学期九校期末联考方案

浙江省宁波市九校2023-2024学年第一学期期末联考高三语文试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1-5题。

①进入21世纪以来，全球信息技术迅速发展，社会发展阶段已经从工业化的“原子经济”向信息化的“比特经济”转型过渡。

新一轮科技革命浪潮正在加速推进产业结构变革、新兴技术迭代、智能制造升级、生活方式转变等社会各领域的快速发展，与此同时，创新逐渐成为驱动全球经济繁荣兴盛的重要引擎，为社会经济发展提供动力与活力。

在此背景下，深入推动文化数字化战略是拉动新时代我国文化产业高质量发展的必然要求。

②完善文化数字化要素结构，激活要素资源联动性。

技术是手段、数据是重点、文化是核心，三者共同构成文化数字化要素支撑体系。

技术要素、数据要素、文化要素等均是文化数字化的核心驱动要素，加快文化数字化建设进程，不仅要强化各要素之间的核心竞争力，更要激活不同要素之间的联动性，形成文化数字化建设合力。

③技术为文化数字化奠定坚实基础，技术研发应该贯穿于文化数字化建设的全过程。

一方面，要借鉴美国等其他国家文化数字化建设经验，强化我国文化数字化建设中核心技术主导权。

要鼓励文化数字化的理论研究和技术研发，加速文化科技相关学科建设，提升文化数字化建设的科技创新能力。

另一方面，只有技术“平民化”，才能使文化数字化发展“普惠化”“大众化”。

2018-2019学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1.命题：地否定是 ( )A. B.C. D.【结果】A【思路】【思路】由全称命题地否定直接改写即可.【详解】因为全称命题地否定为特称命题,所以命题：地否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词地命题地否定,一般只需要改量词和结论即可,属于基础题型.2.已知,则下面不等式成立地是 ( )A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】利用不等式地基本性质即可得出结果.【详解】因为,所以,所以,故选B【点睛】本题主要考查不等式地基本性质,属于基础题型.3.在单调递增地等差数列中,若,则 ( )A. －1B.C. 0D.【结果】C【思路】【思路】先设等差数列地公差为,由题中款件列出方程组,求解即可.【详解】设等差数列地公差为,因为,所以有：,解方程组得：。

故选C【点睛】本题主要考查等差数列地性质,由题意列方程组求公差和首项即可,属于基础题型.4.△ABC地内角A,B,C地对边分别为a,b,c.已知,,,则 ( )A. B. 3 C. 2 D.【结果】B【思路】【思路】由余弦定理,列出方程,直接求解即可.【详解】因为,,,由余弦定理可得：,解得或,故,选B【点睛】本题主要考查余弦定理,熟记公式即可,属于基础题型.5.设,则“”是“”地 ( )A. 充分而不必要款件B. 既不充分也不必要款件C. 充要款件D. 必要而不充分款件【结果】D【思路】【思路】先解不等式和不等式,然后结合充要款件地定义判断即可.【详解】由得。

由得,所以由能推出。

由不能推出,故“”是“”地必要不充分款件.故选D【点睛】本题主要考查充分款件和必要款件,结合概念直接判断即可,属于基础题型.6.曲线在点（1,1）处切线地斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【结果】C【思路】试题思路：由,得,故,故切线地斜率为,故选C.考点：导数地集合意义.7.已知向量且互相垂直,则地值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【结果】A【思路】【思路】由向量垂直,可得对应向量数量积为0,从而可求出结果.【详解】因为,所以,,又互相垂直,所以,即,即,所以;故选A【点睛】本题主要考查向量地数量积地坐标运算,属于基础题型.8.若实数x,y满足约束款件则地最大值是( )A. 2B. 0C. 1D. －4【结果】C【思路】【思路】先由约束款件作出可行域,化目标函数为直线方程地斜截式,由截距地取值范围确定目标函数地最值即可.【详解】由约束款件作出可行域如图所示,目标函数可化为,所以直线在y轴截距越小,则目标函数地值越大,由图像易知,当直线过点A时,截距最小,所以目标函数最大为.故选C【点睛】本题主要考查简单地线性规划,只需依据约束款件作出可行域,化目标函数为直线地斜截式,求在y轴截距,即可求解,属于基础题型.9.已知AB是抛物线地一款焦点弦,,则AB中点C地横坐标是 ( )A. 2B.C.D.【结果】B【思路】【思路】先设两点地坐标,由抛物线地定义表示出弦长,再由题意,即可求出中点地横坐标.【详解】设,C地横坐标为,则,因为是抛物线地一款焦点弦,所以,所以,故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线地定义和抛物线地简单性质,只需熟记抛物线地焦点弦公式即可求解,属于基础题型.10.若不等式地解集为,那么不等式地解集为 ( )A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据题中所给地二次不等式地解集,结合三个二次地关系得到,由根与系数地关系求出地关系,再代入不等式,求解即可.【详解】因为不等式地解集为,所以和是方程地两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,所以,故选D【点睛】本题主要考查含参数地一圆二次不等式地解法,已知一圆二次不等式地解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.11.已知双曲线地左.右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足,则地面积为 ( )A. 1B.C.D.【结果】A【思路】【思路】由双曲线地定义可得,联立可求出地长,进而可求三角形地面积.【详解】由双曲线地定义可得,又,两式联立得：,,又,所以,即为直角三角形,所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线地简单性质,双曲线地焦点三角形问题,一般需要借助抛物线地性质,结合题中款件来处理,难度不大.12.若函数有两个零点,则实数a地取值范围为 ( )A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】先求出函数地导函数,利用导函数求出函数地最小值,再依据函数地零点和最值之间地关系即可求出参数地范围.【详解】因为函数地导函数为,令,得,所以当时,,函数单调递减。

宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。

如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（ ）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（ ） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （ ） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ， 则tan tan tan AB C的最大值为（ ）A 2−B ．3−C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（ ）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−+z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD 时，动点D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ． （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同． （i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。

2023学年宁波市高一语文下学期期末九校联考试卷（满分150分，测试时间150分钟）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1-5题。

材料一：文学与电影都具备的叙事功能，使差异迥然的两种艺术形式存在交汇点，在借助叙事手段构建虚拟空间以满足人们的审美需求这一点上，获得了空前的一致性。

“人类对故事的胃口是不可餍足的。

听故事的欲望在人类身上，一直就像对财富的欲望一样根深蒂固。

有史以来人们就一直聚集在篝火旁或者市井处相互听讲故事。

”正是在人类无法遏制的对故事的渴望中，古老的文学给年轻的电影带来了非常重要的元素：叙事的形式。

在“讲故事”这个层面上，文学与电影的交汇是非常明显的，叙事成为它们共同的目标。

随着电影的快速成长，叙事功能也进一步完善，文学与电影在叙事方式、叙事时空上呈现差异性与一致性的复杂交互。

在叙事方式和修辞上，文学以叙述、描写、议论、抒情等叙事手段来描摹客观世界、讲述故事、刻画人物形象以及揭示人物性格和内心世界。

电影的叙事手段与文学的叙事手段类似，比如顺叙、倒叙、插叙、补叙、分叙等叙述方式，在电影中被称为回忆、再现、闪回、前闪、插入。

但是电影担负叙事功能的主要方式还是蒙太奇技法，以镜头、场面、段落的分切与组接实现叙事功能，这是电影独特的反映现实世界的叙事方式。

蒙太奇技法的使用，使电影的叙事在时空表现上获得极大的自由。

文学常用的修辞手法是比喻、夸张、象征、对比、通感等，不同的蒙太奇手法组合使用也可以达到文学这些修辞手法类似的效果，但是因为叙事手段的不同，差异也很明显。

如明喻，文学可以自由地将两种毫无关系的意象黏合在一起形成明喻，但是电影无能为力。

比如小说《围城》中描写方鸿渐和鲍小姐吃西餐：“上来的汤是凉的，冰淇淋倒是热的；鱼像海军陆战队，已登陆了好几天；肉像潜水艇士兵，会长时期伏在水里；除醋外，面包、牛肉、红酒无一不酸。

”这段绝妙的比喻无法用影像的方式呈现，其中蕴含的幽默感也无法用影像来表达。

宁波市2022学年第一学期期末九校联考高二地理试题选择题部分一、选择题I（本大题共20小题，每小题2分，共40分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）中央经济工作会议提出，2022年要深入实施种业振兴计划行动，强调中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中。

事实上，当我们端起一碗白米饭，这些稻米的种子八成来自海南的南繁基地。

完成1、2题。

1．要成功培育出同样的水稻种子，所需时间在长三角至少要三年，而在海南三亚只要一年，因为两地A.地形不同B.技术差异C.水分差异D.热量不同2．不久前，“南繁硅谷”某公司与巴西签订了种子合作协议，种子出口到巴西主要得益于A.先进的科技B.广阔的市场C.便利的交通D.优良的气候加蓬是世界能源组织公布的太阳能资源最为丰富的国家之一，但该国太阳能开发利用率低。

目前，该国正在加大对太阳能资源的开发力度。

右图为加蓬及其周边区域示意图。

完成3、4题。

3．该国太阳能资源丰富的原因有①纬度低，太阳高度角大②海拔高，空气稀薄③处于下沉气流，降水少A.①②B.①③C.②③D.①②③4．加蓬太阳能资源开发利用率低的原因不包括A.本国常规能源丰富B.经济落后，能源需求量小C.土地面积狭小，开发条件差D.科技落后，资金短缺右图为“我国东南沿海某省级行政区的两个地区人口统计图”。

完成5、6题。

5．据材料推断导致甲、乙两地区人口数量差异的主要自然因素是A.气候条件B.经济水平C.耕地面积D.地形条件6．乙地区人口数量下降的原因最可能是A.计划生育措施得力，出生率下降B.人口老龄化严重，死亡率升高C.人口的净迁出率大于自然增长率D.生育观念的改变，出生率下降下图为祁连山位置示意图及其东端山地垂直带谱示意图。

完成7、8题。

7．决定图中铁路线走向的主要因素是A.地形B.绿洲C.城市D.水源8．祁连山北坡自然带较南坡丰富的原因是北坡①相对高度大②东南季风迎风坡，多地形雨③阴坡，蒸发弱，水分条件好④海拔低，热量条件好A. ①②③B.①②④C.①③④D.②③④2022年12月4日，印度尼西亚爪哇岛东部塞梅鲁火山喷发，大量黑色火山灰喷发到1500米高空。

宁波市期末九校联考高一英语试题第Ⅰ卷第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节：（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Which flavor of ice cream will the boy have?A. Blueberry.B. Strawberry.C. Chocolate.2. What is the woman going to do this afternoon?A. Borrow a book.B. Visit Mr. Smith.C. Attend a meeting.3. What does the woman offer to do for the boy?A. Fix his phone.B. Treat him to dinner.C. Give him a ride.4. What will the woman do the day after tomorrow?A. Leave for London.B. Attend a seminar.C. Do the gardening.5. What are the speakers going to do next?A. Buy tickets.B. Make a drink.C. See a film.第二节：（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6. What are the speakers mainly talking about?A. The weather.B. The mountain.C. The clothes.7. What does the woman decide to do during the day?A. Go on a road trip.B. Appreciate the sunrise.C. Go hiking.听第7段材料，回答第8、9题。

浙江省浙南名校联盟（温州九校）2024-2025学年高一历史上学期期末联考试题（含解析）考生须知：1.本卷共6页满分100分，考试时间90分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所必需写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题：（本大题共35小题，每小题2分，共70分。

每小题所列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.《礼记》中记载，“庶子不祭祖者，明其宗也”。

在西周，只有武王才有祭祀文王的特权，周公只有在武王的统率之下，才能参与文王的祭典。

材料说明A. 周公贤能不及武王B. 武王位于大宗地位C. 武王权力高度集中D. 周公对武王定期朝贡【答案】B【解析】【详解】“周公只有在武王的统率之下，才能参与文王的祭典”是由于周公相对于武王来讲是小宗，并不是因为其贤能不及武王，故解除A项；武王相对于周公来讲是大宗，故选B项；西周时期，武王并没有实现权力的高度集中，故解除C项；周公是否对武王定期朝贡不符合他“只有在武王的统率之下，才能参与文王的祭典”的题意主旨，故解除D项。

【点睛】宗法制的核心内容之一是即为大小宗。

武王继承了文王的王位，相对于周公来讲是大宗。

2.“攘却胡、越，开地斥境，南置交趾，北置朔方之州，兼徐、梁、幽，并夏、周之制，改雍曰凉，改梁曰益，凡十三部，置刺史。

”材料中“”部分应填A. 秦始皇B. 汉武帝C. 明太祖D. 雍正帝【答案】B【解析】【详解】依据“凡十三部，置刺史”并结合所学内容可知汉武帝时代，划分全国为十三个监察区域，称十三州部，每州部设刺史一人。

所以题干中应填“汉武帝”。

刺史制度并非开创自秦始皇、明太祖和雍正帝，故解除A、C、D项，故选B项。

3.下列中国古代地方行政区划的设置，不属于中心政府以下最高一级地方行政区划的是A. 秦朝的“郡”B. 唐代的“道”C. 宋朝的“州”D. 元朝的“行省”【答案】C【解析】【详解】秦朝地方实行郡县制，唐代地方实行道、州、县三级，宋代地方实行路、州、县三级，元代地方实行行省制，以下依次为路、府、州、县。

宁波市2022学年第一学期期末九校联考高一地理试题选择题部分一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）2022年11月8日傍晚上演了罕见的天文现象一月全食＋月掩天王星（天王星从红月亮背后穿过），宁波地区可见全过程。

读月全食部分过程图，回答下面小题。

1.关于食甚时出现红月亮的现象，下列说法正确的是（）A.地球大气的反射作用B.地球大气的散射作用C.月球表面的反射作用D.月球表面的吸收作用2.图2所示时刻，天王星位于月球的（）A.东侧B.南侧C.西侧D.北侧【答案】1.B 2.A【1题详解】食甚时，地球影子将满月挡住，此时月球上的太阳辐射被地球挡住，红月亮的红光来自于地球，结合所学，太阳辐射照射到大气时，除了吸收和反射外，还有部分光线被散射了，其作为光源使得月亮变红，B正确、ACD错误。

故选B。

【2题详解】由图可以看出天王星位于月球左侧，天空方位为“上北下南左东右西”，故天王星位于月球的东侧，A正确、BCD错误。

故选A。

【点睛】对于看地图，我们是俯视，看见的是“上北下南左西右东”；而我们看天是仰视，看见的就成了“上北下南左东右西”。

2022年9月5日12时52分，四川泸定县发生6.8级地震。

政府快速获取灾情数据，发现海螺沟景区有多处山体滑坡，部分道路中断。

据此，完成下面小题。

3.地震还可能诱发（）A.暴雨B.风暴潮C.寒潮D.疫病蔓延4.政府快速获取灾情影像图，利用的地理信息技术是（）A.GISB.GNSSC.RSD.VR【答案】3.D 4.C【3题详解】暴雨是大气强烈上升运动形成的，寒潮是强冷空气南下形成的，风暴潮由大风带来，发生在沿海地区，这些都与大气运动有关，与地震无关，ABC错误；地震发生后，灾区水源、供水系统等遭到破坏或受到污染，灾区生活环境严重恶化，极易诱发疫病蔓延，D正确。

故选D。

【4题详解】RS是遥感技术，指从远距离高空或外层空间的各种平台上，利用各种波段的遥感器，通过摄影或扫描、信息感应，识别地面物质的性质和运动状态的技术，政府快速获取灾情影像图，利用的地理信息技术是RS，C正确；GIS是地理信息系统，是关于空间信息输入、储存管理、分析应用与结果输出的计算机化系统，A错误；GNSS一般指全球导航卫星系统，是能在地球表面或近地空间的任何地点为用户提供全天候的3维坐标和速度以及时间信息的空基无线电导航定位系统，B错误；VR是虚拟现实技术，D错误。

湖南省2024届高三九校联盟第二次联考数学由 长沙市一中 常德市一中 湖南师大附中 双峰县一中 桑植县一中武冈市一中 湘潭市一中 岳阳市一中 株洲市二中 联合命题炎德文化审校、制作命题学校：长沙市一中 审题学校：双峰县一中注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.对两个变量x 和y 进行回归分析，得到一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）A.平均数B.相关系数rC.决定系数2RD.方差2.已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和.若31423,5a a S S -==，则2a 的值为（ ）A.2B.4C.2±D.4±3.关于复数z 与其共轭复数z ，下列结论正确的是（ ）A.在复平面内，表示复数z 和z 的点关于虚轴对称B.0z z ⋅>C.z z +必为实数，z z -必为纯虚数D.若复数z 为实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一根，则z 也必是该方程的根4.已知M 为双曲线22136x y -=上一动点，则M 到点()3,0和到直线1x =的距离之比为（ ）A.1D.25.如图，在四面体P ABC -中，PA ⊥平面,,22ABC AC CB PA AC BC ⊥===，则此四面体的外接球表面积为（）A.3πB.9πC.36πD.48π6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款0a 元，按照复利计算10年后得到的本利和为10a ，下列各数中与10a a 最接近的是（ ）A.1.31B.1.32C.1.33D.1.347.已知函数()()()sin f x x x ωω=，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（ ）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,48.过点()1,0P -的动直线与圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>交于,A B 两点，在线段AB 上取一点Q ，使得112PA PB PQ+=，已知线段PQ的最小值为，则a 的值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列函数的图象与直线1y x =+相切的有（ ）A.e x y =B.ln y x=C.sin 1y x =+D.31y x =+10.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos 1c b A =+，则下列结论正确的有（ ）A.2A B =B.若a =，则ABC V 为直角三角形C.若ABC V 为锐角三角形，11tan tan B A-的最小值为1D.若ABC V 为锐角三角形，则ca 的取值范围为11.如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，F 是线段11A B 的中点，则（）A.若点P 满足1AP B C ⊥，则动点P 的轨迹长度为B.三棱锥11A PB D -体积的最大值为163C.当直线AP 与AB 所成的角为45o 时，点P 的轨迹长度为π+D.当P 在底面ABCD 上运动，且溚足PF ∥平面11B CD 时，线段PF 长度最大值为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.对于非空集合P ，定义函数()1,,1,,P x P f x x P -∉⎧=⎨∈⎩已知集合{01},{2}A xx B x t x t =<<=<<∣∣，若存在x ∈R ，使得()()0A B f x f x +>，则实数t 的取值范围为__________.13.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=，椭圆的短轴长与长轴长之比大于12，则双曲线离心率的取值范围为__________.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（木小题满分15分）如图所示，半圆柱的轴截面为平面11BCC B ，BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，1AA 为一条母线，E 为1CC 的中点，且14AB AC AA ===.（1）求证：1OE AB ⊥；（2）求平面1AB E 与平面1B OE 夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A ，B ，C 三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：歌曲ABC猜对的概率0.80.50.5获得的奖励基金金额/元100020003000（1）求甲按“,,A B C ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；（2）甲决定按“,,A B C ”或者“,,C B A ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.17.（本小题满分15分）已函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，其图象的对称中心为(1,2)-.（1）求a b c --的值；（2）判断函数()f x 的零点个数.18.（本小题满分17分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23n n S a +=；数列{}n b 满足121n n b b n ++=+，其中11b =.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）对于给定的正整数()1,2,,i i n =L ，在i a 和1i a +之间插入i 个数12,,,i i ii c c c L ，使1,i i a c ，21,,,i ii i c c a +L 成等差数列.（i ）求11212212n n n nn T c c c c c c =+++++++L L ；（ii ）是否存在正整数m ，使得11223123m m m m b a m b T -+++---恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如1x ty =+表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆221:1C x y +=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点()00,P x y 不在线族：2:Ω(24)4(2)0()a x y a a -++-=∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范和直线族Ω的包络曲线E ；（3）在（2）的条件下，过曲线E 上,A B 两点作曲线E 的切线12,l l ，其交点为P .已知点()0,1C ，若,,A B C 三点不共线，探究PCA PCB ∠∠=是否成立？请说明理由.湖南省2024届高三九校联盟第二次联考数学参考答案命题学校：长沙市一中 审题学校：双峰县一中一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的每个这项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CCDCBDAA1.C 【解析】平均致与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的就计量：变量y 和x 之间的相关系数”的绝对值总大，则变量y 和x 之间线性相关关系越强；用决定系数R 来刻画回归效果，R 越大说明拟合效果总好：综上选C2.C 【解析】425S S =Q ，化简得()()421111511a q a q qq--=--，整理得215,2qq +=∴=±，又281113a a a q a -=-=，1211,2a a a q ∴=∴==±.故选C.3.D 【解析】对于选项A ，表示复数z 和z 的点关于实轴对称，故错误：对于选项B ､选项C ，当0z =时均不成立，故错误.故选D4.C 【解析】取双曲线上一点)，则d ==，故选C.5.B 【解析】将四面体P ABC -补形成长方体，长､宽､高分别为2,1,2，外接球直径等于体对角线长故2R =，所以外接球表面积为24π9πS R ==.故选B .6.D 【解析】存入大额存款0a 元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为0a 首项，13%+为公比的等比数列，，所认10010(13%)a a +=，可得10221010101000100(13%)C C 0.03C 0.03C 0.03 1.34a a =+=+⨯+⨯++⨯≈L ，故选D.7.A 【解析】由题知，()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，若沿x 轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的函数()()2sin g x x ωϕ=+，令()1g x =，即()1sin 2x ωϕ+=，由正弦曲线性质知，1sin 2x =至少有2解，至多有3解，则自变量x 的区间长度在2π到8π3之间，耶8π2ππ3ω<…，那823ω<…，选A.8.A 【解析】圆心(),2C a ，半径为2，所以圆与x 解相切，设切点为M .则(),0M a ，连接PM ，则1PM a =+，则22||(1)PM PA PB a ==+.设AB 的中点为D ，连接CD ，则CD AB ⊥，语圆心C 列直线AB 的距离为d ，则02,2d PA PB PD AD PD AD PD <+=++-=….由112PA PB PQ+=可得PQ ==，因为02d <….PQ <….=，解得：1a =，故选A.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACABDCD9.AC 【解析】选项A 中，e x y =与1y x =+相切于点()0,1；选项B 中，ln y x =与1y x =+没有交点；选项C 中，sin 1y x =+与1y x =+相切于点()0,1；选项D 中，1xy x =+与1y x =+有三个交点，()()0,1,1,2，()1,0-，均不是切点.10.ABD 【解析】对于A,ABC V 中，由正弦定理得sin 2sin cos sin C B A B =+，由()sin sin C A B =+，得sin cos cos sin sin A B A B B -=.即()sin sin A B B -=，由0,πA B <<，则sin 0B >，故0πA B <-<，所以A B B -=或A B B x -+=，即2A B =或πA =（舍去），即2,A B A =正确：对于B ，结合2A B =和正弦定理知,cos sin sin a b B A B ===，又0,πA B <<，数ππ2,32A B C ===，B 正确；对于C ，在锐角ABC V 中，πππ0,02,0π3222B A BC B <<<=<<=-<，即ππtan 164B B <<<<.故221111tan 1tan 1tan tan tan 2tan 2tan B B B A B B B-+-=-=>，C 错误；对于D ，在锐角ABC V 中，由ππcos 64B B <<<<.sin sin3sin2cos cos2sin 12cos .sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B +====-由对勾函数性质知，c a ∈，D 正确；故选ABD.11.CD 【解析】对A ，易知1B C ⊥平面11,ABC D A ∈平面11ABC D ，故动点P 的轨迹为矩形11ABC D ，动点P 的轨迹长度为4+，所认A 错误；对:B 因为1111A PD D P AB D V V --=，而11AB D V 的面积为定值11P AB D -的体积最大，当且仅当点P 到平面11AB D 距离最大，易知，点C 是正方体意向到平面11AB D 距离最大的点，()1111max8,3A PB DC ABD VV B --==错误；对C ：连接AC ，1AB ，以B 为圆心，1BB 为半径画弧¼1B C，如图1所示，当点P 在线段1,AC AB 和弧¼1B C上时，直线AP 与AB 所成的角为45o ，又1AC AB ======，弧¼1B C长度21π2π4⨯⨯=，故点P 的轨迹长度为π+C 正确；对D ；取1111,,,,,A D D D DC CB BB AB 的中点分别为,,,,,Q R N M T H ，连接,,,,,,,,QR QF FT TM MN NR FH HN HM ，如图2所示，因为FT ∥1,D C FT ⊄面111,D B C D C ⊂面11D B C ，故FT ∥面11D B C ，TM ∥1B C ，TM ⊄面111,D B C B C ⊂面11D B C ，故TM ∥面11D B C ；又,.FT TM T FT TM ⋂=⊂面FTM ，故平面FTM ∥面11D B C ；又QF ∥,NM QR ∥,TM RN ∥FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，FN FM NM =======则2228FM MN FN +==，故三角形FNM 是以FMN ∠为直角的直角三角形；故max FP FN ==，故FP 长度的最大值为，故D 正确.故选：CD .三､填空题（本大题共3小题，年小题5分，共15分）12.()0,1 【解析】由题知：()()B A f x f x +可取2,0±，若()()0A B f x f x +>.则()()2A B f x f x +=，即集合A B ⋂≠∅，得011<<，郎t 的取值范围为()0,1.13.⎭ 【解析】因为121,22b b c e a a a <=<====.14.2 【解析】()sin cos sin cos sin cos sin cos ecos e sin e ee xx x x x x x x f x x x +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭'.当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>；当3ππ,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '<；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin u x =和cos u x =均为单调减函数，又u u y e =在(1,1)u ∈-上是单调增函数，根据复合函数单调性可知sin cos sin cos ()e e x xx x x ϕ=+为减函数sin cos 0x xy e +=>，又3π0,(2π)02f f ⎛⎫<'> ⎪⎝⎭'，故函数()f x '在该区间上存在一个零点，该零点为函数()f x 的极值点；从而函数()f x 在(0,2π)内一共有2个极值点.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）由BC 是直径可知AB AC ⊥，则ABC V 是是等腰直角三角形，故AO BC ⊥，由圆柱的特征可知1BB ⊥平面ABC ，又AOC 平面ABC ，所以1BB AO ⊥，因为11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂平面11BCC B ，则AO ⊥平面11BCC B ，而OE ⊂平面11BCC B ，则AO OE ⊥，因为14AB AC AA ===，则2221124BC B O B B BO ==∴=+=，22222222111112,36OE OC CE B E EC B C B O OE =+==+==+，所以1B O OE ⊥，因为111,,,,B O OE AO OE AO B O O AO B O ⊥⊥⋂=⊂平面1AB O ，所以OE ⊥平面1AB O ，又1AB ⊂平面1AB O ，故1OE AB ⊥.（2）由题意及（1）易知1,,AA AB AC 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则()()()14,0,4,0,4,2,2,2,0B E O ，所以()()14,0,4,0,4,2,AB AE AO ===u u u r u u u r u u u r()2,2,0，由（1）知AO ⊥平面1B OE ，故平面1B OE 的一个法向量是()2.2,0,AO =u u u r设(),,n x y z =r是平面1AB E 的一个法向量，则有1440,420,n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u rr 取22,1z x y =-⇒==，所以()2,1,2,n =-r 设平面1AB E 与平面1B OE 夹角为θ，所以cos cos ,n AO n AO n AO θ⋅====⋅u u ur r u u ur r u u u r r ，则平面1AB E 与平面1B OE.16.【解析】1）设“甲按‘A ，B ，C ’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E ，则()0.80.50.50.80.50.50.4P E =⨯⨯+⨯⨯=；则X 的所有可能取值为0,1000,3000,6000，()010.80.2,P X ==-=()()10000.810.50.4,P X ==⨯-=()()30000.80.510.50.2P X ==⨯⨯-=()60000.80.50.50.2P X ==⨯⨯=所以()00.210000.430000.260000.22200E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；则Y 的所有可能取值为0,3000,5000,6000，()00.5,P Y ==()()30000.510.50.25,P Y ==⨯-=()()50000.50.510.80.05P Y ==⨯⨯-=()60000.50.50.80.2P Y ==⨯⨯=所以()00,530000,2550000,0560000,22200E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.参考答案一：由于()222222000.212000.48000.238000.24560000D X =⨯+⨯+⨯+⨯=，()222222000.58000.2528000.0538000.25860000,D Y =⨯+⨯+⨯+⨯=由于()()D Y D X >，所以应该安装“,,A B C ”的顺序猜歌名.参考答案二：甲按“C ，B ，A ”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A ，B ，C ”的顺序猜歌名时获得0元的概率，所以应孩按照“A ，B ，C ”的顺序猜歌名.其他合理答案均给分，17.【解析】（1）图为函教()f x 的图象关于点()1,2-中心付称，故()12y f x =++为夺函数，从而有()()12120f x f x +++-++=，即()()114f x f x ++-+=-.()()()()32321(1)(1)13231f x x a x b x c x a x a b x a b c +=++++++=+++++++++，()()()()32321(1)(1)13231f x x a x b x c x a x a b x a b c -=-+-+-+=-++-++++++.所以260,22224,a a b c +=⎧⎨+++=-⎩解得3,0,a b c =-⎧⎨+=⎩故3a b c --=-；（2）法一：由（1）可知，()()3223,36,Δ3612f x x x cx c f x x x c c =--+==+'--，当3c -…时，()f x 为单调增函教，()120f =-<，()()()2443443434434393640f c c c c c c c c c c c c c c c c c =--+--+=-+=+-++>…，函数()f x 有且仅有一个零点；当30c -<<时，()0f x '=有两个正根12x x <，满足13122,03cx x x x +=⋅=->，且211360x x c --=，数()f x 在区间()1,x ∞-上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x ∞+上单调递增，()()()()()222211111111131362330,320f x x x x x x x x x f =----=--+<=->，函数()f x 有且仅有一个零点；当0c =时，()323f x x x =-有两个零点当0c >时，()0f x '=有两个根120x x <<，满足12122,03cx x x x +=⋅=-<，函数()f x 在区间()1,x ∞-上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x ∞+上单调递增，()()()()1200,120.f x f c f x f >=><=-<函致()f x 有且仅有三个零点；综上，当0c >时，函数()f x 有三个零点；当0c =时，函数()f x 有两个零点；当0c <时，函数()f x 有一个零点法二：由（1）可知，()()323,120f x x x cx c f =--+=-≠，今()0f x =，则3231x x c x -=-可以转化为y c =与3231x x y x -=-两个这数图象交点的个数，今()()32311x x h x x x -=≠-，则()()22233(1)x x x h x x -+'=-，故()h x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,1上单调递增在区间()1,∞+上单调递增，当x 单调递增∞+时，()()()223,1x x h x x h x x -=>-趁于();00h ∞+=；当x 趋于1且比1小时，()h x 趋于+∞：当x 趋于1且比1大时，()h x 趋于∞-：当x 单调递增∞+时，()()()2231,12x x h x x h x x -=>-趋于∞+.所以，当0c >时，有三个交点；当0c =时，有两个交点；当0c <时，有一个交点.综上，当0c >时，函数()f x 有三个零点；当0c =时，函数()f x 有两个零点；当0c <时，函数()f x 有一个零点.注意，如果是保留参数b ，则答案为：当0b >时，函数()f x 有一个零点；当0b =时，函数()f x 有两个零点；当0b <时，函数()f x 有三个零点.18.【解析】（1）由23n n S a +=①，当2n …时，1123n n S a --+=②，①-②得()11120.23n n n n n a a a a a n --+-=∴=…，当1n =时，11123,1a a a +=∴=，{}n a ∴是首项为1，公比为13的等比数列，故()1*13n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，由121n n b b n ++=+③.由11b =得22b =，又1223n n b b n +++=+④.④-③得22n n b b +-=，{}n b 的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得()()()*212n 11221,2122,n n b n n b n n b n n -=+-⨯=-=+-⨯=∴=∈N.综上：()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ；（2）（i ）在n a 和1n a +之间新入n 个数12,,,n n nn c c c L ，使121,,,,,n v n nn n a c c c a +L 成等差数列，设公差为v d ，则()()111123321131n n n n n n a a d n n n -+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+-++，则111122(1)2,33(1)33(1)23n nnk n nk n n n v n k k n n n n c a kd c n n --=+⎛⎫=+=-∴=-⋅= ⎪++⎝⎭∑.11212212nn 212c 2333n n n nn T c c c c c ⎛⎫=+++++++=+++ ⎪⎝⎭L L L ⑤则23111223333n n n T +⎛⎫=+++⎪⎝⎭L ⑥⑤-⑥得：21111112111233332211333333313n n v v n n n n n T +++⎛⎫-⨯ ⎪+⎛⎫=+++-=-=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭L ，（ii ）由（1）()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，又323223n nn T +=-⨯，由已知1112132313123m m m m m b a m m m m T +-++-+=+-+---，假设11313m mm m +-+-+是数量列{}n a 或{}n b 中的一项，不妨设()()()()1*130,,113313m m mm k k m k m k m +-+=>∈∴--=-⋅-+N ，因为()*10,30mm m ->∈N …，所以13k <…，而1113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭…，所以11313m mm m +-+-+不可能是数列{}n a 中的项.假设11313m mm m +-+-+是{}n b 中的项，则*k ∈N .当2k =时，有13m m -=，即113m m -=，令()()()111123,13333mm m m m m m m f m f m f m ++---+=+-=-=，当1m =时，()()12f f <；当2m …时，(1)()0,(1)(2)(3)(4)f m f m f f f f +-<<>>>L ，由()()110,29f f ==知1113m m +-=无解.当3k =时，有10m -=，即1m =.所以存在1m =使得113313mm m m +-+=-+是数列{}n b 中的第3项.故存在正整数1m =使得21123123m m m m b a m b T +-++---是数列{}n b 中的第3项.19.【解析】（1）由定义可知，1mx ny +=与221x y +=相切，则圆1C 的圆心()0,0到直线1mx ny +=的距离等于1，则1d ==，叔221m n +=.（2）点()00,P x y 不在直线族()()2Ω:244(2)0a x y a a -++-=∈R 的任意一条直线上，所以无论a 取何值时，()200244(2)0a x y a -++-=无解.将()200244(2)0a x y a -++-=整理成关于a 的一元二次方程；()()2000244440a x a y x +-++-=.若该方程无解，则()()2000Δ2444440x y x =--+-<，即2004x y >.证明：在24x y =上任取一点2211,,44x x Q x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在该点处的切线斜率为12x k =，于是可以得到24x y =在211,4x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭点处的切线方程为：21124x x y x =-，即211240x x y x -++=.今直线族()2Ω:244(2)0a x y a -++-=中1242a x -=-，则直线为211240x x y x -++=，所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，而对任意()2,244(2)0a a x y a ∈-++-=R 那是抛物线在点2(2)2,4a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的切线.所以直线族Ω的包络曲线E 为24x y =.（3）法一：已知()0,1C ，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()1122,1,,1CA x y CB x y =-=-u u u r u u u r.22121,144x x CA CB =+=+u u u r u u u r .由（2）知，24x y =在点()11,A x y 处的切线方程为21124x x y x =-；同理24x y =在点()22,B x y 处的切线方程为22224x x y x =-.111212222,24,2424x xy x x x x x P x x y x ⎧=-⎪+⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩，所以1212,124x x x x CP +⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .因此22821212111212112111111244441644x x x x x x x x x x x x x CA CP x ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+--=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，同理：22121144x x x CB CP ⎛⎫⎛⎫⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .所以2211221212122212111111444444,1144x x x x x x x x x x CA CP CB CP x x CA CPCP CB CP CPCP CP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⋅⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r uu u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即CA CP CB CP CA CPCB CP⋅⋅=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r ，所以PCA PCB ∠∠=成立.法二：过,A B 分别作准线的垂线,AA BB ''，连接,A P B P ''.因为12,2A PA A CA x x Ak y x k x =''===-.显然1BA A C k k '⋅=-.又由抛物线定义得：AA AC '=，故PA 为线段A C '的中垂线，得到PA PC '=，即PA A PCA ∠∠'=.同理可知,PB B PCB PB PC ∠∠'=='，所以PA PC PB ='='，即PA B PB A ∠∠''''=.则9090PA A PA B PB A PB B ∠∠∠∠=''''++='='o o .所以PCA PCB ∠∠=成立.。