2020相似三角形的性质-九年级数学人教版(下)(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

专题24相似三角形判定与性质1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

2．三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

3．直角三角形相似判定定理:①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4．相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【例题1】（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）B．C．D．A.【答案】B．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝【例题2】（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，：S△CBF＝（）2＝4：25；∴S△AEF②当AE：ED＝3：2时，：S△CBF＝（）2＝9：25。

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

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数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

《27.2相似三角形（1）》教学设计教学流程安排活动2 问题诱导探究新知1、 (教材P40页探究1)如图27.2-1,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2相交的平行线l3 , l4,l5.分别量度l3 , l4,l5.在l1上截得的两条线段AB, BC和在l2上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗? 教师出示探究，提出问题．学生操作画图，度量AB, BC, DE, EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．提出问题：AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”教师引导归纳，并板书：平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

学生在教师的指导下通过实践操作，探索和他人合作交流各自的所得结论等活动，积累数学活动经验。

学生通过亲自动手度量，操作，计算的活动经历，感受探索的过程。

2、实践操作 再探新知思考：1、如果图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？2、如果图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、 思考：如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，△ADE 与△ABC 有什么关系？你能否加以证明。

4、你现在能用什么方法可以说明两个三角形相似？5、如果平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所教师引导学生继续探究把图1中的直线l 1 , l 2变到相交，交点A 刚好落到l 3或l 4上，所得的对应线段的比会相等吗？学生观察思考，小组讨论回答，同伴交流，归纳总结。

人教版 九年级数学 竞赛专题：相似三角形的性质（含答案）【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 .【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =， 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积.【例4】如图，△ABC 中，O 是三角形内一点，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠. 求证：2BC AC AB =⋅.GEFDCBAGEFD CBA t 1t 2t 3I P HGEF DCBA【例5】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，5DC =，AB =，45B ∠=︒. 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，设运动的时间为t 秒. （1）求BC 的长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形.【例6】 设△A 1B 1C 1的面积为S 1，△A 2B 2C 2的面积为S 212()S S <，当△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且120.30.4S S ≤≤时，则称△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，30B ∠=︒，60BCD ∠=︒，连接AC . （1）若AD =DC ，求证：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”；（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.OCBAMCB能力训练A 级1. 如图，在△ABC 与△BED 中，若53AB BC AC BD BE DE ===，且△ABC 与△BED 的周长之差为10cm ，则△ABC 的周长为 cm.（第1题） （第2题） （第3题）如图，△ABC 中，:1:2CE EB =，DE ∥AC . 若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为 .3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ，CD 交于F ，且3EFC FED S S =△△，则:ADE ABC S S =△△ .4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为 cm.5. 如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 的中点，EF 交AC 于点O ，FE 的延长线交CB 的延长线于G 点，那么:AOF COG S S =△△（ ）A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2EDCBA FECA DBCADBEDCBA（第5题） （第6题） （第7题）6. 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD ∥BC ，BC =CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒. 将△BEC 绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连接EF 交CD 于点M . 已知5BC =，3CF =，则:DM MC 的值为（ ）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:47. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE ，BC 分别交于点N ，M ，则下列结论错误的是（ ）A.AN ON AM OM =B.22ONE OMB S AN S AM =△△C.AN OE AM OC=D.22ADE ABC S ON OM S =△△（ ） A.12 B.13C.23D.25（第8题） （第9题）O NMFMG O F E CADBECAD B ED CBANMC ADBDCBAB 级1. 如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB . 若△ADE ，△EFG ，△GIC 的面积分别为20cm 2，45 cm 2，80 cm 2，则△ABC 的面积为 .C.2D.3（第3题） （第4题） （第5题）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且3CD AB =，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分， 则:AE ED =（ ） A.2 B.325. 如图，△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AB 上的点，且123∠=∠=∠. 如果△ABC ，△EBD ，△ADC的周长依次是m ，m 1，m 2，证明：1254m m m +≤.6. 如图，P 是△ABC 内的一点，等长的三条线段DE ，FG 和HI 分别平行于边AB ，BC 和CA ，并且12AB =，8BC =，6CA =. 求证：::1:5:3AI IF FB =.（第6题） （第7题）如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且ABC PQRS S nS =△矩形，其中n 为不小于3的自然数. 求证：BSAB为无理数.8. 如图，已知直线l 1的解析式为36y x =+，直线l 1与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，直线l 2经过B ，C 两点，点C 的坐标为(8,0). 又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线l 2上从点C 向点B 移动，点P ，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度. 设移动时间为t 秒. （1）求直线l 2的解析式；（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式； （3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？9. 如图，设△ABC 三边上的 内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等. 求证：△ABC 为正三角形.10. 在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，已知AD CGk AB CE==，连接DE 与AF 交于点P ，连接CP . （1）如图1，当1k =时，点B ，C ，E 三点在同一条直线上，求AFDE的值.（2）如图2，当1k =时，将图1中的矩形CEFG 绕点C 顺时针旋转一个角度. ① 求AFDE的值； ② 求证：CP ⊥AF .（3）如图3，当1k ≠时，请直接写出用含k 的式子表示的AFDE的值.图1 图2 图3FG ED CBAADBCEFGPGABCP DEFFED PCBAG11. 在直角梯形ABCD 中，CB ∥OA ，90COA ∠=︒，3CB =，6OA =，BA =分别以OA ，OC 边所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求点B 的坐标；（2）已知D ，E 分别为线段OC ，OB 上的点，5OD =，2OE EB =，直线DE 交x 轴于点F ，求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案例1 10.5 提示：BE AE EFEG EC BE==． 例2 C 例3 144 提示：1++． 例4 解法一：如图1，过点O 作AC 的平行线交BC ，AB 于点D ，E ．∵DE ∥AC ，∴∠OAC =∠1，∴∠1=∠BAO ，∵∠OAC =∠OCA ，∴AO =OC ，AE =OE ，∴△AOE ∽△ACO ，∴AC OC AO EO =①，∵DE ∥AC ，∴AB AECB CD=②，∵∠2=∠OBC ，∠BCO =∠BCO ，∴△OCD ∽△BCO ，∴OC CD BC CO =③，①×②×③得ACCO gAB OC OC AE CDBC BC OE CD OC ⋅=⋅⋅， ∴21AC AB BC⋅=（AO=OC ，AE=OE ）， ∴2BC AC AB =⋅．解法二：如图2，不妨设AB >AC ，延长CA 至点P ，使CP =AB ，连接PB ，PO ．在△BAO 和△PCO 中，BA PC BAO PCO AO CO =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BAO ≌△PCO ， ∴∠CPO =∠ABO ．∴O ，A ，P ，B 四点共圆， ∴∠OAB =∠OPB =∠OBC ． 而∠CPO =∠ABO ， ∴∠ABC =∠CPB ， 又∠ACB =∠BCP ， ∴△CBA ∽△CPB ， ∴AC BC BCPC=，注意到PC =AB ，∴2BC AC AB =⋅，即△ABC 三边成比例． 例5 提示：（1）BC =10（2）如图1，过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，则 BG =AD =3，GC =7，MN ∥DG ，当M ，N 运动t 秒时，CN =t ，CM =10-2t ， 由△MNC ∽△GDC ，得CN CM CDCG=，即10257t t -=，解得5017t =．（3）①当NC =MC 时，如图2，则t =10-2t ，103t =；②当MN =NC 时，如图3，过点N 作NE ⊥MC 于点E ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ， 由△NEC ∽△DHC ，得CN EC CDHC=，即553t t -=，解得258t =；③当MN =MC 是，如图4，过点M 作MF ⊥CN 于点F ，则1122FC NC t ==．图1A BC EDO12P ABCO图2由△MFC ∽△DHC ，得FCMCHC DC =，即1102235tt -=，解得6017t =．例6（1）∵AD =DC ， ∴∠DAC =∠DCA ． ∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ． ∵∠BCD =60°，∴∠DCA =∠ACB =30°． ∵∠B =30°，∴∠DAC =∠B =30°， ∴△DAC ∽△ABC ．过点D 作DE ⊥AC 于点E ． ∴AD =DC ， ∴AC =2EC ．在Rt △DEC 中，∵∠DCA =30°，∴3cos 2EC DCA DC∠==，∴3DC EC =，∴3DC AC=，∴210.33DAC ABC DC AC S S ∆∆=≈⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵0.30.4DACABCS S ∆∆≤≤， ∴△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”．（2）△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”不正确．反例：若∠ACB =40°，则△DAC 与△ABC 不具有一定的“全等度”． ∵∠B =30°，∠BCD =60°， ∴∠BAC =110°． ∵AD ∥BC ， ∴∠D =120°．∴△DAC 与△ABC 都是钝角三角形，且两钝角不相等．FENN NM N D ADCADADAB 图1 图2图3图4∴△DAC 与△ABC 不相似．∴若∠ACB =40°，则△DAC 与△ABC 不具有一定的“全等度”．A 级 1．25 2．29S 3．194．127或60375．B 6．C 7．C 8．A 9．提示：由△ABC ∽△DCA ，得22ABC ADCS AB BC CDS AD∆∆==10．提示：（1）∠ABF =∠COE ，∠BAF =∠C ，可证明△ABF ∽△COE ． （2）如图，作OG ⊥AC ，交AD 的延长线于G ，则∠G =∠C ， ∵O 为AC 中点，AC =2AB ， ∴∠FOG =∠BOA =∠COE =45°， ∴△FOG ∽△EOC ， ∴OF OG OEOC=．又AO =BA ，∠G =∠C ，∠AOG =∠BAC ， ∴△AGO ≌△BCA ， ∴OG =AC =2OC ， ∴2OF OGOEOC ==．（3）OF OEn =．11．提示：（1）114S S=．（2）()2140416S x x x S-+<<=．（3）不存在点D ，使得114S S >成立，从而反面说明．12．（1）当MN =3时，点P 在BC 上． （2）①当03x <≤时，213y x =．当3x =时，y 有最大值为3；②当36x <<时，设△PMN 与BC 相较于点E 、F ，BC 边上的高为4，则24434PEF ABCx S S ∆∆-=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ()2433PEF x S ∆=-，()()22221438123344AMN PEF y S S x x x x x ∆∆=-=-+-=--+-=-．当x =4时，y 有最大值为4．B 级1．405cm 2 提示：1DE FC IC BCBCBC++=． 2．32提示：Rt △BAD ∽Rt △CBA ． 3．C ．FD EGCB(第10题)4．C 提示：延长DA 、CB 相交于G ，219GAB GDCS AB S CD ∆∆==⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设GAB S S ∆=，则9GDC S S ∆=，8ABCD S S =，222::::1:5:9GAB GEF GDC GA GE GD S S S ∆∆∆==．5．△EBD ∽△DAC ∽△ABC ，1m BD m BC=，2m DC AC mACBC==，222115511244m m BD AC BC DC ACDCACAC AC AC mBCBCBC BC BC BC BC ++-+==-+=-+-+≤⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．提示：163DE FG HI ===，203IF AB DE =-=，203AF AI IF AI =+=+，由△AFG ∽△ABC ，得AF GF ABBC=，43AI =，FB =4．7．设BC =a ，BC 边上的高AD =h ，PS =x ，RS =y ． 由△ASR ∽△ABC ，得h x y a h-=，∵ABC PQRS S nS ∆=矩形， ∴12h x ah nxy nxa h-==，整理得22220nx nxh h -+=， ∴211222x n n h n=+-．∵()()222221n n n n -<-<-，∴22n n -不是完全平方数，22n n -为无理数， 从而x h为无理数，于是BS BA=x h 为无理数. 8.提示：（1）364y x =-+. （2）23310S t t =-+. （3）如图1，当CP=CQ 时，即10t t -=，得5t =.如图2，当QC=QP 时，过点Q 作QD ⊥x 轴于D ，则()111022CD PC t ==-.∵△QDC ∽△BOC ，∴CD CQ CO CB =，即()1102810t t -=，得5013t =. （3）如图3，当PC=PQ 时，过P 作2PD l ⊥于D ，则1122CD CQ t ==.∵△CDP ∽△COB . ∴CD CP CO CB =，即1102810tt-=，得8013t =综上所述，当5t =或5013或8013时，△PCQ 为等腰三角形.9.设三角形边长为,,a b c .设x 为正方形的边长，h 为三角形的高，S 为三角形的面积.设D 、E 、F 、G 是立于a 边上的正方形的顶点.∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC，∴a a aax h x a h -=， 2a a a a ah S x a h a h ==++.同理可得：22,b c b cS Sx x b h c h ==++.据题意a b c x x x ==，故得222a b c S S S a h b h c h ==+++，或a b c a h b h c h +=+=+①，但111222a b c S ah bh ch ===，故a b c ah bh ch ==②.由①②得()()22a b a h b h -=-，因此a b a h b h -=-，故a b a h b h -=-③，或a b a h h b -=-④，其中必有一成立.若④式成立，由①④求得b a h =，矛盾（直角三角形斜边大于直角边），故③式成立.有①③得a b =.同理可证b c =，故a b c ==，即△ABC 为正三角形. 10.(1)连结AC ，CF ，可证明△ACF ∽△DCE ，得2AFDE=. （2）①2AFDE=. ②证明△ADH ∽△CPH ，∠CPH=∠ADH=90°，故CP ⊥AF . （3）21AFk DE=+. 11.(1)B (3,6). (2)作EG ⊥x 轴于点G ，可求得E （2，4），直线DE 的解析式152y x =-+. （3）存在.①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN 为菱形.作MP ⊥y 轴于点P ，则 MP ∥x 轴，∴△MPD ∽△FOD ，∴MP PD MD OF OD FD ==.又当0y =时，1502x -+=，解得 10x =.∴F 点的坐标为（10，0）.∴OF=10.在Rt △ODF 中，222251055FD OD OF =+=+=，∴10555MP PD ==， ∴25MP =，5PD =.∴点M 的坐标为()25,55-+.∴点N 的坐标为()25,5-.②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM 为菱形，延长NM 交x 轴于点P ，则MP ⊥x 轴.∵点M 在直线152y x =-+上.∴设M 点坐标为1,52a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，在Rt △OPM 中，222OP PM OM +=，∴2221552a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得()124,0a a ==舍去，∴点M 的坐标为（4，3）.∴点N 的坐标为（4，8）.③如图3，当OM=MD=DN=NO 时，四边形OMDN 为菱形，连结NM 交OD 于点P ，则NM 与 OD 互相垂直平分，∴52yM yN OP ===. ∴15522xM -+=，∴5xM =，∴5xN xM =-=-. ∴N 的坐标为55,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为()125,5N -，()24,8N ， 355,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

第二十七章 相似27.2.1 相似三角形的判定（第二课时 利用边边边、边角边判定相似）精选练习答案 一、单选题（共10小题)1．（2019·南京市期中）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选B ．2．（2020·邛崃市期中）如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的( )A ．AC AB AD AE = B ．AC BC AD DE = C ．AC AB AD DE = D ．AC BC AD AE= 【答案】C【解析】基础篇试题解析：∵∠BAC=∠D，AC AB AD DE＝，∴△ABC∽△ADE．故选C．3．（2019·牡丹区期末）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A．44182AB==，对应边631842ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．338AB=，对应边633848ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C．22163AC==，对应边631843ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D．22142BC==，对应边411822BCAB===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选D．4．（2019·珠海市期末）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：ADC．AB2＝CD•BC D．AB2＝BD•BC【答案】D【分析】根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．【详解】∵∠B ＝∠B ， ∴当AB BC BD AB=时， △ABC ∽△DBA ，当AB 2＝BD•BC 时，△ABC ∽△DBA ，故选D ．5．（2020·厦门市期末）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠∠=；②ADC ACB ∠∠=；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =⋅，其中单独能够判定的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 由已知△ABC 与△ABD 中∠A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.【详解】解：：①∵B ACD ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△；②∵ACB ADC ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△；③虽然AC AB CD BC=，但∠A 不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似； ④∵2AC AD AB =⋅，∴AC AB AD AC =，又∵∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△． 综上，单独能够判定A ABC CD ∽△△的个数有3个，故选B.6．（2020·芜湖市期末）如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．7．（2020·渭滨区期末）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用一角相等且夹边对应成比例两个三角形相似，根据各个选项条件筛选即可．【详解】解：根据勾股定理，AC=222222+=，BC=2，AB=221310+=所以，28AC =,22BC =,210AB =,则2AC +2BC =2AB所以，利用勾股定理逆定理得△ABC 是直角三角形所以,AC BC =2222= A.不存在直角，所以不与△ABC 相似；B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=32≠2，所以不与△ABC 相似； C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C 中图形与所给图形的三角形相似．D. 不存在直角，所以不与△ABC 相似.故选：C ．8．（2020·永定区·九年级期中）如图，点D 、E 分别在ABC 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE 与ACB △相似的是（ ）A ．AD AE AC AB = B ．AD AB AE AC = C ．DE AE BC AB =D ．DE AD BC AC= 【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在ADE 与ACB 中，∵AD AE AC AB=，且A A ∠∠=， ∴ADE ACB ∽．故选:A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．9．（2020·太原市期中）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．A、∵4BC=48=12，对应边ABBC=68=34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、∵2AC=12，对应边ACBC=12，即：2AC=ACBC，∠C=∠C，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；C、∵3AC=34，对应边ACAB=46=23，34≠23，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、∵36=3AB=12，AB BC =34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误. 故选B．10．（2020·龙岗区期中）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC =；④2AC AD AB =⋅；⑤AD CD AC BC =，其中单独能够判定ABC ACD ∽的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】 题中判定A ABC CD ∽△△，出现相似符号，则对应的边和对应角已经固定好，分别是AB 与AC ，AC 与AD ，BC 与CD ，∠A 是公共角，∠ABC 与∠ACD ，∠ACB 与∠ADC.所以找条件时务必找准这些对应边和对应角的关系，利用合适的判定定理去证明. 再就是2AC AD AB =⋅这种形式，务必化成比例的形式方便证明.【详解】①∠B=∠ACD ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A 不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；⑤中∠A 不是已知的比例线段的夹角，不正确；故选B ． 二、填空题（共5小题)11．（2018·菏泽市期末）如图，AB AC ⊥，AD BC ⊥，已知6AB =，9BC =，则图中线段的长BD =________，AD =________，AC =________．【答案】4 25 35【分析】提升篇在Rt △ABC 中根据勾股定理即可求得AC 的长；根据射影定理即可求得BD 的长； 在Rt △ABD 中根据勾股定理即可得AD 的长.【详解】在Rt △ABC 中，AB=6，BC=9，根据勾股定理可得：AC=22229635BC AB -=-=；∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴2AB BD BC =⋅，∴26=9BD ，即BD=4；在Rt △ABD 中，BD=4，AB=6，根据勾股定理可得：AD=22226425AB BD -=-=.故答案为4；25；35.12．（2020·清江浦区期中）如图，若ABC EBD ∽△△，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．【答案】BDE C ∠=∠或BED A ∠=∠或BC BD BA BE=（任填其一） 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定，本题要判定△ABC ∽△EBD ，已知∠ABC=∠EBD ，具备了一组角对应相等，故添加∠BDE=∠BCA 或∠BDE=∠BCA 后可分别满足三角形相似，而三角形相似还需考虑一组角相等，对应两组边成比例，故还有BC BD BA BE =． 【详解】解：∵要△ABC ∽△EBD ，又∵∠ABC=∠EBD ，∴只需∠BDE=∠BCA 或∠BDE=∠BCA 或BC BD BA BE=即可，故答案为：∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或BC BDBA BE=（任选其一即可）．13．（2020·济南市期中）如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE．【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB=【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AEAC AB＝时，△ADE∽△ACB．【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是：∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C．②补充∠AED=∠B，理由是：∵A是公共角，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB．③补充AD AEAC AB=，理由是：∵∠A是公共角，AD AE AC AB=，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB=14．（2019·南昌市期中）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③AC ABCD BC=；④AC2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有．【答案】①②④.【解析】试题解析：由图可知∠A为两个要证明相似的三角形的公共角，因此，只要再找出一组对应角相等，或两组对应边成比例即可证明△ABC∽△ACD．而①②④分别与∠A为△ABC与△ACD的公共角相结合，均可推出△ABC∽△ACD．③中∠A不是已知的比例线段的夹角，故不正确．15．（2018·长沙市期末）如图，AB、CD相交于点O，试添加一个条件使得△AOD∽△COB，你添加的条件是________．（只需写一个）【答案】∠A=∠C或∠B=∠D 或OA ODOC OB=(答案不唯一)【解析】∵∠AOD=∠COB，∠A=∠C，∴△AOD∽△COB；或∵∠AOD=∠COB，∠B=∠D，∴△AOD∽△COB；或∵∠AOD=∠COB，OA ODOC OB=，∴△AOD∽△COB；综上可知答案不唯一，故答案为：∠A=∠C或∠B=∠D 或OA ODOC OB=(答案不唯一)三、解答题（共3小题）16．（2020·赣州市期末）如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【答案】证明见解析.【分析】由AD•AC ＝AE•AB ，可得AD AE AB AC =,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.【详解】试题分析： 证明：∵AD•AC ＝AE•AB ，∴AD AB＝AE AC 在△ABC 与△ADE 中 ∵AD AB ＝AE AC ，∠A ＝∠A ， ∴ △ABC ∽△ADE17．（2020·西安高新区期中）如图，AB•AE=AD•AC ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△ADE ．【答案】见解析【分析】先由已知条件得到：AC AB AE AD =，∠BAC=∠DAE ；根据两边及其夹角的三角形相似的判定定理求解即可.【详解】证明：如图，∵AB•AE=AD•AC ，∴=AB AC AD AE ．又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE ，即∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ．18．（2020·德州市期中）如图：四边形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，OD=2OA ，OC=2OB ．（1）求证：△AOB ∽△DOC ；（2）点E 在线段OC 上，若AB ∥DE ，求证：OD 2=OE•OC ．【答案】见解析【分析】（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB ∽△DOC ；（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC ∽△EOD ，再根据相似三角形对应边成比例求解．【详解】证明：（1）∵OD=2OA ，OC=2OB ，12OA OB OD OC ∴== , 又∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ．（2）由（1）得：△AOB ∽△DOC ．∴∠ABO=∠DCO ．∵AB ∥DE ，∴∠ABO=∠EDO ．∴∠DCO=∠EDO ．∵∠DOC=∠EOD ，∴△DOC ∽△EOD, ∴OD OC OE OD= , 2·OD OE OC ∴=。