尼曼-半导体物理与器件@第四版@对应PPT@第二章

• 波粒二相性是利用波理论描述晶体中电子运动和 状态的基础。
例2.2：计算一个粒子的德布罗意波长，电子的运动速度为 107cm/s。
解：电子动量
p mv 9.111031 105 9.111026 kg m s
德布罗意波长为
h 6.6251034 7.27 109 m 72.7 A
• 量子力学的波理论是半导体物理 学理论的基础。
• 量子力学的三个基本原理
– 能量量子化原理 – 波粒二相性原理 – 不确定原理
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2.811015 J
2.811015 1.6 1019
1.75104 eV
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（2）波粒二相性原理
• 1924，德布罗意，物质波：p=h/λ→λ=h/p
本章内容
1. 量子力学的基本原理
2. 薛定谔波动方程
3. 薛定谔波动方程的应用
4.原子波动理论的延伸
5. 小结
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2.1 量子力学的基本原理
（1）能量量子化原理
• 1900，普朗克，量子概念，量子能量E=hν ； • 1905，爱因斯坦，光波由分立的粒子组成，解释
了光电效应；光子是粒子化的能量，能量E=hν。
例2.1：计算对应某一粒子波长的光子能量。考虑一种X射线， 其波长为λ=0.708×10-8cm。
解：
E h hc
6.6251034 31010 0.708 108
p 9.111026
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（3）不确定原理
• 1927，海森伯不确定原理：描述共轭变量 间的基本关系。
① ΔpΔx≥ħ ② ΔEΔt≥ħ
• 无法确定一个电子的准确坐标，将其替换 为确定某个坐标位置可能发现电子的概率， 概率（密度）函数。
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2.2 薛定谔波动方程
• 1926，薛定谔，波动力学理论，结合量子化和波 粒二相性。
B
exp
j
x
2mE
Et
自由空间中的粒子运动表现为行波。
假设某一时刻，粒子沿+x方向运动，则
x,t Aexp j kx t
因此，
h 2mE k 2
概率密度为AA*，与坐标无关：具有明确动量定义的自由粒子 在空间任意位置出现的概率相当。
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（2）无限深势阱
粒子被局限在有限的区域内， 如下图中的区域Ⅱ。
与时间无关的薛定谔波动方程：
2 x
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
2m
2
E
V
x
x
0
区域Ⅱ中，V=0，波函数Ψ(x)连续的边界条件，可得
波函数: x
2 a
sin
n
a
x
总能量：E En
2n2 2
2ma2
n
N
粒子的能量只能是 特定的分立值！
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（1）波动方程：用于描述电子运动的波理论，
通过薛定谔波动方程描述。
– 一维非相对论的薛定谔波动方程
2m
2 x,t
x2
V
x
x,t
j
x,t
t
– 分离变量法，薛定谔波动方程中与时间无关的项
2
x2
x
2m
2
E
V
x
x
0
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（3）边界条件
|Ψ(x, t)|2——概率密度，对于单电子：
x 2 dx 1
上式对Ψ(x, t)进行了归一化，是一个边界条件。
当E和V(x)在任何位置均为有限值时，还有一下的边 界条件： 1）Ψ(x, t)必须有限、单值和连续， 2）əΨ(x, t)/əx必须有限、单值和连续。
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半导体物理与器件
第二章 量子力学初步
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2.3 薛定谔波动方程的应用
（1）自由空间中的电子
势函数V(x)为常量，且有E>V(x)=0，求解可得
x, t
A
exp
j
x
2mE Et
（2）波函数的物理意义
• 波函数Ψ(x, t)用以描述粒子或系统的状态， 本身是一个复函数，不具有物理意义。
• 波函数的模平方是概率密度函数
x,t 2 x x x 2
• 概率密度函数代表在空间中某一点发现粒 子的概率。
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前四级能量
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对应的波函数
对应的概率函数