合作博弈 shapley值共27页文档
- 格式：ppt
- 大小：3.88 MB
- 文档页数：27
下载文档原格式
合集下载
shapley value 案例
标题：揭秘Shapley Value：深度解析和案例分析一、引言Shapley Value（沙普利值）作为一种合作博弈理论中的解决方案分配方法，在许多领域已经得到了广泛的应用。
它的核心思想是根据参与者的贡献和合作性来分配价值。
本文将深度解析Shapley Value的原理和计算方法，并结合实际案例进行分析，以帮助读者更好地理解和应用这一理论。
二、Shapley Value的原理和计算方法1. Shapley Value的基本原理Shapley Value最早由Lloyd Shapley提出，用于解决合作博弈中参与者之间如何公平地分配收益的问题。
它基于合作博弈的概念，考虑了每个参与者对于合作的贡献，并且符合对称性、线性性和非偏性等性质，因此具有较好的公平性和合理性。
2. Shapley Value的计算方法在计算Shapley Value时，需要考虑所有可能的参与者联盟（coalition），并对每个参与者在各个联盟中的边际贡献进行加权平均。
这一计算方法涉及到排列组合和边际贡献的计算，需要较为复杂的数学推导和计算过程。
三、实际案例分析：企业合作中的Shapley Value应用以企业联盟合作为例，假设有A、B、C三家公司合作开发某一项目，现需要按照各自的贡献来分配项目收益。
根据Shapley Value的原理和计算方法，我们可以得到以下案例分析结果：1. 各家公司的边际贡献- 公司A：在与B、C合作时，边际贡献为100；与B合作时，边际贡献为80；与C合作时，边际贡献为70。
- 公司B：在与A、C合作时，边际贡献为120；与A合作时，边际贡献为90；与C合作时，边际贡献为60。
- 公司C：在与A、B合作时，边际贡献为110；与A合作时，边际贡献为50；与B合作时，边际贡献为40。
2. Shapley Value的计算通过对各种可能联盟的边际贡献进行加权平均，我们可以得出每家公司的Shapley Value，从而实现项目收益的公平分配。
shapley合作博弈模型例题
shapley合作博弈模型例题在博弈论中，Shapley值是一种用来分配合作博弈中产生的收益的方法。
它基于对每个参与者对于合作的重要性进行评估，然后确定每个参与者应该得到多少收益。
Shapley值可以帮助我们理解在合作博弈中各个参与者对于整个合作过程的贡献程度，从而公平地分配收益。
为了更深入地理解Shapley合作博弈模型，让我们通过一个例题来进行探讨。
假设有A、B、C三个人合作完成了一项工作，他们分别用时5小时、3小时、2小时，而整个工作需要花费10小时。
现在我们希望通过Shapley值来确定每个人应该得到多少报酬。
我们定义合作博弈的特征函数。
在这个例题中，特征函数可以表示为每个参与者的工作时间。
我们列举出所有可能的合作组合，这里包括了A、B、C单独完成工作和各种组合完成工作的情况。
我们计算每种合作组合所需的时间和对应的边际贡献。
对于A来说，他单独完成工作的边际贡献为5小时，与B合作完成工作的边际贡献为5小时，与C合作完成工作的边际贡献为3小时。
对于B来说，他单独完成工作的边际贡献为3小时，与A合作完成工作的边际贡献为2小时，与C合作完成工作的边际贡献为2小时。
对于C来说，他单独完成工作的边际贡献为2小时，与A合作完成工作的边际贡献为5小时，与B合作完成工作的边际贡献为3小时。
接下来，我们计算Shapley值。
Shapley值的计算公式为：\[ \phi_i = \frac{1}{N!} \sum_{S \subseteq N \backslash \{i\}} |S|! (n-|S|-1)! (v(S \cup \{i\}) - v(S)) \]其中，N代表参与者的集合，i代表某个参与者，S代表N中除i之外的任意子集，v(S)代表S的边际贡献，即完成S集合所需的时间。
经过计算，我们得到A的Shapley值为1小时，B的Shapley值为3小时，C的Shapley值为2小时。
根据Shapley值原则，A应得到1小时的报酬，B应得到3小时的报酬，C应得到2小时的报酬。
合作博弈论
（nucleolus），最后再举出静态合作在现实的经济方面的
各种解法的应用例子。
导论
先回忆一下囚徒困境的例子：
坦白
抵抗
坦白 抵抗
-8，-8 -10，0
0，-10 -1，-1
在囚徒困境中，还有另外一个策略组合<抵抗，抵抗>， 该组合为参与人带来的支付是<-1,-1>。由<-8,-8>到 <-1,-1>，每个参与人的支付都增加了，即得到一个帕 累托改进。
合作博弈的结果必须是一个帕累托改进，博 弈双方的利益都有所增加，或者至少是一方的利 益增加，而另一方的利益不受损害。合作博弈研 究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即 收益分配问题。合作博弈采取的是一种合作的方 式，合作之所以能够增进双方的利益，就是因为 合作博弈能够产生一种合作剩余。至于合作剩余 在博弈各方之间如何分配，取决于博弈各方的力 量对比和制度设计。因此，合作剩余的分配既是 合作的结果，又是达成合作的条件。
合作博弈是指参与者能够联合达成一个具有约束力且可强 制执行的协议的博弈类型。合作博弈强调的是集体理性,强调效 率、公正、公平。
合作博弈最重要的两个概念是联盟和分配。每个参与者从 联盟中分配的收益正好是各种联盟形式的最大总收益。每个参 与者从联盟中分配到的收益不小于单独经营所得收益。
合作博弈的基本形式是联盟博弈,它隐含的假设是存在一个 在参与者之间可以自由流动的交换媒介(如货币),每个参与者的 效用与它是线性相关的。这些博弈被称为“单边支付”博弈,或 可转移效用(Transferable Utility ,TU)博弈。
• 合作博弈的运用研究主要涉及企业、城市、区域经济 以及国家之间的合作等多个方面问题。
• 参考教材:
农业生产经营组织的合作博弈模型及Shapley值
上述利益分配方式， 虽然能够较好 地体现不同参与主体在联盟中的重要 性， 但却因为没有考虑参与主体的风险 偏好、 努力程度等因素的影响而使得收 益的分配不尽合理， 从而影响组织参与 联盟、进行组合与链接的积极性。 为了使 组织间的组合与链接更加稳定， 形成利 益共享、 风险同担、 互惠互利的长效机 制， 迫切需要根据实际影响因素与理想 化因素的差额确定影响因子以对收益分 配进行调整。 当影响因子为正，意味着参 与主体实际承担的风险、 努力程度等超
N＝{A，B，C，D}。
规定 2：S 是 N 的子集， 表 示 参 与 人
之间的联盟（即参与人之间不同的组合与
链接），即 S哿N。 具体的联盟形式可以体
现 为 S1 ={A，B，C，D}、S2 ={A，B，C}、S3 = {A，B，D}、S4 ={A，C，D}、S5 ={B，C，D}、
S6 ={A，B}、S7 ={A，C}、S8 ={A，D}、S9 ={B， C}、S10 ={B，D}、S11 ={C，D}、S12 ={A}、S13 =
第五，满足集体理性，即 x（N）＝Σi∈Nxi＝ Σni=1xi=v（N）。
由于人们对联盟收益分配中的 “公 平”问题理解不一致，所以合作博弈没有 一个统一的解的概念。 但是 Shapley 值有 一个特点，就是必定存在，并且唯一。
Shapley 值及其特性：
Σ φi （v）= （ S S哿N
-1）！ （n- S n!
关键词：农业生产经营组织；合作博 弈；收益分配；shapley 值
中 共 中 央 、国务院连 续 七 年 的 一 号 文 件都是关注“三农”问题，这充分表明了党 和政府对“三农”问 题 的 高 度 重 视 和 解 决 “三农”问题的坚定决心。 要彻底解决“三 农”问题，实现传统农业向现代农业的转 变，实现农户与市场的有效对接，降低农 业生产成本和农产品交易成本， 增加农 民收入，实现农业资源优化配置，仅仅依 靠小规模分散化的家庭经营是不可能实 现的， 迫切需要提高农业生产经营的组 织化程度。
N＝{A，B，C，D}。
规定 2：S 是 N 的子集， 表 示 参 与 人
之间的联盟（即参与人之间不同的组合与
链接），即 S哿N。 具体的联盟形式可以体
现 为 S1 ={A，B，C，D}、S2 ={A，B，C}、S3 = {A，B，D}、S4 ={A，C，D}、S5 ={B，C，D}、
S6 ={A，B}、S7 ={A，C}、S8 ={A，D}、S9 ={B， C}、S10 ={B，D}、S11 ={C，D}、S12 ={A}、S13 =
第五，满足集体理性，即 x（N）＝Σi∈Nxi＝ Σni=1xi=v（N）。
由于人们对联盟收益分配中的 “公 平”问题理解不一致，所以合作博弈没有 一个统一的解的概念。 但是 Shapley 值有 一个特点，就是必定存在，并且唯一。
Shapley 值及其特性：
Σ φi （v）= （ S S哿N
-1）！ （n- S n!
关键词：农业生产经营组织；合作博 弈；收益分配；shapley 值
中 共 中 央 、国务院连 续 七 年 的 一 号 文 件都是关注“三农”问题，这充分表明了党 和政府对“三农”问 题 的 高 度 重 视 和 解 决 “三农”问题的坚定决心。 要彻底解决“三 农”问题，实现传统农业向现代农业的转 变，实现农户与市场的有效对接，降低农 业生产成本和农产品交易成本， 增加农 民收入，实现农业资源优化配置，仅仅依 靠小规模分散化的家庭经营是不可能实 现的， 迫切需要提高农业生产经营的组 织化程度。
SHAPLEY值方法介绍
合作博弈
纳什均衡
……
SHAPLEY值
……
3
一、SHAPLEY值介绍
3.SHAPLEY值的思想
• 目的 在一个大联盟N中，根据给定不同合作方式 S对应的贡献函数v,得出最优利益分配（成 本分摊）方案。
• 思想 参与者所应获得的效益x(i)等于该参与者对 每一个它所参与的联盟的边际贡献的期望 值。
4
目录
最后，求得考虑投入因素时，应分利益
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
300
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
200
解当得N=：{1x,21(}v时)=，40A0、. 同B各理分可得得3，50x2元(v；)=当35N0=, {x13(,3v)}=时2，50A. 、C各 分得250元。
权重可采用ANP、AHP、模
k，∑k=1.
糊数学等方法确定。
显然，各成员的各种投入为Cik,各成员i的投入Di= ∑Cik. k 可求得，各成员i实际承担的投入因子D’i=Di/∑Di, ∑D’i=1. 实际投入因子与理论均摊因子1/n的差值：△Di=D’i-1/n
纳什均衡
……
SHAPLEY值
……
3
一、SHAPLEY值介绍
3.SHAPLEY值的思想
• 目的 在一个大联盟N中，根据给定不同合作方式 S对应的贡献函数v,得出最优利益分配（成 本分摊）方案。
• 思想 参与者所应获得的效益x(i)等于该参与者对 每一个它所参与的联盟的边际贡献的期望 值。
4
目录
最后，求得考虑投入因素时，应分利益
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
300
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
200
解当得N=：{1x,21(}v时)=，40A0、. 同B各理分可得得3，50x2元(v；)=当35N0=, {x13(,3v)}=时2，50A. 、C各 分得250元。
权重可采用ANP、AHP、模
k，∑k=1.
糊数学等方法确定。
显然，各成员的各种投入为Cik,各成员i的投入Di= ∑Cik. k 可求得，各成员i实际承担的投入因子D’i=Di/∑Di, ∑D’i=1. 实际投入因子与理论均摊因子1/n的差值：△Di=D’i-1/n
SHAPLEY值方法介绍(推荐文档)
SHAPLEY值
1
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
2
一、SHAPLEY值介绍
21.SHAPLEY值的应背用景范围
博弈论
非合作博弈
分析单位：个人； 研究侧重：参与人在博弈中如 何决策。
成本分摊 利益分配
分析单位：联盟； 研究侧重：参与人如何组建 不同的联盟以实现协议目标。
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
• 个体理性与集体理性
x (i )≥ v(i); ∑ i∈Nxi=v(N).
• SHAPLEY值公理 SHAPLEY值是满足匿名性、有效性、可加性和 虚拟性四个性质的唯一解。
• 假设前提
系统各成员的投入是均等的；
6
二、SHAPLEY值算法一般形式
2.算法的一般形式--以利益分配为例
N代表大联盟，v代表收益函数。 注：参与者可以组成任意的小联盟S。
v({2,3})=40△01; v({1,2,3})=1{10}00. {1,2}
{1,3}
{1,2,3}
求
△1
v(S)
x1(v),xv2(S(v\{)1,x}{)31(}v).
100 {1,20}
700
500
100 △1 100
1000 {1}400 {1,3}
v(S) v(S)- v(S1\{010})
1
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
2
一、SHAPLEY值介绍
21.SHAPLEY值的应背用景范围
博弈论
非合作博弈
分析单位：个人； 研究侧重：参与人在博弈中如 何决策。
成本分摊 利益分配
分析单位：联盟； 研究侧重：参与人如何组建 不同的联盟以实现协议目标。
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
• 个体理性与集体理性
x (i )≥ v(i); ∑ i∈Nxi=v(N).
• SHAPLEY值公理 SHAPLEY值是满足匿名性、有效性、可加性和 虚拟性四个性质的唯一解。
• 假设前提
系统各成员的投入是均等的；
6
二、SHAPLEY值算法一般形式
2.算法的一般形式--以利益分配为例
N代表大联盟，v代表收益函数。 注：参与者可以组成任意的小联盟S。
v({2,3})=40△01; v({1,2,3})=1{10}00. {1,2}
{1,3}
{1,2,3}
求
△1
v(S)
x1(v),xv2(S(v\{)1,x}{)31(}v).
100 {1,20}
700
500
100 △1 100
1000 {1}400 {1,3}
v(S) v(S)- v(S1\{010})
合作博弈
一、合作博弈的概念及其表示
定义6.1.1 在 n 人博弈中，参与人集用N {1, 2 , , n}
N 的任意子集 S 称为一个联盟（coalition）。
表示，
S 是一个联盟， v ( S )是指 S 和 定义6.1.2 给定一个 n人博弈， v(S) 称为联盟 N S {i | i N,i S} 的两组博弈中S 的最大效用， S 的特征函数（characteristic function）。
n
二、分配
所谓分配就是博弈的一个n 维向量集合，之所以是 n 维向 量，是由于每个参与人都要得到相应的分配。 n 维的分配 向量称为博弈的“解”，各种方法即各种解概念代表着分 配的不同观点。 定义6.2.1 对于合作博弈( N , v), N 1, 2,, n ，对每个参与 人 i N ，给予一个实值参数 xi ，形成 n 维向量 x ( x1 , , xn ) n 且其满足：
u v ( N )
存在无限个正向量 u (u1 , u2 , , un ) ，满足 u u1 u2 ,, un 。 用 E(v) 表示一个博弈 ( N , v ) 的所有分配方案组成的集合。
v (i) 0
n i 1
显然如下的 x ( x1 , , xn ) 都是分配，其中 xi v i ui ,1 i n 。
例6.1 设有一个3人合作对策，每个参与人各有两个纯策略A 和B。当三人不合作时，其支付见下表。假设采用最稳妥 策略，即最坏情况下选择最好，求合作博弈的支付函数
超可加性表示两个不相交的联盟分别行动，其分别单干的结 果不如组成一个联盟的联合而共同行动，这是大联盟形成的 动因。特征函数只有满足超加性，才有形成新联盟的必要性 。否则，如果一个合作博弈的特征函数不满足超可加性，那 么，其成员没有动机形成联盟，已经形成的联盟将面临解散 的威胁。
合作博弈_精品文档
哥本哈根气候峰会博弈
1 发达国家 欧、美、日为代表
2 发展中国家 中、印、巴西、印尼
3 气候敏感国家和贫穷国家 图瓦卢、马尔 代夫、斐济等太平洋小岛国 ；非洲
各国的立场
中国，到2020年单位国内生产总值二氧 化碳排放比2005年下降40％－45％
美国将在哥本哈根气候变化大会上承诺 2020年温室气体排放量在2005年基础上 减少17％。
Shapley 值是其中重要的解概念之一
Shapley 值
Shapley公理 Shapley 提出了看上去比较 合理的几个公理假设
在这些假设下，Shapley 证明了任何合 作博弈 (N, v)存在唯一的Shapley值。可 作为合作分配的一个解概念。
Shapley 值
参与人集合N的一个置换 (permutation)，是 任一函数π：N N，使得对于N中的每个j, N 中恰好存在一个i, 使得π(i) =j（ π是单射，又 是满射）
英国：承诺到2020年和2050年分别减排 2005年的34%和80%，
各国立场
欧盟：通过包括气候与能源一揽子计划和各 种能效措施，无条件承诺到2020年较1990年 减排20%以上。同时承诺抬高减排幅度至30%， 前提是各工业化国家同意相当水平的减排力 度，同时发展中国家做出重大贡献，共同促 成国际条约的签署 。
给定上述置换π和任一联盟博弈v, 令πv为满足 π v （{π (i) | i∈S}）=v (S), S为N的任一子集
的联盟博弈。
Shapley 值
Shapley 公理1（对称性）对于合作博弈 (N, v), 在任一参与人的置换映射π(i) 下， 分配结果应保持不变，即有
φπ(i) (πv) = φi(v) 公理1表明：一个参与人在博弈中的角
合作博弈论pdf
合作博弈论pdf
合作博弈论是一种博弈论的分支，与非合作博弈论不同，它着重于探讨参与者之间如何合作，以实现最优结果。
在这种博弈中，参与者可以通过合作获得更好的结果，比如增加收益或减少成本。
同时，博弈的参与者也需要考虑其他参与者的利益，以达成共同的目标。
在合作博弈中，参与者之间的合作可以采用不同的方法，如协商、合作协议或契约。
这些合作机制可以为参与者提供稳定的合作平台，并确保参与者之间的合作是公平和可持续的。
合作博弈论的应用非常广泛。
它在商业领域中被广泛运用，尤其是在国际贸易和投资合作中。
合作博弈还可用于资源共享和环境保护等问题，以及多个企业之间的合作和竞争问题。
总之，合作博弈理论为参与者之间的合作提供了一个框架。
在这种博弈中，参与者需要考虑他们自己的利益，同时也需要考虑其他参与者的利益，从而实现共同的目标。
这种协作方式可以为参与者带来更好的结果，同时还可以确保合作的公平和可持续性。
合作博弈的解
合作博弈的解合作博弈需要解决的最重要问题就是所有参与者合作时所获得的收益（或节省的费用）如何在个体参与者之间进行分配，显然，联盟的形成是建立在所有参与者对博弈中的建议分配都同意的基础上的，该分配称为合作博弈的解。
根据分配时的采取的方法不同，合作博弈的解有多种求解方案，本文主要讨论核心、核仁和Shapley 值三种合作博弈解。
（1）核心Gillies 于20世纪50年代提出了核心的概念，可以认为核心是最早出现的合作博弈的解，同时它也是其他解出现的基础。
下面首先对核心做定义：在一个n 人合作博弈(,)N V 中，不被任何其他分配向量所支配的分配向量的集合称为核心，记为(,)C N V 或()C V 。
在实际的生产活动中，由于不会存在使自身获利更多的分配方案，核心()C V 中的所有分配方案均会被对应的联盟所认可，即核心的分配使得任何联盟都没有能力推翻它。
在核心中的各参与者都会接受加入该联盟所分配到的收益结果，因此这些参与者只会选择满足核心的联盟。
分配向量x 应当满足的条件为：1()n i i xV N ==∑ （2.6）()i i S xV S ∈≥∑ （2.7）此时，在存在核心的合作博弈中，采用核心作为合作博弈的解时分配给所有参与者的收益之和等于所有参与者合作所得，即能够实现收益的完全分配。
同时，作为一个理性的参与者，在选择分配向量时，都会将加入该联盟所能分配到的收益与脱离联盟不进行合作的获益相比较，由于核心中的分配向量满足个体合理性，故满足条件的参与者会选择核心作为合作博弈的解。
合作博弈的核心解能够为联盟的参与者提供满意的结果，但是核心解在求解时可能会很难实现或者说有时不存在核心解，这是合作博弈的核心解在应用中的最大问题。
具体情况表现为核心为一个区域有多个元素或者合作博弈不存在核心。
以下用反证法对这些情况进行说明。
1）博弈的核心为空对一个n 人合作博弈(,)N V ，常和博弈表示博弈的特征函数有()()()+-=V S V N S V N ，空核心博弈的特征函数满足{}S T φ⋂=，()()()⋃=+V S T V S V T ，此时若x 是该博弈的核心解，则有：()()()∈=≤∑i N V N x N V i （2.8）这不满足常和博弈特征函数的条件，所以该博弈的核心解不存在。
合作博弈的解
合作博弈的解合作博弈需要解决的最重要问题就是所有参与者合作时所获得的收益（或节省的费用）如何在个体参与者之间进行分配，显然，联盟的形成是建立在所有参与者对博弈中的建议分配都同意的基础上的，该分配称为合作博弈的解。
根据分配时的采取的方法不同，合作博弈的解有多种求解方案，本文主要讨论核心、核仁和Shapley 值三种合作博弈解。
（1）核心Gillies 于20世纪50年代提出了核心的概念，可以认为核心是最早出现的合作博弈的解，同时它也是其他解出现的基础。
下面首先对核心做定义：在一个n 人合作博弈(,)N V 中，不被任何其他分配向量所支配的分配向量的集合称为核心，记为(,)C N V 或()C V 。
在实际的生产活动中，由于不会存在使自身获利更多的分配方案，核心()C V 中的所有分配方案均会被对应的联盟所认可，即核心的分配使得任何联盟都没有能力推翻它。
在核心中的各参与者都会接受加入该联盟所分配到的收益结果，因此这些参与者只会选择满足核心的联盟。
分配向量x 应当满足的条件为：1()n i i xV N ==∑ （2.6）()i i S xV S ∈≥∑ （2.7）此时，在存在核心的合作博弈中，采用核心作为合作博弈的解时分配给所有参与者的收益之和等于所有参与者合作所得，即能够实现收益的完全分配。
同时，作为一个理性的参与者，在选择分配向量时，都会将加入该联盟所能分配到的收益与脱离联盟不进行合作的获益相比较，由于核心中的分配向量满足个体合理性，故满足条件的参与者会选择核心作为合作博弈的解。
合作博弈的核心解能够为联盟的参与者提供满意的结果，但是核心解在求解时可能会很难实现或者说有时不存在核心解，这是合作博弈的核心解在应用中的最大问题。
具体情况表现为核心为一个区域有多个元素或者合作博弈不存在核心。
以下用反证法对这些情况进行说明。
1）博弈的核心为空对一个n 人合作博弈(,)N V ，常和博弈表示博弈的特征函数有()()()+-=V S V N S V N ，空核心博弈的特征函数满足{}S T φ⋂=，()()()⋃=+V S T V S V T ，此时若x 是该博弈的核心解，则有：()()()∈=≤∑i N V N x N V i （2.8）这不满足常和博弈特征函数的条件，所以该博弈的核心解不存在。
shapley合作博弈模型例题
shapley合作博弈模型例题摘要：1.介绍Shapley合作博弈模型2.案例分析：合作博弈模型在现实生活中的应用3.解题步骤与技巧：解决合作博弈模型问题4.总结：Shapley合作博弈模型的意义和价值正文：一、介绍Shapley合作博弈模型Shapley合作博弈模型是现代博弈论中的一个重要理论，主要用于解决多人合作问题。
该模型提出了一个公平分配收益的方法，即根据每个参与者对合作的贡献程度来分配收益。
Shapley值是该模型中的核心概念，它能够衡量一个参与者对整体收益的贡献程度。
二、案例分析：合作博弈模型在现实生活中的应用1.企业团队合作：在一家公司中，各部门之间可能存在合作项目。
通过Shapley值，可以合理地分配合作项目的收益，激励员工更加积极地参与合作。
2.联盟博弈：在国际政治、经济等领域，各国之间可能形成联盟以实现共同目标。
Shapley合作博弈模型可以帮助分析各国在联盟中的贡献程度，进而合理分配联盟收益。
3.公益事业：在社会公益事业中，多个组织或个人可能共同参与项目。
通过Shapley值，可以衡量各个参与者对公益项目的贡献，确保收益分配的公平性。
三、解题步骤与技巧：解决合作博弈模型问题1.确定参与者集合：首先，明确参与合作的各方。
2.确定收益函数：分析合作带来的收益，设定收益函数。
3.计算Shapley值：根据收益函数，计算每个参与者的Shapley值。
4.分配收益：根据Shapley值，合理分配合作收益。
四、总结：Shapley合作博弈模型的意义和价值Shapley合作博弈模型为解决多人合作问题提供了一个公平、合理的分配方法。
在现实生活中，通过应用Shapley值，可以激励参与者更加积极地参与合作，促进团队协作，实现共同目标。
同时，该模型也有助于提高联盟稳定性，促进国际、国内各领域的合作与发展。
29合作对策论（SHAPLEY值）
29.合作对策论(Shapley值)对策论是研究两个或两个以上的决策者参与各种竞争活动建立数学模型的方法。
通过对策论的分析，能够得到可以使每个参与者都满意的特定策略。
由于联合体(联盟)合作投资各方的合作行为可以使得各投资方获得比他们单独行动更好的经济效益，因此这类合作投资收益（费用）分配问题可以用N人合作对策进行分析和求解。
υ(S)是{S}联合体(联盟)的特征函数，表示联合体S通过协调其成员的策略所能获得的最大利益；c(S)是{S}联合体的最小成本（最小费用）；x(i)是{S}联合体中各成员对c(S)的分享额，也就是我们所要求解的费用分摊额；c(i)表示第i个成员独立完成该工程的费用成本。
满足以下几个条件：①②个体合理性：x(i)≤c(i)③群体合理性：x（i）=x（S）≤c（S）S N这些约束条件的含义是：①合作费用被完全的分配完；②合作费用应小于或等于单个成员独立完成的费用；③子联合体{S}中各成员分摊的费用应小于或等于联合体整体运行的最小成本。
满足条件①、②、③的一组向量就形成了合作对策的核。
如果这个核非空，就可以把总收益υ(N)按这样一种方式分配给各局中人，使之不仅满足个体合理性和群体合理性，而且还满足联盟合理性，即任何联合体中的成员在这种分配方式下的所得都不小于他独立出来时的所得。
因此也就没有意愿拒绝这样的分配，除非联合体(联盟)中有人自愿同意让自己的所得变小。
这样的分配方式是公平合理的，但是核心有时是空的，只有凸对策的核心是非空。
有时可能包含几个可行解，这就需要进一步压缩解的边缘，求出唯一的解。
这个唯一的解称作核子，用N(c)表示，在费用对策问题中定义为所有稳定费用的集合。
沙普利值方法(shapley value)是一种公理化方法，它能满足上述①、②、③的约束条件，也能满足费用分摊的基本原则，可以得到合作对策唯一解。
假设i(υ)为局中人i在对策(N,υ)中应该得到的期望收益，若T是(N,υ)的一个联盟，如果对于任意的联盟S，均有υ(S∩T)= υ(S)，则称T为这个对策的承载。
合作博弈 shapley值共27页文档
END
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
合作博弈 shapley值
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
SHAPLEY值方法介绍
最后，求得考虑投入因素时，应分利益
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
收入400元，三人合作可收入1000元。问三人合作时如何合理地分
解
配1000元的收入？
分析xi：(v用) 公式语S言N w描述(s该)[问v(题S)如- v下(S：-
i)];
w(s)
(s
-1)!(n n!
-
s)!
（三人经商问题）: V({i})=100,i=1,2,3; v({1,2})=700, v({1,3})=500,
9
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
10
四、拓展
1.SHAPLEY值算法缺点
• 分配方案受到收益状况的影响，并未考虑 投入因素、风险因素、努力因素、客户因 素等的差异；
• 忽略参与者之间的相互作用； • 使用SHAPLEY值计算需要知道所有合作方
式的获利情况，现实情况很难办到； • ……
其中，s表示联盟S中的参与人个数，v( ) =0。
同理，成本分摊博弈中的SHAPLEY值
只需要把上述公式中的v换成c即可。 7
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
8
三、一道例题
例
（三人经商问题）：A、B、C三人合作经商。单干没人可收入100元， A、B合作二人可收入700元，A、C合作二人收入500元，B、C合作
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
收入400元，三人合作可收入1000元。问三人合作时如何合理地分
解
配1000元的收入？
分析xi：(v用) 公式语S言N w描述(s该)[问v(题S)如- v下(S：-
i)];
w(s)
(s
-1)!(n n!
-
s)!
（三人经商问题）: V({i})=100,i=1,2,3; v({1,2})=700, v({1,3})=500,
9
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
10
四、拓展
1.SHAPLEY值算法缺点
• 分配方案受到收益状况的影响，并未考虑 投入因素、风险因素、努力因素、客户因 素等的差异；
• 忽略参与者之间的相互作用； • 使用SHAPLEY值计算需要知道所有合作方
式的获利情况，现实情况很难办到； • ……
其中，s表示联盟S中的参与人个数，v( ) =0。
同理，成本分摊博弈中的SHAPLEY值
只需要把上述公式中的v换成c即可。 7
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
8
三、一道例题
例
（三人经商问题）：A、B、C三人合作经商。单干没人可收入100元， A、B合作二人可收入700元，A、C合作二人收入500元，B、C合作
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
专题二合作博弈PPT课件
确定: x1+x2>=4 x1+x3>=3 x2+x3>=1 x1+x2+x3=5 xi>=0
其解为A={x=(x1,x2,x3)| x1+x2+x3=5, xi>=0}
内以(4,0,1,),(4,1,0),(3,2,0),(2,2,1)为顶点的四
边形，如图：
（0,0,5）
(4,1,0)
(2,2,1) 核
定义3：对于联盟博弈<N,v>，集合s(V)
I(v) 称为联盟博弈 <N,v>的稳定集，如果 以下条件成立：
（1）S (V) 中任意分配x都不优于 S (V)中的其 余分配 。
(说明稳定集内部任何两个分配无优超关系即 内稳定性)
（2）不属于S (V)中的任何分配y，总可以在 S (V)中找到优于y的分配x。（ 外稳定性）
v{1,2}= v{2,3}= v{1,3}= v{1,2,3}=2 三人利润分配是向量x=(x1,x2,x3)，满足
x1+x2+x3= v{1,2,3}=2, (x1,x2,x3)>=0 如果联盟{1，2}形成，即局中人1、2合伙，
则分配x=（1，1，0）是合理的。
否则，局中人1要求采取分配（1+ ，1- ， 0），其中 （0，1），那么局中人2与局
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特
征函数的过程实际就是一个建立合作博弈
的过程 定义1：称向量x=(x1,x2,…xm)是联盟
S={1,2,..m}的一个分配，如果它满足:
m
(1) xi v(S )
xii1
(2) v{i}, i=1,2,….,m
(整体合理性) （个体合理性）
其解为A={x=(x1,x2,x3)| x1+x2+x3=5, xi>=0}
内以(4,0,1,),(4,1,0),(3,2,0),(2,2,1)为顶点的四
边形，如图：
（0,0,5）
(4,1,0)
(2,2,1) 核
定义3：对于联盟博弈<N,v>，集合s(V)
I(v) 称为联盟博弈 <N,v>的稳定集，如果 以下条件成立：
（1）S (V) 中任意分配x都不优于 S (V)中的其 余分配 。
(说明稳定集内部任何两个分配无优超关系即 内稳定性)
（2）不属于S (V)中的任何分配y，总可以在 S (V)中找到优于y的分配x。（ 外稳定性）
v{1,2}= v{2,3}= v{1,3}= v{1,2,3}=2 三人利润分配是向量x=(x1,x2,x3)，满足
x1+x2+x3= v{1,2,3}=2, (x1,x2,x3)>=0 如果联盟{1，2}形成，即局中人1、2合伙，
则分配x=（1，1，0）是合理的。
否则，局中人1要求采取分配（1+ ，1- ， 0），其中 （0，1），那么局中人2与局
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特
征函数的过程实际就是一个建立合作博弈
的过程 定义1：称向量x=(x1,x2,…xm)是联盟
S={1,2,..m}的一个分配，如果它满足:
m
(1) xi v(S )
xii1
(2) v{i}, i=1,2,….,m
(整体合理性) （个体合理性）
shapley计算公式
shapley计算公式Shapley计算公式是博弈论中一种用于衡量参与者对于合作收益的贡献度的方法。
它是由美国经济学家Lloyd Shapley于1953年提出的，是博弈论中的重要工具之一。
通过Shapley计算公式，我们可以准确地计算出每个参与者对于合作收益的贡献度，从而更好地理解和分析博弈情况。
Shapley计算公式可以用来解决合作博弈中的分配问题。
在合作博弈中，多个参与者通过合作来实现共同的目标，而合作所带来的收益需要进行合理的分配。
Shapley计算公式的核心思想是通过计算每个参与者进入合作所带来的边际贡献，从而确定他们在分配中所应获得的份额。
具体而言，Shapley计算公式通过对每个参与者与其他参与者进行配对，计算他们在合作中的边际贡献。
边际贡献指的是在合作过程中，一个参与者的加入所带来的额外收益。
通过对所有可能的配对进行计算，并将每个参与者的边际贡献进行平均，就可以得到他们在合作收益分配中的份额。
为了更好地理解Shapley计算公式的具体计算过程，我们可以通过一个简单的例子进行说明。
假设有三个参与者A、B、C，他们通过合作获得了一定的收益。
现在我们需要确定每个参与者在收益分配中的贡献度。
我们需要计算参与者A进入合作所带来的边际贡献。
当A与B配对时，他们的边际贡献为合作后的收益减去没有A参与时的收益。
同样地，当A与C配对时，他们的边际贡献也需要进行计算。
然后，我们将A与B配对和A与C配对的边际贡献进行平均，得到A的边际贡献。
接下来，我们按照同样的方法计算参与者B和C的边际贡献。
最后，将三个参与者的边际贡献进行加权平均，就可以得到他们在收益分配中的份额。
Shapley计算公式的优点在于它能够公平地评估每个参与者的贡献度。
通过考虑每个参与者与其他参与者的配对情况，它能够准确地衡量每个参与者的边际贡献，并将其反映在分配中。
这样一来，每个参与者都能够获得公正的回报，从而更加积极地参与到合作中。