【高中教育】最新高中物理第5章万有引力与航天53万有引力定律与天文学的新发现教学案沪科版必修2

5.3 万有引力定律与天文学的新发现[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的应用，知道海王星、冥王星等天体的发现过程.2.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路.一、笔尖下发现的行星——海王星的发现根据天王星的“出轨”现象，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈利用万有引力定律预言在天王星的附近还有一颗新行星，并计算出了轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星——海王星. 二、哈雷彗星的预报1.英国天文学家哈雷断言，1682年天空中出现的彗星与1531年、1607年出现的彗星是同一颗星.并根据万有引力定律计算出这颗彗星的椭圆轨道，发现它的周期约为76年，这颗彗星后来被称为哈雷彗星.2.1759年3月13日，这颗大彗星不负众望，光耀夺目地通过近日点，进一步验证了万有引力定律是正确的.三、称量天体的质量——太阳质量的估算 1.称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg ＝G Mm R.(3)结果：M ＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量.2.太阳质量的计算(1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.(2)关系式：GMm r 2＝m 4π2Tr .(3)结论：M ＝4π2r3GT2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量.(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M . [即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(×)(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.(×) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(×) (4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(×) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.(×)(6)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(√) 2.已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，重力加速度g ＝9.8 m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则可知地球的质量约为( ) A.2×1018kg B.2×1020kg C.6×1022 kg D.6×1024kg答案 D一、天体质量和密度的计算 [导学探究]1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他测量的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g ，地球半径R ，求地球的质量和密度.答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力.(2)由mg ＝G Mm R 2，得：M ＝gR 2Gρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.2.如果知道地球绕太阳的公转周期T 和它与太阳的距离r ，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由Gm 地M 太r 2＝4π2T 2m 地r 知M 太＝4π2r 3GT 2.由密度公式ρ＝M 太43πR 3太可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.[知识深化] 天体质量和密度的计算方法例1 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T 1，已知万有引力常量为G . (1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？答案 (1)3πGT 21 (2)3π(R ＋h )3GT 22R3解析 设卫星的质量为m ，天体的质量为M .(1)卫星贴近天体表面运动时有G Mm R 2＝m 4π2T 21R ，M ＝4π2R3GT 21根据数学知识可知天体的体积为V ＝43πR 3故该天体的密度为ρ＝M V ＝4π2R 3GT 21·43πR3＝3πGT 21.(2)卫星距天体表面的高度为h 时，忽略自转有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T22(R ＋h ) M ＝4π2(R ＋h )3GT 22ρ＝M V ＝4π2(R ＋h )3GT 22·43πR3＝3π(R ＋h )3GT 22R 3注意区分R 、r 、h 的意义：一般情况下，R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，h 指卫星距离星球表面的高度，r ＝R ＋h .针对训练 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )A.110 B.1 C.5 D.10 答案 B解析 由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ∝r 3T2已知r 51r 地＝120，T 51T 地＝4365，则M 51M 地＝(120)3×(3654)2≈1，B 项正确. 例2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：(1)星球半径与地球半径之比； (2)星球质量与地球质量之比. 答案 (1)4∶1 (2)64∶1解析 (1)由GMm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，所以ρ＝MV ＝gR 2G43πR 3＝3g 4πGR ，R ＝3g 4πG ρ，R R 地＝3g 4πG ρ·4πG ρ地3g 地＝g g 地＝41. (2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍.根据M ＝gR 2G 得M M 地＝gR 2G ·G g 地R 2地＝641. 二、物体所受地球的引力与重力的关系 1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图1，万有引力为F 引，重力为G ，自转向心力为F ′.当然，真实情况不会有这么大偏差.图1(1)物体在一般位置时F ′＝mr ω2，F ′、F 引、G 不在一条直线上，重力G 与万有引力F 引方向有偏差，重力大小mg <G MmR2.(2)当物体在赤道上时，F ′达到最大值F max ′，F max ′＝mR ω2，此时重力最小；G min ＝F 引－F max ′＝G Mmr2－mR ω2.(3)当物体在两极时F ′＝0G ＝F 引，重力达最大值G max ＝G Mmr2.可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力.(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力，mg ≈G MmR2，g 为地球表面的重力加速度.2.重力与高度的关系：若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G Mm(R ＋h )2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度).所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小. 例3 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面.宇航员从距该星球表面高度为h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G .求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的平均密度. 答案 (1)2hv 2L 2 (2)3hv22πGRL2解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L ＝vt ，h ＝12gt 2，解得g ＝2hv2L .(2)在星球表面满足G MmR2＝mg 又M ＝ρ·43πR 3，解得ρ＝3hv 22πGRL 2.1.(天体质量的计算)已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离r 和月球绕地球运行的周期T ，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得地球质量M ＝4π2r3GT 2，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B 正确.2.(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( ) A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径 C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度 答案 A解析 取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3πGT2，故选A.3.(地球表面的万有引力与重力的关系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )A.物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处B.赤道处的角速度比南纬30°大C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力 答案 A解析 由F ＝G Mm R2可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力.在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对.地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错.地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错.地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错.4.(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处.(取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g 星的大小； (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星R 地＝14，求该星球的质量与地球质量之比M 星M 地. 答案 (1)2 m/s 2(2)180解析 (1)在地球表面以一定的初速度v 0竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处， 根据运动学公式可有t ＝2v 0g.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t 小球落回原处， 则5t ＝2v 0g 星根据以上两式，解得g 星＝15g ＝2 m/s 2(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg ＝GMm R 2，所以M ＝gR 2G由此可得，M 星M 地＝g 星g ·R 2星R 2地＝15×142＝180.课时作业一、选择题(1～7题为单选题，8题为多选题)1.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( ) A.天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的B.在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差C.海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维烈合作研究后共同发现的 答案 B解析 天王星是通过观察发现的，选项A 错误，B 正确；海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维烈合作研究后共同发现的，选项C 、D 错误.2.地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，若高空中某处的重力加速度为g2，则该处距地球表面的高度为( )A.(2－1)RB.RC.2RD.2R 答案 A解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M ，物体质量为m ，物体距地面的高度为h ，分别列式GMm R 2＝mg ，G Mm (R ＋h )2＝m g 2，联立得2R 2＝(R ＋h )2，解得h ＝(2－1)R ，选项A 正确. 3.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N.由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为( ) A.0.5 B.2 C.3.2 D.4答案 B解析 若地球质量为M 0，则“宜居”行星质量为M ＝6.4M 0，由mg ＝G Mm r 得m 0g m 0g ′＝M 0r 0·r 2M＝600960，所以rr 0＝600M960M 0＝600×6.4M 0960M 0＝2，选项B 正确.4.火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为( )A.0.2gB.0.4gC.2.5gD.5g 答案 B解析 在星球表面有mg ＝GMm R 2，设火星表面的重力加速度为g 火，则g 火g ＝M 火R2地M 地R 2火＝0.4，故B 正确.5.若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为( )A.R 3t 2r 3T 2B.R 3T 2r 3t 2C.R 3t 2r 2T 3D.R 2T 3r 2t3 答案 A解析 无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为GMm R 20＝m 4π2R 0T 20，即M ∝R30T 20，所以M 日M 地＝R 3t 2r 3T2.6.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图1所示.已知引力常量为G ，由此可推导出月球的质量为( )图1A.l 3G θt 2 B.l 3θGt 2 C.l G θt 2 D.l 2G θt 2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r ＝lθ，根据转过的角度和时间，可得ω＝θt，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G Mm r 2＝m ω2r ，由以上三式可得M ＝l 3G θt 2.7.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d (矿井宽度很小).已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A.1－dR B.1＋d RC.⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2答案 A解析 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ.质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′(R －d )2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确.8.一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则地球的质量可表示为( ) A.4π2r3GT 2B.4π2R 3GT 2C.gR 2G D.gr 2G答案 AC解析 根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得，M ＝4π2r3GT 2，选项A 正确，选项B 错误；在地球的表面附近有mg＝G Mm R ，则M ＝gR 2G，选项C 正确，选项D 错误.二、非选择题9.若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面.已知引力常量为G ，月球的半径为R .求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g 月； (2)月球的质量M ； (3)月球的密度.答案 (1)2h t 2 (2)2hR 2Gt 2 (3)3h 2πRGt2解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动h ＝12g 月t 2，月球表面的自由落体加速度大小g 月＝2h t 2.(2)因不考虑月球自转的影响，则有G Mm R 2＝mg 月，月球的质量M ＝2hR2Gt2.(3)月球的密度小学+初中+高中小学+初中+高中 ρ＝M V ＝2hR 2Gt 243πR 3＝3h 2πRGt 2.。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现星（或卫星）的运动看成是匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对其产生的万有引力提供。

即天体m 围绕中心天体M 运转，把天体m 的运动轨迹的运动看成圆，m 做圆周运动所需向心力由中心天体M 对m 的万有引力提供，有 222224Mm v G m m r m r r r Tπω=== 通过天文观测知道天体m 绕M 做圆周运动的r 、v 或r 、ω或r 、T 就可以算出中心天体M 的质量。

注意：（1）什么是中心天体？对于太阳和行星、彗星来说，太阳是中心天体；对于地球和月亮、人造 球卫星来说，地球是人造卫星。

（2）从上面的学习可知，在应用万有引力定律求解天体质量时，只能求解中心天体的质量，而不能求解环绕天体的质量。

而在求解中心天体质量的三种方法中，最常用的是“T 、r ” 计算法，因为环绕天体运动的周期比较容易测量。

【讨论思考】1.假如要你“称”出我们生活的地球的质量，你有什么方法？若地球和月球的中心距离大约是r =4×108m ，试估算地球的质量。

估算结果要求保留一位有效数字。

讨论后给出答案：月球是绕地球做匀速运动的天体，它运动的向心力由地球对它的引力提供。

根据万有引力定律和向心力公式，可以列式求出地球质量。

月球绕地球运动的周期约为27.3天，由于本题是估算，且只要求结果保留一位有效数字，可以取月球周期T =30天。

设地球质量为M ，月球质量为m ，有 r Tm r Mm G 2224π= 得到地球质量拓展：本题主要是依据课本计算太阳质量的思路和方法进行计算，从中体会解题思路和方法。

由于有关天体的数据计算比较复杂，要注意细心、准确，提高自己的估算能力。

2.如果要估算出地球或太阳的平均密度，还应该知道那个条件？一、利用万有引力定律解释重力变化之谜——重力及重力加速度与纬度的关系教师活动：请学生认真阅读课本P93 多学一点《破解重力变化之谜》思考、讨论下列问题：1、万有引力、重力、向心力的关系是什么？2、讨论：向心力、重力随纬度的变化3、通常情况下，我们常常不考虑这种变化，认为重力近似等于万有引力，这又是为什么？学生活动：阅读课文，分组讨论，得出答案。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现课堂互动三点剖析一、解决天体运动问题的两条思路1．万有引力提供天体运动的向心力 G r T m r m r v m rMm 2222)2(πω=== 实际应用时，根据题目条件选用适当的公式进行分析或计算．2．在星球表面上或绕星球表面附近的卫星所受的万有引力等于重力 G mg rMm =2 其中g 为星球表面的重力加速度，R 为星球的半径．把m 消掉后可得GM=gR 2，此式称为黄金代换公式．二、计算天体的质量和密度1．已知绕中心星体运行的行星或卫星的轨道半径r 和周期T,可求出中心星体的质量；若再已知中心星体的半径R ，还可以求出中心星体的密度．（1）思路展现：大多数行星或卫星的椭圆轨道都十分接近圆形，它们的运动可近似地看作匀速圆周运动，运动所需要的向心力由万有引力来提供．这样，利用万有引力定律和圆周运动的知识，列出方程，便可以导出计算中心星体质量和密度的表达式．（2）计算公式推导：设某个中心星体的质量为M ，用m 表示此天体的一个行星或卫星的质量，以r 表示它们之间的距离，以T 表示行星或卫星绕中心星体做圆周运动的周期． 行星或卫星做匀速圆周运动的向心力为：F=m ω2r=m(Tπ2)2r 根据万有引力提供向心力可得：G2r Mm =m(T π2)2r 方程两边消去m ，所以有M=2324GT r π 又已知中心星体的半径为R ，则其体积为V=334R π 所以中心星体的密度为ρ=32323R GT r V M π= 若我们研究的卫星是在靠近中心星体的表面附近运行的，则其轨道半径r 近似与中心星体的球体半径R 相等，那么中心星体的密度可表示为ρ=23GTπ. 2．已知某星球表面的重力加速度g 和该星球的半径R ，可计算出该星球的质量与平均密度．（1）思路展现：在星球表面上物体所受到的重力近似等于该星球对物体的万有引力，利用万有引力和重力的这种近似关系，便可以求出该星球的质量和密度．（2）计算公式推导：设星球表面的重力加速度为g ，该星球的半径为R ，设星球表面上某一物体的质量为m ，则根据公式mg=G 2RMm 得M=G gR 2 该星球的平均密度为ρ=RGg R G gR V M ππ4334/32==. 3．说明：（1）在应用万有引力等于向心力测量星体的质量时，只能求出中心星体的质量和密度，而不能测量出行星或卫星的质量．（2）日常生活中已知的地球的公转周期、地球的自转周期、月球的周期及地球同步卫星的周期等，在计算天体质量和密度时作为已知条件．三、发现未知天体。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现教研中心教学指导一、课标要求1.进一步理解万有引力定律.2.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度.4.通过对万有引力定律的应用和联系天文知识的学习，培养学生学习物理的浓厚兴趣.5.体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用.二、教学建议1.万有引力定律在天文学上的一个重要应用就是计算天体的质量.在天文学上，像太阳、地球等无法直接测定的天体的质量，就是根据行星或卫星的轨道半径和周期(可直接测量)间接计算得来的.2.教学中也可提醒学生注意，用测定环绕天体(如卫星)半径和周期的方法测质量，只能测定其中心天体(如地球)的质量，不能测定其自身的质量.3.通过这节的教学应使学生了解，通常物体之间的万有引力很小，以致察觉不出，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性的作用，万有引力定律的发现对天文学的发展起了很大推动作用.资源参考太阳系两个问题简介一、关于太阳太阳是距地球最近的一颗恒星，它是一颗质量十分巨大的球状炽热气团.由于它有着巨大的体积（是地球的133倍）和质量（是地球的33万倍），所以它的强大引力控制着整个太阳系中所有星体的运动.太阳是太阳系中唯一的本身发光发热的天体，是一个巨大的能源.它每秒辐射的能量达400亿亿亿焦耳（这么多的能量可在一小时内熔解并烧开25亿立方千米的冰）；总辐射功率达3 700万亿亿瓦；它的总光强约为300亿亿亿坎德拉（相当50万个满月月亮的亮度）.太阳的表面温度为6 000 ℃，中心温度达2 000万摄氏度左右（针尖大小的物体有了这样高的温度，就能把周围2 000千米以内的一切东西化为焦灰）；中心压强约为3 000亿大气压.太阳的辐射能大多射向了无边的空间，只有20亿分之一的太阳能落在地球上，如能将这些能量全部转化成电能，每秒会获得500亿度的电力.由于地球大气层的反射，地球表面和空气所吸收的太阳能又只占落在地球上太阳能的55％.太阳的结构分三大部分：中心部分是核反应和辐射区；中间部分为对流层，外部为大气层.大气层又分三部分：一是平常所见的光彩夺目的圆面，即光球层；二是光球层外面的色球层；三是最外面的日冕.太阳的形状、大小就是根据光球层而确定的，它的表面温度指的是光球层的温度.所见的太阳光基本上都是从光球层发出的，太阳黑子也出现在这层大气上.太阳自西向东自转着，但各处的自转周期不等.赤道处快（25天），两极处慢（纬度80度处为34天）；平均周期是27天.太阳的寿命一般认为是100亿年，现在年龄为46亿年.太阳周围有一个较完整的磁场，磁场的两极分别在自转轴北极附近.太阳的磁场并不强，极区附近只有2×10-4特斯拉（太阳黑子的磁场强度可达0.45特斯拉），不过它的磁场范围很大，可延伸到日地之间，甚至布满整个太阳系.太阳的组成物质和地球相仿，只是含量不同.太阳上已发现的元素达70多种，其中最丰富的元素是氦，占82％左右（氦是先在太阳光谱中发现，再在地球上找到的）；其次是氢，占17％左右.二、太阳系的特点太阳系是以太阳为中心的天体，由八大行星和八大行星控制下的42颗卫星、数千个小行星、众多的彗星和数不清的流星、固态粒子、气态分子以及很多的人造天体而构成的天体系统.太阳系的疆域十分辽阔，以冥王星为边界其半径达6亿千米.太阳系绕银河系中心运行速度达250千米/秒，它绕银河系中心运转一周要2亿年.太阳系在太阳的率领下正以20千米/秒的速度向武仙座方向进发.太阳系中天体的运动具有如下的特点：（1）轨道共面性：大行星的轨道面基本上都在一个共同的平面上.（2）轨道共圆性：行星的椭圆轨道偏心率都不大（即椭圆的两个焦点距椭圆中心不远），接近于正圆（水星的偏心率大一点）.大多数的卫星也都绕相应的行星沿接近圆形的轨道运转.（3）自转、公转同向性：大行星的自转、公转方向大多是一致的，且都自西向东运转，自转、公转轴也大致平行（天王星、金星例外）.卫星公转方向大多也和行星自转方向相同（海王星、木星、土星和各自的某些卫星例外）.（4）距离分布规律性：以日地平均距离为单位，行星至太阳的平均距离按离太阳的近远排列，接近一个等比数列，数列公式是0.4＋0.3×2n，n取-∞、0、1、2…….不过天王星例外.行星的卫星系也有类似的特点.各行星的彼此间隔随着它们离太阳的距离而依次增大. （5）“两面”平行或共面性：太阳的赤道面接近平行于行星的轨道面；卫星的轨道面大多也在相应行星的赤道面上.行星的赤道面也都近似平行于各行星的轨道面（天王星例外）. （6）角动量分配不均性：太阳的质量占整个太阳系质量的99.9％，诸行星的质量只是太阳系质量的七百分之一.但是太阳的角动量尚不及太阳系角动量的0.6％，而诸行星的角动量则占太阳系角动量的99％以上.太阳系的角动量大多集中在第一大行星木星和第二大行星土星上.。

5.2 万有引力定律是怎样发现的万 有 引 力 定 律[先填空]1．关于行星运动原因的猜想(1)英国的吉尔伯特猜想行星是靠太阳发出的磁力维持着绕日运动的． (2)法国数学家笛卡儿提出“漩涡”假设． (3)法国天文学家布利奥首先提出平方反比假设． 2．站在巨人肩上的牛顿 (1)三大困难：困难之一：无数学工具解决曲线运动问题．困难之二：缺乏理论工具计算天体各部分对行星产生的力的总效果． 困难之三：众多天体的引力相互干扰的问题无法解决．(2)牛顿利用微积分知识，运用质点的概念，把庞大天体的质量集中于球心，提出了万有引力定律．3．内容自然界中任何两个物体之间都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比．4．表达式F ＝G m 1m 2r2，m 1、m 2分别是两物体的质量，r 为两物体间的距离，G 为引力常量，英国科学家卡文迪许最先利用扭秤测出：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.5．适用条件只适用于两质点间的相互作用． 6．卡文迪许实验英国物理学家卡文迪许利用扭秤测出了引力常量．由于卡文迪许测出引力常量G ，才使得万有引力定律有了真正的实用价值．知道G 的值后，利用万有引力定律便可以计算天体的质量．[再判断]1．法国数学家笛卡儿首先提出平方反比的假设．(×)2．牛顿看见苹果落地，由此引发研究，创造理论工具等发现了万有引力定律．(√) 3．行星对太阳的引力小于太阳对行星的引力．(×) [后思考]我们听说过很多关于月亮的传说，如“嫦娥奔月”，已成了家喻户晓的神话故事．我们每个月都能看到月亮的圆缺变化．月球为什么会绕地球运动而没有舍弃地球或投向地球的怀抱？【提示】 地球与月球之间存在着引力，转动的月球既不会弃地球而去，也不会投向地球的怀抱，是因为地球对月球的万有引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，使月球不停地绕地球运动．[合作探讨]如图5­2­1所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的．请思考：图5­2­1探讨1：任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r ”指物体哪两部分间的距离？【提示】 任意两物体之间都存在万有引力，r 指两物体重心之间的距离． 探讨2：地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？ 【提示】 相等．符合牛顿第三定律． [核心点击]1．万有引力定律公式的适用条件：严格地说，万有引力定律公式F ＝G m 1m 2r 2只适用于计算两个质点间的相互作用，但对于下述两类情况，也可用该公式计算：(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用该公式计算，其中r 是两个球体球心间的距离．(2)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r 为球心到质点间的距离．2．万有引力的“四性”1．行星之所以绕太阳运行，是因为( )A．行星运动时的惯性作用B．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转C．太阳对行星有约束运动的引力作用D．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳【解析】行星之所以绕太阳运动，是因为受到太阳的吸引力．【答案】 C2．(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是( )A．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的力，这个力就是太阳对行星的吸引力B．行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大C．行星运动的轨道是一个椭圆D．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力【解析】牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力是太阳对它的引力．【答案】AD3．已知太阳的质量M＝2.0×1030kg，地球的质量m＝6.0×1024kg，太阳与地球相距r ＝1.5×1011 m，(比例系数G＝6.67×10－11N·m2/kg2)求：(1)太阳对地球的引力大小；(2)地球对太阳的引力大小．【解析】(1)太阳与地球之间的引力跟太阳的质量成正比、跟地球的质量成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比，则F ＝G Mm r2＝6.67×10－11×2.0×1030×6.0×1024112N ＝3.56×1022N. (2)地球对太阳的引力与太阳对地球的引力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知F ′＝F ＝3.56×1022 N.【答案】 (1)3.56×1022N (2)3.56×1022N对万有引力及万有引力定律表达式的理解(1)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略．(2)任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力都可以用F ＝Gm 1m 2r 2进行计算，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F ＝G m 1m 2r2计算其大小．太阳与行星间引力规律的推导与拓展[合作探讨]如图5­2­2所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动．图5­2­2探讨1：为什么行星会围绕太阳做圆周运动？ 【提示】 因为行星受太阳的引力．探讨2：牛顿在推导万有引力定律时应用到哪两个定律？ 【提示】 开普勒第三定律和牛顿运动定律． [核心点击] 1．两个理想化模型(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动．(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上．2．推导过程万有引力公式F ＝G Mm r2的得出，概括起来导出过程如图所示：简化处理：按“圆”处理→引力提供向心力F ＝m v 2r →圆周运动规律v ＝2πr T →F ＝4π2mrT 2→开普勒第三定律T 2＝r 3k ，代入得F ＝4π2k ·m r2→由于k 与太阳质量M有关，令4π2k ＝GM ，F ＝G Mm r23．太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间的验证假定卫星绕行星做匀速圆周运动，设轨道半径为R ，运行周期为T ，行星和近地卫星质量分别为M 和m ，卫星做圆周运动的向心力由行星的引力提供，若行星和卫星之间的引力满足太阳与行星之间引力的规律，则：GMm R 2＝m ·4π2T 2R ，R3T 2＝GM 4π2＝常量． 通过观测卫星的运行轨道半径R 和周期T ，若它们的R 3T2为常量，则说明太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间．4．太阳对行星的引力F 与行星对太阳的引力F ′大小相等，其依据是( ) A ．牛顿第一定律 B ．牛顿第二定律 C ．牛顿第三定律D ．开普勒第三定律【解析】 太阳对行星的引力F 与行星对太阳的引力F ′为一对作用力与反作用力，据牛顿第三定律知，二者等大反向，C 对．【答案】 C5．把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T 2＝r 3/k ，m 为行星质量，则可推得( ) 【导学号：02690058】A ．行星受太阳的引力为F ＝k m r2 B ．行星受太阳的引力都相同 C ．行星受太阳的引力为F ＝k 4π2mr2D ．质量越大的行星受太阳的引力一定越大【解析】 行星受到的太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，则有F ＝m v 2r ，又因为v ＝2πr T ，代入上式得F ＝4π2mr T 2.由开普勒第三定律r 3T 2＝k ，得T 2＝r 3k，代入上式得F ＝k 4π2mr2.太阳与行星间的引力与太阳、行星的质量及太阳与行星间的距离有关．故选C.【答案】 C。

5.3 万有引力定律与天文学的新发现[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的应用，知道海王星、冥王星等天体的发现过程.2.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路.一、笔尖下发现的行星——海王星的发现根据天王星的“出轨”现象，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈利用万有引力定律预言在天王星的附近还有一颗新行星，并计算出了轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.二、哈雷彗星的预报1.英国天文学家哈雷断言，1682年天空中出现的彗星与1531年、1607年出现的彗星是同一颗星.并根据万有引力定律计算出这颗彗星的椭圆轨道，发现它的周期约为76年，这颗彗星后来被称为哈雷彗星.2.1759年3月13日，这颗大彗星不负众望，光耀夺目地通过近日点，进一步验证了万有引力定律是正确的. 三、称量天体的质量——太阳质量的估算 1.称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg ＝G MmR2.(3)结果：M ＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量.2.太阳质量的计算(1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.(2)关系式：GMm r 2＝m 4π2T2r .(3)结论：M ＝4π2r3GT，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量.(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M . [即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(×)(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.(×) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(×) (4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(×) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.(×)(6)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(√) 2.已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，重力加速度g ＝9.8 m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则可知地球的质量约为( ) A.2×1018kg B.2×1020kg C.6×1022 kg D.6×1024kg答案D一、天体质量和密度的计算 [导学探究]1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他测量的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g ，地球半径R ，求地球的质量和密度.答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力.(2)由mg ＝G Mm R 2，得：M ＝gR 2Gρ＝M V ＝M 43πR3＝3g 4πGR.2.如果知道地球绕太阳的公转周期T 和它与太阳的距离r ，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由Gm 地M 太r 2＝4π2T 2m 地r 知M 太＝4π2r 3GT 2.由密度公式ρ＝M 太43πR 3太可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径. [知识深化] 天体质量和密度的计算方法例1 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T 1，已知万有引力常量为G . (1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？ 答案 (1)3πGT 21 (2)3π(R ＋h )3GT 22R3解析 设卫星的质量为m ，天体的质量为M .(1)卫星贴近天体表面运动时有G Mm R 2＝m 4π2T 21R ，M ＝4π2R3GT 21根据数学知识可知天体的体积为V ＝43πR 3故该天体的密度为ρ＝M V＝4π2R 3GT 21·43πR3＝3πGT21.(2)卫星距天体表面的高度为h 时，忽略自转有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T22(R ＋h ) M ＝4π2(R ＋h )3GT 22ρ＝M V ＝4π2(R ＋h )3GT 22·43πR3＝3π(R ＋h )3GT 22R 3注意区分R 、r 、h 的意义：一般情况下，R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，h 指卫星距离星球表面的高度，r ＝R ＋h .针对训练 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( ) A.110B.1C.5D.10答案 B解析 由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ∝r 3T2已知r 51r 地＝120，T 51T 地＝4365，则M 51M 地＝(120)3×(3654)2≈1，B 项正确. 例2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求： (1)星球半径与地球半径之比； (2)星球质量与地球质量之比. 答案 (1)4∶1 (2)64∶1解析 (1)由GMm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，所以ρ＝M V ＝gR 2G43πR 3＝3g 4πGR ，R ＝3g 4πG ρ，R R 地＝3g 4πG ρ·4πG ρ地3g 地＝g g 地＝41. (2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍.根据M ＝gR 2G 得M M 地＝gR 2G ·G g 地R 2地＝641. 二、物体所受地球的引力与重力的关系 1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图1，万有引力为F 引，重力为G ，自转向心力为F ′.当然，真实情况不会有这么大偏差.图1(1)物体在一般位置时F ′＝mr ω2，F ′、F 引、G 不在一条直线上，重力G 与万有引力F 引方向有偏差，重力大小mg <G MmR2.(2)当物体在赤道上时，F ′达到最大值F max ′，F max ′＝mR ω2，此时重力最小；G min ＝F 引－F max ′＝G Mmr2－mR ω2.(3)当物体在两极时F ′＝0G ＝F 引，重力达最大值G max ＝G Mmr2.可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力.(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力，mg ≈G MmR2，g 为地球表面的重力加速度. 2.重力与高度的关系：若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G Mm(R ＋h )2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度).所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小.例3 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面.宇航员从距该星球表面高度为h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G .求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的平均密度. 答案 (1)2hv 2L 2 (2)3hv22πGRL2解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L ＝vt ，h ＝12gt 2，解得g ＝2hv2L 2.(2)在星球表面满足G Mm R2＝mg 又M ＝ρ·43πR 3，解得ρ＝3hv22πGRL 2.1.(天体质量的计算)已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离r 和月球绕地球运行的周期T ，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得地球质量M ＝4π2r3GT 2，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B 正确.2.(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( ) A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径 C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度 答案 A解析 取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3πGT2，故选A.3.(地球表面的万有引力与重力的关系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( ) A.物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处 B.赤道处的角速度比南纬30°大C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力 答案 A解析 由F ＝G Mm R2可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力.在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对.地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错.地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错.地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错.4.(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处.(取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g 星的大小； (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星R 地＝14，求该星球的质量与地球质量之比M 星M 地. 答案 (1)2 m/s 2(2)180解析 (1)在地球表面以一定的初速度v 0竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处， 根据运动学公式可有t ＝2v 0g.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t 小球落回原处， 则5t ＝2v 0g 星根据以上两式，解得g 星＝15g ＝2 m/s 2(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg ＝GMm R 2，所以M ＝gR 2G由此可得，M 星M 地＝g 星g ·R 2星R 2地＝15×142＝180. 课时作业一、选择题(1～7题为单选题，8题为多选题)1.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( ) A.天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的B.在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差C.海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维烈合作研究后共同发现的 答案 B解析 天王星是通过观察发现的，选项A 错误，B 正确；海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维烈合作研究后共同发现的，选项C 、D 错误.2.地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，若高空中某处的重力加速度为g2，则该处距地球表面的高度为( )A.(2－1)RB.RC.2RD.2R 答案 A解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M ，物体质量为m ，物体距地面的高度为h ，分别列式GMm R 2＝mg ，G Mm(R ＋h )2＝m g2，联立得2R 2＝(R ＋h )2，解得h ＝(2－1)R ，选项A 正确. 3.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N.由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为( ) A.0.5 B.2 C.3.2 D.4 答案 B解析 若地球质量为M 0，则“宜居”行星质量为M ＝6.4M 0，由mg ＝G Mm r 2得m 0g m 0g ′＝M 0r 20·r 2M ＝600960，所以rr 0＝600M960M 0＝600×6.4M 0960M 0＝2，选项B 正确.4.火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为( )A.0.2gB.0.4gC.2.5gD.5g 答案 B解析 在星球表面有mg ＝GMm R 2，设火星表面的重力加速度为g 火，则g 火g ＝M 火R2地M 地R2火＝0.4，故B 正确.5.若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为( )A.R 3t 2r 3T 2B.R 3T 2r 3t 2C.R 3t 2r 2T 3D.R 2T 3r 2t3 答案 A解析 无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为GMm R 20＝m 4π2R 0T 20，即M ∝R 30T 20，所以M 日M 地＝R 3t 2r 3T 2. 6.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图1所示.已知引力常量为G ，由此可推导出月球的质量为( )图1A.l 3G θt 2 B.l 3θGt 2 C.l G θt 2 D.l 2G θt 2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r ＝l θ，根据转过的角度和时间，可得ω＝θt，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G Mmr2＝m ω2r ，由以上三式可得M ＝l 3G θt 2. 7.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d (矿井宽度很小).已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A.1－d R B.1＋d RC.⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2答案 A解析 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GMR2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ.质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′(R －d )2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为 g ′g＝1－dR，选项A 正确.8.一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则地球的质量可表示为( ) A.4π2r3GT 2B.4π2R 3GT 2C.gR 2G D.gr2G答案 AC解析 根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得，M ＝4π2r 3GT 2，选项A 正确，选项B 错误；在地球的表面附近有mg ＝G Mm R 2，则M ＝gR 2G，选项C 正确，选项D 错误. 二、非选择题9.若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面.已知引力常量为G ，月球的半径为R .求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g 月； (2)月球的质量M ； (3)月球的密度.答案 (1)2h t 2 (2)2hR 2Gt 2 (3)3h2πRGt2解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动h ＝12g 月t 2，月球表面的自由落体加速度大小g 月＝2h t2.(2)因不考虑月球自转的影响，则有G Mm R 2＝mg 月，月球的质量M ＝2hR 2Gt 2.(3)月球的密度ρ＝M V ＝2hR2Gt 243πR3＝3h2πRGt 2.。