高职高等数学 第四章 不定积分第四节 分部积分法

不定积分的分部积分法不定积分是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解各种形式的积分问题。

在求解不定积分的过程中，有一种常见的方法被称为“分部积分法”。

本文将从以下几个方面介绍不定积分的分部积分法：基本概念和原理、具体步骤、应用案例和进一步拓展。

一、基本概念和原理分部积分法的思想来源于乘法公式：$$(uv)'=u'v+uv'$$将乘法公式中的导数符号替换成积分符号，可得到分部积分公式：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$其中，$u$和$v$都是函数，$du$和$dv$分别是$u$和$v$的导数。

二、具体步骤以下为分部积分法的具体求解步骤：1. 将被积函数拆分成两个函数的乘积形式：$f(x) = u(x)v(x)$。

2. 选择其中一个函数作为$u$，另一个函数的导数作为$dv$。

常见的选择方式有按照函数的复杂程度或者按照它们的导数是否容易求解。

3. 对$u$求导数，得到$du$。

4. 对$v$求导数，得到$dv$。

5. 将$u$和$v$的导数代入分部积分公式中，即得到：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$6. 将上式中的各项代入，得到原式的新的积分式子，即：$$\int f(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$$7. 对于分部积分法所得的新式子，如果它的形式更为简单，那么就可以再次运用分部积分法进行求解。

三、应用案例以下为使用分部积分法解决典型积分问题的案例：1. 求解$\int x\ln x dx$解法：设$u=\ln x,dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$，代入分部积分公式可得：$$\int x\ln x \,dx=x\frac{x^2}{2}\,-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} \,dx=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$2. 求解$\int e^x\cos x dx$解法：设$u=e^x,dv=\cos xdx$，则$du=e^x,dv=\sin x$，代入分部积分公式可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-\int e^x\sin x \,dx$$再次应用分部积分法，可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos x \,dx$$两边移项，得到：$$\int e^x\cos x \,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$$四、进一步拓展分部积分法是求解不定积分的常见方法之一，在实践中可以根据具体问题灵活运用。

不定积分分部积分法教学小记分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，它利用乘积函数的求导和积分性质，通过适当的分解和选择，将不定积分转化为一个更简单的形式，从而得到原函数。

本文将重点介绍分部积分法的原理和应用。

一、分部积分法的原理分部积分法是基于积分的乘法法则推导得出的，乘法法则表明两个函数的乘积的导数可以通过其中一个函数的导数和另一个函数的积分来表示。

其具体公式为：∫ u·v dx = u·∫ v dx - ∫ u'·∫ v dx dx其中 u 和 v 是可导的函数，u' 表示 u 的导数。

根据分部积分法的原理，我们可以通过选择适当的 u 和 v 来将一个不定积分转化为一个更简单的形式，从而求得原函数。

通常情况下，选择 u 和 v 时可以选取具有以下特点的函数：1. u 是一个可以求导的函数，且 u' 的求导形式比较简单；2. v 是一个可以求积分的函数，且∫ v dx 的积分形式比较简单；3. 通过分部积分后，得到的新的不定积分能够比原不定积分更容易求解。

具体的分部积分过程如下：1. 选择合适的 u 和 v。

2. 对 u 求导，得到 u'。

3. 对 v 求积分，得到∫ v dx。

4. 将求导后的 u' 和求积分后的∫ v dx 带入分部积分的公式中，得到新的不定积分。

5. 如果新的不定积分可以通过已知的积分公式求解，则直接计算得到解；否则，可以再次应用分部积分法，或者尝试其他的积分方法来求解。

三、实例分析下面通过一个具体的实例来说明分部积分法的应用。

例题：求解不定积分∫ x·sin(x) dx。

解：根据分部积分法的原理，我们可以选择 u = x 和 v = -cos(x)，然后计算出 u' = 1 和∫ v dx = ∫(-cos(x)) dx = sin(x)，带入分部积分公式得到：∫ x·sin(x) dx = x·(-cos(x)) - ∫ 1·sin(x) dx其中 C 为常数。

第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。

例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。

2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。

定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。

例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。

例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。