高中数学阶段质量检测四模块综合检测苏教版

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝__________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：122．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1，则θ所在的象限为__________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴sin 2θ＞0，∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z)， ∴θ表示第一或第三象限的角． 答案：第一或第三象限3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－12)＝－8.答案：－84．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为__________．解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝8. 答案：85．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________.解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，∴|5a －b |＝7.答案：76．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则y 的表达式为__________．解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin(2x ＋π6)7．若a ⊥b ，c 与a 及c 与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝__________.解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由题意，得a ·c ＝|a ||c |cos60°＝1×3×12＝32，b ·c ＝|b ||c |cos60°＝2×3×12＝3，所以(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝1＋16＋9－4×3－2×32＝11.答案：118．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的单调递增区间是__________． 解析：因为(π3－x )＋(π6＋x )＝π2，所以y ＝2sin(π3－x )－sin(π3－x )＝sin(π3－x )＝－sin(x －π3)．由2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z)，得2k π＋56π≤x ≤2k π＋116π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间是[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)．答案：[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)9．若A ＋B ＝π3，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝________.解析：由sin A cos A ＋sin B cos B ＝A ＋B cos A cos B ＝sinπ3cos A cos B ＝233，可求得cos A cos B ＝34.答案：3410．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________.答案：－811．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为__________．解析：∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )， ∴|AD →|＝ |AD ―→|2＝12p －q 2＝ 1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12 22－12×22×3×cos π4＋32＝152.答案：15212．关于平面向量a ，b ，c ，下列是真命题的是__________． ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .解析：由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，有三种情形：a ＝0或b －c ＝0或a ⊥(b －c )，所以①错误；由a ∥b ，即1－2＝k6得k ＝－3，②正确；因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以a ，b 的夹角为60°，从而a 与a ＋b 的夹角为30°，故③错误；若b ＝0，此时a 与c 不一定平行，故④错误．答案：②13．设f (x )是以5为周期的奇函数，且f (－3)＝1，tan α＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2的值为__________．解析：由1cos 2α－2＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－2＝8，得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2＝f (8)＝f (5＋3)＝－f (－3)＝－1. 答案：－114．如果a ＝(cos α＋sin α，2010)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．解析：由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2010(cos α－sin α)， ∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ α＋cos α2α＋sin αα－sin α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＋1＝2010＋1＝2011. 答案：2011二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |；(2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×2×cos120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.16．(本小题满分14分)已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝(cos2α，sin α)·(1,2sin α－1)＝cos2α＋sin α·(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝cos2α＋(1－cos2α)－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴52sin2α－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2＝102sin αcos α－4⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α1＋cos α＝102sin αcos α－22cos α＋22sin α1＋cos α＝102×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝102×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×(－4)＋22×3 ＝－242＋82＋62＝－10 2.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x ，且f (0)＝2，f (π3)＝12＋32. (1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若α－β≠k π(k ∈Z)，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值．解：(1)因为f (0)＝2a ＝2，所以a ＝1，因为f (π3)＝12a ＋34b ＝12＋32，所以b ＝2.所以f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以f (x )的最大值为2＋1，最小值为1－ 2.(2)若f (α)＝f (β)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，所以2α＋π4＝2k π＋2β＋π4或2α＋π4＝2k π＋π－⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，即α－β＝k π(舍去)或α＋β＝k π＋π4，k ∈Z ，所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4＝1. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－513，求sin α.解：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．又∵|a －b |＝255，∴α－cos β2＋α－sin β2＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0,0＜α－β＜π，sin β＝－513，cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，cos β＝1213.sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0且x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[3,4]，求a ＋b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＋b ＝1＋cos x ＋sin x ＋b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，所以当a ＝1时，f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b ，因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4，又因为a ＜0时，x ＋π4＝π2时，f (x )有最小值，所以2a ＋a ＋b ＝3.当x ＋π4＝54π时，f (x )有最大值，所以－a ＋a ＋b ＝4，所以a ＝－2＋1，b ＝4，所以a ＋b ＝5－ 2.20．(本小题满分16分)(2010年高考山东卷)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ．3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=， 其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位 解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9） 解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩∴ (0,9)D . 14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13． （2）因为tan 2α=， 所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--． （2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-． （2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤； 当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。

阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考改编)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是___________________________． 2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是________________________． 3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为________________．4．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.6．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调递增区间是________．7．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____________________．8．(北京高考改编)双曲线x 2－y2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．10．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________．11．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.12．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为________．13．某名牌电动车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．14．若方程x24－t ＋y2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52；②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知命题p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q ：只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p ∨q ”为假命题，求实数a 的取值范围．。

模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知sin α＝35，则cos 2α的值为________． 2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b ＝________.4．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π2)，那么sin(2π－α)的值为________． 5．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________. 6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为________．7．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝________. 8．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |＝________.9．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.10．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π2，π2]，则|a ＋b |的取值范围是________． 11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．12．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，则ω的取值范围是________． 13．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________． 14.如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①AC →＋AF →＝2BC →；②AD →＝2AB →＋2AF →；③AC →·AD →＝AD →·AB →；④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg[2cos(x －π4)]－lg(1＋sin 2x )．16．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．17．(14分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 点的坐标为(－35，45)． (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．18．(16分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．19．(16分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.20．(16分)已知a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(2cos ωx ＋sin ωx ，cos ωx )，x ∈R ，ω>0，记f (x )＝a ·b ，且该函数的最小正周期是π4. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．模块综合检测(B)1.725解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725. 2．0解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,2)＝(3－k ，－1)，(a －c )⊥b ，b ＝(1,3)，∴(3－k )×1－3＝0，∴k ＝0.3．－10解析 ∵a ∥b ，∴1×(－4)－2x ＝0，x ＝－2.∴a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，∴a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.4.12解析 ∵cos(α＋π)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32， ∵π<α<3π2，∴α＝7π6， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin 76π＝12. 5．－247解析 由于α为第二象限的角，且sin α＝35， ∴cos α＝－45. ∴tan α＝－34， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2 ＝－321－916＝－247. 6．－47解析 tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47. 7．－7210解析 ∵cos α＝－45，α是第三象限角． ∴sin α＝－35， ∴sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝－7210. 8．2或10解析 ∵a ·b ＝2x ＋3－x 2＝0.∴x 1＝－1或x 2＝3.a －b ＝(－2x －2,2x )．当x ＝－1时，a －b ＝(0，－2)，|a －b |＝2；当x ＝3时，a －b ＝(－8,6)，则|a －b |＝10.9．1解析 f (x )＝sin(－2x ＋π3)向右平移π3个单位后，图象对应函数解析式为f (x －π3)＝sin[－2(x －π3)＋π3] ＝sin(－2x ＋π)＝sin 2x .∴g (x )＝sin 2x ，g (π4)＝sin π2＝1. 10．[2，2]解析 |a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2＝2＋2cos θ.∵θ∈[－π2，π2]，∴cos θ∈[0,1]． ∴|a ＋b |∈[2，2]．11.⎣⎡⎦⎤π3，π解析 Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π. 12.⎝⎛⎦⎤0，32 解析 令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω， 则⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的，即⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω，则 ⎩⎨⎧π4≤π2ω－π3－π2ω⇒0<ω≥32. 13.1118解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 2 2θ＝1－12(1－cos 2 2θ)＝1118. 14．①②④解析 在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →，①正确；设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →，②正确；易知向量AC →和AB →在AD →上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；∵AD →＝－2EF →，∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →)⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF →⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0.∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0，∴AF →·(AD →＋2EF →)＝0成立．从而④正确．15．解 0<x <π2， ∴原式＝lg(cos x ·sin x cos x＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x ) －lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x )＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.16．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4. 17．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·(－35)2＝1825. (2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2， ∴β＝α－π2， ∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35， cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45. ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 18．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π， ∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z . 故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)，(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32≤sin(2x －π3)≤1， 即f (x )的值域为[－32，1]． 19．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3， 即f (x )的最小正周期为2π3. (2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4. ∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝4cos 2α. 由f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35， ∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝15， ∴sin α＝±55. 20．解 (1)f (x )＝a ·b＝cos ωx ·(2cos ωx ＋sin ωx )＋sin ωx ·cos ωx＝2cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＝2·1＋cos 2ωx 2＋sin 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＝2sin(2ωx ＋π4)＋1.∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，其中x ∈R ，ω>0. ∵函数f (x )的最小正周期是π4，可得2π2ω＝π4， ∴ω＝4.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(8x ＋π4)＋1. 当8x ＋π4＝π2＋2k π， 即x ＝π32＋k π4(k ∈Z )时， sin(8x ＋π4)取得最大值1， ∴函数f (x )的最大值是1＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π32＋k π4，k ∈Z }．。

阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________． 2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________． 3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．4．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.6．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为________． 7．方程x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．8．(北京高考改编)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．10．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________________．11．已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．12．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.13．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ―→＝2PA ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则P 点的轨迹方程是________．14．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52；②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA ·OB ＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．17.(本小题满分14分)如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ∥平面 PAO?18．(本小题满分16分)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．19．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答 案1．对任意实数x ，都有x ≤1 2．解析：否命题是条件结论都否定． 答案：不相似的三角形的对应角不相等3．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：44．解析：λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0. ∴λ－1＝0，λ＝1. 答案：15．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b 2a ＝b 3a×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.答案：3246．解析：|a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4， 所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2. 答案：27．解析：若x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，1－m >0⇒－3<m <1，∴m 的取值范围是(－3,1)． 答案：(－3,1)8．解析：依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2a2>2，得1＋m >2，所以m >1. 答案：m >19．解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．答案：充分不必要10．解析：∵“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]11．解析：因为A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，P (x ，－1,3)，所以AP ＝(x －4，－2,0)，AB ＝(－2,2，－2)，AC ＝(－1，6，－8)．由于点P 在平面ABC 内，所以P 、A 、B 、C 四点共面．所以AP 、AB 、AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC ，即(x －4，－2,0)＝m (－2,2，－2)＋n (－1,6，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2m －n ，－2＝2m ＋6n ，0＝－2m －8n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1，x ＝11.答案：1112．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433. 答案：43313．解析：可得A (32x,0)，B (0,3y )，Q (－x ，y )，则AB ＝(－32x,3y )，OQ ＝(－x ，y )，故OQ ·AB ＝32x 2＋3y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)14．解析：若为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＞0，t －1＞0，4－t ≠t －1，即1＜t ＜4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即4＜t 或t ＜1； 当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52，故①②正确．答案：①②15．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .16．解：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴若p 成立，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3.∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2，解得－1＜m ＜4，即m 的取值范围是(－1,4)．17．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设Q (0,1，z )，则OP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12，1BD ＝(－1，－1,1)，∴OP ∥1BD ，∴OP ∥BD 1，AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，BQ ＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP ＝BQ ，即AP ∥BQ ，有平面AOP ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .18．解：(1)由题意知，c a ＝12，所以a 2－b 2a 2＝14，a 2＝43b 2.又1a 2＋94b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3. 因此椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由题意知Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3) ＝16(12k 2－3m 2＋9)>0， 即4k 2－m 2＋3>0.又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k 2所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k23＋4k2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝3m 2－12k 24m 2－3＝k 2， 即(4k 2－3)m 2＝0，∵m ≠0，∴k 2＝34.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<6，且m 2≠3. 设d 为点O 到直线l 的距离，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12×|m |1＋k 21＋k 2|x 1－x 2| ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2又因为m 2≠3， 所以S △OPQ ＝33m26－m2<33×m 2＋6－m 22＝ 3. 所以△OPQ 面积的取值范围为(0，3)．19.解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＋z 2＝02x 2＋2z 2＝0可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63. 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2， 故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5， 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)， 所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.11。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1.sin 330°＝________.【解析】 sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－12. 【答案】 －122.已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________． 【解析】 据三角函数的定义，可知|OP |＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】 －253.化简：cos 4－sin 22＋2＝________. 【解析】 原式＝2cos 22－1＋1＋cos 22 ＝3cos 22 ＝－3cos 2 【答案】 －3cos 24.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝________.【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 325.已知a ＝(2，1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则k ＝________. 【解析】 ∵a ＝(2，1)，a ＋b ＝(1，k ) ∴b ＝(－1，k －1)又a ⊥b ，∴a·b ＝－2＋(k －1)＝0， ∴k ＝3. 【答案】 36.过点A (－2，1)，且平行于向量a ＝(3，1)的直线方程为________. 【解析】 直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0.【答案】 x －3y ＋5＝07.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π6的值域为________.【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a ).AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED →＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9.若b ＝(1，1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】 由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3， 则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________.【解析】 由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z . 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 11.平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________.【导学号：48582154】【解析】 由题意知，b －c ＝(－3，1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3).依题意，得⎩⎨⎧ －3x －3(1－y )＝0，x ＋1＋2(y －3)＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴c ＝(1，2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90°12.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】 依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143.【答案】 14313.如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________.图2【解析】 分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC |cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614.已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知tan α＝12， 求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值.【解】 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16.(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值.【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17.(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值. 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β， 所以α＝5π6，β＝π6.18.(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x ).(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式.【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [](α＋β)＋α＝3sin [](α＋β)－α，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2. 19.(本小题满分16分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示.图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值. 【导学号：48582155】【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．3．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.4．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α＝________. 5．已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________.7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.8．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________. 9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)函数．11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为________．12．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________. 13．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.14．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．16．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．17．(14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．18．(16分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．19．(16分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)1．－4 3解析 ∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a －4＝3， ∴a ＝－4 3.2．6解析 a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.3.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2. 4．－12解析 ∵|a |＝cos 2α＋14＝22， ∴cos 2α＝14. ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 5．－8解析 若A 、B 、D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ.∴k ＝－8. 6．1解析 tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.7．4解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.8.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23. 又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156. 9．锐角解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0. ∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数， ∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B . ∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．10.π2偶 解析 f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x 2＝14－14cos 4x ， ∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，为偶函数． 11．3 2 解析 |P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2 ＝10－8cos θ≤18＝3 2.12.12 解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tan θ21＋tan 2θ2＝45. ∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0， ∴tan θ2＝12或tan θ2＝2. ∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]． ∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12. 13．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.14.12解析 由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)， 即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)． ∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12， 则ωmin ＝12(ω>0)．15．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4. (2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)， 当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 16．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )． 又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x . (2)由已知得cos(α＋π3)＝13. ∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)． ∴sin(α＋π3)＝223. ∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3) ＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429. 17．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1. 由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z ) 得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ). x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 218．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)． 当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)． 当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]． 若a >0，当2x ＋π6＝π2时， f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52； 若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5. 19．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直， 得5f (π4－A )＋1＝0， ∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45. ∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)， ∵sin(2A －π3)＝－45<0， ∴2A －π3∈(－π3，0)， ∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3] ＝35×12＋45×32＝43＋310. 20．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋ cos x )．令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2. ∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于0<x <π，故x ＝11π12. 所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3. ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·湖北卷)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)则向量AB→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|CD→|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A2．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43解析：由已知可求得tan α＝－3或13，∴tan 2α＝－34，故选C.答案：C3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2.把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3， f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f (0)＝sin π3＝32.答案：D4．若O 、A 、B 是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A.AB→＝OA →＋OB → B.AB →＝OB →－OA → C.AB→＝－OB →＋OA → D.AB →＝－OB →－OA → 解析：根据向量的表示可知选B. 答案：B5．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12解析：根据已知条件判断出f (x )是以2π为周期的周期函数，然后进行求解．∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A. 答案：A6．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6.答案：B7．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析：2a ＋b ＝(3，3)，a －b ＝(0，3)， 则(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，且θ∈[0，π]， 则cos θ＝932×3＝22，得θ＝π4，故选C.答案：C 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3 解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.答案：B9.(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：因为a ·b ＝0，即a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋b |＝2，不妨让a ，b 固定，设u ＝a ＋b ，则|c －u |＝1，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上．则当c 与u 方向相同时，|c |max ＝2＋1，当c 与u 方向相反时，|c |min ＝2－1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．故选A.答案：A10．已知在△ABC 中，向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12, 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：如图，设AB →⎪⎪⎪⎪AB →＝AE →，AC →⎪⎪⎪⎪AC →＝AF →，则原式化为：（AE →＋AF →)·BC→＝0，即AD →·BC →＝0，∴AD→⊥BC →. ∵四边形AEDF 是菱形， ∴∠EAD ＝∠DAC .∵AE →·AF →＝⎪⎪⎪⎪AE →⎪⎪⎪⎪AF →cos ∠BAC ＝12， ∴cos ∠BAC ＝12.∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°. △ABH ≌△ACH ⇒AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB→·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23， 又∵AE→·AF →＝1，∴103λ－23＝1.∴λ＝2. 答案：212．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________．解析：cos(x －y )＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2sin(x ＋y )·cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.答案：2313．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝_____________________________________.解析：先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解．y ＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)．∵x ∈R ，∴x －α∈R. ∴y max ＝ 5.又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25514．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题：①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2个单位长度可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确． ②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，故当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC→·BE →＝1，求AB 的长． 解析：∵E 为CD 的中点，∴BE→＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB→.∵AC →·BE →＝1，AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD→＋AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＋12AB →·AD →＝1，即1－12|AB →|2＋12|AB →|cos 60°＝1，∴－12|AB →|2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.16.(本小题满分12分)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 17．(本小题满分14分)(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解析：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32. ∴6cos θ＝32.∴cos θ＝64. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 18．(本题满分14分)(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，2]上的单调性．解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2⇒2π2ω＝π⇒ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，ω＝1.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，令2x ＋π4＝π2解得x ＝π8， ∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 19.(本题满分14分)(2013·上海卷)(6分＋8分)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解析：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取得最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A . 解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，且函数f (x )在x ＝π处取得最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . (2)∵f (C )＝12，∴cos C ＝12. ∵0<C <π，∴C ＝π3. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A . 代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A . ∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A . ∴tan A ＝33.π∵0<A<π，∴A＝6.。

模块综合测试一、选择题(每小题5分,12小题,共60分) 1.下列有关坐标系的说法,错误的是( )A.在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆B.在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D.同一条曲线可以有不同的参数方程 解析：直角坐标系是最基本的坐标系,在直角坐标系中,伸缩变换可以改变图形的形状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到,例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形的形状和大小而只改变图形的位置；对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方程的,同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程. 答案：C2.函数y=21sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y=41sinx 的图象.( ) A.横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标伸长为原来的2倍B.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C.横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标缩短为原来的21倍 D.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的21倍解析：本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤，可知把函数y=21sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍,可得y=21sinx 的图象,再把纵坐标缩短为原来的21,得到y=41sinx 的图象. 答案：D3.极坐标方程ρ2-ρ(2+sinθ)+2sinθ=0表示的图形是( ) A.一个圆与一条直线 B.一个圆 C.两个圆 D.两条直线解析：所给方程可以化为(ρ-2)(ρ-sinθ)=0,即ρ=2或ρ=sinθ.化成直角坐标方程分别为x 2+y 2=4和x 2+y 2-y=0,可知分别表示两个圆. 答案：C4.极坐标ρ2cos2θ-2ρcosθ=1表示的曲线是…( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析：所给的极坐标方程可以化为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)-2ρcosθ=1,化为直角坐标方程是x 2-y 2-2x=1,即22)1(22y x --=1,显然表示双曲线. 答案：D5.极坐标系中，圆ρ=4cosθ+3sinθ的圆心的极坐标是( )A.(25,arcsin 53)B.(5,arcsin 54) C.(5,arcsin 53) D.(25,arcsin 54)解析：将原方程化为直角坐标方程得(x-2)2+(y-23)2=425,圆心坐标为(2,23),化为极坐标为(25,arcsin 53).答案：A 6.曲线⎩⎨⎧=θθsin ,cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A.21B.22C.1D.2解析：因为曲线表示单位圆,其圆心在原点,半径为1,所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1,且不会恒等于1(这是因为直角三角形两直角边之和大于斜边之缘故),故最大值必大于1,排除A,B,C,选D. 答案：D7.由方程x 2+y 2-4tx-2ty+3t 2-4=0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线 D.一条直线 解析：由原方程，得（x-2t ）2+(y-t)2=4+2t 2. 设圆心坐标为（x,y ）,则⎩⎨⎧==,,2t y t x 消去t,得x=2y.轨迹是一条直线.答案：D8.已知双曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 4,sec 3y x （θ为参数），在下列直线的参数方程中①⎩⎨⎧=-=;4,3t y t x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=;211,231t y t x ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==;54,53t y t x ④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=;221,221t y t x ⑤⎩⎨⎧--=+=.44,33t y t x(以上方程中，t 为参数)可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( )A.①③⑤B.①⑤C.①②④D.②④⑤解析：由双曲线的参数方程,知在双曲线中对应的a=3,b=4且双曲线的焦点在x 轴上,因此其渐近线方程是y=±34x.检验所给直线的参数方程,可知只有①③⑤适合条件. 答案：A9.已知P 点的柱坐标是(2，4π，1)，点Q 的球坐标为(1，2π，4π)，根据空间坐标系中两点A(x 1，y 1，z 1),B(x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-,可知P,Q 之间的距离为( )A.3B.2C.5D.22 解析：首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系,把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2,2,1),再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标(22,22,0),代入两点之间的距离公式即可得到距离为2. 答案：B10.已知一个圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 3y x (θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ=2π对应的点的坐标与点(23π,2)之间的距离为( ) A.2π-1 B.2 C.10 D.123-π 解析：根据圆的参数方程,可知圆的半径是3,那么其对应的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(3),sin (3ϕϕϕy x (φ为参数),把φ=2π代入参数方程易得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3),12(3y x π代入距离公式,可得距离为10)23(]23)12(3[22=-+--ππ. 答案：C11.过抛物线⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 3,22(t 为参数)的焦点的弦长为2，则该弦所在直线的倾斜角为（ ）A.3π B.3π或32π C.6π D.6π或65π解析：将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2=23x,它的焦点为（83，0）.设弦所在直线的方程为y=k(x-83).由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==),83(,232x k y x y 消去y ，得64k 2x 2-48(k 2+2)x+9k 2=0, 设弦的两端点坐标为（x 1,y 1）、(x 2,y 2),则|x 1-x 2|=169)243(4)(22221221-+•=-+kk x x x x 123441692242+=+•=k kk k ∵1231222+•+k k k =2,∴222)1(3k k +=2.∴k 2=3,k=±3. ∴直线的倾斜角为3π或32π.答案:B 12.直线⎩⎨⎧︒-=+︒=.20cos ,320sin t y t x (t 为参数)的倾斜角为（ ）A.20°B.70°C.110°D.160° 解析：可化成普通方程求解，也可化为⎩⎨⎧︒-=︒-=︒-+=︒+=.110sin )(70sin ,110cos )(370cos 3t t y t t x∴直线的倾斜角为110°. 答案：C二、填空题(每小题4分,4小题,共16分)13.设有半径为4的圆，在极坐标系内它的圆心坐标为（4，π），则这个圆的极坐标方程是_________.解析:画图解三角形. 答案:ρ=-8cosθ 14.直线y=2x-21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标为________. 解析: ⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x ⎩⎨⎧-==⇒)2(,sin 21)1(,sin 2ϕϕy x 将①代入②中，得y=1-2x 2,∴2x 2+y=1.∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=122122y x x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,21y x . 答案：(21,21)15.曲线ρsin 2θ-2ρcosθ=0(ρ>0)关于极点的对称曲线是_________.解析：设曲线ρsin 2θ-2ρcosθ=0上任一点极坐标为（ρ′，θ′）,其关于极点的对称点坐标为（ρ，θ）,则ρ′sin 2θ′-2ρ′cosθ′=0.∵⎩⎨⎧'+='=,,θπθρρ∴ρsin 2(θ-π)-2ρcos(θ-π)=0,即ρsin 2θ+2ρcosθ=0. 答案：ρsin 2θ+2ρcosθ=0 16.直线y=2与直线⎩⎨⎧-=-=.2,t y t x 的夹角是____________.解析：直线y=2的倾斜角为0，⎩⎨⎧-=-=.2,t y t x 消去参数后，x+y-2=0,倾斜角为43π, ∵夹角范围是[0,2π],∴两直线夹角为4π. 答案：4π 三、解答题(共74分)17.(12分)化参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(),1(t t b y tt a x (t 为参数)为普通方程.解：若a=b=0时，x=y=0,表示点（0，0）;若a=0,b≠0时，x=0,y ∈R ;若a≠0,b=0时，y=0,|x|≥2|a|;若a≠0,b≠0时,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,1,1t t by tt a x 两式平方相减得222244b y a x -=1. 18.(12分)(1)求曲线ρcosθ+1=0关于直线θ=4π对称的曲线方程. （2）从极点O 引定圆ρ=2cosθ的弦OP ，延长OP 至Q ，使32=PQ OP ，求点Q 的轨迹方程. 解：（1）设曲线ρcosθ+1=0上任一点（ρ′，θ′），其关于直线θ=4π的对称点坐标为（ρ，θ），则ρ′cosθ′+1=0.将⎪⎩⎪⎨⎧-='='θπθρρ2,代入方程ρ′cosθ′+1=0,得ρcos(2π-θ)+1=0.∴ρsinθ+1=0.∴所求的曲线方程为ρsinθ+1=0. (2)设P(ρ′,θ′),Q(ρ,θ),则ρ′=2cosθ′,将⎪⎩⎪⎨⎧='='ρρθθ52,代入方程ρ′=2cosθ′,得52ρ=2cosθ,即ρ=5cosθ.∴点Q 的轨迹方程为ρ=5cosθ.19.(12分) 过点P （210，0）作倾斜角为α的直线l ，与曲线x 2+2y 2=1交于点M 、N ，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值.解：l 方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin ,cos 210t y t x (t 为参数)，代入曲线方程整理为（1+sin 2α）t 2+10cosαt+ 23=0. ∴|PM|·|PN|=|t 1·t 2|=α2sin 123+. ∴当sin 2α=1即α=2π时，|PM|·|PN|的最小值为43,此时α=2π.20.(12分)如图，过定点A （m,0）(m>0)作直线交y 轴于Q 点，过Q 作QP ⊥AQ 交x 轴于P 点，在PQ 的延长线上取点M ，使|MQ|=|PQ|.当直线AQ 变动时，求点M 的轨迹方程.解：以A 为极点，Ax 为极轴建立极坐标系.设M （ρ，θ），由已知可得∠APQ=2θ,|AM|=|AP|. 则|PQ|=ρcos 2θ,|OP|=ρcos 22θ. ∴ρ·2cos 1θ-=m,即ρ=θcos 12-m .∴点M 的轨迹方程为ρ=θcos 12-m.21.(12分)直线l 1过点P （4，3），且倾斜角为arctan32. (1)求直线l 1的参数方程；（2）若直线l 1和直线l 2:x+y-2=0交于点Q ，求|PQ|. 解：(1)l 1的倾斜角α满足tanα=32, ∴sinα=132,cosα=133. ∴l 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1323,1334(t 为参数). (2)将上式代入x+y-2=0,得 4+t 133+3+t 132-2=0,解得t=13-.∴|PQ|=|t|=13. 22.(14分)已知Rt △ABC 的直角顶点A 在直线ρcosθ=9上移动（C 为原点），又∠ACB=6π，求顶点B 的轨迹的极坐标方程. 解：如图（1），设B （ρ,θ）,A(ρ1,θ1). 则ρcos6π=ρ1,即ρ1＝23ρ.而θ1=θ-6π.又∵ρ1cosθ1=9,∴23ρcos(θ-6π)=9,即ρcos(θ-6π)=36.若点B 的位置如图（2）所示，同理,得点B 的轨迹方程为ρcos(θ+6π)=36. 综上所述，点B 的轨迹方程为ρcos(θ±6π)=36.。

高中数学苏教版选修2 3：阶段质量检测（四）模块综合检测高中数学苏教版选修2-3：阶段质量检测（四）模块综合检测命运让你在这里看到我阶段质量检测(四)模块综合检测[考试时间：120分钟试卷总分：160分]问题编号分数一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上)1．由数字0,1,4,5,7组成的没有重复数字的三位奇数的个数为________．2.在宇航员进行的空间试验中，应连续测试六个程序，其中程序a只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在执行过程中必须相邻。

实验顺序的排列方法的数量为__________________1?n3.做什么？膨胀项的常数∈ Uxx??4.如果正好有5A和2B（A≠ b）在序列A1，A2，。

，a7，那么不同的序列共享一个5．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为________．1.6.X-6的二项式展开式中的常数项。

（天津高考）是___x??7.掷两个大小一致的骰子，并记录“两个骰子的点数之和为10”作为事件a；“小骰子的点数大于大骰子的点数”作为事件B，则p（B | a）=__，p（a | B）＝____。

8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：∧一一51617二181920总分y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．9.A电路如图所示。

A、B、C、D、e和F为6个开关，闭合概率为1都是，且是互相独立的，则灯亮的概率是________．二10．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是________．11.俗话说，三个皮匠比诸葛亮强。

如果三个鞋匠能解决一个问题，概率分别是60%、50%和45%。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．sin 2010°＝________.2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________.3．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________. 4．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k ＝________.5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.6．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α＝________.7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为____________．8．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b ＝________.9．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.10．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 11．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是________．12．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)＝________.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.14．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．16．(14分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .17．(14分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．18．(16分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．19．(16分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)1．－12解析 sin 2010°＝sin (5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.2．－1213解析 ∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A)2＝1且cos A<0，解得cos A ＝－1213.3．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.4．3解析 ∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3. 5．16解析 AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.6．－25解析 ∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25. 7．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －34π解析 由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)．8. 3解析 由cos 30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos 15°·4sin 15°＝a ·b 4sin 30°∴a ·b ＝ 3. 9.23解析 由于AD →＝2DB →， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.10.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 11．7，－5解析 ∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112， 当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.12．－14解析 a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.13．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)．14.⎣⎡⎦⎤π12，5π12 解析建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB→的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12. 15．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.16．(1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin α·cos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .17．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.18．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 19．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.20．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1， |a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．3．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.4．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α＝________. 5．已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________.7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.8．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________. 9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)函数．11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为________．12．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________. 13．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.14．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．16．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．17．(14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．18．(16分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．19．(16分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)1．－4 3解析 ∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a －4＝3， ∴a ＝－4 3.2．6解析 a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.3.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2. 4．－12解析 ∵|a |＝cos 2α＋14＝22， ∴cos 2α＝14. ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 5．－8解析 若A 、B 、D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ.∴k ＝－8. 6．1解析 tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.7．4解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.8.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23. 又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156. 9．锐角解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0. ∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数， ∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B . ∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．10.π2偶 解析 f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x 2＝14－14cos 4x ， ∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，为偶函数． 11．3 2 解析 |P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2 ＝10－8cos θ≤18＝3 2.12.12 解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tan θ21＋tan 2θ2＝45. ∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0， ∴tan θ2＝12或tan θ2＝2. ∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]． ∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12. 13．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.14.12解析 由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)， 即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)． ∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12， 则ωmin ＝12(ω>0)．15．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4. (2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)， 当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 16．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )． 又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x . (2)由已知得cos(α＋π3)＝13. ∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)． ∴sin(α＋π3)＝223. ∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3) ＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429. 17．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1. 由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z ) 得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ). x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 218．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)． 当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)． 当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]． 若a >0，当2x ＋π6＝π2时， f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52； 若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5. 19．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直， 得5f (π4－A )＋1＝0， ∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45. ∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)， ∵sin(2A －π3)＝－45<0， ∴2A －π3∈(－π3，0)， ∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3] ＝35×12＋45×32＝43＋310. 20．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋ cos x )．令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2. ∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于0<x <π，故x ＝11π12. 所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3. ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35.。

阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：90分钟试卷总分：120分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．任何一个算法都必须有的基本结构是________．2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．3．在某路段路测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90 km/h的汽车约有________辆．4．A是半径为r的圆O上的一定点，A′是圆上任意一点，则弦AA′长度小于r的概率为________．5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．6．下面一段伪代码，输出的结果是________．i←1Doi←i＋2s←i2－1Until i≥8End DoPrint s7．在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测得到．那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________.8.某算法的流程图如图所示，则输出的S＝________.进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．10．(山东高考改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87794010x 9 1则7个剩余分数的方差为________．11．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．12.如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1，则此长方体的体积是________．413．(新课标Ⅰ高考改编)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．14．(山东高考改编)执行下面的流程图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f(x)有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)＞0的概率．16．(新课标Ⅰ高考)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药B药0.1.2.3.17．(山东高考)(本小题满分12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．18．(本小题满分14分)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：(1)为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)答案1．顺序结构2．解析：抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12.答案：12 3．解析：频率＝频率组距×组距＝(0.02＋0.01)×10＝0.3，频数＝频率×样本总体＝0.3×200＝60(辆)．答案：604．解析：如图，在图上取B 、C 两点使∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则AB ＝AC ＝r .当A ′在弧BA C 上时满足AA ′<r .而弧BA C (区域d )的长度为120πr 180＝2πr 3，圆(区域D )周长为2πr ，故所求概率为13. 答案：135．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2546．解析：执行循环体依次得i ＝3，s ＝32－1；i ＝5，s ＝52－1；i ＝7，s ＝72－1；i ＝9，s ＝92－1＝80，结束．答案：807．解析：爆破点所在区域为正方形区域，其面积为S正方形＝1 000×1 000＝106，可检测到的区域为四个半径相同的四分之一圆，其面积为S 圆＝π×2002＝4×104π，依据几何概型的计算公式可得随机投放一个爆破点被监测到的概率为P ＝S 圆S 正方形＝4×104π106＝π25. 答案：π258．解析：执行算法，依次得k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26，这时k >3，输出S ＝26.答案：269．解析：由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.答案：0.4510．解析：由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，x ＝4.s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.答案：36711．解析：可取点P (m ，n )有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共六种，其中满足在圆x 2＋y 2＝9内部的点有(2,1)，(2,2)．所以P ＝26＝13.答案：1312．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4hh ＋h ＋＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：313．解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是26＝13.答案：1314．解析：输入ε＝0.25后，程序执行如下：①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25，③⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25，此时输出的n 的值为3.答案：315．解：(1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.f (x )有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0.即a 2≥4b ；而事件“a 2≥4b ”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以f (x )有零点的概率P 1＝1225.(2)a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，由右图可知f (1)＞0的概率P 2＝12×3×34×4＝932.16．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x －，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得x ＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：A 药B 药60. 5 5 6 8 98 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 99 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 75 2 1 0 3. 2从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P 1＝310.18．解：(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率P ＝110.(2)由题意x ＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390. 故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110120－90＝290.(3)频率分布直方图，如右图所示．x ＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．。