初中数学竞赛《抽屉原理》复习题 (17)

抽屉原理例题
抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个基本原理，它在许多领域都有广泛应用。

简而言之，抽屉原理指出，当n+1
个物体放入n个抽屉中时，至少存在一个抽屉中放有至少两个物体。

以下是一个抽屉原理的实际例子：
假设有一所学校有30个班级，每个班级有30个学生。

现在要将这些学生按照年龄分别放入不同的班级。

根据抽屉原理，我们可以得出结论：至少有两个班级的学生年龄相同。

为了证明这个结论，我们可以设定每个班级代表一个抽屉，30个学生代表30个物体。

由于学生数量超过了班级数量，根据抽屉原理，至少有一个班级中会有两个或更多个学生的年龄相同。

这个例子说明了抽屉原理在实际中的应用。

无论是年龄还是其他属性，当数量超过容器的容量时，必然会出现某些容器内包含了相同的属性。

抽屉原理在计算机科学、概率论、组合数学等领域都有重要的应用。

初中数学竞赛《抽屉原理》复习题1．如果三个完全平方数之和能被9整除，那么可以从这三个数中选出两个来，使得这两个完全平立数之差也能被9整除．【分析】利用分类讨论的方法，首先根据同余理论，任何一个整数总可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4这九种情况中的一种．然后将其分别平方，即可得到：任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0，1，4，7这四种情况之一．又由所选的三个完全平方数之和能被9整除，所以可得是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}这四种情况中的一种．从而得证这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除．【解答】解：下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数．根据同余理论，我们知道，任何一个整数总可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4这九种情况中的一种．现在将这九种情况分别平方，于是可得：（9k）2＝9×9k2+0；（9k±1）2＝9（9k2±2k）+1；（9k±2）2＝9（9k2±4）+4；（9k±3）2＝9（9k2±6k+1）+0及（9k±4）2＝9（9k2±8k+1）+7．可见，任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0，1，4，7这四种情况之一．另一方面，由于所选的三个完全平方数之和能被9整除，因此这三个数的余数之和也一定能被9整除；而从0、1、4、7这四个数中选出三个，其和要能被9整除，只可能是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}这四种情况中的一种．而在上面这四种可能的余数组合中，每一组都至多有两种余数，因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同，从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除．【点评】本题考查抽屉原理的应用，难度较大，关键是分类讨论法的应用，这种方法经常在证明时使用，同学们要注意掌握．。

抽屉原理练习题1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。

这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。

试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。

共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。

如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。

证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。

5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解题关键：利用抽屉原理２。

解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。

以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5 (5)由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。

初中数学竞赛：抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。

一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。

使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。

一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。

例1从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有2个数的差为50；（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。

证明：（1）将100个数分成50组：{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。

（2）将100个数分成50组：{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。

（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。

第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。

例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。

得到500个余数r1，r2，...，r500。

由于余数只能取0，1，2， (499)499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

《抽屉原理》练习题1、跳绳练习中，1分钟至少跳几次时，必在某1秒内，至少跳了三次?2、任意取几个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数?3、五（1）班有40名学生，班里有个小书架，要保证至少有一两个同学能借到两本或两本以上的书，书架上至少要有几本书。

4、在自然数1、2、3……100中，至少要取几个数，才能保证当中必有两个数的差小于5？5、袋子里有红色球80个、黄色球70个、兰色球60个、白色球50个，它们的大小和质量都一样，要保证摸出10对球（颜色相同的为一对），至少应取几个球？6、一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意抽取两张牌，那么至少要有几个人才能保证他们当中一定有两个所抽取的两张牌的花色是相同的？7、黑暗中有红、黄、黑、白4种颜色的筷子分别有1只、3只、5只和7只混在一起，要保证得到两双颜色不同的筷子，一次至少应摸出多少只？8、库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少要几人搬运，才能保证有5人搬运的球完全一样?9、夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处，那么至少有几个人游览的地方完全相同/？10、在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球，若要保证取到白球，则至少应从中取出几个球？11、六（1）班有49名学生，数学期中考试中（满分为100分）除3人外均在86分以上（每人的成绩均为整数），那么该班同学至少有几人的成绩相同？12、口袋里有足够多的红、蓝、白三种颜色的球，现有31人轮流从袋子中取球，每人取3个，至多有多少人所拿的球，相互颜色不完全相同？13、一个袋子中有100只红袜子，80只绿袜子，40只白袜子，让你闭上眼睛从袋子中摸袜子，每次只许摸一只，至少要摸出多少只？才能保证摸出的这几只袜子中至少有一双颜色一样。

14、100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能选举1人，得票最多的人当选，开票中途累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票，在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？15、把红、蓝、黄、白四种颜色的筷子各三根混在一起。

第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题(考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题50分．)1．化简繁分数：=3-2-1--5-4-6--( ) (A)32 (B)-32 (C)-2 (D)2 2．化简分式：=+÷++÷++222222)n m n -m ()n m 2mn -(1)n -m n m ()n m 2mn (1-1 (A)2n)(m 4mn + (B) 2n)(m 2mn + (c)0 (D)2 3．设a ≠b ，m ≠n ，a ，b ，m ，n 是已知数，则方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++1nb y n a x 1m b y m a x 的解是( )． (A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=b a n)m)(b (b y b a n)m)(a (a x (B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)n)(b (a y b -a m)m)(b (a x (C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)m)(b (b y b -a n)m)(a (a x ((D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)m)(b (b -y b -a n)m)(a (a x 4． 已知x+y ≠0，x ≠z ，y ≠z ，且1+z)-y)(x (x yz ++z)-y)(y (x x z +=z)-z)(y -(x x y ，则必有( )．(A)x ＝0 (B)y ＝0 (C)z ＝0 (D)xyz ＝05.一共有( )个整数x 适合不等式|x-2 000|+|x|≤9 999．(A)lO 000 (B)2 000 (C)9 999 (D)8 0006．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2xy z 2xz y 2yz x ，的解共有( )组．(A)l (B)2 (C)3 (D)≥47．设，2为自然数，A ＝14444n 2n +⋯+⋯位位，则( )．(A)A 为完全平方数 (B)A 为7的倍数(C)A 恰好有3个约数 (D)以上结论都不对8．设轮船在静水中的速度为v ，该船在流水(速度为u<v)中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ；假设u ＝0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回A ，所用时间为t.则( )．(A)T=t (B)T<t (C)T>t (D)不能确定T ，t 的大小关系9．如图，长方体ABCD —A'B'C'D ’长、宽、高分别为a ，b ，c ．用它表示一个蛋糕，横切两刀、纵切一切再立切两刀，可分成2×3×3＝18块大小不一的小长方体蛋糕，这18块小蛋糕的表面积之和为( )．(A)6(ab+bc+ca) (B)6(a+c)b+4ca(C)4(ab+bc+ca) (D)无法计算10．打字员小金连续打字14分钟，打了2 098个字符，测得她第一分钟打了112个字符，最后一分钟打了97个字符．如果测算她每一分钟所打字符的个数，则( )不成立，(A)必有连续2分钟打了至少315个字符(B)必有连续3分钟打了至少473个字符(C)必有连续4分钟打了至少630个字符(D)必有连续6分钟打了至少946个字符二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分．)1．分解因式：(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3＝ ． 2．已知2222)(x C 2x B 1-x A 2)1)(x -(x 3x ++++=++，其中A ，B ，C 为常数，则A ＝ ，B ＝ ，C ＝ ，3．化简：xy -y)x -(x -x xy z zx x)y (z x xz -y yz -z)x -(y x yz x 222222++++++++= 4． 若x-y ＝l ，x 3-y 3＝4，则x 13-y 13＝ ．5. 已知x 6+4x 5+2x 4-6x 3-3x 2+2x+l ＝[f(x)]2，其中f(x)是x 的多项式，则f(x)＝ ．6．设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数．则N 的最大值是 ．7．设自然数x>y ，x+y ＝667，x ，y 的最小公倍数为P ，最大公约数为Q ，P ＝120Q ，则x-y 的最大值为 .8．方程4x 2-2xy-12x+5y+ll ＝0有 组正整数解，9．一个油罐有进油龙头P 和出油龙头Q ．油罐空时，同时打开P 、Q ，4小时可注满油罐．油罐满时，先打开Q ，12小时后关上；接着打开P ，2小时后关上，此时油罐未满；再打开Q ，5小时后油罐恰好流空．那么P 的流量是，Q 的流量的 倍．10．如图，试把0，3，5，6，7，8，9这7个数填入图中的7个小圈，每个圈填1个数，不同的圈填不同的数．然后在两端填了x 和y 的每条边上标上|x-y|的数值，使得图中的9条边所标的数值刚好是1，2，3，4，5，6，7，8，9．(答案填在本题图中)初二答案一、1．B．2．A． 3．D．4．D．以(x+y)(x-z)(y-2)乘原式两边，化简得xyz=O．5．C．若x≥2 000，则不等式变为(x一2000)+x≤9 9 9 9，即2000≤x≤5 9 9 9．5，共有4000个整数适合；若O≤x<2000，则不等式变为(2000一x)+x≤9 9 9 9，2 000≤9 9 9 9，恒成立，又有2000个整数适合；若x<O，则不等式变为(2000-x)+(-x)≤9 99 9，即-3 99 9．5≤x< O，共有3 99 9个整数适合．合计有9 9 9 9个整数适合题设不等式． 6．B．有两组解：x=y=z=1，x=y=z=2，7．A．易见A=44···488···89(n个4，n-1个8)，记为An．则A1=49=72，A2=4489．=672，A3=444889=6672，…，An=66…6 72(n-1个6),A是完全平方数．但A2不是7的倍数．A3能被1，2 3，2 9，6 6 7等整除，不止3个约数．8．C．设A，B相距S,T/t>1．T>t．9．B．面积和=2×3×ab+2×2×ac+2×3×bc=6ab+4ac+6bc．1 O．_D．小金中间的l 2分钟打了2 09 8一ll 2—9 7=1889个字符．把这1 2分钟分别平均分成6段、4段、3段，每段2分钟、3分钟、4分钟，由1 88 9÷6：3 1 4…5，1 88 9÷4=4 7 2…1，1 889÷3=6 29…2，应用抽屉原理知(A)，(B)，(C)均成立．但1 8 8 9÷2—944…1，因此如果小金每分钟所打字符个数依次是11 2，15 8，1 5 7，1 58，1 5 7，1 58，157,l 5 8，1 5 7，1 5 8，l 5 7，1 5 7，1 5 7，9 7，则她连续6分钟最多打了3×(1 5 8+1 5 7)=94 5个字符，结论(D)不成立．二、1．3(x一2)(y一2)(z—y)．．2．4/9；5/9； -7/3 通分，分子相等，是恒等式3．0．4．5 2 1．5．±(x3+2x2-x-1)．6．1 6 8 1．设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99，x2=1OOm2+y，y=x2—100m2=(x+1Om)(x-1Om)．令x+10m=a，x-1OOm=b，则b≥l，m≥1，x=1Om+b≥11，a=x+10m≥21，我们要求x的最大值．若m≥4，则x=10m+b≥4 1，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=1 6，N=1681．显然当m≤3时，z≤4 O，故N=1 6 81为所求最大值．10．答案如图．(此图旋转或翻折亦符合题意)把标上数值a的边称为“边a’’．则边9两端必为0，9；边8两端必为O，8；边7两端必为0，7．0必与9，8，7相邻．O不能再与其他数相邻．从而边6两端必为9，3；边5两端必为8，3．若O在圆周上，由3与8，9相邻，以及边4的两端必为9，5或7，3，便可填得上图．若O在中央，易见不能有符合要求的图形．第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题(考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)1．化简繁分数：=8-7-6-7--3-2-8-9--5-4-6-7--2-1-8-9--( ) (A)-35 (B) 35 (C)-53 (D)以上答案都不对 2．设a ：b=3：5，求下式的值：333322222222b)-(a b)(a b)-(a -b)(a b a b -4a -b a 4b -a b -a b 6a -b -a 6b a +++÷++++＝( )． (A)-92616175 (B) 30671235 (C)9157 (D) 73 3．已知x-2x 1＝2，则以下结论中，；①54x 1x 22=+②118x 1-x 33=③5432x1x 55=+ 有( )个是正确的：(A)3 (B)2 (C)l (D)04.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+2by-cx axy 1cy bx axy (b ≠2c ，c ≠-2b)的解是( )， (A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=c)a(2b )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 2222 (B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b)-a(2c )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222 (C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=)a(2b )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222c (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b)-a(2c )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 22225.下面的图形中，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏，下笔后笔不能离开纸)．(A)0 (B)l (C)2 (D)36.三位数中，十位数字比百位和个位数字都要大的三位数有 ( )个．(A)315 (B)240 (C)200 (D)1987．5支足球队进行循环比赛(每两支球队都赛一场)，已知甲队已赛3场，乙队比甲队赛的场数多，丙队比甲队赛的场数少，丁队与戊队赛的场数一样多，但丁队与戊队没赛过．那么，总的比赛场数是( )．(A)8 (B)7 (C)6 (D)58．如图，梯形ABCD 被对角线分为四个小三角形．已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25m 2和35m 2，那么梯形的面积是( ) m 2．(A)144 (B)140 (C)160 (D)无法确定9．一个平面图形，如果沿着一条直线对折能做到自身重合，便称为轴对称图形，例如正方形是轴对称图形(因为沿它的一条对角线对折，可做到自身重合)．在下图中的4个图形中有( )个是轴对称图形．(A)4 (B)3 (C)2 (D)l10．下面算式中，每个汉字代表0，l ，2，……，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是( )． (A)2 (B)3 (C)4 (D)≥5二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)1．分解因式：(2x-3y)3+(3x-2y)3－125(x-y)3＝ ．2.已知2x C Bx 1x A 2)1)(x (x 12x 3x 222++++=++++，其中A ，B ，C 为常数，则B ＝ ．客上天然居 × 好居然天上客3.化简：b)-a)(c -(c b)(a 2c a)-c)(b -(b a)(c 2b c)-b)(a -(a c)b)(a a(a 22++++++= . 4．若(x-1)(y+1)＝3，xy(x-y)＝4，则x 7-y 7＝ ．5．已知6x 2+7xy-3y 2-8x+10y+c 是两个x ，y 的一次多项式的乘积，而c 是常数，则c ＝6．设n 是三位完全平方数，且n 的逆排数(把的数字从右到左逆排所得的数)也是完全平方数，这样的数n 共有 个．7．已知a 、b 和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b 的最大值是8．方程y143x +＝3有 组正整数解． 9．一个深水井，现有5 000立方米储水量，并且地下水以每秒0．5立方米的流量涌进井内，但水井储水量达到7000立方米时便停止涌水．水井安装有往外抽水的水泵4台，每台每秒出水量0．2立方米，如果开始每天白天(7～19时)开3台水泵，晚上(19—7时)开l 台水泵，3天后，改为白天开4台水泵，要使每台水泵的出水量不减少，最多能开小时?(答案四舍五入为整数)10．花城中学初22(A)班的女同学计划制作200张贺年卡．如果每人做8张，任务尚未完成；如果每人做9张，则超额完成任务．后来决定增派4位男同学参加制作，任务改为300张，结果每人做了11张，超额完成了任务，那么，初二(A)班女同学共有 人．初 二答案一、1．A ．2.C3．B ．4．C ．5．D ．6．B ．7．C ．乙队已赛过4场．若丙队只赛过1场，则丙队与甲队没赛过。

抽屉原理规律：用苹果数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1；若除数为零，则“答案”为商抽屉原则一：把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。

抽屉原则二：把多于m x n 个苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有（m+1）个苹果。

一、基础训练。

1、把98个苹果放到10个抽屉里，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少有______个苹果。

98÷10=9 (8)2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少有_______只鸽子。

1000÷50=203、从8个抽屉里拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从它里面至少拿出______个苹果。

17÷8=2 (1)4、从______个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找出一个抽屉，从它当中至少拿出7个苹果。

25÷（4）=6 (1)二、拓展训练。

1、六（1）班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。

王老师说的对吗？为什么（49-3）÷15=3 (1)86，，87，88，89，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100十五个数2、从1、2、3……，100这100个数中任意挑出51个数来，证明这51个数中，一定有（1）2个数互质任一个奇数都可以和偶数成互质数50个偶数，任意挑出51个数来必会有奇数与偶数（2）有两个数的差是50（1，51）（2，52）（3，53）……（49，99）（50，100）50组若取51个每组可取1个共50个，另一个任意取一个，就能组成差是5051÷50=1 (1)3、圆周上有2000个点，在其上任意地标上0、1、2……、1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数），求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个数和这点上所标的三个数之和不小于2999.(0+1999)*2000÷2=19990001999000÷2000*3=4、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号中至少有四个信号完全相同。

抽屉原理专项习题（107道）姓名：1.在一米长的线段上任意点六个点。

试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。

2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。

请你证明：他们中至少有两个人是在同一天出生的。

3.夏令营有400个小朋友参加，问：在这些小朋友中，(1)至少有多少人在同一天过生日？(2)至少有多少人单独过生日？(3)至少有多少人不单独过生日？4.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。

试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。

5.在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小于10米？6.在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。

问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？8.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到？(2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子？9.据科学家测算，人类的头发每人不超过20万根。

试证明：在一个人口超过20万的城市中，至少有两人的头发根数相同。

10.第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。

试证明：在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。

11.证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。

12.跳绳练习中，一分钟至少跳多少次才能保证在某一秒钟内，至少跳了两次？13.一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色。

证明：至少有三个面是同一颜色。

14.袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。

问：至少要取出多少个球，才能保证有三个球是同一颜色的？15.一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。

问：至少捞出多少条鱼，才能保证有五条相同品种的鱼？16.某小学五年级的学生身高(按整厘米计算)，最矮的为138厘米，最高的为160厘米。

抽屉原理练习题1、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？2、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？3、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？4、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。

5、在任意的10人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等？6、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?7、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？8、某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这380个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？9、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？10、任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，这是为什么？11、从任意3个整数中，一定可以找到两个。

使得它们的和是一个偶数，这是为什么？12、从任意的5个整数中，一定可以找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，这是为什么？13、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52，这是为什么？14、在100米的路段上栽树，至少要栽多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？（两端各栽一棵）15、从1~10这10个数中，任取多少个数，才能保证这些数中一定能找到两个数，使其中的一个数是另一个数的倍数？16、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？17、有尺寸、规格相同的6种颜色的袜子各20只，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子？18、把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋有至少分得一块饼干，那么不管怎么分，一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同，这是为什么？19、下图中画了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色，请你想一想，为什么不管如何涂色，其中必定可以找到两列，它们的涂色方式相同？20、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书，其中才一定有两人所借的图书种类相同？21、（1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102.（2）从1到100的所有奇数中，任取27个不同的数，其中必有两个数的和等于102 ，请说明理由1. 某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？2. 42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？3. 口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？4. 饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？5. 从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。

初一数学竞赛系列讲座(14)抽屉原理一、知识要点（1）抽屉原理1把n +1个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里有2个东西．（2）抽屉原理2把m 个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k 个东西．其中n m n m n m n m k n m n m k 表示，的倍数时不是当或的倍数时是当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)(1)( 的整数部分．（3）上述二个原理统称为抽屉原理．抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具．利用抽屉原理解题的一般步骤是：(1)构造抽屉，指出东西； (2)将东西放入抽屉，或从抽屉里取出； (3) 说明理由，得出结论．二、例题精讲例1 用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.分析：把用两种颜色涂1×3的小方格的方法当作抽屉．解：用两种颜色涂1×3的小方格共有8种方法．现有9列，由抽屉原理，必有两列涂法一样． 评注：用抽屉原理解题的关键在于构造抽屉，另外还要搞清什么是抽屉？什么是东西？ 例2 已知一个圆．经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1986个交点，在每个交点处分别填写从1到496中的一个整数(可重复填写)．证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等．(第二届迎春杯决赛试题)分析：直径两端的数都在1到496之间，所以它们两端的数的和在2到992之间， 则可构造991只抽屉，而东西有993个，因而得到证明．证明：直径两端的数都在1到496之间，所以直径两端的数的和≥2，且≤992 所以，这种和只有991种．而直径有993条，993>991，所以一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等． 评注：由解题过程知本题将“993条直径”改为“992条直径”结论仍然成立．如果将结论改为“可以找到两条直径，它们两端的数的和相等”，那么条件“经过圆心任意作993条直径”就要改为“经过圆心任意作1983条直径”．例3夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？试证明你的结论．(第二届迎春杯决赛试题)分析：将游览方案当作抽屉，将人当作东西，由抽屉原理可得结论．解：去一处的可能有3种(故宫、景山公园、北海公园)，去两处的可能也有3种(故宫与景山公园、北海公园与故宫、景山公园与北海公园)，由于每人最少去一处，最多去两处游览，所以游览方案共有6种．因此，1987个人中至少有33261987=⎥⎦⎤⎢⎣⎡个人游览的地方完全相同． 例4在1，4，7，…，100中任选20个不同的数．证明其中至少有4个数a 、b 、c 、d ，使a +b ＝c +d ＝104.(第39届普特南数学竞赛试题)分析：考虑和为104的数对．如果两个数取自同一个数对，则它们的和必是104，所以应当将和为104的数对作为抽屉．解：将1，4，7，…，100这34个数，去掉1与52，分成16个数对：{4，100}，{7，97}，…，{49，55}，显然每个数对中两数的和为104所取的20个数中，至少有18个取自这16个数对，则根据抽屉原理，其中必有两个数a 、b 在同一数对中，它们的和a +b ＝104．剩下的16个数，取自其余的15个数对，同样根据抽屉原理，其中必有两个数c 、d 在同一数对中，它们的和c +d ＝104．所以其中至少有4个数a 、b 、c 、d ，使a +b ＝c +d ＝104.评注：本题两次使用了抽屉原理．例5 910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同. （北京1990年高一竞赛）解：910瓶红、蓝墨水排成130行，每行7瓶，对一行来说，每个位置上有红蓝两种可能，因此，一行的红、蓝墨水排法有27＝128种，对每一种不同排法设为一种“行式”，共有128种行式.现有130行，在其中任取129行，依抽屉原则知，必有两行A 、B 行式相同.除A 、B 外余下128行，若有一行P 与A 行式相同，知满足（1）至少有三行A 、B 、P 完全相同，若在这128行中设直一行5A 行或相同，那么这128行至多有127种行式，依抽屉原则，必有两行C 、D 具有相同行式，这样便找到了（A 、B ），（C 、D ）两组（四行），且两组两行完全相同.例6 从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.分析：设法制造抽屉，使它们符合如下条件：（1）不超过50个；（2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数．一个自然的想法是从数的质因数表示形式入手．解：设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；第二个抽屉时放进数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24；…………第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；第二十六个抽屉里放进数：51.…………第五十个抽屉里放进数：99.那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.评注：本题构造的抽屉比较别致，它必须符合分析中的两个条件．这种构造抽屉的方法值得我们体会．例7 在边长分别为2和4的矩形中任取9个点(任三点不共线)，证明至少存在三点，以它们为顶点的三角形的面积不大于1．分析：矩形中任一三角形的面积不超过该矩形面积的一半，而已知矩形面积为8，故若将该矩形分为4个等积的小矩形，则小矩形的面积为2，其内的任一三角形的面积不超过1，因而只须将已知矩形分为4个等积的小矩形，证明其中至少有一份含有9个点中的3个点即可． 证明：将已知矩形分为4个全等的小矩形，则由抽屉原理，任取9个点中至少有3个点在一个小矩形中．由于这个小矩形的面积等于24)(241=⨯，故以这3个点为顶点的三角形面积不超过该小矩形面积的一半1，问题得证．例8有一位国际象棋大师，用11周时间准备一次锦标赛．在准备期间，他决定每天至少参加一次比赛，但每周累计比赛不超过12次．证明：存在连续若干天，这位大师恰好共进行了21次比赛．证明：设前天这位大师累计比赛的次数为a i，11周共有77天，故1≤i≤77．由于每天至少参加一次比赛，但每周累计比赛不超过12次，故有1≤a1<a2<…<a77≤11 12＝132，于是，22≤a1+21<a2+21<…<a77+21≤132+21＝153则在1到153之间共有154个整数：a1，a2，…，a77，a1+21，a2+21，…，a77+21由抽屉原理，其中至少有两个数相等．由于a1，a2，…，a77不可能相等，a1+21，a2+21，…，a77+21也不可能相等，所以只可能是某个a i与某个a j+21(j<i) 相等，即a i-a j＝21．这说明这位大师第j+1天，第j+2天，…，第i天累计比赛21次．三、巩固练习一、选择题1、一副扑克有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽( )张才能保证有4张牌是同一花色．A、12B、13C、14D、152、有22只装钢笔的文具盒，如果不管如何装都至少有4只文具盒里的钢笔数相同(不装算0个)，那么每个文具盒最多可装( )支钢笔．A、4B、6C、7D、83、今有21个自然数a1，a2，…，a21，且a1<a2<…<a21≤70，则值相等的差a j-a i(1≤i<j≤21)的个数为( )A、0个B、2个C、至多有3个D、至少有4个4、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个数，则(1)其中必有两数互质；(2)其中必有一数是另一数的倍数；(3) 其中必有一数的两倍是另一数的倍数．以上结论中，正确的个数为( )A、0个B、1个C、2个D、3个5、某校有1200人，则全校在同一天过生日的人至少有（）个A、2B、3C、4D、56、从1，2，3，…，n 中任取8个数且使其中一定至少有两个数的商不小于32又不大于23，则n 的最大值是（ ）A 、25B 、32C 、39D 、60二、填空题 7、把130只苹果分给若干小朋友，如果不管如何分，都至少有一个小朋友分得4只或4只以上的苹果，则小朋友最多有 个．8、黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子(一双筷子指同色的两根)，则至少要取 根筷子．9、在一副扑克牌中取牌，至少取 张，才能保证其中必有3张牌的点数相同．10、不大于10的k 个自然数，从中选出三个数，使得其中两数之和等于第三个数，则k 的最小值是11、在面积为1的平行四边形内有任意五点，则一定存在三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于12、在1，3，5，7，…，m 连续奇数中任取17个数，使其中至少有两个数之差为8，则奇数m 的最大值为三、解答题13、在不超过91的自然数中任取10个数，证明：这10个数中一定有两个数的比值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332，中． 14、设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的某种排列，且n 是奇数，求证：(a 1-1)( a 2-2)…(a n -n )必是偶数．15、用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.16、把圆周分成36段，将1，2，…，35，36这36个数字任意写在每一段内，使每一段内恰好有一个数字．求证：一定存在连续的三段，它们的数字和至少是56．17、在一次集会上，其中必有两个人，他们认识的人数一样多．试证明之(这里甲认识乙，则乙也认识甲)18、任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识.19、a ，b ，c ，d 为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数b -a ，c -a ，d -a ，c -b ，d -b ，d -c 的乘积一定可以被12整除.1 20、在边长为1的正三角形内任取10个点，证明其中至少有两点，它们的距离不超过．3。