11几何光学的基本定律和费马原理
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几何光学
4．垂直于光轴的横向线段：光轴上方为正，光轴 下方为负。
14
4.单球面折射成像
n1sin1n2sin2 近轴光n1线 1n ： 22
1 , 2
n 1 ( ) n 2 ( )
即n1 ： (S hR h)n2(R hS h)
n1 n2 n2n1 S S R
单球面折射成像公式
15
例9.1：在油液（折射率为1.33）中有一圆柱状长玻璃棒， 棒的一端为曲率半径R=3cm半球面，玻璃的折射率为 1.52，在棒轴上距端点9cm的P处有一点状物体，求像的 位置。
解： (1) S 60cm时：
1 1 1 S S f
11 1 60 S 20
S 15cm m y S 1 正立的缩小的虚像
y S4
(2)
S
30cm时：
1 S
1 S
1 f
11 1 30 S 20
S 12.5cm
m y S 5 y S 12
正立的缩小的虚像
(3) S 5cm时：
S 4cm
（参见书P.130）
1 1 1 S S f
横向放大率： m y S yS
负号代S、 表 S当 0，像是倒立
18
三、薄透镜
3.磨镜者公式
——透镜的焦距与折射率、曲率半径的关系 （参见书P.131-132）
1(n1)(1 1)
f
R1 R2
曲率中心在出射光 一线 侧同 时 曲率半R径为正，异侧为负。
几何光学
以光的直线传播实验规律为基础，用几何方法研究 光在透明介质中的传播及光学仪器的成像等问题。
本 章主要内容： 一、几何光学的基本定律 二、光学成像 三、薄透镜 四、光学器件
1
一、几何光学的基本定律
14
4.单球面折射成像
n1sin1n2sin2 近轴光n1线 1n ： 22
1 , 2
n 1 ( ) n 2 ( )
即n1 ： (S hR h)n2(R hS h)
n1 n2 n2n1 S S R
单球面折射成像公式
15
例9.1：在油液（折射率为1.33）中有一圆柱状长玻璃棒， 棒的一端为曲率半径R=3cm半球面，玻璃的折射率为 1.52，在棒轴上距端点9cm的P处有一点状物体，求像的 位置。
解： (1) S 60cm时：
1 1 1 S S f
11 1 60 S 20
S 15cm m y S 1 正立的缩小的虚像
y S4
(2)
S
30cm时：
1 S
1 S
1 f
11 1 30 S 20
S 12.5cm
m y S 5 y S 12
正立的缩小的虚像
(3) S 5cm时：
S 4cm
（参见书P.130）
1 1 1 S S f
横向放大率： m y S yS
负号代S、 表 S当 0，像是倒立
18
三、薄透镜
3.磨镜者公式
——透镜的焦距与折射率、曲率半径的关系 （参见书P.131-132）
1(n1)(1 1)
f
R1 R2
曲率中心在出射光 一线 侧同 时 曲率半R径为正，异侧为负。
几何光学
以光的直线传播实验规律为基础，用几何方法研究 光在透明介质中的传播及光学仪器的成像等问题。
本 章主要内容： 一、几何光学的基本定律 二、光学成像 三、薄透镜 四、光学器件
1
一、几何光学的基本定律
费马原理的内容
费马原理的内容
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理。
费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）
光程 s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和
l=vt 所以得到 s=ct. 由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程。
费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的。
费马原理为几何光学中的基本原理，费马原理也被称为最短时间原理。
通过费马原理可以推导斯涅尔定律、反射定律和光线传播定律。
以及有关各种光学器件的定理也可以从费马原理或上述定律中推导出来。
费马原理的精确表示：在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播。
这种表述较最短时间原理相比更为准确，在反射定律的例子中，光沿着入射角等于出射角的路径传播。
可是依据最短时间，光线并没有沿着最短的路径传播，毕竟两点之间线段最短。
因此在存在约束的条件下，“在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播”此表述更为精确。
通过费马原理可以推导出光沿着直线传播，因为相同的一束光在同一种介质内的传播速度相同，所以若这一束光要从点A传播至点B，则根据两点之间线段最短得到光线将沿着此先短传播。
大学物理--几何光学
B
B
B
ndl n dl
A
A
而由公理：两点间直线距离最短 A
B
dl 的极小值为直线AB A
所以光在均匀介质中沿直线传播
2.光的反射定律
Q点发出的光经 反射面Σ到达P点
P’是P点关于Σ 面的对称点。
P，Q，O三点 确定平面Π。
直线QP’与反射 面Σ交于O点。
nQO OP
则易知当i’=i时，QO + OP为光程最短的路径。
•直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一定 几何路程所需要的时间。
t nl ct cc
•光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真空
中所能传播的路程。
分区均匀介质:
k
nili
i 1
,
t
c
1 c
k i 1
nili
连续介质:
ndl (l)
二、费马原理
1.表述：光在空间两定点间传播时，实际光程为一特 定的极值。
'
nl
nl '
n r 2 r s 2 2 r r s cos
n
r 2
s '
2
r
2
r s '
r cos
A
l
i -i` l '
P
-u
-u`
C
P` -s` O
-r
-s
对给定的物点，不同的入射点，对应着不同
的入射线和反射线，对应着不同的 。
由费马原理可知 :当 d PAP' 0 时,
2. 光的折射反射定律：
(1) 光的反射定律：反射线位于入射面内，反射线和 入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，即
第一章 几何光学(1)
AP OP , AP OP
n i A
P
O
n' r i
C
P'
则入射角i和折射角i'都很小，有 tan i sin i i, tan i sin i i
n OP CP PC n OP
(2)
(2)式表明，在傍轴条件下，象点P'的位置与入射光 线在球面上A点的位置无关，也即说，从P点发出的傍轴 光线，经折射后都通过同一P'点，P'点就是P点的象。
x2 x 故:
A x1 , y1 ,0
N
M
i1
C
x,0,0 C' x2 , y2 ,0
B
P
x,0, z i2
N'
x
x1 x x2
n1 ( x x1 )
2 ( x x1 ) 2 y1
即: 折射线 、 入射线分居法线两侧
将z = 0代入(1)式得:
①直线传播定律：（在均匀介质中）
在均匀介质中，n = const. ∴
A n ds n A ds
B
B
而由公理：两点间直线距离最短，∴ ② 折射定律：（在非均匀介质中）
A ds 的极小
B
值为直线 AB ，故：光在均匀介质中沿直线传播。 如图示：A点发出的光线入射到两种介质的平面 分界面P上，经C点折射后到达B点。下面的任务是 要确定实际光线的路径。过A、B两点作垂直于P平 面的平面M，它们的交线取作x轴，z轴在P平面内。 y轴在M平面内，A、B、C 三点的坐标如图所示。
(5) 物点和象点:
虚象点 实物点
n i A
P
O
n' r i
C
P'
则入射角i和折射角i'都很小，有 tan i sin i i, tan i sin i i
n OP CP PC n OP
(2)
(2)式表明，在傍轴条件下，象点P'的位置与入射光 线在球面上A点的位置无关，也即说，从P点发出的傍轴 光线，经折射后都通过同一P'点，P'点就是P点的象。
x2 x 故:
A x1 , y1 ,0
N
M
i1
C
x,0,0 C' x2 , y2 ,0
B
P
x,0, z i2
N'
x
x1 x x2
n1 ( x x1 )
2 ( x x1 ) 2 y1
即: 折射线 、 入射线分居法线两侧
将z = 0代入(1)式得:
①直线传播定律：（在均匀介质中）
在均匀介质中，n = const. ∴
A n ds n A ds
B
B
而由公理：两点间直线距离最短，∴ ② 折射定律：（在非均匀介质中）
A ds 的极小
B
值为直线 AB ，故：光在均匀介质中沿直线传播。 如图示：A点发出的光线入射到两种介质的平面 分界面P上，经C点折射后到达B点。下面的任务是 要确定实际光线的路径。过A、B两点作垂直于P平 面的平面M，它们的交线取作x轴，z轴在P平面内。 y轴在M平面内，A、B、C 三点的坐标如图所示。
(5) 物点和象点:
虚象点 实物点
第一章_费马原理1-1(10)
（传光束） （传像束）
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤
(c) 光通信优点： 1) 低损耗 窗玻璃 几千分贝/公里 光学玻璃 500分贝/公里 雨后清澄的大气 1分贝/公里 石英光纤 0.2分贝/公里
liyuhong
2) 信带宽、容量大、速度快 3) 电气绝缘性能好 无感应 无串话 4) 重量轻 线径细 可绕性好 5) 耐火 耐腐蚀 可用在许多恶劣环境下 6) 资源丰富 价格低
δ min + α
2
由折射定律可得
n=
liyuhong
sin
δ +α
min
sin
α
2 2
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤 2. 光学纤维(optical fibers)
(a) 原理
光进入光学纤维后,多次 在内壁上发生全内反射, 光从纤维的一端传向另 一端.
liyuhong
光学纤维:中央折射率 大,表层折射率小的透 明细玻璃丝.
35
A
B
(3) 光程为最大值
M
D D′ M′
A
B
liyuhong
§1-2 几何光学/费马原理
(4) 光程为拐点
A
B
由于实际光线相应于光程拐点这种情况在实际中较少遇 到；费马原理也常粗略地表示为： 空间中两点间的实际光线路径，与其他相邻的可能路 径相比较，其光程（或传播时间）取极值——光程 （时间）极值原理
3
§1-1 几何光学/基本规律 1-1-1 几何光学的实验定律
1. 光的直线传播(rectilinear propagation)定律 在均匀的各向同性透明介质中，光沿直线传播。 现象： (1) 投影(shadow);
光学 第3章 几何光学的基本原理
(1) 偏向角
i1
又
i2
i2
i2 '
i1'i2
A
'
i1 i1' A
(2) 最小偏向角0
当i1改变时 、i1'均随之而改变，当 i1 i1'时，偏向角取最小 0。
0 2i1 A
A
此时在棱镜内传播的光线平行于底边，有:
i2
i2 '
A 2
，i1
i1'
0
2
A
2. 棱镜的折射率
3、折射定律：(1) 折射线在入射线和法线决定的平面内； (2) 折射线、入射线分居法线两侧； (3) 折射角和入射角满足斯涅尔定律：n1sini1=n2sini2
i1 i1'
n1
n2
i2
7 反射和折射定律光路图
3、光的独立传播定律：几个光源发出的光在空间传播并相遇后， 它们将各自保持自己原有的特性(频率、波长、偏振状态)沿原来 的方向继续传播，互不影响。 4、光路可逆原理：当光线的方向反转时，它将逆着同一路径传 播，称为光路可逆原理。
i2 i2
A2 x2,0
i1 i1
B2 n2
x
n1
晰，像的深度由上式确定，y‘ 叫做像似深度 ，y是物的实际深度。
20
(3)像散现象：当i1≠0，即入射光束倾斜入射时，折射光线会发生像散现象。如沿 着倾斜的角度观察水中的物体时，像的清晰度由于像散而被破坏。
例1: 使一束向P点会聚的光在到达P点之前通过一平行玻璃板。如果将玻璃板 垂直于光束的轴竖放，问会聚点将朝哪个方向移动？移动的距离为多少？
A1 A2
P
P'
M
第三章几何光学基本概念与费马原理
, 经 反F 2
，即所
2、内切于旋转椭球的凹面镜 F1
DD
D
F2
A D’
F 则 处发出的光要经凹面镜反射到达 点的途径是 2
F2 AF1
F2 AF1
F ，因
的光程极大。 1
3、外切于椭球的平面镜
3、外切于椭球的平面镜 F1
D A D’
F2
F 则 处发出的光要经平面镜反射到达 点的途径是 2
F2 AF1
A
B
2、反射定律
xoz n n A, B x oy 是两介质 , 的分界面； 是
平面内的两个固定点，且 在同种均匀介质中，则从A点发
出的光线经分界面反射到达 点的轨迹如何？
A, B
B
设从 A 点发出的光线入射到分界面 xoz ，平面上的 C 点（ x,0, z ）， 在 C 点反射到 B 点，设 A（x1,y1,0），B（ x2 , y2 ,0 ）
教学要求
（1）理解光线和光束的概念 （2）理解物和像的概念，掌握物、像虚实的实质及判断。 （3）掌握几何光学基本定律，并应用它讨论一些问题。 （4）了解由惠更原理，费马原理导出几何光学基本定律，了解费马原理在光学中的地位及作用。 （5）掌握几何光学中的符号法则。
（6）掌握用物像公式寻找成像规律。 （7）掌握以光线作图法寻找成像规律。 （8）熟练掌握正确运用物像公式和光线作图法求解单球面、薄透镜及简单光具组的成像问题。
F2 AF1
F ，因
的光程极小。 1
4、抛物面镜 A1
P1
Q1
证明如下：
O’ O
F
A2
P2
Q2
F是抛物面镜的焦点，由抛物线的性质。
F 1 P 1 Q P 1 F 2 P 2 Q P 2 F O O O
第一章几何光学的近轴理论
Φ不同，s′不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性
• 欲使折射光线保持同心性，必须(1)满足 近轴（傍轴）条件 ，即
0
s s 2 2 n (s r ) n 2 ( s r ) 2
2
sin
2
2
2 r r 2 ] [ 2 4sin 2 ( s r ) n 2 n (s r )
P
光具组： L(QP) n1l1 n2l2 ni li 变折射率介质： L(QP) Q n(r )ds
i
二、费马原理
费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是 光程平稳的路径。（1679年）
L(QP ) n(r )ds
Q (l ) P
平稳值
平稳值的三种基本的含义： 极小值常见情况， 常数成像系统的物像关系 极大值个别现象
物和像都是由一系列的点构成的，物点 和像点一一对应（几何光学上称作物像 共轭） 成像的最基本条件是要满足同心光束的 不变性。 从整个物和像的对应关系看，还必须要 满足物像间的相似性。 空间上，各个点之间的相互位置要一一 对应，同时每一对物像点的颜色要一一 对应。 要求成像的光学系统不产生畸变，没有 像差、色差、像散、慧差，„„等等。
虚光程
• 按照费马原理，物像 之间应该是等光程的
n AB1 n B1 A n AB2 n B2 A
上式对任意方向光线成立 n AB1 nB1 A n AB2 n B2 A 的条件为等式的值为0 则平面下方的折射率为
n n
虚光线的光程称作虚光程
四、物方和像方
sin i1 / sin i2
只与两种介质有关，折射率 介质1
第一章 几何光学
第一章 几何光学
以光线概念为基础研究光的 传播和成像规律
§1.1 光线传播的基本定律
一.几何光学的实验定律
1.光的直线传播定律。（各向同性介质中）
共面
2.反射定律和折射定律：
分于法线两侧 角度关系
3.光的独立传播定律和光路可逆原理（各向同性介质中）
几何光学中常用的器件-----棱镜
作用：改变光路 色散分光
s
2 2 2
n (s r)
n
s
/2
/2
0
/ 2
(s r )
1 n (s r )
2
n
1
/2
0
(s r)
/
求出上两式联立方程的解，可得一对特殊的共轭点， 称为球面折射的齐明点或不晕点 对一对齐明点，宽光束经球面折射仍能成像。
（二）把光束限制在傍轴区，即
则有：
2
cos 1
共轴球面系统的基点基面
(1) 焦点与焦平面
焦平面的普遍意义：顶点位于焦平面上的光束，其共轭光束为平行光束； 顶点位于焦点上的光束，其共轭光束与主光轴平行。 物（像）方焦点F（ F'）：与无限远处像（物）点共轭的轴上物（像）点。 物（像）方焦平面：过物（像）方焦点F（ F' ）的垂轴平面。
2
在傍轴区d<<s，s/，|r|；略去二阶以上无穷小量得
d (r s) PM s 1 2 s
d (r s' ) M P s ' 1 2 s'
因此，光程
d (r s) d (r s' ) [ PMP ' ] ns 1 2 2 ns ' 1 s s'
以光线概念为基础研究光的 传播和成像规律
§1.1 光线传播的基本定律
一.几何光学的实验定律
1.光的直线传播定律。（各向同性介质中）
共面
2.反射定律和折射定律：
分于法线两侧 角度关系
3.光的独立传播定律和光路可逆原理（各向同性介质中）
几何光学中常用的器件-----棱镜
作用：改变光路 色散分光
s
2 2 2
n (s r)
n
s
/2
/2
0
/ 2
(s r )
1 n (s r )
2
n
1
/2
0
(s r)
/
求出上两式联立方程的解，可得一对特殊的共轭点， 称为球面折射的齐明点或不晕点 对一对齐明点，宽光束经球面折射仍能成像。
（二）把光束限制在傍轴区，即
则有：
2
cos 1
共轴球面系统的基点基面
(1) 焦点与焦平面
焦平面的普遍意义：顶点位于焦平面上的光束，其共轭光束为平行光束； 顶点位于焦点上的光束，其共轭光束与主光轴平行。 物（像）方焦点F（ F'）：与无限远处像（物）点共轭的轴上物（像）点。 物（像）方焦平面：过物（像）方焦点F（ F' ）的垂轴平面。
2
在傍轴区d<<s，s/，|r|；略去二阶以上无穷小量得
d (r s) PM s 1 2 s
d (r s' ) M P s ' 1 2 s'
因此，光程
d (r s) d (r s' ) [ PMP ' ] ns 1 2 2 ns ' 1 s s'
费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律
费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。
例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。
如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。
此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
一平凸透镜的折射率为 n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。
在透镜外主光轴上取一点 F ， OF f （图 1-3-8 ）。
当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于 F 点。
试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（ 2）透镜顶点 A与点 O相距多少？（ 3）对透镜的孔径 R有何限制？解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于 F 的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线 BF 与任一条光线 NM F 的光程应相等。
由此可以确定凸面的方程。
其余问题亦可迎刃而解。
（1）取 o xy 坐标系如图，由光线 BF 和 NM F 的等光程性，得2 2 2 2nx ( f x) y f R整理后，得到任一点 M（x，y）的坐标 x，y 应满足的方程为1 ( ) 1 ( 1)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n nf f R y n n f R f n x 令 1 2 2 2 0 n n f R f x ， 1 2 2 2 n nf f R a，则上式成为2 2 2 0 2 (n 1)(x x ) y a这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。
（2）透镜顶点 A的位置应满足2 2 0 2 (n 1)( xA x ) axyBAM（x，y）nRf ′ F′ 图 1-3-8或者 1 1 2 2 2 n f R f n a x A x O可见，对于一定的 n 和 f ， xA 由 R决定。