《连续体力学》习题及解答9

2 二阶张量及其若干运算法则(一) 概念、理论和公式提要2-1 张量的乘法① 张量的外乘(并乘) 张量的外乘用⊗表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。

② 张量的内乘(点乘) 张量的点乘用“·”表示(有时也可省去“·”)，其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。

③ 张量的双点乘记作“∶”(两次点乘)，例如B A∶；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。

设)(CT )(CT )(CT p n m 为，为，为C B A ，则)42(CT ⨯-++=p n m 为，∶∶D D C B A (2-1-1) 取)2(CT 244为，则，，D ===p n m ，其分量为rp mnrp ijmn ij C B A D = (2-1-2)其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分量的前两个指标依次相同。

④ 二阶张量ij ij T T =T T T T ∶，定义为的范数记为为正方根，且有时才取等号只当，o T T =≥0 (2-1-3) 的绝对值为标量，ααααT T = (2-1-4) R T R T +≤+ (2-1-5) R T R T ⋅≤∶ (2-1-6) a T a T ≤⋅ (2-1-7)R a a 的模，为矢量亦为二阶张量。

⑤ 设C B A B A 次缩拼为张量外积的和，则和分是是和s t r )(CT )(CT ，记为C B A =⊗s C)2(s t r -+为C 阶张量，其分量关系为mn k k k k k k ij mn ij s s B A C 2121= (2-1-8)反之，如果已知C B 和为张量，其分量与带指标的量 ij A 满足上式，则 ij A 为张量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。

A 的阶数等于s 2的阶数加C ，减去B 的阶数。

特别地当B ，t s =的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和C 的阶数之和。

连接体问题专项训练答案1.【答案】C【解析】根据题意可知第2节车厢对第3节车厢的牵引力为F ，因为每节车厢质量相等，阻力相同，故第2节对第3节车厢根据牛顿第二定律有3838F f ma ，设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F 1，则根据牛顿第二定律有122F f ma ，联立解得119F F 。

故选C 。

2.【答案】B 【解析】刚撤去外力F 时，由牛顿第二定律，对A 、B 组成的整体有F ＝2ma 1，对物体A 有F N －mg ＝ma 1，联立解得F N ＝F 2＋mg ，选项A 错误；弹簧弹力等于F 时，对A 、B 组成的整体有F －2mg ＝2ma 2，对物体A 有F N －mg ＝ma 2，联立解得F N ＝F 2，选项B 正确；当A 、B 恰好分离时，A 、B 间相互作用力为0，对A 有mg ＝ma ，a ＝g ，B 的加速度也为g ，根据牛顿第二定律分析可知弹簧恰好恢复到原长，选项C 、D 错误。

3.【答案】A【解析】隔离小球，可知小球的加速度方向沿斜面向下，大小为g sin θ，小球稳定后，支架系统的加速度与小球的加速度相同，对支架系统进行分析，只有斜面光滑，支架系统的加速度才是g sin θ，所以A 正确，B 错误．隔离斜面体，斜面体受到的力有自身重力、地面的支持力、支架系统对它垂直斜面向下的压力，因斜面体始终保持静止，则斜面体还应受到地面对它水平向左的摩擦力，C 、D 错误．4.【答案】C.【解析】：将a 、b 看做一个整体，加速度a ＝F a ＋F b m a ＋m b，单独对a 进行分析，设a 、b 间的作用力为F ab ，则a ＝F a ＋F ab m a ＝F a ＋F b m a ＋m b ，即F ab ＝F b m a －F a m b m a ＋m b，由于不知道m a 与m b 的大小关系，故F ab 可能为正，可能为负，也可能等于0.5.【答案】A【解析】：.A 、B 相对静止，即两物体的加速度相同，以A 、B 整体为研究对象分析受力可知，系统的加速度为g sin θ，故A 正确；再以B 为研究对象进行受力分析，如图，根据平行四边形法则可知，绳子的方向与斜面垂直，拉力大小等于G cos θ，故B 、C 、D 错误．6.【答案】C.【解析】：根据v －t 图线的斜率表示加速度，可知滑块被释放后，先做加速度逐渐减小的加速直线运动，弹簧弹力与摩擦力相等时速度最大，此时加速度为零，随后加速度反向增加，从弹簧恢复原长时到滑块停止运动，加速度不变，A 、B 错误；由题中图象知，滑块脱离弹簧后的加速度大小a 1＝Δv Δt ＝1.50.3m/s 2＝5 m/s 2，由牛顿第二定律得摩擦力大小为F f ＝μmg ＝ma 1＝2×5 N ＝10 N ，刚释放时滑块的加速度为a 2＝Δv ′Δt ′＝30.1m/s 2＝30 m/s 2，此时滑块的加速度最大，D 错误；由牛顿第二定律得kx －F f ＝ma 2，代入数据解得k ＝175 N/m ，C 正确．7.【答案】B【解析】：三个物块靠在一起，将以相同加速度向右运动，根据牛顿第二定律有F －μ(m ＋2m＋3m )g ＝(m ＋2m ＋3m )a ，解得加速度a ＝F －6μmg 6m.隔离R 进行受力分析，根据牛顿第二定律有F 1－3μmg ＝3ma ，解得R 和Q 之间相互作用力大小F 1＝3ma ＋3μmg ＝12F ；隔离P 进行受力分析，根据牛顿第二定律有F －F 2－μmg ＝ma ，可得Q 与P 之间相互作用力大小F 2＝F－μmg －ma ＝56F .所以k ＝F 1F 2＝12F 56F ＝35，由于k 值与μ是否为0无关，故B 正确、D 错误． 8.【答案】B【解析】由于整体匀速下滑，假设上面一个为大人，以大人为研究对象有Mg sin θ＝f 1＋T ，杆的弹力为T ，以小孩为研究对象有mg sin θ＋T ＝f 2。

连续介质力学习题二答案连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续介质的宏观性质和行为。

在学习连续介质力学的过程中，习题是不可或缺的一部分。

下面将为大家提供一些连续介质力学习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 一个均匀的弹性杆，长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。

如果在杆的一端施加一个拉力F，另一端固定，求杆的伸长量。

解答：根据胡克定律，弹性杆的伸长量与施加的拉力成正比。

所以，伸长量可以用下面的公式表示：ΔL = (F * L) / (A * E)其中，ΔL表示伸长量，F表示施加的拉力，L表示杆的长度，A表示横截面积，E表示杨氏模量。

2. 一个圆柱形的液体容器，底面半径为R，高度为H。

如果在容器的底部施加一个压力P，求液体容器内部的压强分布。

解答：液体容器内部的压强分布可以用下面的公式表示：P(z) = P + ρ * g * z其中，P(z)表示液体容器内部距离底部高度为z处的压强，P表示底部施加的压力，ρ表示液体的密度，g表示重力加速度。

3. 一个均匀的弹性球体，半径为R，杨氏模量为E。

如果在球体的表面施加一个压力P，求球体的压缩量。

解答：根据胡克定律，弹性球体的压缩量与施加的压力成正比。

所以，压缩量可以用下面的公式表示：ΔR = (P * R^3) / (3 * E)其中，ΔR表示压缩量，P表示施加的压力，R表示球体的半径，E表示杨氏模量。

4. 一个均匀的弹性体，体积为V，体积弹性模量为K。

如果在弹性体的体积上施加一个压力P，求弹性体的体积变化量。

解答：弹性体的体积变化量可以用下面的公式表示：ΔV = -(P * V) / K其中，ΔV表示体积变化量，P表示施加的压力，V表示弹性体的体积，K表示体积弹性模量。

以上是一些连续介质力学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

在学习连续介质力学的过程中，多做习题是非常重要的，通过解答习题可以加深对理论知识的理解和运用。

同时，也希望大家能够在学习中保持耐心和积极性，相信通过不断的努力，一定能够掌握连续介质力学的知识。

第一章 连续体力学一、本章重难点1、刚体定轴转动的特点及描述刚体定轴转动的各个物理量。

理解线量与角量的关系。

2、力矩、转动动能、转动惯量、刚体定轴转动定理。

3、角动量，刚体定轴转动的角动量定律、角动量守恒定律4、应力、应变的概念，应变的几种形式5、理解应力与应变的关系，弹性模量6、流体、理想流体、流线和流管、定常流动7、流体的连续性方程、伯努利方程8、泊肃叶定律9、层流、湍流、雷诺数10、粘性流体的伯努利方程、斯托克斯定律11、弯曲液面的附加压强（球形液面、柱形液面） 12、毛细现象、润湿和不润湿现象、气体栓塞二、课后习题解答1-1、一飞轮直径为0.2m ，质量为5.00kg ，t 边缘饶一轻绳，现用恒力拉绳子的一端，使其有静止均匀地加速，经0.50s 转速达10转/s 。

假定飞轮可看作实心圆柱体。

求； （1） 飞轮的角加速度及在这段时间转过的转数 （2） 拉力及拉力所做的功（3） 从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及边缘上一点的速度和切向加速度及发向速度。

解： ,/1058.1,/6.12,/126,/1026.1)3(3.4921212125232202s m r a s m r a s m r v s t J J J J A t n t t z z z ⨯======⨯====-=ωβωβωωωωτN mr F mr J rF M F r M n t s rad t t z z z 4.31212190,25.2221/6.125)1(20==∴===⇒=⨯===⇒===⇒=βββθπθβθωββωϖϖϖ）（转1-2、有一根长为l 、质量为m 的匀质细杆，两端各牢固的连接一个质量为m 的小球，整个系统可绕一过O 点并垂直于杆的水平轴无摩察的转动，如图。

当系统转到水平位置时，求： （1） 系统所受的和力矩 （2） 系统的转动惯量 （3） 系统的角加速度解： （1）设垂直纸面向里为z 轴的正方向（即力矩的正方向），合力矩为两小球及杆的重力矩之和。

1 欧氏矢量空间 正交 变换 张量(一) 概念、理论和公式提要1-1 欧氏矢量空间 基和基矢 (1) 欧氏矢量空间满足下列条件的矢量集合称为实的矢量空间，记作R R ，中的每一个矢量，例如R w v u 称为、、的一个元素： (a) 的一个元素，且有为R v u + )()(w v u w v u ++=++(b) u R u o u o R 中的任何元素。

对于，使得中包含零矢量=+，存在一个反元素)(u -，使得o u u =-+)((c) 对于任意实数βα、，有为单位值，11)()()()(u u vu v u uu u uu =+=++=+=αααβαβααββα满足下列条件的实矢量空间称为欧氏矢量空间(Euclidean vector space)，记作E ：(a) 对v u v u E ⋅，可定义一个标量、是中的任意一对元素，它具有下列性质：u v v u ⋅=⋅ (1-1-1)0≥⋅u u (1-1-2)等号只当o u =时成立。

(b) 对任意实数w v u E ，，中的元素及、βα等，有w v w u w v u ⋅+⋅=⋅+βαβα)( (1-1-3)(c) u u 的大小或模记为，并定义为u u u ⋅=2（1-1-4）的正方根。

如果u u ，则称1=为单位矢量。

如果v u o v u v u 与，则称，，且≠≠=⋅00正交。

(2) 基 正交基(a) 空间E 内线性无关矢量的最大个数E E 维空间的维数，称为空间n n 记为n E 。

由于连续体占有三维物理空间，所以我们一般地是在三维物理空间内讨论问题。

(6) 在3E 内，定义θcos v u v u =⋅ (1-1-5) k v u v u θsin =⨯ (1-1-6)式中v u k v u ⨯≤≤为单位矢，它表示，的夹角和为)0(πθθ的方向；通常采用右手螺旋法则确定k v u k 、、，即按顺序符合右手法则，且v u k 和正交所在平面；所以v u v u 和是一个正交于⨯的矢量，其指向由右手法则确定。

第一章 连续体力学思考题1-1 在固体的形变中，弹性模量是一个重要的参数。

杨氏模量的物理意义是什么？答：对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成正比。

在拉伸应变中l l Y∆＝拉σ 其中，比例系数Y 称为杨氏模量。

弹性模量实际上反映了材料对形变的抵抗能力。

在拉伸应变中，杨氏模量反映了材料对拉伸形变的抵抗能力。

1-2 生物材料的应力～应变关系与一般固体的应力～应变关系有什么不同？答：晶体材料的原子排列很有规则，原子间的键合比较紧密，可以产生较大的应力，杨氏模量一般较高；而生物材料绝大多数是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱。

当受到外力拉伸时，不仅生物材料的分子本身可以伸长，而且分子之间也容易发生滑动，杨氏模量相对较小。

1-3 液体的表面张力与橡胶弹性膜的收缩力有什么不同？答：前者来源于分子间的吸引力，后者来源于分子的形变；前者只存在于液体表面，后者存在于发生应变的弹性膜的整个横截面上。

1-4 图1-1中表示土壤中的悬着水，其上、下两液面都与大气接触。

已知 上、下液面的曲率半径分别为A R 和B R (B R >A R )，水的表面张力系数为γ，密度为ρ。

问悬着水高度h 为多大？解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。

对上液面应用拉普拉斯公式，得AA R p p γ20=- 对下液面使用拉普拉斯公式，得 BB 02R p p γ=- 图1-1 土壤中的悬着水 又因为gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 112R R g h ργ1-5 在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。

试解释这种现象的成因。

答：由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。

1．如图所示，有一块木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为M=4kg ，长为L=1.4m ；木板右端放着一小滑块，小滑块质量为m=1kg ，其尺寸小于L 。

小滑块与木板之间的动摩擦因数为μ==04102.(/)g m s（1）现用恒力F 作用在木板M 上，为了使得m 能从M 上面滑落下来，问：F 大小的范围是什么？（2）其它条件不变，若恒力F=22.8牛顿，且始终作用在M 上，最终使得m 能从M 上面滑落下来。

问：m 在M 上面滑动的时间是多大？2.如图所示，平板车B 的质量为3.0kg ，以4.0m/s 的速度在光滑水平面上向右运动．质量为1.0kg 的物体A 被轻放到车的右端，设物体与车上表面间的动摩擦因数为0.25．求：①如果平板车足够长，那么平板车最终速度多大？物体在车上滑动的时间是多少？ ②要使物体不从车上掉下，车至少要有多长？3、如图3-29所示，质量M=8Kg 的小车放在水平光滑的平面上，在小车右端加一水平恒力F ，F=8N ，当小车向右运动的速度达到1.5m/s 时，在小车前端轻轻放上一个大小不s 计，质量为m=2kg 的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长，求从小物块放上开始经过t=1.5s ，小物块通过的位移大上为多少？(取g=10m/s 2)4．如图所示，光滑水平面上的长L 为木板以恒定速度v 0向右运动，将一个质量为m 、长度也是L 金属板与木板左右对齐轻放于木板上，。

金属板与木板间动摩擦因数为μ。

求：⑴为保证金属板不能从木板上掉下，木板的速度v 0应满足什么条件？⑵保持木板匀速运动外力对木板所做功是多少？ 5.如图所示，质量为m=5kg 的长木板放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为m=5kg 的物块A 。

木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2=0.2。

现用一水平力F=60N 作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t=1s ，撤去拉力。

连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。

参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。

1．最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s ，产生的推力约为4.8×106 N ，则它在1 s 时间内喷射的气体质量约为A ．1.6×102 kgB ．1.6×103 kgC ．1.6×105 kgD ．1.6×106 kg2．雨打芭蕉是中国古代文学中常见的抒情意象，为估算雨滴撞击芭蕉叶产生的平均压强p ，小明将一圆柱形量筒置于雨中，测得时间t 内筒中水面上升的高度为h ，设雨滴下落的速度为0v ，雨滴竖直下落到水平芭蕉叶上后以速率v 竖直反弹，雨水的密度为ρ，不计雨滴重力。

压强p 为（ ）A ．0()v thv ρ- B ．0()v thv ρ+C ．220()v v ρ- D ．220()v v ρ+3．在某次火箭垂直回收飞行实验时，质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，火箭所在处的重力加速度为g 。

已知气体的喷出速度为v ，则火箭发动机对气体做功的功率为（ ）A ．MgvB ．12MgvC ．2MgvD ．212Mgv4．由高压水枪竖直向上喷出的水柱，将一个质量为16kg 的小铁盒开口向下倒顶在空中，铁盒悬停在距离水枪口的距离为1.8m 。

已知水以恒定速率从横截面积为3210m S -=的水枪中持续喷出，向上运动并冲击铁盒后，水流以不变的速率竖直返回；忽略水在与盒作用时水的重力的影响，水的密度为3310kg /m ，210m /s g =，则下列说法正确的是（ ）A．水冲击铁盒后以5m/s的速度返回B．水枪的输出功率为4kWC．水从水枪口喷出的速度为10m/s D．以上结果均不对5．在一个小池塘中有一个竖直向上的喷口，在水泵的工作下连续不断的竖直向上喷水，喷出的水又都会落回池塘。

已知喷口面积为S，水喷出后相对喷口能达到的最大高度为H，水的密度为ρ，重力加速度为g。

第一章 连续体力学一、本章重难点1、刚体定轴转动的特点及描述刚体定轴转动的各个物理量。

理解线量与角量的关系。

2、力矩、转动动能、转动惯量、刚体定轴转动定理。

3、角动量，刚体定轴转动的角动量定律、角动量守恒定律4、应力、应变的概念，应变的几种形式5、理解应力与应变的关系，弹性模量6、流体、理想流体、流线和流管、定常流动7、流体的连续性方程、伯努利方程8、泊肃叶定律9、层流、湍流、雷诺数10、粘性流体的伯努利方程、斯托克斯定律11、弯曲液面的附加压强（球形液面、柱形液面） 12、毛细现象、润湿和不润湿现象、气体栓塞二、课后习题解答1-1、一飞轮直径为0.2m ，质量为5.00kg ，t 边缘饶一轻绳，现用恒力拉绳子的一端，使其有静止均匀地加速，经0.50s 转速达10转/s 。

假定飞轮可看作实心圆柱体。

求； （1） 飞轮的角加速度及在这段时间转过的转数 （2） 拉力及拉力所做的功（3） 从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及边缘上一点的速度和切向加速度及发向速度。

解： ,/1058.1,/6.12,/126,/1026.1)3(3.4921212125232202s m r a s m r a s m r v s t J J J J A t n t t z z z ⨯======⨯====-=ωβωβωωωωτN m r F m r J rF M F r M n t s rad t t z z z 4.31212190,25.2221/6.125)1(20==∴===⇒=⨯===⇒===⇒=βββθπθβθωββω ）（转1-2、有一根长为l 、质量为m 的匀质细杆，两端各牢固的连接一个质量为m 的小球，整个系统可绕一过O 点并垂直于杆的水平轴无摩察的转动，如图。

当系统转到水平位置时，求： （1） 系统所受的和力矩 （2） 系统的转动惯量 （3） 系统的角加速度解： （1）设垂直纸面向里为z 轴的正方向（即力矩的正方向），合力矩为两小球及杆的重力矩之和。