x)=f(﹣x)﹣f(x)=ln(﹣x)﹣a(﹣x)﹣(lnx﹣ax)(0<x≤),利用导数可判断g(x)在区间(0,]上为减函数,从而可得g(x1)>g()=0,再由f(x1)=0可得结论;【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),其导数f’(x)=﹣a.①当a≤0时,f'(x)>0,函数在(0,+∞)上是增函数;②当a>0时,在区间(0,)上,f'(x)>0;在区间(,+∞)上,f’(x)<0.∴f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点,当a>0时,f(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数,此时f()为函数f(x)的最大值,当f()≤0时,f(x)最多有一个零点,∴f()=ln>0,解得0<a<1,此时,<,且f()=﹣1﹣+1=﹣<0,f()=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣(0<a<1),令F(a)=3﹣2lna﹣,则F'(x)=﹣=>0,∴F(a)在(0,1)上单调递增,∴F(a)<F(1)=3﹣e2<0,即f()<0,∴a的取值范围是(0,1).(ii)由(Ⅱ)(i)可知函数f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.f(x)=lnx﹣ax+1, ∴f()=﹣1﹣+1=﹣<0,f(1)=1﹣a>0.故<1;第二部分:分析:∵0,∴.只要证明:f()>0就可以得出结论.下面给出证明:构造函数:g(x)=f(﹣x)﹣f(x)=ln(﹣x)﹣a(﹣x)﹣(lnx﹣ax)(0<x≤),则g’(x)=+2a=,函数g(x)在区间(0,]上为减函数.0<x1,则g(x1)>g()=0,又f(x1)=0,于是f()=ln()﹣a()+1﹣f(x1)=g(x1)>0.又f(x2)=0,由(1)可知,即.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式的证明等知识,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、推理论证能力,本题综合性强,能力要求较高.。
2015-2016学年江西省上饶中学高三(上)期中化学试卷(重点、潜能)一、选择题(本题包括16小题,每小题3分,共48分.每小题只有一个选项符合题意.)1.下列说法正确的是( )A.能电离出H+的化合物叫做酸B.实验测得1mol某气体体积为22.4L,测定条件一定是标准状况C.摩尔是七个基本物理量之一D.化合物分为酸、碱、盐和氧化物是用树状分类法分类的【考点】酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系;阿伏加德罗定律及推论.【专题】物质的分类专题.【分析】A、酸是电离时生成的阳离子全部是氢离子的化合物;B、根据气体状态方程PV=nRT来确定物质的状态;C、摩尔是物质的量的单位;D、根据化合物的性质可以将化合物分为酸、碱、盐和氧化物.【解答】解:A、酸是电离时生成的阳离子全部是氢离子的化合物,如硫酸氢钠可以电离出氢离子,属于盐类,故A错误;B、根据气体状态方程PV=nRT,1mol某气体体积为22.4L,代入公式,只要具备满足条件的压强和温度均可以,不一定是标况下,故B错误;C、摩尔是物质的量的单位,物质的量是七个基本物理量之一,故C错误;D、根据化合物的性质可以将化合物分为酸、碱、盐和氧化物,是用树状分类法分类的,故D正确.故选D.【点评】本题属于基本概念的考查,要求学生熟记教材知识并灵活应用是解题的关键,难度不大.2.下列实验中,不能观察到明显现象的是( )A.把绿豆大的钾投入少量冷水中B.把Cl2通入FeCl2溶液中C.把一段打磨过的镁条放入少量冷水中D.用铂丝蘸取CuCl2溶液于无色火焰上灼烧【考点】氯气的化学性质;碱金属的性质;焰色反应;镁的化学性质.【专题】卤族元素;几种重要的金属及其化合物.【分析】A.钾性质活泼,与水剧烈反应;B.氯气与氯化亚铁反应生成氯化铁;C.镁与冷水不反应;D.铜的焰色为绿色.【解答】解:A.钾性质活泼,与水剧烈反应,放出大量的热并有气泡生成,现象明显且剧烈,故A不选;B.氯气与氯化亚铁反应生成氯化铁,溶液由浅绿色变为黄色,现象明显,故B不选;C.镁与冷水不反应,可与热水发生反应,把一段打磨过的镁带放入少量冷水中,不能观察到明显变化,故C选;D.用铂丝蘸取CuCl2溶液于无色火焰上灼烧产生绿色火焰,现象明显,故D不选;故选:C.【点评】本题考查了实验现象的判断,明确物质的性质及发生的反应是解题关键,题目难度不大.3.纯净的碳酸氢钙试样在高温下分解,当剩余的固体物质质量为原试样质量一半时,碳酸氢钙的分解率是( )A.50% B.75% C.92.7% D.100%【考点】化学方程式的有关计算.【专题】计算题.【分析】若发生反应Ca(HCO3)2CaCO3+H2O+CO2,可知162g碳酸氢钙完全分解生成碳酸钙100g,固体质量减少不一半,所以CaCO3继续分解成CaO,此时Ca(HCO3)2已经全部分解.【解答】解:若发生反应Ca(HCO3)2CaCO3+H2O+CO2,可知162g碳酸氢钙完全分解生成碳酸钙100g,剩余的固体物质质量大于原固体质量的一半,所以CaCO3继续分解成CaO,此时Ca(HCO3)2已经全部分解,碳酸氢钙的分解率是100%,故选D.【点评】本题考查根据方程式的计算,利用假设法根据固体质量变化判断碳酸钙分解是关键.4.向300mL KOH溶液中缓慢通入2.24L(标准状况下)CO2气体,CO2气体完全反应,充分反应后,在减压低温下蒸发溶液,得到11.9g白色固体.则下列说法中正确的是( ) A.此白色固体为KOH和K2CO3的混合物B.此白色固体中含有K2CO3 10.9gC.原KOH溶液的物质的量浓度是0.5mol/LD.此白色固体为KHCO3【考点】化学方程式的有关计算.【专题】计算题.【分析】2.24L(标况下)CO2气体的物质的量为0.1mol,二氧化碳完全反应,若只发生:CO2+2KOH=K2CO3+H2O,则生成0.1mol的K2CO3,质量=0.1mol×138g/mol=13.8g;若只发生:CO2+KOH=KHCO3,则生成0.1mol的KHCO3,其质量=0.1mol×100g/mol=10g,由于13.8g>11.9g>10.0g,所以得到的白色固体是K2CO3和KHCO3的混合物,设白色固体中K2CO3 x mol,KHCO3 y mol,根据C元素守恒及二者质量列方程计算,再根据钾离子守恒计算KOH物质的量,根据c=计算KOH溶液物质的量浓度.【解答】解:2.24L(标况下)CO2气体的物质的量为=0.1mol,二氧化碳完全反应,若只发生:CO2+2KOH=K2CO3+H2O,则生成0.1mol的K2CO3,质量=0.1mol×138g/mol=13.8g;若只发生:CO2+KOH=KHCO3,则生成0.1mol的KHCO3,其质量=0.1mol×100g/mol=10g,由于13.8g>11.9g>10.0g,所以得到的白色固体是K2CO3和KHCO3的混合物,设白色固体中K2CO3 x mol,KHCO3 y mol,根据碳原子守恒,有:x mol+y mol=0.1 mol,由二者质量可知:138g•mol﹣1×x mol+100 g•mol﹣1×y mol=11.9g联立方程,解得x=0.05mol y=0.05mol故白色固体中含有K2CO3的质量=138g•mol﹣1×0.05 mol=6.9g,原溶液中KOH物质的量为2xmol+ymol=2×0.05mol+0.05mol=0.15mol,所用KOH溶液物质的量浓度为=0.500 mol•L﹣1,综上分析可知,ABD错误、C正确,故选C.【点评】本题考查混合物的计算,题目难度中等,利用极限法判断产物的组成是解题关键.5.物质发生化学反应时,下列量值在反应前后肯定不发生变化的是( )①电子总数;②原子总数;③分子总数;④物质的种类;⑤物质的总质量;⑥物质所具有的总能量.A.①②⑤B.②⑤⑥C.①②③⑤ D.①②⑤⑥【考点】质量守恒定律.【分析】根据质量守恒定律的内容可知,在化学反应中,反应前后肯定不会发生变化的是:元素的种类;物质的质量总和;各种原子的数目;而分子的种类是一定变化的.【解答】解:①在反应过程中,一定满足得失电子数守恒,故电子数一定不变,故①选;②化学变化中各种原子的数目,所以原子总数不发生变化,故②选;③化学变化中分子总数可能变化,可能不变,可根据化学计量数判断,故③不选;④化学变化中有新物质生成,物质的种类发生变化,故④不选;⑤化学反应过程中一定满足原子种类和个数守恒,即一定满足质量守恒,故反应前后物质的总质量一定不变,故⑤选;⑥化学反应伴随能量变化,有的吸收能量,有的反应放出能量,物质所具有的总能量一定发生变化,故⑥不选;故选A.【点评】本题考查了在化学方程过程中,电子得失数要守恒、原子种类和个数守恒、质量守恒和能量守恒,难度不大.6.下列实验可行的是( )A.苯、CCl4、酒精可用来萃取溴水中的溴B.用激光笔鉴别Fe(OH)3胶体和FeCl3溶液C.加入盐酸以除去硫酸钠中的少量碳酸钠杂质D.在容量瓶中加入一定体积的水,再加入浓硫酸配制准确浓度的稀硫酸【考点】化学实验方案的评价.【专题】实验评价题.【分析】A.酒精与水混溶,不能作萃取剂;B.胶体具有丁达尔效应;C.盐酸与碳酸钠反应生成NaCl,会引入新杂质;D.不能在容量瓶中稀释浓硫酸.【解答】解:A.酒精与水混溶,不能作萃取剂,可用苯或四氯化碳萃取碘水中的碘,故A 错误;B.胶体具有丁达尔效应、溶液没有丁达尔效应,所以可以用丁达尔效应鉴别Fe(OH)3胶体和FeCl3溶液,故B正确;C.盐酸与碳酸钠反应生成NaCl,会引入新杂质,则应加入硫酸以除去硫酸钠溶液中的少量碳酸钠杂质,故C错误;D.不能在容量瓶中稀释浓硫酸,应在烧杯中稀释、冷却后转移到容量瓶中,故D错误;故选B.【点评】本题考查物质分离、提纯方案的设计,为高频考点,把握胶体的性质、溶液配制、混合物分离等为解答的关键,注意除杂不能引入新杂质,题目难度不大.7.用N A表示阿伏加德罗常数的值,下列说法中正确的是( )A.1 mol N2所含有的原子数为N AB.标准状况下,22.4 L水中含有的水分子数为N AC.500 mL 1.0 mol/L碳酸钠溶液中所含钠离子的数为N AD.0.5mol纯硫酸所含有的氧原子数与2N A个CO2分子中所含有的氧原子数相等【考点】阿伏加德罗常数.【专题】阿伏加德罗常数和阿伏加德罗定律.【分析】A.氮气为双原子分子,1mol氮气中含有2mol氮原子;B.标准状况下,水的状态不是气体,不能使用标况下的气体摩尔体积计算水的物质的量;C.500 mL 1.0 mol/L碳酸钠溶液中含有0.5mol溶质碳酸钠,含有1mol钠离子;D.0.5mol硫酸中含有2mol氧原子,2mol二氧化碳中含有4mol氧原子.【解答】解:A.1 mol N2中含有2mol氮原子,含有的原子数为2N A,故A错误;B.标况下,水不是气体,不能使用标况下的气体摩尔体积计算22.4L水的物质的量,故B 错误;C.该溶液中含有溶质碳酸钠0.5mol,0.5mol碳酸钠中含有1mol钠离子,所含钠离子的数为N A,故C正确;D.0.5mol纯硫酸所含有2mol氧原子,2N A个CO2分子中含有4mol氧原子,二者所含有的氧原子数不相等,故D错误;故选C.【点评】本题考查了阿伏伽德罗常数的判断及计算,题目难度中等,注意明确标况下气体摩尔体积的使用条件,熟练掌握阿伏伽德罗常数与物质的量、摩尔质量等物理量之间的转化关系.8.关于Fe(OH)3胶体的下列说法正确的是( )A.分散质微粒能透过半透膜B.是不稳定的分散系C.该胶体带电,带正电荷D.滴加入盐酸至过量,先产生红褐色沉淀,然后溶解【考点】胶体的重要性质.【专题】溶液和胶体专题.【分析】A、胶体不能通过半透膜;B、胶体是介稳分散系;C、胶体不带电,胶体微粒吸附带电离子;D、胶体具有聚沉性质,氢氧化铁溶解于盐酸.【解答】解:A、Fe(OH)3胶体不能通过半透膜,故A错误;B、Fe(OH)3胶体是介稳分散系,故B错误;C、Fe(OH)3胶体不带电,胶体微粒吸附带电离子,故C错误;D、胶体具有聚沉性质,氢氧化铁溶解于盐酸,滴加入盐酸至过量,先产生红褐色沉淀,然后溶解,故D正确;故选D.【点评】本题考查了胶体性质的分析判断,掌握基础是关键,题目较简单.9.下列物质在水溶液中的电离方程式不正确的是( )A.NaClO⇌Na++ClO﹣B.=+C.NH3•H2O⇌+D.=++【考点】电离方程式的书写.【专题】电离平衡与溶液的pH专题.【分析】强电解质在溶液中能完全电离,弱电解质则部分电离,原子团在电离方程式中不能拆开,强酸的酸式根离子要拆开,弱酸的酸式根离子不要拆开.【解答】解:A、NaClO是强电解质,能完全电离出钠离子和次氯酸根离子,则电离方程式为:NaClO=Na++ClO﹣,故A错误;B、KHCO3是强电解质,能完全电离出钾离子和碳酸氢根离子,即KHCO3=K++HCO3﹣,故B正确;C、NH3•H2O是弱电解质,在溶液中部分电离,用可逆号表示,则NH3•H2O⇌NH4++OH﹣,故C正确;D、NaHSO4是强电解质,能完全电离出Na+、H+、SO42﹣,即NaHSO4=Na++H++SO42﹣,故D正确;故选A.【点评】本题考查学生电离方程式的书写知识,需要注意的是强酸的酸式根离子要拆开,弱酸的酸式根离子不要拆开,题目比较简单.10.下列化合物与小苏打溶液反应,没有气体或沉淀生成的是( )A.烧碱 B.硫酸氢钠 C.氢氧化钡 D.稀盐酸【考点】钠的重要化合物.【专题】几种重要的金属及其化合物.【分析】A、烧碱小苏打反应生成碳酸钠和水;B、硫酸氢钠与小苏打反应生成硫酸钠、水和二氧化碳;C、氢氧化钡与少量的小苏打反应生成碳酸钡沉淀、水、氢氧化钠,与少量的小苏打反应生成碳酸钡沉淀、碳酸钠和水;D、稀盐酸与小苏打反应生成氯化钠、水和二氧化碳.【解答】解:A、烧碱小苏打反应生成碳酸钠和水,没有气体或沉淀生成,故A正确;B、硫酸氢钠与小苏打反应生成硫酸钠、水和二氧化碳,有气体生成,故B错误;C、氢氧化钡与少量的小苏打反应生成碳酸钡沉淀、水、氢氧化钠,与少量的小苏打反应生成碳酸钡沉淀、碳酸钠和水,有沉淀生成,故C错误;D、稀盐酸与小苏打反应生成氯化钠、水和二氧化碳,有气体生成,故D错误;故选A.【点评】本题主要考查了酸式盐的性质,掌握酸式盐的性质是解题的关键.11.下列说法正确的是( )A.因为SO2具有漂白性,所以它能使品红溶液、溴水、酸性KMnO4溶液、石蕊试液褪色B.能使品红溶液褪色的物质不一定是SO2C.SO2、漂白粉、活性炭、Na2O2都能使红墨水褪色,且原理相同D.等物质的量的SO2和Cl2混合后通入装有湿润的有色布条的集气瓶中,漂白效果更好【考点】二氧化硫的化学性质.【专题】氧族元素.【分析】A.二氧化硫不能使酸碱指示剂褪色;B.二氧化硫、次氯酸等物质都能使品红溶液褪色;C.漂白粉和过氧化钠的漂白性是利用其氧化性,活性炭的漂白性是利用其吸附性,二氧化硫的漂白性是因为和有色物质反应生成无色物质;D.二者恰好反应生成盐酸和硫酸,盐酸和硫酸没有漂白性.【解答】解:A.二氧化硫的漂白性是因为和有色物质反应生成无色物质而漂白品红溶液,二氧化硫被溴、酸性高锰酸钾氧化而使这两种物质褪色,二氧化硫不能使酸碱指示剂褪色,故A错误;B.二氧化硫、次氯酸等物质都能使品红溶液褪色,所以能使品红溶液褪色的物质不一定是SO2,故B正确;C.漂白粉和过氧化钠的漂白性是利用其氧化性,活性炭的漂白性是利用其吸附性,二氧化硫的漂白性是因为和有色物质反应生成无色物质,所以其漂白原理不一定相同,故C错误;D.二者恰好反应生成盐酸和硫酸,反应方程式为Cl2+SO2+2H2O=H2SO4+2HCl,盐酸和硫酸没有漂白性,所以等物质的量的SO2和Cl2混合后通入装有湿润的有色布条的集气瓶中不能使有色布条褪色,故D错误;故选B.【点评】本题考查了漂白原理,知道活性炭、漂白粉和过氧化钠及臭氧、二氧化硫漂白原理分别是什么,注意:二氧化硫能使品红溶液褪色但不能使酸碱指示剂褪色,为易错点.12.用下列方法都可以产生氧气:①加热高锰酸钾;②向过氧化钠中通入二氧化碳;③向H2O2溶液中加入二氧化锰;④加热氯酸钾与二氧化锰的混合物.若要得到质量相同的氧气,反应过程中电子转移的数目之比为( )A.1:1:1:1 B.2:1:1:2 C.1:2:1:2 D.1:2:2:1【考点】氧化还原反应.【专题】氧化还原反应专题.【分析】加热高锰酸钾的方程式为2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑,向过氧化钠中通入二氧化碳反应的方程式为2Na2O2+2CO2═2Na2CO3+O2,向H2O2溶液中加入二氧化锰反应为2H2O22H2O+O2↑;2KClO32KCl+3O2↑,根据化合价的变化判断转移电子的数目【解答】解:设均生成1molO2,加热高锰酸钾的方程式为2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑,转移电子为4mol;向过氧化钠中通入二氧化碳反应的方程式为2Na2O2+2CO2═2Na2CO3+O2,转移电子为2mol;向H2O2溶液中加入二氧化锰反应为2H2O22H2O+O2↑,转移电子为2mol;2KClO32KCl+3O2↑,转移电子为4mol,则要得到质量相同的氧气,反应过程中电子转移的数目之比为2:1:1:2,故选B.【点评】本题考查氧化还原反应,为高频考点,把握反应中元素的化合价变化为解答的关键,侧重氧化还原反应转移电子的考查,注意从元素的化合价角度分析,题目难度不大.13.关于钠元素的单质及其化合物的叙述正确的是( )A.用洁净的铂丝蘸取样品在无色火焰上灼烧看见黄色火焰,说明样品中不含钾元素B.钠可从硫酸铜溶液中置换出铜C.Na2O和Na2O2都是碱性氧化物D.Na2O2中阴离子的摩尔质量是32g•mol﹣1【考点】钠的重要化合物.【专题】金属概论与碱元素.【分析】A.应通过蓝色钴玻璃观察钾元素的焰色反应;B.钠首先和水反应;C.碱性氧化物是指能与酸反应生成盐和水的金属氧化物;D.根据摩尔质量的数值等于其相对分子质量判断.【解答】解:A.因钠的黄光遮挡紫光,应通过蓝色钴玻璃观察钾元素的焰色反应,故A错误;B.金属钠和硫酸铜溶液反应时,金属钠先和水反应,生成的碱再与盐溶液反应,不会置换出金属,故B错误;C.因过氧化钠与酸反应生成盐、水和氧气,则过氧化钠不属于碱性氧化物,故C错误;D.因为摩尔质量的数值等于其相对分子质量,所以Na2O2中过氧根离子O22﹣的摩尔质量是32g•mol﹣1,故D正确;故选D.【点评】本题考查了钠及其氧化物的性质,为高频考点,侧重双基的考查,明确物质的性质是解本题关键,再结合基本概念来分析解答,知道氧化钠、过氧化钠的区别,题目难度不大.14.在一定温度下,把Na2O和Na2O2的固体分别溶于等质量的水中,都恰好形成此温度下饱和溶液,则加入Na2O和Na2O2的物质的量的大小为( )A.n(Na2O)>n(Na2O2)B.n(Na2O)<n(Na2O2)C.n(Na2O)=n(Na2O2)D.无法确定【考点】钠的重要化合物.【专题】几种重要的金属及其化合物.【分析】据反应方程式:Na2O+H2O=2NaOH,2Na2O2+2H2O=4NaOH+O2↑,判断等物质的量的Na2O、Na2O2消耗的H2O与生成氢氧化钠的物质的量关系,据此解答.【解答】解:据反应方程式:Na2O+H2O=2NaOH①,2Na2O2+2H2O=4NaOH+O2↑②,可知①②式中等物质的量的Na2O、Na2O2消耗H2O一样多,产生溶质NaOH一样多,故形成此温度下饱和溶液,则加入Na2O和Na2O2的物质的量相等,即n(Na2O)=n(Na2O2).故选C.【点评】本题考查钠的氧化物性质、化学计算等,通过分析方程式进行判断,难度中等.15.现有一块已知质量的铝镁合金,欲测定其中镁的质量分数,几位同学设计了以下三种不同的实验方案实验设计1:铝镁合金测定生成的气体在标准状况下的体积实验设计2:铝镁合金测定生成的气体在标准状况下的体积实验设计3:铝镁合金溶液过滤,测定得到沉淀的质量则能测定出镁的质量分数的是( )A.都能 B.都不能C.①不能,其它都能 D.②③不能,①能【考点】化学实验方案的评价.【专题】实验评价题.【分析】设计1、2中,利用金属的质量、氢气的量可计算出镁的质量,以此得到质量分数;设计3中,沉淀的质量为氢氧化镁,元素守恒可知镁的质量,以此得到质量分数.【解答】解:已知质量的铝镁合金,设计1、2中,利用金属的质量、氢气的量可计算出镁的质量,以此得到质量分数,设计3中,沉淀的质量为氢氧化镁,元素守恒可知镁的质量,以此得到质量分数,即三个实验方案中均可测定Mg的质量分数,故选A.【点评】本题考查以物质含量的测定、实验方案设计考查化学实验方案的评价,题目难度中等,需要学生具有知识的基础与综合运用知识分析问题、解决问题的能力,注意金属量的确定为解答的关键.16.在氯化铁和氯化铜的混合溶液中加入过量的铁粉,搅拌使其充分反应,所得固体残渣的质量与原铁粉的质量恰好相等,则原溶液中FeCl3和CuCl2的物质的量之比为( ) A..7:3 B.2:7 C.5:4 D.2:5【考点】铁的化学性质;铁盐和亚铁盐的相互转变.【专题】几种重要的金属及其化合物.【分析】在氯化铁和氯化铜的混合溶液中加入过量的铁粉,分别发生:2Fe3++Fe=3Fe2+,Fe+Cu2+=Fe2++Cu,搅拌使其充分反应,所得固体残渣的质量与原铁粉的质量恰好相等,则消耗的铁的质量应等于生成的铜的质量,以此解答.【解答】解:设混合物中含有xmolFeCl3,ymol氯CuCl2,在FeCl3和氯CuCl2的混合溶液中加入过量的铁粉,分别发生:2Fe3++Fe=3Fe2+,Fe+Cu2+=Fe2++Cu,搅拌使其充分反应,所得固体残渣的质量与原铁粉的质量恰好相等,则消耗的铁的质量应等于生成的铜的质量,则(0.5x+y)×56=64y,x:y=8:28=2:7,故选B.【点评】本题考查混合物的计算,注意把握铁与氯化铁和氯化铜反应的方程式的书写,根据质量关系结合方程式计算,题目难度不大.二、填空题(共52分).17.(1)现有以下物质①NaCl溶液②干冰(固态的二氧化碳)③冰醋酸(纯净的醋酸)④铜⑤BaSO4固体⑥蔗糖⑦酒精⑧熔融的KNO3⑨氢氧化钠固体其中能导电的是:①④⑧属于电解质的是:③⑤⑧⑨属于非电解质的是:②⑥⑦(2)将下列离子Na+、K+、Cu2+、H+、NO3﹣、Cl﹣、CO32﹣、OH﹣按可能大量共存于同一溶液的情况,把他们分成A、B两组,而且每组中均含两种阳离子和两种阴离子.A组:Cu2+、H+、Cl﹣、NO3﹣ B组:Na+、K+、OH﹣、CO32﹣(A、B可对换).【考点】离子共存问题;电解质与非电解质.【专题】物质的分类专题;离子反应专题.【分析】(1)能导电的物质必须含有自由电子或自由离子;电解质:在水溶液里或熔融状态下能导电的化合物;非电解质:在水溶液里或熔融状态下都不能导电的化合物,据此进行判断;(2)根据所有的钠和钾、硝酸根离子形成的化合物都溶于水,碳酸根离子能够和铜离子结合成沉淀,和氢离子结合成水和二氧化碳,氢氧根离子和铜离子结合成氢氧根离子,和氢离子结合成水进行分析.【解答】解:(1)①NaCl溶液是电解质氯化钠的水溶液,它能够导电;⑧熔融的硝酸钾中存在自由的钾离子和硝酸根离子,能够导电;④铜属于金属,能够导电,所以能够导电的有①④⑧;电解质在水溶液或熔化状态下能够导电的化合物,③冰醋酸水溶液能够导电,冰醋酸属于电解质;⑤硫酸钡的水溶液不能导电,是因为硫酸钡的溶解度太小,硫酸钡属于电解质;⑧熔融状态的硝酸钾因电离出钾离子和氯酸根离子而导电,因而硝酸钾属于电解质;⑨氢氧化钠固体在水溶液和熔融状态下都能够导电,所以属于电解质的为③⑤⑧⑨;非电解质是指在水溶液里和熔化状态下都不能导电的化合物,蔗糖、酒精水溶液不导电,属于非电解质;干冰即二氧化碳的水溶液能导电,是因为二氧化碳与水反应生成了电解质碳酸,不是二氧化碳本身的缘故,因此干冰属于非电解质,即属于非电解质的只有②⑥⑦,故答案为:①④⑧;③⑤⑧⑨;②⑥⑦;(2)设A组中含有Cu2+,Cu2+与CO32﹣、OH﹣分别反应生成沉淀而不能共存,CO32﹣、OH﹣则应存在于B组中,CO32﹣、OH﹣与H+反应而不能共存,则H+应存在于A组,又每组中均含两种阳离子和两种阴离子,所以A组中应还含有NO3﹣、Cl﹣,B组中还应含有Na+、K+,所以A组中含有Cu2+、H+、Cl﹣、NO3﹣,B组中含有Na+、K+、OH﹣、CO32﹣( A、B可对换),故答案为:Cu2+、H+、Cl﹣、NO3﹣;Na+、K+、OH﹣、CO32﹣( A、B可对换).【点评】本题考查了离子共存的应用、电解质与非电解质及溶液导电性判断,题目难度中等,注意掌握离子反应发生条件,明确电解质与非电解质的区别,试题侧重基础知识的考查,培养了学生的灵活应用能力.18.(16分)(1)除去括号中杂质,写出所加试剂与反应的离子方程式.①SO42﹣(CO32﹣),所加试剂:H2SO4,离子方程式:CO32﹣+2H+=CO2↑+H2O.②Fe2+(Cu2+),所加试剂:Fe,离子方程式:Fe+Cu2+=Fe+Cu2+.(2)写出下列反应的离子方程式:①将CO2通入过量的澄清石灰水中CO2+Ca2++2OH﹣=CaCO3↓+H2O;②实验室制备氢氧化铁胶体:Fe3++3H2O(沸水)Fe(OH)3(胶体)+3H+;③取一定量的Ba(OH)2溶液注入锥形瓶中,然后逐滴加入NaHCO3溶液,当Ba2+恰好完全沉淀时,发生反应的离子方程式为HCO3﹣+Ba2++OH﹣=BaCO3↓+H2O,继续滴加NaHCO3溶液发生反应的离子方程式为HCO3﹣+OH﹣=CO32﹣+H2O.(3)写出下列离子方程式能表示的一个化学方程式:①CO32﹣+2H+═H2O+CO2↑Na2CO3+2HCl=2NaCl+H2O+CO2↑;②Ba2++SO42﹣═BaSO4↓BaCl2+Na2SO4═BaSO4↓+2NaCl.【考点】离子方程式的书写;物质的分离、提纯和除杂.【专题】离子反应专题;物质的分离提纯和鉴别.【分析】(1)①硫酸可与碳酸根离子反应;②Fe与铜离子反应可除杂;(2)①反应生成碳酸钙和水;②铁离子水解可制备胶体;③当Ba2+恰好完全沉淀时,生成碳酸钡、水、NaOH;继续滴加NaHCO3溶液,反应生成碳酸钠和水;(3)①CO32﹣+2H+═H2O+CO2↑表示可溶性碳酸盐与强酸反应生成可溶性盐、水、二氧化碳的反应;②Ba2++SO42﹣═BaSO4↓可表示可溶性钡盐与硫酸(或可溶性硫酸盐)反应生成硫酸钡与盐酸(或可溶性盐)的反应.【解答】解:(1)①硫酸可与碳酸根离子反应,则试剂为H2SO4,离子反应为CO32﹣+2H+=CO2↑+H2O,故答案为:H2SO4;CO32﹣+2H+=CO2↑+H2O;②Fe与铜离子反应可除杂,则试剂为Fe,离子反应为Fe+Cu2+=Fe+Cu2+,故答案为:Fe;Fe+Cu2+=Fe+Cu2+;(2)①反应生成碳酸钙和水,离子反应为CO2+Ca2++2OH﹣=CaCO3↓+H2O,故答案为:CO2+Ca2++2OH ﹣=CaCO↓+H2O;3②铁离子水解可制备胶体,离子反应为Fe3++3H2O(沸水)Fe(OH)3(胶体)+3H+,故答案为:Fe3++3H2O(沸水)Fe(OH)3(胶体)+3H+;③当Ba2+恰好完全沉淀时,生成碳酸钡、水、NaOH,离子反应为HCO3﹣+Ba2++OH﹣=BaCO3↓+H2O;继续滴加NaHCO3溶液,反应生成碳酸钠和水,离子反应为HCO3﹣+OH﹣=CO32﹣+H2O,故答案为:HCO3﹣+Ba2++OH﹣=BaCO3↓+H2O;HCO3﹣+OH﹣=CO32﹣+H2O;(3)①CO32﹣+2H+═H2O+CO2↑表示可溶性碳酸盐与强酸反应生成可溶性盐、水、二氧化碳的反应,如Na2CO3+2HCl=2NaCl+H2O+CO2↑,故答案为:Na2CO3+2HCl=2NaCl+H2O+CO2↑;②Ba2++SO42﹣═BaSO4↓可表示可溶性钡盐与硫酸(或可溶性硫酸盐)反应生成硫酸钡与盐酸(或可溶性盐)的反应,如BaCl2+Na2SO4═BaSO4↓+2NaCl,故答案为:BaCl2+Na2SO4═BaSO4↓+2NaCl.【点评】本题考查离子反应方程式的书写及混合物分离提纯,为高频考点,把握物质的性质、发生的反应及离子反应的书写方法为解答的关键,侧重分析与应用能力的考查,题目难度不大.19.已知A为常见的金属单质,各物质有如图所示的关系:(1)写出B、C的名称:B:四氧化三铁,C:氯化亚铁.(2)写出以下反应的化学方程式,有离子方程式的写离子方程式.④2Fe2++Cl2=2Fe3+;⑤Fe+2Fe3+=3Fe2+;⑧4Fe(OH)2+O2+2H2O=4Fe(OH)3.【考点】无机物的推断.【专题】无机推断;类比迁移思想;演绎推理法;几种重要的金属及其化合物.【分析】F是红褐色固体,则F是氢氧化铁,氢氧化亚铁和氧气反应生成氢氧化铁,所以E 是氢氧化亚铁,C能反应生成氢氧化亚铁,D能发生反应生成氢氧化铁,且C和D能相互转化,则CD含有的阴离子相同,阳离子不同,B黑色晶体,和盐酸反应生成两种物质,则B 是四氧化三铁,四氧化三铁和盐酸反应生成氯化亚铁和氯化铁,则C是氯化亚铁,D是氯化铁,A能发生反应生成氯化铁,铁和氯气反应生成氯化铁,A为常见的金属单质,则A是铁,据此答题.【解答】解:F是红褐色固体,则F是氢氧化铁,氢氧化亚铁和氧气反应生成氢氧化铁,所以E是氢氧化亚铁,C能反应生成氢氧化亚铁,D能发生反应生成氢氧化铁,且C和D能相互转化,则CD含有的阴离子相同,阳离子不同,B黑色晶体,和盐酸反应生成两种物质,则B是四氧化三铁,四氧化三铁和盐酸反应生成氯化亚铁和氯化铁,则C是氯化亚铁,D是氯化铁,A能发生反应生成氯化铁,铁和氯气反应生成氯化铁,A为常见的金属单质,则A 是铁,。
上饶中学2016届高三上学期期中考试 数学试卷(文:重点、潜能、特长班)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,1,2,A =-,{}|(1)(3)0B x x x =--≤,则A B = ( )A.{1,2}B.}1{C.{1,1}-D.∅2、0sin15sin 75⋅的值为 ( ) A .32 B .12 C .14D .34 3、已知等差数列{}n a ,510S =,则3a = ( ) A.0B.1C.2D.34、已知134y x+=,则xy 的最大值是( ) A. 3 B.4 C. 6 D. 95、函数2sin(2)3y x πω=-周期是π,则2ω等于 ( )A.1B.12C.4D.26、已知命题:,0,sin()sin sin p αβαβαβ∃>+=+,命题0:,1q x R x ∀∈=,则下列判断正确的是( )A .p 是假命题B .q 是真命题 C.(¬p )∧q 是真命题 D .p ∧(¬q )是真命题 7、若()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x <时, ()2f x x =+,则(1)f 的值为( ) A .1 B. ﹣1 C. ﹣3 D. 38.、“1a ≥-”是“函数2()22f x x ax =--的减区间是(,1]-∞-”的( ) A.充分非必要条件. B.必要非充分条件. C.充要条件. D.既非充分又非必要条件. 9、函数()sin 2cos f x x x x π=+的图像大致为( )10、已知等比数列的前n 项和2nn S t =+,数列{}n b ,满足2log n n b a =,若3p q -=,则p q a a -= ( )A. 3B. 6C. 3-D.6- 11、若定义域为R 的奇函数2()x n f x x m +=+在区间3(1,]2上没有最小值,则实数m 的取值 范围是 ( )A. (0,2]B. 3[,2]2C. 3[,)2+∞D. 3(,)2+∞12、已知函数 22, 0()sin , 0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若关于的方程()1f x kx =-没有零点,则实数k 的取值范围是 ( )A.(,4)-∞-B.(4,0)-C.(,1)-∞-D.(1,0)-二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13、已知(1,2),(2,1)A AC =-,则点C 的坐标为 .14、若实数y x ,满足不等式组1211x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则2z x y =+的取值范围是 .15、设曲线()x f x ax e =+在点(0,1)处的切线与直线10x y +-=垂直,则实数a = .16、已知等差数列{}n a 的公差为2,首项n a a =,数列{}n b 满足2010n n b n a -=,若对*n N ∀∈,都有10n b b ≥,则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分10分)已知函数()2||f x x x a =+-, (1)当0a =时,求不等式()1f x ≥的解集;(2)当0a <时, 函数()f x 与x 轴围成的三角形面积为6,求a 的值.{}n a xxyE D CB A P18、(本小题满分12分)已知是递增的等差数列,1a 、5a 是关于x 方程2650x x -+=的两个根. (1)求通项公式n a ; (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.19、(本小题满分12分)已知ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,2a =,函数()f x 31344x x =-的极大值是cos A . (1) 求A ; (2) 若3ABC S ∆=,求b ,c .20、(本小题满分12分)已知直角梯形ABCD 中,0//,90,AD BC ADC ∠=2,AD =1BC DC ==,以D 为圆心,DC 为半径,作弧和AD 交于点E ,点P 为劣弧CE 上的动点,如图所示. (1)求||DA DC +; (2)求PA PB ⋅的最小值.21、(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足:2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-≥∈N (其中,k t 为常数).(1)若12k =,14t =,数列{}n a 是等差数列,求1a 的值; (2)若数列{}n a 是等比数列,求证:k t <.{}n a22、(本小题满分12分) 已知函数()af x x x=-,()g x =2ln()x m +. (1)当0m =,存在x 0∈[1e,e ](e 为自然对数的底数),使000()()g x f x x ≥, 求实数a 的取值范围;(2)当1a m ==时,设()()()H x xf x g x =+,在()H x 的图像上是否存在不同的两点A 11(,)x y ,B 22(,)x y 12(1)x x >>-,使得12()()H x H x -1212'()()2x x H x x +=⋅-成立?请说明理由.参考答案一 、选择题1-12 ACCDA DABCA DB 二、填空题13. (3,1) 14. 7[1,]215. 0 16. 04a <≤ 三、解答题17解: 2,()32,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩(1)当0x ≤时,1x ≤-;当0x >时,13x >,所以解集为1(,1][,)3-∞-+∞; (2)函数()f x 与x 轴围成的三角形三个顶点分别为2(2,0),(,0),(,)3a a a a因为6S =,则29a =,得3a =-. 18解: (1)由方程解得151,5a a ==,所以n a n = (2) 11111n n a a n n +=-+ 1n nS n ∴=+ 19解: (1)根据条件可求1cos 2A =,所以3A π= (2) 由221sin 3234bc b c bc π⎧=⎪⎨⎪=+-⎩解得2b c ==. 20解:(1)建立坐标系可知 (2,0),(1,1),(0,1),(0,0)A B C D ,所以||5DA DC +=(2)设点(cos ,sin ),02P πααα≤≤(2c o s ,s i n PA αα=--,(1cos ,1sin )PB αα=--∴(2c o s )(1c o s )(s i n )(1P A P Bαααα⋅=--+-- (sin 3cos )3αα=-++10sin()3αϕ=-++[0,],t a n 32παϕ∈= m a x(s i n ())1αϕ∴+= 因此PA PB ⋅的最小值是310-21 解:⑴211211112411124n n n n n n S a a S a a ++-⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩, 两式相减 22111111(2)2244n n n n n a a a a a n +++-=-≥, 整理得11()(2)0(2)n n n n a a a a n +++--=≥, 0n a >,12(2)n n a a n +∴-=≥,数列{}n a 是等差数列,212a a ∴-=,212211124a a a +=-,115a ∴=±,10a > 115a =+;⑵由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-,两式相减2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥,设等比数列{}n a 的公比为q ,∴222n n n n na kqa ka tq a ta +-=-, 2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥,0q >, ∴1q ≠,{}n a 不是常数列,0t ∴=;11n n S ka -∴+=-,而0n a >且10n S ->,0k ∴<,k t ∴<.22 解:(1)000()()x f x g x ≥整理成为2002ln a x x ≤-,令2()2ln h x x x =-,则2(1)(1)'()(0)x x h x x x+-=>∴当x ∈1[,1)e时,'()0h x <;当(1,]x e ∈时,'()0h x >;又∵2211()2()2h h e e e e=+<=-,2max ()2h x e ∴=-,则22a e ≤-(2)2()2ln(1)1H x x x =++-,2'()21H x x x =++; 1211212122()()12ln ()1H x H x x x x x x x x x -+=++--+;1212124'()()22x x H x x x x +=++++得112212ln 1x x x x +-+1242x x =++,即121ln 1x x ++12122()2x x x x -=++ 又121ln 1x x ++1122112212[1]2[(1)(1)]11(1)(1)11x x x x x x x x +-+-++==++++++ ①,令121(1)1x t t x +=>+,代入 ① 式2(1)ln 1t t t -=+,令2(1)()ln 1t u t t t -=-+,22(1)'()0(1)t u t t t -=>+,∴()u t 在(1,+∞)上递增 ∴()u t (1)0u ≥=;∴()u t 无零点,故A 、B 两点不存在.。
上饶中学2015-2016学年高三上学期期中考试 数 学 试 卷(文科零班、培优、补习班) 考试时间:120分钟 分值:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、若集合{}1,2,4M =,{}1,4,6N =,则N M ⋂等于( )A .{}1,4B .{}1,4,6C .{}2,4,6D .{}1,2,4,6 2、下列命题中,正确的是( )A .若d c b a >>,,则bd ac > B. 若bc ac >,则b a > C.若22cb c a <,则b a < D. 若d c b a >>,,则d b c a ->- 3、已知向量a =(-1,2),b =(3,m ),m ∈R ,则“m =-6”是“a ∥(a +b )” 的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件4、以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,若a 2+a 7-a 5=6,则S 7= ( ) A .42B .28C .21D .145、若cos α=,sin 20α>,则tan α的值为( )A . C .6、曲线()3f x x =+()1,2处的切线方程为( )A .420x y --=B .7230x y --=C .310x y --=D .530x y --=7、在C ∆AB 中,角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,若sin 2sin cosC a b B =A,则角C 的大小为( )A .6π B .4π C .3π D .2π 8、为了得到()2sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象,只需将()2sin g x x =的图象( )A.4 B.1641615、已知0a >,x ,y 满足约束条件000x y a x y y a +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩,若变量x 的最大值为6,则变量y 的取值范围为16、设n S 为数列{}n a 的前n 项和,()()21212nnn nn n a a +-⋅=+-⋅,则10S = .三、解答题(本大题共6小题,共70分.) 17、(10分),,,,=ABC a b c A B C ∆在锐角中,分别为角所对应的边,b3cos cos sin b C c B A +=(1)求A 的值; (2)若ABC ∆的面积3S =,求a 的值.18、(12分)已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<--=21,15212,32,1)(x x x x x x x f R x ∈(1)求函数)(x f 的最小值;(2)已知R m ∈,命题:p 关于x 的不等式22)(2-+≥m m x f 对任意R x ∈恒成立;:q 函数x m y )1(2-=是增函数.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数m 的取值范围.19、(12分){}{}{}35727,26.(1)4(2)(),1n n n n n n n nn a a a a a n S a S b n N b n T a *=+==∈-已知等差数列满足:的前项和为求及令求数列的前项和20、(12分)1)()2cos ,2sin 3(),1,2(cos 2+∙==-=x f xx x 设函数已知向量(1)求函数f (x )的单调递减区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足a 2+b 2=6ab cos C , sin 2C =2sin A sin B ,求)2(C f 的值.21、(12分)设正项等比数列{}n a 的首项11,2a =前n 项和为n S ,且10103020102(21)0.S S S -++= (1)求{}n a 的通项; (2)求{}n nS 的前n 项n T .22、(12分)设函数().21ln 2bx ax x x f --=(1)当21==b a 时,求函数()x f 的单调区间; ].21)(,3,0(.21)()()2(2的取值范围求实数成立,总有对任意设a x F x x a bx ax x f x F ≤'∈+++= (3)当1,0-==b a 时,方程()mx x f =在区间[]2,1e 内有唯一实数解,求实数m 的取值范围。
2015-2016学年江西省上饶中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(A)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩(∁R B)=()A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合.【分析】由题意,可先解一元二次不等式,化简集合B,再求出B的补集,再由交的运算规则解出A∩(∁R B)即可得出正确选项【解答】解:由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故∁R B={x|x<﹣1或x>3},又集合A={x|1<x<4},∴A∩(∁R B)=(3,4)故选B【点评】本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是解解题的关键2.已知命题p:∀x∈R,3x>0,则()A.¬p:∂x∈R,3x≤0 B.¬p:∀x∈R,3x≤0C.¬p:∂x∈R,3x<0 D.¬p:∀x∈R,3x<0【考点】命题的否定;特称命题.【专题】综合题.【分析】根据含量词的命题的否定形式:将任意改为存在,结论否定写出否命题.【解答】解:∀x∈R,3x>0,的否定是∂x∈R,3x≤0故选A【点评】本题考查含量词的命题的否定形式:将任意与存在互换,结论否定即可.3.已知函数f(x)=,则f[f(﹣4)]=()A.﹣4 B.4 C.D.【考点】函数的值.【专题】计算题.【分析】本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,我们可以先计算f(﹣4)的值,再根据f(﹣4)的值或范围,代入相应的解析式求出最后的结果.【解答】解:∵﹣4<0,∴f(﹣4)==24=16,16>0,f(16)==4.即f[f(﹣4)]=f(16)=4故选B.【点评】本题考查分段函数求函数值,按照由内到外的顺序逐步求解.要确定好自变量的取值或范围,再代入相应的解析式求得对应的函数值.4.已知函数f(x)=,则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是()(注:e为自然对数的底数)A.(0,)B.[,]C.(0,)D.[,e]【考点】分段函数的应用.【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围.【解答】解:∵方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,∴y=f(x)与y=ax有2个交点,又∵a表示直线y=ax的斜率,∴y′=,设切点为(x0,y0),k=,∴切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=,∴直线l1的斜率为,又∵直线l2与y=x+1平行,∴直线l2的斜率为,∴实数a的取值范围是[,).故选:B.【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题,解题时应结合图象,以及函数与方程的关系,进行解答,是易错题.5.已知平面向量与的夹角为60°,,则=()A.B.C.12 D.【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.【分析】原式利用二次根式性质化简,再利用完全平方公式展开,利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果.【解答】解:∵平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,∴|+2|=====2,故选:B.【点评】此题考查了平面向量数量积的运算,数量掌握运算法则是解本题的关键.6.在等差数列{a n}中,已知a18=3(4﹣a2),则该数列的前11项和S11等于()A.33 B.44 C.55 D.66【考点】等差数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由已知易得a6=3,由求和公式和性质可得S11=11a6,代值计算可得.【解答】解:∵在等差数列{a n}中a18=3(4﹣a2),∴a2+16d=3(4﹣a2),其中d为数列的公差,∴化简可得a2+4d=3,即a6=3∴S11===11a6=33故选:A【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题.7.曲线y=2x﹣lnx在点(1,2)处的切线方程为()A.y=﹣x﹣1 B.y=﹣x+3 C.y=x+1 D.y=x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】计算题.【分析】求出曲线的导函数,把x=1代入即可得到切线的斜率,然后根据(1,2)和斜率写出切线的方程即可.【解答】解:由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣,把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为:y﹣2=(x﹣1),即y=x+1.故选:C【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率,从而利用切点和斜率写出切线的方程.8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数f′(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin(x+)B.f(x)=4sin(x+)C.f(x)=2sin(x+)D.f(x)=4sin(x+)【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;简单复合函数的导数.【专题】计算题;数形结合.【分析】根据题意,先求出f(x)的导函数,再根据导函数的图象找出导函数的周期,利用周期公式求出ω的值,进而根据导函数的最大值为2,求出A的值,把求出的ω与A的值代入导函数中,再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值,将A,ω及φ的值代入即可确定出f(x)的解析式,即可得答案.【解答】解:根据题意,对函数f(x)=Asin(ωx+φ)求导,可得f′(x)=ωAcos(ωx+φ),由导函数的图象可知:导函数的周期为2[﹣(﹣)]=4π,则有T==4π,解得ω=,由导函数图象可得导函数的最大值为2,则有Aω=2,即A=4,∴导函数f′(x)=2cos(x+φ),把(﹣,2)代入得:4cos(﹣+φ)=2,且|φ|<,解得φ=,则f(x)=4sin(x+).故选B.【点评】此题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,涉及复合函数的导数的运算;借助导函数图象中的周期、最值,来确定A,ω及ψ的值是解本题的关键.9.将函数的图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴是()A.B.C.D.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin(x+),令x﹣=kπ+,k∈z,求得x的值,即可得到函数图象的一条对称轴方程.【解答】解:将函数的图象向左平移个单位,所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin(x+﹣)=2sin(x﹣).由x﹣=kπ+,k∈z,可得x=kπ+,故所得函数图象的一条对称轴是,故选C.【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,函数y=Asin(ωx+∅)的对称轴的求法,属于中档题.10.已知=()A.B.C.D.【考点】两角和与差的正切函数.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】利用=,根据两角差的正切公式,即可得到结论.【解答】解:∵=∴=tan[]==故选B .【点评】本题考查两角差的正切公式考查学生的计算能力,解题的关键是利用=.11.已知P ,Q 为△ABC 中不同的两点,若3+2+=,3,则S △PAB :S △QAB 为( ) A .1:2B .2:5C .5:2D .2:1 【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【专题】平面向量及应用.【分析】由已知向量等式得到S △PAB =S △ABC ,S △QAB =S △ABC ,可求面积比.【解答】解:由题意,如图所示,设AC ,BC 的中点分别为M ,N ,由3+2+=,得:2(+)=﹣(+),∴点P 在MN 上,且PM :PN=1:2,∴P 到边AC 的距离等于B 到边AC 的距离×=,则S △PAB =S △ABC ,同理,S △QAB =S △ABC ,所以,S △PAB :S △QAB =2:5.故选:B .【点评】本题主要考查了向量的计算与运用.考查了学生综合分析问题的能力.12.已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形,且,若,则x+y的最大值为()A.B.C.1 D.【考点】向量在几何中的应用.【专题】平面向量及应用.【分析】延长AO与BC相交于点D,作OA1∥DA2∥AB,OB1∥DB2∥AC,设,推出,结合B、D、C三点共线,得到x+y 的表达式,利用三角代换,求解最值即可.【解答】解:延长AO与BC相交于点D,作OA1∥DA2∥AB,OB1∥DB2∥AC,设,易知x>0,y>0,则,又B、D、C三点共线,所以,只需最小,就能使x+y最大,所以当OD最小即可,过点O作OM⊥BC于点M,从而OD≥OM,又∠BOM=∠BAC=θ,由,那么.故选:D.【点评】本题考查向量在集合中的应用,三角代换以及共线向量的应用,是中档题.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.若函数f(x)=x3﹣x2+ax+4恰在[﹣1,4]上单调递减,则实数a的值为﹣4.【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】计算题.【分析】原函数是一个三次多项式函数,因此考虑用导函数的方法研究它的单调性.先求出f′(x)=x2﹣3x+a,函数,恰在[﹣1,4]上递减,说明f′(x)≤0的解集恰好是[﹣1,4],最后利用一元二次方程根与系数的关系,可得出实数a的取值范围.【解答】解:先求出f′(x)=x2﹣3x+a,∵函数,恰在[﹣1,4]上递减,∴不等式f′(x)≤0的解集恰好是[﹣1,4],也就是说:方程x2﹣3x+a=0的根是x1=﹣1,x2=4用一元二次方程根与系数的关系,得:所以a=﹣4故答案为:﹣4【点评】本题以三次多项式函数为例,考查了利用导数研究函数的单调性,属于中档题.深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系,是解决好本题的关键.14.若tanα=2,则=1.【考点】三角函数的化简求值.【专题】计算题;函数思想;方程思想;三角函数的求值.【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式,代入求解即可.【解答】解:tanα=2,则===1.故答案为:1.【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查计算能力.15.△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,如果a,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为,那么b=.【考点】解三角形;等差数列的性质;正弦定理;余弦定理.【专题】计算题.【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c.平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac.利用三角形面积求得ac的值,进而把a2+c2=4b2﹣2ac.代入余弦定理求得b的值.【解答】解:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2﹣2ac.又△ABC的面积为,且∠B=30°,故由S△=acsinB=acsin30°=ac=,得ac=6,∴a2+c2=4b2﹣12.由余弦定理cosB====.解得b2=4+2.又∵b为边长,∴b=1+.故答案为:1+【点评】本题主要考查了解三角形的问题.解题过程中常需要正弦定理,余弦定理,三角形面积公式以及勾股定理等知识.16.关于函数,有下列命题:①为偶函数;②要得到g(x)=﹣4sin2x的图象,只需将f(x)的图象向右平移个单位;③y=f(x)的图象关于点对称;④y=f(x)的单调递增区间为.其中正确的序号为①②③.【考点】命题的真假判断与应用.【专题】转化思想;数形结合法;简易逻辑.【分析】①==4cos2x,即可判断出真假;②将f(x)的图象向右平移个单位可得:y==﹣4sin2x,即可判断出真假;③由于==0,即可判断出真假;④由≤≤2kπ+,解得≤x≤kπ+,k∈Z,即可判断出真假.【解答】解:①==4cos2x为偶函数,正确;②将f(x)的图象向右平移个单位可得:y==﹣4sin2x,因此正确;③由于==0,因此y=f (x )的图象关于点对称,正确;④由≤≤2k π+,解得≤x ≤k π+,k ∈Z ,可得:y=f (x )的单调递增区间为[,k π+],k ∈Z ,故不正确.其中正确的序号为 ①②③.故答案为:①②③.【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三、解答题(共5小题,满分60分)17.已知数列{a n }的首项a 1=1,a n+1=2a n +1. (1)求证:{a n +1}是等比数列; (2)求数列{na n }的前n 项和S n .【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】(1)由a n+1=2a n +1可得a n+1+1=2(a n +1),结合等比数列的通项公式即可求解;(2)由(1)可得,na n =n2n ﹣n ,分组后结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求.【解答】解:(1)∵a 1=1,a n+1=2a n +1. ∴a n+1+1=2(a n +1),a 1+1=2,∴数列{a n +1}是以2为首项,以2为公比的等比数列;(2)由(1)可得a n +1=22n ﹣1=2n ,∴a n =2n ﹣1, 则na n =n2n ﹣n ,令T n =12+222+…+n2n ,则2T n =122+223+…+(n ﹣1)2n +n2n+1,两式相减可得,﹣T n =2+22+…+2n ﹣n2n+1=﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1,∴T n=(n﹣1)2n+1+2,∴前n项和S n=(n﹣1)2n+1+2﹣n(1+n).【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求数列的通项公式,及分组求和、错位相减求和方法的应用.18.已知函数﹣2cosx.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若,求f(x)的单调区间及值域.【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性.【专题】计算题.【分析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简f(x)的解析式为,由此求得它的周期.(Ⅱ)由,可得,由求出增区间,由求出减区间,再根据求得的范围,即可求得函数的域值.【解答】解:(Ⅰ)=2cosx(1+sinx)+==.故周期.(Ⅱ)∵,∴,由,∴,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;由,可得函数的域值为.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,三角函数的周期性和求法,复合正弦函数的增区间的求法,属于中档题.19.在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a﹣c)cosB.(1)求cosB;(2)若=4,b=4,求边a,c的值.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算;余弦定理.【专题】解三角形.【分析】(1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值.(2)由=4 可得ac=12,再由余弦定理可得a2+c2=40,由此求得边a,c的值.【解答】解:(1)在△ABC中,∵bcosC=(3a﹣c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA ﹣sinC)cosB,∴3sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC,化为:3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∵在△ABC中,sinA≠0,故cosB=.(2)由=4,b=4,可得,accosB=4,即ac=12.…①.再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣,即a2+c2=40,…②.由①②求得a=2,c=6;或者a=6,c=2.综上可得,,或.【点评】本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理、余弦定理的运用,考查两角和公式.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于中档题.20.已知函数.(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;(Ⅱ)若a=1,k ∈R 且,设F (x )=f (x )+(k ﹣1)lnx ,求函数F (x )在上的最大值和最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【专题】综合题.【分析】(Ⅰ)求导函数,利用函数f (x )在[1,+∞)上是增函数,可得x ∈[1,+∞)时,不等式,即恒成立,求出右边函数的最大值,即可求得实数a 的取值范围;(Ⅱ)a=1时,,分类讨论:(1)若k=0,F (x )在上单调递减;(2)k ≠0时,,确定函数的单调性,即可求得函数的最值.【解答】解:(Ⅰ)由题设可得因为函数f (x )在[1,+∞)上是增函数,所以当x ∈[1,+∞)时,不等式,即恒成立因为当x ∈[1,+∞)时,的最大值为1,所以实数a 的取值范围是[1,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(Ⅱ)a=1时,,所以,…(6分)(1)若k=0,则,在上,恒有F'(x )<0,所以F (x )在上单调递减∴,…(7分)(2)k≠0时,(i)若k<0,在上,恒有,所以F(x)在上单调递减∴,…(9分)(ii)k>0时,因为,所以,所以,所以F(x)在上单调递减∴,…(11分)综上所述:当k=0时,,F(x)max=e﹣1;当k≠0且时,F(x)max=e﹣k﹣1,.…(12分)【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,正确求导,恰当分类是关键.21.已知函数f(x)=﹣x3+x2+b,g(x)=alnx.(1)若f(x)在上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥﹣x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;(3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数a,曲线y=F (x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.【专题】综合题;压轴题.【分析】(1)求导函数,令f′(x)=0,确定函数的单调性与极值,从而可得函数的最大值,由此可求b的值;(2)由g(x)≥﹣x2+(a+2)x,得恒成立,即,求出最小值,即可求得a的取值范围;(3)由条件,,假设曲线y=F(x)上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧,不妨设P(t,F(t))(t>0),则Q(﹣t,t3+t2),且t≠1,则是否存在P,Q等价于方程﹣t2+F(t)(t3+t2)=0在t>0且t≠1时是否有解.【解答】解:(1)由f(x)=﹣x3+x2+b,得f′(x)=﹣3x2+2x=﹣x(3x﹣2),令f′(x)=0,得x=0或.列表如下:x 0f′(x)﹣0 + 0 ﹣f(x)↘极小值↗极大值↘∵,,∴,即最大值为,∴b=0.…(4分)(2)由g(x)≥﹣x2+(a+2)x,得(x﹣lnx)a≤x2﹣2x.∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x,且等号不能同时取,∴lnx<x,即x﹣lnx>0,∴恒成立,即.令,求导得,,当x∈[1,e]时,x﹣1≥0,lnx≤1,x+1﹣2lnx>0,从而t′(x)≥0,∴t(x)在[1,e]上为增函数,∴t min(x)=t(1)=﹣1,∴a≤﹣1.…(8分)(3)由条件,,假设曲线y=F(x)上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧,不妨设P(t,F(t))(t>0),则Q(﹣t,t3+t2),且t≠1.∵△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,∴,∴﹣t2+F(t)(t3+t2)=0…(*),…(10分)是否存在P,Q等价于方程(*)在t>0且t≠1时是否有解.①若0<t<1时,方程(*)为﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0,化简得t4﹣t2+1=0,此方程无解;…(11分)②若t>1时,(*)方程为﹣t2+alnt(t3+t2)=0,即,设h(t)=(t+1)lnt(t>1),则,显然,当t>1时,h′(t)>0,即h(t)在(1,+∞)上为增函数,∴h(t)的值域为(h (1),+∞),即(0,+∞),∴当a>0时,方程(*)总有解.∴对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.…(14分)【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查恒成立问题,考查是否存在问题的探究,综合性强.选修4-4:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的单位长度,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若点P坐标为(3,),求|PA|+|PB|.【考点】参数方程化成普通方程.【专题】坐标系和参数方程.【分析】(1)利用即可化为直角坐标系;(2)直线l的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标,再利用两点之间的距离公式即可得出.【解答】解:(1)圆C的方程为ρ=2sinθ,即,∴x2+y2=2y,∴圆C的直角坐标方程=5.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的参数方程为(t为参数),化为普通方程为:x+y=3+,代入上述圆方程消去y得:x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2.∴|PA|+|PB|=+=+=+=.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的交点、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.选修4-5,不等式选讲23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|(1)解关于x的不等式f(x)>2(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【专题】函数的性质及应用.【分析】(1)分类讨论,去掉绝对值,再解不等式即可;(2)利用函数的图象,可得实数a的取值范围.【解答】解:(1)x≤﹣时,不等式化为﹣x﹣5>2,可得x<﹣7;﹣<x<4时,不等式化为3x﹣3>2,可得<x<4;x≥4时,不等式化为x+5>2,可得x≥4;∴不等式解集为…(5分)(2)y=ax+﹣恒过(﹣0.5,﹣3.5)所以由函数的图象可得﹣1≤a≤1【点评】本题考查不等式的解法,考查数形结合的数学思想,属于中档题.。
江西省上饶市高三上学期期中数学试卷(理科)姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题. (共 12 题;共 24 分)1. (2 分) (2017·郴州模拟) 已知函数 域为[0,2],则实数 a 的取值范围是( )A. B . (0,1] C . [0,1]D.,若存在 k 使得函数 f(x)的值2. (2 分) (2016 高二上·郑州期中) 若变量 x,y 满足约束条件 分别为 m 和 n,则 m﹣n=( )A.5 B.6 C.7 D.8,且 z=2x+y 的最大值和最小值3. (2 分) 已知数列{an}满足 a1=0,an+1= A.0 B. C.(n∈N*),则 a23 等于( )第 1 页 共 11 页D. 4. (2 分) (2017 高一下·乌兰察布期末) 已知向量 =(3,1), =(sinα,cosα),且 ∥ , 则 tan2α=( )A.B.﹣C.D.﹣5. (2 分) (2016 高二下·南城期中) 若复数 z=(cosθ﹣ )+(sinθ﹣ )i 是纯虚数(i 为虚数单 位),则 tan(θ﹣ )的值为( )A.7B. C . ﹣7D . ﹣7 或6. (2 分) 设 A.的内角所对的边 成等比数列,则 的取值范围是( )B.C.D.7. (2 分) (2019 高三上·牡丹江月考) 已知点 为外接圆的圆心,角 , , 所对的边分别为 , , ,且,若,则当角 取到最大值时的面积为( )第 2 页 共 11 页A. B. C. D.8. (2 分) (2016 高二上·郑州期中) 在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 ,则 BC 的长为( )A. B.C.2D.29. (2 分) (2016 高三上·西安期中) 已知向量 =(2cosα,2sinα), =(3cosβ,3sinβ), 与的夹角为 60°,则直线与圆的位置关系是( )A . 相切B . 相交C . 相离D . 随 α,β 的值而定10. (2 分) (2016 高三上·西安期中) 设动直线 x=m 与函数 f(x)=x2 , g(x)=lnx 的图象分别于点 M、N, 则|MN|的最小值为( )A.B. C . 1+ln2第 3 页 共 11 页D . ln2﹣1 11. (2 分) (2015 高三上·广州期末) 等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)… (x﹣a8),则 f′(0)=( ) A . 26 B . 29 C . 212 D . 215 12. (2 分) (2016 高三上·西安期中) 已知 a 为常数,函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点 x1 , x2(x1 <x2)( )A. B.C.D.二、 填空题. (共 4 题;共 4 分)13. (1 分) (2019·天津模拟) 已知,则=________.14.(1 分)(2016 高三上·西安期中) 已知函数 f(x)=x+sinx.项数为 19 的等差数列{an}满足 an∈,且公差 d≠0.若 f(a1)+f(a2)+…+f(a18)+f(a19)=0,则当 k=________时,f(ak)=0.15. (1 分) (2016 高三上·西安期中) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,S= (a2+b2﹣c2),则 C 的大小为________.16. (1 分) (2016 高三上·西安期中) 设若 f(x)=三、 简答题. (共 7 题;共 70 分)第 4 页 共 11 页,f(f(1))=1,则 a 的值是________.17. (10 分) (2019 高一上·齐齐哈尔月考) 已知集合 A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|}.(1) 求 A∪B,(∁RA)∩B;(2) 若 A∩C,求 a 的取值范围.18. (10 分) (2020·东海模拟) 设函数(1) 当时,求的值域;(2) 已知 的最大值.中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若19. (10 分) (2019 高一上·金华期末) 如图,在平面直角坐标系,,求面积中,以 轴正半轴为始边的锐角和钝角 的终边与单位圆分别交于点, 轴正半轴与单位圆交于点 ,已知.(1) 求;(2) 求的最大值.20. (10 分) (2016 高一下·卢龙期中) 已知向量,f(x)= • ﹣2λ||(λ 为常数),求:(1) • 及||;(2) 若 f(x)的最小值是,求实数 λ 的值.第 5 页 共 11 页,且,21. (10 分) (2019 高三上·城关期中) 设,且满足.(1) 求角 的大小;的三个内角 , , 所对的边分别为 , ,(2) 若,试求的最小值.22. (10 分) (2019 高二下·南山期末) 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数),曲线.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为.(1) 若点在曲线 上,求的取值范围;(2) 设直线 l 与曲线 交于 M、N 两点,点 Q 的直角坐标为23. (10 分) (2020 高一下·河北期中) 在与向量互相平行,且中,角 .(1) 求角 C; (2) 求 a+b 的取值范围.,求的值.的对边分别为,已知向量第 6 页 共 11 页一、 选择题. (共 12 题;共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题. (共 4 题;共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 简答题. (共 7 题;共 70 分)17-1、 17-2、18-1、 18-2、第 8 页 共 11 页19-1、19-2、20-1、20-2、第 9 页 共 11 页21-1、 21-2、22-1、第 10 页 共 11 页22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
上饶中学2015-2016学年高三上学期第一次月考数 学 试 卷(文科重点、潜能、特长班)考试时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1、已知集合12{|||1},{|log 0},M x x N x x =<=>则M N ⋂为( )A .(1,1)-B .(0,1)C .1(0,)2D .∅ 2、下列命题中,是真命题的是( ) A. 0,00≤∈∃x eR x B. 22,x R x x >∈∀C. 0=+b a 的充要条件是1-=baD. 1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 3、)619sin(π-的值等于( ) A .21 B .21- C .23 D .23-4、已知0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c >>B.c a b >>C.b a c >>D.b c a >> 5、函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 部分图象如图所示,则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到的图象解析式为 ( ) A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)322sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 6、设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ,则||a b +=r r( )A 5B 10C .5D .107、若矩形ABCD 中AB 边的长为2,则AB AC u u u r u u u rg 的值等于( )A .1B .2C .3D .48、已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件:①对于任意的)()4(x f x f x =+∈都有R ;②对于任意的)()(202121x f x f x x <≤<≤都有;③函数.)2(轴对称的图象关于y x f y +=则下列结论正确的是 ( )A .)5.15()5()5.6(f f f >>B .)5.15()5.6()5(f f f <>C. )5.6()5.15()5(f f f >> D )5.6()5()5.15(f f f >>9、在学习平面向量时,有这样一个重要的结论:“在ABC ∆所在平面中,若点P 使得0(,.,()0),xPA yPB zPC x y z R xyz x y z ++=∈++≠u u u r u u u r u u u r r则:::||:||:||:||PBC PAC PBA ABC S S S S x y z x y z ∆∆∆∆=++”.依此结论,设点O 在ABC △的内部,且有33BA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r,则ABC AOCS S ∆∆的值为 ( )A .2B .23C .3D .3510、设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为( )A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不确定 11、已知COS(+α6π)-sin α=332,则sin(α-π67)的值是( ) A. -332 B . 332C .- 32D . 32 12、函数()lg(sin )f x x a =+的定义域为R ,且存在零点,则实数a 的取值范围是 ( ) A.[]2,1 B.(]2,1 C.[]3,2 D.(]3,2 二、填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分. 13、计算122419log 8log 3+[(4)]=--_____________.14、函数()sin xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为 ___.15、设函数()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为__________.16、已知下列五个命题 :①若点P (),2(0)a a a ≠为角α终边上一点,则sin α=②若sin sin αβ>且,αβ均为第二象限角,则tan tan αβ<; ③若θ是第二象限角,则sin cos022θθ>④若7sin cos 5x x +=-,则tan 0x <。
一、选择题1.如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值,则A .111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B .111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C .111A B C ∆是钝角三角形,222A B C ∆是锐角三角形D .111A B C ∆是锐角三角形,222A B C ∆是钝角三角形 2.已知等比数列{}n a ,11a =,418a =,且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<,则k 的取值范围是( ) A .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.设实数x ,y 满足22413x xy y x y ++=+-,则代数式2413xy y x y ++-( )A .有最小值631B .有最小值413C .有最大值1D .有最大值20214.设x ,y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩,若Z ax y =+的最大值为29a +,最小值为2a +,则实数a 的取值范围是( ).A .(,7]-∞-B .[3,1]-C .[1,)+∞D .[7,3]--5.若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形,则实数a 的取值范围是( )A .4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .(]0,1C .41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6.已知数列{}n a 的首项11a =,数列{}n b 为等比数列,且1n n na b a +=.若10112b b =,则21a =( )A .92B .102C .112D .1227.若正数,x y 满足20x y xy +-=,则32x y+的最大值为( )A .13B .38C .37D .18.在等差数列{}n a 中,351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .16B .26C .8D .139.若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是( ) A .23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .()1,+∞D .23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =,则a cb+的值为( ) A .2BC.2D .411.若x ,y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2z y x =-的最大值为( ).A .8-B .4-C .1D .212.如果等差数列{}n a 中,3a +4a +5a =12,那么1a +2a +…+7a =( ) A .14B .21C .28D .3513.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为( ) A .134B .135C .136D .13714.已知等差数列{}n a 中,10103a =,20172017S =,则2018S =( ) A .2018B .2018-C .4036-D .403615.若正数,x y 满足40x y xy +-=,则3x y+的最大值为 A .13B .38C .37D .1二、填空题16.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2a =,且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为______.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥,则m =______.18.已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.19.已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值,且871a a <-,则当0n S <时n 的最小值为________.20.已知120,0,2a b a b>>+=,2+a b 的最小值为_______________. 21.已知数列{}n a 满足11a =,111n na a +=-+,*n N ∈,则2019a =__________. 22.已知等比数列{}n a 的首项为1a ,前n 项和为n S ,若数列{}12n S a -为等比数列,则32a a =____. 23.我国古代数学名著《九章算术》里有问题:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:__________日相逢? 24.如图所示,在平面四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,AB AD ⊥,AC CD ⊥,3AD AC =,则AC =__________.25.设{}n a 是等差数列,且13a =,2536a a +=,则{}n a 的通项公式为__________.三、解答题26.已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+(*n N ∈).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .27.数列{}n a 中,11a =,121n n a a n +=++. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设141n n b a =-,求出数列{}n b 的前n 项和.28.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211a =,7161S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .29.已知数列{}n a 满足:1=1a ,()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=. (1)证明:数列{}2n b +为等比数列; (2)求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 30.在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且4cos 5A =. (1)求2sincos 22B CA ++的值; (2)若2b =,ABC ∆的面积3S =,求a 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1.D 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.A 8.D 9.A 10.A 11.D12.C13.B14.D15.A二、填空题16.【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为:【点睛】本题主要17.5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为:【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项18.【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题19.14【解析】【分析】等差数列的前n项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n项和有最大值可知再由知且又所以当时n的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n的最小值的求法是中档20.【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换21.-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为:-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是22.【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为:【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了23.9【解析】解:由题意可知:良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有:故:满足题意时数列的前n项和为由等差数列前n项和公式可得:解得:即二马相逢需9日相逢点睛:本题考查数列的实际应用题(1)24.3【解析】分析:详解:设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛:在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角25.【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差(公三、解答题 26. 27. 28. 29. 30.2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0,则111A B C ∆是锐角三角形,若222A B C ∆是锐角三角形,由,得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-,那么,2222A B C π++=,矛盾,所以222A B C ∆是钝角三角形,故选D.2.D解析:D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则34118a q a ==,解得12q =, ∴112n n a -=, ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=, ∴数列1{}n n a a +是首项为12,公比为14的等比数列,∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-, ∴23k ≥.故k 的取值范围是2[,)3+∞.选D .3.B解析:B 【解析】 【分析】先利用条件把413x y +-进行等量代换,再利用换元法,结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=,则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-, ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=, 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤.221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦,2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭,2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选:B. 【点睛】本题主要考查最值问题,利用条件进行等量代换是求解的关键,注意齐次分式的处理方法,侧重考查数学运算的核心素养.4.B解析:B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域(如图阴影部分),目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距,即y ax z =-+,(1)当0a <时,直线z ax y =+的斜率为正,要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得,则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率, 即3a -≤,30a ∴-≤<.(2)当0a >时,直线z ax y =+的斜率为负,易知最小值在A 处取得,要使得z 的最大值在C 处取得,则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-, 01a ∴<≤.(3)当0a =时,显然满足题意. 综上:31a -≤.故选:B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.5.D解析:D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是否一个三角形,我们可以先画出220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩,再对a 值进行分类讨论,找出满足条件的实数a 的取值范围. 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示.由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,.若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形,则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选:D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合分类讨论的思想,针对图象分析满足条件的参数的取值范围.6.B解析:B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1,由此利用b 10b 11=2,根据等比数列的性质能求出a 21. 【详解】数列{a n }的首项a 1=1,数列{b n }为等比数列,且1n n na b a +=, ∴3212212a a b a b a a ==,=4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=,,=,, …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=,,()()() . 故选B . 【点睛】本题考查数列的第21项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递公式和等比数列的性质的合理运用.7.A解析:A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >,212y x =+-,从而33222(2)52x y x x =+-++-,再根据基本不等式可得出3123x y ≤+,则32x y +的最大值为13.【详解】0x ,0y >,20x y xy +-=, 2122x y x x ∴==+--,0x >,333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--,22(2)5592x x -++≥=-, 当且仅当122x x -=-,即3x =时取等号, 31232(2)52x x ∴≤-++-,即3123x y ≤+,32x y ∴+的最大值为13. 故选:A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法,注意说明等号成立的条件,考查了计算和推理能力,属于中档题.8.D解析:D 【解析】 【详解】试题分析:∵351024a a a ++=,∴410224a a +=,∴4102a a +=,∴1134101313()13()1322a a a a S ++===,故选D. 考点:等差数列的通项公式、前n 项和公式.9.A解析:A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈,上成立,根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈,上的单调性,求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈,上有解 即2a x x>-在[]15x ∈,上成立, 设函数数()2f x x x=-,[]15x ∈,()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈,上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 要2a x x >-在[]15x ∈,上有解,则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目,解题的关键是掌握一元二次不等式的解法,分离含参量,然后求出结果,属于基础题.10.A解析:A 【解析】 【分析】由正弦定理,化简求得sin 0B B =,解得3B π=,再由余弦定理,求得()224b a c =+,即可求解,得到答案.【详解】在ABC ∆中,因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =,由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =, 因为(0,)A π∈,则sin 0A >,所以sin 0B B =,即tan B =3B π=,由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-, 即()224b a c =+,解得2a cb+=,故选A . 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系,熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.11.D解析:D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,所表示的平面区域,如图所示,当0x ≥时,可行域为四边形OBCD 内部,目标函数可化为2z y x =-,即2y x z =+,平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时,直线的截距最大,从而z 最大,此时,max 2z =,当0x <时,可行域为三角形AOD ,目标函数可化为2z y x =+,即2y x z =-+,平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时,直线的截距最大,从而z 最大,max 2z =, 综上,2z y x =-的最大值为2. 故选D .点睛:利用线性规划求最值的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(ax by +型)、斜率型(y b x a++型)和距离型(()()22x a y b +++型). (3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.12.C解析:C 【解析】试题分析:等差数列{}n a 中,34544123124a a a a a ++=⇒=∴=,则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====考点:等差数列的前n 项和13.B解析:B 【解析】【分析】由题意得出1514n a n =-,求出15142019n a n =-≤,即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤,故此数列的项数为135,故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.14.D解析:D 【解析】分析:由题意首先求得10091a =,然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解:由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==, 则10091a =,据此可得:()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛:本题主要考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.A解析:A 【解析】 【分析】分析题意,取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可;结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。
2015-2016学年江西省上饶中学高三(上)第三次月考数学试卷(理科)(A)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)1.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁U B)=() A.{1,2,5,6} B.{1} C.{2}D.{1,2,3,4}2.已知函数f(x)=,则f[f(2)]=()A.B.C.2 D.43.已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是()A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.14.x<﹣1”是x2﹣1>0"的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要5.设等比数列{a n}的前n项积P n=a1•a2•a3•…•a n,若P12=32P7,则a10等于()A.16 B.8 C.4 D.26.设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q7.等差数列{a n}前n项和为s n,满足S30=S60,则下列结论中正确的是()A.S45是S n中的最大值B.S45是S n中的最小值C.S45=0 D.S90=08.在数列{a n}中,a1=1,a2=,若{}等差数列,则数列{a n}的第10项为() A.B.C.D.9.已知α,β均为锐角,cosα=,cos(α+β)=﹣,则角β为()A.B.C.D.10.设函数f(x)=e x(sinx﹣cosx)(0≤x≤2015π)的极小值点的个数为()A.1007 B.1008 C.2015 D.201611.已知x1是方程10x=﹣x﹣2的解,x2是方程lgx=﹣x﹣2的解,函数f(x)=(x﹣x1)(x﹣x2),则()A.f(0)<f(2)<f(3)B.f(2)=f(0)<f(3) C.f(3)<f(0)=f(2) D.f(0)<f(3)<f(2)12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A 在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离是()A.3 B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.13.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则=.14.设P为等边△ABC所在平面内的一点,满足=+2,若AB=1,则•的值为.15.已知命题p:不等式|x﹣1|>m的解集是R,命题q:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,若命题“p或q”为真,命题“p且q”为假,则实数m的范围是.=a n+1,则a1+a2+a3+…+a100=.16.已知数列{a n}中,a1=1,a2n=n﹣a n,a2n+1三、解答题:17.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0.(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的取值范围.18.等差数列{a n}足:a2+a4=6,a6=S3,其中S n为数列{a n}前n项和.(Ⅰ)求数列{a n}通项公式;(Ⅱ)若k∈N*,且a k,a3k,S2k成等比数列,求k值.19.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值.20.已知函数(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[0,]时,函数y=f(x)的最小值为,试确定常数a的值.21.已知数列{a n}、{b n}满足:a1=,a n+b n=1,b n=.+1(1)求证数列{}是等差数列;(2)若c n=,求数列{c n}的前n项和S n≥.22.已知f(x)=x2﹣ax,g(x)=lnx,h(x)=f(x)+g(x).(1)若h(x)的单调减区间是(,1),求实数a的值;(2)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;(3)设h(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(0,).若h(x1)﹣h(x2)>m恒成立,求m的最大值.2015—2016学年江西省上饶中学高三(上)第三次月考数学试卷(理科)(A)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)1.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁U B)=()A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】进行补集、交集的运算即可.【解答】解:∁R B={1,5,6};∴A∩(∁R B)={1,2}∩{1,5,6}={1}.故选:B.2.已知函数f(x)=,则f[f(2)]=()A.B.C.2 D.4【考点】分段函数的应用.【分析】直接利用分段函数的解析式,由里及外逐步求解函数在即可.【解答】解:函数f(x)=,则f(2)=﹣f[f(2)]=f(﹣)===.故选:A.3.已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是()A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.1【考点】简单线性规划.【分析】首先画出平面区域,z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值.【解答】解:由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线y=2x+z经过A时使得z最大,由得到A(1,1),所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1;故选:A.4.x<﹣1"是x2﹣1>0"的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先将x2﹣1>0化简得x>1或x<﹣1,然后根据规律“小能推大,大不能推小“得x <﹣1是x2﹣1>0的充分不必要条件.【解答】解:由不等式x2﹣1>0解得x>1或x<﹣1,则x<﹣1是x2﹣1>0的充分不必要条件,故选:A.5.设等比数列{a n}的前n项积P n=a1•a2•a3•…•a n,若P12=32P7,则a10等于()A.16 B.8 C.4 D.2【考点】等比数列的性质.【分析】利用P12=32P7,求出a8•a9•…•a12=32,再利用等比数列的性质,可求a10.【解答】解:由题意,∵P12=32P7,∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7,∴a8•a9•…•a12=32,∴(a10)5=32,∴a10=2.故选:D.6.设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q【考点】不等关系与不等式.【分析】由题意可得p=(lna+lnb),q=ln()≥ln()=p,r=(lna+lnb),可得大小关系.【解答】解:由题意可得若p=f()=ln()=lnab=(lna+lnb),q=f()=ln()≥ln()=p,r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb),∴p=r<q,故选:B7.等差数列{a n}前n项和为s n,满足S30=S60,则下列结论中正确的是()A.S45是S n中的最大值B.S45是S n中的最小值C.S45=0 D.S90=0【考点】等差数列的通项公式.【分析】设S n=pn2+qn(p≠0),由S30=S60,得q=﹣90p,从而得到S90=0.【解答】解:等差数列{a n}的公差为d,∵等差数列{a n}前n项和为S n,满足S30=S60,∴若d=0,可排除A,B;若d≠0,可设S n=pn2+qn(p≠0),∵S30=S60,∴900p+23q=3600p+60q,解得q=﹣90p,∴S90=8100p﹣8100p=0.故选:D.8.在数列{a n}中,a1=1,a2=,若{}等差数列,则数列{a n}的第10项为()A.B.C.D.【考点】等差数列的通项公式.【分析】由已知结合等差数列的定义可得等差数列的公差,代入通项公式后化简可得a n,则答案可求.【解答】解:∵a1=1,a2=,且{}等差数列,则等差数列{}的首项为1,公差为,∴,则.∴.故选:C.9.已知α,β均为锐角,cosα=,cos(α+β)=﹣,则角β为()A.B.C.D.【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式求得cosβ=cos[(α+β)﹣α]的值,可得β的值.【解答】解:∵α,β均为锐角,cosα=,cos(α+β)=﹣,∴α+β为钝角,∴sinα==,sin(α+β)==,cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=﹣•+•==,∴β=,故选:A.10.设函数f(x)=e x(sinx﹣cosx)(0≤x≤2015π)的极小值点的个数为()A.1007 B.1008 C.2015 D.2016【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】令f′(x)=0,即sinx=0,解得x=kπ,(k∈Z).根据0≤x≤2015π,可得0≤kπ≤2015π,解出即可得出.【解答】解:f′(x)=e x(cosx+sinx)+e x(sinx﹣cosx)=2e x sinx.令f′(x)=0,即sinx=0,解得x=kπ,(k∈Z).∵0≤x≤2015π,∴0≤kπ≤2015π,∴0≤k≤2015,∴k的取值为2016个.因此函数f(x)=e x(sinx﹣cosx)(0≤x≤2015π)的极小值点的个数为2016.故选:D.11.已知x1是方程10x=﹣x﹣2的解,x2是方程lgx=﹣x﹣2的解,函数f(x)=(x﹣x1)(x ﹣x2),则()A.f(0)<f(2)<f(3)B.f(2)=f(0)<f(3) C.f(3)<f(0)=f(2) D.f(0)<f (3)<f(2)【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质.【分析】设l:y=﹣x﹣2,设l与y=10x,y=lgx分别相交于A,B两点,利用y=10x与y=lgx 互为反函数可得AB的中点在y=x上,从而可求得x1+x2的值,从而可知f(x)=(x﹣x1)(x﹣x2)的对称轴,再利用其单调性即可得到答案.【解答】解:设直线l的方程为:y=﹣x﹣2,设l与y=10x,y=lgx分别相交于A,B两点,∵y=10x与y=lgx互为反函数,∴它们的图象关于直线y=x对称,由题意得:点A(x1,﹣x1﹣2)与点B(x2,﹣x2﹣2)关于直线y=x对称,∴AB的中点在直线y=x上,∴=,即﹣x1﹣2﹣x2﹣2=x1+x2,∴x1+x2=﹣2,∴f(x)=(x﹣x1)(x﹣x2)=x2﹣(x1+x2)x+x1x2=x2+2x+x1x2,其对称轴方程为:x=﹣1,∴f(x)在[﹣1,+∞)上单调递增,∴f(0)<f(2)<f(3),故选A.12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A 在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离是()A.3 B.C.D.【考点】两点间距离公式的应用.【分析】Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点,设AC中点为D,根据三角形三边关系有OB ≤OD+BD=1+,即O、D、B三点共线时OB取得最大值.【解答】解:作AC的中点D,连接OD、BD,∵OB≤OD+BD,∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值,∵BD==,OD=AD=AC=1,∴点B到原点O的最大距离为1+.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.13.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则=.【考点】正弦函数的图象.【分析】由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得f(x)=sin(x+),从而求得f()的值.【解答】解:将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,可得y=sin(2ωx+φ)的图象;再把图象向右平移个单位长度得到y=sin[2ω(x﹣)+φ]=sin(2ωx﹣+φ)的图象.再根据所得图象为y=sinx,∴,求得ω=,且φ=,∴f(x)=sin(x+),则=sin(+)=sin=.14.设P为等边△ABC所在平面内的一点,满足=+2,若AB=1,则•的值为3.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用向量加法的几何意义和运算法则,转化为的运算.【解答】解:如图,四边形CBPD为平行四边形.•=()=()•=+2=2×1×1×cos60°+2×12=3,故答案为:315.已知命题p:不等式|x﹣1|>m的解集是R,命题q:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,若命题“p或q”为真,命题“p且q”为假,则实数m的范围是[0,2).【考点】复合命题的真假;绝对值不等式的解法.【分析】分别求出命题p,q成立的等价条件,然后根据若p或q为真命题,p且q为假命题,确实实数m的取值范围.【解答】解:∵不等式|x﹣1|>m的解集是R,∴m<0,即p:m<0.若f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,则2﹣m >0,即m <2,即q :m <2.若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题, 则p ,q 一真一假. 若p 真,q 假,则.此时m 无解. 若p 假,q 真,则,解得0≤m <2.综上:0≤m <2.故答案为:0≤m <2或[0,2).16.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2n =n ﹣a n ,a 2n +1=a n +1,则a 1+a 2+a 3+…+a 100= 1306 . 【考点】数列的求和.【分析】由已知条件得a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 98+a 99)=1+2+3+…+50=1275,a 100=50﹣a 50=29+(a 1+1)=31,由此能求出a 1+a 2+a 3+…+a 100. 【解答】解:∵a 2n =n ﹣a n ,a 2n +1=a n +1,∴a n =n ﹣a 2n ,a n =a 2n +1﹣1,∴a 2n +1+a 2n =n +1,∴a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 98+a 99)=1+2+3+…+50=1275, a 100=50﹣a 50=50﹣(25﹣a 25) =25+a 12+1=26+(6﹣a 6)=32﹣(3﹣a 3) =29+(a 1+1) =31,∴a 1+a 2+a 3+…+a 100=1275+31=1306. 故答案为:1306.三、解答题:17.已知在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+3=0.(1)求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)设点P 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的取值范围.【考点】参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 【分析】(1)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x 2+y 2,进行代换即得C 的直角坐标方程,将直线l 的参数消去得出直线l 的普通方程.(2)求出圆心到直线的距离d ,结合圆的性质即可求得点P 到直线l 的距离的取值范围. 【解答】解:(1)由ρ2﹣4ρcos θ+3=0,化为直角坐标方程:x 2+y 2﹣4x +3=0, 即曲线C 的方程为x 2+y 2﹣4x +3=0, 由直线l 的参数方程为(t 为参数)消去t,得直线l 的方程是:x ﹣y +3=0…(2)曲线C 的标准方程为 (x ﹣2)2+y 2=1,圆心C(2,0),半径为1.∴圆心C到直线l的距离为:d==.…所以点P到直线l的距离的取值范围是[﹣1, +1].18.等差数列{a n}足:a2+a4=6,a6=S3,其中S n为数列{a n}前n项和.(Ⅰ)求数列{a n}通项公式;(Ⅱ)若k∈N*,且a k,a3k,S2k成等比数列,求k值.【考点】等比数列的通项公式;等差数列的通项公式.【分析】(Ⅰ)设出等差数列的首项和公差,由已知列方程组求得首项和公差,则数列{a n}通项公式可求;(Ⅱ)求出S2k,结合a k,a3k,S2k成等比数列列式求k值.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由a2+a4=6,a6=S3,得,解得.∴a n=1+1×(n﹣1)=n;(Ⅱ),由a k,a3k,S2k成等比数列,得9k2=k(2k2+k),解得k=4.19.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值.【考点】余弦定理的应用.【分析】(Ⅰ)根据正弦定理,设,把sinA,sinB,sinC代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程,可求出cosA的值,进而求出A的值.(Ⅱ)根据(Ⅰ)中A的值,可知c=60°﹣B,化简得sin(60°+B)根据三角函数的性质,得出最大值.【解答】解:(Ⅰ)设则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC方程两边同乘以2R∴2a2=(2b+c)b+(2c+b)c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故cosA=﹣,A=120°(Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC=sinB+sin(60°﹣B)=cosB+sinB=sin(60°+B)故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1.20.已知函数(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[0,]时,函数y=f(x)的最小值为,试确定常数a的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的化简求值;正弦函数的图象.【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=()sin(x+),由x+∈[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z)且,即可解得f(x)的单调递增区间.(2)当x∈[0,]时,可求x+∈[,],从而可求f(x)最小值为,由已知得=,即可得解.【解答】(本题满分为12分)解:=+sinx+a2sin(x+)=sin(x+)+a2sin(x+)=()sin(x+),…(1)由x+∈[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z)得:x∈[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z),∵,∴,∴函数y=f(x)的单调递增区间是:[2kπ﹣,2kπ﹣),(2kπ﹣,2kπ+](k∈Z).…(2)当x∈[0,]时,x+∈[,],∴当x+=时,函数y=f(x)取得最小值为,∴由已知得=,∴a=±1.…21.已知数列{a n}、{b n}满足:a1=,a n+b n=1,b n=.+1(1)求证数列{}是等差数列;(2)若c n=,求数列{c n}的前n项和S n≥.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.﹣1=,再取倒【分析】(1)由题意可得a n=1﹣b n,代入条件,化简变形,可得b n+1数,由等差数列的定义,即可得证;(2)运用等差数列的通项公式,求得a n=,代入可得c n=,计算c1,由c n>0,即可得证.【解答】证明:(1)a1=,a n+b n=1,可得a n=1﹣b n,b1=,===,即有b n+1﹣1=,即b n+1则=﹣1,即有数列{}是首项为=﹣4,公差为﹣1的等差数列;(2)由(1)可得=﹣4﹣(n﹣1)=﹣3﹣n,由于a n=1﹣b n,可得a n=,c n===,当n=1时,c1=,且c n>0,则前n项和S n≥c1=.22.已知f(x)=x2﹣ax,g(x)=lnx,h(x)=f(x)+g(x).(1)若h(x)的单调减区间是(,1),求实数a的值;(2)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;(3)设h(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(0,).若h(x1)﹣h(x2)>m恒成立,求m的最大值.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求函数的导数,根据函数的单调减区间是(,1),建立导数关系即可,求实数a的值;(2)将f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立,利用参数分离法求函数的最值,求实数a的取值范围;(3)求函数的导数,根据函数极值,最值和导数之间的关系,求出函数的最值即可得到结论.【解答】解:(1)由题意得h(x)=x2﹣ax+lnx(x>0),则要使h(x)的单调减区间是则,解得a=3;另一方面当a=3时,由h’(x)<0解得,即h(x)的单调减区间是.综上所述a=3.(2)由题意得x2﹣ax≥lnx(x>0),∴.设,则,∵y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函数,且x=1时,y=0.∴当x∈(0,1)时φ'(x)<0;当x∈(1,+∞)时φ'(x)>0,∴φ(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴φmin=φ(1)=1∴a≤φmin=1,即a∈(﹣∞,1].(3)由题意得h(x)=x2﹣ax+lnx(x>0),则∴方程2x2﹣ax+1=0(x>0)有两个不相等的实根x1,x2,且又∵,∴,且设,则,∴φ(x)在(1,+∞)内是增函数,∴,即h(x1)﹣h(x2),∴,则m的最大值为.2017年1月4日。
上饶中学2015-2016学年高三上学期期中考试 数 学 试 卷(理:零、培优、实验、理补班)考试时间:120分钟 分值:150分考察内容:集合与简易逻辑、函数与导数、数列、向量、三角、不等式 一、选择题(每题5分,共60分)1.已知集合A={x|x 2﹣16<0},B={﹣5,0,1},则( )A . A∩B=∅B . B ⊆AC . A∩B={0,1}D . A ⊆B 2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 4+a 25=5,则一定有( )A .a 6是常数B .S 7是常数C .a 13是常数D .S 13是常数3.若10<<<y x ,10<<a ,则下列不等式正确的是( )A .2log log 3y x a a <B .ay ax cos cos <C .y x a a <D .a a y x < 4.记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )A.5.已知点A (﹣1,0),B (1,0),过定点M (0,2)的直线l 上存在点P ,使得,则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A .B .C .D .6.设(0,),(0,)24ππαβ∈∈,且1sin 2tan cos 2βαβ+=,则下列结论中正确的是( )A .24παβ-=B .24παβ+=C .4παβ-=D .4παβ+=7.已知f (x )=2x+3(x ∈R ),若|f (x )﹣1|<a 的必要条件是|x+1|<b (a ,b >0),则a ,b 之间的关系是( )A .B .C .D .8.已知函数()f x 的定义域是),0(+∞,且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f = 如果对于0x y <<,都有()()f x f y >,不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为 ( )A .[)(]-1,03,4B .[)-1,0C .(]3,4D .[]-1,49.已知x ,y 满足,则使目标函数z=y ﹣x 取得最小值﹣4的最优解为( )A . (2,﹣2)B . (﹣4,0)C . (4,0)D . (7,3)10.函数14)62sin(2-+=xx x y π的图象大致为( )11.已知点G 是△ABC 的重心,( λ,μ∈R ),若∠A=120°,,则的最小值是( ) A .B .C .D .12.设曲线xe ax y )1(-=在点),(00y x A 处的切线为1l ,曲线xe x y --=)1(在点),(10y x B 处的切线为2l ,若存在]23,0[0∈x ,使得21l l ⊥,则实数a 的取值范围是( )]1,)((-∞A ),21)((+∞B )23,1)((C ]23,1)[(D二、填空题(每题5分,共20分) 13.已知x ,y ∈(0,+∞),,则的最小值为 .14.已知数列{a n }中 n n nn n n n S N n a a a aa a a a ),(2,42,2,1,2*111221∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥===++++是数列{a n }的前n项和,则S 2015= 。
15.如图,在平面直角坐标系xoy 中,将直线2xy =与直线1=x 及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积12|12)2(103210πππ===⎰x dx x V 圆锥 据此类比:将曲线)0(2≥=x x y 与直线y=2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V=________.16.已知函数2111,[0,]3242(),()sin()22(0)3221,(,1]22x x f x g x a x a a x x x ππ⎧-+∈⎪⎪==+-+>⎨⎪∈⎪+⎩,给出下列结论:①函数()f x 的值域为2[0,]3; ②函数()g x 在上是增函数; ③对任意0a >,方程()()f x g x =在内恒有解;④若存在12,[0,1]x x ∈使得12()()f x g x =,则实数a 的取值范围是44[,]95. 其中正确命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号) 三、解答题(17题10分,其它每题12分)17.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且(2a ﹣c )cosB ﹣bcosC=0. (1)求∠B ;(2)设函数f (x )=﹣2cos (2x+B ),将f (x )的图象向左平移后得到函数g (x )的图象,求函数g (x )的单调递增区间.18.若m ∈R ,命题p :设x 1,x 2是方程x 2﹣ax ﹣3=0的两个实根,不等式|m+1|≥|x 1﹣x 2|对任意实数a ∈(0,2]恒成立,命题q :函数f (x )=x 3+mx 2+(m+)x+3在(﹣∞,+∞)上有极值,求使p 且¬q 为真命题,求实数m 的取值范围.19.已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列,首项a 1=1,其前n 项和为S n ,数列{b n }是等比数列,首项b 1=2,且b 2S 2=16, b 3S 3=72. (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(Ⅱ)令,其中 3,2,1,,,12121221=+===+-k kb a c a c c k k k k k 求数列{C n }的前2n+1项和T 2k+1 20.定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足:2()2()9,(2)(0)1x xg x g x e h h e +-=+--==且(3)2h -=-. (1)求()g x 和()h x 的解析式;(2)1211222,[1,1],()5()(),x x h x ax g x x g x a ∈-++≥-对于均有成立求的取值范围.21.设正项数列}{n a 的前n 项和n S ,且满足)(2212*∈+=N n na S n n . (Ⅰ)计算321,,a a a 的值,猜想}{n a 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)设n T 是数列}1{2na 的前n 项和,证明:124+<n n T n . 22.已知函数ln ()a xf x x +=在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行。
(1)求实数a 的值及()f x 的极值;(2)是否存在区间2(,)(0)3t t t +>,使函数()f x 在此区间上存在极值和零点?若存在,求实数t 的取值范围,若不存在,请说明理由;(3)如果对任意的212,[,)x x e ∈+∞,有121211()()f x f x kx x -≥-,求实数k 的取值范围。
上饶中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学参考答案(理:零、培优、实验、理补班)一、选择题CDDBA CABCD CD二、填空题:13.3 14.5239 15. 16.(1)(2)(4)三、解答题17. 解:(1)由(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0及正弦定理得,(2sinA﹣sinC)cosB﹣sinBcosC=0,即2sinAcosB﹣sin(B+C)=0,因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=,由B是三角形内角得,B=,(2)由(1)得,B=,则f(x)=﹣2cos(2x+B)=﹣2cos(2x+),所以g(x)=﹣2cos,=﹣2cos(2x+)=2sin2x,由得,,故函数g(x)的单调递增区间是:18. 解:若命题p为真命题,∵x1,x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根∴x1+x2=a,x1x2=﹣3,∴|x1﹣x2|==,∵a∈(0,2],∴|x1﹣x2|≤4,∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈(0,2]恒成立,则只要|m+1|≥|x 1﹣x 2|max 在a ∈(0,2]成立即可 ∴|m+1|≥4∴m+1≥4或m+1≤﹣4, ∴m≥3,或m≤﹣5, 若命题q 为真命题, ∵f (x )=x 3+mx 2+(m+)x+3,∴f′(x )=3x 2+2mx+(m+),∵函数f (x )=x 3+mx 2+(m+)x+3在(﹣∞,+∞)上有极值, ∴f′(x )=3x 2+2mx+(m+)=0有实根,∴△=4m 2﹣12m ﹣40≥0, 解得m≤﹣2,或m≥5, ∵p 且¬q 为真命题, ∴p 真,q 假,⎩⎨⎧<<--≤≥∴5253m m m 或解得3≤m<5, 19.(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则,依题意有,解得:或(舍去),,. (Ⅱ),令①②①-②得:,.20.(Ⅰ) 92)(2)(-+=-+x x ee x g x g ,① ,92)(2)(-+=+---x x e e x g x g 即,912)(2)(-+=+-xxe e x g x g ②由①②联立解得: 3)(-=xe x g .)(x h 是二次函数, 且1)0()2(==-h h ,可设()12)(++=x ax x h ,由2)3(-=-h ,解得1-=a .()1212)(2+--=++-=∴x x x x x h,3)(-=∴x e x g 12)(2+--=x x x h .(Ⅱ)设()625)()(2+-+-=++=x a x ax x h x ϕ,()()33133)(-+-=---=x e x e x e x F x x x ,依题意知:当11x -≤≤时, min max ()()x F x φ≥()()()1333x x x F x e x e xe '=-+--+=-+ ,在[]1,1-上单调递减, min ()(1)30F x F e ''∴==->)(x F ∴在[]1,1-上单调递增, ()01)(max ==∴F x F()()170,130a a φφ⎧-=-⎪∴⎨=+⎪⎩≥≥解得: 37a -≤≤ ∴实数a 的取值范围为[]7,3-.………………………12分21.(Ⅰ)解:当n=1时,21212111+==a S a ,得11=a ;12122221+==+a S a a ,得22=a ; 2321233321+==++a S a a a ,得33=a . 猜想n a n =………………………………………….3’ 证明:(ⅰ)当n=1时,显然成立.(ⅱ)假设当n=k 时,k a k =…………………….4’ 则当n=k+1时,)221(2121)221(212122122111k k k a k a k a S S a k k k k k k +-++=+-++=-=++++ 结合0>n a ,解得11+=+k a k ………………..6’ 于是对于一切的自然数*∈N n ,都有n a n =…………7’ (Ⅱ)证法一:因为)121121(2411122+--=-<n n n n ,………………10’ 124)1211(2)1211215131311(212111222+=+-=+--++-+-<+++=n n n n n nT n证法二:数学归纳法证明:(ⅰ)当n=1时,11121==T ,3411214=+⨯⨯,341< (ⅱ)假设当n=k 时,124+<k kT k则当n=k+1时,221)1(1124)1(1+++<++=+k k k k T T k k 要证:1)1(2)1(41+++<+k k T k只需证:1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k 由于22)1(11)22(4)12)(32(41241)1(2)1(4+>-+=++=+-+++k k k k k k k k所以1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k 于是对于一切的自然数*∈N n ,都有124+<n nT n 22.(1)221(ln )1ln '()x a x a x x f x x x ⋅-+--==∵()f x 在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行∴21ln1'(0)01a f --==∴a=1 ∴1ln (),0xf x x x +=>2ln '()xf x x =-,当01x <<时,'()0f x >,当1x >时'()0f x <, ∴()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减, 故()f x 在x=1处取得极大值1,无极小值(2)∵1x >时,1ln ()0xf x x +=>,当0x →时,y →-∞,由(1)得()f x 在(0,1)上单调递增,∴由零点存在原理,()f x 在区间(0,1)存在唯一零点, 函数()f x 的图象如图所示∵函数()f x 在区间2(,),03t t t +>上存在极值和零点∴20131ln ()0t t t f t t ⎧<<<+⎪⎪⎨+⎪=<⎪⎩1111313t t e t e ⎧<<⎪⎪⇒⇒<<⎨⎪<⎪⎩∴存在符号条件的区间,实数t 的取值范围为11(,)3e ,(3)由(1)的结论知,()f x 在2[,)e +∞上单调递减,不妨设212x x e >≥,则,212111()()()f x f x k x x ⇔-≥-212111()()f x kf x k x x ⇔-≥-⇔函数()()kF x f x x =-在2[,)e +∞上单调递减,又1ln ()()k x k F x f x x x x +=-=-,∴2ln '()0k x F x x -=≤,在2[,)e +∞上恒成立,∴ln k x ≤在2[,)e +∞上恒成立在2[,)e +∞上2min (ln )ln 2x e ==,∴2k ≤。