2019年唐山市第十二中学高中部高考数学选择题专项训练(一模)

河北省唐山市2019-2020学年高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u v u u u u v，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v 等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-【答案】B 【解析】 【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r2||PA AP PA u u u r u u u r u u u r =⋅=-又∵AM ＝1∴2||3PA =u u u r∴()49PA PB PC ⋅+=-u u u r u u u r u u u r故选B ． 【点睛】判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r或222AP BP CP ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．2．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．3．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D 【解析】 【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用. 4．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．5．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．已知向量(,4)a m =-r ，(,1)b m =r （其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=r r ，所以a b ⊥r r；而当a b ⊥r r，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=r r ，解得2m =或2m =-.所以“2m =”是“a b ⊥r r”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.7．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.9．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．4C ．2D【答案】A 【解析】 【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q .又2245BF AF =Q ，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率13ce a==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．10．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i--===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.11．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020x x x x x xf x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ； 而2()020f ππ=-<，排除B ；2(2)05f ππ=>，排除D.故选：A . 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.12．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++Q 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省唐山市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ）A B ．4 C ．2 D 【答案】D【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i i z i i i i -=+=+=+++-Q ，2,z i z ∴=-∴= 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．2．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 3．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】【分析】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．4．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞），∴a ＞b ⇒log a b ＜1，log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件，故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．5．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<【答案】D【解析】【分析】由题设中所给的定义，方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a 的大致范围【详解】解：由题意方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，对于函数()g x lnx =，由于1()g x x'=， 1lnx x ∴=， 设1()h x lnx x=-，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， ()122202h ln ln =-=->， ()h x ∴在(1,2)上有零点，故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a <<故选：D ．【点睛】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【解析】【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=I ，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确；对于D ，设l αβ=I ，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.故选：C .【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.7．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B【解析】 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B8．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值．【详解】解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上， 2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．9．水平放置的ABC V ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''V ，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+【答案】B【解析】【分析】 根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.【详解】根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=.故选:B【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.10．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω= B ．82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B【解析】【分析】 根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证，A.若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得34πϕ=，但13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()222sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再求解8f π⎛⎫- ⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数， 所以2T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ， 若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ，解得34πϕ=，而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+84ππωϕπ⨯+=k 时，2=23k πω+，不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时，22=33k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 838338312ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f B 正确.因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增，故C 错误. 525232sin 2sin 3043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.11．函数()2cos2cos221x x f x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项.【详解】∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---， ∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >， 故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.12．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（ ）A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】【分析】 由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根， 即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①. 因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x ax a x x -=-. 所以方程ln 4220ln x ax a x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =.因为()21ln x t x x-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →. 所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e <<. 故选：B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集2{|1}U x x =>，集合2{|430}A x x x =-+<，则U C A =（ ） A ．(1,3) B ．(,1)[3,)-∞+∞ C ．(,1)[3,)-∞-+∞ D ．(,1)(3,)-∞-+∞【答案】C考点：一元二次不等式的解法、集合的补集运算. 2.22()1i i=-（ ） A ．2i - B ．4i - C ．2i D ．4i 【答案】A 【解析】试题分析：∵222442()2122i i i i i i i-====----，∴选A. 考点：复数的乘法、除法运算.3.已知抛物线的焦点(,0)(0)F a a <，则抛物线的标准方程是（ ） A ．22y ax = B ．24y ax = C ．22y ax =- D ．24y ax =- 【答案】B 【解析】试题分析：以(,0)F a 为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =. 考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程. 4.命题P ：32,x N x x ∃∈<；命题q ：(0,1)(1,)a ∀∈+∞，函数()log (1)a f x x =-的图象过点(2,0)，则（ ）A ．P 假q 假B ．P 真q 假C ．P 假q 真D ．P 真q 真 【答案】C考点：命题的真假、全称命题和特称命题、对数函数图象、不等式的解法. 5.执行下边的程序框图，则输出的A 是（ ） A ．2912 B ．2970 C ．7029 D ．16970【答案】C考点：程序框图.6.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A C【答案】B考点：余弦定理.7.已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 【答案】D考点：三角函数求值、平方关系. 8.2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） A ．-8 B ．-12 C ．-20 D ．20 【答案】C 【解析】 试题分析：∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.考点：二项式定理.9.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为（ ）A ．[1B ．[1,2]C ．D ．【答案】A当[,]2x ππ∈时，()sin 2cos )f x x x x β=-=+，cos β=，sin β=，∴max ()()2f x f πβ=-=min ()()12f x f π==，∴()f x 的值域为[1.考点：三角函数、绝对值函数的值域.10.F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂直，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ）A ．2 D 【答案】B考点：双曲线的标准方程及其性质、向量的运算.11.直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为（ ）A．3 B．2 C．4 D．32【答案】D考点：导数的运算、利用导数求函数的最值.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12 B．12．4 D．122+【答案】A【解析】试题分析：根据几何的三视图，画出该几何体的直观图，如下图考点：三视图、几何体的表面积.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = .【解析】考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模14.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-. 由以上信息，得到下表中C 的值为 .【答案】6 【解析】试题分析：∵3456755x ++++==， 2.534 4.51455c cy +++++==，∴代入到回归直线方程中得：140.8550.255c+=⨯-，∴6c =. 考点：线性回归方程.15.在半径为5的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若AB AC AD ===BCD 被球所截面图形的面积为 . 【答案】16π考点：球的截面问题.16.已知,x y R ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 . 【答案】[4,12]考点：均值不等式、配方法.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(1)1n n q S qa -+=，且(1)0q q -≠. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列. 【答案】（1）a n ＝qn －1；（2）证明详见解析.考点：等比数列的通项公式及前n 项和公式、等差中项. 18.（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个. （Ⅰ）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（Ⅱ）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）49；（2）分布列详见解析，203EX =.数学期望.试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，12124()339P A C =⨯⨯=． (4)分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．2228(0)()3327P X ==⨯=，考点：二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）5-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则cos ,5||||5m n m n m n ∙<>===⨯，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为．…12分考点：线线垂直、线面垂直、二面角.20.（本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（20y -=0y +.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分y-=0y+=．…12分考点：椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.21.（本小题满分12分）已知函数2(1)()2xx f x e +=-，()2ln(1)x g x x e -=++.（Ⅰ）(1,)x ∈-+∞时，证明：()0f x >； （Ⅱ）0a >，若()1g x ax ≤+，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明详见解析；（2）1a =.01a <<进行讨论，证明()h x 的最大值小于等于0即可.试题解析：（Ⅰ）令p (x )＝f(x )＝e x－x －1，p(x )＝e x－1，（2）当a ＞1时，h(0)＜0， x ∈(－1，0)时，h(x )＝21x +－e －x－a ＜21x +－1－a ＝0，解得x ＝11a a -+∈(－1，0)． 即x ∈(11aa -+，0)时h (x )＜0，h (x )单调递减，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…9分（3）当0＜a＜1时，h(0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h(x)＝21x+－e－x－a＞21x+－1－a＝0，解得x＝11aa-+∈(0，＋∞)．即x∈(0，11aa-+)时h(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…11分综上，a的取值为1．…12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）如图，圆周角BAC∠的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.（Ⅰ）求证：//BC DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且弧长AC等于弧长BC，求BAC∠.【答案】（1）证明详见解析；（2）27π.所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则7x π=，所以∠BAC ＝2x ＝27π． …10分考点：几何证明、四点共圆、角的转化.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：22143x y +=，直线3:x l y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(1,0)A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.【答案】（1）2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，x＋9＝0；（2）8(5P -.试题解析：（Ⅰ）C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），l ：x＋9＝0．…4分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||1|f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()3f x <； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）a ＝－4或0.试题解析：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝3,112,1213,2x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，考点：不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.。

2019届河北省唐山市高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解一元二次不等式得集合，根据对数函数的定义域可得集合，然后进行交集的运算即可.【详解】由题意得，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了集合的运算及性质，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2．设复数满足（其中为虚数单位），则下列结论正确的是（）A．B．的虚部为C．D．的共轭复数为【答案】D【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由，得，∴，的虚部为1，，的共轭复数为，故选D．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．若函数，则（）A．9 B．1 C．D．0【答案】B【解析】根据的解析式即可求出，进而求出的值．【详解】∵，∴，故，故选B.【点睛】本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.4．《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7 近似表示，当内方的边长为5 时，外方的边长为，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合题意可计算出，，根据几何概型概率公式计算即可．【详解】由题意可得，，则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为，故选A．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．5．在等比数列中，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将和分别用和来表示，根据等比数列的通项公式即可求出结果.【详解】若，∴，∴，，即，，∴，故选A．【点睛】本题考查了等比数列通项公式，考查了运算能力，解出公比是解题的关键，属于基础题．6．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可．【详解】根据式子的特征每个分式的分母比分子多2，即，故选C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键，属于基础题. 7．椭圆：的左.右焦点为，，过垂直于轴的直线交于，两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形得到关于，的齐次式求解椭圆的离心率即可．【详解】椭圆的左、右焦点为，，过垂直于轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，可得，所以：，即，∵，解得，故选D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，常见的求椭圆离心率的方式有：1、直接求出，求解；2、变用公式；3、构造的齐次式，解出等，属于中档题.8．二项式的展开式中的常数项为（）A．-540 B．135 C．270 D．540【答案】B【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故选B．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．9．如图，直线经过函数（，）图象的最高点和最低点，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，代入直线得横坐标，即可得，从而得到的值，把点代入得到的值．【详解】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，代入直线得其横坐标分别为和，故，，得，故，故，代入得，故，所以因为，所以，故选A．【点睛】本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.10．已知双曲线：，，分别为的左.右焦点，过的直线交的左. 右支分别于，，且，则（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】求得双曲线的，设，运用双曲线的定义可得，即可得到所求值．【详解】由双曲线，可得，设，由双曲线的定义可得，，可得，故选C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．11．设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题意等价于，有且仅有一个解，即直线与，的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得在为增函数，在为减函数，结合，以及的值可得实数的值.【详解】函数，有且仅有一个零点等价于，有且仅有一个解，设，即直线与，的图象只有一个交点，则，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，又，，，则可得实数的值为，故选B．【点睛】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，函数零点的个数和两函数，两函数图象交点个数相同，主要通过导数研究图象的大致形状，属中档题12．一个封闭的棱长为2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1 B．C．D．【答案】C【解析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半，而物体新位置高度的最大值为体对角线，进而可得解.【详解】正方体的对角线长为，故当正方体旋转的新位置的最大高度为，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为，故选C．【点睛】本题考查了几何体的体积计算，理解液面高度为物体新位置高度的一半是解题的关键，属于基础题．二、填空题13．已知向量，，若，则_______．【答案】【解析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值．【详解】由题意得，∵)，∴，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题.14．若满足约束条件，则的最大值为_______．【答案】7【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】画出，满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得，由得，平移直线，显然直线过时，最大，最大值是7，故答案为7．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．在四面体中，，，且，该四面体外接球的表面积为_______．【答案】【解析】易得，为直角，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得外接球半径．【详解】如图，∵，，∴，又，∴中点即为外接球球心，半径为，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球问题，准确找到球心的位置是解题的关键，属于中档题．16．已知为坐标原点，圆：，圆：．分别为圆和圆上的动点，则的最大值为_______．【答案】【解析】如图所示，以为直径作圆，延长交新圆于点，交新圆于点，首先证得，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.【详解】如图所示，以为直径作圆，延长交新圆于点，交新圆于点，连接，，则与垂直，又，所以为中点，由对称性可知，∵，所以，因此当最大值时，最大，故题意转化为在半径为1的圆内求其内接圆的面积最大值，圆内接三角形的面积，由正弦定理得，，∴由于，时为上凸函数，由琴声不等式得即即，当且仅当时等号成立，进而可得的最大值为，故答案为【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题.三、解答题17．已知数列的前项和为，且．（1）求，；（2）若，的前项和为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）令可得的值，进而得，当时，根据即可得结果；（2）结合（1）可得，分为为奇数和偶数两种情形，利用裂项相消可得.【详解】（1）令，得，，得，所以，即．当时，，当时，适合上式，所以．（2）当为偶数时，，当为奇数时，，综上所述，【点睛】本题主要考查了由递推公式求数列的通项公式，以及这一常用等式和数列的求和，常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18．如图，中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）因为分别为，边的中点，所以，因为，所以，，又因为，所以平面，所以平面．（2）取的中点，连接，由（1）知平面，平面，所以平面平面，因为，所以，又因为平面，平面平面，所以平面， 过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，．，， 设平面的法向量为， 则即则， 易知为平面的一个法向量，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.19．抛物线：，斜率为的直线经过点，与 有公共点，，当时，与重合．（1）求的方程； （2）若为的中点，求． 【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，可得直线的方程，联立方程组，根据判别式即可求出的值，可得抛物线的方程；（2）直线，，设，，联立直线与抛物线的方程可得，根据韦达定理和弦长公式即可求出．【详解】（1）当时，直线：即.此时，直线与抛物线相切，由得，由即，得，所以的方程为.（2）直线：，.设，，由得：，则…①又为的中点，得：，…②由①②得：，所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理和弦长公式，转化思想以及计算能力是，属于中档题．20．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值．附：【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）分层抽样，简单随机抽样均可；（2）利用联列表求出，然后判断即可；（3）推出可取0，1，2，3，4．求解概率，然后求解分布列，得到期望即可．【详解】（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）.(2）将列联表中的数据代入公式计算得，所以，有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．（3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．可取0，1，2，3，4．，，，，．的分布列为：.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望以及分布列，独立检验思想的应用，考查计算能力，属于中档题.21．已知函数，．（1）若，求的取值范围；（2）若的图像与相切，求的值．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由题意可得，设，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设的图象与相切于点，求得的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值．【详解】（1）由得. ，从而，即．设. ，则，（）所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以当时，取得最大值，故的取值范围是．（2）设的图像与相切于点，依题意可得因为，所以消去可得．令，则，显然在上单调递减，且，所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以当且仅当时．故．【点睛】本题主要考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在改点处切线的斜率，导数与函数单调性、极值和最值的关系，由，得函数单调递增，得函数单调递减，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）若与相交于两点，且，求．【答案】（1）见解析；（2）或【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果；（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．【详解】（1）当时，当时，．由得，因为，，所以的直角坐标方程．（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，则，，因为，所以或，因为，所以，故或．【点睛】本题主要参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，属于中档题．23．已知是正实数，且，证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用基本不等式先得，再结合即可得证；（2）利用综合法先证，将展开，利用基本不等式即可得结果. 【详解】（1）∵是正实数，∴，∴，∴，∴，当且仅当时，取“”．（2）∵，∴，∴，∴，当且仅当时，取“”．【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查．。

河北省唐山市2019年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．22．复数的虚部为（）A．B．C．﹣D．﹣3．在等差数列{a n}中，a4=2，且a1+a2+…+a10=65，则公差d的值是（）A．4 B．3 C．1 D．24．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣B．y=﹣x2C．y=e﹣x+e x D．y=|x+1|5．执行如图的程序框图，输出S的值为（）A．ln4﹣ln3 B．ln5 C．ln5﹣ln4 D．ln46．cosasin（a+）+sinasin（a﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B． +C．2 D． +18．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cosπx≥的概率为（）A．B．C．D．9．若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．310．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A．8πB．C．9πD．11．F为双曲线Г：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=x3﹣3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A．0 B．2 C．﹣4 D．﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．S n为等比数列{a n}的前n项和，满足S n=2a n﹣1，则{a n}的公比q=．14．已知向量，满足（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角等于．15．直线l：与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的内切圆的方程为．16．一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=150°，∠BAC=60°，AC=2，AB=+1．（I）求BC；（Ⅱ）求△ACD的面积．18．为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试，测试成绩（单位：次/分钟）如表：（Ⅰ）补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数；（Ⅱ）试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=，M为BB1的中点，O l 为上底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：O1M⊥平面ACM1；（Ⅱ）求C l到平面ACM的距离．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM 的重心，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=a（tan x+l）﹣e x．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的切线经过点（2，3），求a的值；（Ⅱ）x∈（0，）时，f（x）≥0，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD 且交ED于点F（I）证明：△BCE∽△FDB；（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求ADED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C （圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（，）．（Ⅰ）求半圆C的参数方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2019年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．【点评】本题考查了集合之间的运算性质、元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．复数的虚部为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：由=，则复数的虚部为：．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a4=2，且a1+a2+…+a10=65，则公差d的值是（）A．4 B．3 C．1 D．2【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4=2，且a1+a2+…+a10=65，∴，解得a1=﹣7，d=3．∴公差d的值是3．故选：B．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣B．y=﹣x2C．y=e﹣x+e x D．y=|x+1|【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：y=﹣是奇函数，不满足条件．y=﹣x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件．y=e﹣x+e x是偶函数，函数的导数y′=﹣e﹣x+e x=，当x＞0时，y′=＞0，函数在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．y=|x+1|为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．执行如图的程序框图，输出S的值为（）A．ln4﹣ln3 B．ln5 C．ln5﹣ln4 D．ln4【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得i=1，S=0满足条件i＜4，S=ln2，i=2满足条件i＜4，S=ln2+ln3﹣ln2=ln3，i=3满足条件i＜4，S=ln3+ln4﹣ln3=ln4，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为ln4．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．6．cosasin（a+）+sinasin（a﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用两角和的正弦公式，计算求得结果．【解答】解：∵cosasin（a+）+sinasin（a﹣）=cosasin（a+）﹣sinacos[（a﹣）+]=sin（a+）cosa﹣cos（a+）sina=sin[（a+）﹣a]=sin=，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．7．A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B． +C．2 D． +1【分析】把A代入抛物线方程解出p，得到抛物线的准线方程，则A到焦点的距离等于A 到准线的距离．【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义，抛物线的性质，属于基础题．8．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cosπx≥的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出不等式的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤1，∴﹣π≤πx≤π，由cosπx≥得，∴﹣≤πx≤，即﹣≤x≤，则对应的概率P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据不等式的关系求出等价条件是解决本题的关键．9．若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【分析】由题意作平面区域，而的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时==2，故选：C．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用，注意的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率．10．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A．8πB．C．9πD．【分析】几何体为两个尖头圆柱的组合体．它们可以组合成高为8的圆柱．【解答】解：由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为8的圆柱，圆柱的底面半径为1，所以几何体的体积为π×12×8=8π．故选A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，属于基础题．11．F为双曲线Г：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（）A．B．C．D．2【分析】先确定等边三角形的边长和点P横坐标，求出点P到右准线的距离d，利用双曲线定义解出离心率e．【解答】解：不妨设F为右焦点，△OPF（O为坐标原点）为等边三角形，故点P横坐标为，∴点P到右准线的距离d=﹣=，△OPF边长为c，∴e==∵e＞1，∴e=+1，故选：C【点评】本题主要考查双曲线的定义、简单性质和标准方程的应用，等边三角形的性质，属于基础题．12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A．0 B．2 C．﹣4 D．﹣2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：f′（x）=3x2﹣6x+1，令f′（x）=0，即3x2﹣6x+1=0，解得：x1=，x2=，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴x1=是极大值点，x2=是极小值点，∴m+n=f（x1）+f（x2）=（﹣2+）（﹣2﹣）=﹣2，故选：D．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．S n为等比数列{a n}的前n项和，满足S n=2a n﹣1，则{a n}的公比q=2．【分析】由S n=2a n﹣1，a1=2a1﹣1，a1+a2=2a2﹣1，解得a1，a2，即可得出．【解答】解：由S n=2a n﹣1，a1=2a1﹣1，a1+a2=2a2﹣1，解得a1=1，a2=2．∴等比数列{a n}的公比q=2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知向量，满足（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角等于．【分析】求出，代入向量夹角公式计算．【解答】解：∵（﹣）==2，∴=﹣1．∴cos＜＞==﹣．∴＜＞=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．15．直线l：与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的内切圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．【分析】由题意画出图形，设△OAB的内切圆的圆心为M（m，m），利用圆心到直线l的距离等于圆的半径列式求得m值得答案．【解答】解：由直线方程与x轴、y轴分别相交于点A、B，如图，设△OAB的内切圆的圆心为M（m，m），化直线方程为3x+4y﹣12=0，由题意可得：，解得：m=1．∴△OAB的内切圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．【点评】本题考查圆的标准方程，考查了点到直线距离公式的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．16．一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为8π．【分析】根据该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，确定球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，所以球O的半径为，所以球O的表面积为=8π．故答案为：8π．【点评】本题考查球的内接几何体，考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=150°，∠BAC=60°，AC=2，AB=+1．（I）求BC；（Ⅱ）求△ACD的面积．【分析】（I）在△ABC中，使用余弦定理即可解出BC；（II）在△ABC中，使用正弦定理解出sin∠ABC，结合角的范围可求∠ACD=75°，AD=AC=2，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=6，所以BC=．…（4分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得=，则sin∠ABC=，又0°＜∠ABC＜120°，所以∠ABC=45°，从而有∠ACB=75°，由∠BCD=150°，得∠ACD=75°，又∠DAC=30°，所以△ACD为等腰三角形，即AD=AC=2，故S△ACD=×2×2×=1．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．18．为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试，测试成绩（单位：次/分钟）如表：（Ⅰ）补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数；（Ⅱ）试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析．【分析】（Ⅰ）根据题意补全茎叶图，求出乙队测试成绩的中位数与众数；（Ⅱ）求出甲、乙二人的平均数与方差，进行比较即可．【解答】解：（Ⅰ）画出茎叶图如下：…（4分）乙队测试成绩的中位数为72，众数为75．…（6分）（Ⅱ）==72，==39；==72，==44，…（10分）因为=，＜，所以甲乙两队水平相当，但甲队发挥较稳定．…（12分）【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的应用问题，是基础题目．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=，M为BB1的中点，O l 为上底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：O1M⊥平面ACM1；（Ⅱ）求C l到平面ACM的距离．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥O1M，根据勾股定理，证明O1M⊥AM，即可证明：O1M⊥平面ACM1；（Ⅱ）证明C1到平面ACM的距离等于O1到平面ACM的距离，即可求C l到平面ACM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：连接AO1，BD∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∴AC⊥BD，又∵BD∩BB1=B，∴AC⊥平面DBB1D1，又∵O1M⊂平面DBB1D1，∴AC⊥O1M．∵直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD=，M为BB1的中点，∴BD=2，AC=2，B1M=BM=1，∴O1M2=O1B12+B1M2=2，AM2=AB2+BM2=5，O1A2=O1A12+A1A2=7，∴O1M2+AM2=O1A2，∴O1M⊥AM．又∵AC∩AM=A，∴O1M⊥平面ACM．…（6分）（Ⅱ）解：∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACM，即C1到平面ACM的距离等于O1到平面ACM的距离，由（Ⅰ）得O1M⊥平面ACM，且O1M=，即点C1到平面ACM的距离为．…（12分）【点评】本题考查了线面垂直的判定，点C1到平面ACM的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM 的重心，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，|PF|=，运用勾股定理可得|PF1|，再由椭圆的定义可得2a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），|PF|=，所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，即a2=6，b2=a2﹣c2=2，故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．将l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，可得x1+x2=，所以AB的中点N （，），由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M （，）．由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，解得k2=或﹣（舍），即k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣2）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和a，b，c的关系及点满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=a（tan x+l）﹣e x．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的切线经过点（2，3），求a的值；（Ⅱ）x∈（0，）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式解方程可得a；（Ⅱ）由x∈（0，）时，f（x）≥0，得a≥，令g（x）=，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=a（tanx+l）﹣e x的导数为f′（x）=﹣e x，可得f′（0）=a﹣1，又f（0）=a﹣1，所以a﹣1=，解得a=2．（Ⅱ）由x∈（0，）时，f（x）≥0，得a≥，令g（x）=，则g′（x）==，当x∈（0，），g′（x）＞0；x∈（，），g′（x）＜0，所以g （x）的最大值为g（）=，故所求a的取值范围是a≥．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，转化为求函数的最值问题，属于中档题．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD 且交ED于点F（I）证明：△BCE∽△FDB；（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求ADED．【分析】（Ⅰ）根据BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，这样即可得出：△BCE与△FDB相似；（Ⅱ）根据条件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，这样即可得出△FDB为等腰直角三角形，从而可求出BD=，根据射影定理即可求出ADED的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BF∥CD；∴∠EDC=∠BFD，又∠EBC=∠EDC，∴∠EBC=∠BFD，又∠BCE=∠BDF，∴△BCE∽△FDB．（Ⅱ）因为∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD，由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD，又因为BE为圆O的直径，所以△FDB为等腰直角三角形，BD=BF=，因为AB与圆O相切于B，所以EB⊥AB，即ADED=BD2=2．【点评】考查内错角相等，同条弦所对的圆周角相等，以及三角形相似的判定定理，直径所对的圆周角为直角，以及射影定理．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C （圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（，）．（Ⅰ）求半圆C的参数方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入半圆的极坐标方程，再由同角的平方关系，可得参数方程；（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，可得直线l的方程为y=xtanα﹣2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得D到AB的距离，再由三角形的面积公式，由三角函数的恒等变换，即可得到所求点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1（y＞1），它的参数方程是，φ为参数且φ∈（0，π）；（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，则直线l的方程为y=xtanα﹣2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．|AB|==，点D到直线l的距离为d===|﹣3cosα﹣sinα|=3cosα+sinα，由△ABD的面积为4，得4=d|AB|==1+3cotα，可得tanα=1，得α=，故点D为（0，2）．【点评】本题考查极坐标方程和参数方程的互化，考查圆的参数方程的运用，直线方程的运用，点到直线的距离公式，同时考查三角函数的恒等变换的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a=2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=，由f（x）的单调性及f（﹣）=f（2）=5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数，是一道中档题．。

唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{y|y＝2x}，M＝A∩B，则集合M的子集个数是A．2 B．3 C．4 D．82．设i是虚数单位，复数z＝2＋i3－i，则z-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛5．已知向量a，b满足|a＋b|＝|b|，且|a|＝2，则b在a方向上的投影是A．2 B．－2C．1 D．－16．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若m，n为正数，且m≠n，则A．a1＜b1B．a1＞b1C．a1＝b1D．a1，b1的大小关系不确定7．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，随机变量Y服从正态分布N(1，1)，且P(X＞1)＝0.1587，则P(1＜Y＜2)＝A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.65878．函数f(x)＝tan x－x2在(－π2，π2)上的图象大致为9．设函数f(x)＝sin(2x＋2π3)，则下列结论中正确的是A．y＝f(x)的图象关于点(π3，0)对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝π3对称C．f(x)在[0，π3]上单调递减D．f(x)在[－π6，0]上的最小值为010．已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，P A⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为A．36B．56C．33D．5311．已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x 轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C的离心率是A．233B． 3C．62D．212．已知a＞2，f(x)＝e x(x－a)＋x＋a，有如下结论：①f(x)有两个极值点；②f(x)有3个零点；③f(x)的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是A ．0 B．1C．2D．3O xyA．O xyC．O xyD．B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x －3y ＋1≤0，则z ＝2x －y 的最小值为________．14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有________种． 15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋tn (n ∈N *，t 为非零常数)，且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝___________． 16．已知F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C上．设∠KPF ＝α，∠PKF ＝β，∠PFK ＝θ，有以下3个结论：①β的最大值是 π4； ②tan β＝sin θ； ③存在点P ，满足α＝2β．其中正确结论的序号是___________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，△ABC 的面积为23．（1）若A ＝ π3，求△ABC 的周长；（2）求sin B ·sin C 的最大值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面为等边三角形，D ，E 分别为AC ，A 1C 1的中点，点F 在棱CC 1上，且EF ⊥BF ． （1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若AB ＝4，C 1F ＝2FC ，求二面角D -BE -F 的余弦值．19．（12分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为p （0＜p ＜1）． （1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若p ＝12，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望E (X )；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围．20．（12分）已知P 是x 轴上的动点（异于原点．．．．O ），点Q 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，且|PQ |＝2，设线段PQ 的中点为M ，当点P 移动时，记点M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限． （ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ，交曲线E 于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为N ，直线ON 与曲线E 交于两点C ，D ，证明：|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |．21．（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1，f '(x )为f (x )的导函数，f (x 1)＝f (x 2)且x 1＜x 2．证明：（1）f '(x )＜0； （2）x 2－x 1＞1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )＝|x ＋a |－2|x －1|－1．（1）当a ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；（2）是否存在实数a ，使得f (x )的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．C 1B 1A 1FEDCBA唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：CDCBD ABACB AD 二．填空题：13．－2 14．1015．n 2－n ＋2216．①②③三．解答题： 17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8．由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ， 又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210， 故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 12bc sin A ＝23，a ＝4， 所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34．当sin A ＝1时，A ＝ π2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43，即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ， 因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ． 又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ． 又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ． 又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ．…5分（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ．设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)，由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)， cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝23，所以二面角D －BE －F 的余弦值为23． …12分19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分（2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝14，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝14，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝12． X 的分布列如下：则E (X )＝0×14＋1×14＋2×12＝54． …9分（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得12＜p ＜1．所以p 的取值范围是(12，1)…12分20．解： （1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)， 由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点， 得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )，把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)．…4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限， 得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)，所以直线OM 的斜率为 13． …7分z yxC 1 B 1A 1 F EDC B A（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 13x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝ 13x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92． 所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 13x ， …9分由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 13x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 52(2－t 2)．又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 52(2－t 2)， 所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分 21．证明：（1）f '(x )＝－ 1x－ln x (x －1)2，令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1x ＝1－xx2．所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0； 所以g (x )≤g (1)＝－1＜0． 在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分 （2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1)＝ 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分由（1）得g (x )＝－ 1x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立，从而ln 1 x ≤ 1x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立，又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x，所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0，所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1， 故x 2－x 1＞1． …12分 22．解：（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）． …4分（2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)． 所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2 ＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1 ＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22． …10分23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0． 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 23＜x ＜2}． …4分（2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设． 综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设． …10分。

河北省唐山市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C ．33D ．13【答案】C 【解析】 【分析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.2．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D.本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.3．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±= B．20x ±=C20y ±=D0y ±=【答案】B 【解析】 【分析】0-=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为(),0c -0-=，由左焦点到渐近线的距离为2，可得2==，所以渐近线方程为y =20x =, 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.4．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3 解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，答案选A本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 5．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将GiniaS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 6．设直线的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线被圆所截得的弦长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11 C ．7-D ．9-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离d ，结合弦长公式得=9m =-或11m =，故选A ． 7．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.8．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆A ．63B ．34C ．12D 3【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得322x a b y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，3,2b CF c a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以22222223333102244442b a c BF CF c a c a c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+-+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .所以2232c a =，所以63c e a ==， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 9．已知函数()sin(2019)cos(2019)f x x x ππ=++-的最大值为，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019πC ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 11．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．12．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得.依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北唐山2019高三一考试试—数学理唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试理科数学说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷.第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分。

二、答题前请仔细阅读答题卡上旳“注意事项”，按照“注意事项”旳规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目旳标号涂黑。

如 需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案.四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出旳四个选项中， 有且只有一项符合题目要求。

（1)设集合A= ｛1，2｝，则满足A B=｛1,2, 3, 4｝旳集合B 旳个数是 （A ） 2 (B) 3 （C ） 4 （D ） 5（2）若复数)(12R a iia ∈+-为纯虚数，则｜3—ai ｜ = （A ） 13 (B) 13(C) 10（D ） 10（3) 已知22)6cos(),,0(=+∈ππa a ,则 tan2α= （A ）33 （B ）- 33 (C) 13 (D ）— 13。

（4)求三个不相等旳实数a ， b ， c 最大值旳程序框图如图所示,则空白判断框内应为 （A ） a 〉b? （B ） a 〉c ？ (C) d 〉b 或 a>c ？ （D) a 〉b 且 a 〉c?（5）已知向量a ， b 满足:（a+2b ）•(a －b ）=—6，且 ｜a ｜=1,|b|=2，则 a 与b 旳夹角为（A)6π （B) 3π (C ） 32π (D ）65π（6)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 旳图象如图所示,为了得到函数)6cos(ωω+=x y 旳图 象，只需将y=f(x )旳图象（A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3π个单位（C)向左平移6π个单位（D)向心平移6π。

个单位（7） 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科旳专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同旳安 排方法共有（A) 36 种（B) 30 种（C ） 24 种(D) 6 种（8）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-++-0202201a y ax y x y x 表示旳平面区域旳面积为. 215,则a=(A)74 (B ） 1 (C) 2 （D ） 3（9） 如图I,边长为2旳d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 旳中点，将ΔADE,ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C ，B 二点重合于G ，所 得二棱锥G-DEF 旳俯视图如图2，则其正视 图旳面积为(A ）21 (B ） 32 （C) 322 （D) 22(10） （10）己知直线l 旳斜率为k ，它勾抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线旳焦点, 若FB AF 2=，则|k ｜=(A) 22 （B ） 3 (C ）42（D) (11)x 0函数f (x ）=2s i n x —πl n x （x ∈ （O , π))旳零点，x 1〈x 2，则①x 0∈（1,e ） ②x 0∈（1,π)： ③f(x1）—f(x2）<0④f(x1）—f （x2)〉0.其中正确旳命题为（A) ①③ (B) ①④（C ） ②③）(D ）②④(12）三棱柱ABC —A 1B 1C 1,旳底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四 面体A 1ABC ， B 1ABC ， C 1ABC 旳公共部分旳体积等于（A ） 318 (B ） 312 (C ) 39 （D ） 36第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填写在题中横线上。