圆与二次函数结合的中考数学压轴题

中考复习2023年中考数学压轴大题专题二次函数与圆压轴问题【例1】（2022年江苏省常州市北郊初级中学中考二模数学试题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0)，且与y轴交于点(0,1)，B点坐标为(2,2)，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．(1)求此二次函数的表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN 的长；(3)当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．【例2】．（必刷卷05-2022年中考数学考前信息必刷卷（湖南岳阳专用））已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线x＝32．(1)求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；(2)圆O′经过点△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，△BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；(3)在（2）的条件下，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得△PDB＝△CAD？如果存在，请求经典例题出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．【例3】．（2022年江苏省徐州市九年级下学期第二次模拟数学试题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x轴交于A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点(0,2)．(1)求此二次函数的表达式；(2)点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB、QC的数量关系，并说明理由．(3)E点为该图像在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为______．x2+bx+c的图象经【例4】（2022年云南省德宏州初中学业水平考试模拟监测数学试题）二次函数y=34过点A（－1，0）和点C（0，－3）与x轴的另一交点为点B．(1)求b，c的值；(2)定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：√10为半径作△Q，使△Q是二次函数y=在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，以点Q为圆心，5634x2+bx+c的坐标圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP//y轴，交二次函数的图象于点P，以M为圆心，MP为半径作△M，当△M与坐标轴相切时，求出CMMB的值．专题31二次函数与圆压轴问题1．（湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022-2023学年九年级上学期1月考数学试题）如图，已知抛物线经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，点D是直线BC绕点B逆时针旋转90°后与y轴的交点，点M是线段AB 上的一个动点，设点M的坐标为(m,0)，过点M作x轴的垂线交抛物线于点E，交直线BD于点F．(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求m的值；(3)连接AC，将△AOC绕平面内某点G旋转180°后，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1，是否存在点G使得△AOC旋转后得到的△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，直接写出G 点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（专题16二次函数中的相似三角形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版））如图，一次函数y=−2x的图象与二次函数y=−x2+3x图象的对称轴交于点B．培优训练(1)写出点B的坐标；(2)将直线y=−2x沿y轴向上平移，分别交x轴于点C、交y轴于点D，点A是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当△AOB的面积取最大值时，点C的坐标；(3)已知点P是二次函数y=−x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若△PCD的外接圆直径为PC，试问：以P、C、D为顶点的三角形与△COD能否相似？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．3．（福建省泉州市鲤城区第七中学2022-2023学年九年级下学期数学期末质量检测）如图(1)所示，y关于x的(x+m)(x−3m)(m>0)图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D二次函数y=−√33m点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为(−3,0)，连接ED．(1)写出A、B、D三点的坐标；(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系；(3)当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．4．（第5章二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（苏科版））如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点(0,2)．(1)求此二次函数的表达式；(2)点Q在以BC为直径的圆上(点Q与点O，点B，点C均不重合)，试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．(3)E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为．5．（湖南省长沙麓山外国语实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）已知二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为(−1，0)，与y轴负半轴交于点C(0，−2)，其对称．轴是直线x=32(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；(2)圆O′为△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与△BCD相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．6．（湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次随堂测数学试卷）如图，x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(−3,0)，以点A为圆心作圆A，与该二次函数的二次函数y=−56图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为−2，−5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．(1)求该二次函数的关系式；(2)经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB=∠ABM，连接AE，求证：AE=AD；(3)若直线y=kx+1与圆A相切，请求出k的值．7．（专题30圆与二次函数结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．8．（北京市朝阳区汇文中学朝阳垂杨柳分校2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y 与其横坐标x 的差y﹣x 称为P 点的“坐标差”，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．(1)△点A（1，3）的“坐标差”为；△抛物线y=−x2+3x+3的“特征值”为；(2)某二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C 分别是此二次函数的图象与x 轴和y 轴的交点，且点 B 与点C 的“坐标差”相等．△直接写出m＝；（用含c的式子表示）△求此二次函数的表达式．(3)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线y＝x 相交于点D、E，请直接写出△M 的“特征值”为．9．（湖南省长沙市中雅培粹学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，已知抛物线经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，点D是直线BC绕点B逆时针旋转90°后与y轴的交点，点M是线段AB上的一个动点，设点M的坐标为(m,0)，过点M作x轴的垂线交抛物线于点E，交直线BD于点F．(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求m的值；(3)连接AC，将ΔAOC绕平面内某点G旋转180°后，得到ΔA1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1，是否存在点G使得ΔAOC旋转后得到的ΔA1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出G点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（湖南省长沙市一中双语实验学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知二次函数y= ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）、B（−3，0），与y轴的正半轴交于点C．(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，√2为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．11．（广东省深圳市龙华区龙华区高峰学校2021-2022学年九年级下学期第三次月考数学试题）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．(1)若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式．(2)若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022年山东省济宁市任城区济宁学院附属中学九年级第二次模拟考试试题）如图，已知二次函数y= ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)、B(−3,0)，与y轴的正半轴交于点C(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，√2为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P 的坐标；若不存在，说明理由13．（2022年山东省济宁市金乡县中考二模数学试题）已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：(2)当△P AC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）14．（江苏省盐城市大丰区新丰初级中学2021-2022学年九年级下学期新课程结束考试数学试题（一模））如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA△OB．(1)若点B的坐标是（2，m），则点A的坐标是；(2)过点B作BC△x轴，垂足为C，若△AOB与△OBC相似，求cos△OBA．(3)在（1）问的条件下，若点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH垂直于X轴于点H，交线段AB 于点F，以EF为直径的圆M与AB交于点R，求当△EFR周长取最大值时E点的坐标；(4)在（3）问的条件下，以BH为直径作圆N，点P为圆N上一动点，连接AP，Q为AP上一点且AQ=12AP，连接HQ，求OQ的最小值；15．（2022年广西河池市凤山县中考模拟（二）数学试题）如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且tan△OAC＝1．(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．16．（湖北省鄂州市吴都中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan△ACO＝13．(1)求这个二次函数的表达式；(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．17．（2022年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区一模数学试题）如图，已知二次函数y=−14x2+32x+4的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC；(1)求顶点D的坐标；(2)求直线BC的解析式；(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值；(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由18．（专题09二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P（2，2），以P为圆心，√5为半径作圆．请判断△P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若△CPD＝120°，求a的值．19．（湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年九年级下学期第二次模拟考试数学试题）已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（−4，0），C（0，4），点F为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FH⊥x 轴于点H，交直线BC于点D，以FD为直径的圆△M与BC交于点E．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形EFD周长最大时．求此时点F点坐标及三角形EFD的周长；（3）在（2）的条件下，点N为△M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．20．（江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B(3,0)两点，与y轴交于C(0,−2)，对称轴为直线x=5，连接BC，在直4线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图像于点N，交x轴于点M，(1)求抛物线与直线BC的函数解析式；(2)设点M的坐标为(m,0)，求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值：(3)若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在请直接写出点P 的坐标，若不存在，请写出理由．。

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。

由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。

“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。

解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）． （1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。

中考数学总复习《二次函数与圆综合压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()0,4C -，顶点为253,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点． 以AB 为直径作圆，记作D ．(1)求抛物线表达式及点D 的坐标；(2)试判定直线CM 与D 的位置关系，并说明理由；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，连接CP ，将线段CP 绕点P 旋转90︒，点C 的对应点为点C '，是否存在点C '恰好落在抛物线上？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．2．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（1），点P 是线段BC 上的一动点，过点P 作PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，连接CQ ，若CQ 平分OCB ∠，求点P 的坐标；(3)如图（2），过A ，B ，C 三点作I ，直线()3y t t =>交I 于点M ，N ，交抛物线于点E ，F ． 若EM FN MN +=，求t 的值3．如图，在平面直角坐标系中，M 交x 轴于点()()1,04,0A B -、，交y 轴负半轴于点C AB ，为M 的直径．(1)求图象经过点A 、B 、C 的二次函数的解析式；(2)设点D 为（1）中二次函数图象的顶点，求直线CD 的函数解析式； (3)判断直线CD 与M 的位置关系，并说明理由．4．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()1222y x x m =+-与x 轴交于()2,0A -、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．(1)连接BC ，则OCB ∠=______︒；(2)如图2，若P 经过A 、B 、C 三点，连接PA 、PC ，若OBC △与PAC △的周长之比为3:5，求该抛物线的函数表达式；(3)如图3，在（2）的条件下，连接OP ，抛物线对称轴上是否存在一点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OAP △相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5．已知二次函数22y x ax c =+-的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B 、C ．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，求点D 的坐标；(3)如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明．8．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()0,4C -．顶点为253,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点．以AB为直径作圆，记作D ．(1)求抛物线解析式及点D 的坐标；(2)猜测直线CM 与D 的位置关系，并证明你的猜想；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，若将线段CP 绕点P 逆时针旋转90︒，使点C 的对应点C '恰好落在抛物线上？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．为半径作圆，请判断P是不是二次函数轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为求POA周长最小值．．如图，抛物线作C的切线切点为点11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点，且4OB OC ==．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使ABC BCM ∠=∠，如果存在，求M 点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D 是抛物线第二象限上一动点，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点A 、B 、D 的圆与DF 交于E 点，求ABE 的面积．12．如图，二次函数()20y x bx c a =-++≠的图像经过点()1,0A -和()3,0B ，交y 轴于点C ，点E 为该二次函数图象上第一象限内一动点．(1)b =__________，c =__________；PBEPACSS-的值最大时，求点交直线BC 于点F ，为直径的M 与BC 当EFR 周(1)如图1，若1OH =，求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P 是线段HD 上一点，当113AH AD AP+=时，求点P 的坐标（用含b 的代数式表示）； (3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y 轴于点C ，过A ，B ，C 三点作Q ，经过点Q 的直线y hx q =+交Q 于点F ，I ，交抛物线于点E ，G ．当EI GI FI =+时，求22h 的值．15．二次函数2225y x mx m m =-++-．(1)当1m =时，函数图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． ①写出函数的一个性质；①如图1，点P 是第四象限内函数图象上一动点，求出点P 坐标，使得BCP 的面积最大；①如图2，点Q 为第一象限内函数图象上一动点，过点Q 作QF x ⊥.轴，垂足为F ，ABQ 的外接圆与QF 交于点D ，求DF 的长度；(2)点()11,M x y 、()22,N x y 为函数图象上任意两点，且12x x <.若对于123x x +>时，都有12y y <，求m 的取值范围．参考答案是D 的切线152738t +=(3)直线CD 与M 相切()24-， 0a =；BN 32S ⎧-⎪⎪=⎨与D 相切(3))3-或45⎛- ⎝4)-(3)ABE S △的坐标315,⎛⎫与C 相切第 11 页 共 11 页 15．【答案】(1)①函数图象的顶点坐标为()1,4-；①278；①1DF =(2)32m <。

圆与二次函数结合型压轴题专题通用的解题思路：一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。

二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r ，第二步，表示出圆心到直线的距离d ，第三步，比较半径r 和距离d 的大小：若半径r >距离d ，则直线与圆相交，若半径r =距离d ，则直线与圆相切，若半径r <距离d ，则直线与圆相离。

三、记直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |的常用方法弦长公式：AB =2r 2-d 21(长沙中考)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0，2)．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设⊙P 与x 轴相交于M (x 1，0)，N (x 2，0)(x 1<x 2)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，∴抛物线的一般式为：y =ax 2，∴116=a (a )2，解得：a =±14，∵图象开口向上，∴a =14，∴抛物线解析式为：y =14x 2，故a =14，b =c =0；(2)设P (x ，y )，⊙P 的半径r =x 2+y -2 2，又∵y =14x 2，则r =x 2+14x 2-2 2，化简得：r =116x 4+4>14x 2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设P (t ，14t 2)，∵r 2-y 2=4，∴MH =NH =2，∴M (t -2，0)，N (t +2，0)，A (0，2)，∵△AMN 为等腰三角形，∴AM =AN ，AM =MN ，AN =MN ，(t -2)2+(2-0)2=(t +2)2+(2-0)2，∴t =0，(t -2)2+(2-0)2=42，∴t =2±23，(t +2)2+(2-0)2=42，∴t =-2±23，①当t =0时，P 的纵坐标为0，②当t =2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，③当t =-2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，综上所述，P 的纵坐标为：0或4+23或4-23．2(岳麓区校级月考)如图，已知直线l ：y =-1和抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ≠0)，抛物线L 的顶点为原点，且经过点A 2a ,14，直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且x 1<x 2．(1)求抛物线L 的解析式；(2)点P 是抛物线L 上一动点．①以点P 为圆心，PF 为半径作⊙P ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；②若点Q (2，3)，当|PQ -PF |的值最大时，求点P 的坐标；(3)求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y =ax 2，将点A 坐标代入上式得：14=a (2a )2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2⋯①；(2)①点F (0，1)，设：点P (m ，14m 2)，则PF =m 2+14m 2-1 2=14m 2+1，而点P 到直线l 的距离为：14m 2+1，则⊙P 与直线l 的位置关系为相切；②当点P 、Q 、F 三点共线时，|PQ -PF |最大，将点FQ 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线FQ 的函数表达式为：y =x +1⋯②，联立①②并解得：x =2±22，故点P 的坐标为：(2+22，3+22)或(2-22，3-22)；(3)将抛物线的表达式与直线y =kx +1联立并整理得：x 2-4kx -4=0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4，设直线BC 的倾斜角为α，则tan α=k ，则cosα=1k 2+1，则BC =x 2-x 1k 2+1=4(k 2+1)，则12BC =2k 2+2，设BC 的中点为M (2k ，2k 2+1)，则点M 到直线l 的距离为：2k 2+2，故直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．3在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =14x 2+mx +n 的图象经过点A (2，0)和点B (1，-34)，直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t (t ≥0)的变化规律为y 1=-34+2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=-1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．【解答】解：(1)将点A (2，0)和点B (1，-34)分别代入y =14x 2+mx +n 中，得：14×4+2m +n =014+m +n =-34 ，解得：m =0n =-1 ，∴抛物线的解析式：y =14x 2-1；(2)①将P 点纵坐标代入(1)的解析式，得：14x 2-1=-34+2t ，x =8t +1，∴P (8t +1，-34+2t )，∴圆心C (8t +12，-38+t )，∴点C 到直线l 的距离：-38+t -(-1)=t +58；而OP 2=8t +1+(-34+2t )2，得OP =2t +54，半径OC =t +58；∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t -58=t +58，t =54；∴当0<t <54时，直线l 与⊙C 相交；Ⅱ、∵0<t <54时，圆心C 到直线l 的距离为d =|2t -58|，又半径为r =t +58，∴a 2=4(r 2-d 2)=4[(t +58)2-|2t -58|2]=-12t 2+15t ，∴t =58时，a 的平方取得最大值为7516．4(长沙中考)如图半径分别为m ，n (0<m <n )的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P (4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．(1)求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；(2)求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；(3)令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为s 1-s 2 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)由题意可知O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，设过点O 1，O 2的直线解析式为y =kx +b ，则有：mk +b =m nk +b =n (0<m <n )，解得k =1b =0 ，∴所求直线的解析式为：y =x ．(2)由相交两圆的性质，可知P 、Q 点关于O 1O 2对称．∵P (4，1)，直线O 1O 2解析式为y =x ，∴Q (1，4)．如解答图1，连接O 1Q ．∵Q (1，4)，O 1(m ，m )，根据两点间距离公式得到：O 1Q =m -1 2+m -4 2=2m 2-10m +17，又O 1Q 为小圆半径，即QO 1=m ，∴2m 2-10m +17=m ，化简得：m 2-10m +17=0①如解答图1，连接O 2Q ，同理可得：n 2-10n +17=0②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x 2-10x +17=0③的两个根，解③得：x =5±22，∵0<m <n ，∴m =5-22，n =5+22．∵O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，∴d =O 1O 2=m -n 2+m -n 2=8．(3)假设存在这样的抛物线，其解析式为y =ax 2+bx +c ，因为开口向下，所以a <0．如解答图2，连接PQ ．由相交两圆性质可知，PQ ⊥O 1O 2．∵P (4，1)，Q (1，4)，∴PQ =4-1 2+1-4 2=32，又O 1O 2=8，∴S 1=12PQ •O 1O 2=12×32×8=122；又S 2=12(O 2R +O 1M )•MR =12(n +m )(n -m )=202；∴s 1-s 2 2d =122-202 2×8=1，即抛物线在x 轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P (4，1)，Q (1，4)，∴16a +4b +c =1a +b +c =4 ，解得b =-5a +1 c =5+4a，∴抛物线解析式为：y =ax 2-(5a +1)x +5+4a ，令y =0，则有：ax 2-(5a +1)x +5+4a =0，设两根为x 1，x 2，则有：x 1+x 2=5a +1a ，x 1x 2=5+4a a，∵在x 轴上截得的线段长为1，即|x 1-x 2|=1，∴(x 1-x 2)2=1，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，即(5a +1a )2-4(5+4a a )=1，化简得：8a 2-10a +1=0，解得a =5±178，可见a 的两个根均大于0，这与抛物线开口向下(即a <0)矛盾，∴不存在这样的抛物线．5(广益)如图1，已知一次函数y =-x +4与反比例函数y =3x相交于P ，Q 两点(P 在Q 的右侧)．(1)求P ，Q 的坐标并写出△OPQ 的面积；(2)如图2，已知M (m ，m )，N (n ，n )，其中(0<m <n )，若分别以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，并且点P 既在⊙M 上又在⊙N 上．①求直线MN 的解析式；②求出线段MN 的长度d ；(3)在(2)的前提上，记四边形PMQN 的面积为S 1，四边形AMNB 的面积为S 2，已知抛物线y =ax 2+bx +c 满足两个条件：①经过点P 和点Q ，②该抛物线截x 轴得到的线段长度为s 1-s 2 d，请求出抛物线二次项系数a 的值．【解答】解：(1)由题意得：y =-x +4y =3x．解这个方程组得：x 1=1y 1=3 ，x 2=3y 2=1 ．∵P 在Q的右侧，∴P (3，1)，Q (1，3)．设直线PQ 交x 轴于点C ，如图，则C (4，0)．∴OC =4．过点Q 作QE ⊥OC 于E ，过点P 作PF ⊥OC 于F ，则QE =3，PF =1．∴S △OPQ =S △OQC -S △OPC =12×OC ×QE -12OC ×PF =6-2=4．(2)①∵M (m ，m )，N (n ，n )，∴直线MN 的解析式为：y =x ．②∵以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，∴MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．过点P 作PE ⊥MA 于E ，PF ⊥NB 与，过点M 作MG ⊥NB 于G ，如图，则∠NMG =45°．∴MN =2MG ．∵M (m ，m )，N (n ，n )，P (3，1)，∴MA =m ，NB =n ，PE =3-m ，PM =3-m 2+m -1 2，ME =m -1，PF =n -3，NF =n -1．∵点P 既在⊙M 上又在⊙N 上，∴PM =MA ，PN =NB ．∴PM 2=MA 2，PN 2=NB 2．∴(3-m )2+(m -1)2=m 2，(n -3)2+(n -1)2=n 2．整理得：m 2-8m +10=0，n 2-8n +10=0．∴m ，n (0<m <n )是方程x 2-8x +10=0的两个根．∴m +n =8，mn =10．∴(n -m )2=(m +n )2-4mn =24．∴n -m =26．∵MG =AB =n -m ，∴MG =26．∴MN =2MG =43，∴d =43．(3)抛物线y =ax 2+bx +c 满足经过点P 和点Q ，∴a +b +c =39a +3b +c =1．∴b =-1-4a c =3a +4 ．∵S 1=12PQ ×MN =12×22×43=46，S 2=12MA +MB ⋅AB =12m +n ×n -m =12×8×26=86，∴s 1-s 2 d =4643=2．设抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1-x 2|=2．∴x 1-x 2 2=2．∴x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2．∵x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，∴x 1+x 2=-b a ，x 1⋅x 2=c a ．∴-b a 2-4×c a =2．∴-1-4a a 2-4×3a +4a=2．整理得：2a 2-8a +1=0．解得：a =4±14．∴抛物线二次项系数a 的值为：4+14或4-14．6已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠O )经过X 轴上的两点A (x 1，0)、B (x 2，0)和y 轴上的点C (0，-32)，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =3a ，AB =23，(1)求抛物线的解析式；(2)设D 在抛物线上，且C ，D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ，并说明理由；(3)设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过E 点的⊙P 的切线的解析式．【解答】解：(1)∵轴上的点C (0，-32)，∴c =-32，又∵b =3a ，AB =23，令ax 2+3ax -32=0，|x 1-x 2|=23，解得：a =23，b =233；∴抛物线的解析式是：y =23x 2+233x -32．(4分)(2)D (-3，-32)，直线B D 为：y =33x -12，连接BP ，设⊙P 的半径为R ，R 2=32 2+32-R 2，R =1，P (0，-12)，点P 的坐标满足直线BD 的解析式y =33x -12．∴直线B D 经过圆心P ．(3)过点E 作EF ⊥y 轴于F ，得△OPB ≌△FPE ，E (-32,-1)，设经过E 点⊙P 的切线L 交y 轴于点Q ．则∠P EQ =90°，EF ⊥PQ ，∴P E 2=P F •PQ ，∴PQ =2，Q (0，-2.5)，∴切线L 为：y =-3x -2.5．7(青竹湖)定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．(1)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A (0，-3)为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；(2)若抛物线y =ax 2(a ≠0)与直线y =kx +b (k ≠0)相切于点(2，2)，求直线的解析式；(3)若函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，且当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：(1)如图1，连接AB ，记过点B 的⊙A 切线交y 轴于点E ，∴AB =5，∠ABE =90°，∵A (0，-3)，∠AOB =90°，∴OA =3，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴B (-4，0)，∵∠OAB =∠BAE ，∠AOB =∠ABE =90°，∴△OAB ∽△BAE ，∴AB AE =OA BA ，∴AE =AB ⋅BA OA =253，∴OE =AE -OA =253-3=163，∴E (0，163)，设直线BE 解析式为：y =kx +163，∴-4k +163=0，解得：k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163，方法二：设直线BE 的解析式为y =k (x +4)，∴E (0，4k )，∴AB =5，AE =4k +3，BE =42+4k 2，由勾股定理可得，AB 2+BE 2=AE 2，∴25+16+16k 2=16k 2+9+24k ，∴k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163；(2)∵抛物线y =ax 2经过点(2，2)，∴4a =2，解得：a =12，∴抛物线解析式：y =12x 2，∵直线y =kx +b 经过点(2，2)，∴2k +b =2，可得：b =2-2k ，∴直线解析式为：y =kx +2-2k ，∵直线与抛物线相切，∴关于x 的方程12x 2=kx +2-2k 有两个相等的实数根，方程整理得：x 2-2kx +4k -4=0，∴△=(-2k )2-4(4k -4)=0，解得：k 1=k 2=2，∴直线解析式为y =2x -2，(3)∵函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，∴关于x 的方程14x 2+(n -k -1)x +m +k -2=-x 有两个相等的实数根，方程整理得：14x 2+(n -k )x +m +k -2=0，∴△=(n -k )2-4×14(m +k -2)=0，整理得：m =(n -k )2-k +2，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x =k ，∵当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，①如图2，当k <-1时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而增大，∴n =-1时，m 取得最小值k ，∴(-1-k )2-k +2=k ，方程无解，②如图3，当-1≤k ≤2时，n =k 时，m 取得最小值k ，∴-k +2=k ，解得：k =1，③如图4，当k >2时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而减小，∴n =2时，m 取得最小值k ，∴(2-k )2-k +2=k ，解得：k 1=3+3，k 2=3-3(舍去)，综上所述，k 的值为1或3+3．8(麓山国际)如图，经过定点A 的直线y =k (x -2)+1(k <0)交抛物线y =-x 2+4x 于B ，C 两点(点C 在点B 的右侧)，D 为抛物线的顶点．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图(1)，若△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，求k 的值；(3)如图(2)，以AC 为直径作⊙E ，若⊙E 与直线y =t 所截的弦长恒为定值，求t 的值．【解答】解：(1)∵A 为直线y =k (x -2)+1上的定点，∴A 的坐标与k 无关，∴x -2=0，∴x =2，此时y =1，∴点A 的坐标为(2，1)；(2)∵y =-x 2+4x =-(x -2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2，4)，∵点A 的坐标为(2，1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2-2=2(2-x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立y =x 2+4x y =kx -2k +1 ，得x 2+(k -4)x -2k +1=0，①解得x 1=4-k -k 2+122，x 2=4-k +k 2+122，∴2×4-k -k 2+122+4-k +k 2+122=6，化简得：k 2+12=-3k ，解得k =-62．另解：接上解，由①得x 1+x 2=4-k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k )2+(k -4)(2+k )-2k +1=0，解得k =±62．∵k <0，∴k =-62；(3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a ，-a 2+4a )．∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E -x A =x C -x E ，y E -y A =y C -y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C )．∴E (1+a 2，-a 2+4a +12)．分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=1+a 2-2 2+-a 2+4a +12-1 2=a 2-1 2+-a 2+4a +12-1 2，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH=2PH，EP2=-a2+4a+12-t 2，又∵AE=EH，∴GH2=4PH2=4(EH2-EP2)=4(EA2-EP2)=4[a2-12+-a2+4a+12-12--a2+4a+12-t2]=4[a24-a+1+-a2+4a+12-12-(-a2+4a+1)+1--a2+4a+122+t(-a2+4a+1)-t2]=4[(54-t)a2+(4t-5)a+1+t-t2]．∵GH的长为定值，∴5 4-t=0，且4t-5=0，∴t=54．9(长郡)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14x-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问AP-BPPN是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．【解答】解：(1)如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是(5，4)，∴CM⊥y轴，即C(0，4)，⊙M的半径为5，∴AM=5，DM=4，∴AD=DB=AM2-DM2=52-42=3，∴OA=5-3=2，∴A(2，0)，B(8，0)；(2)证明：将A(2，0)代入y=14x-52+k中，可得k=-94，∴E(5，-94)，∴DE=94，∴ME=DE+MD=94+4=254，则AE2=32+942=22516，MA2+AE2=52+22516=62516，ME2=254 2=62516，∴MA2+AE2=ME2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP-BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP-BPPN =AQ+PQ-BPPN=BP+PN+PQ-BPPN=2PNPN=2．10(长郡)如图1，抛物线y=14x2-2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【解答】解：(1)令y=0，则14x2-2x=0，解得：x=0或8．∴A(8，0)．∴OA=8．∵y=14x2-2x=14x-42-4，∴B(4，-4)．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD =4，BD =4，∴OD =BD ，∴∠AOB =∠OBD =45°；(2)①设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，如图，∵B (4，-4)，∴BC ⊥OA ．∵CO =CB =4，∴△CBO 是以OB 为底的等腰三角形．∴点M 与点C 重合时，△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (4，0)；过点A 作AM ⊥x 轴，交⊙A 于点M ，延长MA 交⊙A 于点E ，连接BE ，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，如图，则M (8，4)，E (8，-4)，F (0，4)．∴MF =ME =8．∵B (4，-4)，∴BE ∥x 轴．∴BE ⊥ME ，BE =4．∴∠BEM =∠MFO =90°，BE =OF =4．在△MOF 和△MBE 中，MF =ME∠MFO =∠BEM =90°OF =BE，∴△MOF ≌△MBE (SAS )．∴MO =MB ．∴△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (8，4)；综上，当△OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为(4，0)或(8，4)；②设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，CN ，AM ，如图，AM=2．∵A(8，0)，∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN=12当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC-CN≤BN≤BC+CN．∵BC=4，∴4-2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．。

中考数(Shu)学压轴题二次函数与圆一(Yi)、二次函数与圆(Yuan)综合【例1】已知(Zhi)：抛物线与(Yu)轴(Zhou)相交于两(Liang)点，且(Qie)．（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．解得，．为正整数，∴．∴．解法二：由题意知，当时，．（以下同解法一）解法三：，．又．∴．（以下同解法一．）解法四：令，即，∴．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：．，即．，∴．解得：．∴的取值范围是．解法二：由题意知，当时，．解得：．∴的取值范围是．解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．∴∴．∴的(De)取值范围是．（Ⅲ）存(Cun)在．解法一(Yi)：因为过两点的(De)圆与轴(Zhou)相切于点，所(Suo)以两点(Dian)在轴的同(Tong)侧，∴．由切割线定理知，，即．∴，∴∴．解法二：连接．圆心所在直线，设直线与轴交于点，圆心为，则．，∴在中，．即．解得．（Ⅳ）设，则．过分别向轴引垂线，垂足分别为．则．所以由平行线分线段成比例定理知，．因此，，即．过分别向轴引垂线，垂足分别为，则．所以．．．．，或．当时，点．直线过，解得当时，点．直线过，解得故所求直线的解析式为：，或．【例2】已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物(Wu)线与x轴有(You)两个交点A（X1 ，0）、B（X2，0），且(Qie)点A在(Zai)B的左侧，求线(Xian)段AB的(De)长。

（3）若(Ruo)以AB为(Wei)直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以，解得或若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，，解得，。

专题9二次函数与圆综合问题解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1.直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2）利用勾股定理解决问题（3）利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，∵C（0，2），B（4，0），∴BC＝2，∴BH＝2﹣x，∵∠OBP+∠OBC＝45°，∴∠CBP＝45°，∴HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，∴＝，＝，∴x＝，t＝﹣，∴P（0，﹣），P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，∴O'（1，﹣2），∵A（﹣1，0），∴O'A＝2，∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，∴2﹣≤NA≤2+．【例2】（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（3√32，32），把x=3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=27√38−3316≠32，则假设不成立；②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（−3√32，32），把x=−3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=−27√38−3316≠32，则假设不成立；（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=−34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=34x2−94x﹣3，MD=34x﹣3，代入即可得出结果．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c得：{0=a−94+c3=c，解得：{a =−34c =3，∴抛物线的解析式为：y =−34x 2+94x +3； （2）不存在，理由如下：①当点Q 在y 轴右边时，如图1所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QH ⊥OC 于H ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OH =12OC =32，tan60°=QH OH ， ∴QH ＝OH •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （3√32，32）， 把x =3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =27√38−3316≠32， ∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴右边时，不存在△QCO 为等边三角形； ②当点Q 在y 轴的左边时，如图2所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QT ⊥OC 于T ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OT =12OC =32，tan60°=QT OT ， ∴QT ＝OT •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （−3√32，32）， 把x =−3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =−27√38−3316≠32，∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴左边时，不存在△QCO 为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q ，使得△QCO 是等边三角形；（3）令−34x 2+94x +3＝0， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴B （4，0），设BC 直线的解析式为：y ＝kx +b ， 把B 、C 的坐标代入则{0=4k +b 3=b ，解得：{k =−34b =3，∴BC 直线的解析式为：y =−34x +3，当M 在线段BC 上，⊙M 与x 轴相切时，如图3所示： 延长PM 交AB 于点D ，则点D 为⊙M 与x 轴的切点，即PM ＝MD ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）=−34x +3， 解得：x 1＝1，x 2＝4（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：MD =−34+3=94；当M 在线段BC 上，⊙M 与y 轴相切时，如图4所示： 延长PM 交AB 于点D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）＝x ， 解得：x 1=83，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =83；当M 在BC 延长线，⊙M 与x 轴相切时，如图5所示：点P 与A 重合， ∴M 的横坐标为﹣1，∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值， 即：−34×（﹣1）+3=154； 当M 在CB 延长线，⊙M 与y 轴相切时，如图6所示：延长PM 交x 轴于D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =34x 2−94x ﹣3，MD =34x ﹣3， ∴（34x 2−94x ﹣3）﹣（34x ﹣3）＝x ，解得：x 1=163，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =163； 综上所述，⊙M 的半径为94或83或154或163．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【例3】（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．【分析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．在Rt △BCM中，利用勾股定理求出半径以及点C的坐标即可解决问题．（2）结论：AE是⊙C的切线．连接AC，CE．求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE＝90°即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，0），B（8，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a=1 4，∴抛物线的解析式为y=14（x﹣2）（x﹣8）=14x2−52x+4=14（x﹣5）2−94，∴抛物线的顶点E（5，−9 4），∵AE=√32+(94)2=154，CE＝4+94=254，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例4】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC ，P A ，PC ，若S △P AC =152，求点P 的坐标； （3）如图乙，过A ，B ，P 三点作⊙M ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为D ，交⊙M 于点E ．点P 在运动过程中线段DE 的长是否变化，若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求DE 的长．【分析】（1）由二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，可得二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），由此即可解决问题．（2）根据S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，构建方程即可解决问题．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．根据AM ＝MP ，根据方程求出t ，再利用中点坐标公式，求出点E 的纵坐标即可解决问题．【解答】解：（1）∵二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），即y =12x 2﹣x ﹣4．（2）如图甲中，连接OP ．设P （m ，12m 2﹣m ﹣4）．由题意，A （﹣2，0），C （0，﹣4），∵S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，∴152=12×2×4+12×4×m −12×2×（−12m 2+m +4）， 整理得，m 2+2m ﹣15＝0，解得m ＝3或﹣5（舍弃），∴P （3，−52）．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．理由：如图乙中，连接AM ，PM ，EM ，设M （1，t ），P [m ，12（m +2）（m ﹣4）]，E （m ，n ）．由题意A （﹣2，0），AM ＝PM ，∴32+t 2＝（m ﹣1）2+[12（m +2）（m ﹣4）﹣t ]2， 解得t ＝1+14（m +2）（m ﹣4），∵ME ＝PM ，PE ⊥AB ，∴t =n+12(m+2)(m−4)2，∴n＝2t−12（m+2）（m﹣4）＝2[1+14（m+2）（m﹣4）]−12（m+2）（m﹣4）＝2，∴DE＝2，另解：∵PD•DE＝AD•DB，∴DE=AD⋅DBPD=(m+2)(4−m)4+m−m2=2，为定值．∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例5】（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【分析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）△PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM＝4，故PF＝2√3，即可求解；（3）在Rt△FQE中，EN=√(2−1)2+(1−14)2=54，EF=√(1−0)2+(1−14)2=54，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a=1 4，故二次函数表达式为：y=14x 2；（2）将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2√3；∵点F （0，1），∴点P 的坐标为（0，1+2√3）或（0，1﹣2√3）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E 满足条件，设点Q 是FN 的中点，则点Q （1，1），故点E 在FN 的中垂线上．∴点E 是FN 的中垂线与y =14x 2图象的交点，∴y =14×12=14，则点E （1，14）， EN =√(2−1)2+(1−14)2=54，同理EF =√(1−0)2+(1−14)2=54，点E 到直线y ＝﹣1的距离为|14−（﹣1）|=54， 故存在点E ，使得以点E 为圆心半径为54的圆过点F ，N 且与直线y ＝﹣1相切． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中．【例6】（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P （2，2），以P 为圆心，为半径作圆．请判断⊙P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图象的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值；（3）已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连结PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值．【分析】（1）先求出二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE＝m，由∠CPD＝120°，可得P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，因为二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l 为，AB＝，所以AF＝BF＝，，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．【题组一】1．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y ＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC=OCOB=32a8=√33，解得，a=√3 12；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH=12AB=2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+12a=(4√a√2a)2+4√2，∴当4√a=1√2a时，有d最小=4√2，即当a=√28时，有d最小=4√2；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB=√4+d2，∴MS=√2MP=√2d2+8，∵MS+MT＝ST＝6，∴√2d2+8+d=6，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2√2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT=12∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT=BTMB=√22．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，圆周角定理和圆与直线切线性质，难度较大，第（3）题的关键是构造辅助圆确定当∠APB 达到最大时的P点位置．2．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a 、b 、c ，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设M 的横坐标为t ，用t 表示MN 的距离，再根据二次函数的性质求得MN 的最大值；2°分三种情况：当∠PMN ＝90°时；当∠PNM ＝90°时；当∠MPN ＝90°时．分别求出符合条件的P 点坐标便可．【解答】解：（1）把A 、B 、C 三点的坐标代入抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中，得 {a +b +c =09a +3b +c =0c =3， 解得，{a =1b =−4c =3，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 {3m +n =0n =3， 解得，{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3）， ∴MN ＝﹣t 2+3t =−(t −32)2+94，∴当t =32时，MN 的值最大，其最大值为94；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上， ∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （32，32），N （32，−34），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为32，当y =32时，y ＝x 2﹣4x +3=32， 解得，x =4+√102，或x =4−√102＜32（舍去）， ∴P （4+√102，32）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为−34，当y =−34时，y ＝x 2﹣4x +3=−34， 解得，x =52，或x =32（舍去）， ∴P （52，−34）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径， ∴△PMN 的外接圆的圆心Q 为MN 的中点， ∴Q （32，38），半径为12MN =98，过Q 作QK ∥x 轴，与在MN 右边的抛物线图象交于点K ，如图②，令y =38，得y ＝x 2﹣4x +3=38， 解得，x =8−√224＜32（舍），或x =8+√224， ∴K （8+√224，38），∴QK =2+√224＞98，即K 点在以MN 为直径的⊙Q 外， 设抛物线y ＝x 2﹣4x +3的顶点为点L ，则l （2，﹣1）， 连接LK ，如图②，则L 到QK 的距离为38+1=118，LK =(8+√224−2)2+(38+1)2=√2098， 设Q 点到LK 的距离为h ，则12QK ⋅118=12LK ⋅ℎ，∴ℎ=118QKLK =118×2+√224√2098=22√209+11√209×224×209≈1.27＞98， ∴直线LK 下方的抛物线与⊙Q 没有公共点，∵抛物线中NL 部分（除N 点外）在过N 点与x 轴平行的直线下方，∴抛物线中NL 部分（除N 点外）与⊙Q 没有公共点， ∵抛物线K 点右边部分，在过K 点与y 轴平行的直线的右边，∴抛物线K 点右边部分与⊙Q 没有公共点，综上，⊙Q 与MN 右边的抛物线没有交点， ∴在线段MN 右侧的抛物线上不存在点P ，使△PMN 的外接圆圆心Q 在MN 边上； 综上，点P 的坐标为（4+√102，32）或（52，−34）． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第（2）题的1°题关键是把MN 表示成t 二次函数，用二次函数求最值的方法解决问题；第（2）2°小题关键是分情况讨论．难度较大．3．（2020•望城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2﹣bx +c 交x 轴于点A ，B ，点B 的坐标为（4，0），与y 轴于交于点C （0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D ，若点D 的横坐标为5，求点D 的坐标及∠ADB 的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l 交x 轴于点H ，△ABD 的外接圆圆心为M （如图1），①求点M 的坐标及⊙M 的半径；②过点B 作⊙M 的切线交于点P （如图2），设Q 为⊙M 上一动点，则在点运动过程中QH QP的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，即可求解； （2）S △ABD =5×32=3√5×BN 2，则BN =√5，sin ∠BDH =BH BD=√22，即可求解； （3）①∠ADB ＝45°，则∠AMB ＝2∠ADB ＝90°，MA ＝MB ，MH ⊥AB ，AH ＝BH ＝HM =52，点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为√5； ②PH ＝HB ＝5，则MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22，故△HMQ ∽△QMP ，则QH QP=MH MQ=√22，即可求解． 【解答】解：（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，∴抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2；（2）当x ＝5时，y =12x 2−32x ﹣2＝3，故D 的坐标为（5，3）， 令y ＝0，则x ＝4（舍去）或﹣1，故点A （﹣1，0）， 如图①，连结BD ，作BN ⊥AD 于N ，∵A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）， ∴AD ＝3√5，BD =√10， ∵S △ABD =5×32=3√5×BN2， ∴BN =√5，∴sin ∠BDH =BHBD =√22， ∴∠BDH ＝45°；（3）①如图②，连接MA ，MB ，∵∠ADB ＝45°，∴∠AMB ＝2∠ADB ＝90°， ∵MA ＝MB ，MH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ＝HM =52，∴点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为5√22； ②如图③，连接MQ ，MB ，∵过点B 作⊙M 的切线交1于点P ， ∴∠MBP ＝90°， ∵∠MBO ＝45°， ∴∠PBH ＝45°， ∴PH ＝HB ＝5， ∵MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22， ∵∠HMQ ＝∠QMP ， ∴△HMQ ∽△QMP ， ∴QH QP=MH MQ=√22， ∴在点Q 运动过程中QH QP的值不变，其值为√22．【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换．4．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；（3）证明BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a=1 2，故抛物线的表达式为：y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣2x①；（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2√3（舍去4﹣2√3）；故m＝2或4+2√3；（3）存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即√5−0.5≤ND≤√5+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为√5−0.5和√5+0.5．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，综合性强，难度适中．【题组二】5．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求a、b的值；（2）作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE，作BF⊥x轴于点F，证明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；（3）在（2）的基础上，作FL⊥BC于点L，证明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD＝DB，再根据DA+LD≥AL，求出AL的长即为所求的最小值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．6．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即可求解；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB ＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点为（2，4）；（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），解得x＝0（舍去）或2，故点M的坐标为（2，4）；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），∵，∠GOP＝∠COP，∴△POG∽△COP，∴，故PG＝PC，则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝2．7．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C 的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D ＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．【分析】（1）由点C的路径长＝，即可求解；（2）证明△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝3，即，得到c＝3a，而a+b+c＝1，tan∠ABM＝，得到（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，即可求解；（3）由点D、C的坐标得到k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，得到（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，求出t＝3+，进而求解．【解答】解：（1）点C的路径长＝＝；（2）∵∠ONA＝∠OBN，∠AON＝∠NOB，∴△ONA∽△OBN，∴，即OA•OB＝ON2＝3，即，故c＝3a，∵a+b+c＝1，在△ABM中，tan∠ABM＝＝＝，∴b2﹣4ac＝13，即（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，解得a＝﹣1（舍去）或3，∴抛物线的表达式为y＝3x2﹣11x+9；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（t，n），n＝t2﹣5t+5，而点C（1，1），将点D、C的坐标代入函数表达式得，则k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，化简得：3t2﹣18t+19＝0，解得：t＝3+（不合题意的值已舍去），k＝t﹣4＝．若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，则以DC为直径的圆H和x轴相交，∴0＜k＜．8．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+ x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝﹣4，n＝﹣1．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）①根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．根据PM＝OM，构建方程求解即可．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4，∴点A坐标为（﹣4，﹣4），当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵点A在点B的左侧，∴点B坐标为（﹣1，﹣2），∴m＝﹣4，n＝﹣1．故答案为﹣4，﹣1．（2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G．∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB′，∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠B'OG＝∠OBE，在△B'OG与△OBE中，，∴△B'OG≌△OBE（AAS），∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，∵点B'在第四象限，∴B'（2，﹣1），同理可求得：A'（4，﹣4），∴OA＝OA'＝＝4，∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，∴，解得：，∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4，∵直线OB′的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴点C（8，﹣4），∵A′（4，﹣4），∴A′C∥x轴，∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，线段A′C的垂直平分线为x＝6，∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为（6，2），∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为（6，2）．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．则有（m﹣6）2+（m2﹣3m+2）2＝62+22，解得m＝0或12或4或8，∵A'、C除外，∴P （0，4），或（12，4）．9．（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点M ，使得△BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出过点P 平行于直线EF 的直线与抛物线只有一个交点时，PH 最大，再求出此直线l 的解析式，即可得出结论；（3）分两种情况：①当∠BMC ＝90°时，先求出BM 的长，进而求出BD ，DM 1的长，再构造出相似三角形即可得出结论；②当∠BCM ＝90°时，利用锐角三角函数求出点M 3的坐标，最后用对称的性质得出点M 4的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴{9a −3b −2=0a +b −2=0，∴{a =23b =43， ∴抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2；（2）如图1，过点P 作直线l ，使l ∥EF ，过点O 作OP '⊥l ， 当直线l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于OP '， ∵直线EF 的解析式为y ＝﹣x ，设直线l 的解析式为y ＝﹣x +m ①，∵抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2②，联立①②化简得，23x 2+73x ﹣2﹣m ＝0， ∴△=499−4×23×（﹣2﹣m ）＝0， ∴m =−9724， ∴直线l 的解析式为y ＝﹣x −9724，令y ＝0，则x =−9724， ∴M （−9724，0），∴OM =9724，在Rt △OP 'M 中，OP '=OM √2=97√248， ∴PH 最大=97√248．（3）①当∠CMB ＝90°时，如图2，∴BM 是⊙O 的切线，∵⊙C 半径为1，B （1，0），∴BM 2∥y 轴，∴∠CBM 2＝∠BCO ，M 2（1，﹣2），∴BM 2＝2，∵BM 1与BM 2是⊙C 的切线，∴BM 1＝BM 2＝2，∠CBM 1＝∠CBM 2，∴∠CBM 1＝∠BCO ，∴BD ＝CD ，在Rt △BOD 中，OD 2+OB 2＝BD 2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD=3 4，∴BD=5 4，∴DM1=3 4过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴OBM1Q =ODDQ=BDDM1，∴1M1Q =34DQ=5434，∴M1Q=35，DQ=920，∴OQ=34+920=65，∴M1（−35，−65），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC=OCOB=2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m=√5 5，∴M3H＝2m=2√55，OH＝OC﹣CH＝2−√55，∴M3（−2√55，√55−2），而点M4与M3关于点C对称，∴M 4（2√55，−√55−2）， 即：满足条件的点M 的坐标为（−35，−65）或（1，﹣2）或（−2√55，√55−2）或（2√55，−√55−2）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的性质，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 10．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【分析】（1）由直线y ＝﹣5x +5求点A 、C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B 坐标．（2）从x 轴把四边形AMBC 分成△ABC 与△ABM ；由点A 、B 、C 坐标求△ABC 面积；设点M 横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线段MH ，则能用m 表示MH 的长，进而求△ABM 的面积，得到△ABM 面积与m 的二次函数关系式，且对应的a 值小于0，配方即求得m 为何值时取得最大值，进而求点M 坐标和四边形AMBC 的面积最大值． （3）作点D 坐标为（4，0），可得BD ＝1，进而有BD BP=BP AB=12，再加上公共角∠PBD＝∠ABP ，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD ∽△ABP ，得PD PA等于相似比12，进而得PD =12AP ，所以当C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小．用两点间距离公式即求得CD 的长．【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5 ∴C （0，5）y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1 ∴A （1，0）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点 ∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5 ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5。

中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．￥（2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB 若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．|~3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；~(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。

|4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.·（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.{.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。

【仲烦1】（我市）已知圆P的圆心在反比例函数y=-（A：>1）上，并与工轴相交于X、3两点.且x始终与］轴相切于定点C（0,1）.⑴求经过三点的二次匣1数图象的解析式；（2）若二次函教图象的顶点为D,问当上为何值时'四边形也站尹为菱形.【耕音】解：（1）连接PC、PAx PB，谊P点ffPHXx轴.垂足为H・（1分）与y轴相切于点C（0, 1），.-.PC±y^.•.•P点在反比例函数》二占的囹象上，X•.•P点坐标为（k,1）.（2分）•.•PAU.在RtAAPH中，AH=厨2_尸於后一1，•'•A(k-90 ).(3分)•.•由。

P交x轴于A、B两点，且PHJLAB，由垂径击理可知，PH垂直平分AB.AOB=OA+2AH=k•••B3小2_1，0）.《4分〉故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直钱斛析式为x=k.可设该抛物线解析式为y=a<x-k）2+h.（5分）又二.抛物线过C（。

，1），B（k-^2_r0），[ak^-^h=1•3|—?昭得a=l，h=1-k^.（7分）•.•抛物线解析式为y=心）2+1上2.（B分）（2）由<1）知抛物线顶点D坐标为（k,l-k2>•・•DH-k2-l.若四边形ADBP为装形.则必有PH=DH.（10分）VPH=1，.•-k2-l=l.又">1,（11分）•・•当k取以时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形•（12分）3【百麒2]翎南省韶关市）25.如图6,在平面直角坐标系中旭边形OABC是矩形,。

虹4应=2,直线），=-"：与坐标轴交于D、E。

设M是加的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点的坐标；<2）当P在什么位置时，PA=PB?求出此时P点的坐标j<3）过P作PH1BC,垂足为H,当以PM为直径的OF与BC相切于点N时，求梯形PHBH的面积.图6【分析】(1)因为四边形OABC是逅形，0A=4,AB=2»直线>=r-?与坐标轴交于D、E，M是AB的中点2.所以令y=0,即司术出D的坐标，而AM-1.印以M(4,1)；(2)因为PA=PB.断以P是AB的香直平分线和直线ED的交点，而AE的中垂线是y=l，断以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=l，求出的x的值即为相应的P的横坐标；(3〉可设P(x，y>，连将PN、MN、NF，因为点P在y・x-：上，所以P《x，粮据蹦意可2得PNlMNi FN±BCi F是圈心，又因N是钱段HB的中点，HN-NB-—»PH-2-(-x*-)t2 2 2BM=1,利用直径对的圆周角是直甬可得到ZHPX-ZHNP=ZHNP-ZBNM=90°•所以ZHPN=ZB取ph ir£x+| NM,又因ZPHN-ZB-900-所以可得到R tAPNH<^RtANMB•所以—•A2=—^，这BM BN—4-x1—样牧可得到关于X的方程，解之即可求出X的值，而饬求面招的四边形是一个直角梯形，南以Spg=也皿滋或"医号)("6+应)=.21_色叵.2 2 24满答】俄；《1)M", 1),D《9,0)；(2分)2(2)V PA=PB>•七点P在线段AB的中毒线上，•.•点P的纵坐标是I，3又•:点P在尸-X-—上，2・.•点P的坐标为(【，1)?(4分)（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，3点P lSy=・x+-上，匕3・'・P（x ,-w+—），2依题意知：PN«LMN>FN^BC,F是圆心，・'・N是线段HB的中点，HN=NB=±M，PH=2.2口，BM=1，<6分）22HPN-ZHNP=NHNP-ZBNM=90°，NHPN=ZBNN1，又ZPHN=ZB=90°5RtAPNH^RtANMBs:HN_PH•'两南，4-x x*.."F=二，-等」22，（8分）x?-12x+14=0»朋得；x-6-j22（^-*>^舍去），k=6-皿=些罕=空也艾竺=一*孕屈，（9分）2【例题31（||-4省白银等7市新课程）28.在直角坐标系中>0A的丰径为4,圆心A曜标为（2, 0），S与X轴交于E、尸两点，与），轴交于（7、D两点，过点（7作0X的切线时，交x轴于点3.（1）求直线C5的解析式：（2）若抛物线.件履7）日€的顶点在直线3C上,与x轴的交点恰为点E、已求该抛物线的解析式J（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与A4OC相似？直接与出两组这样的点•4［分析】(1>SHAC.根撮区］的李径求出AC. W1B点人的坐麻求出0A，燃后利用勾腹定理列式求出0C・从而得到点C的坐标，再求出ZCAO=60=.然后粮掘直有三甬形两锐角互余米出NB=30。

与园和二次函数有关的数学经典中考压轴题解析1. 经过x 轴上(10)(30)A B -，，，两点的抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的G 经过点C ，求解下列问题： （1）用含a 的代数式表示出C D ，的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）如图，当0a <时，能否在抛物线上找到一点Q ，使B D Q △为直角三角形？你能写出Q 点的坐标吗？2. 如图（十二），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．（1）求A B 、两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？3. （本题满分10分）D COGy x(30)B ，(10)A -， O M AP N y lm x BO MAP Ny l mxBE PF 图十二已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4. 解答题：本题满分14分．20． 阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部的线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2） 求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；（3） 设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，xyF -2 -4-6A C EPDB5 2 1 24 6 G C y BA BC铅垂高水平宽 ha图12-1是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在， 求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．5. （本小题10分）如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(03)--，、，，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长． （3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标．6（本题满分10分）已知：直线6y x =+交x y ，轴于A C ，两点，经过A O ，两点的抛物线2(0)y a x b x a =+<交直线AC 于B 点．xyB F O AC Px =1 （第25题）（1）求A C ，两点坐标；（2）求出抛物线的函数关系式； （3）以B 点为圆心，以AB 为半径作B ，将B 沿x 轴翻折得到D ，试判断直线AC与D 的位置关系并求BD 的长； （4）若E 为B 优弧ACO 上一动点，连结AE OE ，，问在抛物线上是否存在一点M ，使:2:3MOA AEO ∠∠=，若存在，试求出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．.7. （本小题12分）在平面直角坐标系中，已知(40)A -，，(10)B ，，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点(02)C ，，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求过A B C ，，三点的抛物线的解析式 （2）求点D 的坐标（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E F ，两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？AOCDxB图9y yxO C DB A 4-128. （本题满分9分）已知Rt △ABC ，∠ACB ＝90o ，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，以D 为坐标原点，CD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）若⊙O 1，⊙O 2分别为△ACD ，△BCD 的内切圆，求直线12O O 的解析式；（3）若直线12O O 分别交AC ，BC 于点M ，N ，判断CM 与CN 的大小关系，并证明你的结论．9.（本小题满分10分）已知(1)A m -，与(233)B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．10.（本小题满分12分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；CDMABxy 1O2OＮ（第28题） A B C x y11 1-1- O A A 80100（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某地有四个村庄E F G H ，，，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．11.已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A ，B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A ，B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM ，BM 分别与y 轴相交于P ，Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．12.（本题9分）如图，抛物线(1)(5)y a x x =+-与x 轴的交点为M N ，．直线y kx b =+与x 轴交于G32.4 49.8 H E F53.844.047.1 35.1 47.8 50.0 （第25题图2） （第28题） y O · AD xB C E N M ·(20)P -，，与y 轴交于C ．若A B ，两点在直线y kx b =+上，且2AO BO ==，AO BO ⊥．D 为线段MN 的中点，OH 为Rt OPC △斜边上的高． （1）OH 的长度等于 ；k = ，b = ．（2）是否存在实数a ，使得抛物线(1)(5)y a x x =+-上有一点E ，满足以D N E ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E 点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足102PB PG <，写出探索过程．13. （本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为(50)，，顶点D 在⊙O 上运动． （1）当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切； （2）当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；（3）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．D （第29题）xyNOM P AC B2-H 51D CB AO xy第27题14. ．已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图像经过三点(10)，，(30)-，，302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分） （2）若反比例函数22y x=（0x >）的图像与二次函数21y ax bx c =++（0a ≠）的图像在第一象限内交于点00()A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分） （3）若反比例函数2k y x=（00k x >>，）的图像与二次函数21y ax bx c =++（0a ≠）的图像在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围．（5分）15. （本题满分12分）如图甲，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB AC =，90BAC =∠，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF BD ，之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？y x 1 O 2 3 4 4 321 1-2- 3- 4- 1-2- 3-第29题图 图甲A B D FEC 图乙 A BDE CF 图丙 A B D C E（2）如果AB AC ≠，90BAC ≠∠，点D 在线段BC 上运动．试探究：当ABC △满足一个什么条件时，CF BC ⊥（点C F ，重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若42AC =，3BC =，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．16. （本题满分14分）已知：矩形ABCD 中，1AB =，点M 在对角线AC 上，直线l 过点M 且与AC 垂直，与AD 相交于点E ．（1）如果直线l 与边BC 相交于点H （如图1），AM =31AC 且AD =a ，求AE 的长；（用含a 的代数式表示）（2）在（1）中，又直线l 把矩形分成的两部分面积比为2∶5，求a 的值；（3）若AM =41AC ，且直线l 经过点B （如图2），求AD 的长； （4）如果直线l 分别与边AD 、AB 相交于点E 、F ，AM =41AC ．设AD 长为x ，△AEF 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并指出x 的取值范围．（求x 的取值范围可不写过程）ADCBE HMl图1ADCBE M图2l17. （本小题满分8分）探索研究如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．18. （本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．x lQC PA OB HRyOxy EPDA B M C19. ．如图1，正方形ABCD 和正三角形EFG 的边长都为1，点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动，设点G 到CD 的距离为x ，到BC 的距离为y ，记HEF ∠为α（当点E F ，分别与B A ，重合时，记0α=）．（1）当0α=时（如图2所示），求x y ，的值（结果保留根号）；（2）当α为何值时，点G 落在对角形AC 上？请说出你的理由，并求出此时x y ，的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：α153045607590x0.03 0 0.29 y0.290.130.03（4）若将“点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动”改为“点E F ，分别在正方形ABCD 边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G 运动所形成的大致图形．（参考数据：62623 1.732sin150.259sin 750.96644-+==≈，≈，≈．）20. (本题满分12分)AH FD G C BE 图1图2B (E )A (F ) D C GH ADCB图3H H DACB图4在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？21（本题14分）如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动．点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<<t ）． （1）求直线2l 的解析式．（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式． （3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？ .22. （本题满分12分） 问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理AB C M N D 图2 OA B C M N P 图1 O A BC M N P 图3 O由． 问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．23. （本题满分12分，每小题满分各4分）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．24（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABC AB BC AD BC P∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长；D C B A ① D C BA ③ D CB A ② （第25题图） CM O xy12 3 4 1- 图7 A 1 B D y x b =+（2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．25. （本小题12分）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.ADPCBQ 图8DAPCB（Q ） 图9图10CADPBQ xy BC ODA MN N ′ xy BC OA M N26. 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，BPBQ的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．QCBAO xPA 'B 'C 'α（图1）y（Q ） CBAO x PA 'C '（图3）yB ' Q CB AO x P A ' B 'C '（图2）y CB AOyx（备用图）（第26题）27. 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t =时，如图1，将O P Q △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将O P Q △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．28. ．如图，已知直线112y x =-+交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点D C ,的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．图1OP A xBDC Q y （第24题图） 图2OPA xBC Q yE O ABC DEy x29. （本题14分）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．30. .如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ． （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直．线．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．ABC D E RP H Q （第24题图）31. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．数学中考压轴题解析（2）答案1. ．解：（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+- ·············································· 1分 则2(23)y a x x =--2(1)4a x a =-- ····································································· 2分 则点D 的坐标为(14)D a -， ··············································································· 3分 点C 的坐标为(03)C a -， ·················································································· 4分 （2）过点D 作DE y ⊥轴于E ，如图①所示：则有DEC COB △∽△ ···········································5分DE ECCO OB =∴133a a =-∴26题图y xDBCA EOD CGyE21a =∴ 1a =± ·················································7分 抛物线的解析式为223y x x =--或223y x x =-++ ·····8分 （3）0a <时，1a =-，抛物线223y x x =-++，这时可以找到点Q ，很明显，点C 即在抛物线上，又在G 上，90BCD ∠=°，这时Q 与C 点重合 点Q 坐标为(03)Q ，················································9分 如图②，若DBQ ∠为90°，作QF y ⊥轴于F ，DH x ⊥轴于H可证Rt Rt DHB BFQ △∽△有DH HB BF FQ= 则点Q 坐标2(23)k k k -++，即242323k k k =--- 化简为22390k k --= 即(3)(23)0k k -+=解之为3k =或32k =-由32k =-得Q 坐标：3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ···································································· 10分 若BDQ ∠为90° 如图③，延长DQ 交y 轴于M ， 作DE y ⊥轴于E ，DH x ⊥轴于H 可证明DEM DHB △∽△ 即DE EMDH HB=则142EM=得12EM =，点M 的坐标为702⎛⎫⎪⎝⎭，DM 所在的直线方程为1722y x =+ 则1722y x =+与223y x x =-++的解为12x =，得交点坐标Q 为11524⎛⎫⎪⎝⎭， ···················· 11分 即满足题意的Q 点有三个，(03)，，391152424⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， ············································ 12分2. （1）当0x =时，4y =；当0y =时，4x =．(40)04A B ∴，，（，）； ··················· 2分DH O Gy x(30)B ，(10)A -，E FQ图②DM O G y x(30)B ，(10)A -，EH 图③（2）1OM OA MN AB ON OB ∴==∥，，211122OM ON t S OM ON t ∴==∴==，·； ··· 4分 （3）①当24t <≤时，易知点P 在OAB △的外面，则点P 的坐标为()t t ，,F 点的坐标满足4x t y t =⎧⎨=-+⎩，，即(4)F t t -，， 同理(4)E t t -，，则24PF PE t t t ==-=-(4-)， ············································ 6分 所以2MPN PEF OMN PEF S S S S S =-=-△△△△2221111324248822222t PE PF t t t t t =-=---=-+-·()()； ······························ 8分 ②当02t <≤时，2221151544221622S t t ==⨯⨯⨯=，，解得125052t t =-<=>，，两个都不合题意，舍去； ····································· 10分当24t <≤时，22358822S t t =-+-=，解得34733t t ==，， 综上得，当73t =或3t =时，2S 为OAB △的面积的516． ···································· 12分注：解答题用其它方法解答，请参照评分．3. 解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ ············· 2分解得150a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩·········································· 3分故抛物线的函数关系式为25y x x =-+ ··········· 4分 （2）C 在抛物线上，2252,6m m ∴-+⨯=∴= ·5分 C ∴点坐标为（2，6），B 、C 在直线y kx b '=+上 ∴6266k b k b '=+⎧⎨'-=+⎩解得3,12k b '=-=∴直线BC 的解析式为312y x =-+ ····························································· 6分设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）1146462422OBCS∴=⨯⨯+⨯⨯-= ························································· 7分 （3）存在P ，使得OCD ∽CPE ··································································· 8分设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=︒故2,6CE m EP n =-=-若要OCD ∽CPE ，则要OD DC CE EP =或OD DCEP CE=即6226m n =--或6262n m =-- 解得203m n =-或123n m =-又(,)m n 在抛物线上，22035m n n m m =-⎧⎨=-+⎩或21235n mn m m =-⎧⎨=-+⎩ 解得12211023,,6509m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或121226,66m m n n ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 故P 点坐标为1050()39，和(6,6)- ······························································ 10分 （只写出一个点的坐标记9分）其它解法参照此标准计分．4. 解：（1）设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ········································· 1分把A （3，0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ········································· 3分 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为(03)， ································ 4分把(30)A ，，(03)B ，代入b kx y +=2中 解得：13k b =-=，所以32+-=x y ······································································ 6分 （2）因为C 点坐标为（1，4）所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2 所以CD ＝4-2＝2 ······································································ 8分13232CAB S =⨯⨯=△（平方单位） ·············································· 10分 （3）假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ()30<<x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······················ 12分 由S △P AB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为315()24， ······························································ 14分5. ．解：（1）设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a a b c =++≠，、、为常数，由抛物线的对称性知B 点坐标为(30)，，依题意得：09303a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=-⎩ ··········································· 1分 解得：332333a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩ ······················································· 2分∴所求二次函数的解析式为2323333y x x =-- ··········· 3分 （2）P 点的横坐标为m ，P ∴点的纵坐标为2323333m m -- ······························ 4分 设直线BC 的解析式为(0)y kx b k k b =+≠，、是常数，依题意，得303k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩xy BFO A CPx =1（第25题）333k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩故直线BC 的解析式为333y x =- ····································································· 5分 ∴点F 的坐标为333m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，233(03)3PF m m m ∴=-+<< ········································································ 6分 （3）PBC △的面积12CPF BPF S S S PF BO =+=△△· =221333933323228m m m ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当32m =时，PBC △的最大面积为938 ····························································· 8分把32m =代入2323333y m m =--得534y =- ∴点P 的坐标为35324⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ················································································· 10分6. （1）当0x =时，6y =，C ∴点坐标为(06)C ，当0y =时，60x +=，6x ∴=- A ∴点坐标为(60)A -， ···································· 2分（2）抛物线2(0)y ax bx a =+<经过(60)A -，，(00)O ，∴对称轴32b x a=-=-（6b a ∴= 26y a x a x ∴=+以(60)A -，代入得13a =-，2b =-）当3x =-时，代入6y x =+得363y =-+= B ∴点坐标为(33)-，2(3)3y a x ∴=++ 以(60)A -，代入得：20(63)3a =-++ 13a ∴=-∴函数解析式为2123y x x =-- ········································································ 4分（3）AB 与D 相切，理由如下：连结ADA O O C= 45BAO ∴=∠根据对称性质：45BAO DAO ==∠∠ 点(33)D --，90BAD ∴=∠AB ∴与D 相切 ··························································································· 5分 又336BD =--= BD ∴的长为6 ······························································· 6分 （4）存在这样的点M ，使得:2:3MOA AEO =∠∠ ··········································· 7分 点M 在抛物线上，过M 作MP x ⊥轴于F 设M 点横坐标为x ，则纵坐标为2123x x -- 1452AEO ABO ==∠∠而:2:3MOA AEO =∠∠ 245303M O A ∴=⨯=∠ ·········································· 8分 又3tan 303= 212333x x x --∴=解得：63x =-± ································· 9分 当63x =-+时，21(63)2(63)1233y =-⨯-+--+=-+1(63123)M ∴-+-+，当63x =--时，21(63)2(63)1233y =-⨯-----=--2(63123)M ∴----， ·············································································· 10分 （类似上述解答参照给分）7. ．解：（1）令二次函数2y ax bx c =++，则164002a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩··························································································· 1分 12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎪⎩··································································································· 2分 ∴过A B C ，，三点的抛物线的解析式为213222y x x =--+ ·································· 4分。

押中考数学第23-24题（解答中档题：圆、二次函数的实际应用）专题诠释：圆和二次函数的实际应用在了历年的中考中均有所考察，分值一般在20-24之间，分值较高且有一定的难度。

圆常常会结合勾股定理、全等、相似或锐角三角函数一起考察；二次函数的实际应用考察最多的是利润问题。

能根据题意进行合理的转化是做题的关键！知识点一：圆〖押题冲关〗1．（2023·四川成都·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BO平分∠ABC，交AC于点O．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交BO于点D，连接AD．(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)若OA=3，OC=27，求AB的长；7(3)在（2）的条件下，求tan∠BAD的值．2．（2023·四川达州·统考一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AB⋅AF．3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ABC内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．AB=10，AD平分∠BAC，分别交半圆O和BC于点D，E，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交BC于点F．(1)求证：EF=DF；⌢的长．(2)连接OD交BC于点G，若EG=FG，求BC4．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．(1)求证：AC与⊙O相切于点D．(2)若BC=3，AC=4，求⊙O的半径．5．（2023·广东东莞·校考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．(1)求证：CH是⊙O的切线：(2)若点D为AH的中点，求证：AD=BE；，CG=10，求BD的长．(3)若cos∠DBA=456．（2023·四川成都·统考二模）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线交AB的延长线于点E，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，延长BF交AD的延长线于点C．(1)求证：AB=BC；(2)若⊙O的直径为5，sinA=3，求线段BF和BE的长．57．（2023·陕西西安·统考二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．(1)OM⊥CD，OM=6，⊙O的半径为10，求弦CD的长；(2)过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE=EF．8．（2023·北京房山·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E．(1)求证：∠BAC=2∠DBC；(2)若cos∠BAC=3，DE=4，求BE的长．59．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC=BC，∠CAB=∠BDE．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，AB=BE，求劣弧AC的长．10．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．(1)求证：∠C=∠CED．，AD=4，求半圆O的半径r．(2)若CE=83知识点二：二次函数的实际应用〖押题冲关〗(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；4．（2023·四川成都·统考二模）2022年卡塔尔世界杯期间，某网点直接从工厂购进A，B两款拉伊卜吉祥物手办，A款的购进单价比B款贵20元，用400元购进A款手办的数量比用400元购进B款手办的数量少一件．A，B两款手办的销售单价分别是120元和95元．（注：利润=销售价-购进价）(1)求A，B两款手办的购进单价分别是多少元？(2)世界杯结束后，为了尽快减少库存，加快资金周转，网店决定对A款拉伊卜吉祥物手办进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售5件，经调查发现，每降价2元就可以多销售1件，试问将销售价定为每件多少元时，才能使A款手办平均每天的销售利润最大？5．（2023·安徽蚌埠·校考二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．(1)如果要求设计成水流在离OA距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？6．（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m （水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）超市需购进某种商品，每件的进价为10元，该商品的销售单价不低于进价，且不高于20元，在销售过程中发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系：(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大？最大利润是多少？8．（2023·陕西西安·统考二模）2023兔年春节期间，全国各地举办焰火晚会，庆祝农历新年的到来．九年级学生王毅也在父母的陪同下前往指定区域燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，王毅燃放的手持烟花发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：。

数学中考压轴题解析（一）1..如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为()60A -，，()60B ，，()043C ，，延长AC 到点D ，使CD =12AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ．1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）．2. （满分14分）如图10，已知直线:l y x m =-+（0m ≠）交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点C 、M 分别在线段OA 、AB 上，且OC =2CA ，AM =2MB ，连接MC ，将△ACM 绕点M 旋转180°，得到△FEM ，显然点E 在y 轴上， 点F 在直线l 上；取线段EO 中点N ，将△ACM 沿MN 所在直线翻折，得到△PMG ，其中P 与A 为对称点．记：过点F 的反比例函数图象为1C ，过点M 且以B 为顶点的二次函数图象为2C ，过点P 且以M 为顶点的二次函数图象为3C ． （1）当m =6时，①直接写出点M 、F 的坐标，②求1C 、2C 的函数解析式；（2）当m 发生变化时，①在1C 的每一支上，y 随x 的增大如何变化？请说明理由． ②若2C 、3C 中的y 都随着x 的增大而减小，写出x 的取值范围．yD E C B O A x11 y xOAE F l M C N B 图103. （14分）如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD ． （1）求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH 绕点B 按顺时针旋转90°后再沿x 轴对折得到△BEF （点C 与点E 对应），判断点E 是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E 的直线交AB 边于点P ，交CD 边于点Q ． 问是否存在点P ，使直线PQ分梯形ABCD 的面积为1∶3两部分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．4. （14分）已知抛物线：x x y 22121+-=． （1）求抛物线1y 的顶点坐标．（2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式．（3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【提示：抛物线c bx ax y ++=2（0a ≠）的对称轴是，abx 2-=顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，】D AB C FEHO y x（第26题图）5 4 3 2 11 2 3 4 5 6 7891- 1- 2-3- 4-Py x1y2yO5. （本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）6. （14分）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作yxAO BP M图1 C 1C 2C 3yxAO B PN图2 C 1C 4QEF直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、． （1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥； （3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7. （本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A （1，0）、 B （5，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（4分）（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，将∠DCB 绕点C 按顺时针方向旋转，角的两边CD 和CB 与x 轴分别交于点P 、Q ，设旋转角为α（090α< ≤）． ①当α等于多少度时，△CPQ 是等腰三角形？（5分） ②设BP t AQ s ==，，求s 与t 之间的函数关系式．（5分）8. （本题满分12分）如图，在直角梯形OABD 中，DB OA ∥，90OAB ∠=，点O 为坐标原点，点A 在x 轴ED C AF B xOy l E DC O Fxy（图1） 备用图（第25题图）的正半轴上，对角线OB AD ，相交于点M ．223OA AB ==，，:1:2BM MO =． （1）求OB 和OM 的值；（2）求直线OD 所对应的函数关系式； （3）已知点P 在线段OB 上（P 不与点O B ，重合），经过点A 和点P 的直线交梯形OABD 的边于点E （E 异于点A ），设OP t =，梯形OABD 被夹在OAE ∠内的部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．9. （本题满分9分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．10. （本小题满分12分）如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是A C AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，y x AB D M O （第26题） D M A BC 第22题图 N说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．11. （12分）如图，直线443y x =-+和x 轴，y 轴的交点分别为B C ，，点A 的坐标是(20)-，．（1）试说明ABC △是等腰三角形；（2）动点M 从点A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设点M 运动t 秒时，MON △的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式；②当点M 在线段OB 上运动时，是否存在4S =的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，说明理由；③在运动过程中，当MON △为直角三角形时，求t 的值．O A CBxy12. 如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使C M C E E O =-，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO ．（1）试比较EO 、EC 的大小，并说明理由． （2）令CFGHCMNOS m S =四边形四边形，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理AE C D FG B QK图15P由．（3）在（2）的条件下，若113CO CE Q ==，，为AE 上一点且23QF =，抛物线2y mx bx c =++经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式．（4）在（3）的条件下，若抛物线2y mx bx c =++与线段AB 交于点P ，试问在直线BC上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与AEF △相似？若存在，请求直线KP与y 轴的交点T 的坐标；若不存在，请说明理由．13. （满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A 与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线y xAN OMC H G FBQE第27题QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位:秒） （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程； （3）当0＜t ＜92时，△PQ F 的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．14. （本小题满分10分）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，若32FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；（3分） （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）15. （本题满分12分）一开口向上的抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． （1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标yxOPAE D QCB（第20题图）F （第25题图）O y xB E AD CF原点？（3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．16（本题满分12分） 如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标； （2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒)50(<<t ，过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标．17. （12分）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （－3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三O B A CD x y 第25题图 图①y xEODCBA 图②OAyEDCBP MNx·角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．18. （本题满分12分）如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．19. 本题（1）～（3）小题满分12分，（4）小题为附加题另外附加2分）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1) 当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数y C A M O B x 第25题图① y C AO B x 第25题图②y xO A BC图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； （2） 求正方形边长及顶点C 的坐标；（3） 在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标． (1) 附加题：（如果有时间，还可以继续 解答下面问题，祝你成功！）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀 速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．20. （本小题满分13分）如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中 的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．21. （本题满分12分）(第24题图①) A B C DP Q Ox y （第24题图②）Ox t11101ADCBP MQ60°图13如图，点P 是双曲线1k y x=（10k x <<，0）上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线()221ky x k k x=<<于E 、F 两点．（1）图1中，四边形PEOF 的面积1S = （用含1k 、2k 的式子表示）； （2）图2中，设P 点坐标为()43-，．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）②记22PEF DEF S S S S =-△△，是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）22. 如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r （常数）的⊙O ，其中AD 为直径，且AB=CD=DE=FA .（1）当∠BAD=75︒时，求BC ⌒的长； （2）求证：BC ∥AD ∥FE ；（3）设AB=x ，求六边形ABCDEF 的周长L 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，L 取得最大值.23. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，（第25题图）yxO P AFBE图1y xOP AFBE图2A B C D E F O·若不成立请说明理由；（4分）（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）24. 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．25（本题满分10分）如图12，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，图9 图10 图11图11x yB()AOM QP图12x y ()B C AOMP Q点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．数学中考压轴题解析（一）答案1. 解：（1）∵(60)A -，，(043)C ，，∴643OA OC ==，． 设DE 与y 轴交于点M ．由DE AB ∥可得DMC AOC △∽△．又12CD AC =， ∴12MD CM CD OA CO CA ===． ∴23CM =，3MD =． 同理可得3EM =． ∴63OM =．∴D 点的坐标为(363)，．（2）由（1）可得点M 的坐标为(063)，． 由DE AB EM MD =∥，，可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线．y DES M TF∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上．∴ED 与CF 互相垂直平分． ∴CD DF FE EC ===．∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心． 作直线BM ．设BM 与CD EF 、分别交于点S 、点T ．可证FTM CSM △≌△． ∴FT CS =． ∵FE CD =， ∴TE SD =． ∵EC DF =，∴TE EC CS ST SD DF FT TS +++=+++．∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．由点(60)B ，，点(063)M ，在直线y kx b =+上，可得直线BM 的解析式为363y x =-+．（3）确定G 点位置的方法：过A 点作AH BM ⊥于点H ．则AH 与y 轴的交点为所求的G 点．由663OB OM ==，， 可得60OBM ∠=°，∴30BAH ∠=°．在Rt OAG △中，tan 23OG AO BAH =∠= ．∴G 点的坐标为(023)，．（或G 点的位置为线段OC 的中点） 2.解：（1）①点M 的坐标为（2，4），点F 的坐标为（－2，8）． ······································ 2分② 设1C 的函数解析式为xky =（)0≠k ． ∵1C 过点F （－2，8）∴82k -= ∴16k =-．∴1C 的函数解析式为xy 16-=． ∵2C 的顶点B 坐标为（0，6）∴设2C 的函数解析式为26y ax =+． ∵2C 过点M （2，4）y xOAC BE FPGMN∴464=+a21-=a ．∴2C 的函数解析式为6212+-=x y ． ······························································· 6分 （2）依题意得，A （m ，0），B （0，m ）， ∴点M 坐标为（1233m m ，），点F 坐标为（m 31-，m 34）． ①设1C 的函数解析式为ky x=（)0≠k ． ∵1C 过点F （m 31-，m 34） 1433k m m ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭∴294m k -=． ∵0≠m ∴0k <∴在1C 的每一支上，y 随着x 的增大而增大． ··················································· 10分 ②答：当m ＞0时，满足题意的x 的取值范围为 0＜x ＜m 31； 当m ＜0时，满足题意的x 的取值范围为m 31＜x ＜0． ································· 14分 （注：答案中的x 取到端点值不扣分）3. （14分）解：（1）∵四边形OBHC 为矩形，∴CD ∥AB ， 又D （5，2）， ∴C （0，2），OC =2 ． ······························· 2分∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=2552122n m n 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=225n m ∴抛物线的解析式为：225212+-=x x y ······················································· 4分 （2）点E 落在抛物线上． 理由如下： ································································· 5分 由y = 0，得0225212=+-x x ． 解得x 1=1，x 2=4． ∴A （4，0），B （1，0）． ············································ 6分 ∴OA =4，OB =1．由矩形性质知：CH =OB =1，BH =OC =2，∠BHC =90°， 由旋转、轴对称性质知：EF =1，BF =2，∠EFB =90°， ∴点E 的坐标为（3，－1）． ········································································ 7分 D A BCFEH O y xQGP把x =3代入225212+-=x x y ，得123253212-=+⋅-⋅=y ， ∴点E 在抛物线上． ························································································ 8分（3）法一：存在点P （a ，0），延长EF 交CD 于点G ，易求OF =CG =3，PB =a －1．S 梯形BCGF = 5，S 梯形ADGF = 3，记S 梯形BCQP = S 1，S 梯形ADQP = S 2， 下面分两种情形：①当S 1∶S 2 =1∶3时，52)35(411<=+=S ，此时点P 在点F （3，0）的左侧，则PF = 3－a ，由△EPF ∽△EQG ，得31==EG EF QG PF ，则QG =9－3a ， ∴CQ =3－(9－3a ) =3a －6由S 1=2，得22)163(21=⋅-+-a a ，解得49=a ； ······························· 11分②当S 1∶S 2=3∶1时，56)35(431>=+=S 此时点P 在点F （3，0）的右侧，则PF = a －3， 由△EPF ∽△EQG ，得QG = 3a －9，∴CQ = 3 +（3 a －9）= 3 a －6， 由S 1= 6，得62)163(21=⋅-+-a a ，解得413=a ．综上所述：所求点P 的坐标为（49，0）或（413，0） ···························· 14分 法二：存在点P （a ，0）． 记S 梯形BCQP = S 1，S 梯形ADQP = S 2，易求S 梯形ABCD = 8．当PQ 经过点F （3，0）时，易求S 1=5，S 2 = 3， 此时S 1∶S 2不符合条件，故a ≠3．设直线PQ 的解析式为y = kx +b （k ≠0），则⎩⎨⎧=+-=+013b ak b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=331a a b a k ，∴331---=a ax a y ． 由y = 2得x = 3a －6， ∴Q （3a －6，2） ························································································ 10分 ∴CQ = 3a －6，BP = a －1，742)163(211-=⋅-+-=a a a S ． 下面分两种情形：①当S 1∶S 2 = 1∶3时，841S 41ABCD 1⨯==梯形S = 2；∴4a －7 = 2，解得49=a ； ······································································ 12分 ②当S 1∶S 2 = 3∶1时，6843S 43ABCD 1=⨯==梯形S ；∴4a －7 = 6，解得413=a ；综上所述：所求点P 的坐标为（49，0）或（413，0） ·························· 14分 [说明：对于第（3）小题，只要考生能求出49=a 或413=a 两个答案，就给6分． ] 4. 解：（1）依题意 1202a b c =-==，， ······································································ 1分∴2)21(222=-⨯-=-ab ，2)21(4204422=-⨯-=-ab ac ······································· 3分 ∴顶点坐标是（2，2） ··························································································· 4分（2）根据题意可知2y 解析式中的二次项系数为21-············································································· 5分 且2y 的顶点坐标是（4，3） ····················································································· 6分 ∴2y ＝－3)4(212+-x ，即：2y ＝54212-+-x x ············································· 8分 （3）符合条件的N 点存在 ························································································· 9分如图：若四边形OPMN 为符合条件的平行四边形，则OP ∥MN ，且MN OP = ∴BMN POA ∠=∠，作x PA ⊥轴于点A ，x NB ⊥轴于点B ∴090=∠=∠MBN PAO ，则有POA NMB △≌△（AAS ） ∴BN PA = ∵点P 的坐标为（4，3） ∴3==PA NB ···································· 10分 ∵点N 在抛物线1y 、2y 上，且P 点为1y 、2y 的最高点∴符合条件的N 点只能在x 轴下方 ①点N 在抛物线1y 上， 则有：32212-=+-x x 解得：102-=x 或102+=x ··················· 11分 ②点N 在抛物线2y 上，则有：33)4(212-=+--x 解得：324-=x 或324+=x ·········································································· 13分 ∴符合条件的N 点有四个：5 4 3 2 11 2 3 4 5 6 7 891-1- 2-3- 4-Py x1y2yO A BNM12(2103)(4233)N N ----，；，；34(2103)(4233)N N +-+-，；，． ···································································· 14分5. （本题满分13分）解：（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5） ······················· 2分 ∵点B （1，0）在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a解得，a ＝59·········································· 4分（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3 ∴顶点M 的坐标为（4，5） ············································································ 6分抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y ················································ 8分 （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5） ··············································································· 9分 作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G作PK ⊥NG 于K∵旋转中心Q 在x 轴上∴EF ＝AB ＝2BH ＝6 ∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0） H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），根据勾股定理得PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32＝34 ························································································ 10分①当∠PNF ＝90º时，PN 2+ NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+ NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0）③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形． ············································································ 13分6. （1）解:方法一，如图1，当1x =-时,14y = 当4x =时,4y =y x A O B PN图(2)C 1 C 4 Q E F H G K∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4 ····················································································· 1分 ()44B ，······························································································ 2分 设直线AB 的解析式为y kx b =+ ··················································· 3分则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为314y x =+ ·················································· 4分 当0x =时,1y =()01F ∴， ······································································································································ 5分 方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x = ························································· 3分BGF BHA △∽△BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=-·································································································································· 4分 解得1x =()0F ∴，1 ··································································································································· 5分 (2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=5CF ∴= ··································································································································· 6分 在Rt DEF △中，42DE EF ==，222224220DF DE EF ∴=+=+=25DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，，5CD ∴=ED C A F BxO yl（图1）ED C A F Bx Oyl （图2）GHM。

专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA MA NA —=—=—=k.PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: A B =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动，点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB 的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得OP 2=0B -OC即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j.... ＿3一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B =3, OM=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，A M ＝拓夼言夼＝幸2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2.9 4.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,44点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段固弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－-x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.．点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,B M,则OE'=2, OC = 3, OM =-:: 43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. BE'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM＝豆二尸三3)32 4而：．当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B 作BF 上BC 交抛物线的对称轴千点F,以点C 为圆心，2为半径作(,C'点Q 为C上的五一个动点，求－－B Q+FQ的最小值．42如图），抛物线）1＝成＋（a+3)..I,＋3(a'1'0)与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B,;{:丘轴上有一动点E(m,O )(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB千点N,交抛物线于点P,过点P作PM上AB千点M.y yxX图l(I)求a的值和且线AB的函数表达式：图2C. 6(2)设t:.PMN的周长为C,,t:.A EN的周长为C“若-=－求m的值C 5(3)如图2,在（2)的条件下，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE',旋转角为a (0°<a<90勺，连按E'A 、EB，求E'A＋二E＇B的最小值．33.(20l9山东中考真题）如图I,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B图1图2(l)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2,若P点是半径为2的0B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+�PA的2值最小，请求出这个最小值，并说明理由．4.(2018广西柳州中考真题）如图，抛物线y= a.x2 +bx+c圭卢轴交千A(.J3,0), 8两点（点8在点A的左侧），与Y轴交于点C,且08=30A=./3oc'LO A C的平分线AD交Y轴于点D,过点A且垂直于AD的均线［交Y轴于点E,点P是X轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF..l.x轴，垂足为F,交直线AD千点H.(l)求抛物线的解析式：(2)设点P的横坐标为111,当FH=HP时，求1/1.的值：I(3)当归线P F为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，－H C为半径作1)H,点Q为o H上的一个动点，求2l�AQ+EQ的最小值4x专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1) PA MA NA —=—=—=k .PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: AB =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求．A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得O P 2=0B -O C 即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B=3, O M=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，AM ＝拓千言夼＝孛2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2. 94.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,4 4点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－－x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,BM,则OE'=2,OC=3, OM=-::43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM ＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. B E'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM ＝芦言尸＝玉3 J3 2 4而：当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B作BF上BC交抛物线的对称轴千点F,以点C为圆心，2为半径作(,C'点Q为C上的五一个动点，求－－B Q+F Q的最小值．4【答案】(I)y=入.2-3x-4(2)P{l,6)或(3,4)(3)扫3【分析】(I)根据点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=－．待定系数法求二次函数解析式即可，2(2)先求得直线BC解析式，设P(m,m2-3m-4)，则Q(m m-4)，过点P作PQ轴交直线BC千点Q,根据S四边彤A BPC= s AOC +S如，等干16建立方程，解一元二次方程即可求得Ill的值，然后求得P的坐标，五(3)在CB上取CE=－－，过点E作EG J_OC，构造CQE V>.C BQ，则当F,Q E三点共线时，取得最小值，最小值为FE,勾股定理解直角三形即可．【详解】（I)解：？抛物线y＝矿＋bx-4与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C,点A的坐标为-l,O),抛物线的对称轴是宜线x=－，3:. C(O,--4)，， 4 ， 。

备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。

而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。

以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。

解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。

【典例示范】类型一 圆的基本性质应用例1：如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m 的图象经过点P （4，5），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，且S △P AB ＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q 使得△P AQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A 、P 、C 三点的圆与抛物线交于另一点D ，求出D 点坐标及四边形P ACD 的周长．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）． 【思路引导】（1）因为抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m ，函数的对称轴为：x ＝1，S △P AB ＝10＝12×AB ×y P ＝12AB ×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A 、B 在点Q （Q′）的同侧；点A 、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作PO′⊥x 轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A 、P 、C 三点的圆，即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax+m，函数的对称轴为：x＝1，S△P AB＝10＝12×AB×y P＝12AB×5，解得：AB＝4，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点P的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）①当A、B在点Q（Q′）的同侧时，如图1，△P AQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，故点Q′（﹣2，5）；②当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，△P AQ和△PBQ的面积相等，则AM＝BN，而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，∴△AME≌△BNE（AAS），∴AE＝BE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：y＝53x﹣53…②，联立①②并解得：x＝﹣13或4（舍去4），故点Q（﹣13，﹣209），综上，点Q的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m2﹣2m﹣3），点O′（4，0），则DO′＝5，即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），故：m＝1，故点D（1，﹣4）；四边形P ACD的周长＝P A+AC+CD+PD＝【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.针对训练1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若k的值；（2）若OQ长的最大值为32，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．【答案】（1）2；（2）3225；（3）a的值为-3或2或-4或1．【解析】（1）设A(m，n)，∵∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A(1，2)，∵点A在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=1×2=2；（2）如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=12 BP，∵OQ长的最大值为32，∴BP长的最大值为32×2=3，如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=(t+2)2+(-2t)2，t=0(舍)或-45，∴B(-45，-85)，∵点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=-45×(-85)=3225；（3）∵抛物线经过点C(-2，0)，∴4a-2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a，c=-2a，∴y=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a时，取得最大值4a，则a•a2+a•a-2a=4a，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a，则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，解得a=-4或1，综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6的图象上的一对关联点的坐标：；x（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c 的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3√2．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝6的图象上的一对关联点．x故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ＋1．联立直线AB 及抛物线解析式成方程组，得：{y ＝﹣x ＋1y ＝x 2﹣2x ﹣1， 解得：{x 1=−1y 1=2 ，{x 2=−1y 2=2， ∴A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M ，N 关于直线y ＝x 对称，∴⊙T 的圆心在直线y ＝x 上．∵⊙T 的半径为3，∴M 1M 2＝√22×2×3＝3√2，∴m 的取值范围为1＜m≤1＋3√2． .3．已知：直线y=-x -4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E 为⊙D 上一动点(不与A 、O 重合)，连结AE 、OE ，问在x 轴上是否存在点Q ，使∠ACQ ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为(-3)或(-3+，7)；（3）Q坐标为8，0)、(--8，0)、(4，0)．【解析】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x2+2x．（2）在抛物线上存在点P使S△ACP=2S△ACD．如图1，连接AD并延长交y轴于点F，∵y=12x2+2x=12(x-2)2-2，∴点B为抛物线的顶点，∵点D为点B关于x轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x -4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为(-3)或(-7；（3）在x 轴上存在点Q 使∠ACQ ：∠AEO=2：3． ∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E 在⊙D 上且不与A 、O 重合，∠ACQ ：∠AEO=2：3． ①如图2，当点E 在优弧AO 上时，∠AEO=12∠ADO=45°， ∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则，解得：-，∴(4=，∴x Q=-8；ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：则AC=CG-t-t=4，解得：t=，∴(4=，∴x Q=-4--8，②当点E在劣弧AO上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°，∴∠ACQ=23∠AEO=90°．∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，∴Q点与A点对称，A (-4，0)∴x Q=4．综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为8，0)、(--8，0)、(4，0)4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=−m的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P2的值．的半径记为r，求lr【答案】（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②10+6√5．5【解析】（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴△＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，则y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB=OBOC =m+22（m+2）=12，在Rt△AOF中，tan∠OAF=OFOA =OF2=12，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1）．∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED ＝∠OCB ，∴tan ∠BED =12， 设BD ＝n ，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD BE =n BE =12， ∴BE ＝2n ，根据勾股定理得：DE =√BD 2+BE 2=√5n ，∴l ＝BD+BE+DE ＝（3+√5）n ，r =12DE =√52n ， ∴l r =√5）√52n =10+6√55． 5．．如图①，已知抛物线2139424y x x =-+的顶点为点P ，与y 轴交于点B ．点A 坐标为（3，2）．点M 为抛物线上一动点，以点M 为圆心，MA 为半径的圆交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）如图②，当点M 与点B 重合时，求CD 的长；（2）当点M 在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出CD 关于点M 横坐标x 的函数关系式；若不发生变化，求出CD 的长；（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点C 的坐标．【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C 坐标为：（1,0），()1-，()1+ 【解析】（1）如图：连结BC ，BD ，由题意得：904B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（3，2），∴AB =∴2OC ==，∴CD=2OC=4；（2）如图：作MH ⊥x 轴，连结MA ，MC ，设()M x y ，，则半径AM =∴CH ====2=， ∵MH ⊥CD ，∴CD=2CH=4，（3）①当△APC ∽△APD ，即全等时，∴PC=PD ，P 与M 重合，∵P （3，0），CD=4，∴C （1，0）②如图，点M 在点P 的左侧，△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x -4）=4，解得2x =±，∴()1C -， ③如图，点M 在点P 的右侧△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x+4）=4，解得2x =-±，∴()C ，综上所述，点C 坐标为：C （1，0）；()1C -；()C ； 6．已知抛物线 C 1：y ＝ax 2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C 1 上，且边 AC 所在的直线解析式为y ＝x +b ，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC 2BD 的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C 1 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M ，直线 y ＝t 与⊙M 相交于 H 、K 两点是否存在实数 t ，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=12x 2 ;(2)16;(3)见解析.【解析】（1）把点（2，2）坐标代入y ＝ax2，解得：a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝x2；（2）把y ＝x+b 和y ＝12x2得：x2﹣2x ﹣2b ＝0，设A 、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b ，点D 坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22），即D （1，﹣b ），B 坐标为（1，12）， AC2＝[√2（x2﹣x1）]2＝16b+8，BD ＝12+b ， ∴AC 2BD ＝16；(3)设点Q 坐标为（a ，12a2），点P 的坐标为（0，2），由 P 、Q 坐标得点M 的坐标为（a 2，14a2+1）， 设圆的半径为 r ，由P （0，2）、M 两点坐标可得r2＝a 24+（14a2﹣1）2＝116a4﹣14a2+1，设点M 到直线y ＝t 的距离为d ，则d2＝（a2+1﹣t ）＝116a4+12a2+1+t2﹣2t ﹣12a2t ，则 HK ＝2√r 2−d 2＝2√(12t −34)a 2+2t −t 2，当12t −34＝0 时，HK 为常数，t ＝32， HK ＝√3．7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，如图1，直角三角板△MON 中，OM=ON=√3，OQ=1，直线l 过点N 和点N ，抛物线y=ax 2+2√33x+c 过点Q 和点N ．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P 是抛物线y=ax 2+2√33x+c 上的一个动点．①初步尝试若点P 在y 轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，问：是否存在点P ，使得以N 、P 、A 为顶点的三角形与△ONQ 相似．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P 在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ ，与直线MN 交于点G ，以QG 为直径的圆交QN 于点H ，交x 轴于点R ，连结HR ，求线段HR 的最小值．【答案】（1）y=﹣√33x2+2√33x+√3（2）①（1，4√33）、（3，0）、（5，﹣4√3）②3√2+64【解析】 （1）由题意可知，Q （﹣1，0），N （0，√3），∴c=√3，即y=ax2+2√33x+√3， 将Q （﹣1，0）代入解析式得0=a ﹣2√33+√3，解得a=﹣√33， ∴抛物线解析式是y=﹣√33x2+2√33x+√3； （2）①分三种情况，如图2，情况一：点P 在第一象限时，△APN ∽△ONQ ，设AN=m ，则AP=√3m ，则P 的坐标（√3m ，m+√3），而点P 在抛物线上，代入可得m+√3=﹣√33（√3m ）2++2√33（√3m ）+√3， 解得m=√33，∴P1（1，4√33）； 情况二：点P 恰好在x 轴上，P2（3，0），情况三：P 在第四象限内，同情况一方法可解得P3（5，﹣4√3），②连结CH 和CR ，如图3，∵∠NQ0=60°，∴∠HCR=120°，∵CH=CR ，∴HR=√3CH ，∴HR 最小时，只需要半径最小，即直径最小即可，∴过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小，∴用面积法求出，QG=√6+√22，HR最小值=3√2+64．8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．【答案】（1）14x2+32x−4；（2）直线MC与⊙P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；∵AB是⊙P的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，∴∠CBO=∠ACO，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴AOOC =OC OB，∴OC2=OA·OB=16，∴OC=4，故C(0，﹣4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x ﹣2)，代入C 点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=14，故抛物线的解析式为：y=14(x+8)(x ﹣2)=14x 2+32x ﹣4；(2)由(1)知：y=14x 2+32x ﹣4=14(x +3)2﹣254；则M(﹣3，﹣254)， 又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，∴MP=254，PC=5，MC=154，∴MP 2=MC 2+PC 2，即△MPC 是直角三角形，且∠PCM=90°，故直线MC 与⊙P 相切．9．已知抛物线y=ax 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，在x 轴上有一点D （4，0），连接CD ．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q ，使得CD 平分∠ACQ ，请求出点Q 的坐标；（3）在直线CD 的下方的抛物线上取一点N ，过点N 作NG ∥y 轴交CD 于点G ，以NG 为直径画圆在直线CD 上截得弦GH ，问弦GH 的最大值是多少？（4）一动点P 从C 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C ﹣A ﹣D 运动，在线段CD 上还有一动点M ，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43；（2）点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）；（3）弦GH 的最大值81√580；（4）存在，t 的值为3或7【解析】解：（1）∵抛物线y=a x 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），∴{a +b ＝49a −3b ＝0，解得：a=1,b=3, ∴抛物线的表达式为y=x 2+3x ．（2）当y=4时，有x 2+3x=4，解得：x 1=﹣4，x 2=1，∴点C 的坐标为（﹣4，4），∴AC=1﹣（﹣4）=5．∵A （1，4），D （4，0），∴AD=5．取点E （﹣1，0），连接CE 交抛物线于点Q ，如图1所示．∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC ∥DE ，∴四边形ACED 为平行四边形，∵AC=AD ，∴四边形ACED 为菱形，∴CD 平分∠ACQ ．设直线CE 的表达式为y=mx+n （m≠0），将C （﹣4，4）、E （﹣1，0）代入y=mx+n ，得：{−4m +n ＝4−m +n ＝0 ，解得：{m =−43n =−43， ∴直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43．联立直线CE 与抛物线表达式成方程组，得：{y =−43x −43y =x 2+3x， 解得：{x 1=−4y 1=4 ,{x 2=−13y 2=−89 ， ∴点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）．（3）设直线CD 的表达式为y=kx+c （k≠0），将C （﹣4，4）、D （4，0）代入y=kx+c ，得：{−4k +c ＝44k +c ＝0 ，解得：{k =−12c =2 ， ∴直线CD 的表达式为y=﹣12x+2．设点N 的坐标为（x ，x2+3x ），则点G 的坐标为（x ，﹣12x+2），∴NG=﹣12x+2﹣（x2+3x ）=﹣x2﹣72x+2=﹣（x+74）2+8116，∵﹣1＜0，∴当x=﹣74时，NG 取最大值，最大值为8116． 以NG 为直径画⊙O′，取GH 的中点F ，连接O′F ，则O′F ⊥BC ，如图2所示．∵直线CD 的表达式为y=﹣12x+2，NG ∥y 轴，O′F ⊥BC ， ∴tan ∠GO′F=GF O′F =12， ∴GF O′G =√12+22=√55， ∴GH=2GF=2√55 O′G=√55NG ，∴弦GH 的最大值为√55×8116=81√580．（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD 于点P2，交CD于点M2，如图3所示．∵四边形ACED为菱形，∴点A、E关于CD对称，∴AM=EM．∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），∴EP1=4．由菱形的对称性可知EP2=4．∵点E的坐标为（﹣1，0），∴点P1的坐标为（﹣1，4），∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，又∵AC=AD=5，∴t的值为3或7．10．如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA=________°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】(1)90;(2)y=−18x2+54x;(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．【解析】解：(1)90；(2)连接OC，如图1所示，∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C(6, 8)，B(8, 4)∴OB所在直线的函数关系为y=12x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6, 3)，抛物线过O(0, 0)，E(6, 3)，A(10, 0)，∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x−10)，把E点坐标代入得：3=6a(6−10)，解得a=−18．∴此抛物线的函数关系式为y=−18x(x−10)，即y=−18x2+54x；(3)设点P(p, −18p2+54p)，①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：y =(−18p +54)x∴当x =6时，y =−34p +152，即Q 点纵坐标为−34p +152， ∴QE =−34p +152−3=−34p +92，S 四边形POAE =S △OAE +S △OPE =S △OAE +S △OQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12QE ⋅OD −12⋅QE ⋅P x •=12×10×3+12×(−34p +92)×6−12•(−34p +92)⋅(6−p )， =−38p 2+94p +15， ②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如右图3，P(p, −18p 2+54p)，A(10, 0) ∴设AP 所在直线方程为：y =kx +b ，把P 和A 坐标代入得，{10k +b =0pk +b =−18p 2+54p， 解得{k =−18p b =54p． ∴AP 所在直线方程为：y =−18px +54p ，∴当x =6时，y =−18p ⋅6+54p =12P ，即Q 点纵坐标为12P ，∴QE =12P −3，∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE =S △OAE +S △AQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12⋅QE ⋅DA −12⋅QE •(P x −6)=12×10×3+12⋅QE •(DA −P x +6)=15+12•(12p −3)⋅(10−p) =−14p 2+4p =−14(p −8)2+16，∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个，令−38p 2+94p +15=16，解得，p =3±√573， ∴当P 在CD 左侧时，四边形POAE 的面积等于16的对应P 的位置有两个，综上所知，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积S 等于16时，相应的点P 有且只有3个．类型二 与圆有关的位置关系例2．如图1，二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E 是y 轴负半轴上一点，连接BE ，将△OBE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN （点P 、M 、N 分别和点O 、B 、E 对应），并且点M 、N 都在抛物线上，作MF ⊥x 轴于点F ，若线段MF ：BF ＝1：2，求点M 、N 的坐标；③点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过A 、B 两点，并且和直线CD 相切，如图3，求点Q 的坐标．【答案】（1）（1，﹣4a ）；（2）①y=﹣x 2+2x+3；②M （52，74）、N （32，154）；③点Q 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣）．【思路引导】 （1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD 是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD 的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．【解析】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=5 2 .∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH =DH =1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD =4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b =﹣；即点Q 的坐标为（1，4-+）或（1，4--．【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．针对训练1．抛物线y ＝﹣23x 2+73x ﹣1与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y ＝t (t ＜2524)上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．(1)点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ；(2)如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内(含边界)时，求t 的取值范围；(3)如图②，当t ＝0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （12，0）；B （3，0）；D （74，2524）；（2）1548≤t≤2548；（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P的坐标为（75-0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 【解析】解：（1）当y=0时，﹣23x 2+73x ﹣1=0， 解得x 1=12,x 2=3, ∴点A 的坐标为（12，0），点B 的坐标为（3,0）， ∵y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣23（x -74）2+2524, ∴点D 的坐标为（74，2524）； （2）∵点E 、点D 关于直线y=t 对称，∴点E 的坐标为（74，2t ﹣2524）． 当x=0时，y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣1， ∴点C 的坐标为（0，﹣1）．设线段BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，将B （3，0）、C （0，﹣1）代入y=kx+b ，301k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴线段BC 所在直线的解析式为y=13x ﹣1． ∵点E 在△ABC 内（含边界），∴2520242517212434tt⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⨯-⎪⎩，解得：1548≤t≤2548．（3）当x＜12或x＞3时，y=﹣23x2+73x﹣1；当12≤x≤3时，y=﹣23x2+73x﹣1．假设存在，设点P的坐标为（12m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜12或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣23x2+73x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣23m2+73m）2=14m2+1+14m2+（﹣23m2+73m﹣1）2，整理，得：m1，m2，∴点P 0，0）； ②当12≤m≤3时，点Q 的坐标为（m,23x 2-73x +1）（如图2）， ∵以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ， ∴CP ⊥PQ ，∴CQ 2=CP 2+PQ 2，即m 2+（23m 2﹣73m+2）2=14m 2+1+14m 2+（23m 2﹣73m+1）2， 整理，得：11m 2﹣28m+12=0，解得：m 3=611，m 4=2， ∴点P 的坐标为（311，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P 0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 2．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，114），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：（1）填空：线段AB 的长度d ＝ ；弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是 ；若S ＝3，则是否存在点C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是 ；（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝ ，该函数图象与⊙O 的位置关系是 ．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．【答案】抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+5；（1）＜x ＜；（2，相离或相切或相交；（3）相应S 的取值范围为S ＞14c 2．【解析】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5）， ∴y ＝ax 2+5， 将点（﹣3，114）代入， 得114＝a×（﹣3）2+5， ∴a ＝14﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y ＝2154x +﹣ ；（1）∵S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上），在y ＝2154x +﹣，当y ＝0时，x 1＝x 2＝﹣∴M （0），即当x ＝S ＝0，∴d 的值为∴弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是0＜x ＜当S ＝3 时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝3，整理，得a 2﹣＝0， ∵△＝b 2﹣4ac ＝﹣4＜0， ∴方程无实数根；当S ＝1.5时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝1.5，整理，得a 2﹣＝0，解得1a 2a∴当a +a当a a +∴若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB +故答案为：0＜x ＜+（2）设AC ＝y ，CB ＝x ，则y ＝﹣1所示的线段PM ，则P （0，，M （0）， ∴△OPM 为等腰直角三角形，∴PM OP ＝， 过点O 作OH ⊥PM 于点H ，则OH ＝12PM ，∴当0＜x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相离；当x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相切；＜x ＜AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相交；，相离或相切或相交； （3）设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ， 则222-a b c a b x c ++＝，＝ ， ∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ， ∴（x ﹣c ）2＝c 2+2ab ，∴2111242ab x cx =-， 即S ＝()22211114244x cx x c c -=-+，∴x 的取值范围为：x ＞c ， 则相应S 的取值范围为S ＞214c ．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值； （3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，QHN OCA ∠∠∴=，1tan QHN2∠∴=，则sin QHN ∠=，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．4．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L 2给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有PQ 1PQ 2是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值PQ1PQ 2为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O ′为圆心，半径分别为r 1、r 2(都是常数)的两个同心圆C 1、C 2，从点O ′任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有O ′MO ′N =r 1r 是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为r1r 2，“曲心”为O ′．(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O 与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±√3；（3）m>1，k2=m2−1．【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，∵AD ⊥x 轴、BC ⊥x 轴， ∴AD//BC ， ∴OA OB=OD OC=k 2k=12，∴两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切， 则OA =OC =2k ，又∵OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(2k)2， 解得：k =√3(负值舍去)， 由对称性可取k =−√3， 综上，k =±√3；(3)根据题意得A(k,k 2)、B(mk,mk 2)， 因此D(k,0)、C(mk,0)， ∵⊙O 与直线BC 相切， ∴OA =OC =mk ， 由OA >OD 可得mk >k ， 则m >1，由OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(mk)2， 整理，得：k 2=m 2−1．5．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为314y x =-+；二次函数解析式为214y x =． （2）相切，证明见解析（3）当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π． 【解析】()1把()4,4A -代入1y kx =+得34k =-∴一次函数的解析式为314y x =-+ ∴二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y 轴，∴二次函数的解析式为2y ax =,将()4,4A -代入解析式得14a =-∴二次函数的解析式为214y x =-()2由231414y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得44x y =-⎧⎨=⎩或114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,4B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，取,A B 的中点317,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过P 作直线l 的垂线,垂足为N ,则3,12N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1725188PN ∴=+=，而直径254AB ∴==12PN AB ∴=，即圓心到直线l 的距离等于半径， 以AB 为直径的圆与直线l 相切.()3平移后二次函数的解析式为()2124y x t =--,令0,y =得()212120,224x t x x --==-=过,,F M N 三点的國的圆心C 一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点F 到直线2x =2的距离,点C 坐标为()2,1. 此时,半径为2,面积为4π设圆心为,C MN 的中点为E ,连接,CE CM ,则1CE =，在三角形CEM 中，ME =MN ∴=2134MN x x t =-=∴= ∴当3t 4=时，过,,F M N 三点的圓面积最小,最小面积为4π. 6．如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ． （1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）MN=t 2+2；（3）t 的值为1或0；（4）满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）【解析】（1）∵抛物线C1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），∴{1=4a −2b −1−1=a −b −1，解得：{a =1b =1 ， ∴抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）∵动直线x=t 与抛物线C1交于点N ，与抛物线C2交于点M ，∴点N 的纵坐标为t 2+t ﹣1，点M 的纵坐标为2t 2+t+1，∴MN=（2t 2+t+1）﹣（t 2+t ﹣1）=t 2+2；（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN 时，由已知N （t ，t 2+t ﹣1），A （﹣2，1），∴AN=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t1=0（舍去），t2=1，∴t=1；②当∠AMN=90°，AN=MN 时，由已知M （t ，2t 2+t+1），A （﹣2，1），∴AM=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t 1=0，t 2=1（舍去），∴t=0，故t 的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M 位于y 轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K （0，3），B 、O 、N 三点共线，∵A （﹣2，1），N （1，1），P （0，﹣1），∴点K 、P 关于直线AN 对称，设⊙K 与y 轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），∴Q2与点O 关于直线AN 对称，∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP ，则NQ2延长线与⊙K 交点Q1，Q1、Q2关于KN 的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP ，由图形易得Q1（﹣1，3），设点Q3坐标为（a ，b ），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2√2，由∵⊙K 半径为1，∴{(a −1)2+(b −1)2=(2√2)2a 2+(b −3)2=12，解得：{a 1=35b 1=195 ，{a 2=−1b 2=3 ， 同理，设点Q4坐标为（a ，b ），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=√2，∴{(a −1)2+(b −1)2=(√2)2a 2+(b −3)2=12 ，解得：{a 3=45b 3=125 ，{a 4=0b 4=2 ， ∴满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.7．如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标；（2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M上一动点，求2QB '+的最小值． 【答案】（1）；（2）3；（3【解析】(1) (,)D m m，OD =， 菱形CODM2OD OC ∴===m ∴= (2)①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于,A B 两点，∴联立，222y x mx m m =-++，2y x =+解得1111x m y m =-⎧⎨=+⎩，2224x m y m =+⎧⎨=+⎩ ∵点A 在点B 的左侧(1,1)A m m ∴-+，(2,4)B m m ++AB ∴==∴直线OD 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+//AB OD ∴，两直线,AB OD 之间距离22h =⨯=11322APBS AB h ∴=⋅=⨯=(3) (1,1)A m m -+，(2,4)B m m ++1AM ∴==2BM ==由M 点坐标(,2)m m +，D 点坐标(,)m m 可知以MD 为半径的圆的半径为(2)2m m +-=取MB 的中点N ，连接,,QB QN QB '，则12MN BM ==⨯=MN QMMN QM QM BM ==QMN BMQ ∠=∠， ~MNQ MQB ∴，2QN MN OB OM ∴==，QN ∴=由三角形三边关系，当,,Q N B '三点共线时QB '+最小， ∵直线AB 的解析式为2y x =+，∴直线AB 与对称轴夹角为45°，∵点,B B '关于对称轴对称， 90BMB '︒∴∠=，由勾股定理得，2QB '+最小值===.8．如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过A ，B ，C 三点，顶点为F.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上的一动点(不与C 点重合)，试探究：①若以A ，B ，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F ，试判断直线MF 与☉E 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x 2-32x -4，F (3，−254)；(3)①所点M 的坐标为(6，-4)，(√41+3，4)，(-√41+3，4)；②若M 点位于第四象限，则M 点即为M1点，此时直线MF 和☉E 相切，理由见解析.【解析】(1)由题图可得点A 的横坐标为3-5=-2，点B 的横坐标为3+5=8，连接CE ，则CE=5，又OE=3，。

专题10二次函数与圆存在性问题二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．7．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．8．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．9．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；＝，求点P的坐标；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△P AC（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．10．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．11．（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．12．（2021•常州二模）如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x 轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．13．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值14．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x 轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．15．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝kx+m （k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．16．（2021秋•上城区校级期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021秋•西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．18．（2021•雨花区二模）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．19．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．20．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．21．（2022•炎陵县一模）抛物线：y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点C（0，3），与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC 上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．（3）如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求∠OHG的度数；（4）如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2，求k的值．22．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴相交于点A （4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；（2）①分两种情形，当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，则EF＝EB，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，则GB＝t＜GE＝4t，从而得出矛盾；②由．设BD＝t，则DE＝，利用勾股定理得BE＝，则F坐标为（3﹣t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题．【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），∵抛物线经过点C（0，4），∴4＝﹣3a．解得．∴抛物线的表达式是；（2）①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，∴GB＝t＜GE＝4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，又∵GE＝GB﹣EB，∴EF＝EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB＝∠EDB＝90°．∴．∴设BD＝t，则DE＝；在Rt△BED中，由勾股定理得，．∴，∴F坐标为（3﹣t，3t），∵F点在抛物线上，∴，∴解得，t＝0（点F与点B重合，舍去）．∴F坐标为（，）．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C 代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式．（2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标．【解答】解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4），∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6，∴点A（﹣2，0），点B（6，0），把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．故答案为：y＝x2﹣x﹣3．（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，化简得＝0，x N+x M＝﹣＝4（k+1），x N x M＝＝8k﹣12..........①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3，化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0，y M+y N＝4k2，y M y N＝﹣16k2................②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴x O＝（x N+x M）＝2（K+1），代入直线方程得y O＝2k2，∴圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，∴＝，化简整理得16k2+12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x+y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx+x2﹣4x+y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【分析】（1）①把点M（﹣1，0），N（2，6）代入到y＝﹣2x2+bx+c中，可得b和c的值．②设P（a，﹣2a2+4a+6），再利用M（﹣1，0），N（2，6），得到MN、PM、PN的表达式，最后利用勾股定理求得a的值．（2）令C（0，c），当y＝0时，代入抛物线得x A x B＝﹣，根据两角对应相等，可得△AOC∽△DOB，然后再找到对应线段成比例，即得到n的值．【解答】解：（1）①把M（﹣1，0）N（2，6）代入y＝﹣2x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；②由①，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+4x+6，设P（a，﹣2a2+4a+6）∵M（﹣1，0），N（2，6），∴MN＝＝3，∴PM＝，PN＝，又∵PN⊥MN，则PM2＝MN2+PN2，（﹣1﹣a）2+（2a2﹣4a﹣b）2＝（3）2+（2﹣a）2+（2a2﹣4a）2．整理得：4a2﹣9a+2＝0，∴（a﹣2）（4a﹣1）＝0．∴a1＝2，a2＝．当a＝2时，P与N重合，∴a＝，PN＝．（2）证明：设OA＝﹣x A，OB＝x B，OD＝﹣n当y＝0时，﹣2x2+bx+c＝0，∴x A x B＝﹣，∴OA•OB＝﹣x A x B＝．∵∠CAO＝∠BDO，∠ACO＝∠DBO∴△AOC∽△DOB∴＝∴OA•OB＝OC•OD∴＝c•（﹣n）．∵c≠0∴n＝﹣．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．【分析】（1）分别求出P（，0），A（0，2），由两点间距离公式可求；＝×PM×OP＝×AP×3，可得a＝﹣；（2）抛物线的顶点为M（，2﹣a），由S△APM（3）连接PQ，BP，AM，设Q（t，at2﹣3at+2），求出M（﹣1，0），由垂径定理可得AM＝AQ，＝①，PQ＝AP，得②，联立①②可得a＝．【解答】解：（1）y＝ax2﹣3ax+2＝a（x﹣）2+2﹣a，∴抛物线的对称轴为x＝，∴P（，0），令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），∴PA＝；（2）由（1）可知抛物线的顶点为M（，2﹣a），∵a＜0，∴2﹣a＞0，∴S △APM ＝×PM ×OP ＝×AP ×3，∴（2﹣a ）×＝×3，解得a ＝﹣；（3）连接PQ ，BP ，AM ，∵MP ⊥AB ，∴＝，∵＝2，∴＝，∴AM ＝AQ ，设Q （t ，at 2﹣3at +2），∵AP ＝，P （，0），∴M （﹣1，0），∴＝①，∵PQ ＝AP ，∴②，联立①②可得t ＝或t ＝﹣1（舍），将t ＝代入①，可得a ＝．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；（3）如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用＝，即可求得答案．【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1；（3）线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E 的运动时间t的最小值．【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；（2）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；（3）方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），得出△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据t＝AP+PB＝PD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由t＝DB＝即可求出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P 为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2°分三种情况：当∠PMN＝90°时；当∠PNM＝90°时；当∠MPN＝90°时．分别求出符合条件的P点坐标便可．【解答】解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M（），N（），①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为，当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（，）；③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；。

水尾中学中考专项训练（压轴题）谜底之阿布丰王创作1．（四川模拟）如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,∠ACB ＝90°,AC ＝23,BC ＝1．以AC 为一边,在AC 的右侧作等边△ACD ,连接BD ,交⊙O 于点E ,连接AE ,求BD 和AE 的长．解：过D 作DF ⊥BC ,交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形∴AD ＝CD ＝AC ＝23,∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°,∴∠ACF ＝90°∴∠DCF ＝30°,∴DF ＝12CD ＝3,CF ＝3DF ＝3∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4∴BD ＝BF2＋DF2＝16＋3＝19∵AC ＝23,BC ＝1,∴AB ＝AC2＋BC2＝13 ∵BE ＋DE ＝BD ,∴AB2－AE2＋AD2－AE2＝BD 即13－AE2＋12－AE2＝19 ∴13－AE2＝19－12－AE2两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－219(12－AE2) 整理得：19(12－AE2)＝9,解得AE ＝719572．（四川模拟）已知Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠B ＝60°,D 为△ABC 外接圆⊙O 上AC ︵的中点．（1）如图1,P 为ABC ︵的中点,求证：PA ＋PC ＝3PD ；（2）如图2,P 为ABC ︵上任意一点,（1）中的结论还成立吗？请说明理由．D（1）证明：连接AD∵D 为AC ︵的中点,P 为ABC ︵的中点 ∴PD 为⊙O 的直径,∴∠PAD ＝90° ∵∠B ＝60°,∴∠APC ＝60°∵D 为AC ︵的中点,∴∠APD ＝∠CPD ＝30° ∴PA ＝PD ·cos30°＝32PD ∵P 为ABC ︵的中点,∴PA ＝PC ∴PA ＋PC ＝3PD （2）成立 理由如下：延长PA 到E ,使EA ＝PC ,连接DE 、AD 、DC 则∠EAD ＋∠PAD ＝180° ∵∠PCD ＋∠PAD ＝180° ∴∠EAD ＝∠PCD∵D 为AC ︵的中点,∴AD ︵＝CD ︵ ∴AD ＝CD∴△EAD ≌△PCD ,∴ED ＝PD 过D 作DH ⊥PE 于H 由（1）知,∠APD ＝30°∴PH ＝PD ·cos30°＝32PD ,PE ＝2PH ＝3PD∵PA ＋EA ＝PE ,∴PA ＋PC ＝3PD3．（湖北模拟）如图,AB 是⊙O 的直径,PA 、PC 分别切⊙O 于A 、C ,CD ⊥AB 于D ,PB 交CD 于E ．P（1）求证：CE ＝DE ；（2）若AB ＝6,∠APC ＝120（1）证明：连接OP 、OC 、BC ∵PA 、PC 是⊙O 的切线∴PA ＝PC ,∠PAO ＝∠PCO ＝90°又PO ＝PO ,∴Rt △PAO ≌Rt △PCO∴∠POA ＝∠POC ,∴∠AOC ＝2∠POA 又∠AOC ＝2∠ABC ,∴∠POA ＝∠ABC 又∠PAO ＝∠CDB ＝90°,∴△PAO ≌△CDB ∴PA CD ＝OA BD∵∠PAB ＝∠EDB ＝90°,∠PBA ＝∠EBD ∴△PAB ≌△EDB ,∴PA ED ＝BABD∵AB ＝2OA ,∴PA ED ＝2OA BD ＝2PACD∴CD ＝2ED ,∴CE ＝DE（2）解：∵∠APC ＝120°,∠PAO ＝∠PCO ＝90° ∴∠AOC ＝60°,∴∠DCO ＝30° ∵AB ＝6,∴OA ＝OC ＝3∴OD ＝OC ·sin30°＝32,CD ＝OC ·cos30°＝332∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △DOCBB＝60×π×32360－12×32×332＝3π2－9384．（上海模拟）如图,⊙O 的半径为6,线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ,AC ＝4,∠BOD ＝∠A ,OB 与⊙O 相交于点E ,设OA ＝x ,CD ＝y ．（1）求BD 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域； （3）当CE ⊥OD 时,求AO 的长．解：（1）∵OC ＝OD ,∴∠OCD ＝∠ODC ,∴∠OCA ＝∠ODB ∵∠BOD ＝∠A ,∴△OBD ∽△AOC ,∴BD OC ＝ODAC∵OC ＝OD ＝6,AC ＝4,∴BD 6＝64,∴BD ＝9（2）∵△OBD ∽△AOC ,∴∠AOC ＝∠B 又∵∠A ＝∠A ,∴△ACO ∽△AOB ,∴AB AO ＝AOAC∵AB ＝AC ＋CD ＋BD ＝y ＋13,∴y ＋13x ＝x4∴y ＝14x 2－13∵0＜y ＜8,∴0＜14x 2－13＜12,解得213＜x ＜10∴界说域为213＜x ＜10（3）∵OC ＝OE ,CE ⊥OD ．∴∠COD ＝∠BOD ＝∠A∴∠AOD ＝180º－∠A －∠ODC ＝180º－∠COD －∠OCD ＝∠ADOABDCEOABDCE O∴AD ＝AO ,∴y ＋4＝x ,∴14x 2－13＋4＝x∴x ＝2±210（舍去负值） ∴AO ＝2±2105．（北京模拟）如图,抛物线y ＝2m x 2－2x 与x 轴负半轴交于点A ,极点为B ,且对称轴与x 轴交于点C ．（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式暗示）；（2）D 为BO 中点,直线AD 交y 轴于E ,若点E 的坐标为（0,2）,求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下,点M 在直线BO 上,且使得△AMC 的周长最小,P 在抛物线上,Q 在直线 BC 上,若以A 、M 、P 、Q 为极点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标．解：（1）∵y ＝2m x 2－2x ＝2m (x －12m )2－12m∴抛物线的极点B 的坐标为（12m ,－12m ） （2）令2m x 2－2x ＝0,解得x 1＝0,x 2＝m∵抛物线y ＝2m x 2－2x 与x 轴负半轴交于点A ∴A （m ,0）且m ＜0. 过点D 作DFx 轴于F由D 为BO 中点,DF ∥BC ,可得CF ＝FO ＝12COA B C DOy x EA BC O yx 备用图 AB C DOyxEF∴D ＝12BC由抛物线的对称性得AC ＝OC ,∴AF AO ＝34∵DF ∥EO ,∴△ADF ∽△AEO ,∴DF EO ＝AFAO由E （0,2）,B （12m ,－12m ）,得OE ＝2,DF ＝－14m∴－14m 2＝34,∴m ＝－6∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2－2x（3）依题意,得A （－6,0）,B （－3,3）,C （－3,0） 可得直线OB 的解析式为y ＝－x ,直线BC 为x ＝－3作点C 关于直线BO 的对称点C 1（0,3）,连接AC 1交BO 于M ,则M 即为所求由A （－6,0）,C 1（0,3）,可得直线AC 1的解析式为y ＝12x ＋3由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋3y ＝－x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2∴点M 的坐标为（－2,2）由点P 在抛物线y ＝－13x 2－2x 上,设P （t ,－13t 2－2①当AM 为平行四边形的一边时如右图,过M 作MG ⊥x 轴于G ,过P 作PH ⊥BC 于H 则x G ＝x M ＝－2,x H ＝x B ＝－3可证△AMG ≌△PQH ,得PH ＝AG ＝4 ∴t －(－3)＝4,∴t ＝1 ∴P 1（1,－73）如右图,同理可得PH ＝AG ＝4 ∴－3－t ＝4,∴t ＝－7 ∴P 2（－7,－73）②当AM 为平行四边形的对角线时如右图,过M 作MH ⊥BC 于H ,过P 作PG ⊥x 轴于G 则x H ＝x B ＝－3,x G ＝x P ＝t可证△APG ≌△MQH ,得AG ＝MH ＝1 ∴t －(－6)＝1,∴t ＝－5 ∴P 3（－5,53）综上,点P 的坐标为P 1（1,－73）,P 2（－7,－73）,P 36．（上海模拟）已知：如图,直线y ＝x －15与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ,抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的极点为点D ,与x 轴的另一个交点为点C ,对称轴与x 轴交于点H ,求△DAC 的面积；（3）若点E 是线段AD 的中点,CE 与DH 交于点G ,点P 在y 轴的正半轴上,△POH 是否能够与△CGH 相似？如果能,请求出点P 的坐标；如果不能,请说明理由．解：（1）由题意,得A （15,0）,B （0,－15） ∵抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧－13×152＋15b ＋c ＝0c ＝－15解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6c ＝－15∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋6x －15（2）∵y ＝－13x 2＋6x －15＝－13(x －9)2＋12∴极点D 的坐标为（9,12） 设y ＝0,则－13(x －9)2＋12＝0∴(x －9)2＝36,∴x 1＝3,x 2＝15 ∴C （3,0）,∴AC ＝15－3＝12 ∴S △DAC ＝12AC ·DH ＝12×12×12＝72（3）∵点E 是线段AD 的中点,点H 是线段AC 的中点 ∴点G 是△DAC 的重心.,∴GH ＝13DH ＝4①若PO GH ＝OHCH ,则△HPO ∽△CGH∴PO 4＝96,∴PO ＝6∴P 1（0,6）②若PO CH ＝OHGH ,则△PHO ∽△CGH∴PO 6＝94,∴PO ＝272∴P 2（0,272）∴△POH 能够与△CGH 相似,此时点P 的坐标为P 1（0,6）或P 2（0,272）7．（四川成都）如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y ＝54x＋m （m 为常数）的图象与x 轴交于点A （－3,0）,与y 轴交于点C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ,b ,c 为常数,且a ≠0）经过A ,C 两点,并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点,过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形？若存在,求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在,请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点,过点P 任意作一条与y 轴不服行的直线交抛物线于M 1（x 1,y 1）,M 2（x 2,y 2）两点,试探究M1P ·M2PM1M2是否为定值,并写出探究过程．解：（1）∵一次函数y ＝54x ＋m 的图象与x 轴交于点A （－3,0）∴54×(－3)＋m ＝0,解得m ＝154 ∴点C 的坐标是（0,154）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ,C 两点,且对称轴为直线x ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0c ＝154－b 2a＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14b ＝12c ＝154∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋154（2）假设存在点E ,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形（ⅰ）当CE ∥AF 时,点E 在x 轴上方,y E ＝y C ＝154由－14x 2＋12x ＋154＝154,解得x 1＝0（舍去）,x 2＝2∴E 1（2,154）,此时S □ACE 1F 1＝2×154＝152（ⅱ）当AE ∥CF 时,点E 在x 轴下方,y E ＝－y C由－14x 2＋12x ＋154＝－154,解得x 1＝1＋31,x 2∴E 2（1＋31,－154）过E 2作E 2H ⊥x 轴于H ,则△E 2HF 2≌△COA ∴HF 2＝AO ＝3,AF 2＝7＋31∴S □ACF 2E 2＝2S □ACF 2＝AF 2·CO ＝15(7＋31)4综上所述,存在符合条件的点E 1（2,154）,E 2（1＋31,－154）,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形,相应的面积分别是152,15(7＋31)4（3）方法一：∵A ,B 两点关于抛物线的对称轴x ＝1对称 ∴AP ＋CP ＝BP ＋CP ≥BC∴当C 、P 、B 三点在一条直线上时,△ACP此时点P 的坐标为（1,3）分别过点M 1,M 2作直线x ＝1的垂线,垂足为N 1在Rt △M 1PN 1中,由勾股定理得M 1P 2＝M 1N 12＋PN 12＝(x 1－1)2＋(y 1－3)2①∵y 1＝－14x 12＋12x 1＋154＝－14(x 1－1)2＋4即(x 1－1)2＝4(4－y 1),将其代入①,得M 1P 2＝(5－y 1)2∴M 1P ＝5－y 1（y 1＜5） 同理M 2P ＝5－y 2由M 1N 1∥M 2N 2,得△M 1PN 1∽△M 2PN 2 ∴M1P M2P ＝N1P N2P ,即5－y15－y2＝3－y1y2－3 整理得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)－15∴M1P ·M2P M1M2＝(5－y1)(5－y2)(5－y1)＋(5－y2)＝y1y2－5(y1＋y2)＋2510－(y1＋y2)＝1故M1P ·M2P M1M2是定值,其值为1方法二：同方法一得点P 的坐标为（1,3） 设过点P 的直线表达式为y ＝kx ＋3－k联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3－k y ＝－14x 2＋12x ＋154 消去y ,整理得x 2＋(4k －2)x －(4k ＋3)＝0∴x 1＋x 2＝2－4k ,x 1x 2＝－(4k ＋3)由y 1＝kx 1＋3－k ,y 2＝kx 2＋3－k ,得y 1－y 2＝k (x 1－x 2) ∴M 1P 2·M 2P 2＝[(x 1－1)2＋(y 1－3)2][(x 2－1)2＋(y 2－3)2]＝[(x 1－1)2＋k 2(x 1－1)2][(x 2－1)2＋k 2(x 2－1)2] ＝(k 2＋1)2(x 1－1)2(x 2－1)2＝(k 2＋1)2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)2＝16(k 2＋1)2M 1M 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝16(k 2＋1)2∴M 1P 2·M 2P 2＝M 1M 22,即M 1P ·M 2P ＝M 1M 2 故M1P ·M2P M1M2是定值,其值为18（四川雅安）在直角坐标系中,已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1,0）和点B ,极点为P ．（1）若点P 的坐标为（－1,4）,求此时抛物线的解析式；（2）若点P 的坐标为（－1,k ）,k ＜0,点Q 是y 轴上一个动点,当k 为何值时,QB ＋QP 取得最小值5；（3）试求满足（2）时动点Q 的坐标．解：（1）由题意,设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋4 将A （1,0）代入上式,得a ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4（2）作点P （－1,k ）关于y 轴的对称点P ′∴QP ＝QP ′∵抛物线极点为P （－1,k ）,∵抛物线与x 轴交于点A （1,0）和点B ,∴B 若QB ＋QP 最小,即QB ＋QP ′最小 则B 、Q 、P ′三点共线,即P ′B ＝5 又AB ＝1＋3＝4,连接P ′A ,则P ′A ⊥AB∴△P ′AB 是直角三角形,∴P ′A ＝52－42＝3 ∴k ＝3（3）由（2）知,△BOQ ∽△BAP ′ ∴BO BA ＝OQ AP ′,即34＝OQ 3,∴OQ ＝94 ∴动点Q 的坐标为（0,－94）10．（四川乐山）如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为（m ,m ）,点B 的坐标为（n ,－n ）,抛物线经过A 、O 、B 三点,连接OA 、OB 、AB ,线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2－2x －3＝0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合）,直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y①当△OPC 为等腰三角形时,求点P ②求△BOD 面积的最年夜值,解：（1）解方程x 2－2x －3＝0,得x 1＝－1,x ∵m ＜n ,∴m ＝－1,n ＝3 ∴A （－1,－1）,B （3,－3）∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝a －b －3＝9a ＋3b解得a ＝－12,b ＝12∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋12x（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－k ＋b－3＝3k ＋b 解得k ＝－12,b ＝－32∴直线AB 的解析式为y ＝－12x －32∴C 点坐标为（0,－32）∵直线OB 过点O （0,0）,B （3,－3）∴直线OB 的解析式为y ＝－x∵△OPC 为等腰三角形,∴OC ＝OP 或OP ＝PC 或OC ＝PC 设P （x ,－x ）（i ）当OC ＝OP 时,x 2＋(－x )2＝94解得x 1＝324,x 2＝－324（舍去）,∴P 1（324,（ii ）当OP ＝PC 时,点P 在线段OC （iii ）当OC ＝PC 时,x 2＋(－x ＋32)2＝94解得x 1＝32,x 2＝0（舍去）,∴P 3（32,－32）∴P 点坐标为P 1（324,－324）或P 2（34,－34）或P 3（32,－32）②过点D 作DG ⊥x 轴,垂足为G ,交OB 于Q ,过B 作BH ⊥x 轴,垂足为H设Q （x ,－x ）,则D （x ,－12x 2＋12x ）∴DQ ＝－12x 2＋12x ＋x ＝－12x 2＋32x∴S △BOD ＝S △ODQ ＋S △BDQ ＝12DQ ·OG ＋12DQ ·GH ＝12DQ (OG ＋GH )＝12(－12x 2＋32x )×3＝－34(x －32)2＋2716 ∵0＜x ＜3∴当x ＝32时,S 取得最年夜值为2716,此时D （32,－38）11．（四川模拟）如图,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ,与y 轴正半轴交于点C ,抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．已知A （－2,0）,tan ∠ABC ＝34,S △ABC ＝9．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一点,且以B 、D 、P 为极点的三角形与△ABC 相似,求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,请你选择一个P 点求出△BDP 外接圆圆心的坐标．解：（19去负值）∴B （4,0）,C （0,3）∴设抛物线为y ＝a (x ＋2)(x －4),把C （0,3）代入,得 3＝a (0＋2)(0－4),解得：a ＝－38∴抛物线的解析式为y ＝－38(x ＋2)(x －4)即y ＝－38x 2＋34x ＋3（2）存在∵y ＝－38x 2＋34x ＋3＝－38(x －1)2＋278备用图∴抛物线的对称轴是直线x ＝1 ∴D （1,0）,∴OD ＝1∵OA ＝2,OB ＝4,OC ＝3,∴AB ＝6,BC ＝5,BD ＝3 当△BDP ∽△BAC 时,则∠BDP ＝∠BAC ∴DP ∥AC∵D 为AB 中点,∴P 为CB 中点 ∵B （4,0）,C （0,3）,∴P 1（2,32）当△BPD ∽△BAC 时,则BP BA ＝BDBC∴BP 6＝35,∴BP ＝185过点P 作PH ⊥OB 于H ,则△BPH ∽△BCO ∴BH BO ＝PH CO ＝BP BC ,∴BH 4＝PH 3＝1855 ∴BH ＝7225,PH ＝5425,∴P 2（2825,5425）∴满足条件的P 点有两个,P 1（2,32）,P 2（2825,5425）（3）选择P （2,32）,设E 为△BDP则点E 是线段BD 的中垂线和线段BP 易知线段BD 的中垂线为x ＝52,设点E 由ED ＝EP ,得(52－1)2＋m 2＝(52－2)2＋(m －32)2解得m ＝112,即E （52,112）∴当点P 坐标为（2,32）时,△BDP 外接圆圆心的坐标为（52,112）12．（四川模拟）已知圆⊙A 的半径为2,圆心A （t ,0）是抛物线y ＝－12x 2＋bx 与x 轴的交点,点P 是x 轴上方抛物线上任意一点,点Q 是线段OP 的中点．（1）如图1,当t ＝4时,点P 在抛物线上运动,点Q 跟随点P 运动,其运动路径也是一段抛物线,直接写出点Q 运动路径的函数解析式,并指出自变量的取值范围；（2）如图2,当∠POA ＝45°且t ＞0时,过点Q 作OP 的垂线l ,证明直线l 与⊙A 相切；（3）当∠POA ＝45°时,使得直线l 与⊙A 相切于点M ,且四边形PAMQ 点构成以AP 请说明理由．解：（1）y 提示：当t ＝4时,A （4,0）,代入y ＝－2x 2＋bx ,得b ＝2∴抛物线为y ＝－12x 2＋2x设P （m ,－12m 2＋2m ）,则Q （12m ,－14m 2＋m ）设Q （x ,y ）,则x ＝12m ,y ＝－14m 2＋m∴m ＝2x ,∴y ＝－14(2x )2＋2x ＝－x 2＋2x∵0＜m ＜4,∴0＜x ＜2∴点Q 运动路径的函数解析式为y ＝－x 2＋2x （0＜x ＜2） （2）∵y ＝－12x 2＋bx ,∴A （2b ,0）∵∠POA ＝45°,∴直线OP 的解析式为y ＝x联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－12x 2＋bx 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0y1＝0（舍去）⎩⎪⎨⎪⎧x2y2∴P （2b －2,2b －2）设l 与x 轴交于点D ,连接PD 由题意,l 是线段OP 的垂直平分线 ∴OD ＝PD ,∴∠OPD ＝∠POD ＝45°∴∠ODP ＝90°,∴△OPD 是等腰直角三角形 ∴∠ODQ ＝45°,OD ＝2b －2 ∴AD ＝2b －(2b －2)＝2过点A 作AM ⊥l 于M ,则∠ADM ＝45° ∴△ADM 是等腰直角三角形 ∴AM ＝22AD ＝2＝⊙A 的半径∴直线l 与⊙A 相切（3）∵四边形PAMQ 为矩形,∴PQ ＝AM ＝2 ∴OP ＝22,∴P （2,2）,∴Q （1,1） ∴2b －2＝2,∴b ＝2∴A （4,0）,抛物线为y ＝－12x 2＋2x易得直线AQ 的解析式为y ＝－13x ＋43∵四边形ABPQ 是以AP 为对角线的梯形∴BP ∥AQ ,∴设直线BP 的解析式为y ＝－13x ＋n把P （2,2）代入,得n ＝83,∴y ＝－13x ＋83联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ＋83y ＝－12x 2＋2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2y1＝2（舍去）⎩⎪⎨⎪⎧x2＝83y 2＝169∴B （83,169）∴存在点B （83,169）,使由A 、B 、P 、Q 四点构成以AP 为对角线的梯形13．（四川模拟）如图,抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与直线l ：y ＝34x －1交于点A （4,2）、B （0,－1）． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 在直线l 下方的抛物线上,过点D 作DE ∥y 轴交l 于E 、作DF ⊥l 于F ,设点D 的横坐标为t ,△DEF 的周长为p ,求p 与t 的函数关系式,并求p 的最年夜值及此时点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上,点N 在x 轴上,若△BMN 是以M 为直角极点的等腰直角三角形,求点M 的坐标．解：（1）由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1（2）∵点D 在抛物线y ＝12x 2－54x －∴设D （t ,12t 2－54t －1）,则E （t ,34t ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2在y ＝34x －1中,令y ＝0,得x ＝43∴直线AB 与x 轴交于点C （43,0）∴BC ＝12＋(43)2＝53∴△OBC 的周长为为1＋43＋53＝∵DE ∥y 轴,DF ⊥l ,∴△DEF ∴p4＝－12t 2＋2t 53∴p ＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245∴当t ＝2时,p 有最年夜值为245此时D （2,－32）（3）过点M 作MG ⊥x 轴于G ,过点B 作BH ⊥MG易证△MGN ≌△BHM ,∴MG ＝BH∴12x 2－54x －1＝x 或12x 2－54x －1＝－x 解得x 1＝9＋1134,x 2＝9－1134,x 3＝1＋334,x 4＝1－334∴M 1（9＋1134,9＋1134）,M 2（9－1134,9－1134）M 3（1＋334,－1＋334）,M 4（1－334,－1－334）。