等比数列及其前n项和 高一 二高

个性化教学辅导教案学科： 数学 年级：高一 任课教师： 授课时间： 2018 年 春季班 第04周 教学 课题等比数列及其前n 项和教学 目标1.等比数列基本量的计算；2.等比数列的性质；3.等比数列的判定与证明。

教学 重难点等比数列的综合应用教学过程突破点(一) 等比数列基本量的计算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．运用方程的思想求解等比数列的基本量(1)若已知n ，a n ，S n ，先验证q ＝1是否成立，若q ≠1，可以通过列方程(组)⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1q n －1，S n＝a 1(1－q n )1－q ，求出关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)若已知数列{a n }中的两项a n 和a m ，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1qm －1，计算时两式相除可先求出q ，然后代入其中一式求得a 1，进一步求得S n .另外，还可以利用公式a n ＝a m ·q n－m直接求得q ，可减少运算量．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求首项a 1，公比q 或项数n[例1] (1)(2017·太原模拟)已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2(2)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12求通项或特定项[例2] (1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．(2)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.[方法技巧]求等比数列通项公式的方法与策略求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用a n ＝a 1q n－1求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形a n ＝a m q n－m可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列设项问题，常用的设项方法为： (1)通项法设数列的通项公式a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)来求解．(2)对称设元法与有穷等差数列设项方法类似，有穷等比数列设项也要注意对称设元．一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，x q ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，xq ，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)．这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．求等比数列的前n 项和[例3] 设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1·a 3＝4，a 4＝8，则a 1＋q 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．3或－2 D ．3或－32.[考点二、三](2017·唐山模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1突破点(二) 等比数列的性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流” (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”等比数列项的性质[例1] (1)(2017·广州综合测试)已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( )A ．10B ．20C ．100D ．200(2)(2017·石家庄模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.[易错提醒]在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．等比数列前n 项和的性质[例2] (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]在等比数列{a n }中，a 3和a 5是二次方程x 2＋kx ＋5＝0的两个根，则a 2a 4a 6的值为( ) A ．±5 5 B ．5 5 C ．－5 5 D ．252.[考点二]已知各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝( ) A ．150 B ．140 C ．130 D ．1203.[考点一](2017·兰州诊断)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 017110，则a 21＝________.突破点(三) 等比数列的判定与证明基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 等比数列的四种常用判定方法定义法若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列中项公式法 若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列 通项公式法若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法 若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”等比数列的判定与证明[典例] 设数列{}a n 的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值； (2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．[易错提醒](1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2．已知一列非零向量a n 满足a 1＝(x 1，y 1)，a n ＝(x n ，y n )＝12(x n －1－y n －1，x n －1＋y n －1)(n ≥2，n ∈N *)，则下列命题正确的是( )A ．{|a n |}是等比数列，且公比为22B ．{|a n |}是等比数列，且公比为 2C ．{|a n |}是等差数列，且公差为22D ．{|a n |}是等差数列，且公差为 23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．842．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2016·全国乙卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．32．(2016·杭州质检)在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( )A ．3B ．－13C ．3或13D ．－3或－133．等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于( )A.13(4n －1)B.13(2n －1) C ．4n －1 D ．(2n －1)24．(2016·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －15．(2017·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81 D ．166．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里二、填空题7．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________．8．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.9．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________.a n中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.10．在等比数列{}11．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．三、解答题12．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.13．已知数列{a n}满足a1＝5，a2＝5，a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)．(1)求证：{a n＋1＋2a n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．。