2018高中数学每日一题之快乐暑假第08天集合的表示(含解析)新人教A版

1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是A.1=B.0C.1D.12．集合的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3．下列说法正确的有①集合，用列举法表示为{1,0,l}；②实数集可以表示为或;③方程组的解集为.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为A.B.C.D.5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____.6．已知集合，，且，则为 .7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合，，，设，则与集合有什么关系？详细答案【基础过关】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A正确.2．B【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x∈N，而－1∉N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0.5．【解析】由于P，Q相等，故，从而.6．(2，5)【解析】∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2，5).7．A中只含有一个元素，即方程(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a＝0时，方程的根为；(2)当a≠0时，有△＝4－4a＝0，即a＝1，此时方程的根为.∴a的值为0或1.【备注】误区警示：初学者易自然认为(a∈R)是一元二次方程，而漏掉对a 的讨论，导致漏解.举一反三：若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”，则结论又如何？由题意知，a≠0，且△＝4－4a＞0，解得a＜1.所以a＜1且a≠0.8．(1){x|x＝3n，n∈Z}；(2)B＝{x｜x＝|x|，x∈R}.【能力提升】∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设，，，，∴，又∴c∈M.。

1.1 集合的概念第2课时 集合的表示基 础 练巩固新知 夯实基础1.(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是( )A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( ) A ．(－5,4) B ．(5，－4) C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤55．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }是 ( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集 6．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．7.有下面四个结论：∈0与{0}表示同一个集合；∈集合M ＝{3,4}与N ＝{(3,4)}表示同一个集合；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；∈集合{x |4＜x ＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．8.用列举法表示下列集合：(1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫62－x ∈Z ，x ∈Z ； (2){(x ，y )|y ＝3x ，x ∈N 且1≤x <5}．能 力 练综合应用 核心素养9．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3} B ．{1,3} C ．{－1,3} D ．{1，－3}10．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A11.(多选题)若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．312.(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( )A ．{x |x ＝2k －1，k ∈N }B ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥2}C ．{x |x ＝2k ＋3，k ∈N }D ．{x |x ＝2k ＋5，k ∈N }13.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．14.定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －23<0，则集合A －B ________.15．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.16.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．【参考答案】1.ABD 解析: 选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M ≠P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．2.D 解析:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 3. D 解析: 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4.D 解析:对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.5.D 解析:因xy ＜0，所以有x ＞0，y ＜0；或者x ＜0，y ＞0.因此集合M 表示的点集在第四象限和第二象限．6. {1} 解析: 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1. 又x ∈N ，∈x ＝1.7.∈ 解析:{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故∈错误；∈集合M 是实数3,4的集合，而集合N 是实数对(3,4)的集合，不正确；∈不符合集合中元素的互异性，错误；∈中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．8.解：(1)因为62－x∈Z ，所以|2－x |是6的因数， 则|2－x |＝1,2,3,6，即x ＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．(2)因为x ∈N 且1≤x <5，所以x ＝1,2,3,4，其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．9.C 解析:当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．10.D 解析:∈集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，∈x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∈x 1＋x 2＋x 3为偶数．11.AB 解析:集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则Δ＝16－16k ＝0，即k ＝1.所以实数k 的值为0或1.12.BD 解析:选项A ，C 中，集合内的最小奇数不大于4.13.3 解析:根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．14.{x |x ≥2} 解析: A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 15.解: ∈A ＝B ，∈⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1.解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数． 由集合元素的互异性得a ≠1，∈a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1.16.解:(1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意． 综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}． (2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.。

第8天平均速度和瞬时速度考纲要求：Ⅰ难易程度：★★☆☆☆如下几个速度中表示平均速度的是A．子弹出枪口的速度是800 m/sB．小球在第3 s末的速度是6m/sC．汽车从甲站行驶到乙站的速度为40 km/hD．汽车通过站牌时的速度72 km/h【参考答案】C【试题解析】子弹出枪口的速度是子弹经过某一位置时的速度，是瞬时速度，A错误；第3 s末为时刻，此时的速度为瞬时速度，B错误；从甲站到乙站对应一段过程，其速度为平均速度，C正确；汽车通过站牌时的速度是对应位置的速度，为瞬时速度，D错误。

【知识补给】平均速度和瞬时速度〔1〕平均速度对应一段时间或一段位移，瞬时速度对应一个时刻或一个位置。

〔2〕在无特别说明时，速度一般指瞬时速度，描述平均速度一定要指出是对应哪一过程的。

〔3〕瞬时速度的大小为瞬时速率，即速率；平均速度的大小不一定为平均速率，平均速度等于位移除以时间，是矢量；平均速率等于路程除以时间，是标量。

如下关于平均速度和瞬时速度的说法错误的答案是A．汽车速度计上显示的80 km/h，指的是瞬时速度的大小B．匀速直线运动的平均速度等于瞬时速度C．瞬时速度和平均速度都可以准确描述运动的快慢D．只有瞬时速度可以准确描述运动的快慢如下关于瞬时速度的说法中正确的答案是A．瞬时速度可以准确地描述物体做变速运动的快慢，但不能反映物体运动的方向B．瞬时速度就是运动的物体在一段非常非常短的时间内的平均速度C．瞬时速度的方向与位移的方向一样D．某物体在某段时间里的瞬时速度都为零，如此物体在这段时间内静止如下日常生活中的速度，其中是指平均速度的是A．一辆汽车在平直高速公路上行驶的速度约为100 km/hB．汽车在平直高速公路行驶的最大速度限制在120 km/hC．子弹射出枪口时的速度D．刘翔以9.4 m/s的速度冲刺如下列图，某赛车手在一次野外训练中，先用地图计算出出发地A和目的地B的直线距离为9 km，实际从A运动到B用时5 min，赛车上的里程表指示的里程数增加了15 km，当他经过某路标C时，车内速度计指示的示数为150 km/h，那么可以确定的是A．整个过程中赛车的平均速度为180 km/hB．整个过程中赛车的平均速度为108 km/hC．赛车经过路标C时的瞬时速度大小为150 km/hD．赛车经过路标C时瞬时速度方向为由A指向B在某GPS定位器上，显示了以下数据：航向267°，航速36 km/h，航程60 km，累计100 min，时间1 0:29:57，如此此时瞬时速度和开机后平均速度为A．3.6 m/s、10 m/sB．10 m/s、10 m/sC．3.6 m/s、6 m/sD．10 m/s、6 m/s如下列图，沿同一直线运动的物体A、B，其相对同一参考系的位置x随时间t变化的函数图象可知A ．6 s 内A 、B 的平均速度相等B ．在6 s 内物体的位移一样，6 s 末A 、B 相遇C ．从第2 s 起，两物体运动方向一样，且A B v v >D ．两物体由同一位置开始运动，但物体A 比B 迟2 s 才开始运动汽车沿直线从甲地开往乙地，假设在前一半路程的平均速度为v 1，在后一半路程的平均速度为v 2，如此汽车全程的平均速度为多少？假设在前一半时间的平均速度为v 1，在后一半时间的平均速度为v 2，如此汽车全程的平均速度为多少？这两种情况下的平均速度哪个大呢？【参考答案】BD 瞬时速度是为了准确描述物体运动的快慢和方向而引入的物理量，A 错误；平均速度在描述物体运动的快慢时较粗略，但当平均速度中所对应的时间越小，越能更准确地描述物体在那一时刻附近的运动快慢，B 正确；平均速度的方向与物体的位移方向一样，而瞬时速度是与时刻相对应的物理量，不能说它与一段时间内的位移方向一样，C 错误；某物体在某段时间里的瞬时速度都为零，如此物体在这段时间内静止，D 正确。

集合的含义与表示 例题解析【例1】己知集合A ＝｛x ｜x ＝m ＋n 2，m ，n ∈Z ｝，判断下列元素x 与集合A 的关系：（1）231-=x ；（2）x ＝A ，A ∈Z ；（3）x ＝x 1＋x 2（其中x 1∈A ，x 2∈A ）；（4）x ＝x 1x 2（其中x 1∈A ，x 2∈A ）．解析：判断某对象是否为某集合的元素，关键在于判断它们是否具备该集合元素公有的属性，本题中将x 值试着写成m ＋n 2的形式，若m ，n 是整数，便可完成判定，若无法表在成上式或m ，n 不为整数，则x 不为集合中元素．（1）x ＝23231+=-，即m ＝3，n ＝1，其中3∈Z ，∴ A ∉-231．（2）x ＝A ＝A ＋02（A ∈Z ，0∈A ）， ∴ A ∈A ；（3）∵ x 1，x 2∈A ，设x 1＝m 1＋n 12，x 2＝m 2＋n 22，（m 1、m 2 、n 1、n 2 ∈Z ），则x 1＋x 2＝（m 1＋m 2）＋（n 1＋n 2）2，由m 1＋m 2∈Z ，n 1＋n 2∈Z ，∵ x 1＋x 2∈A ；（4）同理x 1x 2＝（m 1＋n 12）（m 2＋n 22）＝（m 1m 2＋2m 1 n 2）＋（m 1 n 2＋m 2 n 1）2，由于m 1m 2＋2 n 1 n 2∈Z ；m 1 n 2＋m 2 n 1∈Z ，∴ x 1x 2∈A ．点评：理解一个集合的意义重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形．【例2】设x ，y 都是实数，观察下列四个集合：A ＝｛y ＝x ＋1｝；B ＝｛x ｜y ＝x ＋1｝；C ＝｛y ｜y ＝x ＋1｝，D ＝｛（x ，y ）｜y ＝x ＋1｝．它们所表达的意义是否相同？解析：集合A 采用列举法表示，是单元素集合，二元一次方程y ＝x ＋1则集合A 中唯一元素． 集合B 代表元素是方程y ＝x ＋1中x 的取值．由二元一次方程可知，集合B 中元素x 可取任意实数值，所以B ＝R ，属元限集合．集合C 中代表元素y 指满足方程y ＝x ＋1的取值，所以由方程知识可知C ＝R ，即B 与C 表示同一个集合．集合D 中代表元素为有序数对（x ，y ），由此来看每一个元素均为方程y ＝x ＋1的一个解，故此集合D 即为方程y ＝x ＋1的解集．另外将（x ，y ）理解为平面坐标系中一点的坐标，则每个元素即对应坐标平面内的一个点，所以集合D 的几何意义即表示直线y ＝x ＋1．从以上解析来看，A 、B 、C 、D 四个集合意义各不相同．点评：本题将集合的符号语言转化为文字语言，或者将集合语言转化成自然语言，经过语言转化有助于加深对集合理解，准确地理解元素的意义，作到准确、全面的转化．试解相关题：下面的问题你能解答吗？请试一试用列举法表示下列集合：（1）A ＝｛x ∈N ｜x-99∈N ｝； （2）B ＝｛y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ｝；（3）C ＝｛（x ，y ）｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ｝思路：集合A 中元素x ，x-99均为自然数． 集合B 中y 值为涵数y ＝－x 2＋6的函数值的集合．集合C 中元素为点，抛物线上横坐标、纵坐标均为自然数的点．答案：A ＝｛0，6，8｝；B ＝｛1，3，9｝；C ＝｛（0，3），（1，5），（2，2）｝．【例3】（1）方程组⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集用列举法表示为____________；用描述法表示为____________． （2）｛（x ，y ）｜x ＋y ＝6，x ，y ∈N ｝用列举法表示为____________．解析：问题解决的关键主要是判断进而确定集合中元素是什么．（1）因⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集为方程组的解，解该方程组x ＝27，y ＝－23． 则用列举法表示为｛（27，－23）｝， 用描述法表示为⎩⎨⎧（x ，y ）｜⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=+52y x y x ．（2）因x ＋y ＝6，x ，y ∈N 的解有：⎩⎨⎧==，，60y x ⎩⎨⎧==，，51y x ⎩⎨⎧==，，42y x ⎩⎨⎧==，，33y x ⎩⎨⎧==，，24y x ⎩⎨⎧==，，15y x ⎩⎨⎧==，，06y x 故列举法表示该集合，就是｛（0，3），（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）（6，0）｝．【例4】用适当的方法表示（1）方程x 2＋（3－1）x －3＝0有理数解的集合；（２）图中阴影部分的点（邻边界上的点）．解：（1）方程x 2＋ （3－）x －3＝0得x ＝1或x ＝－3，∴ 有理数解为x ＝1．∴ 集合用列举法表示为｛1｝．（2）⎪⎩⎪⎨⎧（x ，y ）｜⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≤≤-0122xy y x ． 试题相关题：在直角坐标平面内用阴影表示下面的点集： ⎪⎩⎪⎨⎧)(x ，，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤-≤≤-0232252xy y x ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫．答案：。

暑假作业一（集合的含义与表示）一、知识梳理 1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法＋表示正整数集，不包含0. 二．每日一练 （一）、单选题1．如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．{}0A ⊆C ．A φ∈D ．A φ⊆2．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}4．下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数 5．下列集合与集合{}2,3A =相等的是（ ） A ．(){}2,3B ．(){},2,3x y x y ==C ．{}2560x x x -+=D ．{}2,3x y ==6．定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）7．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．0 B ．2019 C ．1D ．0或20198．下面有四个语句:①集合N *中最小的数是0; ②-a ∉N ，则a ∈N ; ③a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2;④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素. 其中说法正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3（二）、多选题9．已知集合(){}20A x ax bx c a b =++≤<中有且仅有一个元素，则34a b cM b a++=-的可能取值为（ ）A 1B ．C ．5D ．1110．下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（ ）A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)}B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)}C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R }11．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合12．下列各组对象能构成集合的是（ ） A ．拥有手机的人 B ．2020年高考数学难题 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数（三）、填空题13．集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.14．集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 15．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________16．已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，则2017a 的值为_________． （四）、解答题17．已知由实数组成的集合A ，1A ∉，又满足:若x A ∈，则11A x∈-． （1）设A 中含有3个元素，且2,A ∈求A ；（2）A 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；（3） A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．18．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值．19．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围20．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a- ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a-∈.21．用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．22．把下列集合用另一种方法表示出来： （1）{2,4,6,8,10}； （2）{|37}x N x ∈<<；参考答案1．C 解：{|1}A x x =>-，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：φ与A 是集合与集合关系，应是A φ⊆，故C 错2．C 因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，3．D 解：①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．4B A 中对象不确定，故错；B 中对象可以组成集合；C 中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错. 5．C 集合A 表示数字2和3的集合.对于A ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，A 错误； 对于B ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，B 错误；对于C ：由2560x x -+=得：2x =或3x =，与集合A 元素相同，C 正确； 对于D ：表示两个代数式的集合，与集合A 不同，D 错误.6．A 由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=. 7．C 若集合M 中有两个元素，则a2≠2 019a.即a ≠0且a ≠2 019.8．A 因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取，则∉N ，∉N ，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A9．BCD 由于集合(){}20A x ax bx c a b =++≤<中有且仅有一个元素，则0b a >>且240b ac ∆=-=，所以()()22223133434331b b a a b c a b c a ab b a a M b b a a b a ab a a⎛⎫++⋅ ⎪++++++⎝⎭====----，令10b t a =->，可得1bt a=+，所以，()()221311555555t t t t M t t t t ++++++===++≥=.当且仅当t =M 的最小值为5+. 10．CD在A 中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误； 在B 中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C 中，M={y|y=x -1}={y|y ≥-1}，P={t|t=x -1}={t|t ≥-1}，二者表示同一集合，故正确；在D 中，M={m|m ≥4，m ∈R}，即M 中元素为大于或等于4的所有实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P 中元素也为大于或等于4的所有实数，故M ，P 表示同一集合，故正确．11．AD 由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合， 而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.12．ACD 根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A 、C 、D 中的元素都是确定的，故选项A 、C 、D 能构成集合，但B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．13．{}2,,15x x k k N k +=∈≤≤因为2222211,42,93,164,255===== 所以集合{}{}21,4,9,16,25,,15x x k k N k +==∈≤≤ 故答案为：{}2,,15x x kk N k +=∈≤≤14．0，2或18当0a =时，13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，令()2680a a ∆=--=，即220360a a -+=，解得2a =或18 15．18当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=1816．1当a ＋2＝1时，a ＝－1，此时有(a ＋1)2＝0，a2＋3a ＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；当(a ＋1)2＝1时，a ＝0或a ＝－2，当a ＝－2，则a2＋3a ＋3＝1，舍去，经验证a ＝0时满足；当a2＋3a ＋3＝1时，a ＝－1或a ＝－2，由上知均不满足，故a ＝0，则2017a ＝1．17．（1）12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；（2）不存在这样的A ，理由见解析；（3）是，证明见解析.解：（1）因为若x A ∈，则11A x∈-，2,A ∈， 所以1112A =-∈-，()11112A =∈--，12112A =-∈，所以11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.（2）假设集合A 是仅含一个元素的单元素集合， 则11x x=-，即：210x x -+=， 由于30∆=-<，故该方程无解， 所以A 不能是仅含一个元素的单元素集.（3）因为1A ∉，x A ∈，则11A x∈-，则1111111x A x x x-==-∈--， 所以111x Ax x =∈--，故该集合有三个元素，下证x ，11x -，11x-互不相等即可. 假设11x x =-，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x-不相等， 假设11x x-=，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x -不相等，假设1111x x =--，则210x x -+=，该方程无解，故11x -，11x-不相等. 所以集合A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个.18．1a =-由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a ≠0；若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}； ∴a ＝﹣1．19．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（3）综合（1）（2）即可得出结论.（1）若A 是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98= ∴a ＝0或a 98=当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素 由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.20．（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析.(1)因为3∈A ，所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--，所以13213A =∈-，所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ，所以11A a∈-，所以1111111a A a a a-==-∈---. 21．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． （1）用描述法表示为{x|2<x<5且x ∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}． （3）用描述法表示为{x|x=n2，n ∈N}．（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}． 22．（1）{|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}；（2）{4,5,6}.（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{2,4,6,8,10}={|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}； （2）{|37}x N x ∈<<={4,5,6}.。

第08天had just done …when高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆1. (2018·天津) I ________down to London when I suddenly found that I was on thewrong road.A. was drivingB. have drivenC. would driveD. drove 【参考答案】A【试题解析】根据固定句型：was/ were doing sth + when (suddenlu) did ... 句意：正在做某事，就在这时（那时）突然，根据句意，故选A 。

2. Mary ________ through a market when she saw some women selling beautiful scarves.She studied the pricescarefully and bought what she needed.A. walkB. was walkingC. had walkedD. has walked【参考答案】B【试题解析】句意：Mary 正经过一个市场，这时看到一些妇女在卖美丽的围巾。

她认真比较了价格，然后买了她需要的。

“when she saw some women selling beautiful scarves ”表示了过去某个时间正在发生的动作。

故选B 。

【拓展延伸】1. when 表示＂正在这时/那时＂，作并列连词时常用的句型：sb was doing...when... 某人正在做……这时……sb had just done...when... 某人刚做完……这时……sb was about to do...when.../sb was just going to do...when... 某人正要做……这时……be on the point of doing...when... 正要……这时……2. when作从属连词：（1）表示“当……时”zx.x.kWhen I reached the station, the train had left. 当我到达火车站时，火车已经开走了。

高一数学暑假作业：《集合》练习题及答案高一数学暑假作业：《集合》练习题及答案以下是查字典数学网为大家整理的高一数学暑假作业，关于《集合》的练习题及答案，希望可以解决您所遇到的问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。

例1 判定以下关系是否正确(2){1，2，3}={3，2，1}(4)0{0}分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的.说明：含元素0的集合非空.例2 列举集合{1，2，3}的所有子集.分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个.含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3};含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3};含有3个元素的子集有{1，2，3}.共有子集8个.________.分析 A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}.答共3个.说明：必须考虑A中元素受到的所有约束.选择支.是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素. AB.答选D.说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意.例8 已知集合A={2，4，6，8，9}，B={1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集;若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.分析逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中;B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中;所以C中元素只能是4或7.答 C={4}或{7}或{4，7}.说明：逆向思维能力在解题中起重要作用.例9 设S={1，2，3，4}，且M={xS|x2-5x+p=0}，若 SM={1，4}，则p=________.分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于 SM={1，4}，M={2，3}则由韦达定理可解.答 p=23=6.说明：集合问题常常与方程问题相结合.例10 已知集合S={2，3，a2+2a-3}，A={|a+1|，2}， SA={a+3}，求a的值.S这个集合是集合A与集合 SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用.解由补集概念及集合中元素互异性知a应满足在(1)中，由①得a=0依次代入②③④检验，不合②，故舍去.在(2)中，由①得a=-3，a=2，分别代入②③④检验，a=-3不合②，故舍去，a=2能满足②③④.故a=2符合题意.说明：分类要做到不重不漏.A.M=ND.M与N没有相同元素分析分别令k=…，-1，0，1，2，3，…得答选C.说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性以上就是查字典数学网为大家整理的高一数学暑假作业，关于《集合》的练习题及答案，希望对您有所帮助，最后祝同学们学习进步。

集合的表示方法课后篇巩固提升合格考达标练1.用描述法表示右图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0,或-2≤y≤0},阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}.2.在直角坐标系中,坐标轴上的点构成的集合可表示为()A.{(x,y)|y=0,x∈R}B.{(x,y)|x2+y2=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x2+y2≠0}在x轴上的点(x,y)满足y=0,在y轴上的点(x,y)满足x=0,∴坐标轴上的点(x,y)满足xy=0, ∴坐标轴上的点构成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.故选C.3.集合{3,52,73,94,…}用描述法可表示为()A.{x|x=2n+12n,n∈N*}B.{x|x=2n+3n,n∈N*}C.{x|x=2n-1n,n∈N*}D.{x|x=2n+1n,n∈N*}3,5 2,73,94,即31,52,73,94,从中发现规律,x=2n+1n,n∈N*,故可用描述法表示为{x|x=2n+1n,n∈N*}.4.已知集合A=m y=4m∈N,m∈N,用列举法表示集合A=.解析∵集合A=m y=4m∈N,m∈N,∴A={1,2,4}.5.已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是.A={-1,0,1},而B={y|y=x2+1,x∈A},所以B={1,2}.6.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.用描述法表示为{x|2<x<5,且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.等级考提升练7.(2021山东临沂高一期中)已知b是正数,且集合{x|x2-ax+16=0}={b},则a-b=()A.0B.2C.4D.8x2-ax+16=0有两个相等的正实根,故Δ=a2-64=0.又方程两根之和为正数,即a>0,所以a=8,因此方程变为x2-8x+16=0,且根为4,故b=4,所以a-b=8-4=4.故选C.8.(2021江西临川一中高一月考)设集合A=2,3,a2-3a,a+2a+7,B={|a-2|,0}.已知4∈A且4∉B,则实数a的取值集合为()A.{-1,-2}B.{-1,2}C.{-2,4}D.{4}①当a2-3a=4且|a-2|≠4时,解得a=-1或4;a=-1时,集合A={2,3,4,4}不满足集合的互异性,故a≠-1;a=4时,集合A=2,3,4,232,集合B={2,0},符合题意.②当a+2a+7=4且|a-2|≠4时,解得a=-1,由①可得不符合题意.综上,实数a 的取值集合为{4}.故选D .9.(2020江西高一月考)定义集合运算:A ☆B={z|z=x 2-y 2,x ∈A ,y ∈B }.设集合A={1,√2},B={-1,0},则集合A ☆B 中的所有元素之和为( )A.2B.1C.3D.4A ☆B={0,1,2},所以A ☆B 中所有元素之和为0+1+2=3.10.(多选题)方程组{x +y =3,x -y =1的解集可表示为( ) A.{(x ,y )|{x +y =3,x -y =1} B.{(x ,y )|{x =2,y =1} C.(1,2)D.{(2,1)}{x +y =3,x -y =1只有一个解,解为{x =2,y =1, 所以方程组{x +y =3,x -y =1的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A,B,D 都符合题意. 11.定义运算A-B={x|x ∈A ,且x ∉B },若A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},则A-B= .定义运算A-B={x|x ∈A ,且x ∉B },A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},∴A-B={1,3,9}.12.若集合A={a-3,2a-1,a 2-4}且-3∈A ,则实数a= .或1若a-3=-3,则a=0,此时A={-3,-1,-4},符合题意.(2)若2a-1=-3,则a=-1,此时A={-4,-3,-3},不满足元素的互异性.(3)若a 2-4=-3,则a=±1,当a=1时,A={-2,1,-3},符合题意;当a=-1时,由(2)知不合题意.综上可知,a=0或a=1.13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集;(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.由于2的倒数为12不在集合A 中,故集合A 不是可倒数集.(2)若a ∈A ,则必有1a ∈A ,现已知集合A 中含有3个元素,故必有一个元素有a=1a ,即a=±1,故可以取集合A=1,2,12或-1,2,12或1,3,13. 新情境创新练14.设S={x|x=m+√2n,m,n∈Z}.(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?(2)对S中的任意两个x1,x2,则x1+x2,x1x2是否属于S?∵S={x|x=m+√2n,m,n∈Z},a∈Z,∴a=a+0×√2∈S.∴a是集合S的元素.(2)不妨设x1=m+√2n,x2=p+√2q,m,n,p,q∈Z,则x1+x2=(m+√2n)+(p+√2q)=(m+p)+√2(n+q).∵m,n,p,q∈Z.∴m+p∈Z,n+q∈Z.∴x1+x2∈S.x1·x2=(m+√2n)·(p+√2q)=(mp+2nq)+√2(mq+np),m,n,p,q∈Z.故mp+2nq∈Z,mq+np∈Z.∴x1·x2∈S.综上,x1+x2,x1·x2都属于S.。

高中数学集合的含义与表示课后强化练习（含解析新人教A版必修1）集合的含义与表示课后强化练习（含解析新人教A版必修1）一、选择题1．下列说法正确的个数为()①很小的实数可以构成集合；②集合{y|y＝x2－1}与{(x，y)|y＝x2－1}相等；③1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素．A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] ①不正确，不符合集合中元素的确定性；②不正确，两个集合一个为数集，另一个为点集，显然不相等；③不正确，32＝64，－12＝0.5，故这些数组成的集合有3个元素．故选A.2．方程组x＋y＝1x2－y2＝9的解集是()A．(－5,4) B．(5，－4)C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}[答案] D[解析] 解方程组x＋y＝1x2－y2＝9得x＝5y＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D.3．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为()A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[答案] B[解析] 因为2A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.5．下列集合中，不同于另外三个的是()A．{y|y＝2} B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}[答案] B[解析] 选项A、C、D都等于集合{2}，故选B.6．集合A＝{xZ|y＝12x＋3，yZ}的元素个数为()A．4 B．5C．10 D．12[答案] D[解析] 12能被x＋3整除．y＝1，2，3，4，6，12，相应的x的值有十二个：9，－15,3，－9,1，－7,0，－6，－1，－5，－2，－4.故选D.二、填空题7．用符号“”或“”填空：(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．[答案] (1)(2)[解析] (1)易知A＝{0,1}，故1A，－1A；(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立，故填.8．设a，bR，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________. [答案] 2[解析] 显然a0，则a＋b＝0，a＝－b，ba＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.9．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1A，x2B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则A＋B中元素的个数为________．[答案] 4[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3，或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4，或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5，或x1＋x2＝3＋3＝6.所以A＋B＝{3,4,5,6}，有4个元素．三、解答题10．设xR，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2A，求实数x.[解析] (1)由集合元素的互异性可得x3且x2－2xx且x2－2x3，解得x－1且x0且x3.(2)若－2A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无解，所以x＝－2.11．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程x＝|x|的所有x的值构成的集合B.[解析] (1){x|x＝3n，nZ}．(2)由x＝|x|得x0，B＝{x|x0}．12．集合P＝{x|x＝2k，kZ}，M＝{x|x＝2k＋1，kZ}，aP，bM，设c＝a＋b，则c与集合M有什么关系？[解析] ∵aP，bM，c＝a＋b，设a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2Z，cM.。

集合的含义及表示一、单选题(共14道，每道7分)1.在直角坐标内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的表示法2.已知集合，用列举法可表示为( )A.{0，1，2}B.{-3，-1，0，1}C.{-3，0，1，2}D.{-2，-1，1，2}答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的表示法3.设集合，，则下列关系中正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系4.下面关于集合的表示，正确的个数是( )①；②；③．A.0B.1C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等5.下列集合中，是空集的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空集的定义、性质及运算6.下列集合中与相等的是( )A.{1，-1}B.{1，0，-1}C.{2，-2}D.{2，0，-2}答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等7.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系8.已知：①；②；③；④，上述四个关系中，错误的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的子集9.若集合中只有一个元素，则a=( )A.4B.2C.0D.0或4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系10.若以正实数a，b，c，d四个元素构成集合A，则以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合中元素的互异性11.下面各数中，集合中的x不能取的一个值是( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系12.若，则x的值为( )A.-1B.2C.-1或2D.1或-2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系13.已知集合，集合．若集合A=B，则a的值为( )A.1B.3C.0D.0或1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等14.已知集合，且A=B，则x，y的值分别为( )A.-1，0B.1，0C.1，-1或0D.-1，1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等。

高中数学集合的含义及其表示练习题(含答案) 数学必修1(苏教版)1．1 集合的含义及其表示一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？基础巩固1．下列说法正确的是()A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1,0,5，12，32，64， 14组成的集合有7个元素答案：C2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素个数为()A．5个 B．4个 C．3个 D．2个答案：C3．下列四个关系中，正确的是()A．a{a，b} B．{a}{a，b}C．a{a} D．a{a，b}答案：A4．集合M＝{(x，y)|xy0，xR，yR}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集．答案：D5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B6．集合M中的元素都是正整数，且若aM，则6－aM，则所有满足条件的集合M共有()A．6个 B．7个 C．8个 D．9个解析：由题意可知，集合M中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个．答案：B7．下列集合中为空集的是()A．{xN|x2 B．{xR|x2－1＝0}C．{xR|x2＋x＋1＝0} D．{0}答案：C8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4A，则a＝() A．－3或－1或2 B－3或－1C．－3或2 D．－1或2解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}．a＝－3或2.答案：C9．集合P＝{x|x＝2k，kZ}，Q＝{x|x＝2k＋1，kZ}，M＝{x|x ＝4k＋1，kZ}，若aP，bQ，则有()A．a＋bPB．a＋bQC．a＋bMD．a＋b不属于P、Q、M中任意一个解析：∵aP，bQ，a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2Z，a＋bQ.答案：B10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．①不超过2的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．答案：①④⑤11．若a＝n2＋1，nN，A＝{x|x＝k2－4k＋5，kN}，则a与A的关系是________．解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当nN时，n ＋2N.答案：aA12．集合A＝{x|xR且|x－2|5}中最小整数为_______．解析：由|x－2|－5x－2－37，最小整数为－3.答案：－313．一个集合M中元素m满足mN＋，且8－mN＋，则集合M 的元素个数最多为________．答案：7个14．下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；③M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{a|a＝x2－1，xR}；④M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}．答案：③能力提升15．已知集合A＝{x|xR|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值．解析：(1)若a2－1＝0，则a＝1.当a＝1时，x＝－12，此时A＝－12，符合题意；当a＝－1时，A＝，不符合题意．(2)若a2－10，则＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0a＝53，此时A＝－34，符合题意．综上所述，a＝1或53.16．若集合A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2019＋b2019的值．解析：由题知a0，故ba＝0，b＝0，a2＝1，a＝1，又a1，故a＝－1.a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝1.17．设正整数的集合A满足：“若xA，则10－xA”．(1)试写出只有一个元素的集合A；(2)试写出只有两个元素的集合A；(3)这样的集合A至多有多少个元素？解析：(1)令x＝10－xx＝5.故A＝{5}．(2)若1A，则10－1＝9A；反过来，若9A，则10－9＝1A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地出现在A中．同理，2和8,3和7,4和6成对地出现在A中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合．(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}．18．若数集M满足条件：若aM，则1＋a1－aM(a0，a1)，则集合M中至少有几个元素？解析：∵aM，1＋a1－aM，1＋1＋a1－a1－1＋a1－a＝－1aM，1－1a1＋1a＝a－1a＋1M，1＋a－1a＋11－a－1a＋1＝aM.∵a0且a1，a，1＋a1－a，－1a，a－1a＋1互不相等集合M 中至少有4个元素.。

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第08天集合的表示高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆典例在线用适当的方法表示下列集合：（1)方程组的解集；(2）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（4）所有的正方形组成的集合．【参考答案】见试题解析【解题必备】（1）列举法:把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．注意集合中的元素用“，”隔开，且集合中的元素必须满足确定性、互异性和无序性．对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，采用列举法表示较合适;若元素个数较多或有无限个，且集合中的元素呈现一定的规律,在不会产生误解的情况下,可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,即在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，描述法的一般形式是，其中x是集合中元素的代表形式,I 是元素的取值或变化范围，p(x)是这个集合中元素所具有的共同特征．注意：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素,即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．描述法表示集合的条件：对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,即无法用列举法表示的集合,可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．（3)要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合,当集合中元素较多或无限时,就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．学霸推荐1．方程x2–1=0的解集可表示为A．{x=1或x=–1｝B．｛x2–1=0} C．1，–1 D．｛1,–1｝2．对集合｛1，5，9,13，17｝用描述法来表示,其中正确的一个是A．｛x|x是小于18的正奇数} B．｛x|x=4k+1，k∈Z，且k〈5}C．{x|x=4t–3，t∈N，且t≤5｝D．｛x|x=4s–3，s∈N＊，且s≤5｝1．【答案】D【解析】首先方程的解集中的元素是数．由x2–1=0得x=1或x=–1．所以方程x2–1=0的解集可用列举法表示为｛–1，1｝．故选D．2．【答案】D。

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第07天常见的数集及其记法
高考频度：★★☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆
典例在线
下列所给关系正确的个数是
①πR；②；③0；④|−4|．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题必备】
（1）常用数集：
或N+
（2）在研究数与数集之间的关系时，首先应明确数集的含义，每个数集的元素是什么，再判断数与数集的关系．
（3）为非负整数集，即自然数集，而是正整数集，两者是不同的，包括0，而
不包括0．
学霸推荐
1．下列说法正确的是
A．B．
C．D．
2．下列结论中，不正确的是
A．若a∈N，则–a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则
3．下列说法正确的是
A．0={0} B．0∈N*C．0∈N D．0∉N
1．【答案】B
【解析】因为Q表示有理数集，Q，故A错误，B正确；在C中，∉Z（整数集），故C错误；在D中，∈R（实数集）,故D错误．故选B．
2．【答案】A
3．【答案】C
【解析】0是元素，{0}是集合，它们的意义不同，之间不能用等号连接，故A不正确；
0不是正整数，故0∉N*，故B不正确；0是自然数，故0∈N，故C正确；D不正确．故选C．。

第12天并集及其性质高考频度：★★★★☆难易程度：★★☆☆☆典例在线已知集合，则A．B．C．D．【解题必备】（1）“”是指所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合．注意对概念中“所有”的理解：不能认为“”是由A中的所有元素和B中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A与B的公共元素只能作并集中的一个元素．（2）求“”只需：①把集合A，B的元素合在一起；②使A，B的公共元素在并集中只出现一次．对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围．（3）并集的性质：①两个集合的并集满足交换律，即；②一个集合与其本身的并集是其本身，即；③一个集合与空集的并集是其本身，即；④一个集合是其与任意一个集合的并集的子集，即；⑤．学霸推荐1．已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=A．{1，2，4} B．{2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，2，4，4，6}2．已知A={x∈Z|2x2+x–1=0}，B={x|4x2+1=0}．则A∪B=A．{–，，–1} B．{} C．{–1} D．{，–1} 3．设集合A={x|（x+1）（x–2）<0}，集合B={x|1<x<3}，则A∪B=A．{x|–1<x<3} B．{x|–1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}1．【答案】C【解析】∵集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}．故选C．2．【答案】C3．【答案】A【解析】∵集合A={x|（x+1）（x–2）<0}={x|–1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，∴A∪B={x|–1<x<3}，故选A．。

第一章 集合与函数概念1．1 集合1．1.1 集合的含义与表示1．下列说法正确的是( )A ．2008年北京奥运会的比赛项目组成一个集合B ．某个班年龄较小的学生组成一个集合C ．集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同的集合D ．1,0.5，32，12组成的集合有四个元素 2．已知集合M 具有性质：若a ∈M ，则2a ∈M ，现已知－1∈M ，则下列元素一定是M 中的元素的是…( )A ．1B ．0C ．－2D ．23．用符号∈或∉填空． (1)3.14______Q,0________N ，2________Z ，(－1)0________N ； (2)23________{x|x<11},32________{x|x ＞4}，2＋5________{x|x ≤2＋3}；(3)3________{x|x ＝n 2＋1，n ∈N },5________{x|x ＝n 2＋1，n ∈N }；(4)(－1,1)________{y|y ＝x 2}，(－1,1)________{(x ，y)|y ＝x 2}．4．试选择适当的方法表示下列集合：(1)直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的点的集合；(2)一年之中的四个季节组成的集合；(3)方程x 2＋x －1＝0的实数解组成的集合；(4)满足不等式1＜1＋2x ＜19的素数组成的集合．课堂巩固1．若方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的所有解构成的集合为M ，则M 中元素的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合S ＝{a ，b ，c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,5}，x ∈A ，且x ∉B ，则x 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．54．已知集合M ＝{x|x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x|x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x|x ＝3n －1，n ∈Z }，且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P ，设d ＝a －b ＋c ，则( )A ．d ∈MB ．d ∈NC ．d ∈PD ．d ∈M 且d ∈N5．设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，则P ＝__________；点(2,7)与点集P 的关系为(2,7)__________P.6．已知集合P ＝{4,5,6}，Q ＝{1,2,3}．定义P ⊖Q ＝{x|x ＝p －q ，p ∈P ，q ∈Q}，则集合P ⊖Q 的所有元素之和为________．7．下面三个集合：①{x|y ＝x 2＋1}；②{y|y ＝x 2＋1}；③{(x ，y)|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？8．设S ＝{x|x ＝m ＋n 2，m 、n ∈Z }．(1)若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？(2)对S 中的任意两个x 1、x 2，则x 1＋x 2、x 1·x 2是否属于S?1．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈AC.3∈A D ．2∈A2．已知集合M ＝{x ∈N |(8－x)∈N }，则M 中元素的个数是( )A ．10B ．9C ．8D ．无数个3．(2008江西高考，2)定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．64．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，b a，b}，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－25．集合{3，52，73，94，…}可表示为( ) A ．{x|x ＝2n ＋12n ，n ∈N *}B ．{x|x ＝2n ＋3n，n ∈N *} C ．{x|x ＝2n －1n，n ∈N *} D ．{x|x ＝2n ＋1n，n ∈N *} 6．填空题：(1)用列举法表示集合{x ∈R |(x －1)2(x ＋1)＝0}为__________；(2)用列举法表示集合{x ∈N |66－x∈N }为__________； (3)用描述法表示集合{2,4,6,8}为__________；(4)用描述法表示集合{1，12，13，14}为__________． 7．已知x ∈{1,2，x 2}，则x ＝__________.8．设a ，b 是非零实数，则y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合为________． 9．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素．10．数集M 满足条件，若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M(a ≠±1且a ≠0)，已知3∈M ，试把由此确定的集合M 的元素全部求出来．11．已知f(x)＝x 2－ax ＋b(a 、b ∈R )，A ＝{x ∈R |f(x)－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f(x)－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.答案与解析第一章集合与函数概念1．1集合1．1.1集合的含义与表示课前预习1．A∵A中各比赛项目是确定的且各不相同，∴A正确；B中元素是不确定的；C中两集合是相等的；D中有3个元素．2．C∵－1∈M，∴2×(－1)∈M，即－2∈M.3．(1)∈∈∉∈(2)∉∈∈(3)∉∈(4)∉∈(1)略．(2)23＝12>11，32＝18>16＝4，2＋5＝(2＋5)2＝7＋210<7＋212＝(2＋3)2＝2＋ 3.(3)令n2＋1＝3，n＝±2，n∉N.令n2＋1＝5，n＝±2，取n＝2，则n∈N.(4){y|y＝x2}中元素是数，而(－1,1)代表一个点．4．解：(1){(x，y)|y＝x}；(2){春季，夏季，秋季，冬季}；(3){－12－52，－12＋52}；(4){2,3,5,7}．课堂巩固1．B∵x2－5x＋6＝0，∴x＝2或x＝3.又∵x2－x－2＝0，∴x＝2或x＝－1.由集合中元素的互异性，知M＝{－1,2,3}．2．D由集合元素的互异性，知a、b、c各不相同．3．B由已知，易知x可能等于1、2、3，且不能等于1、3、5，所以只能等于2.4．B三个集合都是整数集的子集，集合M中的整数都能被3整除，集合N中的整数被3整除余数是1，集合P中的整数被3整除余数是2.三个集合中的整数n也可用其他字母来表示．于是，d＝3n－3l－1＋3s－1＝3(n－l＋s)－2＝3(n－l＋s－1)＋1∈N.5．{(x，y)|y＝2x＋3}∈点集P＝{(x，y)|y＝2x＋3}．当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.6．15当p＝4，q＝1,2,3时，p－q＝3,2,1；当p＝5，q＝1,2,3时，p－q＝4,3,2；当p＝6，q＝1,2,3时，p－q＝5,4,3.所以P⊖Q＝{1,2,3,4,5}，其所有元素之和为1＋2＋3＋4＋5＝15.7．解：(1)不是相同的集合．(2)集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许取到的值组成的集合，因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R ；集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象，知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}；集合③是函数y ＝x 2＋1图象上的所有点的坐标组成的集合．如图所示：8．解：(1)a 是集合S 的元素，因为a ＝a ＋0×2∈S.(2)不妨设x 1＝m ＋n 2，x 2＝p ＋q 2，m 、n 、p 、q ∈Z .则x 1＋x 2＝(m ＋n 2)＋(p ＋q 2)＝(m ＋p)＋(n ＋q)2，m 、n 、p 、q ∈Z .∴x 1＋x 2∈S ；x 1·x 2＝(m ＋n 2)·(p ＋q 2)＝(mp ＋2nq)＋(mq ＋np)2，m 、n 、p 、q ∈Z . ∴x 1·x 2∈S.综上，x 1＋x 2、x 1·x 2都属于S.课后检测1．B 化简集合A ＝{0,1}，显然0∈A.2．B ∵x ∈N ，且(8－x)∈N ，∴x ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8，共9个数．3．B ∵z ＝x·y ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B ＝{0,2,4}．∴集合A*B 的所有元素之和为0＋2＋4＝6.4．C 由题意得，a ≠0，b ≠0， 所以a ＋b ＝0，a ＝－b.于是，{1,0，a}＝{0，－1，－a}．显然，a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2.5．D 由3，52，73，94可得，31，52，73，94从中发现规律，关键要分清起始数并限定范围． 6．(1){－1,1} (2){0,3,4,5}(3){x|(x －2)(x －4)(x －6)(x －8)＝0}或{大于1小于9的偶数}等(4){x|x ＝1n，n ≤4且n ∈N *} 7．0或2 当x ＝1时，x 2＝1，这与集合中元素的互异性相矛盾，故x ≠1；当x ＝2时，x 2＝4符合题意；当x ＝x 2时x ＝0或x ＝1(舍去)． 综上可知x ＝0或2.8．{－1,3} 当ab<0时，y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1； 当ab>0时，则a>0，b>0或a<0，b<0，若a>0，b>0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝3； 若a<0，b<0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1. 所以y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合元素共有两个元素－1和3，用列举法表示为{－1,3}．9．解：集合A 为单元素集，即方程ax 2＋2x ＋1＝0有唯一解或两个相等的实数解．由于此方程二次项的系数不确定，所以要对a 分类讨论．①a ＝0时，x ＝－12； ②a ≠0时，Δ＝4－4a ＝0，所以a ＝1，此时x ＝－1.10．解：∵a ＝3∈M ，∴1＋a 1－a ＝1＋31－3＝－2∈M. ∴1－21＋2＝－13∈M.∴1－131＋13＝12∈M. ∴1＋121－12＝3∈M. 再把3代入将重复上面的运算过程，由集合中元素的互异性可知M ＝{3，－2，－13，12}． 点评：集合中的元素是互异的，即同一集合中的元素是互不相同的．它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意．只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是相等的，与两个集合中元素的排列顺序无关．11．解：f(x)－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.∵A ＝{1，－3}，∴由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(－3)＝a ＋1，1×(－3)＝b. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－3.∴f(x)＝x 2＋3x －3. f(x)－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0.∴B ＝{x|x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}．点评：列举法和描述法是表示集合的两种常用方法．用列举法时要注意：元素间用逗号隔开；元素不重复；可不考虑元素间的顺序；若元素的个数较多需要省略时，必须把元素间的规律显示清楚后方可使用省略号．用描述法时要注意：写清元素的一般符号及取值范围；明确集合中元素的特征；不能出现未被说明的字母；准确使用“且”与“或”等．。