2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高一上学期第一次月考数学试题Word版含解析

2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）{}28120,{14}A x x xB x x =-+<=∈<Z ∣∣ A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}3,4{}3∅2.已知，则的大小关系为（ ）121311log ,ln ,e 22a b c ===,,a b c A. B.a b c <<a c b <<C.D.b a c <<b c a<<3.函数的图象大致为（ ）()2cos e e x xx xf x -+=-A.B.C.D.4.函数的一个零点所在的区间是（ ）()()1ln 2f x x x =-A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,45.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，()f x R 0x ()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->则的取值范围为（ ）m A.B.C.D.(),0∞-()0,∞+(),1∞-()1,∞+6.已知条件，条件，若是的必要而不充分条件，则实()2:log 12p x +<()22:210q x a x a a -+++ p q 数的取值范围为（ ）a A.B.C.D.(),2∞-()1,∞-+()1,2-[]2,87.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足T t T 称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至()01,2t ha a T T T T h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25C a T =80C 大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：75C 75C 45C ）lg20.30,lg11 1.04≈≈A.8分钟 B.9分钟C.10分钟D.11分钟8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是()e x f x x ax a=-+1a >0x ()00f x <a （）A. B. C. D.(21,2e ⎤⎦33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ）A. B.()e xf x x =()ln f x x x=C.D.()e x f x x =-()cos 2f x x x=-10.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）,m n 1m n +=A.的最小值是411m n +B.的最大值是22m n +12+的最大值是1211.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()ln f x x x a=--A.若有两个零点，则()f x 1a >B.若无零点，则()f x 1a C.若有两个零点，则()f x 12,x x 121x x <D.若有两个零点，则()f x 12,x x 122x x +>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，其中是其导函数，则__________.()()421f x x f x '=--()f x '()()2222f f ='+-'13.若，则的最小值为__________.,,0a b ab ∈>R 442a b ab ++14.已知函数若存在实数满足，且()32log ,03,(4),3,x x f x x x ⎧<<=⎨-⎩ 1234,,,x x x x 1234x x x x <<<，则的取值范围是__________.()()()()1234f x f x f x f x ===()()341233x x x x --四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.()()232f x x a x b=--+（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；x ()0f x <()2,3-,a b （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭a 16.（本小题满分15分）已知命题：“”为假命题，实数的所有取值构成的集合为.p 2,10x x ax ∃∈-+=R a A （1）求集合；A （2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.{121}B xm x m =+<<+∣t A ∈t B ∈m17.（本小题满分15分）已知函数（为实常数）.()321x f x a =-+a （1）若函数为奇函数，求的值；()f x a （2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.[]1,6x ∈()2x uf xu 18.（本小题满分17分）已知函数.()ln 1a f x x x =+-（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数有两个零点，且.证明：.()f x 12,x x 12x x >12121x x a +>19.（本小题满分17分）已知函数.()33f x x x=-（1）求函数在区间上的值域；()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围.()y f x =()(),P m f m 24y x a =-a2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考·数学参考答案､提示及评分细则1.B 因为，所以.{}{}28120{26},{14}2,3,4A x x x x x B x x =-+<=<<=∈<=Z ∣∣∣ {}3,4A B ⋂=故选B.2.C 因为，所以.故选C.1213311log log 2,01,ln ln20,e 122a a b c ==<<==-<=>c a b >>3.A 由，可知函数为奇函数，又由时，，有()()2cos e e x x x xf x f x -+==--()f x 01x < cos 0x >，可得；当时，，有，故当时，，可2cos 0x x +>()0f x >1x >21x >2cos 0x x +>0x >()0f x >知选项A 正确.4.B 因为，在上是连续函数，且，即在上()()1ln 2f x x x =-()0,∞+()2110f x x x =+>'()f x ()0,∞+单调递增，，所以，所以在上存在一()()11ln210,2ln402f f =-<=->()()120f f ⋅<()f x ()1,2个零点.故选B.5.D 当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又0x ()f x 1x =-()f x [)0,∞+0x =是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由()f x R ()f x R ()()f x f x -=-，可得，又因为在上单调递增，所以()()3370f m f m ++->()()373f m f m +>-()f x R ，解得.故选D.373m m +>-1m >6.C 由，得，所以，()2log 12x +<13x -<<:13p x -<<由，得，所以，()22210x a x a a -+++ 1a x a + :1q a x a + 因为是的必要而不充分条件，p q 所以⫋，解得，故选C.{}1x a x a +∣ {13}x x -<<∣12a -<<7.C 根据题意得，则，所以()11111075258025,2211hh ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1452575252t h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以，两边取常用对数得1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦102115t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.2lg102lg2lg52lg2120.315lg lg ,10101151lg111lg111 1.04lg 11t t --⨯-====≈=---8.D 令，显然直线恒过点，()()e ,,1x g x x h x ax a a ==->()h x ax a=-()1,0A 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线0x ()00f x <0x ()()00,x g x 下方”，，当时，，当时，，即()h x ax a =-()()1e xg x x =+'1x <-()0g x '<1x >-()0g x '>在上递减，在上递增，()g x (),1∞--()1,∞-+则当时，，当时，，1x =-()min 1()1e g x g =-=-0x ()1,0e g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦而，()()01h x h a =-<- 即当时，不存在整数使得点在直线下方，0x 0x ()()00,x g x ()h x ax a =-当时，过点作函数图象的切线，设切点为，0x >()1,0A ()e xg x x =(),e ,0t P t t t >则切线方程为，()()e 1e t t y t t x t -=+-而切线过点，即有，整理得，而，()1,0A ()()e 1e 1t tt t t -=+-210t t --=0t >解得，因，()1,2t =()()1e 01g h =>=又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，0x ()()00,x g x ()h x ax a =-即存在唯一整数2使得点在直线下方，()()2,2g ()h x ax a =-因此有解得，()()()()23222e ,333e 2,g h a g h a ⎧<⎧<⎪⇔⎨⎨⎪⎩⎩ 323e 2e 2a < 所以的取值范围是.故选D.a 323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦9.ABC 对于选项D ，因为，所以在定义域内恒成立，所以选项D 不合题意；()sin 2f x x =--'()0f x '<其它选项的导函数在各自的定义域内不恒小于（大于）或等于0.10.ACD 正实数满足，当且仅,m n ()11111,224n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++=+++= ⎪⎝⎭ 当时等号成立，故选项A 正确；12m n ==，故的最小值是，故选项B 错误；222()122mn m n ++= 22mn +12，故选项C正确；212m n =++=+，当且仅当时等号成立，故选项D 正确.1m n += 1212m n ==11.ACD 由可得，令，其中，()0f x =ln a x x =-()lng x x x=-0x >所以直线与曲线的图象有两个交点，y a =()y g x =在上单调递减，在上单调递增，()()111,x g x y g x x x -=-=='()0,1()1,∞+图象如图所示.当时，函数与的图象有两个交点，选项A 正确；1a >y a =()y g x =当时，函数与的图象有一个交点，选项B 错误；1a =y a =()y g x =由已知可得两式作差可得，所以，由对数平均不等式1122ln ,ln ,x xa x x a -=⎧⎨-=⎩1212ln ln x x x x -=-12121lnln x x x x -=-，则，选项C正确；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-1<121x x <，则，选项D 正确.1212x x +<122x x +>12.0 因为，显然导函数为奇函数，所以.()()3412fx x f x'=--'()()22220f f -'+='13.4 因为，所以，0ab >44332222224a b a b ab ab b a ab ab ab ++=++=+⨯=当且仅当，即时等号成立.331,a b ab ba ab ==221a b ==14.因为.()0,1()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<由图可知，，即，且，3132log log x x -=3412431,4,82x x x x x x +===-334x <<所以.()()()()()()342343434333312333339815815x x x x x x x x x x x x x x --=--=-++=--=-+-在上单调递增，的取值范围是.233815y x x =-+- ()3,4()()3433x x ∴--()0,115.解：（1）由关于的不等式的解集为，x ()0f x <()2,3-可得关于的一元二次方程的两根为和3，x ()0f x =2-有解得3223,23,a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩1,6,a b =⎧⎨=-⎩当时，，符合题意，1,6a b ==-()()()2632f x x x x x =--=-+故实数的值为的值为；a 1,b 6-（2）二次函数的对称轴为，()y f x =322a x -=可得函数的减区间为，增区间为，()f x 32,2a ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦32,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭若函数在上单调递增，必有，解得，()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭321023a -- 149a - 故实数的取值范围为.a 14,9∞⎛⎤--⎥⎝⎦16.解：（1）由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，p x 210x ax -+=可得，解得，22Δ()440a a =--=-<22a -<<故集合；()2,2A =-（2）由若是的必要不充分条件，可知⫋，t A ∈t B ∈B A ①当时，可得，满足⫋；121m m ++ 0,m B =∅ B A②当时，可得，若满足⫋，必有（等号不可能同时成立），121m m +<+0m >B A 12,212,0,m m m +-⎧⎪+⎨⎪>⎩解得，102m <由①②可知，实数的取值范围为.m 1,2∞⎛⎤-⎥⎝⎦17.解：（1）因为函数是奇函数，，()f x ()3322121x x xf x a a -⋅-=-=-++，解得()()33222302121xx x f x f x a a ⋅+-=--=-=++3;2a =（2）因为，由不等式，得，()33221x f x =-+()2x u f x 3322221xx xu ⋅⋅-+ 令（因为，故，[]213,65xt +=∈[]1,6x ∈()()3133291222t u t t tt -⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭由于函数在上单调递增，所以.()32922t t t ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭[]3,65()min ()31t ϕϕ==因此，当不等式在上恒成立时，.()2x uf x[]1,6x ∈max 1u =18.解：（1）的定义域为，()f x ()()2210,,a x a f x x x x ∞'-+=-=当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，0a ()2x af x x -='()0,∞+()f x ()0,∞+当时，，0a >()20,x af x x a x -==='当时，，当时，.0x a <<()0f x '<x a >()0f x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增；()f x ()0,a (),a ∞+（2）由题可得，两式相减可得，，1212ln 10,ln 10a ax x x x +-=+-=()121212ln ln x x x x a x x -=-要证，即证，12121x x a +>()1212121212ln ln x x x x x x x x -+>-即证，即证，1212122ln ln x x x x x x -+>-112122121ln x x xx x x -+>令，则，即证，121x t x =>12ln 0x x >1ln 21t t t ->+令，则，()()1ln 121t g t t t t -=->+()22213410(21)(21)t t g t t t t t ++='-=>++所以在上单调递增，所以，所以，故原命题成立.()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 21t t t ->+19.解：（1），令，可得，可得函数的增区间为()233f x x =-'()0f x '<11x -<<()f x ()(),1,1,,∞∞--+可得函数在区间上单调递增，在上单调递减，()f x []32,1,1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()1,1-由，()()()3333912,12,22,32228f f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=-=-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由曲线在点处的切线方程为，整理为()y f x =P ()()()32333y m m m x m --=--()22332y m x m =--联立方程消去后整理为，()232332,4,y m x m y x a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩y ()22343320x m x m a --+-=可得()()223Δ331620,m m a =---=整理为，43216932189a m m m -=--+令，有，()432932189g x x x x =--+()()()3236963612313g x x x x x x x '=--=+-令，可得或，()0g x '>103x -<<3x >可得函数的增区间为，减区间为，()g x ()1,0,3,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,,0,33∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭由，可得，()12243288,327g g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭min ()288g x =-有，可得16288a -- 18a。

2020-2021学年山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高一上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．有下列四个命题： ①{}0是空集；②若a N ∈，则a N -∉；③集合2{|210}A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集．其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】①{0}不是空集，可判断是否正确； ②若a N ∈，当0a =时，N a -∈，可判断是否正确；；③集合{}22101{|}A x R x x =∈-+==，只有1个元素，可判断是否正确；④集合1,2{},3,6B =，是有限集，可判断是否正确． 【详解】①{}0不是空集，故①不正确；②若a N ∈，当0a =时，N a -∈，故②不正确；③集合{}22101{|}A x R x x =∈-+==，只有1个元素，故③不正确；④集合{}61,2,3,6B x N N x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭，是有限集，故④正确．故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的概念，解题时要认真审题，仔细解答，注意熟练掌握集合的概念．属于基础题．2．已知集合{}()20A x x a a R =+∈，且1,2A A ∉∈，则（ ） A ．4a >- B ．2a ≤- C ．42a -<<-D ．42a -<≤-【答案】D 【解析】【详解】 因为1,2A A ∉∈，所以2040a a +≤⎧⎨+>⎩，解得42a -<≤-. 故选：D.3．已知101a <<，201a <<，记12M a a =，121N a a =+-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N < B ．M N >C ．MND ．无法确定【答案】B【解析】利用作差法可比较M 与N 的大小关系. 【详解】()()()11121212121111M N a a a a a a a a a a -=-+-=--+=--，101a <<，201a <<，110a ∴-<，210a -<，则0M N ->，因此，M N >.故选：B. 【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小，考查计算能力，属于基础题. 4．设A ，B 是非空集合，定义(){A B x x A B *=∈⋃且()}x A B ∉⋂．已知{}03A x x =≤≤，{}1B x x =≥，则A B *=（ ）．A ．{}13x x ≤< B ．{}13x x ≤≤ C ．{01x x ≤<或}3x > D ．{01x x ≤≤或}3x ≥【答案】C【解析】先由题意，求出A B 与A B ，再由题中条件，即可求出结果.【详解】因为{}03A x x =≤≤，{}1B x x =≥， 所以{}0A B x x ⋃=≥，{}13A B x x ⋂=≤≤，则(){A B x x A B *=∈⋃且()}x A B ∉⋂={01x x ≤<或}3x >. 故选C 【点睛】本题主要考查新定义下的交集与并集的混合运算，熟记集合交集与并集的概念即可，属于常考题型.5．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是（ ） A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A ⊆B=C D ．A ＝B ⊆C【答案】B【解析】根据平行四边形、菱形、正方形的概念结合集合的包含关系即可得结果. 【详解】邻边相等的平行四边形是菱形，所以菱形包含于平行四边形，即A C ⊆； 有一个角是直角的菱形是正方形，所以正方形包含于菱形，即B A ⊆； ∴B A C ⊆⊆， 故选：B. 【点睛】本题主要考查菱形的定义，正方形的定义，及平行四边形、菱形、正方形的关系，以及子集的概念，属于基础题.6．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2 D ．1<m <3【答案】A【解析】由二次函数f (x )＝－x 2＋mx －1开口向下，又f (x )的函数值有正值，则图像与x 轴有两个交点，即24(1)(1)0m ∆=-⨯-⨯->，求解即可. 【详解】解：因为f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值， 则24(1)(1)0m ∆=-⨯-⨯->，整理得24m >， 解得m <－2或m >2， 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的图像，重点考查了函数的最值，属基础题.7．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103aa ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣【答案】C【解析】求得命题p 为真命题时a 的取值范围，由此求得命题p 为假命题时a 的取值范围. 【详解】先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围 （1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立， （2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.8．若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{}|14m m -<< B ．{|1m m <-或}4m > C ．{}|41m m -<< D ．{|0m m <或}3m >【答案】B【解析】首先根据题意得到2min34y m m x ⎛⎫->+⎪⎝⎭，利用基本不等式得到min 44y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再解不等式234m m ->即可.【详解】因为234y m m x ->+有解，所以2min 34y m m x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭.144224444y y y x x x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当44y xx y=，即3x =，6y =时取等号. 所以min 44y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故234m m ->，解得1m <-或4m >. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，同时考查不等式的有解情况，属于简单题. 9．设m 为给定的一个实常数，命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥，则“3m ≥”是“命题p 为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2:,420p x R x x m ∀∈-+≥为真命题，可得0∆≤，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥，若命题p 为真命题，则0∆≤，即1680m -≤，解得2m ≥，32m m ≥⇒≥，反之不成立，所以“3m ≥”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件、一元二次不等式恒成立，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.10．对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B ．“ac ＝bc”是“a ＝b”的必要条件 C ．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D ．“ac ＝bc”是“a ＝b”的充分条件【答案】B 【解析】【详解】因为根据不等式的性质可知，“ac ＝bc”是“a ＝b”的必要不充分条件，选项D 错误， 选项A 是不充分不必要条件，选项C 是不充分不必要条件,选B11．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．)02a bab a b +>>> B ．()2220a b ab a b +>>>C ．)20abab a b a b<>>+ D ．)22022a b a b a b ++<>>【答案】D【解析】计算出CF 和OF ，由OF CF <可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，22AC BC a bOF ++==，()022a b a b OC AC OA a a b +-=-=-=>>， 由勾股定理可得222222222a b a b a b CF OF OC +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在Rt OCF 中，由OF CF <可得)22022a b a b a b ++<>>.故选：D. 【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.二、多选题12．已知三个不等式：①0ab >，②c da b>，③bc ad >.则下列结论正确的是 （ ） A ．①③⇒② B ．①②⇒③C ．②③⇒①D ．B 选项错误【答案】ABC【解析】利用不等式的基本性质可判断A 、B 、C 选项的正误，综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，当0ab >且c da b >时，由不等式的性质可得c d ab ab a b⋅>⋅，bc ad ∴>，A 选项正确；对于B 选项，当0ab >且bc ad >时，由不等式的基本性质可得bc ad ab ab >，c da b∴>，B 选项正确； 对于C 选项，当c da b>且bc ad >时，0c d bc ad a b ab --=>，可得0ab >，C 选项正确.故D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断命题的正误，考查推理能力，属于基础题.三、填空题13．已知{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则满足条件的集合A 的个数为________. 【答案】8【解析】将集合A 分为包含2,3,4,5个元素四种情况，根据包含关系列举出满足条件的集合，从而得到结果. 【详解】由{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆知：当集合A 中有2个元素时，有{}1,2满足题意，共1个当集合A 中有3个元素时，有{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5满足题意，共3个 当集合A 中有4个元素时，有{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5满足题意，共3个当集合A 中有5个元素时，有{}1,2,3,4,5满足题意，共1个∴满足条件的集合A 共有：13318+++=个故答案为8 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解集合，关键是能够明确子集的定义，确定所求集合中的元素的个数，属于基础题.14．已知集合{}A x x a =>，{}1B x x =>，若R A C B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． 【答案】{}1a a <【解析】由已知可求得R C B ，集合A 与集合R C B 有公共元素，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由集合{}1B x x =>，可得{}|1R C B x x =≤，R A C B ≠∅，可得集合A 与集合R C B 有公共元素，1a ∴<.故答案为：{}|1a a <. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题.四、双空题15．全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是_________这是_____命题(填“真”或“假”)．【答案】存在一个素数不是奇数 真【解析】利用全程命题的否定变换形式以及命题真假判断即可求解. 【详解】“所有的素数都是奇数”的否定是“存在一个素数不是奇数”，2是素数，但不是奇数，故命题的否定是真命题.故答案为：存在一个素数不是奇数；真 【点睛】本题考查了含有一个量词的否定变换形式以及命题的真假判断，属于基础题. 16．已知一次函数112y x =-+的图象分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点(),P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值是________，取得最大值时a 的值为________. 【答案】121 【解析】首先根据题意得到22a b =-，从而得到()21ab b b =-⋅，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】令0y =，得2x =，()2,0A ，令0x =，得1y =，()0,1B ， 因为(),P a b 在线段AB 上，所以112b a =-+，即22a b =-，且01b ≤≤. 所以()()()2112221242b b ab b b b b -+⎡⎤⎣⎦=-⋅=-⋅≤⋅=， 当且仅当1b b -=，即12b =，1a =时取等号. 故答案为：12；1 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.五、解答题17．已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b 的取值范围. 【答案】-<2a+3b<【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b). 因为-1<a+b<3,2<a-b<4, 所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.18．已知集合{}|{|023}Ax x B x a x a ≤≤≤≤＝，＝＋ ． （1）若()RA B R ＝，求a 的取值范围；（2）是否存在a 使()RA B R ＝且A B ∅＝∩？【答案】（1）10a -≤≤；（2）不存在【解析】（1）由A 以及全集R ，求出A 的补集，根据A 补集与B 的并集为R ，即可求出a 的范围；（2）根据题意列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集，即可求出a 的范围． 【详解】（1）{}02|Ax x ≤≤＝ ，∴|0{RA x x <＝或2}x > ． ∵()RA B R ＝，∴032a a ≤⎧⎨+≥⎩∴10a -≤≤. （2）由（1）知()RA B R ＝时，10a -≤≤，所以233a ≤≤＋，所以A B ⊆，这与A B ∅＝∩矛盾． 即这样的a 不存在． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 19．对于任意实数x ，不等式241x x m +->恒成立．求实数m 的取值范围． 【答案】(),5-∞-【解析】由题意可知，不等式2410x x m +-->对任意的x ∈R 恒成立，由∆<0可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，不等式2410x x m +-->对任意的x ∈R 恒成立， 则()16414200m m ∆=++=+<，解得5m <-. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞-. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 20．某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.【答案】当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.【解析】设该学校组织去学习的老师有n 人（n ∈+N ），全票价为x 元，坐甲车队的车需花1y 元，坐乙车队的车需花2y 元，根据两个车队的政策,分别求出坐甲车所需费用1y 元和坐乙车所需费用2y 元,再对1y 和2y 作差，并且判断作差的结果的符号,可得出结论.【详解】设该学校组织去学习的老师有n 人（n ∈+N ），全票价为x 元，坐甲车队的车需花1y 元，坐乙车队的车需花2y 元， 则()13131444y x x n x xn =+-=+，245y xn =， 所以12134111144542045n y y x xn xn x xn x ⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎝⎭. 当5n =时，12y y =；当5n >时，12y y <；当05n <<时，12y y >.所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.故得解.【点睛】本题主要考查运用不等式知识中的比较大小解决实际生活中的确定方案的问题，属于中档题．关键在于将生活实际中的量转化为数学的符号或相关的式子，运用数学方法解决问题．21．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3米，AD ＝2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.【答案】（1）2(0,)(6,)3⋃+∞；（2）当DN 的长度为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米.【解析】（1）设DN 的长为x (0x >)米，则|AN |＝(x ＋2)米,根据比值相等可得||AM ，再由矩形面积公式得矩形面积，然后解不等式可得结果；（2）利用基本不等式可求得最值.【详解】（1）设DN 的长为x (0x >)米，则|AN |＝(x ＋2)米. 因为||||||||DN DC AN AM =，所以3(2)||x AM x+=， 所以矩形AMPN 的面积为||||AN AM ⋅23(2)x x+=, 由23(2)32x x+>，得2320120x x -+>，解得203x <<或6x >， 所以DN 的长的取值范围是2(0,)(6,)3⋃+∞(单位：米)，（2）矩形花坛的面积为y ＝223(2)31212x x x x x+++=12312x x =++1223122361224x x ≥⋅==，当且仅当123x x=，即2x =时，等号成立， 所以当DN 的长度为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米.【点睛】本题考查了基本不等式的实际应用，属于中档题.22．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a ，b ；（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<．【答案】（1）1a =，2b =；（2）答案见解析.【解析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出a ，b 的值；（2）将a ，b 的值代入，并将不等式因式分解为(2)()0x x c --<，通过对c 与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集.【详解】（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1． 由根与系数的关系，得3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩； （2）原不等式化为：2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<，③当2c =时，不等式的解集为∅．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.。

2023-2024学年朔州市怀仁一中高一数学上学期第一次月考卷全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}013A x x =≤-<，{}0,1,2,4B =，则A B = （）A ．{}1,2B ．{}1,2,4C ．{}0,1,2D ．{}2,42．若全集U =R ，集合{0,1,2,3,4,5,6}A =，{3}B xx =≤∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{3,4,5,6}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{4,5,6}3．下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．存在一条直线与已知直线不平行C ．对任意实数,a b ，若0a b - ，则a bD ．存在两个全等的三角形的面积不相等4．已知集合{310},{26},{5}A x x B x x C x a x a =≤<=<<=-<<∣∣∣，若()C A B ⊆⋃，则实数a 的取值范围是（）A ．532a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．52a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭C ．{}3a a ≤D ．{}2a a ≤5．如果A 是D 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，A 是C 的必要不充分条件，那么B 是D 的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知“()22,204a x x a x ∀∈+-+>R ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．{0}a a <∣B ．{01}a a <≤∣C ．{1}aa >∣D ．{}1a a ≥∣7．对于集合M N ､，定义：{M N x x M -=∈∣且()()},x N M N M N N M ∉⊕=-⋃-，若{32},{12}A x x xB x x =-<=-<∣∣，则A B ⊕=（）A ．{11}xx -<≤∣B ．{10∣x x -<≤或1}x ≥C ．{11xx -<<∣或3}x >D ．{11xx -<≤∣或3}x ≥8．设集合{}323,50M x x k k ==-<，{}22N x x k ==+，若*k ∈N ，则M N ⋂元素的个数为（）A ．15B ．16C ．17D ．18二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知集合(){}10A x x x =-=,那么下列结论错误的是()A ．0A∈B ．1A ∉C ．1A-∈D ．2A∉10．已知集合{}{}1,2,3,13A B x x =-=-≤<，则下列结论正确的是（）A ．{}1,2A B =- B ．A B B⋃=C ．R 3B⊆ðD ．()R A B ⋂≠∅ð11．已知集合{},Q,QM m m a a b ==∈∈，若3x y ==，则,x y 与集合M 间的关系正确的是（）A ．x M∈B ．x M ∉C ．y M∈D ．y M∉12．设S 是实数集R 的一个非空子集，如果对于任意的,a b S ∈（a 与b 可以相等，也可以不相等），a b S +∈且a b S -∈，则称S 是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（）A ．存在一个集合S ，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合{},x x k Z∈是“和谐集”C ．若12,S S 都是“和谐集”，则12S S ≠∅ D ．对任意两个不同的“和谐集”12,S S ，总有12S S ⋃=R三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“2,230x x x ∃∈-->R ”的否定是．14．已知集合{}0,1,2,{0}P Q x x ==>∣，则P Q 的子集的个数为.15．若使不等式2132m x m -<<+成立的一个充分不必要条件是02x <<，则实数m 的取值范围是.16．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知全集{}15U x Z x =∈≤≤，集合{}2680A x x x =-+=，集合{}3,4,5B =.（1）求A B ⋃；（2）求()U A B⋂ð.18．写出下列命题p 的否定，判断真假并说明理由．(1)2:,1p x x ∃∈=-R ；(2)p ：不论m 取何实数，关于x 的方程2210m x x +-=必有实数根；(3)p ：有的平行四边形的对角线相等．19．设全集U =R ，集合{}{}2220,560A x x mxB x x x =++==-+=．(1)求集合B ；(2)若(){}2U A B ⋂=ð，求集合A ．20．已知集合{}{}27,3421A x x B x m x m ==-+-∣∣ ，且B ≠∅.(1)若:p “,x A x B ∀∈∈”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若:q “,x B x A ∃∈∈”是真命题，求实数m 的取值范围.21．已知集合{}2410C x ax x =-+=.(1)若C 是空集，求a 的取值范围；(2)若C 中至多有一个元素，求a 的取值范围.22．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈(1x ≠且0x ≠)，则11Ax ∈-.（1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由.1．A【分析】解不等式得到集合A ，然后求交集即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =≤<，所以{}1,2A B = .故选：A.2．D【分析】由题意明确图中阴影部分表示的含义，即可根据集合的运算求得答案.【详解】由题意知：图中阴影部分表示()U B A⋂ð，而{}U 3B x x =>ð，故(){}U 4,5,6B A ⋂=ð，故选：D ．3．D【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断.【详解】A ､C 项是全称量词命题，；B 项是存在量词命题，是真命题；因为全等的三角形的面积一定相等，所以存在两个全等的三角形的面积不相等是存在量词命题，且为假命题，故选：D.4．C【分析】先求出{210}A B x x ⋃=<<∣，因为()C A B ⊆⋃，根据集合的包含关系，分情况讨论得解.【详解】{210}A B xx ⋃=<< ∣，且()C A B ⊆⋃，∴当C 为空集时，5a a -≥，解得52a ≤；当C 不是空集时，2510a a ≤-<≤，解得532a <≤.综上可知，实数a 的取值范围是{}3a a ≤.故选：C.5．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由题意可知，B C A D ⇔⇒⇒，即B D ⇒，即充分性成立，但是D 推不出B ，即必要性不成立，故B 是D 的充分不必要条件.故选：B 6．C【分析】根据判别式22Δ(2)404a a =--⨯<，计算得解.【详解】命题“()22,204a x x a x ∀∈+-+>R ”是真命题，即判别式22Δ(2)404a a =--⨯<，即Δ440a =-<，解得1a >.故选：C.7．D【分析】根据给的定义分别求解,A B B A --,进而可求解.【详解】{1},{13}A x x B x x =>=-<<∣∣，则{}3∣A B x x -=≥，{11},{11∣∣B A x x A B x x -=-<≤∴⊕=-<≤或3}x ≥.故选：D 8．A【解析】由已知得出1223232k k -+=，可得出16,9,12,15,,48k =⋅⋅⋅得选项．【详解】由1323x k =-，得1233k x -=，由222x k =+，得222k x +=.当1223232k k -+=时，有12443kk =-.∵*12k k N ∈、，且150k <，∴16,9,12,15,,48k =⋅⋅⋅，共15个数，即M N ⋂元素的个数为15.故选：A ．9．BC【分析】算出集合A ，再逐项判断即可【详解】由题知{0,1}A =所以0,1,1,2A A A A ∈∈-∉∉,即BC 错误故选：BC 10．AD【分析】求出集合R Bð，利用集合的运算以及元素与集合的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由题可得{}1,2A B =- ，{}13A B x x B⋃=-≤≤≠，故A 项正确，B 项不正确；3 不是R B ð的子集，故C 项不正确；因为(){}R 3A B ⋂=≠∅ð，故D 项正确．故选：AD 11．AD【分析】对元素x 进行整理，分母有理化，分子和分母同乘以分母的有理化因式，得到结果，进而根据集合M 中元素满足的性质判断可得答案．【详解】341x ==-，341-，Q 541-∈x M ∴∈，3Q ∈ ，πQ ∉，y M∴∉故选：AD ．12．ABC【分析】A 选项可举出实例；BC 选项可进行推导出为真命题；D 可举出反例.【详解】A 项中，根据题意{}0S =是“和谐集”，又是有限集，故A 项正确；B项中，设112212,,,x x k k ==∈Z，则))12121212,x x k k S x x k k S+=+∈--∈，所以集合{},x x k Z=∈是“和谐集”，故B 项正确；C 项中，根据已知条件，,a b 可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以12S S ≠∅，故C 项正确；D 项中，取{}{}12122,,3,,,S x x k k Z S x x k k Z S S ==∈==∈都是“和谐集”，但5不属于1S ，也不属于2S ，所以12S S ⋃不是实数集，故D 项错误．故选：ABC ．13．2,230x x x ∀∈--≤R ．【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.【详解】命题“2,230x x x ∃∈-->R ”的否定是“2,230x x x ∀∈--≤R ”.故答案为：“2,230x x x ∀∈--≤R ”.14．4【分析】先求出两集合的交集，再利用公式可求出P Q 的子集的个数.【详解】因为{}0,1,2,{0}P Q x x ==>∣，所以{}1,2P Q = ，所以P Q 的子集的个数为224=.故答案为：415．102∣mm ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】根据充分不必要条件,将其转化为集合的包含关系,即可列不等式求解.【详解】因为使不等式2132m x m -<<+成立的一个充分不必要条件是02x <<，所以{02}{2132}∣∣x x x m x m <<-<<+Ü，则2103223221m m m m -≤⎧⎪+>⎨⎪+>-⎩或2103223221m m m m -<⎧⎪+≥⎨⎪+>-⎩，解得102m ≤≤，所以m 的取值范围为102m ≤≤.故答案为：102∣mm ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭16．6【分析】根据给定条件，利用韦恩图列式计算作答.【详解】作韦恩图，如图所示，观察韦恩图，得周一开车上班的职工人数为a b c x +++，周二开车上班的职工人数为b d e x +++，周三开车上班的职工人数为c e f x +++，这三天都开车上班的职工人数为x ，则1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，得22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，得212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 取得最大值6．故答案为：617．（1）{}2,3,4,5A B ⋃=（2）(){}3,5U A B = ð【分析】先化简求得集合,U B ，再根据集合的交并补运算求解.【详解】解：（1）2680x x -+=，解得2x =或4，∴{}2,4A =，∴{}2,3,4,5A B ⋃=；（2）∵{}15U x Z x =∈≤≤{1,2,3,4,5}=，故(){}3,5U A B = ð.【点睛】本题考查了集合的交并补运算，属于容易题.18．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）写出命题p 的否定，再根据220,1x x ≥≠-可判断命题p 的否定的真假；（2）写出命题p 的否定，分0m =、0m ≠讨论可得方程的根可得命题p 的否定的真假；（3）写出命题p 的否定，根据命题p 的真假可判断其否定的真假.【详解】（1）因为2:,1p x x ∃∈=-R ，所以命题p 的否定：2,1x x ∀∈≠-R ，显然当x ∈R 时，220,1x x ≥≠-，命题p 的否定为真命题；（2）因为p ：不论m 取何实数值，关于x 的方程2210m x x +-=必有实数根；所以命题p 的否定：存在实数m ，关于x 的方程2210m x x +-=没有实数根．当0m =时，方程10x -=有实根，当0m ≠时，方程2210m x x +-=的判别式2Δ140m =+>，故命题p 为真命题，命题p 的否定为假命题；（3）p ：有的平行四边形的对角线相等，命题p 的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等，则命题p 是真命题，命题p 的否定是假命题；19．(1){}2,3B =(2)2,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）解一元二次方程可得答案；．（2）根据(){}2U A B ⋂=ð可得3A ∈代入可得答案.【详解】（1）{}{}25602,3B x x x =-+==．（2）(){}2U A B ⋂= ð，2,2,3,3U B A A A∴∈∉∉∴∈ð，23320m ∴++=，∴解得113m =-，211220,333A x x x ⎧⎫⎧⎫=-+==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭．20．(1){}4m m ∣ (2)32m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣ 【分析】（1）根据A B ⊆即可根据集合的包含关系求解，（2）将问题转化成A B ⋂≠∅，进而求解A B ⋂=∅的情况，即可求解不为空集的情况.【详解】（1）由于:p “,x A x B ∀∈∈”是真命题，所以A B ⊆，而B ≠∅，所以2173423421m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+-⎩，解得4m ，故m 的取值范围为{}4m m ∣ .（2）因为B ≠∅，所以3421m m -+- ，得1m .由q 为真，得A B ⋂≠∅，当A B ⋂=∅时，347m -+>或212m -<，得32m <，因为1m ，所以当A B ⋂=∅时，312m <当A B ⋂≠∅时，32m，故m 的取值范围为32m m ⎧⎫⎨⎩⎭∣ .21．(1)()4,+∞(2)[){}4,0+∞ 【分析】分0a =与0a ≠两种情况，结合根的判别式进行求解.【详解】（1）由题意得：当0a =时，410x -+=，解得：14x =，解集不为空集，舍去；当0a ≠时，1640a ∆=-<，解得：4a >，所以a 的取值范围是()4,+∞；（2）当0a =时，410x -+=，14x =，14C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足题意；当0a ≠时，1640a ∆=-≤，解得：4a ≥，综上：a 的取值范围是[){}4,0+∞ .22．（1）证明见解析；（2）不是双元素集合，理由见解析.【解析】（1）根据x A ∈，则11Ax ∈-，由2A ∈求解.（2）根据x A ∈，11Ax ∈-，进行递推求解.【详解】（1）∵若x A ∈，则11Ax ∈-，又∵2A ∈，∴1112A =-∈-，∵1A -∈，∴()11112A=-∈-，∴A 中另外两个元素分别为-1，12.（2）∵x A ∈，11Ax ∈-，∴1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x -≠，所以集合A 中至少有3个元素，所以集合A 不是双元素集合.。

山西省怀仁市第一中学2022届上学期高三年级第一次月考数学试卷（理科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1 设集合{}10M x x =+≥，{}210x N x =->，则()R M C N 等于（ ）A {}0x x >B {}1x x ≥-C {}10x x -≤< D {}10x x -≤≤2 已知集合{}4,7,8M ，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）A 3个B 4个C 5个D 6个3 “2a =”是“函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件4 已知p ，q 是两个命题，若()p q ⌝∨是假命题，那么（ ） A p 是真命题且q 是假命题 B p 真命题且q 是真命题 C p 是假命题且q 是真命题D p 是假命题且q 是假命题5 已知函数()2log 31,0()2,0xx f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()()3f f -等于（ ）A 1B 2C 3D 46 设0.73a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.7log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A a b c <<B b a c <<C b c a <<D c a b <<7 定义在R 上的函数()f x x x =，则()f x （ ） A 既是奇函数，又是增函数 B 既是奇函数，又是减函数 C 既是偶函数，又是增函数D 既是偶函数，又是减函数8 函数2()xx e f x x=的图象大致为（ ）A BCD9 已知函数()ln4xf x x=-，则（ ） A ()y f x =的图象关于点()2,0对称 B ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C ()f x 在()0,4上单调递减D ()f x 在()0,2上单调递减，在()2,4上单调递增10 已知()2()ln (,)f x x ax b x a b R =++⋅∈，当0x >时，()0f x ≥，则实数a 的取值范围为（ ） A 20a -≤<B 1a ≥-C 10a -<≤D 01a <≤11 已知函数(),0()lg ,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实数根，则t 的取值范围为（ ）A (],2-∞-B [)1,+∞C []2,1-D (][),21,-∞-+∞12 已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,+∞上单调递减，函数()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,+∞上单调递减，设函数1()()()()()2F x f x g x f x g x =⎡++-⎤⎣⎦，则对任意x R ∈，均有（ ）A ()()11F x F x -≥+B ()()11F x F x -≤+C ()()2211F x F x -≥+D ()()2211F x F x -≤+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）13 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，则BA 的一个充分不必要条件是__________14 若函数()()2af x m x =+是幂函数，且其图象过点()2,4，则函数()()log a g x x m =+的单调递增区间为__________15 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________16 如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①函数3()1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数；②函数11()2x x f x ee --=-+是圆O ：()()22121x y -+-=的一个太极函数；③函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是圆O ：221x y +=的一个太极函数﹔④函数()2()ln1f x x x =++是圆O ：221x y +=的一个太极函数所有正确的是__________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17 已知集合{}22940A x x x =-+>，集合{}22,R B y y x x x C A ==-+∈，集合{}121C x m x m =+<≤-（1）求集合B ； （2）若AC A =，求实数m 的取值范围18 设命题p ：函数()2()lg 16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对任意x R ∈恒成立（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围 19 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-+ （1）求函数()f x 在R 上的解析式； （2）解关于x 的不等式()3f x <20 设函数()2(),f x x bx c b c R =++∈，已知()0f x <的解集为()1,3-（1）求b ，c 的值；（2）若函数()()g x f x ax =-在区间[]0,2上的最小值为－4，求实数a 的值21 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择（1）试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）22 若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x ⋅=成立，则称该函数为“依赖函数”（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数1()2x f x -=在定义域[](),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数24()()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式2()()4h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值【试题答案】1 D {}1M x x =≥-{}{}210x N x x x =>=>{}0R C N x x =≤(){}10R M C N x x =-≤≤2 D {}4,7,8MM M ∅{}4{}7{}8{}4,7{}7,83 A [当2a =时，()2f x x a x =-=-在[)2,+∞上为增函数，故充分性成立； 当函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数时，2a ≤，故必要性不成立]4 A ()p q ⌝∨p ⌝q p q5 B()31f -=()()()()231log 312f f f -==+=0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=1c a b <<<7 A [∵函数()f x 的定义域为R ， 且()()f x x x f x -=-=-， ∴函数为奇函数，又∵当0x ≥时，2()f x x =为增函数， ∴()f x 在R 上为增函数]8 A [函数的定义域为{}0x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x==，当0x →时，()0f x →，排除B] 9 A [由04x x >-，得函数()f x 的定义域为()0,4，2(2)ln2x f x x++=-，定义域为()2,2-，()2f x +为奇函数且单调递增，∴()f x 为()2f x +向右平移两个单位长度得到，则函数在()0,4上单调递增，关于点()2,0对称] 10 B [当0x >时，()2()ln 0f x x ax b x =++⋅≥， ∵当01x <<时，ln 0x <，即需20x ax b ++≤成立；当1x =时，ln 0x =，()0f x ≥恒成立﹔当1x >时，ln 0x >，即需20x ax b ++≥成立；∴对于函数2()g x x ax b =++，在()0,1上()0g x ≤，在()1,+∞上()0g x ≥，∴2(1)1040(0)0g a b a b g b =++=⎧⎪∆=->⎨⎪=≤⎩，解得1a ≥-]11 A [作出()f x 的图象，如图所示，令()f x m =，当1m <时，()y f x =与y m =的图象有1个交点，即()f x m =有1个根，当1m ≥时，()y f x =与y m =的图象有2个交点，即()f x m =有2个根，则关于x 的方程2()()0f x f x t ++=转化为20m m t ++=， 由题意得2140t ∆=->，解得14t <， 方程20m m t ++=的两根为11142t m --=，21142tm -+-=，因为关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实数根，则11411141tt---<-+-≥，解得2t ≤-，满足题意] 12 C [易知()f x 为偶函数，()g x 关于1x =对称， 又()f x 在[)0,+∞上单调递减， ∴()f x 在(],0-∞上单调递增，()g x 在()1,+∞上单调递减，∴()g x 在(),1-∞上单调递增， 当()()f x g x ≥时，[]1()()()()()()2F x f x g x f x g x f x =++-=， 当()()f x g x ≤时，[]1()()()()()()2F x f x g x g x f x g x =++-= ①若()()f x g x ≤恒成立，则()()F x g x =，可知()F x 关于1x =对称， 又1x -与1x +关于1x =对称；21x -与21x +关于1x =对称， ∴(1)(1)F x F x -=+，()()2211F x F x -=+；②若()()f x g x ≥恒成立，则()()F x f x =，可知()F x 关于y 轴对称， 当11x x -≥+时，()()11F x F x -≤+；当11x x -≤+时，()()11F x F x -≥+， 可排除A ，B ；当210x -≥，即201x ≤≤时，22011x x ≤-≤+， ∴()()2211F x F x -≥+，当210x -≤，即21x ≥时，()()()222111F x F x F x -=-≥+， ∴若()()F x f x =，则()()2211F x F x -≥+，可排除D] 13 12m =-（或13m =或0m =） 解析 集合{}{}2603,2A x x x =+-==-， 若BA ，则B =∅或{}3-或{}2；当B =∅时，0m =，当{}3B =-时，有310m -+=，解得13m =， 当{}2B =时，有210m +=，解得12m =-， 故BA 的一个充分不必要条件是12m =-（或13m =或0m =） 14 ()1,+∞解析 ∵函数()()2af x m x =+是幂函数，且其图象过点()2,4，∴21m +=，且24a=，求得1m =-，2a =，可得2()f x x =，则函数2()log ()log (1)a g x x m x =+=-的单调递增区间为()1,+∞ 15 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析 因为(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以31001314log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1173a ≤<，所以a 的取值范围为11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭16 ①②③④解析 ①两曲线的对称中心均为点()0,1，且两曲线交于两点，所以()1f x =能把圆()2211x y +-=一分为二，如图，故正确； ②函数11()2x x f x ee --=-+关于点()1,2对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：所以函数11()2x x f x ee --=-+是圆O ：()()22121x y -+-=的一个太极函数，故正确；③函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩为奇函数，如图：所以函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是圆O ：221x y +=的一个太极函数，故正确；④函数()2()ln1f x x x =++为奇函数，且单调递增，如图，所以函数)2()ln1f x x x =+是圆O ：221x y +=的一个太极函数，故正确17 解 （1）∵22940x x -+>，∴12x <或4x >，∴()1,4,2A ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭，1,42R C A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦于是，222(1)1y x x x =-+=--+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得[]8,1y ∈-，∴[]8,1B =- （2）∵AC A =，∴C A ⊆若C =∅，则211m m -≤+，即2m ≤；若C ≠∅，则21212m m >⎧⎪⎨-<⎪⎩或214m m >⎧⎨+≥⎩， 解得3m ≥，综上，实数m 的取值范围是2m ≤或3m ≥18 解 （1）命题p 是真命题，则2160ax x a -+>恒成立， 得201640a a >⎧⎨∆=-<⎩，即18a >， 所以a 的取值范围为18a >（2）若命题q 是真命题，则不等式39x x a -<对一切x R ∈均成立， 设39xxy =-，令30x t =>，则2y t t =-，0t >， 当12t =时，max 111244y =-=，所以14a > 若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题， 则p ，q 一真一假 即有1184a <≤或a ∈∅， 综上，实数a 的取值范围为1184a <≤ 19 解 （1）由题意，得当0x <时，0x ->， 则22()()2()2f x x x x x -=--+-=--， 由()f x 是定义在R 上的奇函数，得()2()2f x f x x x =--=+，且()00f =，综上，222,0()0,0,2,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩（2）①当0x >时，2223230x x x x -+<⇒-+>，解得x R ∈，所以0x >；②当0x =时，03<显然成立，所以0x =成立﹔ ③当0x <时，223x x +<，解得30x -<< 综上，不等式的解集为()3,-+∞20 解 （1）由()0f x <的解集为()1,3-可得20x bx c ++=的解为1,3x =-， 则()13b -+=-，()13c -⨯=，则2b =-，3c =-， 此时()0f x <即为2230x x --<，满足题意 ∴2b =-，3c =-（2）2()()(2)3g x f x ax x a x =-=-+-， 二次函数()g x 在,12a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 当212a≤+，即2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递减， ()g x 的最小值为()232g a =--，则324a --=-，解得12a =，不满足2a ≥； 当0122a<+<，即22a -<<时，()g x 在[]0,2上先递减后递增， ()g x 的最小值为212(2)124a a g --+⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则212(2)44a --+=-，解得0a =或－4， 由22a -<<，可得0a =； 当102a+≤，即2a ≤-时，()g x 在[]0,2上单调递增， ()g x 的最小值为()03g =-，不满足最小值为－4综上可知，0a =21 解 （1）函数(0,1)xy ka k a =>>与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,+∞上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)xy ka k a =>>的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于凤明莲在湖中的蔓延速度越来越快， 因此选择模型(0,1)xy ka k a =>>符合要求 根据题意可知当2x =时，24y =； 当3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 112x ≤≤，*x N ∈（2）当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3， 由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭， 得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， ∴32lg101log 10 5.73lg3lg 2lg 2x >==≈-， ∵*x N ∈，∴6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份 22 解 （1）对于函数()sin g x x =的定文域R 内存在16x π=，则()22g x =无解， 故()sin g x x =不是“依赖函数”（2）因为1()2x f x -=在[],m n 上单调递增，故()()1f m f n =，即11221m n --=，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈（3）①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为0，此时不存在2x ，舍去； ②若4a >，故2()()h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 从而4(4)13h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =， 从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，有不等式2213()43x t s t x ≥⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭都成立， 即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭ 由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故当43x =时，max532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤， 综上，实数s 的最大值为4112。

2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A．a≥4 B．a＞4 C．a≥1 D．a＞13．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．（5分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx6．（5分）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则 b等于（）A．B．5 C．41 D．10．（5分）若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A．B．2 C．D．11．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．[2，8] C．[2，8）D．[2，7]12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+= ；m+n的最小值为．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．16．（5分）对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1；③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤．其中正确命题的序号是．（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．19．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由题意，全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={0，1}，B={y|y⊆A}中的元素为集合A的子集，从而求解．【解答】解：全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={0，1}，B={y|y⊆A}中的元素为集合A的子集，故集合B中元素的个数为22=4；故选C．【点评】本题考查了集合的元素与集合关系的应用，属于基础题．2．（5分）命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A．a≥4 B．a＞4 C．a≥1 D．a＞1【分析】根据全称命题为真命题，求出a的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则对任意x∈[1，2]，x2≤a”，∵当x∈[1，2]，x2∈[1，4]，∴a≥4，则命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a＞4，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据命题为真命题求出a的取值范围是解决本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．5．（5分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx【分析】先求出所给函数的导数，再结合导数的符号，判断函数的单调性，然后利用函数的单调性进行判定，可得正确选项．【解答】解：在y=x+lgx中，＞0，∴y=x+lgx是（0，+∞）上单调递增函数，∴A不成立；在y=x﹣lgx中，，当0＜x＜lge时，＜0，当x＞lge时，＞0．∴y=x﹣lgx的增区间是（lge，+∞），减区间是（0，lge），∴B成立；在y=﹣x+lgx中，．当0＜x＜lge时，＞0，当x＞lge时，＜0．∴y=﹣x+lgx的减区间是（lge，+∞），增区间是（0，lge），∴C不成立；在y=﹣x﹣lgx中，＜0，∴y=﹣x﹣lgx是（0，+∞）上单调递减函数，∴D不成立．故选B．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，解题时要注意导数的合理运用，属于中档题．6．（5分）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．【分析】根据二倍角的余弦公式，结合题意算出sin2x=，再由sinx＜0得sinx=﹣，从而得到答案．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B【点评】本题给出cos2x的值，求sinx．着重考查了任意角的三角函数、二倍角的余弦公式等知识，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．【分析】由求导公式和法则求出f′（x），求出f′（0）的值可得切线的斜率，再由斜率公式求出切线的倾斜角．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，则f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，所以在点（0，f（0））处的切线的斜率k=1，又k=tanθ，则切线的倾斜角θ=，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算及法则，导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系．8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选 C．【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则 b等于（）A．B．5 C．41 D．【分析】利用三角形的面积求出c，然后利用余弦定理求出b即可．【解答】解：在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，可得2=，解得c=4．由余弦定理可得：b===5．故选：B．【点评】本题考查余弦定理的应用三面角的面积的求法，考查计算能力．10．（5分）若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A．B．2 C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示，其中A（3，0），C（2，1），z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，则0≤k≤，则1≤k+1≤，≤≤1，故≤1+≤2，故z=的最小值为，故选A．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．[2，8] C．[2，8）D．[2，7]【分析】先求出关于[x]的不等式的解集，然后根据新定义得到x的范围即可．【解答】解：由4[x]2﹣36[x]+45＜0，得，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．故选C【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g（x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D【点评】本题着重考查了函数的值域，属于中档题．本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+= 4 ；m+n的最小值为 1 ．【分析】利用对数的性质可得：函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），代入直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，可得+=4，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：当x=1时，y=log a1+1=1，∴函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，∴+=4．∴m+n=（+）（m+n）=（2+m+n），≥（2+2）=1，当且仅当m=n=时取等号．故答案是：4；1．【点评】本题考查了对数的运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．【分析】构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积bc•sinA【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bc•sinA=×=，故答案为：，．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1；③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤．其中正确命题的序号是③④．（请将所有正确命题的序号都填上）【分析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．【解答】解：由题意函数f（x）=，画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x=+2kπ（k∈Z）对称，在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故③④正确．故答案为③④【点评】本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）＜3的解集即可；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（4分）（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义的应用，考查转化是以及计算能力．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=3【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式作差求出数列{a n}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{b n}的通项．再用错位相减法求和即可．【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．【点评】本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=﹣，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．【点评】本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求解函数g（x）在[0，b]上零点的个数的问题．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性．【分析】（1）当a=1时，直接求出f′（x）从而确定f（2）和f′（2），利用点斜式方程即可求出切线方程；（2）分情况讨论a=0，，三种情况下f′（x）的正负，即可确定f（x）的单调性．【解答】解：（1）当a=1时，，此时，又，∴切线方程为：y﹣（ln2+2）=x﹣2，整理得：x﹣y+ln2=0；（2），当a=0时，，此时，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，，当，即时，在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；当时，，此时在（0，1），，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）在，f′（x）＞0单调递增；综上所述：当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递减，f（x）在单调递增；当时f（x）在（0，+∞）单调递减．【点评】本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查导数在研究函数单调性中的作用，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（I））由函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，即g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），利用导数求出h（x）的最小值，则﹣a≤h（x）min．（II））由已知∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立⇔．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．利用导数得出g（x）的最小值即可．【解答】解：（I）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），则=．解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．∴﹣a≥3，解得a≤﹣3．∴实数a的最大值为﹣3．（II）∵∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，∴lnx≤x﹣1﹣kx2，即．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．=，令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，∴k≤0，即实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键．。

高一上学期第一次月考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是A ．[2，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，0）D ．（－∞，0]2．已知集合1{|12}{|22}8x M x x x P x x =-≤∈=<<∈Z R ，，，，则图中阴影部分表示的集合为A ．{1}B ．{–1，0}C ．{0，1}D ．{–1，0，1}3．已知函数f （x ）21x -x ∈{1，2，3}．则函数f （x ）的值域是A ．{}135，，B ．（–∞，0]C ．[1，+∞）D ．R4．已知函数y =()()21020x x x x ⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，若f （a ）=10，则a 的值是 A ．3或–3 B ．–3或5 C ．–3 D ．3或–3或55．设偶函数()f x 的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时()f x 是增函数，则(2)f -，(π)f ，(3)f -的大小关系是A ．(π)f <(2)f -<(3)f -B ．(π)f >(2)f ->(3)f -C ．(π)f <(3)f -<(2)f -D ．(π)f >(3)f ->(2)f -6．定义域为R 的奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且(2)2018f =，则(2018)(2016)f f +=A ．4034B ．2020C ．2018D ．27．若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞8．已知()f x 在R 上是奇函数,且()()2f x f x +=-， 当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f = A ．98 B ．2 C ．98- D ．2-9．函数()f x 定义域为R ，且对任意x y 、R ∈，()()()f x y f x f y +=+恒成立.则下列选项中不恒成立的是 A ．(0)0f = B ．(2)2(1)f f =C ．11()(1)22f f =D ．()()0f x f x -<10．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为A ．9B ．14C ．18D ．2111．已知函数y =f （x +1）定义域是[-2,3]，则y =f （2x-1）的定义域是A ．[0,25] B ．[-1,4] C ．[-5,5]D ．[-3,7]12．已知函数()266,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是A.11,63⎛⎫⎪⎝⎭ B.18,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.11,63⎛⎤- ⎥⎝⎦ D.18,33⎛⎤- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合A ={a ，b ，2}，B ={2，b 2，2a }，且A =B ，则a =__________．14．奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，则f （1）=___________． 15．不等式的mx 2+mx -2＜0的解集为，则实数的取值范围为__________．16．设函数y=ax +2a +1，当-1≤x ≤1时，y 的值有正有负，则实数的范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤. 17．（本小题满分10分）设全集为R ，A ={x |2≤x <4}，B ={x |3x –7≥8–2x }． （1）求A ∪（C R B ）．（2）若C ={x |a –1≤x ≤a +3}，A ∩C =A ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数1()f x x x=+， （1）求证：f （x ）在[1，+∞）上是增函数； （2）求f （x ）在[1，4]上的最大值及最小值．19．（本题满分12分）已知函数()222(0)f x ax ax a a =-++<，若()f x 在区间[2，3]上有最大值1.（1）求a 的值；（2）若()()g x f x mx =-在[2,4]上单调，求实数m 的取值范围.20．（本题满分12分）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． （1）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围； （2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； （3）当x ∈R 时，若A∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．21．（本题满分12分）已知函数()273++=x x x f .（1）求函数的单调区间；（2）当()2,2-∈x 时，有()()232m f m f >+-,求m 的范围.22．（本题满分12分）已知函数+∈=N x x f y ),(，满足：①对任意,a b N +∈，都有)()()(b af b bf a af >+)(a bf +；②对任意n ∈N *都有[()]3f f n n =． （1）试证明：()f x 为N +上的单调增函数； （2）求(1)(6)(28)f f f ++；（3）令(3),nn a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

怀仁市2020~2021学年上学期期末测试高一数学Ⅰ卷答案一．选择题1~5.ACDCB 6~10.CDBDD 11~12.AD二．填空题13.—252414.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22211，15.116.），（24120三．解答题17.（本大题10分）（1）∵∴)()()(x f x f x f -=-∴为奇函数，∵又∴.....................................................................................................................5分（2）由（1）可知∴令由二次函数的性质可知函数分，的值域为，在10.....................................................................121211x )(g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴x 18．(本大题12分)（1）由题意得：1sin ,cos ,tan 223ααα==-=-分3 (3)221232333sin )cos (cos tan -)3sin()cos()2sin()tan(-=⨯-=⋅-+=---++-∴αααααπαπαπα22tan tan 21tan ααα==-1sin 2tan 221cos 32ααα==++∴tan 2tan 2αα+=2..................................................................................................5分分6..........................................342tan 2tan )3sin()cos()2sin()tan(=++---++-∴αααπαπαπα()分12..........................................343431)22(log 2log 41ln 27173192log 2log 23（2）3333103941log 3+=+++--+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+-e 19.(本大题12分)【解析】（1）()ππ4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π2πx k ∴≠+，即函数的定义域为π,2πx x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，..........................................1分则()114tan cos cos sin 4sin cos sin 2222f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)22sin cos sin 21cos 2x x x x x =+-=+-πsin 222sin 23x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则函数的周期2ππ2T ==．..................................................................................................3分对称轴为x=()Z k ∈+,2k 125ππ...........................................................................................4分32sin(2)(.2π-=x x f ）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎦⎤⎢⎣⎡∈32,33-x 22,0x ππππ时，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1,233x 2s πin []分的值域为函数7....................................................................................2,3-)(x f ∴为幂函数12)15()(++-=m x m m x f 50,1152===+-m m m m 或解得0=m [⎥⎦⎤⎢⎣⎡1213,0)(，上的值域为在t g 21212t x x t -=-=则,21)(x x x g -+=,)(x x f =[].3,0,21,1∈∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈t x ∵[]3,0.1)1(212121)(22∈+--=++-=t t t t t g ，（3）由2π22π,23πππ2k x k k -<-<+∈Z ，得5ππππ,1212k x k k -<<+∈Z ，即函数的增区间为5ππ,π,1212πk k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，增区间为π5π,,1212k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，∴此时ππ,124x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，由ππ3π2π22π,232k x k k +<-<+∈Z ，得5π11πππ,1212k x k k +<<+∈Z ，即函数的减区间为5π11ππ,π,1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，当1k =-时，减区间为7ππ,,1212k ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z ，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，∴此时ππ,412x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即在区间4π,4π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数的减区间为,412ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，增区间为ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦................12分20．（本大题12分）解析：（1）由题意知定点A 的坐标为()2,2................................1分∴()22a =+解得1a =.∴()221x g x -=+................................................................................................3分∴由()3g x >得，2213x -+>.∴222x ->.∴21x ->.∴3x >.∴不等式()3g x >的解集为()3,+∞...................................................................................6分（2）由121log 1x -≤≤得122x ≤≤令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1242t ≤≤.................................7分221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭...........................................................................................8分∴当12t =，即1122x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1x =时，min 1y =，当14t =，即1124x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x =时，max 54y =..............................................................12分21（本大题12分）分，在给定定义域上恒成立）（为奇函数，）（解析2.................11,10)1(1)1)(1()1)(1(,01x 1log 11log 0)()(.1.2223131-=∴≠=∴=-=+-+-∴=+++--∴=+-∴a a a a x ax ax x x ax ax x x f x f x f 13121()1log 121x x x g x x +--=--+奇函数，11()1()1022g g -+--=∴11((222g g +-=；...............................................................................................4分（2）1312()log 121x x g x x +=+-+，()1,1x ∈-，下面考察函数的单调性.对于()21121111x x x x x --+==-----在()1,1-单增，故131log 1x x +-在()1,1-单减；对于221x +，设2x t =（11(,)22t ∈-），21t +在11(,)22t ∈-单减，故221x +在()1,1-单减，所以1312()log 121x x g x x +=+-+，在()1,1x ∈-单减，因为()()g m g n >，(),1,1m n ∈-，所以m n <............................................................8分（3）、不等式t t x f x 24)(2+>+恒成立2min 2]4-)([t t x f x ->）21,0(,4)()(x x f x h -=是单调递减，1323,321()(2min -<>∴->-∴-==t t t t h x h 或.......................................................12分22.（本大题12分）（1）由题意，在Rt BOE ∆中，60OB =，2B π∠=，BOE α∠=，60cos OE α∴=，Rt AOF ∆中，60OA =，2AFO π∠=，60sin OF α∴=，又2EOF π∠=，60cos sin EF αα∴=，所以606060cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++，即()60cos sin 1cos sin l αααα++=.当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时6πα=；当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时3πα=.故此函数的定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；........................................6分（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF ∆的周长l 的最小值即可．由（1）得()60cos sin 1cos sin l αααα++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，21sin cos 2t αα-∴⋅=，则()()260cos sin 16011201cos sin 12t l t t αααα+++===--，由,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，得5712412πππα≤+≤，312t +∴≤≤31112t +≤-≤，1111t +≤≤-，当4πα=，即当60BE =时，)min 1201l =，答：当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)360001+元..12分。

山西省朔州市怀仁一中【精品】高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ） A ．总是正数 B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．不等式(x 2)(x 3)0的解集是A ．{|23}x x -<<B ．{|32}x x -<<C ．{x |x2x 3}或D ．{|32}x x x <->或3．下列关系中，正确的个数为（ ）①72Q ；③π∈Q；④|-3|∉N ；⑤∈Z. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =<->或，那么集合()()C C U U M N ⋂等于（ ）A ．{|34}x x <≤B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|34}x x ≤<D ．{|13}x x -≤≤5．定义集合A *B ={x x Ax B ∈∉，}，若A ={1，2,3,4,5}，B ={2,4,5}，则集合A *B 的子集的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．设全集U 是实数集R ，M ＝{x|x<－2，或x>2}，N ＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x|－2≤x<1}B ．{x|－2≤x≤3}C ．{x|x≤2，或x>3}D ．{x|－2≤x≤2}7．函数f(x)1xx-的定义域( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．RD ．[－1，1)∪(1，＋∞)8．已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题9．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________； 10．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }=∅，则a 的取值范围是________；11．函数f (x )=2x 2-mx +3，在［-2,+∞)时是增函数，在(-∞,-2］时是减函数，则f (1)等于12．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x = .三、解答题13．若集合A ={x ∣28160kx x -+=}中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .14．已知集合{|37},{|210},{|}A x x B x x C x x a =≤≤=<<=<，全集为实数集R . （1）求AB ，()R A B ⋂；（2）若A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.15．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}250A x x x m =-+=，{}2120B x x nx =++=，且(){}1,3,4,5U C A B ⋃=,求m +n 的值.16．已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 17．已知集合A =｛x |x 2-3x +2≤0｝,B =｛x |1≤x ≤a ｝,且B ≠∅. （1）若A B ,求a 的取值范围； （2）若B ⊆A ,求a 的取值范围参考答案1．A 【分析】先将22248a b a b +--+配方可得22(1)(2)3a b -+-+，即可判断22248a b a b +--+的值总是正数.【详解】解：因为2222248(1)(2)330a b a b a b +--+=-+-+≥>， 即22248a b a b +--+的值总是正数， 故选：A. 【点睛】本题考查了配方法，重点考查了运算能力，属基础题. 2．A 【解析】因为()()230x x +-=的根为23-、，所以由不等式()()230x x +-<，解得23x -<<，不等式()()230x x +-<的解集是{|23}x x -<<，故选A. 3．C 【解析】72为实数，故②正确；由于π是无理数，故③不正确；|-3|=3∈N，故④不正确；2Z =-∈，故⑤正确．综上①②⑤正确．选C ． 4．A 【分析】先分别求出C ,C U U M N ，再求()()C C U U M N ⋂即可 【详解】∵C {|}23U M x x x =<>-或，C {|24}U N x x =-≤≤， ∴()()C C {|34}U U M N x x ⋂=<≤． 故选:A ．【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，属于中档题 5．D 【分析】先理解新定义集合的运算法则，可求得A *B={}1,3,再求集合{}1,3的子集即可. 【详解】解：由A ={1,2,3,4,5}，B ={2,4,5}，又集合A *B ={x x Ax B ∈∉，}， 所以A *B={}1,3,又集合{}1,3的子集为φ，{}1，{}3，{}1,3共4个， 即集合A *B 的子集的个数是4， 故选：D. 【点睛】本题考查了新定义集合的运算，重点考查了集合子集的运算，属基础题. 6．A 【分析】先观察Venn 图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件，即可求解. 【详解】由图中阴影部分表示的集中的元素在集合R C N 中，又在集合R C M 中，即R R C M C N ⋂， 又由{|2M x x =<-或2,}{|13}x N x x >=≤≤， 所以图中阴影部分表示的集合为{|22}{|1R R C M C N x x x x ⋂=-≤≤⋂<或3}{|21}x x x >=-≤<，故选A.【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及其运算，以及Venn 图的应用等基础知识，其中解答中观察Venn 图，得出图中阴影部分表示的集合R R C M C N ⋂是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用. 7．D 【解析】由1010x x +=⎧⎨-≠⎩解得11x x ≥-⎧⎨≠⎩，所以定义域为[11)(1)⋃∞－，，＋ ，故选D. 8．B 【解析】 试题分析：因为，代入条件等式再相加，得．故选B ．考点：函数奇偶性的应用． 9．2 【分析】由集合相等及集合中元素的互异性可得01a b b +=⎧⎨=⎩，再求解即可.【详解】 解：因为集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }， 由集合相等及集合中元素的互异性可得01a b b +=⎧⎨=⎩，即11a b =-⎧⎨=⎩，即1(1)2b a -=--=， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了集合相等，重点考查了集合中元素的互异性，属基础题. 10．()(),11,-∞-+∞【分析】集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }=∅等价于方程220ax x a ++=无解， 再分类讨论0a =时，0a ≠时方程的解的情况即可得解. 【详解】解：由集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }=∅， 即方程220ax x a ++=无解，①当0a =时，方程为20x =，解得0x =，即方程220ax x a ++=有解，即0a =不合题意；②当0a ≠时，方程220ax x a ++=无解，则22240a ∆=-<，即1a <-或1a >， 即a 的取值范围是1a <-或1a >， 综合①②可得a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞，故答案为：()(),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查了空集的概念，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 11．13 【分析】根据题意得出x=-2为对称轴，即-2=4m，代入解析式即可完成答案． 【详解】∵函数f(x)=2x 2-mx+3，当x ∈(−2,+∞)时是增函数,当x ∈(−∞,−2)时是减函数， ∴x =−2为对称轴， 即−2=4m，故m =−8， ∴f(x)=2x 2+8x+3， ∴f (1)=13， 故答案为：13 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式以及二次函数的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 12．【解析】试题分析：0x <时，0x ->，所以22()()2()2,f x x x x x -=---=+又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，所以当0x <时，()f x =.考点：本小题主要考查函数的单调性的应用和函数的解析式的求解. 点评：求解此类问题时，要注意“求谁设谁”的原则.13．实数k 的值为0或1，当0k =时，{}2A =；当1k =，{}4A =【分析】集合A ={x ∣28160kx x -+=}中只有一个元素，即方程28160kx x -+=只有一个解，再讨论当0k =时，当0k ≠时方程的解的个数，再求集合A 即可. 【详解】解：由集合A ={x ∣28160kx x -+=}中只有一个元素， 即方程28160kx x -+=只有一个解，①当0k =时，方程为8160x -+=，解得2x =，即{}2A =；②当0k ≠时，方程28160kx x -+=只有一个解，则2(8)4160k ∆=--⨯⨯=，即1k =， 即方程为28160x x -+=，解得4x =，即{}4A =，综合①②可得：实数k 的值为0或1，当0k =时，{}2A =；当1k =，{}4A =. 【点睛】本题考查了方程的解的个数问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 14．（1）{}210A B x x ⋃=<<，()R A B ={}23710x x x <<<<或；（2）3a >．【分析】（1）利用集合交并补的定义进行计算即可；（2）利用A C ⋂≠∅结合数轴，可求得a 的取值范围． 【详解】（1）∵{}37A x x =≤≤，{}210B x x =<<， ∴{}210A B x x ⋃=<<.∵{}37A x x =≤≤，∴{|3R C A x x =<或}7x >， ∴()RA B ={|3x x <或}7x >{}210x x ⋂<<{}23710x x x =<<<<或.（2）如图所示，当3a >时，A C ⋂≠∅（或用补集思想）3a ∴>．【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查利用集合间的关系求参数范围，属于基础题． 15．1- 【分析】由全集{}1,2,3,4,5U =，(){}1,3,4,5U C A B ⋃=,所以2A ∈，得22520m -⨯+=，即6m =，即{}2,3A =，则{}1,4,5U C A =，则3B ∈，解得7n =-，再求解即可.【详解】解：由全集{}1,2,3,4,5U =，(){}1,3,4,5U C A B ⋃=,所以2A ∈，又{}250A x x x m =-+=，所以22520m -⨯+=， 即6m =，即{}{}25602,3A x x x =-+==，则{}1,4,5U C A =，又(){}1,3,4,5U C A B ⋃=，则3B ∈，则233120n ++=，解得：7n =-且{}3,4B =， 故6(7)1m n +=+-=-， 故m n +的值为1-. 【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 16．2()1f x x x ∴=-+ 【分析】设()2f x ax bx c =++，利用()01f =以及()()12f x f x x +-=对应项系数相等列方程组可求得a b c 、、的值，从而可得结果. 【详解】设()2f x ax bx c =++，由()01f =得到c=1，又()()12f x f x x +-=即()()()22112a x b x c ax bx c x ++++-++=展开得()22ax a b x ++= 所以220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-.()21f x x x ∴=-+.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 17．（1）()2,+∞ （2）[]1,2 【分析】（1）先解不等式2320x x -+≤，解得 12x ≤≤，即{}|12A x x =≤≤， 再结合B =｛x |1≤x ≤a ｝,B ≠∅且A B 求解即可；（2）由{}|12A x x =≤≤，又B =｛x |1≤x ≤a ｝,B ≠∅且B ⊆A ,列不等式组12a a ≥⎧⎨≤⎩，再求解即可得解. 【详解】解：（1）解不等式2320x x -+≤，解得 12x ≤≤，即{}|12A x x =≤≤， 又B =｛x |1≤x ≤a ｝,B ≠∅且A B , 则2a >，即a 的取值范围为()2,+∞；（2）因为{}|12A x x =≤≤，又B =｛x |1≤x ≤a ｝,B ≠∅且B ⊆A ,则12a a ≥⎧⎨≤⎩，即12a ≤≤，即a 的取值范围为[]1,2. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了集合的包含关系，属基础题.。