2019年高考数学考前三个月冲刺练：压轴大题突破练直线与圆锥曲线(1)(含答案)

大题精做11 圆锥曲线：存在性问题[2019·株洲一模]已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，．【解析】（1）由题意，，，，∵的周长为6，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．（2）假设存在常数满足条件．①当过点的直线的斜率不存在时，，，∴，∴当时，；②当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立，化简得，∴，．∴，∴，解得，即时，；综上所述，当时，．1．[2019·宜昌调研]已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点．问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．2．[2019·江西联考]已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于不同的两点，，是否存在实数及定点，对任意实数，都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．3．[2019·哈三中期末]在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为．（1）求的方程；（2）试问在上是否存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．1．【答案】（1）；（2）存在直线或．【解析】（1）∵，，且有，解得，，∴椭圆的方程为．（2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，，联立，∴，∵，∴为线段的中点，∴……④，将④代入②解得……⑤将④代入③得……⑥将⑤代入⑥解得……⑦将⑦式代入①式检验成立，∴，即存在直线或合题意．2．【答案】（1）；（2）存在及点，对任意实数，都有．【解析】（1）由得点横坐标为，由抛物线定义及得，，所以，所以抛物线的方程为．（2）假设存在实数及定点，对任意实数，都有，设，，，联立，得，则，，，由，得，所以，，，当时不满足题意，所以，即存在及点，对任意实数，都有．3．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）设，则点，将代入圆，可得，的方程为．（2）显然，直线存在斜率，设直线的方程为，联立，消去并整理得，，化为，设，，则，，依题意，可得，，又，，，解得，由的中点在直线上，，，化为，把代入化为，解得（舍去）或，，解得，满足，即满足，在上存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点，直线的方程为．。

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)1．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝ca ＝22，1b 2＋2a2＝1，a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程x 22＋y 24＝1. (2)解 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧ y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22，x 1＋x 2＝－22m ，① x 1x 2＝m 2－44.②所以|BD |＝1＋(2)2|x 1－x 2|＝62·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，所以d ＝|m |3. 所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24·(8－m 2)m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号． 因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.(3)证明 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，(*)将(2)中①、②式代入(*)式，整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即k AB ＋k AD ＝0(定值)．2．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到两定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)的距离之和为4，设动点M 的轨迹为曲线C .已知直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(2x 1，y 1)，n ＝(2x 2，y 2)，且m ⊥n .(1)若直线l 过曲线C 的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线l 的斜率k 的值；(2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解 (1)由题意知，|MF 1|＋|MF 2|＝4>|F 1F 2|＝23，根据椭圆的定义，知动点M 的轨迹是以F 1(0，－3)，F 2(0，3)为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 则a ＝2，c ＝3，∴a 2＝4，c 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝1，∴曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1. 设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得， (k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，Δ＝(23k )2＋4(k 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. ∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)·－1k 2＋4＋3k ·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝± 2. 即直线l 的斜率k 的值为± 2.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，有x 1＝x 2，y 1＝－y 2.由m ·n ＝0，得4x 21－y 21＝0，即y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，∴4x 214＋x 21＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝ 2. ∴S △OAB ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1(定值)． 当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k ′x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ′x ＋t ，y 24＋x 2＝1，消去y 得， (k ′2＋4)x 2＋2k ′tx ＋t 2－4＝0， Δ＝4k ′2t 2－4(k ′2＋4)(t 2－4)>0，且x 1＋x 2＝－2k ′t k ′2＋4， x 1x 2＝t 2－4k ′2＋4. ∵m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4x 1x 2＋(k ′x 1＋t )(k ′x 2＋t )＝0，∴(k ′2＋4)x 1x 2＋k ′t (x 1＋x 2)＋t 2＝0， ∴(k ′2＋4)·t 2－4k ′2＋4＋k ′t ·－2k ′t k ′2＋4＋t 2＝0， 整理得2t 2－k ′2＝4.∴S △OAB ＝12·|t |1＋k ′2·|AB |＝12·|t |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|t |4k ′2－4t 2＋16k ′2＋4＝4t 22|t |＝1(定值)．综上，△AOB 的面积为定值．3.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px 和⊙M ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心M 到抛物线C 的准线的距离为174.过抛物线C 上一点H (x 0，y 0)(y 0≥1)作两条直线分别与⊙M 相切于A 、B 两点，与抛物线C 交于E 、F 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；(3)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．解 (1)由题意知⊙M 的圆心M 的坐标为(4,0)，半径为1，抛物线C 的准线方程为x ＝－p2， ∵圆心M 到抛物线C 的准线的距离为174，∴4＋p 2＝174，解得p ＝12， 从而抛物线C 的方程为y 2＝x .(2)∵∠AHB 的角平分线垂直x 轴，∴点H (4,2)，∴∠AHB ＝60°，可得k HA ＝3，k HB ＝－3，∴直线HA 的方程为y ＝3x －43＋2，联立方程⎩⎨⎧ y ＝3x －43＋2，y 2＝x ，得3y 2－y －43＋2＝0，设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，则y E ＋2＝33， ∴y E ＝3－63，x E ＝13－433， 同理可得y F ＝－3－63，x F ＝13＋433，∴k EF ＝－14. (3)方法一 由题意可设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则k MA ＝y 1x 1－4，k MB ＝y 2x 2－4， ∵HA 、HB 是⊙M 的切线，∴HA ⊥MA 、HB ⊥MB ，因此k HA ＝4－x 1y 1，k HB ＝4－x 2y 2， 所以直线HA 、HB 的方程分别为(4－x 1)x －y 1y ＋4x 1－15＝0，(4－x 2)x －y 2y ＋4x 2－15＝0， 又点H 在抛物线上，有y 20＝x 0，∴点H 的坐标为(y 20，y 0)(y 0≥1)，分别代入直线HA 、HB 的方程得(4－x 1)y 20－y 1y 0＋4x 1－15＝0， (4－x 2)y 20－y 2y 0＋4x 2－15＝0，可整理为(4－y 20)x 1－y 0y 1＋4y 20－15＝0，(4－y 20)x 2－y 0y 2＋4y 20－15＝0，从而可求得直线AB 的方程为(4－y 20)x －y 0y ＋4y 20－15＝0，令x ＝0，得直线AB 在y 轴上的截距为t ＝4y 20－15y 0＝4y 0－15y 0(y 0≥1)， 考虑到函数f (x )＝4x －15x(x ≥1)为单调递增函数， ∴t min ＝4×1－151＝－11. 方法二 由(1)知，设点H (y 20，y 0)(y 0≥1)，则HM 2＝y 40－7y 20＋16，HA 2＝y 40－7y 20＋15.以H 为圆心，HA 为半径的圆的方程为(x －y 20)2＋(y －y 0)2＝y 40－7y 20＋15，①又⊙M 的方程为(x －4)2＋y 2＝1.②①－②得：直线AB 的方程为(2x －y 20－4)(4－y 20)－(2y －y 0)y 0＝y 40－7y 20＋14.当x ＝0时，直线AB 在y 轴上的截距t ＝4y 0－15y 0(y 0≥1)， ∵t 关于y 的函数在[1，＋∞)上单调递增，∴t min ＝－11.4．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ＋y ＋2＝0相切．A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH ⊥x 轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG ＝GQ ，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝32.∵以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ＋y ＋2＝0相切， ∴|0＋0＋2|12＋12＝b ，解得b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，B (2,0)，直线l 的方程为x ＝2.设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0,0)，Q (x 0,2y 0)，且有x 204＋y 20＝1，即4y 20＝4－x 20.连接BQ ，设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，∵k AQ ·k BQ ＝2y 0x 0＋2·2y 0x 0－2＝4y 20x 20－4＝4－x 2x 20－4＝－1，即AQ ⊥BQ ，∴点Q 在以AB 为直径的圆上．∵直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8yx 0＋2，即M (2，8y 0x 0＋2)，∴N (2，4y 0x 0＋2)．∴直线QN 的斜率为k QN ＝4y 0x 0＋2－2y 02－x 0＝－2x 0y 04－x 20＝－2x 0y04y 20＝－x 02y 0，∴k OQ ·k QN ＝2y 0x 0·－x 02y 0＝－1，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．。

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线（一)1． 已知椭圆G ：x 2a 2＋错误!＝1 (a 〉b 〉0)的离心率为错误!，右焦点为(2错误!，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；（2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝2错误!，错误!＝错误!。

解得a ＝2错误!，又b 2＝a 2－c 2＝4。

所以椭圆G 的方程为错误!＋错误!＝1。

（2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m 。

由错误!，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0。

①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2) (x 1〈x 2)，AB 中点为E （x 0，y 0）,则x 0＝错误!＝－错误!，y 0＝x 0＋m ＝错误!；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝错误!＝－1。

解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0。

解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB ｜＝3错误!.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝错误!＝错误!，所以△PAB 的面积S ＝错误!｜AB ｜·d ＝错误!.2． 已知椭圆的一个顶点为A (0,－1）,焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋2错误!＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;（2）设直线y ＝kx ＋m (k ≠0）与椭圆相交于不同的两点M ,N 。

当|AM |＝｜AN |时，求m 的取值范围．解 （1）依题意可设椭圆方程为错误!＋y 2＝1，则右焦点F （a 2－1，0），由题设错误!＝3，解得a2＝3。

故所求椭圆的方程为错误!＋y2＝1.(2)设P(x P，y P)，M（x M，y M)，N(x N，y N)，P为弦MN的中点，由错误!得(3k2＋1）x2＋6mkx＋3(m2－1）＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝（6mk）2－4（3k2＋1)×3(m2－1)>0⇒m2〈3k2＋1。

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)1． 已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围． 解 (1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3,0)，即点F (3,0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，即a ＝5. 所以b 2＝a 2－32＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225(－5≤m ≤5)．所以原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1.所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交，L 2＝4(r 2－d 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1925m 2＋16. 因为－5≤m ≤5，所以152≤L ≤465. 2． 已知点A 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称．线段AF 2的中垂线m 分别与AF 1、AF 2交于M 、N 两点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4， 且|MF 2|＝|MA |.从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MA |＝|AF 1|＝4>|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴2a ＝4，得a ＝2，焦距2c ＝23，则短半轴b ＝1，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<2且m 2≠1.S △OPQ ＝12|x 1－x 2||m |＝m 22－m 2，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．3． 如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y2a2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由．(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，1b 2＋2a 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程x 22＋y 24＝1.(2)解 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22，x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.所以|BD |＝1＋22|x 1－x 2|＝62·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，所以d ＝|m |3.所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24·8－m2m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号．因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2. (3)证明 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1，(*) 将(2)中①、②式代入(*)式，整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝0，即k AB ＋k AD ＝0.4． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若圆：x 2＋y 2＝23的切线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，问OP →与OQ →是否垂直？若垂直，请给出证明，若不垂直，请说明理由． 解 (1)设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，F (c,0)(c 2＝a 2＋b 2)， 则|AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2. |AB |＝2x 02＋2y 02＝2x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2b 2 ＝2b 2＋c 2x 20a2，∵0≤x 20≤a 2，∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设条件可知直线的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .l 与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|m |1＋k2＝63，∴m 2＝23(k 2＋1)． 把l 的方程y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝8(2k 2＋1－m 2)>0，令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2① x 1x 2＝2m 2－21＋2k2② y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2③OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2－21＋2k2＝0， ∴OP →⊥OQ →.。

压轴大题突破练(四)　函数与导数(2)1.已知函数 f (x )＝x －sin x ，x ∈R .12(1)试求函数f (x )的递减区间；(2)试求函数f (x )在区间[－π，π]上的最值.解　(1)求导数得：f ′(x )＝－cos x ，12令f ′(x )<0，即－cos x <0，12得－＋2k π<x <＋2k π，k ∈Z ，π3π3∴函数f (x )在区间(－＋2k π，＋2k π)，k ∈Z 上为减函数.π3π3(2)由(1)知，函数f (x )在区间(－π，－)，(，π)上为增函数，在区间(－，)上为减函数，π3π3π3π3∴函数f (x )在x ＝－处取极大值f (－)＝－，在x ＝处取极小值f ()＝－，∵f (－π)π3π332π6π3π3π632＝－，f (π)＝，∴函数f (x )在区间[－π，π]上的最大值为f (π)＝，最小值为f (－π)＝－.π2π2π2π22.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )＞(a ＋1)ln x ＋ax －1在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.解　(1)由题意得，f ′(x )＝＋2x (x ＞0)，a x ∴f ′(1)＝a ＋2，又f (1)＝0，∴切线方程是y ＝(a ＋2)(x －1)，即(a ＋2)x －y －a －2＝0.(2)由f (x )＞(a ＋1)ln x ＋ax －1得，ax ＜x 2－ln x ，∵x ＞1，∴a ＜x －恒成立.ln x x令g (x )＝x －，ln x x 则g ′(x )＝，x 2＋ln x －1x 2令h (x )＝x 2＋ln x －1，则h ′(x )＝2x ＋＞0，1x ∴h (x )在(1，＋∞)上递增，而h (1)＝0，∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上递增，∴g (x )＞g (1)＝1，∴当a ≤1时，a ＜g (x )恒成立，∴a 的取值范围是(－∞，1].3.(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.(1)解　f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a ).①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点.②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln ，a 2则f (b )>(b －2)＋a (b －1)2＝a >0，a 2(b 2－32b )故f (x )存在两个零点.③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ).若a ≥－，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递e 2增.又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点.若a <－，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，e 2f ′(x )>0，因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增.又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点.综上，a 的取值范围为(0，＋∞).(2)证明　不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2.设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )，所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.4.已知函数f (x )＝ln x －ax 2 (a ∈R ).12(1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数.解　(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f (x )＝ln x －ax 2.12∴f ′(x )＝－ax ＝，1x 1－ax 2x 由于直线x －2y ＋1＝0的斜率为，12∴×＝－1，∴a ＝.121－4a 254(2)由(1)知f ′(x )＝－ax ＝.1x 1－ax 2x 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增.当a >0时，由f ′(x )>0，得x < ，1a 由f ′(x )<0，得x >，1a ∴f (x )在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减.1a 1a 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞).1a 1a (3)由(2)可知，当a <0时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，∵f (1)＝－a >0，∴ f (x )在区间[1，e 2]上没有零点.12当a ＝0时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，∵f (1)＝－a ＝0，12∴f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点.当a >0时，①若≤1，即a ≥1时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递减，1a ∵f (1)＝－a <0，∴f (x )在区间[1，e 2]上没有零点.12②若1<<e 2，即<a <1时，f (x )在[1，]上单调递增，在[，e 2]上单调递减，1a 1e41a 1a ∵f (1)＝－a <0，f ()＝－ln a －，121a 1212f (e 2)＝2－a e 4.12若－ln a －<0，即a >时，f (x )在区间[1，e 2]上没有零点；12121e 若－ln a －＝0，即a ＝时，f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点；12121e 若－ln a －>0，即a <时，由f (e 2)＝2－a e 4>0得a <，此时f (x )在区间[1，e 2]上有一个零12121e 124e4点.由f (e 2)＝2－a e 4≤0，得a ≥ ，此时f (x )在区间[1，e 2]上有两个零点.124e4③若≥e 2即0<a ≤时，f (x )在区间[1，e 2]上单调递增，1a 1e4∵f (1)＝－a ＜0，f (e 2)＝2－a e 4>0，1212∴f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点.综上所述，当0≤a <或a ＝时，f (x )在区间[1，e 2]上有一个零点；4e41e 当≤a <时，f (x )在区间[1，e 2]上有两个零点；4e41e 当a <0或a >时，f (x )在区间[1，e 2]上没有零点.1e。

压轴大题突破练——函数与导数(一)1．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝－a 或x ＝a 3. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a 3. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a 3， 此时f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3)，单调递增区间为(－∞，－a )和(a 3，＋∞)． ②当a <0时，由f ′(x )<0，得a 3<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a 3或x >－a ， 此时f (x )的单调递减区间为(a 3，－a )， 单调递增区间为(－∞，a 3)和(－a ，＋∞)． 综上：当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3)， 单调递增区间为(－∞，－a )和(a 3，＋∞)． 当a <0时，f (x )的单调递减区间为(a 3，－a )， 单调递增区间为(－∞，a 3)和(－a ，＋∞)． (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 在(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2.令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)，当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0.当x 变化时，h ′(x )，h (x )变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 －h (x ) 单调递增 －2 单调递减∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2，∴a ≥－2，∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝(1＋x )e －2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x ．当x ∈[0,1]时，(1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x ；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )e －x ≥(1－x )e x .记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )．当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0，所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x ，只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]． (2)解 f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －(ax ＋x 32＋1＋2x cos x )≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝－x (a ＋1＋x 22＋2cos x )．(由(1)知) 故G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x . 记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数．从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0.故G (x )在[0,1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立．下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x －ax －x 32－2x cos x ＝－x (11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x )．(由(1)知) 记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x＋a ＋G (x )， 则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )， 当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0，故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a >－3时，a ＋3>0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．3．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值；(2)求证：f (x )≥g (x )．(1)解 f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a2x ，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x 0.由x 0＋2a ＝3a2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <13e 时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即t >13e 时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，13e )上为增函数，在(13e ，＋∞)上为减函数，于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (13e )＝3223e ，即b 的最大值为3223e .(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x (x >0)．故F ′(x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数．于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0.故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0，即当x >0时，f (x )≥g (x )．4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x .(1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)．令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13， 故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值． 故公共点只有一个．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图，如图，h (－1)＝1，h (13)＝－527，当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点．。

(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点⎝⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A (－2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点(点P 在点Q 的上方)，l 2与椭圆交于M ，N 两点(点M 在点N 的上方)，若直线l 1的斜率为－17，S △MAP ＝2534S △NAQ ，求直线l 2的斜率．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2＋34b 2＝1，2b 2a ＝13，解得a ＝6，b ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2＝1. (2)由题设可知：直线l 1的方程为x ＝－7y －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y 2＝1，x ＝－7y －2，整理得85y 2＋28y －32＝0.y P ＝817，y Q ＝－45.∴|AQ ||AP |＝|y Q ||y P |＝45817＝1710. 设∠MAP ＝∠QAN ＝θ，∵S △MAP ＝2534S △NAQ ， ∴12|AM ||AP |sin θ＝2534×12|AN ||AQ |sin θ， 即|AM ||AN |＝2534×|AQ ||AP |＝2534×1710＝54. 设直线l 2的方程为x ＝my －2(m ≠0)，将x ＝my －2代入x 236＋y 2＝1， 得(m 2＋36)y 2－4my －32＝0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋36，y 1y 2＝－32m 2＋36. 又∵y 1＝－54y 2， ∴－54y 2＋y 2＝4m m 2＋36，－54y 22＝－32m 2＋36， ∴y 2＝－16m m 2＋36，y 22＝1285()m 2＋36， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－16m m 2＋362＝1285(m 2＋36)， 解得m 2＝4，∴m ＝±2，此时①式的判别式大于零．故直线l 2的斜率为±12. 2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24， 所以S 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，2π. 3．(2018·湘潭模拟)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0是抛物线C ：x 2＝2py ⎝ ⎛⎭⎪⎫p >12上一点，且A 到C 的焦点的距离为58. (1)求抛物线C 的方程；(2)若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：y ＝2x ＋9y 0上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N .证明：|AM |2|AN |＝|EF |. (1)解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2py 0＝14，y 0＋p 2＝58，∴18p ＋p 2＝58， ∵p >12，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明 由(1)知，y 0＝18，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2y ，y ＝2x ＋98，得4x 2－16x －9＝0，解得x 1＝－12，x 2＝92， ∴|EF |＝1＋22⎪⎪⎪⎪⎪⎪92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5 5. 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22⎝⎛⎭⎪⎫m ≠－12且m ≠92， 则M 的横坐标为m ，易知A 在l 上， 则|AM |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12. 由题意可知直线PN 的方程为y －m 22＝－12(x －m )， 与y ＝2x ＋98联立可得x N ＝15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94， 所以|AN |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94＋12 ＝55⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122， 则|AM |2|AN |＝55，故|AM |2|AN |＝|EF |. 4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a ,0)，B (a ,0)，k 1＝ba ，k 2＝－b a，k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3， 由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0， 因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)(k >0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点．(ⅰ)若MB →＝AN →，求k 的值；(ⅱ)若点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，0，求证：QA →·QB →为定值．(1)解 因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2， 又离心率为22，所以ca ＝22，即a 2＝2c 2，代入a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝c 2.又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2， 即12×b ×2c ＝2，即bc ＝2，b 2c 2＝4，以上各式联立解得a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(ⅰ)解 直线y ＝k (x －1)与x 轴交点为M (1,0)，与y 轴交点为N (0，－k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝4消去y 得， (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－4)＝24k 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，又MB →＝(x 2－1，y 2)，AN →＝(－x 1，－k －y 1)，由MB →＝AN →，得x 1＋x 2＝4k21＋2k 2＝1，解得k ＝±22，由k >0，得k ＝22.(ⅱ)证明 由(ⅰ)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以QA →·QB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋k 2(x 1－1)(x 2－1)，＝(1＋k 2)2k 2－41＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－74－k 24k 21＋2k 2＋k 2＋4916，＝2k 2－4＋2k 4－4k 2－7k 2－4k 4＋k 2＋2k 41＋2k 2＋4916，＝－8k 2－41＋2k 2＋4916＝－4＋4916＝－1516，为定值， 所以QA →·QB →为定值．。

(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·唐山模拟)已知点A (－2,0)，点B (－1,0)，点C (1,0)，动圆O ′与x 轴相切于点A ，过点B 的直线l 1与圆O ′相切于点D ，过点C 的直线l 2与圆O ′相切于点E (D ，E 均不同于点A )，且l 1与l 2交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ.(1)证明：|PB |＋|PC |为定值，并求Γ的方程；(2)设直线l 1与Γ的另一个交点为Q ，直线CD 与Γ交于M ，N 两点，当O ′，D ，C 三点共线时，求四边形MPNQ 的面积．解 (1)由已知可得|PD |＝|PE |，|BA |＝|BD |，|CE |＝|CA |，所以|PB |＋|PC |＝|PD |＋|DB |＋|PC |＝|PE |＋|PC |＋|AB |＝|CE |＋|AB |＝|AC |＋|AB |＝4>2＝|BC |，所以点P 的轨迹Γ是以B ，C 为焦点的椭圆(去掉与x 轴的交点)，可求得Γ的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)由O ′，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ，又由直线CE ，CA 为圆O ′的切线，可知|CE |＝|CA |，|O ′A |＝|O ′E |，所以△O ′AC ≌△O ′EC ，进而有∠ACO ′＝∠ECO ′，所以|PC |＝|BC |＝2，又由椭圆的定义，|PB |＋|PC |＝4，得|PB |＝2，所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)．(ⅰ)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60°，∠BCD ＝30°，此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y23＝1，y ＝3(x ＋1)，整理得5x 2＋8x ＝0，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－335，所以|PQ |＝165， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－33(x －1)，整理得13x 2－8x －32＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213， |MN |＝ 1＋13|x 1－x 2|＝4813， 所以四边形MPNQ 的面积S ＝12|PQ |·|MN |＝38465. (ⅱ)当点P 的坐标为(0，－3)时， 由椭圆的对称性，得四边形MPNQ 的面积为38465. 综上，四边形MPNQ 的面积为38465. 2．(2018·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >1)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，⊙F 2：(x －c )2＋y 2＝1与该椭圆有且只有一个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (4c,0)的直线与⊙F 2相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，求证：F 2A ⊥F 2B ；(3)过点P (4c,0)的直线l 与⊙F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >1)相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，试探究kF 2A ，kF 2B 的数量关系．(1)解 ∵⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为(a,0)或(－a,0)，若公共点为(－a,0)，则a ＋c ＝1，又c a ＝12， 解得a ＝23<1，与a >1矛盾，故公共点为(a,0)． ∴a －c ＝1，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1. 反之，当c ＝1时，联立⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，满足条件．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ∵P (4,0)，设过P (4,0)的直线l 的方程为x ＝my ＋4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋4，x 24＋y 23＝1， 得(4＋3m 2)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ＝576m 2－144(4＋3m 2)>0，得m 2>4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－24m 4＋3m 2，y 1y 2＝364＋3m 2， 又F 2(1,0)，∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(1＋m 2)y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝36(1＋m 2)4＋3m 2－72m 24＋3m 2＋9＝72－9m 24＋3m 2. 由l ：x ＝my ＋4与⊙F 2：(x －1)2＋y 2＝1相切得m 2＝8，满足m 2>4，∴F 2A →·F 2B →＝0，即F 2A ⊥F 2B .(3)解 猜想：2F A k ＋2F B k ＝0.证明如下：由(2)得2F A k ＋2F B k ＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1 ＝2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9. ∵2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2m ×364＋3m 2－72m 4＋3m 2＝0， ∴2F A k ＋2F B k ＝0.3．(2018·成都模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b＝1的左、右焦点．若P 是该椭圆上的一个动点，PF 1→·PF 2→的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x ＝ky －1与椭圆E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解 (1)由题意得a ＝2，c ＝4－b ，b <4，∴F 1(－4－b ，0)，F 2(4－b ，0)．最新中小学教案、试题、试卷 设P (x ，y )，则PF 1→＝(－4－b －x ，－y )，PF 2→＝(4－b －x ，－y )，即PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－(4－b )＝x 2＋b －bx24－4＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 4x 2＋2b －4，∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1，即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 4×4＋2b －4，解得b ＝1，故所求的椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x24＋y 2＝1消去x ，整理得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，显然Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16k 2＋48>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，故y 1＋y 2＝2kk 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4.∴经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 1＋y 2y 1＋x 1＝(x 2－x 1)y 1＋(y 1＋y 2)x 1y 1＋y 2＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2，又x 1＝ky 1－1，x 2＝ky 2－1，∴x ＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝(ky 2－1)y 1＋(ky 1－1)y 2y 1＋y 2最新中小学教案、试题、试卷＝2ky 1y 2－(y 1＋y 2)2kk 2＋4＝－6k k 2＋4－2k k 2＋42kk 2＋4＝－4， 即当x ＝－4时，y ＝0.∴直线A ′B 与x 轴交于定点(－4,0)．4．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，斜率为k (k ≠0)的直线l 经过C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，满足OA →·OB →＝－34.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于M ，N 两点，R 为线段MN 的中点，记点R 到直线AB 的距离为d ，若d |AB |＝22，求k 的值． 解 (1)由已知，得直线l 的方程为y ＝kx ＋p 2， 设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2， 得x 2－2pkx －p 2＝0，(*) x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝x 212p ·x 222p ＝p 24， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝－p 2＋p 24＝－3p 24， 由已知得－3p 24＝－34，即p ＝1， ∴抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)知，p ＝1，C ：x 2＝2y ，l ：y ＝kx ＋12， 方程(*)即：x 2－2kx －1＝0， x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－1.设AB 的中点为D (x 0，y 0)，。

压轴大题突破练压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B 在直线l ：x ＝－1上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M . (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中轨迹E 上的点P (1，2)作两条直线分别与轨迹E 相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点.试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解 (1)依题意，得|MA |＝|MB |.∴动点M 的轨迹E 是以A (1，0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线， ∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1，2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.③设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ， 则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0. 由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k －2，同理可求得y 2＝－4k－2.∴k CD ＝4y 1＋y 2＝4(4k －2)＋(－4k －2)＝－1，∴直线CD 的斜率为定值－1 .2.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN . (1)解 依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0). 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 02，y 0.又点A 的坐标为(0，1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1.因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝⎛⎭⎫x 01－y 0，－1.因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点， 所以N ⎝⎛⎭⎫x 02(1－y 0)，－1.所以向量NM →＝⎝⎛⎭⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.又OM →＝⎝⎛⎭⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎡⎦⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1)＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0＝⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0. 所以OM ⊥MN .3.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝22.设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相切于点P 且交直线x ＝2于点N ，△PF 1F 2的周长为2(2＋1). (1)求椭圆E 的方程；(2)求两焦点F 1、F 2到切线l 的距离之积； (3)求证：以PN 为直径的圆恒过点F 2. (1)解 设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2a ＋2c ＝2(2＋1)，解得a ＝2，c ＝1. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.设直线l 与椭圆E 相切于点P (x 0，y 0)， 则Δ＝0，化简2k 2＋1＝m 2，焦点F 1，F 2到直线l 的距离d 1，d 2分别为d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|k ＋m |k 2＋1，则d 1·d 2＝m 2－k 2k 2＋1＝k 2＋1k 2＋1＝1.(3)证明 ∵x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2km ，∴y 0＝kx 0＋m ＝－2k 2m ＋m ＝m 2－2k 2m ＝1m ，∴P (－2k m ，1m).又联立y ＝kx ＋m 与x ＝2，得到N (2，2k ＋m )， PF 2→＝(1＋2k m ，－1m )，F 2N →＝(1，2k ＋m ).∴PF 2→·F 2N →＝(1＋2k m ，－1m )·(1，2k ＋m )＝1＋2k m －1m (2k ＋m )＝1＋2k m －2km －1＝0.∴PF 2→⊥F 2N →，∴以PN 为直径的圆恒过点F 2.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2，0)的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点. (1)解 由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 设l ：y ＝k (x －2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ>0得0≤k 2<12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2.∵0≤k 2<12，∴72<71＋2k 2≤7，故所求范围是[－2，32).(3)证明 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上， 直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1).令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1，故直线AN 恒过定点(1，0).合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。