【数学】浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高二上学期期中考试(1班)

绝密★启用前2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若椭圆222116x y b+=过点(-，则其焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C将点(-代入椭圆得到2b =，c =，得到焦距. 解：椭圆222116x y b+=过点(-，故243116b +=，2b =，故c ==焦距为2c =. 故选：C . 点评：本题考查了椭圆的焦距，意在考查学生的计算能力.2．命题“若0m >，则20x x m +-=有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个答案：C因为0m >，则140m ∆=+>，故20x x m +-=有实数根，原命题的逆命题为：若20x x m +-=有实数根，则0m >，取14m =-，则方程为2104x x ++=，此方程的解为12x =-，故方程有实数根，但104m =-<，故逆命题为假命题.又原命题与其逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假，故4个命题中，假命题的个数为2. 点睛：在命题的真假判断中，注意利用原命题与其逆否命题同真同假来判断. 3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ ） A ．若//,//m m αβ, 则 //αβB ．若,//m m αβ⊥, 则//αβC ．若,//m n αα⊥ ,则//m nD ．若,m n αα⊥⊥, 则//m n答案：D根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 解：A. 若//,//m m αβ, 则 //αβ或,αβ相交，A 错误；B. 若,//m m αβ⊥, 则αβ⊥，B 错误；C. 若,//m n αα⊥ ,则m n ⊥，C 错误；D. 若,m n αα⊥⊥, 则//m n ，D 正确； 故选：D . 点评：本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.4．下列命题说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题 答案：B试题分析：A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若，则1x ≠”；B 、即为，可知03x <<是的必要不充分条件；C 、命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有”；D 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为“若sin sin x y =，则x y =”，是假命题（如）.【考点】常用逻辑用语．5．设方程22(3)20x y x y x +-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线答案：A根据题意得到30x y +-=且2220x y x +-≥，或2220x y x +-=，画出图像，分别判断得到答案. 解：22(3)20x y x y x +-+-=，故30x y +-=且2220x y x +-≥，如图所示：画出图像知，表示一条直线； 或2220x y x +-=，即()2211x y -+=表示一个圆.故选：A .点评：本题考查了方程表示的曲线，漏解是容易发生的错误.6．如右图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC BD ，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB 4cm AC 6cm BD 8cm CD 217cm ====，，，，则这个二面角的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：B过点A 作AE BD P 且AE BD =，连接,CE DE ，则AE AB ⊥，即CAE ∠为二面角的平面角，由题意，得2228652AE BD AC CE CD ED ====-=，，，由余弦定理，得2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯，则060CAE ∠=，即这个二面角的度数为060；故选B.7．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案：C用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 解：对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 点评：本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 8．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中不正确的是( )A ．MC AN ⊥B ．//GB AMN 平面C ．CMN AMN ⊥平面平面D ．//DCM ABN 平面平面由题意，取MN 中点O ，易知AOC ∠就是二面角A MN C --的平面角，有条件可知，90AOC ∠≠o ，所以平面CMN 与平面AMN 不垂直，故C 错误．故选C ．9．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A ．3 B ．23C ．3π D ．2π 答案：C根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时，AK=4=12，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π，其所对的弧长为1223π⨯=3π，故选：C本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．答案：C等腰中，算出，由线面垂直的判定与性质，证出面，得，从而证明平面，可证明面，三棱锥的高为定值，在中，算出，可得，利用三角函数的有界性求出的最大值，即可得出结果．解：在中，，，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，，，∴当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C．点评：本题着重考查了线面垂直的判定与性质、棱锥的体积公式，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.二、填空题11．已知原命题为“若0＜x ＜1，则x 2＜1”，写出它的逆否命题形式_____，它是_____（填写”真命题”或”假命题”）．答案：若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1 真命题由原命题为真可得逆否命题也为真，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． 解：原命题为“若0＜x ＜1，则x 2＜1”，显然该命题为真命题， 则它的逆否命题形式“若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1”，是真命题， 故答案为若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1，真命题 点评：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．12．正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AA AB 的中点，则EF 与直线1AC 所成角的大小为______ ；EF 与对角面11BDD B 所成角的正弦值是 __________． 答案：2π 12如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，计算()0,1,1EF =-u u u r，()12,2,2AC =-u u u u r ，对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-r，计算得到答案.解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()2,0,1E ，()2,1,0F ，()2,0,0A ，()10,2,2C ，故()0,1,1EF =-u u u r，()12,2,2AC =-u u u u r.故10EF AC ⋅=u u u r u u u u r ，故EF 与直线1AC 所成角的大小为2π.易知对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-r，设EF 与对角面11BDD B 所成角为θ，故1sin cos ,2EF n EF n EF n θ⋅===⋅u u u r ru u u r ru u ur r . 故答案为：2π；12.点评：本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．已知某组合体的三视图如图所示，其侧视图是一个等腰直角三角形，则该组合体的表面积为______ ，体积为____________.答案：1244++ 1123π+根据三视图知，几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形，计算表面积和体积得到答案. 解：根据三视图知：几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形.故11111442424Sππ+=++++=+；1111111343123Vππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故答案为：144++；1123π+.点评：本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14．已知圆锥SO的底面半径是23，母线长是2，则将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于________，若M是SA的中点，从M处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点A，则绳子长度的最小值等于__________.答案：23π扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233ππ⨯=，半径为母线长2，从而可得圆心角；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得结果.解：扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233ππ⨯=，半径为母线长2，所以，将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于42323ππ=；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得为'MA==故答案为23π，点评：本题主要考查圆锥的侧面展开图以及余弦定理的应用，属于中档题.求旋转体表面上两点的最小距离时，往往利用其侧面展开图转化为平面几何知识解答.15．已知方程22131x ym m+=--表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为____________ .答案：()2,3根据题意得到301013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得答案.解：方程22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足：301013m m m m->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得23m <<.故答案为：()2,3. 点评：本题考查了根据方程表示椭圆求参数，意在考查学生对于椭圆定义的理解.16．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =答案：124试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍． 即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍． 所以V 1：V 2=13S △ADE •h/S △ABC •H ＝124=1：24 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积17．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长6AB =,侧棱长127AA =它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上的任意一点，有以下命题： ①PE 的长的最大值为9;②三棱锥P EBC -的体积的最大值是323; ③存在过点E 的平面，截球O 的截面面积为9π; ④三棱锥1P AEC -的体积的最大值为20；⑤过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，1BC 垂直于该截面. 其中是真命题的序号是___________答案：①③④计算外接球半径为5R =，4EO =，得到①正确；三棱锥P EBC -的max 75h =，计算得到②错误；当截面与EO 垂直时，9S π=，故③正确；三棱锥1P AEC -，max 5h R ==，计算得到④；根据1//EO BC 得到⑤错误，得到答案.解：外接球半径为：3636285R ++==，36284EO +==，故PE 的最大值为9EO R +=，①正确；13692EBC S ∆=⨯⨯=，高1max 752AA h R =+=，故)max 197537153V =⨯⨯=，②错误；当截面与EO 垂直时，223r R EO =-=，故9S π=，故③正确；1133628122AEC S ∆=⨯+=，max 5h R ==，故max 20V =，故④正确；当过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，截面过直线EO ，1//EO BC ，故⑤错误.故答案为：①③④.点评：本题考查了四棱柱的外接球问题，体积的最值，截面问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,21AB BC AA AC BC ⊥===，，,E F 分别是11,A C BC 的中点.（1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积.答案：（1）证明见解析 （2）3E ABC V -=试题分析：（1）做辅助线，先证1//,2FG AC FG AC =及1//,FG EC FG E =四边形1FGEC 为平行四边形⇒11////C F EGC F 平面ABE ； （2）利用勾股定理求得3AB =⇒E ABC V -= 1133ABC S AA ∆⋅=试题解析：（1）证明：取AB 中点G ,连接,EG FG ，则 ∵F 是BC 的中点， ∴1//,2FG AC FG AC =； ∵E 是11A C 的中点， ∴11//,FG EC FG EC =, ∴四边形1FGEC 为平行四边形， ∴1//C F EG ,∵1C F ⊄平面ABE ,EG ⊂平面ABE , ∴1//C F 平面ABE ；（2）∵121AA AC BC AB BC ===⊥，，,∴AB =∴111112332E ABC ABC V S AA -∆=⋅=⨯⨯=19．已知0c >,设p ：函数xy c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围. 答案：[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U 计算p 为真时()0,1c ∈，q 为真时12c >，讨论p 真q 假，或p 假q 真两种情况，分别计算得到答案. 解：p ：函数x y c =在R 上递减，故()0,1c ∈；q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，当2x c ≥时，|2|221x x c x c +-=->，即12c x <-，故min 11222c x c ⎧⎫<-=-⎨⎬⎩⎭， 解得12c >； 当2x c <时，|2|21x x c c +-=>，解得12c >.综上所述：12 c>.“p或q”为真，且“p且q”为假，故p真q假，或p假q真.当p真q假时，0112cc<<⎧⎪⎨≤⎪⎩，故10,2c⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当p假q真时，112cc≥⎧⎪⎨>⎪⎩，故[)1,c∈+∞. 综上所述：[)10,1,2c⎛⎤∈+∞⎥⎝⎦U.点评：本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．已知多面体P ABCD-中，AB CD∥，90BAD PAB∠=∠=︒，12AB PA DA PD DC====，M为PB中点.（1）求证：PA CM⊥；（2）求直线BC与平面CDM所成角的正弦.答案：（1）证明见解析（22（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA⊥CD直线所在平面（2）过点B作BO CMD⊥面，连接CO，则BCO∠为直线BC与平面CDM所成角的平面角，再采用等体积法求出BO，即可求得也可采用建系法直接求解解：法一：（1）由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；如图：取PA中点E，连接ME，DE得：ME PA⊥，DE PA⊥，PA DEMC⊥面；故：PA CM⊥；（2）过点B作BO CMD⊥面；连接CO，则BCO∠为直线BC与平面CDM所成角的平面角，即有B CDM M CBDV V--=，不妨设122AB PA DA PD DC==-==，即有：111134342132322h h⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以2sin4hBCOBC∠==法二：由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；122AB PA DA PD DC=====如图建系得：()200P，，，()3A，，，()3B，，，()004C，，,()0,0,0D，3312M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，（1）()3,0PA=-u u u r,332CM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u u r则0PA CM PA CM⋅=⇒⊥u u u r u u u u r（2）设面CDM的法向量为(),,n x y z=r，()0,0,4DC=u u u r，3322DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u u r，()1,BC =-u u u r即有：()4001,030z DC n n DM n x =⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩u u u v rr u u u uv r ，故sin cos 4BC n α=<⋅>==u u u r r 点评：本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题21．在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点(1,1)A -关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1) 求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;(2) 设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于,M N ，问是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：（1）223144x y +=，1x ≠±；（2）存在，53P ⎛ ⎝⎭或5,3P ⎛ ⎝⎭ （1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，221113PA PBy k k x -⋅==--，化简得到答案. （2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =，故00PAB S x y ∆=+，计算2000002022661x x y y x MN x +--=-，得到()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，解得答案. 解：（1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，故2211111113PA PBy y y k k x x x -+-⋅=⋅==-+--. 整理得到：223144x y +=，1x ≠±.（2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =，故0012PAB S AB d x y ∆=⋅=+； 0011APy k x -=+，故直线PA ：()001111y y x x -=+++，取3x =得到()00413,11y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得：()00213,11y N x +⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 故()()2000000020004121226611111y y x x y y x MN x x x -+⎡⎤⎡⎤+--=+--=⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦， 故()20000002022661321PMNx x y y x S x x ∆+--=--， 故()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，整理得到()220031x x -=-，故053x =. 故存在点533,39P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或533,39P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.点评：本题考查了椭圆的轨迹方程，面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．如图，在矩形ABCD 中，3,6,,AB AD E F ==分别在,AD BC 上，且1,4AE BF ==,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A EFB ''，使点B '在平面CDEF上的射影H 在直线DE 上（1）求证：平面B CD '⊥平面B HD '； （2）求证：//A D '平面B FC '； （3）求二面角A DE F '--的正弦值 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）105（1）'B H ⊥平面CDEF ，证明故CD ⊥平面B HD '，CD ⊂平面'B CD ，得到证明. （2）//AE BF ，//DE FC 得到平面'//A ED 平面'B FC ，得到证明.（3）以ED 为y 轴，平面CDEF 内与ED 垂直的直线为x 轴，平面'B HD 内与ED 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，计算('0,6B ，根据1'4EA FB =u u u r u u u r得到316',44A ⎛=-- ⎝⎭，平面'A DE 的法向量为)16,0,3n =u r ，平面DEF 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，计算夹角得到答案.解：（1）B '在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，故'B H ⊥平面CDEF .CD ⊂平面CDEF ，故'B H CD ⊥，CD DE ⊥，'DE B H H =I ，故CD ⊥平面B HD '.CD ⊂平面'B CD ，故平面B CD '⊥平面B HD '.（2）//AE BF ，故'//'A E B F ，'B F ⊂平面'B FC ，故'//A E 平面'B FC .//DE FC ，FC ⊂平面'B FC ，故//DE 平面'B FC ，'DE A E E =I .故平面'//A ED 平面'B FC ，'A D ⊂平面'A ED ，故//A D '平面B FC '.（3）如图所示：以ED 为y 轴，平面CDEF 内与ED 垂直的直线为x 轴，平面'B HD 内与ED 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.()0,0,0E ，()0,5,0D ，()3,3,0F ，设()'0,,B y z ，22'10B E y z =+=u u u u r()22'934B F y z =+-+=u u u u r ，取正解，得到2y =，6z =('0,6B .()11'3,1,644EA FB ==--uu u r u u u r ，故316',,44A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面'A DE 的法向量为()1,,n x y z =u r ，故110'0n DE n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v ，即03160444y x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 取3z =，得到6x =，故()16,0,3n =u r.易知：平面DEF 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，故12121215cos ,15n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r .故二面角A DE F '--的正弦值为10.点评：本题考查了面面垂直，线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

第一学期高一年级期中考试数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知等差数列{}n a 中，61016a a +=，则8a 的值是（ ）A.4B.16C.2D.82. 已知实数,x y 满足约束条件12220y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最大值为 （ ）A.1B.2C.3D.43. 已知关于x 的不等式|||2|1x a x -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为： （ ）4.若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是 （ ） A ．1ab< B.2b a a b +≥ 2211.C ab a b < D.22a a b b +<+5. 设{}n a 为等比数列，给出四个数列： 22(1){2}{}{2},(4){log ||}n an n n a a a 、(2)、(3)，其中一定是等比数列的是（ ）A （1）（3）B （2）（4）C （2）（3）D （1）（2）6. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．43- D ．34- 7. {}12019202020192020,0,0,n n a a a a a a S >+>g 等差数列<0,求使得>0成立的最大自然数n.( )A. 2019B. 4038C. 4039D. 4040 8．在等比数列{}n a 中，2345623456111119,1a a a a a a a a a a ++++=++++=，则4a =（ ）A.2或-2B. 3C.-3D. 3或-39．在ABC ∆中，2AB =，若1BC 2CA ⋅=u u u r u u u r ，则A ∠的最大值是 （ ）A.4π B. 6π C. 3π D. 2π 10.记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大值.若实数,,x y z 满足2220{363x y z x y z ++=++=，则max{,,}x y z 最大值为（ ）A32 B 1 D 23非选择题部分（共110分）二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集是(1,2),-则_____,_______.a b == 12.已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； sin α= .13.在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A = ，△ABC 的面积ABC S ∆ =____.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =-,564a a +=-,则公差d= ；当时，n S 取得最小值.15.函数243030,(2)(3)x y x y x y y x y >><<-+-或则的最小值为___________.16.设等差数列{}n a 的前14项和121477,a a a +++=L 已知111,a a 均为正整数，则公差d = ．17.在△ABC 中，∠B 为直角，线段BA 上的点M 满足22BM MA ==，若对于给定的∠ACM ，△ABC 是唯一确定的，则sin ______.ACM ∠=三.解答题（本大题共5小题，共74分。

浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年下学期期中考试高二数学试题一、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.已知集合A ＝{0,1}，B ＝{1,0,,a b -}，则A B U 的元素个数可能是 ( ) A ．2,3 B ．3,4 C ．4,5 D ．5,62. 已知tan α=2，则2sin cos sin cos αααα+-的值为 ( )A ．5B ．5-C ．15D ．15-3.函数11ln+=x y 的大致图像为 ( )4. 设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为3π B ．周期函数，最小正周期为32π C ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数5.若定义在R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间[0，2]上是增函数，且()(0)f m f ≥，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．04m ≤≤B ．02m ≤≤C ．0m ≤D ．04m m ≤≥或 6.已知直线y 1x =+与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为 ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 7. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） A.)48sin(4π+π=x y B.)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π-π-=x y D.)48sin(4π+π-=x y8.若()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎪⎭⎫⎝⎛-=12241x x a x ＞a x f x ，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.()+∞,1 B.（4，8） C.[)8,4 D.（1，8）9.对于实数a b 和，定义运算“⊗”：,,,.a ab a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩设函数22()(1)(),.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c=-恰有两个不同的零点，则实数c的取值范围是（ ）A ．3(,1)(,0)4-∞-⋃- B ．3{1,}4-- C ．3(1,)4-- D ．3(,1)[,0)4-∞-⋃- 10．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是 （ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值二、填空题（本题共7题，11—14题每空3分，15—17题每空4分，共36分) 11. 函数)42sin(2π+=x y 的周期是 ；要得到函数)42sin(2π+=x y的图象，只需将函数2y x =的图像向左平行移动 个单位长度.12.函数()lg(41)x f x =+-的定义域为_____，1()2f = .13.函数()|sin |cos 1f x x x =-的最大值是 ，212(log )(log )f f ππ-= .14. 已知函数()f x =.若14a =-,则()f x 的递增区间是__________;若()f x 的值域为[)0,+∞,则实数a 的取值范围是__________.15.曲线()2ln()a f x x x=+在区间(2,)+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是_______． 16.若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = ． 17. 设函数()||f x x x bx c =++，则下列命题中正确命题的序号有__________.①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数； ②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值； ③函数()f x 的图象关于点(0,)c 对称； ④方程()0f x =可能有三个实数根．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. (本题满分14分)已知条件212:log (||3)0:6510p a x q x x ->-+>，条件，(1) 若1a =时p 不成立．．．，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. (本题满分15分)设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=.（1）求)(x f 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足()3f α=-α54tan 的值.20. (本题满分15分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 若A 满足212cos cos(2)32A A π++=-. （1）求A ；（2）若c=3, △ABC 的面积为a 的值.21．(本题满分15分)已知函数3()f x x x =-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（3）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．22. (本题满分15分)已知函数1)(2++=bx ax x f ，1)(2++=btx ax x ϕ（a 、R b ∈），且()f x 满足0)1(=-f ，对任意实数x 均有)(x f ≥0成立.（1）求实数a 、b 的值；（2）当[]2,2-∈x 时，求函数()x φ的最大值)(t g ；（3）若对于任意的t R ∈都有[()]()g t mf t ϕ≥成立，求实数m 的取值范围．浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年下学期期中考试高二数学试题参考答案一、选择题：CADBA BDCAC 二、填空题：11 π 8π12（0,1）13 12- 0 14 (33)-- 1[0,][1,)4+∞U15 [4,4]- 16 79- 17 1,3,418 （1）(,4][4,)-∞-+∞U （2）(0,6][12,)+∞U19（1）最大值3+T π=（320（1）23（2）321．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根； 当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．22.（1）1a b ==（2）()54g t t =+（3）若对于任意的t R ∈都有22[()]()(54)2(54)1(1)g t mf t t t t m t ϕ≤⇔++++≥+① 0t ≥时，2241m t ≤++，因为224241t +>+，所以24m ≤； ② 10t -<<时，2283026(1)t t m t -+≥+，264468(1)1m t t ≤-+++，因为111t >+，所以，26446826(1)1t t -+>++，26m ≤；③ 1t =-时，m R ∈ ④ 1t <-时，264468(1)1m t t ≤-+++，因为101t <+，所以，2644688(1)1t t -+>++，8m ≤； 综上，所求实数m 的取值范围是8m ≤.。

2019-2020学年浙江省宁波市北仑中学高一（1班）下学期期中数学试题一、单选题1．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈ B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，22i S i=-∉. 【考点】复数的计算，元素与集合的关系.2．若()()221214,,32z m m m m i m R z i =++++-∈=-，则1m =是12z z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为12z z =，所以2213{42m m m m ++=+-=-，解得1m =或2m =-，所以1m =是12z z =的充分不必要条件，故选A. 【考点】复数相等的概念与充要条件.3．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5．下列判断正确的是（ ） A ．22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B ．命题“若a b 、都是偶数，则+a b 是偶数”的逆否命题是“若+a b 不是偶数，则a b 、都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知a b c 、、是实数，关于x 的不等式20ax bx c ++…的解集是空集，必有0a >且∆<0【答案】C【解析】若22x y ≠，即||||x y ≠，则可得x 、y 的关系，即可得A 错误；直接写出命题的逆否命题判断B 的真假；根据复合命题真假判断的真值表，可以判断出C 的真假；根据不等式恒成立问题及二次函数的图象和性质，可以判断命题D 的真假，进而得到答案． 【详解】解：对于A ，若22x y ≠，即||||x y ≠，则可得x y ≠且x y ≠-，故A 错误；对于B ，命题“a 、b 都是偶数，则+a b 是偶数”的逆否命题是“若+a b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数”，故B 错误；对于C ，若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，则“非p 且非q ”是真命题，故C 正确；对于D ，若关于x 的不等式20ax bx c ++…的解集是空集，则必有0a b ==，0c >或0a >且∆<0，故④错误．故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，其中判断出每个命题的真假是解答本题的关键，④中易忽略0a b ==，0c >的情况，属于中档题．6．12,F F 是椭圆22197x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠01245AF F =，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．74C ．72D 【答案】C【解析】试题分析：由题意3a b c ===，12F F 以得到216AF AF =﹣，利用余弦定理()2222221*********?4548=6AF AF F F AF F F cos AF AF AF =+︒=+-﹣﹣，求出172AF =，故三角形12AF F 面积1772222S =⨯⨯= 【考点】1.椭圆的定义、标准方程；2.椭圆的性质；3.余弦定理的应用.7．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对直线的斜率情况分类考虑，再利用弦长为4，求出直线的斜率， 从而判断直线的条数。

浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{|16}U x N x =∈≤≤，集合{4,5,6}A =，则UA（ ）A. {2,3}B. {1,2,3}C. {|13}x x ≤≤D. {|13}x x ∈<≤N『答案』B『解析』由题意{1,2,3,4,5,6}U =，∴{1,2,3}U C A =.故选：B. 2.函数()2ln 1x f x -=的定义域为（ ）A. ()01，B. [)01，C. (]01， D. []01，『答案』A『解析』由题意2100x x ⎧->⎨>⎩，解得01x <<. 故选：A.3.函数()()2ln 12f x x x =+-+的零点所在的一个区间是（ ） A. ()1,0- B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3『答案』B『解析』2(0)ln1102f =-=-<，2(1)ln 23f =-0>.(0)(1)0f f <. 故选：B.4.三个数()0.430.40.4, 2.9,3a b c ===之间的大小关系是（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. a b c <<D. b c a <<『答案』C『解析』∵0.4y x =在[0,)+∞上是增函数，3 2.91>>∴0.40.43 2.91>>，∵00.41,30<<>，∴30.41<， ∴a b c <<. 故选：C.5.函数()2lg +1y x x =⋅的图象是（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』函数定义域是R ，设2()lg(1)f x x x =+，则2()lg(1)()f x x x f x -=-+=-，∴()f x 是奇函数，可排除A 、C ，又0x >时2()lg(1)f x x x =+0>，0x <时，2()lg(1)f x x x =+0<，因此可排除B. 故选：D6.在[0,2π]上，满足sin x ≥2的x 的取值范围是( ) 。

浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高二下学期期中考试（2~10班）数学试卷命题：贺幼龙审题：孙慈泉一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．随机变量ξ的分布列为2(0),(1)22a a p p ξξ====，则随机变量ξ的均值()E ξ为（ ）A ．2B ．2或12 C ．12D ．1 2．已知直线y kx =是曲线ln y x =的切线，则k 的值为（ ）A ．eB ．1e C ．e - D ．1e- 3．将三颗质地均匀的骰子各掷一次，记下向上的点数，设事件A 为“三个点数互不相同”，事件B 为“至多出现一个奇数”，则概率()P A B I 等于（ ）A ．14 B ． 3536C ．518D ．512 4．设X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于( )A ．.0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 5．“分析法”的原理是“执果索因”，用分析法证明命题：(0)x <>所要“索”的“因”是( )A ．06<B ．56<C ．107>D ．50>6．从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ，则(31)D ξ-=（ ）A ．645 B ．325 C ．485D ．12 7．已知()ln ||f x x =，则下列命题中，正确的命题是（ ）A ．当/10,()x f x x >=，当/10,()x f x x<=- B ．当/10,()x f x x>=，当0x <时，/()f x 无意义 C ．当0x ≠时，都有/1()f x x=D ．因为0x =时，()f x 无意义，所以对ln ||y x =不能求导.8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种9．设函数()(21)(1)xf x e x kx k k =--+<，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则k 的取值范围是（ ） A ．33[,)24e -B ．3[,1)2e -C ．3[,1)2eD ． 33[,)24e 10．九个人排成一排照相，要求,,A B C 三人中任意两人互不相邻，,D E 两个人也不相邻，则九个人按此要求所有不同的排法总数为（ ）A ．122400B ．80640C ．11520D ． 100800二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.11．⑴当13k C 取得最大值时，k = ；⑵ 123456777777C C C C C C +++++= .12．用0,2,3,4,5这五个数，⑴组成没有重复数字的三位数的个数有 ；⑵这些三位数中偶数的个数有 .13．如图所示，曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =<<的图像，BA 垂直x 轴于A ，曲线段OMB 上一点(,())M t f t 处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于Q .⑴用t 表示切线PQ 方程是 ；⑵用t 表示APQ ∆的面积()g t ，若()g t 在区间(,)m n 上单调递减，则点m 的最小值是 .14．已知2721401214(22)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++++++L ，则⑴01214a a a a ++++=L ； ⑵12a = .15．现有7个女生和9个男生，要从这16名学生中选出6名学生去参加某项志愿者服务工作，要求男生至少2名，女生至少2名，则所有可能选派方法有：①243342797979C C C C C C ++，②2227912C C C ，③6061551601679797979C C C C C C C C C ----，④2202112079575757()C C C C C C C C ++ .其中你认为正确的序号有 （只要写上序号）16．现有,,,,a b c d e 字母和1,2,3,4,5,6数字共11个元素排队，要求从左到右字母按abcde 的次序排列，数字按654321次序排列.则满足条件的排法有 .17．若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式32(83)xx x x t e x -++≤恒成立. 则正整数m 的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(结果需用分数作答).（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.19．⑴若821()(1)2x mx x+-展开式中含2x 项的系数为28，求m 的值； ⑵设2521001210(2)x x a a x a x a x +-=++++L ，求8a 的值.20．⑴已知+∈R y x ,且2>+y x ，求证：12y x+与12x y +中至少有一个小于3.⑵用数学归纳法明：对一切*n N ∈，222111312321nn n ++++≥+L .21．已知函数()ln(1)f x x x =+-.⑴求()f x 的单调递减区间；⑵若1x >-，证明：ln (1)1xx x ≤++.22．已知函数()2x xg x ae x ae-=--.⑴若2a =，求曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程；⑵若函数在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围；⑶设函数1()2xh x e -=，若在[0,1]上至少存在一点1x ，使得11()()g x h x >成立，求实数a 的取值范围.2019学年第二学期期中考试高二年级（2~10班）数学答案1~5：CB C D A 5~10：A C D C A11．⑴6或7 ⑵126 12．⑴48⑵3013．⑴220tx y t --= (2)414．⑴128⑵371 15．①③ 16．462 17．718．解：(1)设甲、乙击中目标的概率分别是为12,p p ，则1223,34p p ==， 事件A （甲射击3次至少有1次未击中目标）可分为甲射击3次击中目标0次或1次或2次.所以00312223223113113111212119(1)(1)(1)()3()3()3333327P C p p C p p C p p =-+-+-=+⨯⨯+⨯⨯=. 另解：事件A (甲射击3次至少有1次未击中目标)与事件B (甲射击3次都击中目标)为对立事件，所以3333121911()327P C p =-=-=. (2) 甲射击2次恰好击中目标2次的概率为221224()39P C ==， 乙射击2次恰好击中目标1次的概率为122313448P C =⨯⨯=，二事件相互独立， 所以甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率12431986P P P =⋅=⨯=.19．解：⑴81()2x x+展开式中常数项为4444858135()2168C T C x x =⨯⨯==， 81()2x x+展开式中含2x 的项为3353228481()728C T C x x x x ===， 所以821()(1)2x mx x +-展开式中含2x 项的系数为3572888m m -=⇒=. ⑵展开52525525(2)[(2)](2)()kk k k x x x x Cx x -=+-=+-=+-∑，在展开式中含8x 项的只有在32235(2)()C x x +-，41245(2)()C x x +-二项中才存在.所以含8x 项的有38485520C x C x -⨯+⨯⨯=，即80a =.另解一：424132322885152()2()10100C x C C x C x x x -+-=-+=，所以80a =.另解二：2555543543(2)(1)(2)(510)(1040)x x x x x x x x x x +-=+-+=+++-+-+L L所以含8x 项的有84050100a =-+-=.20．证明：⑴（反证法）假设结论不成立，即有123yx+≥且123x y +≥，由已知+∈R y x ,， 所以有123y x +≥且123x y +≥，故222332x y x y x y ++≥+⇒≥+，与已知2x y +>矛盾，假设不成立.所以有12y x+与12x y +中至少有一个小于3成立. ⑵（数学归纳法）①当1n =时，不等式左边4111311⨯=≥==⨯+右边，不等式成立；②假设*,n k k N =∈时不等式成立，即成立222111412331kk k ++++≥+L ，则当1n k =+时， 不等式左边22222111141123(1)31(1)k k k k k =+++++≥++++L ，要使1n k =+时原不等式成立，只要证22414(1)444131(1)3(1)13431(1)k k k k k k k k k k +++≥⇐-≤+++++++ 224(1)(31)4(34)141(34)(31)(1)(34)(31)(1)k k k k k k k k k k ++-+⇐≤⇐≤++++++ 224(1)(34)(31)057k k k k k ⇐+≤++⇐≤+.而*k N ∈时2057k k ≤+显然成立.故当1n k =+时，原不等式也成立， 综合①②，对一切*n N ∈，有222111412331nn n ++++≥+L 成立. 21．解：⑴函数()f x 定义域为{|1}x x >-，/1()10,011xf x x x x =-===++，当(1,0)x ∈-时， /()0f x <，()f x 单调递减；，当(0,)x ∈+∞时，/()0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在(1,0)-上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增.⑵设函数()ln(1)1x g x x x =+-+，则/221(1)()0,01(1)(1)x x x g x x x x x +-=-===+++， 当//(1,0),()0,(),(0,),()0,()x g x g x x g x g x ∈-<↓∈+∞>↑，所以()g x 在0x =处取到唯一的极小值，即最小值为(0)0g =，故有(1,)x ∈-+∞时，成立()(0)0g x g ≥=，所以ln(1)0ln(1)11x x x x x x +-≥⇒+≥++. 22．解：⑴．2a =，/()222,()222xxxxf x e x e f x e e --=--=-+，/(0)0,(0)2f f ==，所以在点(0,(0))f 处的切线斜率为2k =，且过原点，切线方程为2y x =.⑵．由题意知/()()20x xf x a e e -=+-≥对一切x R ∈恒成立，即2()x xa x e eϕ-≥=+，变量2(0x x M e e x -=+≥==时等号成立），得[2,)M ∈+∞，()x ϕ值域(0,1]所以只要max ()1a x ϕ≥=即[1,)a ∈+∞时，有/()0,()f x f x ≥↑，同理，当0a ≤时，显然/()0,()f x f x <↓，综合可得(,0][1,)a ∈-∞+∞U .⑶．令0[1,]x t e e =∈，问题等价于存在[1,]t e ∈使不等式化为2()(1)2ln 20F t a t t t e =--->成立，(1)20F e =-<，2()(1)4F e a e e =--./()222ln 0,[1,]F t at t t e =--=∈，可等价于曲线段ln ,[1,]y t t e =∈与直线1y at =-之间的关系，其中一个临界值是1a =时，直线与曲线段切于(1,0)点；2a e=是另一个临界位置，此时直线过曲线段右端点(,1)e ，整段曲线在直线上方.所以在[1,]t e ∈时，①当1a ≥时，/()0,()F t F t ≥↑，只要2244()0(1)11e eF e a e e >⇒≥<--，故1a ≥时，符合条件.②当2a e≤时，/()0,()F t F t ≤↓，要使条件符合，必须有(0)20F e =->， 显然不符合.③当2(,1)a e∈时，直线与曲线段有交点00(,ln )A t t ，在此点左侧，曲线在直线上方，此点右侧直线在曲线上方.即/0[1,),()0,()t t F t F t ∈<↓，/0(,],()0,()t t e F t F t ∈>↑，只要max{(0),()}0F F e >，而(0)0F <，所以由2()0(1)40F e a e e >⇒-->，由2(,1)a e ∈及241e a e >-得：2411ea e <<-. 综合①②③可知24[,)1ea e ∈+∞-.。

2019-2020学年浙江省宁波市中学高二上学期期中数学试题及答案解析一、单选题11=表示的曲线是（ ）A ．一条射线B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支【答案】D【解析】根据方程表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，得到答案. 【详解】1=表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，1221F F =>，故表示的是双曲线的右支. 故选：D . 【点睛】本题考查了方程表示的曲线，转化为几何意义是解题的关键.2．已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求得不等式11a <的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a <，等价与1110a a a--=<，即10a a ->，解得0a <或1a >，所以“1a >”是“11a <”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．4．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是（）A．α⊥β且m⊂βB．α⊥β且m∥βC．α∥β且m⊥βD．m⊥n且n∥α【答案】C【解析】ABD选项均可得到mα⊂，//mα或m与α相交，得到答案.【详解】A. α⊥β且m⊂β，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；B. α⊥β且m∥β，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；C. α∥β且m⊥β，则m⊥α，正确；D. m⊥n且n∥α，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；故选：C.【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点，若点P （1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点B，则线段OB 的长度为（）B C DA【答案】B【解析】计算得到()B，再计算长度得到答案.1,0,3【详解】点P（1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点()B，故1,0,3OB==.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点的投影，距离的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若a⊥b，则a•b=0”的否命题为“若a⊥b，则a•b≠0”B．命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的减函数”C．命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B”的逆否命题为真命题D．命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为真命题【答案】C【解析】根据否命题，逆命题，逆否命题，命题的否定的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 命题“若a⊥b，则a•b=0”的否命题为“若a不垂直b，则a•b≠0”，故A错误；B. 命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x不是R上的增函数”，故B错误；C. 命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B”是真命题，故逆否命题为真命题，C正确；D. 命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x ＝2”，为假命题，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆否命题，逆命题，意在考查学生对于命题的理解和掌握.7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．13C D 【答案】B【解析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案.【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=，直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ） A ．3 B ．355C ．324D ．32【答案】C【解析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案. 【详解】渐近线为：a y xb =±，取yc =，解得bc x a =±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.OP OA OB λμ=+，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=， 则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,94e e ==.故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键.9．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，经过定点P （a ，0）（a ＞0）的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP PA =，|AF |+2|BF |＝9，则a ＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E ，根据相似得到3NP =，得到答案.【详解】如图所示：过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E .2BP PA =，则2AC BE=，29AF BF+=，即29DE =， 4.5DE =.根据三角形相似得到：23NP DE=，故3NP =，1OP =，故1a =. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．四棱锥P ﹣ABCD 中，已知3PAB PAD BAD π∠=∠=∠=，|AB |＝|AD |＝a ，|AP |＝b ，|PC |＝1，则b 的最大值为（ ） A 3B 6C 6D 3【答案】B【解析】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC ，计算得到6PA =，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC .AD EF ⊥，AD PF ⊥，故AD ⊥平面PEF ，故AD PE ⊥，故2b AE =，32PE =.36EF b =，2263PA PE EF b =-=. 在PFC ∆中，222PC FC PF =+，即222113b FC =-≤，故6b ≤.当F 和C 点重合时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了四棱锥中距离的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题11．双曲线2213y x -=的渐近线方程为_____，焦点坐标为_____． 【答案】y 3=±x（±2，0）【解析】直接利用渐近线方程公式和焦点公式得到答案. 【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程为：y =，焦点坐标为()2,0±.故答案为：y =；()2,0±.【点睛】本题考查了渐近线和焦点，属于简单题.12．已知()3211a λ=-，，，()102b μμ=+，，．若a b ⊥，则μ＝_____；若//a b ，则λ+μ＝_____． 【答案】35-710【解析】根据垂直得到()31020a b μμ⋅=+++=，根据平行得到a mb =，计算得到答案.【详解】()31020a b μμ⋅=+++=，故35μ=-； //a b ，则a mb =，即()()3211102m λμμ-=+，，，，，故()3121012m m μλμ⎧=+⎪-=⎨⎪=⎩，解得1215λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故710λμ+=. 故答案为：35；710. 【点睛】本题考查根据向量的垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力.13．已知向量a ，b ，c 是空间的一组单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一组基底，若向量p 在基底a ，b，c下的坐标为（2，1，3），p在基底a b+，a b-，c下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．【答案】1 3【解析】化简得到()()p x y a x y b zc=++-+，对比系数得到答案.【详解】根据题意知：23p a b c=++，()()()()=++-+=++-+.p x a b y a b zc x y a x y b zc故1,3-==；x y z故答案为：1；3.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.14．若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离少1，则动点P的轨迹C的方程为_____，若过点（2，1）作该曲线C的切线l，则切线l的方程为_____【答案】x2＝4y y＝x﹣1．【解析】设动点P的坐标为（x，y），代入化简得到答案，设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1，计算得到答案.【详解】设动点P的坐标为（x，y），21y=+-；∴x2＝4y；动点P的轨迹C方程为x2＝4y；设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1；①当k 不存在时，则直线方程为x ＝2，与曲线C 不相切； ②当k存在时，联立()2214y k x x y ⎧=-+⎨=⎩，∴x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0．∵直线与曲线C 相切，∴△＝16k 2﹣32k +16＝0；解得k ＝1； 切线l 的方程为y ＝x ﹣1． 故答案为：24x y =；1y x =-. 【点睛】本题考查了轨迹方程，切线问题，意在考查学生的计算能力.15．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．【解析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =，平面ACD 的法向量()21,n =，利用夹角公式计算得到答案. 【详解】设BD 中点为O ，则AO CO ==AC =AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD 的法向量()11,0,0n =，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，()(),,0,1,0A CD ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，解得：()21,3,1n =，则法向量夹角121235cos 553n n n n θ⋅===⋅⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．四边形ABCD 的各个顶点依次位于抛物线y ＝x 2上，∠BAD ＝60°，对角线AC 平行x 轴，且AC 平分∠BAD ，若2BD =，则ABCD 的面积为_____．3【解析】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a a C a a B b b D d d -，计算得到3a b -=，3d a -=，计算得到2a =根据()12D B S AC y y =-计算得到答案. 【详解】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a a C a a B b b D d d -.则)22a b a b +-，故3a b -=；)22a d d a +=-，故3d a -=.()()()()()222222212BD b d b db d b d =-+-=-++=，即()241423a +=，4a =.()()22212236D B S AC y y a d b a =-=-=⋅=.故答案为：6.【点睛】本题考查了抛物线的内接四边形面积，意在考查学生的计算能力. 17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=＞＞，点A ，B 分别是椭圆E 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，其中c 是椭圆的半焦距，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e 2的取值范围是_____．【答案】，32-）．【解析】根据直线和圆相离得到a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），根据等腰三角形得到2e 4﹣5e 2+1≤0，计算得到答案. 【详解】 AB所在直线方程为1x ya b +=-，即bx ﹣ay +ab ＝0，又直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，∴22a b+＞c ，即a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）＞c 2（2a 2﹣c 2），整理得：e 4﹣3e 2+1＞0，解得0＜e 2352-＜；又存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形， 则在Rt △OPN 中，OP 2=ON 2=c ，∴222c a b≤+，即a 2b 2≤2c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）≤2c 2（2a 2﹣c 2）， 整理得2e 4﹣5e 2+1≤0，解得5174-≤e 2＜1． ∴e 2的取值范围是[517-，352-）．故答案为：[517-，35-）.【点睛】本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题18．已知a ＞0，且a ≠1．命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数；命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点．（1）若命题P ，Q 满足P 真Q 假，求实数a 的取值范围； （2）命题S ：函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S 为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（1，2）； （2）（1，74）．【解析】（1）根据命题P ，Q 满足P 真Q 假，计算得到答案.（2）首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a ＜1和1＜a ＜2两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）由命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数是真，得a ＞1；由命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点为假，得△＝4a 2﹣16＜0，得﹣2＜a ＜2．∴使命题P 真Q 假的实数a 的取值范围是（1，2）； （2）若函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数， 则首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0， 则△＝4a 2﹣16＜0或()2840a g a a ≤⎧⎨=-⎩＞， 得﹣2＜a ＜2．又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜2且a ≠1． 当0＜a ＜1时，外层函数f （x ）单调递减，而内层函数g （x ）当x →+∞时，g （x ）→+∞，此时y＝f（g（x））＜0，不合题意；当1＜a＜2时，外层函数f（x）单调递增，要使y＝f（g （x））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，则g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．即g（2）＝8﹣4a＞1，得a7＜．4∴1＜a7＜．4即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，7）．4【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB ，BD＝2．5（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．．【答案】（1）见解析（2）79【解析】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案.（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，确定则∠ANC 为二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角，计算得到答案. 【详解】（1）取AP 的中点为H ，连接EH ，HB ；由E ，H 分别为PD ，P A 的中点，则EH ∥AD且12EH AD =； 又F 为BC 的中点，则BF ∥AD 且12BF AD =；所以EH ∥BF 且EH ＝BF ，则四边形BFEH 为平行四边形； 所以EF ∥BH ，又HB ⊂平面P AB ； 所以EF ∥平面P AB ；（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，在△PBD 中O 为AC 的中点，PD ＝PB ，则PO ⊥BD ； 又平面PBD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ； 在△PBD 中，PD ⊥PB ，BD ＝2．则PD ＝PB 2=由题意有P A ＝PC 5=AO ＝2，5AB =在等腰三角形APB 中，2232()22PB AN AB =-=； 由△P AB ≌△PCB ，则CN ⊥PB ；CN ＝AN 在△ACN中，2229916722293232222AN NC AC cos ANC AN CN +-+-∠===-⋅⨯⨯； 故平面P AB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值为79．【点睛】本题考查了线面平行和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．如图，已知椭圆2213x C y +=：，过动点M （0，m ）的直线交x 轴于点N ，交椭圆C 于A ，P （其中P 在第一象限，N 在椭圆内），且M 是线段PN 的中点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，延长QM 交C 于点B ，记直线PM ，QM 的斜率分别为k 1，k 2．（1）当113k =时，求k 2的值；（2）当1213k k =-时，求直线AB 斜率的最小值．【答案】（1）k 2＝1（2）最小值为1．【解析】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），计算得到213k k =-，得到答案.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0），联立方程计算得到1212AB y y k x x -=-，代入数据利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），可得P （x 0，2m ），Q （x 0，﹣2m ）． 所以直线PM的斜率1002m m mk x x -==；直线QM 的斜率20023m m mk x x --==-；此时213k k =-．当113k =-时k 2＝1； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0）由2233x y y kx m ⎧+⎨=+⎩，得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0 ()22012231331313m m x x k k -==++，即()()2123113m xk x-=+；所以()()211203113k m y kx m mk x -=+=++；直线QB 的方程为y ＝﹣3kx +m ． 同理有：()()222031127m x k x -=+，()()222031127k m y mk x --=++，31126k k⋅=23126k k =，当且仅当2232HQ HQ AB ︒===，即13k =时取等号； 故直线AB 的斜率的最小值为1． 【点睛】本题考查了椭圆内的斜率问题，综合考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合理解能力.21．如图，△ABC 为正三角形，且BC ＝CD ＝2，CD ⊥BC ，将△ABC 沿BC 翻折．（1）当AD ＝2时，求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）若点A 的射影在△BCD 内，且直线AB 与平面ACD所成角为60°，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）根据长度关系得到AE⊥平面BCD，得到证明.（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，计算HQ=AH=.【详解】（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，则A在底面BCD内的射影为△BCD的外心，∵△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，∴A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，∴AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，可得BC⊥平面AOE，过A作AH⊥OE于H，过H作HN∥BC交CD于N，连接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离为2HQ，则x=，得HQ=设AH＝x，有==，解得x=AH=又AO=∴H与O重合，则AD015245p--=．【点睛】本题考查了面面垂直，根据线面夹角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到直线l：2x﹣y﹣1＝0的距离为54．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，交x轴于点Q，若抛物线C上总存在点M（异于原点O），使得∠PMQ＝∠AMB＝90°，求实数t的取值范围．【答案】（1）x2＝y；（2）t≥1．【解析】（1）直接利用点到直线的距离公式计算得到答案. （2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l的方程设为y＝kx+t，联立方程，利用韦达定理得到x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，且y1＝x 12，y 2＝x 22，根据∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k =-+•tk-=1，化简得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点（0，2p）到直线l ：2x ﹣y ﹣1＝0可得tk -，解得p 12=，即抛物线的方程为x 2＝y ；（2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 的方程设为y ＝kx +t ，联立x 2＝y ，可得x 2﹣kx ﹣t ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得k 2+4t ＞0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣t ，且y 1＝x 12，y 2＝x 22， 设M （m ，m 2），Q （2m tm-，0），由∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k=-+•tk -=1，化为2211m x m x --m 3﹣mt +m ，① 2222m x m x -=--•2t m=1，即（m +x 1）（m +x 2）＝﹣1，化为m 2+km﹣t +1＝0，② 由①②可得t ＝k 2m 2，由k 2﹣4（1﹣t ）≥0可得4（1﹣t ）≤k 21tt-≤， 由于m ≠0，m 2＞0，可得1tt -≤0解得t ≥1．【点睛】本题考查了抛物线方程，根据直线和抛物线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.。

浙江省宁波市北仑中学2019—2020学年高二数学下学期期中试题（2—10班）一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．随机变量ξ的分布列为2(0),(1)22a a p p ξξ====，则随机变量ξ的均值()E ξ为（ ）A ．2B ．2或12C ．12D ．1 2．已知直线y kx =是曲线ln y x =的切线，则k 的值为（ ）A ．eB ．1eC ．e -D ．1e- 3．将三颗质地均匀的骰子各掷一次，记下向上的点数，设事件A 为“三个点数互不相同"，事件B 为“至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( )A ．14B ． 3536C ．518D ．5124．设X ～B (40，p ),且E （X ）＝16，则p 等于( ）A ．.0。

1B ．0。

2C ．0。

3D ．0。

45．“分析法"的原理是“执果索因"，用分析法证明命题：(0)x >所要“索"的“因”是（）A ．06<B ．56<C ．107>D ．50>6．从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球,假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ,则(31)D ξ-=（ )A ．645B ．325C ．485D ．12 7．已知()ln ||f x x =，则下列命题中，正确的命题是（ ）A ．当/10,()x fx x >=，当/10,()x f x x <=- B ．当/10,()x f x x>=，当0x <时，/()f x 无意义 C ．当0x ≠时，都有/1()f x x =D ．因为0x =时，()f x 无意义,所以对ln ||y x =不能求导。

8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为( )A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种9．设函数()(21)(1)xf x e x kx k k =--+<,若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则k 的取值范围是（ ）A ．33[,)24e -B ．3[,1)2e -C ．3[,1)2eD ． 33[,)24e 10．九个人排成一排照相，要求,,A B C 三人中任意两人互不相邻，,D E两个人也不相邻,则九个人按此要求所有不同的排法总数为（ )A ．122400B ．80640C ．11520D ． 100800二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分,共28分.11．⑴当13k C 取得最大值时，k = ;⑵ 123456777777C C C C C C +++++=。

浙江省宁波市北仑中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题（1班）一.选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1.下列求导结果正确的是（ ） A ．2[(12)]'24x x-=-B ．(cos )sin 55ππ'=-C ．xx 31])3[ln(=' D ．(cos )'cos sin x x x x x ⋅=-2。

已知直线1y x =-与曲线()ln y x m =+相切，则m的值为( ）A 。

2B 。

0C 。

1- D.2-3. 6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有 （ ）A.480 B 。

720 C.240 D.360 4.在2(2)3nx x-的展开式中含常数项,则正整数n 的最小值是（ )A ．2B ．3C ．4D ．5 5. 设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012,n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时,n 等于 （ )A. 5B.6 C 。

7 D 。

86. 《易经》是中华文化瑰宝，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦）每一卦由三根线组成(表示一根阳线, 表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）A ．514B ．314C ．328D ．5287。

若1823,2,3a b +==则下列结论正确的有（ ）①1b a -<②112a b +>③34ab >④22b a >A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如果不等式3310xax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．32,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．322,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 9．已知函数2()2ln ,f x x x =-若关于x 的不等式()0,f x m -≥在[1,]e 上有实数解，则实数m的取值范围是（ )A ．2(,2)e -∞- B ．2(,2]e-∞- C ．(,1]-∞ D ．(,1)-∞10.将编号为1，2，3,4,5的5个小球全部放入A ，B ，C 三个盒子内,若每个盒子不空,且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有( )A ．42B ．36C ．48D ．60非选择题部分(共110分）二。

2019-2020学年浙江省宁波市北仑中学高二（1班）下学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4A =，{}33B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}3,2,1,0,1,2,3,4---C ．{}1,2,3D ．{}1,2【答案】C【解析】求出B 后可得A B .【详解】{}3,2,1,0,1,2,3B =---，故{}1,2,3A B =，选C.【点睛】在集合的交并补的运算中，注意集合元素的属性，本题为基础题. 2．集合2|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{|()()0}B x x a x b =--<，若“2a =-”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是（ ）A ．1b <-B ．1b >-C ．1b ≤-D ．12b -<<-【答案】B【解析】由题意知{}|12A x x =-<<，当2a =-时，()(){}|20B x x x b =+-<，且A B ⋂≠∅成立，通过讨论2b <-，2b =-，2b >-三种情况，可求出b 的取值范围. 【详解】解：{}2|0|121x A x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，当2a =-时，()(){}|20B x x x b =+-< 当2b <- 时，{}|2B x b x =<<-，此时A B =∅不符合题意；当2b =-时，B =∅ ，此时AB =∅不符合题意；当2b >-时，{}|2B x x b =-<<因为A B ⋂≠∅，所以1b >-.综上所述，1b >-.故选:B. 【点睛】本题考查了分式不等式求解，考查了一元二次不等式，考查了由两命题的关系求参数的取值范围.本题的关键是由充分条件，分析出两集合的关系.3．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -=B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-【答案】B【解析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征. 故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.4．设 a R ∈，则“0a >”是“222a a+≥”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据充要条件的定义进行判断即可． 【详解】由0a >得，22222a a a a+≥⋅=，所以是充分条件； 由2a a+≥22可得0a >，所以是必要条件， 故“0a >”是“222a a+≥”的充要条件．答案选C ．【点睛】本题考查充分必要条件的定义，不等式的性质，属于基础题． 5．函数2ln(1)cos2y x x x =++⋅的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数()f x 的奇偶性，结合图象的对称性进行判断即可． 【详解】解：因为()(2ln 1cos 2y f x x x x ==+⋅，定义域为R ，((222()1cos(2)21cos 2()1f x ln x x x x ln x x x f x x x-=-++-==-+=-++，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，C ， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，进行排除是解决本题的关键，属于基础题．已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】B【解析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x 和y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x 和y 之间的一个关系式，联立方程，解得y 的值. 【详解】 由题意可知：0.10.3170.8 2.7108.9x y x y +++=⎧⎨+++=⎩，解得0.20.4x y =⎧⎨=⎩. 故选：B. 【点睛】本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题． ,a b若()(1)E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量X ，Y 相互独立，则()E ξ取值范围的是（ ） A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由()(1)E Y P Y ==-及1a b c ++=，可知13b a =-，2c a =；又因为0,,1a b c ≤≤，可求出103a ≤≤；由题意知1()6E a ξ=-，从而可求出()E ξ取值范围.【详解】解：由()(1)E Y P Y ==-知，a c a -+= ，即2c a = ，又1a b c ++= ，所以13b a =-；因为0,,1a b c ≤≤ ，所以0131021a a ≤-≤⎧⎨≤≤⎩ ，解得103a ≤≤.又()1110366E X =-++=- ， 且X ，Y 相互独立，XY ξ=，所以()()()11(),0618E E XY E X E Y a ξ⎡⎤===-∈-⎢⎥⎣⎦.故选:B.【点睛】a 的取值范围.8．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是( ) A ．()22xf x x =-B ．()()22f x x bx b R =+-∈C ．()12f x x =--D ．()sin x x x f -=【答案】D【解析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果． 【详解】A 选项：令3na n nb a =，即22x x =，根据2x y =与2y x =图像如图所示：可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点 当0x <时，有1个交点因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有2个零点，故()f x 必有“界点”；C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界点”；D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-' 又c o s 1x ≤，所以()0g x '≥()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”．本题正确选项：D【点睛】本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．9．已知函数()()()24,532,3x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()|(1)|g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．11,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1111,,4664⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1111,,4664⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C【解析】在直角坐标系中，画出()f x 和()()1h x k x =+的图像，函数()()|(1)|g x f x k x =-+有9个零点等价于()f x 和()h x k 的不等式，从而求出实数k 的取值范围. 【详解】解：设()()1h x k x =+ ，则()h x 恒过定点()1,0- ，所以画出()f x ，()h x 的图像. 由题意知，()()|(1)|g x f x k x =-+有9个零点，则()f x ，()h x 图像有9个交点.当()3,1B 在()h x 上时，两图像有8个交点；当()5,1C 在()h x 上时，两图像有10个交点， 所以10105131k --<<++ ，解得1164k << ，即1111,,4664k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C. 【点睛】()()()f x g x h x =- ，则()f x 零点的个数就等价于()(),g x h x ()y f x = 图像时，先画出()f x 的图像，再将x 轴下方的图像向上翻折即可.10．已知a R ∈，函数2,1,()ln ,1,x ax a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-⎩则函数()y f x =的零点个数不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】解法一：讨论a 的取值，得出函数的零点个数，从而可得出答案.；解法二：令()0f x =，采用分离参数法，作出函数图像即可求解. 【详解】当0a =时，函数()f x 有2个零点； 当1a =时，函数()f x 没有零点； 当1a e=时，函数()f x 有1个零点； 【一题多解】令()0f x =，得2,1,1()ln ,1,x x x a g x x x x⎧<⎪⎪-==⎨⎪⎪⎩ 画出()y g x =的图象如图所示，由图象可知，故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了数形结合的思想应用，属于中档题.二、双空题11．若3log 2m =，则m =________；2log 30323log 9++=________.【答案】9 6【解析】利用对数的运算可得9m =，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】若3log 2m =，则9m =，2log 30323log 93126++=++=.故答案为：9 ； 6 【点睛】本题考查对数的运算，需熟记对数的运算性质，属于基础题. 12．设曲线x y e =在点()0,1处的切线l 与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则直线l 的方程为________，P 的坐标为________. 【答案】10y x --= (1,1)【解析】求出e xy '=，可求切线l 的斜率，由点斜式进而可求切线方程；设()00,P x y ，由21y x '=-可求出在()00,P x y 切线的斜率，由本题中的两条切线垂直，可得20111x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，进而可求出P 的坐标. 【详解】解：由x y e =可知e xy '= ，当0x = 时，切线l 的斜率1l k y '== ， 则1y x -=，即切线l 的方程为10y x --=；设()00,P x y ，则001y x =，由1(0)y x x=>， 则21y x '=-，所以点P 处的切线斜率为201x - .由两直线垂直，可得20111x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭， 解得01x =或1-（舍去），则0011y x ==，所以()1,1P . 故答案为: 10y x --=;()1,1.【点睛】本题考查了直线的方程，考查了在某点处切线求解，考查了两直线垂直的性质.本题重点考查了导数的几何意义，关键是由垂直，得到斜率的关系.13．已知函数3()f x x x =+，则1(2)f -=________；若关于x 的不等式()22()0f mx f x ++-<在区间[]1,5上有解，则实数m 的取值范围为________.【答案】1 18m <【解析】由()12f = ，结合导数探究3()f x x x =+的单调性，可知1(2)f -的值；由()f x 的单调性和奇偶性，可知22mx x +<在区间[]1,5上有解，从而参变分离得22x m x -<，令()[]22,1,5x g x x x-=∈，结合导数求出最大值，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】解：由3()f x x x =+知，()2310f x x '=+> ，所以()f x 在R 上单调递增；由()12f = 知， 1(2)f -只有一个值，即为1；()()3f x x x f x -=--=- 且函数定义域为R ，()f x ∴ 为奇函数，则()22()0f mx f x ++-<即为()()22()f mx f x f x +<--=，由函数单调递增可知，22mx x +<在区间[]1,5上有解，即22x m x -<在区间[]1,5上有解，只需2max2x m x -⎛⎫< ⎪⎝⎭ 令()[]22,1,5x g x x x -=∈ ，则()2440x x g x x-'== ，解得0x =或4 ， 因为当[)1,4x ∈ 时，()2440x xg x x -'=>，则()g x 在[)1,4x ∈单调递增； 当[]4,5x ∈ 时，()2440x x g x x-'=<，则()g x 在[)1,4x ∈单调递减. 所以，当4x = 时，()g x 有最大值为()148g =，故18m <.故答案为: 1; 18m <.【点睛】本题考查了反函数，考查了函数最值的求解，考查了函数奇偶性的判定，考查了函数单调性的判断.本题第二个空的关键是由函数的性质，将不等式进行化简得22mx x +<在区间[]1,5上有解.本题易错点是，误将22x m x -<在区间[]1,5上有解当成2min2x m x -⎛⎫< ⎪⎝⎭.勿将恒成立问题和不等式在区间上有根问题混淆.一般地，若()f x m ≤ 在[],x a b ∈ 恒成立，则等价于()max f x m ≤ ；若()f x m ≤ 在[],x a b ∈有解，则使()min f x m ≤.14．小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______. 【答案】3215【解析】超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元，用排列组合知识分别计算即可.如果掏出4张共计50元，则有3张10元，1张20元一种情况，用古典概型公式可求概率. 【详解】超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元，如果掏出纸币50元，则2张20元，1张10元，或3张10元，1张20元，共有2131333312C C C C +=； 如果掏出纸币60元，则2张20元，2张10元，或3张20元，共有22333310C C C +=；如果掏出纸币70元，则3张20元，1张10元，或2张20元，3张10元，共有312333336C C C C +=；如果掏出纸币80元，则3张20元，2张10元，共有32333C C =；如果掏出纸币90元，则3张20元，3张10元，共有32331C C =；综上，共有32种.设“如果不放回的掏出4张，刚好是50元”为事件A ，则所有的基本事件的总数为4615C =，A 中含有的基本事件的总数为3，故()15P A =. 所以分别填132,5. 【点睛】此类问题为取球模型，通常运用排列组合的知识求不同种类的个数，注意计算时根据问题的特征合理分类或分步.同时还应注意是有放回还是无放回.古典概型的概率计算关键是确定基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，注意每个基本事件是等可能发生的.三、填空题15．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 【答案】±1. 【解析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题． 16．若函数21()()3f x x a x b =+++在[1,1]-上有零点，则23a b -的最小值为____． 【答案】13-【解析】设函数的零点为[]01,1x ∈-，利用20013b x a x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭消元后得到()222003313a b a x a x -=+++，配方后可得最小值．【详解】设函数的零点为[]01,1x ∈-，则由()00f x =得到20013b x a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以()222003313a b a x a x -=+++，220033212433a x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当02,13x a =-=时，23a b -有最小值13-，故填13-．【点睛】含多参数的函数的零点存在问题，一般地依据零点的个数分类讨论得到参数满足的不等式组，再由线性规划或非线性规划计算目标函数的最值或取值范围，也可以通过设零点，把目标函数转化新的函数，再用配方法或判别式或基本不等式求出最值．17．已知函数2,()4,x x mf x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且对任意p m <，存在q m ≥，使得()()0f p f q +=，则实数m的取值范围是________. 【答案】(,0]-∞【解析】根据题意知()y f x =- 在(),m -∞ 上的值域是()y f x = 在[),m +∞ 上的值域的子集，结合二次函数的性质可求出N ，结合一次函数的单调性可求出M ，进而可得到关于m 的不等式，进而可求出数m 的取值范围. 【详解】解：，设()y f x =- 在(),m -∞ 上的值域是M ，()y f x = 在[),m +∞ 上的值域是N .由()()f p f q =-知，则M N ⊆.当[),x m ∈+∞时，2()4f x x x =+对称轴为2x =-，当2m ≤- 时， [)4,N =-+∞；当2m >-时，)24,N m m ⎡=++∞⎣.当(),x m ∈-∞时，()(),y f x x m =-=-∈-+∞ ，则(),M m =-+∞. 所以24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩ 或224m m m m>-⎧⎨-≥+⎩，解得0m ≤. 故答案为:(],0-∞. 【点睛】()y f x =- 在(),m -∞ 上的值域是()y f x = 在[),m +∞ 上的值域的子集.四、解答题18．已知函数4()()2x xmf x m R +=∈. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()y f x =在[1,)-+∞上的最小值为3，求实数m 的值以及相应的x 的值. 【答案】（1）1m =时，函数为偶函数；1m =-时，函数为奇函数；1m ≠±时，函数为非奇非偶函数；理由见解析；（2）94m =，23log 2x =【解析】（1）分为1m =，1m =-，1m ≠±三种情况，探究()f x - 与()f x 的关系，即可知奇偶性； （2）令2xt =，则()2t mf t t+=在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭最小值为3，结合导数探究当t 取何值时，函数取最小值，进而可求出m 的值以及相应的x 的值.【详解】解：（1）由题意知，4()()2x xm f x m R +=∈的定义域为R ，()41422x xx x m m f x --++-== ，当1m =时，()()142xxf x f x +-==，则()f x 为偶函数； 当1m =-时，()()142xxf x f x --==-，则()f x 为奇函数；当1m ≠±时，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，故此时()f x 为非奇非偶函数.（2）设2xt = ，由题意知，()2t m f t t += 在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()22t m f t t-'=. 当0m ≤ 时，()0f t '>，则()f t 在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭递增，此时， ()f t 最小值132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即14312m+= ，解得54m = 与0m ≤矛盾，故舍去； 当0m >时，令()0f t '=，解得t =（舍去）12<，即104m << 时，()0f t '>在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，由之前的讨论可知，此时54m =与104m <<矛盾，舍去；12≥，即14m ≥时，在1,2t m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 上()0f t '<，在[),t m ∈+∞上()0f t '>，所以在1,2t m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上()f t 递减，在[),t m ∈+∞上()f t 递增，则当t =时，()f t有最小值，即3f == ，解得94m =，此时23log 2x =. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定，考查了函数最值的求解.求函数的最值时，可利用函数的图像、函数的单调性、导数、基本不等式等.在结合导数探究函数的最值时，先求出函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，进而探究函数、导数随自变量的变化情况，进而可求出最值.13，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及期望；（2）用i p 表示经过第i 轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求123,,p p p .【答案】（1）分布列见解析，16-；（2）116P =，2736P =，343216P = 【解析】（1）先确定X 的所有可能取值，分别求其概率，列出分布列，进而求出数学期望； （2）采用列举法，将甲得分比乙得分高的情况按1,2,3i i i === 分析出来，可计算概率.【详解】（Ⅰ）解：（1）X 的可能取值为1-，0，1.由题意知，111(1)1323P X ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，11111(0)11P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+-⨯-= ⎪ ⎪，111(1)1P X ⎛⎫==⨯-= ⎪.∴X 的分布列为则111()0366E X =-++=-. （Ⅱ）由（1）知，116P =，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况： 一是两轮甲各得1分，二是两轮有一轮甲得0分，有一轮得1分，∴12211117662636P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得-1分， ∴322221233331111111436626263216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⨯⎭⎭⨯⎝⎭⎝⎭⎝. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望，考查独立事件概率的求解.本题易错点是，在做第二问时，第三轮没能列出所有可能.20．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数8 9 频数60 40图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；（2）记X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望； （3）记,m n 19m n +=，且{}8,9m ∈，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定,m n 的值.【答案】（1）0.024；（2）分布列见解析，525EX =；（3）8,11m n == 【解析】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而X 的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到X 的分布列及数学期望；（3）由19m n +=，且{}8,9m ∈，可知若8m =，则11n =，或若9m =，则10n =，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.【详解】（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A ，因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以()0.60.20.20.024P A =⨯⨯=.（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意X 的可能取值为8，9，10，11，12，从而(8)0.20.20.04,(9)20.20.40.16P X P X ==⨯===⨯⨯=，(10)20.20.40.40.40.32,(11)20.40.40.32P X P X ==⨯⨯+⨯===⨯⨯=，(12)0.40.40.16P X ==⨯=.80.0490.16100.32110.32120.1610.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）.14884528910111225252525255EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）. （3）解法一：记Y 表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元） 因为19m n +=，且{}8,9m ∈，1°若8m =，则11n =，116084000.480112000.162352EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；2°若9m =，则10n =，2160980102000.324000.162368EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 因为12EY EY <，故选择方案：8,11m n ==.解法二：记,ηξ分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元） 1°若8m =，则11n =，该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为1112800.616800.48800.8410800.162352E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；2°若9m =，则10n =，ξ的分布列为2216098000.5210000.3212000.162368E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.因为1122E E E E ηξηξ+<+所以选择方案：8,11m n ==.【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数2()ln ,()()(ln ),f x ax x g x f x x x x a R =+=--∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若a Z ∈，且函数()g x 只有一个零点，求a 的最小值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）a 的最小值为1【解析】（1）首先求出函数的定义域与导函数，讨论a 的取值范围，分别求出函数的单调区间即可. （2）解法一：问题等价于ln ln 11x x a x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭只有一个交点，令ln x t x =，可得()(1)1a t t +-=，记2()(1)10t t a t a ϕ=+-+-=，讨论a 的取值，确定方程根的个数即可求解；解法二：问题等价于ln ln 11x x a x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭只有一个交点，令ln x t x =，则11a t t =--，令1k t =-，则11a k k +=+，记1ln ,1x y k k k x =+=-，作出函数1y k k =+和函数ln 1x k x=-的图像，利用图像的交点即可求解. 【详解】解：（1）由题意可知0x >，1()f x a x'=+. 当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）解法一：由题意可知0x >，且2ln ln ()(ln )(ln )011x x g x ax x x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=+--=⇔+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 令ln 1,,x t t x e ⎛⎤=∈-∞ ⎥⎝⎦， 则()(1)1a t t +-=.记2()(1)10t t a t a ϕ=+-+-=，（）当1a -时，0,10a t t +<->，与()(1)1a t t +-=相矛盾，此时（）式无解；当0a =时，2()10t t t ϕ=-+=无解；当1a =时，（）式的解为0t =，此时()0g x =有唯一解1x =；当2a 时，121210,10,t t a t t a ⋅=-<⎧⎨+=-<⎩ 2211111(1)110a e e e e eϕ⎛⎫⎛⎫=+--+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以（）式只有一个负根0t ，()0g x =有唯一解，故a 的最小值为1.解法二：由题得2ln ln ()(ln )(ln )011x x g x ax x x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=+--=⇔+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令ln x t x =，则11a t t=--. 再令1k t =-，则11a k k +=+. 记1ln ,1x y k k k x=+=-， 函数1y k k =+和函数ln 1x k x=-的图象如图所示：当12a +<，即1a <时，显然不成立；当12a +，即1a 时，由a ∈Z ，得方程11a k k+=+存在唯一解0k ，且01k . 此时ln 1x k x=-亦存在唯一解0x . 综上，a 的最小值为1.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，考查推理论证能力，考查分类与整合思想，属于难题.22．已知函数23()x f x x e = （1）若0x <，求证：1();9f x <（2）若0x >，恒有()(3)2ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）（﹣∞，0]【解析】（1）利用导数求x ＜0时，f （x ）的极大值为22439f e⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即证1();9f x <（2）等价于k≤233211x x e x nx x ---，x ＞0，令g （x ）＝233211x x e x nx x ---，x ＞0，再求函数g(x)的最小值得解. 【详解】（1）∵函数f （x ）＝x 2e 3x ，∴f′（x ）＝2xe 3x +3x 2e 3x ＝x （3x+2）e 3x ．由f′（x ）＞0，得x ＜﹣23或x ＞0；由f′（x ）＜0，得203x -<<， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣23）内递增，在（﹣23，0）内递减，在（0，+∞）内递增， ∴f （x ）的极大值为22439f e⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴当x ＜0时，f （x ）≤2244139949f e ⎛⎫-=<= ⎪⨯⎝⎭ （2）∵x 2e 3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤233211x x e x nx x---，x ＞0， 令g （x ）＝233211x x e x nx x ---，x ＞0，则g′（x ）232(13)211x x x e nx x ++-=， 令h （x ）＝x 2（1+3x ）e 3x +2lnx ﹣1，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且x→0+时，h （x ）→﹣∞，h （1）＝4e 3﹣1＞0，∴存在x 0∈（0，1），使得h （x 0）＝0，∴当x ∈（0，x 0）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ∈（x 0，+∞）时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，∴g （x ）在（0，+∞）上的最小值是g （x 0）＝032000032ln 1x x e x x x ---， ∵h （x 0）＝()0320013x x x e ++2lnx 0﹣1=0，所以03200012ln 13x x x e x -=+，令020030=130x x x e ∴+=，2lnx ， 令000012ln =13013x x x -∴+=+，2lnx 所以=1，,∴g （x 0）∴实数k 的取值范围是（﹣∞，0]．【点睛】本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。