2018-2019丰台区一模数学理科试题及答案

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2018.03（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1•答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填 写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2•本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字 迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3•请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、 草稿纸上答题无效。

4 •请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。

（2）已知命题p:-(A) V x > 1, X Al (B)<1, X !>1(C) ' x <1,「’ - -(D) - x > 1,--A-(1)已知全集U={x I x < 5}，集合 x<2)(A)(B)(D)x-2^^0 £ ^-^4-2>0⑶设不等式组I x -° 表示的平面区域为 Q 则(A )原点0在八内 (B) 八的面积是1(C) 八内的点到y 轴的距离有最大值 (D) 若点 P(x o ,y o ) eQ ，贝U x o +y o ^ 0 (4)执行如图所示的程序框图，如果输出的 a=2,那么判断框中填入的条件可以是 (A) n > 5 (B) n > 6(C) n > 7(D) n > 8 (5)在平面直角坐标系xO y 中，曲线C 的参数方程为 (-；为参数)•若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为(A) "=si n ：'(B) '=2si n ：' (C) =cos 、 (D ) =2cos 、⑹某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为248(A) 1 (B)1(C) 2(D) 1(7)某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星,现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 (A)4(B)8(C) 12 (D) 24用9斤(8)设函数门Ff 「=；,若函数恰有三个零点x !, x 2, x 3 (x i <X 2 <X 3),则x i + x2 + X 3的取值范围是l+cosa= sind ；①当 _ 二-时，y的取值范围是____________ ;②如果对任意■- (b <0)，都有疋卜2」］，那么b的最大值是(14) 已知C是平面ABD上一点，AB丄AD,CB=CD=1.①若忑=3疋，则忑,^= _______________ .Sbr Ibr(A) ■: 1第二部分〔非选择题共110分)AO X1 ■——、加、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（理科）2019. 03（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．复数11iz =+的共轭复数是（A ）11i 22+（B ）11i 22-（C ）1i + （D ）1i -2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为 （A ）{1}（B）（C ）{1,1}-（D）3．设命题p ：(0,),ln 1x x x ∀∈+∞-≤，则p ⌝为 （A ）(0,),ln 1x x x ∀∈+∞>-（B ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞-≤（C ）(0,),ln 1x x x ∀∉+∞>-（D ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞>-4．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =，输出的15S =，那么判断框内的条件可以为 （A ）6k < （B ）6k ≤ （C ）6k >（D ）7k >5．下列函数中，同时满足：①图象关于y 轴对称；②1212,(0,)()x x x x ∀∈+∞≠，2121()()0f x f x x x ->-的是 （A ）1()f x x -= （B ）2()log ||f x x = （C ）()cos f x x =（D ）1()2x f x +=6．已知α和β是两个不同平面，l αβ=I ，12l l ,是与l 不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是（A ）l 与12,l l 都不相交 （B ）l 与12,l l 都相交（C ）l 恰与12,l l 中的一条相交（D ）l 至少与12,l l 中的一条相交7．已知12,F F 为椭圆22212x y M m +=：和双曲线2221x N y n-=：的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为 （A（B ）1（C（D ）128．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形．若ABC △是格点三角形，其中(0,0)A ,(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U ={x|x <5}，集合A ={x|x −2≤0}，则∁U A =( )A.{x|x ≤2}B.{x|x >2}C.{x|2<x <5}D.{x|2≤x <5}2. 已知命题p:∃x <1，x 2≤1，则￢p 为（ ）A.∀x ≥1，x 2>1B.∃x <1，x 2>1C.∀x <1，x 2>1D.∃x ≥1，x 2>13. 设不等式组{x −2y ≤0x −y +2≥0x ≥0表示的平面区域为Ω．则（ ）A.原点O 在Ω内B.Ω的面积是1C.Ω内的点到y 轴的距离有最大值D.若点P(x 0, y 0)∈Ω，则x 0+y 0≠04. 执行如图所示的程序框图，如果输出的a =2，那么判断框中填入的条件可以是( )A.n ≥5B.n ≥6C.n ≥7D.n ≥85. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（ ）A.ρ=sinθB.ρ=2sinθC.ρ=cosθD.ρ=2cosθ6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.23B.43C.2D.837. 某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为（ ）A.4B.8C.12D.248. 设函数f(x)=sin(4x +π4)(x ∈[0,9π16])，若函数y =f(x)+a(a ∈R)恰有三个零点x 1，x 2，x 3 (x 1<x 2<x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ）A.[5π8,11π16)B.(5π8,11π16]C.[7π8,15π16)D.(7π8,15π16]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则z2z 1=________．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，则a 3+a 4=________．己知抛物线M 的开口向下，其焦点是双曲线y 23−x 2=1的一个焦点，则M 的标准方程为________．在△ABC 中，a =2，c =4，且3sin A =2sin B ，则cos C =________．函数y =f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x ∈[−1, 1]时，y 的取值范围是________；②如果对任意x ∈[a, b](b <0)，都有y ∈[−2, 1]，那么b 的最大值是________．已知C是平面ABD上一点，AB⊥AD，CB=CD=1．①若AB→=3AC→，则AB→∗CD→=________；②AP→=AB→+AD→，则|AP→|的最大值为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．+1)−1．己知函数f(x)=2cos2x(sinxcosx(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的单调递减区间．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD // BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，PB=√3．(Ⅰ)求证：BC⊥PB；(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；(Ⅲ)若点E在棱PA上，且BE // 平面PCD，求线段BE的长．某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A，B两类会员中各随机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3, 5),[5, 7),[7, 9),[9, 11),[11, 13),[13, 15),[15, 17),[17, 19),[19, 21]九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表．(Ⅱ)从该地区A 类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为x ，求x 的分布列和数学期望；(Ⅲ)设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为X 1和X 2，试比较X 1和X 2的大小（只需写出结论）．已知函数f(x)=e x −a(lnx +1)(a ∈R)．(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)若函数y =f(x)在(12,1)上有极值，求a 的取值范围．已知点P(1,32)在椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，F(1, 0)是椭圆的一个焦点． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点，求证：以MN 为直径的圆被直线y =32截得的弦长是定值．已知无穷数列{a n }(a n ∈Z)的前n 项和为S n ，记S 1，S 2，…，S n 中奇数的个数为b n ．(Ⅰ)若a n ＝n ，请写出数列{b n }的前5项；(Ⅱ)求证：“a 1为奇数，a i (i ＝2, 3, 4,…)为偶数”是“数列{b n }是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若a i ＝b i ，i ＝1，2，3，…，求数列{a n }的通项公式．参考答案与试题解析2018年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】先解出集合A={x|x≤2}，然后进行补集的运算即可．【解答】A={x|x≤2}，U={x|x<5}；∴∁U A={x|2<x<5}．2.【答案】C【考点】命题的否定【解析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】由特称命题的否定为全称命题，可得命题p:∃x<1，x2≤1，的否定为￢p:∀x<1，x2>1，3.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，判断选项的正误即可．【解答】不等式组{x−2y≤0x−y+2≥0x≥0表示的可行域如图：显然O在可行域内部．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，a =12，n =2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，a =−1，n =3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，a =2，n =4，满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，a =12，n =5，不满足退出循环的条件；第5次执行循环体后，a =−1，n =6，不满足退出循环的条件；第6次执行循环体后，a =2，n =7，满足退出循环的条件；……第3k 次执行循环体后，a =2，n =3k +1，满足退出循环的条件；第3k +1次执行循环体后，a =12，n =3k +2，不满足退出循环的条件；第3k +2次执行循环体后，a =−1，n =3k +3，不满足退出循环的条件； ……若输出的a =2，则最后满足条件的n 值应为3的倍数多1，故选C .5.【答案】D【考点】圆的参数方程圆的极坐标方程【解析】曲线C 的参数方程消去参数，求出曲线的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．【解答】解：∵ 曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）． ∴ 曲线C 的直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2−2x =0，∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．故选D .6.【答案】A【考点】由三视图求体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可．【解答】由主视图和侧视图可知棱锥的高ℎ=2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC 为直角三角形，BC =1，AB =2，AB ⊥BC，∴三棱锥的体积V=13×12×1×2×2=23，7.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2种情况讨论：①，四人按男女男女排列，②，四人按女男女男排列，分别计算每一种情况的排法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2种情况讨论：①，四人按男女男女排列，两名男生有A22=2种排法，两名女生有A22=2种排法，此时有2×2=4种排法，②，四人按女男女男排列，同理可得此时有4种排法则一共有4+4=8种排法；8.【答案】A【考点】正弦函数的图象【解析】根据函数f(x)=sin(4x+π4)(x∈[0,9π16])，求解内层函数的范围，可得f(x)的图象，函数y=f(x)+a(a∈R)恰有三个零点，转化为f(x)与函数y=−a有三个交点问题．即可求解．【解答】函数f(x)=sin(4x+π4)(x∈[0,9π16])，可得π4≤4x+π4≤5π2，令4x+π4=t，函数y=f(t)+a(a∈R)恰有三个零点，转化为f(t)与函数y=−a有三个交点问题．根据三角函数图象的性质可得：12(t1+t2)=π2，9π4≤t3<5π2．∴(t1+t2)=π，即x1+x2=π8那么9π4≤4x3+π4<5π2，可得：π2≤x3<9π16则x1+x2+x3的取值范围是[5π8, 11π16)．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】−1−2i【考点】复数的运算【解析】由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2−i，利用复数的运算法则即可得出．【解答】由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2−i，∴z2z1=2−ii=(2−i)(−i)i∗(−i)=−1−2i，【答案】14【考点】数列递推式【解析】n≥2时，a n=S n−S n−1，代入即可得出．【解答】n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n−[(n−1)2+(n−1)]=2n．∴a3+a4=2×3+2×4=(14)【答案】x2=−8y【考点】双曲线的标准方程【解析】由双曲线方程求出其焦点坐标，可得抛物线焦点坐标，则抛物线方程可求．【解答】由双曲线y23−x2=1，得a2=3，b2=1，∴c2=a2+b2=4，得c=(2)∴双曲线y23−x2=1的下焦点F(0, −2)，即抛物线M的焦点为(0, −2)，可得p2=2，p=(4)∴M的标准方程为x2=−2py=−8y．【答案】−1 4【考点】余弦定理【解析】根据题意，由正弦定理可得3a=2b，分析可得a、b的值，由余弦定理即可得答案．【解答】根据题意，在△ABC中，3sin A=2sin B，则有3a=2b，又由a=2，则b=3，则cosC=a2+b2−c22ab =4+9−162×2×3=−14；【答案】[1, 2],−2【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】①根据f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y=ax2+bx+c，求解解析式，根据f(x)是定义域为R的偶函数，可得x<0的解析式，令y=1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．【解答】根据f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[−1, 1]时，值域为x∈[0, 1]时相同，可得y的取值范围是[1, 2]．（1）当x≥0时，设抛物线的方程为f(x)=ax2+bx+c，图象过(0, 1)，(1, 2)，(3, −2)，带入计算可得：a=−1，b=2，c=1，∴f(x)=−x2+2x+1，当x<0时，−x>(0)∴f(−x)=−x2−2x+1即f(x)=−x2−2x+(1)令y=1，可得1=−x2−2x+(1)解得：x=−(2)结合图象可得b的最大值为−(2)故答案为：[1, 2]；−(2)【答案】−34,2【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据向量的几何意义作出几何图形，得出各点的位置关系，从而得出答案．【解答】①∵AB→=3AC→，∴C为AB的靠近A的三等分点，∴AB=32BC=32，AC=12BC=12，∵AD⊥AB，CD=1，∴∠ACD=60∘，∴AB→∗CD→=32×1×cos120∘=−34．②∵CB=CD=1，∴C位于BD的中垂线上，∴当C为BD的中点时，BD取得最大值（2）∵AB⊥AD，∴|AP→|=|AB→+AD→|=|AB→−AD→|=BD≤(2)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】(Ⅰ)由cosx≠0，即x≠π2+kπ，∴f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ, k∈Z}．函数f(x)=2cos2x(sinxcosx+1)−1=2sinxcosx+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)．∴f(x)的最小正周期T=2πω=2π2=π．由(Ⅰ)知f(x)=√2sin(2x+π4)．由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z．可得：kπ+π8≤x≤kπ+5π8∴f(x)的单调递减区间为[kπ+π8, kπ+5π8]，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】(Ⅰ)根据分式中分母不能为0，可得定义域，利用二倍角公式化简即可f(x)的最小正周期；(Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求解f(x)的单调递减区间．【解答】(Ⅰ)由cosx≠0，即x≠π2+kπ，∴f(x)的定义域为{x|x≠π2+kπ, k∈Z}．函数f(x)=2cos2x(sinxcosx+1)−1=2sinxcosx+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x +π4)． ∴ f(x)的最小正周期T =2πω=2π2=π．由(Ⅰ)知f(x)=√2sin(2x +π4)． 由2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2，k ∈Z ．可得：kπ+π8≤x ≤kπ+5π8∴ f(x)的单调递减区间为[kπ+π8, kπ+5π8]，k ∈Z ．【答案】证明：(Ⅰ)∵ 在四棱锥P −ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AD // BC ，AD =3，PA =BC =2AB =2，PB =√3．∴ PA 2=PB 2+AB 2，∴ PB ⊥AB ，∴ PB ⊥平面ABCD ， ∵ BC ⊂平面ABCD ，∴ BC ⊥PB ．(Ⅱ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 1, 0)，C(2, 0, 0)，D(3, 1, 0)，P(0, 0, √3)， CD →=(1, 1, 0)，CP →=(−2, 0, √3)，CA →=(−2, 1, 0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗CD →=x +y =0n →∗CP →=−2x +√3z =0 ，取x =√3，得n →=(√3,−√3, 2)， 平面CDA 的法向量m →=(0, 0, 1)， 设二面角P −CD −A 的平面角为θ， 则cosθ=|m →∗n →||m →|∗|n →|=√10=√105． ∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为√105．(Ⅲ)平面PCD 的法向量n →=(√3,−√3, 2)，设E(a, b, c)，PE →=λPA →，则(a, b, c −√3)=(0, λ, −√3λ)， ∴ E(0, λ, √3−√3λ)，BE →=(0, λ,√3−√3λ)， ∵ 点E 在棱PA 上，且BE // 平面PCD ，∴ BE →⋅n →=0−√3λ+2√3−2√3λ=0，解得λ=23， ∴ E(0, 23, √33)，∴ 线段BE 的长|BE →|=(23)(√33)=√73．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)推导出PB ⊥AB ，从而PB ⊥平面ABCD ，由此能证明BC ⊥PB ．(Ⅱ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −CD −A 的余弦值．(Ⅲ)求出平面PCD 的法向量n →=(√3,−√3, 2)，由点E 在棱PA 上，且BE // 平面PCD ，求出E(0, 23, √33)，由此能求出线段BE 的长．【解答】证明：(Ⅰ)∵ 在四棱锥P −ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AD // BC ，AD =3，PA =BC =2AB =2，PB =√3．∴ PA 2=PB 2+AB 2，∴ PB ⊥AB ，∴ PB ⊥平面ABCD ， ∵ BC ⊂平面ABCD ，∴ BC ⊥PB ．(Ⅱ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 1, 0)，C(2, 0, 0)，D(3, 1, 0)，P(0, 0, √3)， CD →=(1, 1, 0)，CP →=(−2, 0, √3)，CA →=(−2, 1, 0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗CD →=x +y =0n →∗CP →=−2x +√3z =0 ，取x =√3，得n →=(√3,−√3, 2)， 平面CDA 的法向量m →=(0, 0, 1)， 设二面角P −CD −A 的平面角为θ， 则cosθ=|m →∗n →||m →|∗|n →|=√10=√105． ∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为√105．(Ⅲ)平面PCD 的法向量n →=(√3,−√3, 2)，设E(a, b, c)，PE →=λPA →，则(a, b, c −√3)=(0, λ, −√3λ)， ∴ E(0, λ, √3−√3λ)，BE →=(0, λ,√3−√3λ)， ∵ 点E 在棱PA 上，且BE // 平面PCD ，∴ BE →⋅n →=0−√3λ+2√3−2√3λ=0，解得λ=23， ∴ E(0, 23, √33)，∴ 线段BE 的长|BE →|=(23)(√33)=√73．【答案】(Ⅰ)∵ 10m =0.01，∴ m =10(00) ∵ nm =0.2，∴ n =200，∴ a =400，∴ m =1000，a =4(00)(Ⅱ)由频率分布直方图得从该地区A 类会员中随机抽取1名会员， 健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为25， ∴ X ∼N(3, 25)，P(X =0)=C 30×(35)3(25)0=27125， P(X =1)=C 31×(35)2×(25)=54125， P(X =2)=C 32×(35)×(25)2=36125， P(X =3)=C 33×(35)0×(25)3=8125，∴ X 的分布列为：∵ X ∼N(3, 25)，∴ E(X)=3×25=65．(Ⅲ)该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为X 1和X 2，则X 1<X 2．【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】(Ⅰ)由A 类会员的样本数据绘制成的频率分布直方图和B 类会员的样本数据绘制成的频率分布表，能求出m ，a ．(Ⅱ)由频率分布直方图得从该地区A 类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为25，X ∼N(3, 25)，由此能求出X 的分布列和数学期望． (Ⅲ)该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为X 1和X 2，则X 1<X 2．【解答】(Ⅰ)∵ 10m =0.01，∴ m =10(00)∵ nm =0.2，∴ n =200，∴ a =400，∴ m =1000，a =4(00)(Ⅱ)由频率分布直方图得从该地区A 类会员中随机抽取1名会员， 健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为25， ∴ X ∼N(3, 25)，P(X =0)=C 30×(35)3(25)0=27125， P(X =1)=C 31×(35)2×(25)=54125， P(X =2)=C 32×(35)×(25)2=36125， P(X =3)=C 33×(35)0×(25)3=8125，∴ X 的分布列为：∵ X ∼N(3, 25)，∴ E(X)=3×25=65．(Ⅲ)该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为X 1和X 2，则X 1<X 2．【答案】(Ⅰ)f′(x)=e x −ax ，故f′(1)=e −a ，f(1)=e −a ，故切线方程是：y −e +a =(e −a)(x −1)， 即y =(e −a)x ；(Ⅱ)若函数y =f(x)在(12,1)上有极值， 则f′(x)=e x −ax 在(12,1)上有零点， 即y =e x 和y =ax 在(12, 1)有交点，画出函数即y =e x 和y =ax 的图象，如图示：显然a >0，结合图象得：f′(12)⋅f′(1)<0，解得：√e 2<a <e ． 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)问题转化为f′(x)=e x −ax 在(12,1)上有零点，结合图象得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】(Ⅰ)f′(x)=e x −ax ，故f′(1)=e −a ，f(1)=e −a ，故切线方程是：y −e +a =(e −a)(x −1)， 即y =(e −a)x ；(Ⅱ)若函数y =f(x)在(12,1)上有极值， 则f′(x)=e x −ax 在(12,1)上有零点， 即y =e x 和y =ax 在(12, 1)有交点，画出函数即y =e x 和y =ax 的图象，如图示：显然a >0，结合图象得：f′(12)⋅f′(1)<0，解得：√e 2<a <e ．【答案】（I ）由题意可得：1a 2+94b 2=1，c =1，a 2=b 2+c 2， 联立解得a 2=4，b 2=(3) ∴ 椭圆C 的方程为：x 24+y 23=(1)(II)证明：设直线DE 的方程为：ty =x ，D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)．联立{ty =x x 24+y 23=1 ，可得：y 2=123t 2+4． D(√3t√3t 2+4√3√3t 2+4)，E(√3t √3t 2+4√3√3t 2+4)． 直线PD 的方程为：y −32=√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4−1)，可得M(0, 32√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4)．直线PE 的方程为：y −32=√3+3√3t 2+443t+2√3t 2+4−1)，可得N(0, 32√3+3√3t 2+443t+2√3t 2+4)．以MN 为直径的圆的方程为：x 2+(y −32+√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4)(y−32√3+3√3t 2+44√3t+2√3t 2+4)=0，∴ 把y =32代入可得：x 2+48−9(3t 2+4)48t 2−4(3t 2+4)=(0)即x 2=2736． 解得x =±3√34． 因此被直线y =32截得的弦长=3√32是定值．【考点】 椭圆的定义 【解析】（I ）由题意可得：1a 2+94b 2=1，c =1，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (II)设直线DE 的方程为：ty =x ，D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)．联立{ty =x x 24+y 23=1，可得：y 2=123t 2+4．可得D(√3t √3t 2+4√3√3t 2+4，E(√3t √3t 2+4√3√3t 2+4．利用点斜式可得直线PD 的方程，可得M(0, 32−√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4)．利用点斜式可得直线PE 的方程，可得N(0, 32−√3+3√3t 2+44√3t+2√3t 2+4)．以MN 为直径的圆的方程为：x 2+(y −32√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4)(y−32+√3+3√3t 2+44√3t+2√3t 2+4)=0，把y =32代入即可证明．【解答】（I ）由题意可得：1a 2+94b 2=1，c =1，a 2=b 2+c 2， 联立解得a 2=4，b 2=(3) ∴ 椭圆C 的方程为：x 24+y 23=(1)(II)证明：设直线DE 的方程为：ty =x ，D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)．联立{ty =x x 24+y 23=1 ，可得：y 2=123t 2+4． D(√3t √3t 2+4√3√3t 2+4)，E(√3t √3t 2+4√3√3t 2+4)．直线PD 的方程为：y −32=√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4−1)，可得M(0, 32√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4)．直线PE 的方程为：y −32=√3+3√3t 2+443t+2√3t 2+4−1)，可得N(0, 32√3+3√3t 2+443t+2√3t 2+4)．以MN 为直径的圆的方程为：x 2+(y −32+√3−3√3t 2+44√3t−2√3t 2+4)(y−32√3+3√3t 2+44√3t+2√3t 2+4)=0，∴ 把y =32代入可得：x 2+48−9(3t 2+4)48t 2−4(3t 2+4)=(0)即x 2=2736． 解得x =±3√34． 因此被直线y =32截得的弦长=3√32是定值．【答案】 (I)a n ＝n ，S n =n(n+1)2．∴ S 1＝1，S 2＝3，S 3＝6，S 4＝10，S 5＝15． ∴ b 1＝1，b 2＝2，b 3＝2，b 4＝2，b 5＝3． 证明：(II)（充分性）∵ a 1是奇数，a i (i ＝2, 3, 4…)为偶数， ∴ 对于任意i ∈N ∗，S i 都是奇数， ∴ b n ＝n ，∴ 数列{b n }是单调递增数列． （不必要性）当数列{a n }中只有a 2是奇数，其余项都是偶数时，S 1为偶数，S i (i ＝2, 3, 4…)均为奇数， ∴ b n ＝n −1，数列{b n }是单调递增数列，∴ “a 1为奇数，a i (i ＝2, 3, 4,…)为偶数”是“数列{b n }是单调递增数列”的不必要条件． 综上，：“a 1为奇数，a i (i ＝2, 3, 4,…)为偶数”是“数列{b n }是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)(1)当a k 为奇数时，若S k 为偶数，若a k+1是奇数，则S k+1为奇数，∴ b k+1＝b k +1＝a k +1为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾； 若a k+1为偶数，则S k+1为偶数，∴ b k+1＝b k ＝a k 为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾． ∴ 当a k 为奇数时，S k 不能为偶数； （2）当a k 为偶数，若S k 为奇数，若a k+1为奇数，则S k+1为偶数，∴ b k+1＝b k ＝a k 为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾，若a k+1为偶数，则S k+1为奇数，∴ b k+1＝b k +1＝a k +1为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾， ∴ 当a k 为偶数时，S k 不能是奇数． 综上，a k 与S k 同奇偶，∵ a 1＝b 1＝S 1为偶数，且0≤b 1≤1，∴ b 1＝a 1＝0， ∵ a 2＝b 2≤b 1+1＝1，且b 2≥0，∴ b 2＝a 2＝0， 以此类推，得到a n ＝0． 【考点】 数列递推式 【解析】（I ）推导出a n ＝n ，S n =n(n+1)2．由此能写出数列{b n }的前5项．(II)先证充分性，推导出b n ＝n ，从而数列{b n }是单调递增数列；再证不必要性，当数列{a n }中只有a 2是奇数，其余项都是偶数时，S 1为偶数，S i (i ＝2, 3, 4…)均为奇数，b n＝n−1，数列{b n}是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，a i(i＝2, 3, 4,…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)当a k为奇数时，推导出S k不能为偶数；当a k为偶数，推导出S k不能是奇数，从而a k与S k同奇偶，由此得到a n＝0．【解答】(I)a n＝n，S n=n(n+1)．2∴S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15．∴b1＝1，b2＝2，b3＝2，b4＝2，b5＝3．证明：(II)（充分性）∵a1是奇数，a i(i＝2, 3, 4…)为偶数，∴对于任意i∈N∗，S i都是奇数，∴b n＝n，∴数列{b n}是单调递增数列．（不必要性）当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i(i＝2, 3, 4…)均为奇数，∴b n＝n−1，数列{b n}是单调递增数列，∴ “a1为奇数，a i(i＝2, 3, 4,…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“a1为奇数，a i(i＝2, 3, 4,…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)(1)当a k为奇数时，若S k为偶数，若a k+1是奇数，则S k+1为奇数，∴b k+1＝b k+1＝a k+1为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾；若a k+1为偶数，则S k+1为偶数，∴b k+1＝b k＝a k为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾．∴当a k为奇数时，S k不能为偶数；（2）当a k为偶数，若S k为奇数，若a k+1为奇数，则S k+1为偶数，∴b k+1＝b k＝a k为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾，若a k+1为偶数，则S k+1为奇数，∴b k+1＝b k+1＝a k+1为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾，∴当a k为偶数时，S k不能是奇数．综上，a k与S k同奇偶，∵a1＝b1＝S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1＝a1＝0，∵a2＝b2≤b1+1＝1，且b2≥0，∴b2＝a2＝0，以此类推，得到a n＝0．。

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2018届丰台区高考数学模拟试卷题目一、选择题1.复数z= 在复平面内对应的点位于(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2. 设为等比数列的前项和，，则(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 53. 执行右边的程序框图，输出k的值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64.已知变量满足约束条件，则的最大值是(A) (B) (C) 1 (D)5.已知命题p: ;命题q: ,则下列命题为真命题的是(A) (B)(C) (D)6. 已知关于 x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间(0， )上的减函数，且x+y(B) y=f(x)是区间(1， )上的增函数，且x+y(C) y=f(x)是区间(1， )上的减函数，且x+y(D) y=f(x)是区间(1， )上的减函数，且x+y8.动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积(A) 有最大值8 (B) 有最小值2(C) 有最小值3 (D) 有最小值4二填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C : ( 是参数)被圆C : 截得的弦长为 ;10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩 (均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示).则分数在[70,80)内的人数是________。

丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B =（ ） （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a =（ ） （A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）90（D ）1865．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为（ ） （A ）2 （B（C）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（ ）（A（B ）1 （C（D ）2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0} 2．已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C． D．4．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A． B．0 C．D．15．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条件是（）A．k≤3？B．k＜3？C．k≤4？D．k＞4？6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C．D．7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．968．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．抛物线y2=2x的准线方程是．10．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a2=2，S9=9，则a8=．11．在△ABC中，若b2=ac，，则∠A=．12．若x，y满足，则的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线（θ为参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则的最大值为．14．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x，下列命题正确的有．（写出所有正确命题的编号）①f（x）是奇函数；②f（x）在R上是单调递增函数；③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求g（x）在上的单调递减区间．16．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．17．某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）．18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．19．已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F，点B （0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，，求证：λ+μ为定值．20．对于∀n∈N*，若数列{x n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“K 数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{a n}为“K数列”，且其前n项和S n满足？若存在，求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{a n}是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列{b n}是否为“K数列”，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}={﹣2，﹣1，0}，B={﹣1，0，1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：D．2．已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a，b∈R，复数a+bi是纯虚数⇔，即可判断出结论．【解答】解：a，b∈R，复数a+bi是纯虚数⇔，∴“b≠0”是“复数a+bii是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．3．定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C． D．【考点】定积分．【分析】求出原函数，即可求出定积分．【解答】解：==8﹣ln3，故选B．4．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A． B．0 C．D．1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，==﹣．即可求得m，n即可．【解答】解：如图所示，==﹣．∴m=﹣，n=，∴，故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条件是（）A．k≤3？B．k＜3？C．k≤4？D．k＞4？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=4时，退出循环，输出S的值为64，故判断框图可填入的条件是k≤3．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=1，k=0满足条件，S=1，k=1，满足条件，S=2，k=2，满足条件，S=8，k=3，满足条件，S=64，k=4，由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为64．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k≤3．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得答案．【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，其底面面积S=×1×1=，柱体的高为：2，锥体的高为1，故组合体的体积V=×2﹣××1=，故选：A．7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．96【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．8．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，条件“四人都只说对了一半”，若甲同学猜对了1﹣b，依次判断3﹣d，2﹣c，4﹣a，再假设若甲同学猜对了3﹣c得出矛盾．【解答】解：根据题意：若甲同学猜对了1﹣b，则乙同学猜对了，3﹣d，丙同学猜对了，2﹣c，丁同学猜对了，4﹣a，根据题意：若甲同学猜对了3﹣c，则丁同学猜对了，4﹣a，丙同学猜对了，2﹣c，这与3﹣c相矛盾，综上所述号门里是a，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣10．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a2=2，S9=9，则a8= 16．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．【解答】解：{a n}为等差数列，S n为其前n项和．a2=2，S9=9，∴，解得∴a8=a1+7d=16．故答案为：16．11．在△ABC中，若b2=ac，，则∠A=．【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理求解出a，c的关系，即可判断角A的大小．【解答】解：由b2=ac，，根据余弦定理cosB=，可得a2+c2=2ac，即（a﹣c）2=0，∴a=c，由b2=ac，可得a=b=c．△ABC是等边三角形．∴A=故答案为：．12．若x，y满足，则的取值范围是[，6] ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故答案为：[，6]13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线（θ为参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则的最大值为．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出曲线（θ为参数）的普通方程，设直线方程为kx﹣y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出的最大值．【解答】解：曲线（θ为参数），普通方程为（x﹣1）2+y2=1．设直线方程为kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=，∴|OB|=2=，kx﹣y=0与x+y=4联立，可得A（，），∴|OA|=，∴=，设k+1=t（t＞0），则=≤=．∴的最大值为．故答案为．14．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x，下列命题正确的有①②④．（写出所有正确命题的编号）①f（x）是奇函数；②f（x）在R上是单调递增函数；③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数f（x）=e x﹣e﹣x求导，分析可得f′（x）＞0，分析可得②正确；对于③、g（x）=e x﹣e﹣x﹣x2﹣2x，分析可得g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，进而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之间，即方程f（x）=x2+2x至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、f（x）=e x﹣e﹣x，定义域是R，且f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣f（x），f（x）是奇函数；故①正确；对于②、若f（x）=e x﹣e﹣x，则f′（x）=e x+e﹣x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；对于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=e x﹣e﹣x﹣x2﹣2x，令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，g（3）=e3﹣﹣13＜0，g（4）=e4﹣﹣20＞0，则方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之间，故③错误；对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即e x﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，令h（x）=e x﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=e x+e﹣x﹣k＞0恒成立，若e x+e﹣x﹣k＞0，即k＜e x+e﹣x=e x+恒成立，而e x+≥2，若有k＜2，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求g（x）在上的单调递减区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由图象求得A及周期，再由周期公式求得ω，则f（x）的解析式可求；（Ⅱ）把f（x）代入，整理后由复合函数的单调性求得g（x）在上的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知A=2，设函数f（x）的周期为T，则，求得T=π，从而ω=2，∴f（x）=2sin2x；（Ⅱ）===，∴，即，k∈Z．令k=0，得，∴g（x）在上的单调递减区间为．16．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥DE，从而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO，推导出EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小．（Ⅲ）设BE的中点为G，连接CG，FG，推导出四边形CDFG是平行四边形，从而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．因为AD∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．又AB⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD..…解：（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO．因为△ADE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，EO⊂平面ADE，所以EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD 的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由已知，得E（0，0，），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）．所以=（1，﹣1，），=（2，1，0）．设平面BCE的法向量=（x，y，z）．则，令x=1，则=（1，﹣2，﹣）．又平面ADE的一个法向量=（0，1，0），所以cos＜＞==﹣．所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为．…（Ⅲ）在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时．理由如下：设BE的中点为G，连接CG，FG，则FG∥AB，FG=．因为AB∥CD，且，所以FG∥CD，且FG=CD，所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．因为CG⊂平面BCE，且DF⊄平面BCE，所以DF∥平面BCE..…17．某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）利用该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，建立方程，即可求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出A品牌待机时长高于B 品牌的概率；（Ⅲ）根据平均数的定义，写出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台，则购买的C品牌电动智能送风口罩为台，由题意得，所以x=800．答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台..…（Ⅱ）设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P，则．答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为..…（Ⅲ）18．…18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为m≥f（x）max，通过讨论k的范围，求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：由已知得，f（x）的定义域为（0，+∞）．（Ⅰ），．令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞），（Ⅱ）由xln（kx）﹣kx+1≤mx，得，即m≥f（x）max．由（Ⅰ）知，（1）当k≥2时，f（x）在上单调递减，所以，所以m≥0；．（2）当0＜k≤1时，f（x）在上单调递增，所以，所以；（3）当1＜k＜2时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．又，，①若，即，所以1＜k＜2ln2，此时，所以．②若，即，所以2ln2≤k＜2，此时f（x）max=0，所以m≥0综上所述，当k≥2ln2时，m≥0；当0＜k＜2ln2时，．19．已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F，点B （0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，，求证：λ+μ为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意b=1，利用椭圆的离心率即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明λ+μ=0为定值．【解答】解：（Ⅰ）由点B（0，1）在椭圆C：上，则，即b=1．又椭圆C的离心率为，则，由a2=b2+c2，得．∴椭圆C的方程为…（Ⅱ）证明：由已知得F（1，0），直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则P（2，k）．由，，得，∴，．联立得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴，．∴==0，∴λ+μ=0为定值…20．对于∀n∈N*，若数列{x n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“K 数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{a n}为“K数列”，且其前n项和S n满足？若存在，求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{a n}是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列{b n}是否为“K数列”，并说明理由．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得对n∈N*均成立，化为（n﹣1）d＜n．对n 分类讨论解出即可得出．（Ⅲ）设数列{a n}的公比为q，则，由题意可得：{a n}的每一项均为正整数，且a n+1﹣a n=a n q﹣a n=a n（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1）＞a n﹣a n﹣1，可得在{a n﹣a n﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，②解①得m＞1；解②得m＜﹣1或m＞2．所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．（Ⅱ）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则d＞1，由a1=﹣1，得，．由题意，得对n∈N*均成立，即（n﹣1）d＜n．①当n=1时，d∈R；②当n＞1时，，因为，所以d≤1，与d＞1矛盾，故这样的等差数列{a n}不存在．（Ⅲ）设数列{a n}的公比为q，则，因为{a n}的每一项均为正整数，且a n+1﹣a n=a n q﹣a n=a n（q﹣1）＞1＞0，所以a1＞0，且q＞1．因为a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1）＞a n﹣a n﹣1，所以在{a n﹣a n﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．由{a n}为“K数列”，只需a2﹣a1＞1，即a1（q﹣1）＞1，又因为不是“K数列”，且“”为最小项，所以，即a1（q﹣1）≤2，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=2，所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．①当a1=1，q=3时，，则，令，则，又=，所以{c n}为递增数列，即c n＞c n﹣1＞c n﹣2＞…＞c1，所以b n+1﹣b n＞b n﹣b n﹣1＞b n﹣1﹣b n﹣2＞…＞b2﹣b1．因为，所以对任意的n∈N*，都有b n+1﹣b n＞1，即数列{c n}为“K数列”．②当a1=2，q=2时，，则．因为，所以数列{b n}不是“K数列”．综上：当时，数列{b n}为“K数列”，当时，数列{b n}不是“K数列”．。

北京丰台区2018-2019学年上学期高三期末数学理科试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}-（B ）{1,0,1,2}-（C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a =（A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）674．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（A ）30（B ）45（C ）90（D ）1865．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A ）2（B ）5（C ）22（D ）236．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2= a a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1P B B 的面积的最小值为（A ）22（B ）1（C ）2（D ）2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】由，，，所以。

5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2 21 > 0l丰台区 2019 年高三年级第二学期综合练习（一） 数 学（理科）（本试卷满分共 150 分，考试时间 120 分钟）注意事项：2019. 03（C ） ∀x ∉(0, +∞), ln x > x -1 （D ）∃x 0 ∈(0, +∞) ,ln x 0 > x 0 -1 4. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a = 1 ，输出的 S = 15 ，那么判断框内的条件可以为 （A ） k < 61.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须（B ） k ≤6 （C ） k > 6 （D ） k > 7y使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效， 在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

5. 下列函数中，同时满足：①图象关于 轴对∀x 1 , x 2 ∈(0, +∞)(x 1 ≠ x 2 ) ，称；②f (x ) - f (x ) x 2 - x 1 的是 f (x ) = x -1（A ）（B ）f (x ) = log | x |2 第一部分（选择题 共 40 分）（C ）f (x ) = cos x （D ）f (x ) = 2x +1一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符6. 已 知 和是两个不同平面，= l ，l 1, l 2是与l ⊂，不同的两条直线，且 1合题目要求的一项。

z = 1l 2 ⊂， l 1∥l 2 ，那么下列命题正确的是 （A ） l 与l 1, l 2 都不相交 （B ） l 与l 1, l 2 都相交 1. 复数1+ i 的共轭复数是1 + 1 i 1 - 1 i（C ）l 恰与l 1, l 2 中的一条相交 （D ）l 至少与l 1, l 2 中的一条相交 x 2 y 2 x 2 22 22 21+ i1- i F , F M ： + = 1N ： - y = 1 （A ）（B ）（C ）（D ）7．已知 1 2 为椭圆 2 2和双曲线 n 2的公共焦点， P 为它们的一 A = {-2,3,1} B = {3, m 2} B ⊆ A m2. 已知集合 ，集合 ．若 ，则实数 的取值集合为 （A ）{1}（B ）{ 3 }（C ）{1, -1}（D ）{ 3, - 3}PF ⊥ F F N个公共点，且 11 2 ，那么椭圆 M 和双曲线 的离心率之积为2 13．设命题 p ： ∀x ∈(0, +∞), ln x ≤ x -1 ，则⌝ p 为 （A ） （B ）1 （C ） 2 （D ） 2（A ）∀x ∈(0, +∞) , l n x > x -1 （B ）∃x 0 ∈(0, +∞), ln x 0 ≤ x 0 -1高三数学（理科）第 1 页（共 6 页）8．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形．若△ABC 是格点三角形，其中 A (0, 0) , B (4, 0) ，高三数学（理科）第 2 页（共 6 页）入入 入入入入S =S+ak 2 入入 S a =-a 入入k =k +1m3 3 ⎩ 且面积为 8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（A ）6 （B ）8 （C ）10（D ）12第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

2018年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{x|x＜5}，集合A＝{x|x﹣2≤0}，则∁U A＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＞2}C．{x|2＜x＜5}D．{x|2≤x＜5} 2．（5分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A．∀x≥1，x2＞1B．∃x＜1，x2＞1C．∀x＜1，x2＞1D．∃x≥1，x2＞1 3．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω．则（）A．原点O在Ω内B．Ω的面积是1C．Ω内的点到y轴的距离有最大值D．若点P（x0，y0）∈Ω，则x0+y0≠04．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝2，那么判断框中填入的条件可以是（）A．n≥5B．n≥6C．n≥7D．n≥85．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（）A．ρ＝sinθB．ρ＝2sinθC．ρ＝cosθD．ρ＝2cosθ6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．7．（5分）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为（）A．4B．8C．12D．248．（5分）设函数，若函数y＝f（x）+a（a∈R）恰有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则＝．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，则a3+a4＝．11．（5分）己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M的标准方程为．12．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝4，且3sin A＝2sin B，则cos C＝．13．（5分）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．14．（5分）已知C是平面ABD上一点，AB⊥AD，CB＝CD＝1．①若＝3，则＝；②＝+，则的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）己知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，P A＝BC＝2AB＝2，PB＝．（Ⅰ）求证：BC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P一CD一A的余弦值；（Ⅲ）若点E在棱P A上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．17．（13分）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A，B两类会员中各随机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表．（Ⅰ）求m和a的值；（Ⅱ）从该地区A类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为x，求x的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为和，试比较和的大小（只需写出结论）．18．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣a（lnx+1）（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在上有极值，求a的取值范围．19．（14分）已知点在椭圆C：（a＞b＞0）上，F（1，0）是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点，求证：以MN为直径的圆被直线截得的弦长是定值．20．（13分）已知无穷数列{a n}（a n∈Z）的前n项和为S n，记S1，S2，…，S n中奇数的个数为b n．（Ⅰ）若a n＝n，请写出数列{b n}的前5项；（Ⅱ）求证：“a1为奇数，a i（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若a i＝b i，i＝1，2，3，…，求数列{a n}的通项公式．2018年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{x|x＜5}，集合A＝{x|x﹣2≤0}，则∁U A＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＞2}C．{x|2＜x＜5}D．{x|2≤x＜5}【解答】解：A＝{x|x≤2}，U＝{x|x＜5}；∴∁U A＝{x|2＜x＜5}．故选：C．2．（5分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A．∀x≥1，x2＞1B．∃x＜1，x2＞1C．∀x＜1，x2＞1D．∃x≥1，x2＞1【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x＜1，x2≤1，的否定为￢p：∀x＜1，x2＞1，故选：C．3．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω．则（）A．原点O在Ω内B．Ω的面积是1C．Ω内的点到y轴的距离有最大值D．若点P（x0，y0）∈Ω，则x0+y0≠0【解答】解：不等式组表示的可行域如图：显然O在可行域内部．故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝2，那么判断框中填入的条件可以是（）A．n≥5B．n≥6C．n≥7D．n≥8【解答】解：第1次执行循环体后，a＝，n＝2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，a＝﹣1，n＝3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，a＝2，n＝4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，a＝，n＝5，不满足退出循环的条件；第5次执行循环体后，a＝﹣1，n＝6，不满足退出循环的条件；第6次执行循环体后，a＝2，n＝7，不满足退出循环的条件；……第3k次执行循环体后，a＝2，n＝3k+1，不满足退出循环的条件；第3k+1次执行循环体后，a＝，n＝3k+2，不满足退出循环的条件；第3k+2次执行循环体后，a＝﹣1，n＝3k+3，不满足退出循环的条件；……若输出的a＝2，则最后满足条件的n值应为3的倍数多1，故选：C．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（）A．ρ＝sinθB．ρ＝2sinθC．ρ＝cosθD．ρ＝2cosθ【解答】解：∵曲线C的参数方程为（α为参数）．∴曲线的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．故选：D．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．【解答】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h＝2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC＝1，AB＝2，AB ⊥BC，∴三棱锥的体积V＝＝，故选：A．7．（5分）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为（）A．4B．8C．12D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，四人按男女男女排列，两名男生有A22＝2种排法，两名女生有A22＝2种排法，此时有2×2＝4种排法，②，四人按女男女男排列，同理可得此时有4种排法则一共有4+4＝8种排法；故选：B．8．（5分）设函数，若函数y＝f（x）+a（a∈R）恰有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数，可得，令＝t，函数y＝f（t）+a（a∈R）恰有三个零点，转化为f（t）与函数y＝﹣a有三个交点问题．根据三角函数图象的性质可得：（t1+t2）＝，≤t3＜．∴（t1+t2）＝π，即x1+x2＝那么，可得：则x1+x2+x3的取值范围是[，．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则＝﹣1﹣2i．【解答】解：由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2﹣i，∴＝＝＝﹣1﹣2i，故答案为：﹣1﹣2i．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，则a3+a4＝14．＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n．【解答】解：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1∴a3+a4＝2×3+2×4＝14．故答案为：14．11．（5分）己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M的标准方程为x2＝﹣8y．【解答】解：由双曲线，得a2＝3，b2＝1，∴c2＝a2+b2＝4，得c＝2．∴双曲线的下焦点F（0，﹣2），即抛物线M的焦点为（0，﹣2），可得，p＝4．∴M的标准方程为x2＝﹣2py＝﹣8y．故答案为：x2＝﹣8y．12．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝4，且3sin A＝2sin B，则cos C＝﹣．【解答】解：根据题意，在△ABC中，3sin A＝2sin B，则有3a＝2b，又由a＝2，则b＝3，则cos C＝＝＝﹣；故答案为：﹣．13．（5分）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【解答】解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．14．（5分）已知C是平面ABD上一点，AB⊥AD，CB＝CD＝1．①若＝3，则＝﹣；②＝+，则的最大值为2．【解答】解：①∵，∴C为AB的靠近A的三等分点，∴AB＝BC＝，AC＝BC＝，∵AD⊥AB，CD＝1，∴∠ACD＝60°，∴＝＝﹣．②∵CB＝CD＝1，∴C位于BD的中垂线上，∴当C为BD的中点时，BD取得最大值2．∵AB⊥AD，∴||＝||＝||＝BD≤2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）己知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）由cos x≠0，即x≠，∴f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}．函数＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T＝．由（Ⅰ）知f（x）＝sin（2x+）．由≤2x+，k∈Z．可得：≤x≤∴f（x）的单调递减区间为[，]，k∈Z．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，P A＝BC＝2AB＝2，PB＝．（Ⅰ）求证：BC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P一CD一A的余弦值；（Ⅲ）若点E在棱P A上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，P A＝BC＝2AB＝2，PB＝．∴P A2＝PB2+AB2，∴PB⊥AB，∴PB⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PB．解：（Ⅱ）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），C（2，0，0），D（3，1，0），P（0，0，），＝（1，1，0），＝（﹣2，0，），＝（﹣2，1，0），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，2），平面CDA的法向量＝（0，0，1），设二面角P﹣CD﹣A的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为．（Ⅲ）平面PCD的法向量＝（，2），设E（a，b，c），，则（a，b，c﹣）＝（0，λ，﹣），∴E（0，λ，），＝（0，），∵点E在棱P A上，且BE∥平面PCD，∴•＝0﹣+2＝0，解得λ＝，∴E（0，，），∴线段BE的长||＝＝．17．（13分）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A，B两类会员中各随机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表．（Ⅰ）求m和a的值；（Ⅱ）从该地区A类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为x，求x的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为和，试比较和的大小（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴m＝1000．∵，∴n＝200，∴a＝400，∴m＝1000，a＝400．（Ⅱ）由频率分布直方图得从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为，∴X～N（3，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：∵X～N（3，），∴E（X）＝3×＝．（Ⅲ）该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为和，则＜．18．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣a（lnx+1）（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在上有极值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e x﹣，故f′（1）＝e﹣a，f（1）＝e﹣a，故切线方程是：y﹣e+a＝（e﹣a）（x﹣1），即y＝（e﹣a）x；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在上有极值，则f′（x）＝e x﹣在上有零点，即y＝e x和y＝在（，1）有交点，画出函数即y＝e x和y＝的图象，如图示：显然a＞0，结合图象得：f′（）•f′（1）＜0，解得：＜a＜e．19．（14分）已知点在椭圆C：（a＞b＞0）上，F（1，0）是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点，求证：以MN为直径的圆被直线截得的弦长是定值．【解答】（I）解：由题意可得：+＝1，c＝1，a2＝b2+c2，联立解得a2＝4，b2＝3．∴椭圆C的方程为：＝1．（II）证明：设直线DE的方程为：ty＝x，D（x1，y1），E（x2，y2）．联立，可得：y2＝．D，E．直线PD的方程为：y﹣＝（x﹣1），可得M（0，﹣）．直线PE的方程为：y﹣＝（x﹣1），可得N（0，﹣）．以MN为直径的圆的方程为：x2+（y﹣+）（y﹣+）＝0，∴把y＝代入可得：x2+＝0．即x2＝．解得x＝±．因此被直线截得的弦长＝是定值．20．（13分）已知无穷数列{a n}（a n∈Z）的前n项和为S n，记S1，S2，…，S n中奇数的个数为b n．（Ⅰ）若a n＝n，请写出数列{b n}的前5项；（Ⅱ）求证：“a1为奇数，a i（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若a i＝b i，i＝1，2，3，…，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（I）a n＝n，S n＝．∴S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15．∴b1＝1，b2＝2，b3＝2，b4＝2，b5＝3．证明：（II）（充分性）∵a1是奇数，a i（i＝2，3，4…）为偶数，∴对于任意i∈N*，S i都是奇数，∴b n＝n，∴数列{b n}是单调递增数列．（不必要性）当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i（i＝2，3，4…）均为奇数，∴b n＝n﹣1，数列{b n}是单调递增数列，∴“a1为奇数，a i（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“a1为奇数，a i（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）（1）当a k为奇数时，若S k为偶数，若a k+1是奇数，则S k+1为奇数，∴b k+1＝b k+1＝a k+1为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾；若a k+1为偶数，则S k+1为偶数，∴b k+1＝b k＝a k为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾．∴当a k为奇数时，S k不能为偶数；（2）当a k为偶数，若S k为奇数，若a k+1为奇数，则S k+1为偶数，∴b k+1＝b k＝a k为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾，若a k+1为偶数，则S k+1为奇数，∴b k+1＝b k+1＝a k+1为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾，∴当a k为偶数时，S k不能是奇数．综上，a k与S k同奇偶，∵a1＝b1＝S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1＝a1＝0，∵a2＝b2≤b1+1＝1，且b2≥0，∴b2＝a2＝0，以此类推，得到a n＝0．。