1990考研数三真题及解析

1990考研数一真题1990 年考研数学一真题解析考研数学一是众多考研学子面临的重要挑战之一，1990 年的考研数一真题更是具有一定的代表性。

通过对这份真题的深入研究，我们可以更好地了解当时的考试重点和命题风格，为如今的备考提供有价值的参考。

这份真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论等多个方面的知识。

从整体来看，题目注重对基本概念、基本原理和基本方法的考查。

在高等数学部分，函数、极限、连续的相关题目是基础且重要的。

例如，有一道关于函数极限存在性的证明题，需要考生熟练掌握极限的定义和性质，运用恰当的方法进行推导。

还有关于导数和微分的题目，要求考生能够准确理解导数的定义，并能灵活运用求导法则解决问题。

对于积分的考查也是重点之一，包括定积分、不定积分的计算，以及利用积分解决几何和物理问题。

线性代数部分，矩阵、向量和线性方程组是核心考点。

真题中出现了判断矩阵的秩、求解线性方程组等常见题型。

这要求考生熟悉矩阵的运算规则，掌握向量组的线性相关性，以及能够运用矩阵的方法求解线性方程组。

概率论部分，主要考查了随机事件、概率、随机变量及其分布等内容。

例如，计算随机事件的概率、求随机变量的分布函数等题目。

考生需要掌握概率的基本公式和定理，理解常见随机变量的性质和分布。

接下来，我们具体分析几道具有代表性的题目。

高等数学中有一道关于函数连续性的证明题。

题目给出了一个分段函数，要求证明在某一点处的连续性。

对于这类题目，我们首先需要分别计算左右极限，然后判断其是否等于该点的函数值。

这道题考查了考生对函数连续性定义的深刻理解和运用能力。

线性代数中，有一道关于矩阵特征值和特征向量的题目。

要求求出给定矩阵的特征值和特征向量。

解决这类问题，需要先根据特征方程求出特征值，然后代入求解特征向量。

这需要考生熟练掌握矩阵特征值和特征向量的计算方法和性质。

概率论部分，有一道关于随机变量分布函数的计算题。

给出了随机变量的概率密度函数，要求计算其分布函数。

1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1432t z t y t x 垂直的平面方程是 x -3y -z +4=0 .(2)设a 为非零常数，则a xx e a x a x 2)(lim =-+∞→.(3)设函数11,0,1)(>≤⎩⎨⎧=x x x f , 则)]([x f f = ___1___． (4)积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于4(1)/2e --.(5)已知向量组 1α=(1,2,3,4)，2α=(2,3,4,5)，3α=(3,4,5,6)，4α=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是2二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设()f x 是连续函数，且⎰-=x e xdt t f x F )()(则)(x F '等于(A)（A ）)()(x f e f e x x ----(B) )()(x f e f e x x +---(C))()(x f e f e x x ---(D) )()(x f e f e x x +--(2)已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f =', 则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数)()(x fn 是(A)(A) 1)]([!＋n x f n (B) 1)]([+n x f n (C) nx f 2)]([ (D) nx f n 2)]([!(3)设α为常数，则级数]1)sin([12nn na n -∑∞=（C ）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与α的取值有关.(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续 ，且(0)0f =,2cos 1)(lim0=-→xx f x 则在点0x =处()f x (D)(A)不可导(B)可导,且0)0(≠'f (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β和2β是非齐次线性方程组AX = b 的两个不同的解，21,αα是对应导出组AX = 0基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组AX = b 的通解（一般解）必是(B)(A) 2)(2121211ββααα-+++k k (B) 2)(2121211ββααα++-+k k (C) 2)(2121211ββββα-+++k k (D) 2)(2121211ββββα++-+k k 三、(本题满分15分，每小题5分)(1)求dx x x ⎰-+102)2()1ln(.解：11200ln(1)1ln(1)(2)2x dx x d x x +=+--⎛⎛⎜⎜⎠⎠110011ln(1)2(1)(2)x dx x x x =+--+-⎛⎜⎠……2分 101111ln 2()ln 232(1)3dx x x =-+=-+⎰.……5分 (2)设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2cos z f fy x x u v ∂∂∂=+∂∂∂.……2分 2222222(2sin cos )sin cos cos z f f f fx y x y x x x x y u u v v v∂∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂∂∂∂. ……5分 (3) 求微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解(一般解).解：特征方程为2440r r ++=的根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x Y C C x e -=+，其中12,C C 为任意常数. ……2分 设原方程的特解为*2()x y x Ax e 2-=，代入原方程得12A =.……4分 因此，原方程的通解为2*2212()()2xx x y x Y y C C x ee --=+=++. ……5分四、(本题满分6分) 求幂级数∑∞=+0)12(n nxn 的收敛域, 并求其和函数.解：因为123limlim 121n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以11R ρ==.显然幂级数(21)nn n x∞=+∑在1x =±时发散，故此幂级数的收敛域为(1,1)-.……2分又0()(21)2nnnn n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑012()1n n x x x∞='=+-∑……5分 2221111(1)1(1)x xx x x x +=+=-<<---.……6分五、(本题满分8分) 求曲面积分I=⎰⎰+sdxdy yzdzdx .2其中S 是球面4222=++z y x外侧在0≥z 的部分解：令2214x y S z ⎧+≤=⎨=⎩，其法向量与z 轴的负向相同. 设1S S 和所围成的区域为Ω，则由奥-高公式有12S I yzdzdx dxdy zdxdydz Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰. ……2分而221140,228S S x y yzdzdx dxdy dxdy π+≤==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分2222cos sin 4zdxdydz d d r r dr ππθϕϕϕπΩ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……7分 所以12I π=.……8分六、(本题满分8分)设不恒为常数的函数)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()f a f b =. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使0)(>'ξf .证：因()()()f a f b f x =且不恒为常数，故至少存在一点(,)c a b ∈，使得()()()f c f a f b ≠=.于是()()()()f c f a f c f a ><或.……2分现设()()f c f a >，则在[,]a c 上因()f x 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点(,)(,)a c a b ξ∈⊂，使得1()[()()]0f f c f a c a ξ'=->-. ……6分对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.……7分七、(本题满分8分) 设四阶矩阵=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000110001100011，=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2000120031204312且矩阵A 满足关系式E C B C E A =''--)(1, 其中E 为四阶单位矩阵, 1-C 表示C 的逆矩阵,C '表示C 的转置矩阵, 将上述关系化简并求矩阵A .解：因11()[()]()A E C B C A C E C B A C B --''''-=-=-,故()A C B E '-=……2分因此 1[()]A C B -'=-11000210032104321-⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭……4分1000210012100121⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭……6分八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型32312123222184444x x x x x x x x x f -+-++=成标准形.解：二次型的矩阵122244244-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ……1分由2122||244(9)244λλλλλλ---=---=----A E ，A 的特征值为1230,9λλλ===.……3分对于120λλ==，122122244000244000λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ，从而可取特征向量1011P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及与1P 正交的另一特征向量2411P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……5分 对于39λ=，822245254099245000λ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A E ，取特征向量3122P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. ……6分将上述相互正交的特征向量单位化，得1231032,,323ξξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， ……7分故在正交变换1122331032323x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭下，二次型239f y =. ……8分九、(本题满分8分)质点P 沿着以A,B 为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力→F 作用 （见图），→F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP 且于y 轴正向的夹角小于2π.求变力→F 对质点P 所作的功.解：按题意，变力y x =-+F i j .……3分圆弧AB的参数方程是23443x y θππθθ⎧=⎪-≤≤⎨=⎪⎩.……5分 变力F 所作的功ABW ydx xdy =-+⎰434)sin )cos ]d ππθθθθθ-=⎰()21π=-……8分十、填空题：(本题满分6分，每小题2分)(1)已知随机变量X 的概率密度函数f (x )=x e -21, +∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数()F x =1212010xx e x ex -⎧<⎨-≥⎩.(2)设随机事件A ，B 及其事件A B 的概率分别为6.0,3.0,4.0和，若_B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率3.0)B A (P =(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 .十一、(本题满分6分)设二维变量(X ,Y )在区域 x y x D <<<,10:内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z =2X +1的方差D (Z ).解：(,)X Y 的联合概率密度函数是1,01,||,(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它，因此关于X 的边缘概率密度函数是2,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞<<⎧==⎨⎩⎰其它. ……2分22D(Z)(21)4[()(())]D X E X E X =+=-()22X X 4()()x f x dx xf x dx +∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰……4分()21132001424224299x dx x dx ⎡⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题 】三、(本题满分15分，每小题5分)【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分，每小题6分) (1)【 同数学一 第四、(1)题 】(2)求微分方程0)ln (ln =-+dx x y xdy x 满足条件1==ex y的特解.解：将原方程化为11,(1)ln y y x x x x'+=≠.……1分 由公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰……3分 得2ln ln 111ln ln 2dx dx x x x xy e e dx C x C x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……4分 又由|1x e y ==，可解出12C =，所以方程的特解是11ln 2ln y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……6分(3)过点(1,0)P 作抛物线2-=x y 的切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设所作切线与抛物线相切于点0(x .因00|x x y =='==，故此切线的方程为)y x x =-.……1分又因该切线过点(1,0)P ，所以有03x =. 从而切线的方程为1(1)2y x =-. ……3分 因此，所求旋转体的体积332121(1)(2)4V x dx x dxππ=---⎰⎰……5分 6π=.……6分五、（本题满分8分）【 同数学一第五题 】 六、（本题满分7分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分6分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分8分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学一 第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)曲线⎩⎨⎧==ty t x 33sin cos 上对应于6π=t 点处的法线方程是13-=x y .(2)设x e y x tg 1sin 1⋅=，则='y 1tan 221111(sec sin cos )x e x x x x-⋅+.(3)=-⎰11dx x x15/4(4)下列两个积分的大小关系是：dx e dxe x x ⎰⎰----->121233.(5)【 同数学一 第一、(3) 题 】二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中,a b 常数，则(C)(A)1,1a b ==(B)1,1a b =-=(C)1,1a b ==-(D)1,1a b =-=-(2)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎰])([dx x f d 等于(B)(A))(x f (B)dxx f )((C)cx f +)((D)dxx f )('(3)【 同数学一 第二、(3) 题 】(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，其中()f x 在0x =处可导，(0)0,(0)0f f '≠=，则0x =是()F x 的 （B ）(A)连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定三、(本题满分15分，每小题3分) (1)已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求常数a . 解：因2(1)lim()lim (1)x x a x x xa x a x e ax a x→∞→∞++==--……3分 故29a e =,ln 3a =.……5分(2)求由2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .解：对方程两边求微分2()ln()()dx dydy dx dx dy x y x y x y--=--+--, ……3分故2ln(),3ln()2x y xdy dx dy dx x y x y +-==+--或.……5分 (3)求曲线)0(112>+=x xy 的拐点. 解：22223231,2(1)(1)x x y y x x -'''=-=++. ……2分 令0y ''=,解得x =.因在x =的左右邻近"y 变号,故x =是拐点的横坐标.所以曲线的拐点是3)4.……5分 (4)计算 ⎰-dx x x2)1(ln . 解：原式1ln 1xd x =-⎰ln 11(1)x dxxx x =---⎰……2分 10ln 11()11x dxx x x =-+--⎰……4分 ln |1|ln 1x x C x x-=++-.……5分 (5)见【 数学二 第四（2）题 】四、(本题满分9分)在椭圆12222=+by a x 的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小（其中0,0a b >>）.解：设00(,)P x y 为所求之点，则此点处的切线方程为00221xx yya b+=. ……2分令0x =，得该切线在y 轴上的截距20b y .令0y =，得该切线在x 轴上的截距2a x . ……4分于是所围图形的面积为2200011,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.……6分 求S的最小值时，不妨设00A x y ==22b A a '=. ……7分令0A '=,解得在(0,)a 内唯一驻点0x =……8分由A '在0x =右侧为负，得知0x =A 的极大点，即S 的极小点.所以0x =S 为最小，此时0y =,即为所求之点.……9分 五、(本题满分9分)证明：当0x >时，有不等式 21π>+x arctgx . 解：考虑函数1()arctan ,02f x x x x π=+->.……2分 有2211()0,01f x x x x '=-<>+. ……4分 所以()f x 在(0,)+∞上是单调减少的.……5分 又lim ()0x f x →+∞=……7分知当10,()arctan 02x f x x x π>=+->时. ……8分 即1arctan 2x x π+>. ……9分六、(本题满分9分)设dt t t x f x⎰+=11ln )(, 其中0,x >求 1()().f x f x+解：111ln ()1xt f dt xt =+⎰. 令1t y =，得11ln ()(1)x y f dy x y y =+⎰. ……3分 于是111ln ln ()()(1)(1)x x t t f x f dt dt x t t t +=+++⎰⎰111()ln (1)(1)x tdtt t t =+++⎰……5分 1111()ln 11x tdt t t t =+-++⎰……7分 21ln 1ln 2x t dt x t ==⎰. ……9分七、（本题满分9分）【 同数学二 第四、（3）题 】 八、(本题满分9分)求微分方程ax e y y y =+'+''44之通解，其中a 为实数.解：特征方程为2440r r ++=，特征根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x y C C x e -=+ .……2分 当2a ≠-时，设非齐次方程的特解为*()ax y x Ae =， ……3分代入原方程，可得21(2)A a =+,*21()(2)axy x e a =+. 当2a =-时，设非齐次方程的特解为*21()xy x A x e 2-=.代入原方程，得12A =,*21()2x y x x e 2-=.……8分故通解为212222121()2(2)()()()22x axx C C x e e a a y x x y x C C x e a --⎧++≠-⎪+⎪=⎨⎪=++=⎪⎩，当，当.……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1)极限n →∞=2(2)设函数()f x 有连续的导函数，0)0(=f 且b f =')0(，若函数00,sin )()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧+=x x A xx a x f x F 在0x =处连续，则常数A ＝ a + b .(3)曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为 4.5 .(4)若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件04321=+++a a a a (5)一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则射手的命中率为2/3二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设函数x e tgx x x f sin )(⋅⋅=，则)(x f 是 （B ）（A ）偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2)设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x a f x +=， 且有b f =')0(,其中,a b 为非零常数，则 (D)（A ）()f x 在1x =处不可导（B ）()f x 在1x =处可导，且a f =')1(（C ）()f x 在1x =处可导,且 f (1)b '= （D ）()f x 在1x =处可导，且 f (1)ab '=. (3)向量组s ααα,,21⋅⋅⋅⋅线性无关的充分条件是(A)s ααα,,21⋅⋅⋅⋅均不为零向量(B) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意两个向量的分量不成比例(C) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线形表示 (D) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中有一部分向量线形无关(4)设A ，B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是(A)(A)P (A+B )= P (A )(B)P(AB )=P(A )(C)P (A B )= P (B )(D)P (B -A )=P (B )-P (A )(5)设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是 (C )(A )X =Y(B ){}0P X Y ==(C ){}P X Y ==21(D ){}1P X Y ==三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求函数()I x =dt t t t xe ⎰+-12ln 2在区间[2,e e ]上的最大值.解：由222ln ln ()0,[,]21(1)x x I x x e e x x x '==>∈-+-, ……1分可知()I x 在2[,]e e 上单调增加,故222ln max ()(1)e e x e e t I x dt t ≤≤==-⎛⎜⎠21ln 1e e tdt --⎛⎜⎠22ln 1111e e e e t dt t t t =-+⋅--⎛⎜⎠……3分 22121ln11e e t e e t -=-+--11ln ln(1)11e e e e e e+=+=+-++. ……5分(2)计算2y Dxe dxdy -⎰⎰，其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.解：原式2302yy y edy xdx+∞-=⎰⎰……2分 20111()249y y y e dy +∞-=-⎰……3分 205572144y ye dy +∞-==⎰.……5分(3)求级数的∑∞=-12)3(n nn x 收敛域. 解：21n a n=,121(1)n a n +=+，212lim lim 1(1)n n n n a n a n +→∞→∞==+, ……2分 因此当131x -<-<，即24x <<级数收敛. ……3分当2x =时，得交错级数211(1)n n n ∞=-∑；当4x =时，得级数211n n∞=∑，二者都收敛，于是原级数的收敛域为[2,4].……5分(4)求微分方程x e x x y y sin )(ln cos -=+'的通解解：cos cos sin (ln )xdxxdx x y e x e e dx C --⎰⎰=⋅⋅+⎰……3分 sin (ln )x e xdx C -=+⎰……4分 sin (ln )x e x x x C -=-+.……5分四、(本题满分9分)某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入R （万 元）与电台广告费用1x (万元) 及报纸广告费用2x (万元) 之间的关系有如下经验公式：222121211028321415x x x x x x R ---++=. （1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5 万元, 求相应的最优广告策略.解：(1) 利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210x x x x x x =++---……1分 由12121248130,820310x x x x x x ππ∂∂=--+==--+=∂∂……2分 解得10.75x =(万元),2 1.25x =(万元). 因利润函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处的二阶偏导数为:2222211224,8,20A B C x x x x πππ∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂. ……3分 故有26480160,40B AC A -=-=-<=-<，……4分 所以函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处达到极大值，亦即最大值.……5分(2)若广告费用为1.5万元，则只需求利润12(,)x x ππ=在12 1.5x x +=时的条件极值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5)L x x x x x x x x x x λλ=++---++-……7分令120,0,0L L L x x λ∂∂∂===∂∂∂，有121212481308203101.50x x x x x x λλ--++=⎧⎪--++=⎨⎪+-=⎩……8分由此可得10x =，2 1.5x =，即将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.……9分五、(本题满分6分)设)(x f 在闭区间[0,c]上连续,其导数)(x f '在开区间(0,)c 内存在且单调减少.(0)0f =，试应用拉格郎日中值定理证明不等式()()()f a b f a f b +≤+，其中常 数,a b 满足条件c b a b a ≤+≤≤≤0.证：当0a =时,(0)0f =有()()()()f a b f b f a f b +==+. ……1分当0a >时，在[0,]a 和[,]b a b +上分别应用拉格朗日定理,有()11()(0)()(),0,0f a f f a f a a aξξ-'==∈-；……3分 ()22()()()()(),,()f a b f b f a b f b f b a b a b b aξξ+-+-'==∈++-.……4分 显然120a b a b c ξξ<<≤<<+≤. 因()f x '在[0,]c 上单调减少，故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()f a b f b f a a a+-≤.……5分 故由0a >，有()()()f a b f a f b +≤+. ……6分六、(本题满分8分)已知线性方程组 1234512345234512345323022654332x x x x x ax x x x x x x x x bx x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩(1)问,a b 为何值时，方程组有解?(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时, 求出方程组的全部解.解：(1) 考虑方程组的增广矩阵1111111111321130012263012260000035433120000022a aa A bb a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭……2分当30b a -=且220a -=，即13a b ==且时，方程组的系数矩阵与增广矩阵之秩相等，故1,3a b ==时，方程组有解.……3分(2)当1,3a b ==时，有11111101152012263012263000000000000000000000000a a A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，原方程组的同解方程组为13452345522263x x x x x x x x ---=-⎧⎨+++=⎩，故导出组的基础解系为123115226,,100010001v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……6分(3)令3450x x x ===，得原方程组的特解23000u -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是原方程组的全部解为1231234521153226010000100001x x u x c c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,c c c 为任意常数.……8分 七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ，存在自然数k ，使得0=kA ，试证明矩阵E A -可逆，并写出 其逆矩阵的表达式（E 为n 阶单位阵）.解：由0kA =及1k k E A E A A E A --+++=-()() ，得1k E A E A A E--+++=()() ……3分 可知E A -可逆，且有11()k E A E A A ---=+++ .……5分八、(本题满分6)设A 为n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，21,x x 是分别属于1λ和2λ的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.解：因11122212,,Ax x Ax x λλλλ==≠,故12121122()A x x Ax Ax x x λλ+=+=+……2分 设21x x +是A 的特征向量，则1212()()A x x x x λ+=+，即112212()x x x x λλλ+=+， 于是有1122()()0x x λλλλ-+-=.……4分由于12,x x 属于不同的特征值，所以12,x x 线性无关，故有120,0λλλλ-=-=，即12λλ=， 这与假设矛盾，因此21x x +不是A 的特征向量.……6分九、(本题满分4分)从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率：=1A { 三个数字中不含0和5 } ；=2A { 三个数字中含0但不含5 }解：3813107()15C P A C ==……2分 33982310214()15C C P A C -==. ……4分十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知X 和Y 的联合分布函数为：⎩⎨⎧≥≥+--=+---它其00,01),()(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x .(1)问X 和Y 是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.解 X 的分布函数1()F x 和Y 的分布函数2()F y 分别为：0.511,0;()(,)0,0x e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若，0.521,0;()(,)0,0y e y F y F y y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若……2分 显然12(,)()()F x y F x F y =，故X 和Y 独立，……3分 于是{0.1,0.1}{0.1}{0.1}P X Y P X P Y α=>>=>⋅>……4分 0.050.050.112[1(0.1)][1(0.1)]F F e e e ---=-⋅-=⋅=.……5分十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96分以上的占考生总数的2.3 %，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）解：设X 为考生的外语成绩，由题设知2~(,)X N μσ，其中72μ=. ……1分由条件知{96}0.023P X ≥=，即9672{}0.023X P μσσ--≥=，亦即24()0.977σΦ=，由()x Φ的数值表，可见242σ=.因此12σ=.这样2~(72,12)X N .……4分所求概率为60728472{6084}{}{11}1212X X P X P P μμσσ----≤≤=≤≤=-≤≤(1)(1)2(1)120.84110.682=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.……7分数 学（试卷五）一、填空题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)【 同数学四 第一、(4) 题 】(5)已知随机变量(3,1),(2,1)X N Y N - ,且,X Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+,则Z ～ N (0,5) .二、选择题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)【 同数学四 第二、(2) 题 】(3)【 同数学四 第二、(1) 题 】(4)设A 为n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(A)(A) 1-n A(B) A (C) nA(D) 1-A(5)已知随机变量X 服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 (B )(A )n = 4，p = 0.6(B )n = 6，p = 0.4(C )n = 8，p = 0.3(D )n = 24，p = 0.1三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求极限dte t x x t x x 22)1(1lim20-∞→⎰+解：原式22222202(1)(1)limlim(12)xt x x x x x t e dt x e xex e→∞→∞++==+⎰……3分22(1)1lim (12)2x x x →∞+==+. ……5分(2)求不定积分dx x x x ⎰34sin 2cos . 解 443333cos cos cos1222sin 88sin cos sin 222x x x x x x dx dx dx x x x x ==⎰⎰⎰……2分3211sin sin sin 42282x x x x d xd --==-⎛⎛⎜⎜⎠⎠……3分 22111sin 828sin 2x x dx x-=-+⎛⎜⎜⎠……4分 21cot 428sin 2x x C x -=-+211csc cot 8242x xx C =--+.……5分 (3)设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ为可微函数，求 yz∂∂.解 将原式两边同时对y 求偏导，得2112()()()z z z z z y z y y y y y yϕϕ∂∂'=+-∂∂ ……3分 解出z y ∂∂，得 ()()()()2()2()z z z z z y z zy y yy y zzyz yz y yyϕϕϕϕϕϕ''--∂==∂''--. ……5分(4)【 同数学四 第三、(2) 题 】四、（本题满分9分）【 同数学四 第四题 】五、(本题满分6分)证明不等式1ln(()x x x +≥-∞<<+∞证：记()1ln(f x x x =++()ln(ln(f x x x x '=+=.……2分 令()0f x '=，知0x =为驻点.由()0f x ''=>……4分可知0x =为极小值点，亦即最小值点.()f x 的最小值为(0)0f =，于是，对于一切(,)x ∈-∞+∞,有()0f x ≥，即1ln(()x x x +≥-∞<<+∞. ……6分六、(本题满分4分)设A 为1010⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00001010000 (0010000010)10,计算行列式E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.解：1010000100().......................00011000A E λλλλλ---=--按第一列展开……1分101000100000100100010..............................................00010001101λλλλλλλ----－－－＝－……2分9101010()()1010λλλ=---=-.……4分七、(本题满分5分)设方阵A 满足条件TA A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵.试证明所对应的 特征值的绝对值等于1.证：设x 是A 的实特征向量，其所对应的特征值为λ，则Ax x λ=，即T T Tx A x λ=，于是有2T T T x A Ax x x λ=，即2T Tx x x x λ=，2(1)0T x x λ-=.……3分 因为x 为实特征向量，故0Tx x >，所以得210λ-=，即||1λ=.……5分八、（本题满分8分）【 同数学四 第六题 】九、（本题满分5分）【 同数学四 第九题 分值不同 】 十、(本题满分6分)甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求X 和Y 联合概率分布.解：X Y 和都服从二项分布，参数相应为(2,0.2)和(2,0.5).因此X Y 和的概率分布分别为：0120.640.320.04X ⎛⎫⎪⎝⎭，0120.250.50.25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……3分故由独立性，知X Y 和的联合分布为6分十一、(本题满分7分)【 同数学四第十一题 】。

历年考研数学三真题及答案解析2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222() dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

1990考研数一真题解析(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是___x -3y -z +4=0__________. (2) 设a 为非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=____2e a _________. (3) 设函数1, ||1,()0, ||1,x f x x ≤⎧=⎨>⎩ 则[()]f f x =________1_____.(4) 积分222y xdx edy -⎰⎰的值等于____41e 2_________.(5) 已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)αααα====,则该向量的秩是_____2________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设()f x 是连续函数,且()()x e xF x f t dt -=⎰,则()F x '等于( A )(A) ()()x x e f e f x ---- (B) ()()x x e f e f x ---+ (C) ()()x x e f e f x --- (D) ()()x x e f e f x --+ (2) 已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是 ( A )(A) 1![()]n n f x + (B) 1[()]n n f x + (C) 2[()]n f x (D)2![()]n n f x(3) 设α为常数,则级数21sin (n n n α∞=∑ ( C )(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛(C) 发散 (D) 收敛性与α的取值有关(4) 已知()f x 在0x =的某个领域内连续,且(0)0f =,0()lim21cos x f x x→=-,则在点0x =处()f x( D )(A) 不可导 (B) 可导,且(0)0f '≠ (C) 取得极大值 (D) 取得极小值(5) 已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解(一般解)必是( B )(A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+三、(本题满分15分,每小题5分.) (1) 求 120ln(1)(2)x dx x +-⎰.解：11112ln 1111d ln 1dln 1d 22122xxx xx xxx xx101111ln 2d ln 23213xxx(2) 设(2,sin )z f x y y x =-,其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2zx y ∂∂∂.解：2cos .z f f y x xu v 22222222sin cos sin cos cos .z f f ff xy xy x xxx yu u vv v(3) 求微分方程244x y y y e -'''++=的通解(一般解).解：特征方程为2440r r 的跟为1,22r .对应齐次方程的通解为212exYC C x ，其12C C ，中为任意常数.设原方程的特解为22exy xAx ，代入原方程得12A. 因此，原方程的通解为22212ee .2xxx y x Y yC C x四、(本题满分6分.)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.解：因为123=lim lim121n n nna n ρan ，所以11.Rρ显然幂级数21n n nx 在1x 时发散，故此幂级数的收敛域为11，又0121221nnnn n n n n S xn x nx x xx x222111 1.111x x xxxx，五、(本题满分8分)求曲面积分2,SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.解：令22140x y S z ，，其法向量与z 轴的负向相同.设S 和S 1所围成的区域为Ω，则由奥--高公式有1Ωd d 2d d d d d .S Iyz z x x yz x y z 而22114d d 02d d 2d d 8.S S x y yz z x x yx yπ，22220Ωd d d =d d cos sin d 4.ππz x y z θφr φr φr π所以12.Iπ六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()()f a f b =.证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'>.证：因f af b 且f x 不恒为常数，故至少存在一点c a b ，，使得.f cf af b 于是()()f c f a >或()().f c f a <现设()()f c f a >，则在a c ，上因f x 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点ξa ca b ，，，使得10.f ξf c f ac a对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.七、(本题满分6分)设四阶矩阵1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1B -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭, 2 1 3 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2C ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 且矩阵A 满足关系式1()T T A E C B C E --=,其中E 为四阶单位矩阵,1C -表示C 的逆矩阵,T C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A .解：因11()()=()TTTTA E CBC A C E C B A C B --⎡⎤-=--⎣⎦，故()=T A C B E -， 因此1000100021002100()3210121043210121T A C B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎡⎤=-⎣⎦ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭-1-1==，八、(本题满分8分)求一个正交变换,化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-为标准形. 解：二次型的矩阵A =122244244，由2122A E2449244λλλλλλ， A 的特征值为12309.λλλ，对于121221220A-E=244000244000λλλ，，从而可取特征向量1011P 及与P 1正交的另一特征向量241.1P 对于38222459A-E=254099245000λλ，，取特征向量312.2P 将上述相互正交的特征向量单位化，得123132312===32322113232ξξξ，，，故在正交变换112233103321232321123232x y x y x y 下，二次型239f y .九、(本题满分8分)质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2,求变力F 对质点P 所作的功.解：由题意，变力F =-y i +x j .圆弧AB 的参数方程是22cos 3.4432sin x θππθyθ， 变力F 所作的功434d d 232sin sin 222cos cos d 21.πABπWy x x yθθθθθπ十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机变量X 的概率密度函数||1(),2x f x e x -=-∞<<∞,则X 的概率分布函数()F X =__1e ,0,211e ,0,2xx x x _____.(2) 设随机事件A 、B 及其和事件A B 的概率分别是、和,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =.(3) 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即{}22,!k e P Xk k -==0,1,2k =,,则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =___4____.十一、(本题满分6分.)设二维随机变量(,)X Y在区域:01,||D x y x<<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X=+的方差()D Z.解：X Y，的联合概率密度函数是101xf x y，，，，其他，因此X的边缘概率密度函数是201dXx xf x f x y y，，，，其他，22222144d dX XD Z D XE X E X x f x x xf x x211320014242d2d4.299x x x x。

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 把答案填在题中横线上 .)(1) 极限 lim( n 3nnn )_________.n(2) 设函数 f ( x) 有连续的导函数 , f(0) 0, f (0) b , 若函数f ( x) a sin x , x 0,F (x)xA, x 0在 x 0 处连续 , 则常数 A =___________.(3) 曲线 yx 2 与直线 yx 2 所围成的平面图形的面积为_________.x 1x 2 a 1 ,(4) x 2 x 3 a 2 ,若线性方程组x 4 有解 , 则常数 a 1 , a 2 , a 3 ,a 4 应满足条件 ________.x 3 a 3 ,x 4x 1 a 4(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为80,则该射手的命中率为 ________.81二、选择题 ( 本题满分 15分,每小题 3 分 . 每小题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .)(1)设函数 f ( x) x tan x e sin x , 则 f (x) 是( )(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2) 设函数 f ( x) 对任意 x 均满足等式 f (1x)af ( x) , 且有 f (0)b, 其中 a, b 为非零常数 , 则()(A) f ( x) 在 x 1 处不可导 (B)f (x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1) a(C)f ( x) 在 x 1 处可导 , 且 f(1) b(D)f (x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1)ab(3) 向量组1,2 ,, s 线性无关的充分条件是( )(A) 1,2 ,, s 均不为零向量(B) 1, 2 ,, s 中任意两个向量的分量不成比例(C)1,2 ,, s 中任意一个向量均不能由其余s 1个向量线性表示(D)1, 2 , , s中有一部分向量线性无关(4) 设A, B 为两随机事件,且B A ,则下列式子正确的是( )(A)P A B P A(B)(C)P B A P B(D)(5) 设随机变量X和 Y 相互独立,其概率分布为PAB PAPB A P(B) PAm-11m-11P X m 11P Y m11 2222则下列式子正确的是()(A)X Y(B)P X Y0(C)P X Y 1(D)P X Y1 2三、计算题 ( 本题满分20 分, 每小题5 分.)(1)求函数 I (x)x ln t dt 在区间 [e, e2 ] 上的最大值.t 2e2t1(2)计算二重积分xe y2dxdy ,其中 D 是曲线y4x2和 y9x2在第一象限所围成的区D域 .(3)求级数(x3)n的收敛域 .n 1n2(4)求微分方程y y cos x (ln x)e sin x的通解.四、 ( 本题满分9 分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告, 根据统计资料, 销售收入R (万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:R 15 14x132 x28x1 x22x1210x22.(1)在广告费用不限的情况下 , 求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为 1.5 万元 , 求相应的最优广告策略 .五、 ( 本题满分 6 分)设 f ( x) 在闭区间[0, c] 上连续,其导数 f ( x) 在开区间(0, c) 内存在且单调减少；f (0)0 ,试应用拉格朗日中值定理证明不等式: f ( a b) f (a) f (b), 其中常数a、 b满足条件0a b a b c .六、 ( 本题满分8 分 )已知线性方程组x1x2x3x4x5a,3x12x2x3x43x50,x22x3 2 x46x5b,5x14x23x33x4x52,(1)a、 b 为何值时,方程组有解?(2)方程组有解时 , 求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时 , 求出方程组的全部解 .七、 ( 本题满分5分 )已知对于 n 阶方阵A,存在自然数k,使得 A k0 ,试证明矩阵E A可逆,并写出其逆矩阵的表达式 ( E为n阶单位阵 ).八、 ( 本题满分6分 )设 A 是n阶矩阵,1和2是 A 的两个不同的特征值,X1, X2是分别属于1和2的特征向量 . 试证明X1X2不是A的特征向量.九、 ( 本题满分4分 )从 0,1,2,,9 十个数字中任意选出三个不同数字, 试求下列事件的概率：A1{ 三个数字中不含 0 和 5} ；A2{ 三个数字中不含 0 或 5}.十、 ( 本题满分 5 分)一电子仪器由两个部件构成, 以X和Y分别表示两个部件的寿命( 单位 : 千小时 ), 已知X 和 Y 的联合分布函数为:F ( x, y)1- e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y) ,若 x 0, y 0,0,其他 .(1)问 X 和Y是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100 小时的概率.十一、 ( 本题满分 7 分)某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩 ( 百分制 ) 近似服从正态分布 , 平均成绩为 72分 ,96分以上的占考生总数的 2.3%, 试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率 .[附表]x00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0( x)0.500 0.692 0.841 0.9330.9770.994 0.999表中(x) 是标准正态分布函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分 15 分 , 每小题 3 分.) (1) 【答案】 2【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子n 3 n n n .lim(n 3 nnn ) lim ( n3 nn n ) ( n 3 nnn ) n1 nn3 n nnn3 n nnlim,n3 nnnn再分子分母同时除以n , 有原式 lim4.n3111nn因为 lima0 , 其中 a 为常数 , 所以原式4 2.nn1 1(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0处连续 , 故 A F(0)lim F ( x) .x 0lim F ( x) 为“ 0”型的极限未定式 , 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以x 0f ( x) a sin x lim f (x) a cosxA lim b a .x 0xx 01【相关知识点】函数 yf (x) 在点 x 0 连续：设函数 yf ( x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义 ,如果 limf (x) f ( x 0 ), 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续 .x x 0(3) 【答案】 41y2【解析】先解出两条曲线在平面的交点, 即令 x 2x2 ,解得 x 1 和 x2 , 故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为S2 x 2 x2dx 11 x 21 x 3 24 1.x2x 1 O22 3 12(4) 【答案】 a 1a 2a 3a 4【解析】由于方程组有解r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 ,第一行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1 1 0 0 a 10 1 1 0 a 2 0 1 1 0 a 2 ,0 0 1 1 a 3 0 0 1 1a 31 0 0 1 a 41 0 1 a 1 a 4第二行加到第四行上, 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1100 a 10 1 1 0 a 2 1 1 0a 2 .0 0 1 1a 31 1a 30 0 11 a 1 a2 a 40 a 1 a 2 a 3 a 4为使 r ( A)r ( A) , 常数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3a 4 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 A A b 的秩 , 即是 r ( A)r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 的列向量 1,2 ,, n 线表出 ,亦等同于1,2 ,, n 与 1, 2 ,, n ,b 是等价向量组 ).设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b , 则（1）有唯一解r ( A) r ( A)n.（ 2）有无穷多解（ 3）无解r ( A) r ( A) n.r ( A) 1 r ( A). b 不能由 A 的列向量1 ,2 ,,n 线表出 .(5) 【答案】 23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型 , 设试验的成功率即射手的命中率为p , 则进行四次独立的射击 , 设事件 Y 为“射手命中目标的次数”80的二项分, Y 服从参数 n 4, p81布 , 由二项分布的概率公式 , 事件“四次均不中”的概率为(1 p)4 , 它是至少命中一次的对立事件 . 依题意(1 p)41 801 p1 p2 .8133本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数 , p 表示一次射击的命中率 , 则 XB(4, p) , 依题意41P X0 1P X k,k181即 (1 p) 41p 2 .813【相关知识点】二项分布的概率公式：若 Y B(n, p) ,则P Y k C n k p k (1p)n k,k0,1, ,n .二、选择题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 (B)【解析】由于 lim x e sin x e ,而 lim tan x, 所以,x2x22lim x tan x e sin x, 故f ( x)无界 .x22或考察 f (x) 在 x n 2n(n1,2, ) 的函数值,有 lim f (x n )lim x n e 2, 可见4n nf ( x) 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由 fsinf e sine 444 , 知 (A) 不正确；444由 f0, f0 ,而f00 ,知(D)不正确.44证明 (C) 不正确可用反证法.设 g x tan x e sinx,于是 g x 的定义域为D x | x k,k 0 , 1 , 2 ,,2且 g x 的全部零点为x n n ,n 0, 1, 2, . 若f x xg x 以 T T 0 为周期,则有x T g x T xg x , x D.令 x 0,有 Tg T0,即 g T0.从而 T k, 其中k为某一正数 . 于是2k也是xg x 的周期.代入即得,对x D 有x 2k g x 2k x 2k g x xg x .这表明 2k g x 0 在 x D 上成立,于是 g x 0 在 x D 上成立,导致了矛盾.故f x xg x 不可能是周期函数 .【相关知识点】极限的四则运算法则:若 lim f (x)A , lim g(x)B , 则有 lim f (x) g( x) AB .xx 0x x 0x x 0(2) 【答案】 (D)【解析】通过变量代换 t x 1f (1 x) af ( x) 将 f ( x) 在 x 1的可或按定义由关系式导性与 f (x) 在 x0 的可导性联系起来 .令 t x1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则 , 知 f (t) 在 t 1可导,且f (t) t 1 af (t 1)(t 1) t1af (0) ab ,因此 , 应选 (D).【相关知识点】 复合函数求导法则 : 如果 u g ( x) 在点 x 可导 , 而 y f (x) 在点 ug (x) 可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 可导 , 且其导数为dy (u) g ( x) 或dy dy duf dxdu .dxdx(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论, 以及充分必要性条件的概念 .(A)(B)(D) 均是必要条件 , 并非充分条件 . 也就是说 , 向量组1,2,,s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但是不能由 (A)(B)(D) 选项中的任意一个推导出向量组1 , 2,,s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1)(0,0) , 该向量组线性相关.但(A)(B)(D) 均成立 .根据“1,2 ,, s 线性相关的充分必要条件是存在某 i (i 1,2, , s) 可以由1 ,i 1,i 1 ,, s 线性表出 . ”或由“ 1, 2 , , s 线性无关的充分必要条件是任意一个i (i1,2,, s) 均不能由 1 ,i 1, i 1 , , s 线性表出 . ”故选 (C).(4) 【答案】 A【解析】由于 B A ,所以 A B A , 于是有 P A B P A .故本题选 A.对于 B 选项,因为 BA ,所以事件B 发生,则事件 A 必然发生 ,所以 P AB P B ,而不是 P AB P A ,故B 错.对于 C选项 ,因为B A ,由条件概率公式P B A P( AB), 当B, A是相互独立的事P( A)件时,才会有P B A P B ；所以C错.对于 D 选项,因为B A,所以事件 B 发生事件 A不发生是个不可能事件,故P B A 0,所以(D)错.(5)【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率的定义, 有PXYPX1,Y 1 PX 1,Y 1P X1} P{Y 1 PX 1}P{Y111111 2222.2故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项是错误的 .对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量X 和 Y 相互独立,且他们的概率分布相同, 但是二者是不同的事件 , 并不能说事件X 与事件 Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)(1) 【解析】在x[e,e2 ] 上,I ( x)x2ln x1ln x20 ,故函数I (x)在[ e, e2]上单2x x 1调增加 , 最大值为I (e2) .由dx d (1 x)1, 有(1 x)2(1 x) 2dx)(1e2ln te21I (e2 )2dteln tde t1t1e2e2e2e2ln t dt ln tt 1 e e t t 1t 1 e e11()dt21ln(e2 1) 2 ln( e 1) 1e2 1 e11lne 1.e 1e【相关知识点】 1. 对积分上限的函数的求导公式：若 F (t )(t )f (x)dx ,(t),(t )均一阶可导,则(t )F (t)(t ) f (t)(t ) f (t ) .2. 假定 uu(x) 与 vv( x)均具有连续的导函数, 则uv dxuvu vdx,或者udvuvvdu.(2) 【解析】区域 D 是无界函数 , 设D b D0 y b { x, y 0 y b,yx y yy 9x 223} , y 4x2不难发现 , 当 b时有 D bD ,从而xe y 2xe y 2be y 2yOxdxdylimdxdylimdy2xdxDbD bby31limb 1 y 1 y)e y 2(4 9dy2 b 05 limbye y 2dy ty2 5b 2tdtlime72b144 b5 lim (1 e b 2 ) 5 . 144 b 1144 (3) 【解析】因系数 a (n 1,2, ) , 故n n 2122a n 1n1nlim limlim1 ,12na nnnn1n 2这样 , 幂级数的收敛半径R11. 因此当 1 x3 1,,即2 x4 时级数绝对收敛 .当 x 2时 , 得交错级数( 1)n12 ；当 x4 时, 得正项级数12 , 二者都收敛 , 于是原级n 1nn 1 n数的收敛域为 [2,4] .【相关知识点】 1. 求收敛半径的方法： 如果lim a n 1 , 其中 a n , a n 1 是幂级数a n x n 的na n n 0相邻两项的系数 , 则这幂级数的收敛半径1 ,,R,0,0,.2. 交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数( 1)n 1 u 满足：nn 1(1) u nu n 1 ,n1,2, ; (2)lim u n 0.n则( 1)n 1 u n 收敛 , 且其和满足 0( 1)n 1 u n u 1,余项r nu n 1 .n 1n 13． p 级数：1 当 p 1 时收敛；当 p1时发散 .n 1 n p(4) 【解析】 方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程, 可直接利用通解公式求解 .y cosxdxe sin xcosxdxdx Celn xee sin xln xdxCe sin x [ x ln x x C ] .方法 2:用函数 e P ( x) dxcos xdxe sin x 同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .e方程两端同乘 e sin x , 得 e sin x yye sin x cos x ( ye sin x )( ye sin x ) ln x , 再积分一次得ye sin xC ln xdx C x ln xx .最后 , 再用 e sin x 同乘上式两端即得通解 y e sin x [ x ln x x C ] .【相关知识点】一阶线性非齐次方程yP(x) y Q (x) 的通解为P (x )dxP ( x) dxy eQ (x)edx C , 其中 C 为任意常数 .四、 ( 本题满分 9 分 )【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为15 14 x 1 32 x 2 8x 1 x 2 22x 2 )2x 1 10x 2 ( x 115 13x 1 31x 2 8x 1 x 2 2 x 12 10 x 22.由多元函数极值点的必要条件, 有x 14x 1 8x 213 0,x 1 0.75, x 2 1.25.x 28x 1 20 x 2 310,因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故投入电台广告费用 0.75 万元 , 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润.(2)若广告费用为 1.5 万元 , 则应当求利润函数 ( 与 (1) 中解析式相同 )15 13x131x2 8x1x22x1210x22 ,在x1x2 1.5 时的条件最大值.拉格朗日函数为L (x1, x2 , ) 1513x131x2 8x1x22x1210x22( x1 x2 1.5),L4x18x2130,x1由L8x120x2310,x2Lx2 1.50x1x10, x2 1.5.因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最大 .【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数 z f ( x, y) 在附加条件( x, y) 0 下的可能极值点, 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y)( x, y),其中为参数. 求其对x与y 的一阶偏导数, 并使之为零, 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y) f y ( x, y)x ( x, y) ( x, y)y0,0,由这方程组解出x, y 及, 这样得到的( x, y ) 就是函数 f (x, y)在附加条件( x, y)0 下的可能极值点.五、 ( 本题满分 6 分 )【解析】方法1: 当a0 时, f (a b) f (b) f ( a) f (b), 即不等式成立；若 a0,因为f (a b) f (a) f (b) f (0)[ f (a b) f (b)][ f (a) f (0)]f ( 2 )a f (1) a a[ f ( 2 ) f (1)],其中01 a b2 a b .又 f ( x) 单调减少, 故f ( 2 ) f (1).从而有f (a b) f (a) f (b) f (0)0,即 f (a b) f (a) f (b) .方法2: 构造辅助函数, 将式子移到不等式右边, 再将b视为变量x ,得辅助函数令 F (x) f ( x) f (a) f (a x), x[0, b] ,由于 f (0)0,所以 F (0)0,又因为F (x) f (x) f (a x),且 a0 , f ( x) 在(0, b)单调减少, 所以F (x)0,于是 F ( x)在[0, b]上单调递增, 故F (b) F (0)0 ,即c .f (a b) f (a) f (b), 其中0 a b ab【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足在闭区间 [ a, b] 上连续；在开区间a,b 内可导,那么在a, b 内至少有一点 (a b) ,使等式 f (b) f (a) f ()(b a) 成立.六、 ( 本题满分8 分 )【解析】本题中 , 方程组有解r ( A)r ( A) .(相关定理见第一题 (4))对增广矩阵作初等行变换, 第一行乘以3、5分别加到第二、四行上, 有11111a11 1 11a321130012263a,01226b01226b5433120122625a第二行乘以 1、1分别加到第三、四行上, 第二行再自乘 1 ,有11111a12263a.b3a22a(1) 当b 3a0 且 22a0 ,即a1,b3时方程组有解.(2)当 a 1,b 3 时,方程组的同解方程组是x1x2x3 x4x51,x22x32x46x53,由 n r ( A) 5 2 3 ,即解空间的维数为 3. 取自变量为x3 , x4 , x5,则导出组的基础解系为(1, 2,1,0,0) T ,2(1,2,0,1,0) T ,3 (5, 6,0,0,1) T.1(3)令 x 3 x 4 x 5 0 , 得方程组的特解为( 2,3,0,0,0) T . 因此 , 方程组的所有解是k 1 1 k 2 2 k 3 3 , 其中 k 1, k 2 , k 3 为任意常数 .【相关知识点】 若 1 、 2 是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系 , 则 Ax b 的通解形式为 k 11k22,其中 1,2 是Ax0的基础解系 ,是 Ax b 的一个特解 .七、 ( 本题满分 5 分 )【解析】若A 、B 是 n 阶矩阵 , 且 ABE, 则必有 BA E. 于是按可逆的定义知 A 1B .如果对特征值熟悉 , 由 A k0 可知矩阵 A 的特征值全是 0, 从而 EA 的特征值全是1,也就能证明 EA 可逆.由于 A k0 , 故EA(EAA 2A k 1 ) E kA kE .1EAA 2A k 1 .所以 E A 可逆,且 E A八、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 (反证法 ) 若 X 1X 2 是 A 的特征向量 , 它所对应的特征值为, 则由定义有：A( X 1 X 2 ) ( X 1 X 2).由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 2 1X1 2X 2.两式相减得(1) X 1 (2)X 2 0 .由 1 2 , 知1,2 不全为 0, 于是 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾 . 所以 , X 1X 2 不是 A 的特征向量 .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵 , 若存在数 及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X 成立,则称是矩阵 A 的特征值 , 称非零向量 X 是矩阵 A 的特征向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )【解析】样本空间含样本点总数为C 103 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件 A 1 的样本点数为 C 83 ；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案 .有利于事件 A 2 的样本点数为 2C 93 C 83 ；十个数字除去 0 任意选三个的选择方案和十个数字 除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数 , 即是事件 A 1 被加了两次 , 所以应该减去 C 83 .由古典型概率公式 ,C 8372C 93 C 8314P(A 1)15; P( A 2).C 103C 10315P(A i ) 有利于事件 A i 的样本点数【相关知识点】古典型概率公式：.样本空间的总数十、 ( 本题满分 5 分 )【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布的定义, 且 lim e ax0, ( a 为常数 ) 有xX 和 Y 的边缘分布函数分别为F X ( x) F ( x,)1 e 0.5 x , 若 x0,lim F (x, y)0,若 x0;yF Y ( y) F (, y)1 e 0.5 y , 若 y0,lim F ( x, y)0,若 y0.x由于对任意实数x, y 都满足 F ( x, y)F X (x) F Y (x) . 因此 X 和 Y 相互独立 .(2) 因为 X 和Y 相互独立 ,所以有P X 0.1, Y 0.1 PX 0.1 PY 0.1[1 F X (0.1)][1 F Y (0.1)]e 0.05 e 0.05e 0.1.十一、 ( 本题满分 7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差 , 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率 , 通过(x) 表计算 . 但是正态分布的参数与2未知时 , 则应先根据题设条件求出与 2 的值 , 再去计算有关事件的概率 .设X 为考生的外语成绩 ,依题意有 X ~ N( ,2),且72,但 2 未知 . 所以可标准化得X72~ N (0,1) . 由标准正态分布函数概率的计算公式, 有PX 961 PX96196 72240.023,1240.0230.977.1查表可得242,12,即X ~ N(72,122),P60 X84X72P 1 2 (1) 1 0.682 .121990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 2【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子n 3 n n n .lim(n 3 nnn ) lim ( n3 nn n ) ( n 3 nnn ) n1 nn3 n nnn3 n nnlim,n3 nnnn再分子分母同时除以n , 有原式 lim4.n13 11n n因为 lima0 , 其中 a 为常数 , 所以原式42.nn1 1(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0处连续 , 故 A F(0)lim F ( x) .x 0lim F ( x) 为“ 0”型的极限未定式 , 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以x 0f ( x) a sin x lim f (x) a cosxA lim b a .x 0xx 01【相关知识点】函数 yf (x) 在点 x 0 连续：设函数 yf ( x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义 ,如果 limf (x) f ( x 0 ), 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续 .x x 0(3) 【答案】 41y2【解析】先解出两条曲线在平面的交点 , 即令 x 2x2 ,解得 x 1 和 x2 , 故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为S2 x 2 x2dx 11 x 21 x 3 24 1.x2x 1 O22 3 12(4) 【答案】 a 1 a 2a 3a 4 0【解析】由于方程组有解r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 ,第一行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1 1 0 0 a 10 1 1 0 a 2 0 1 1 0 a 2 ,0 0 1 1 a 3 0 0 1 1a 310 0 1 a 41 0 1 a 1 a 4第二行加到第四行上, 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1100 a 10 1 1 0 a 2 1 1 0a 2 .0 0 1 1a 31 1a 30 0 11 a 1 a2 a 40 a 1 a 2 a 3 a 4为使 r ( A)r ( A) , 常数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3a 4 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 AA b 的秩 , 即是 r ( A) r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 的列向量1,2 ,, n 线表出 ,亦等同于1,2 ,, n 与 1, 2 , , n ,b 是等价向量组 ).设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b , 则（4）有唯一解r ( A) r ( A)n.（ 5）有无穷多解（ 6）无解r ( A) r ( A) n.r ( A) 1 r ( A).b 不能由 A 的列向量1 ,2 ,,n 线表出 .(5) 【答案】 23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型, 设试验的成功率即射手的命中率为p , 则进行 四次独立的射击 , 设事件 Y 为“射手命中目标的次数”, Y 服从参数 n 4, p80的二项分81布 , 由二项分布的概率公式 , 事件“四次均不中”的概率为(1p)4 , 它是至少命中一次的对立事件 . 依题意(1 p)41 80 1 p1 p2 .81 33本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数, p 表示一次射击的命中率, 则 XB(4, p) , 依题意41 ,P X 01P X kk 181即 (1 p) 41p2.813【相关知识点】二项分布的概率公式：若 Y B(n, p) ,则P Y k C n k p k(1 p)n k, k 0,1, ,n .二、选择题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 (B)【解析】由于 lim x e sin x e ,而 lim tan x, 所以,x2x22lim x tan x e sin x, 故f ( x)无界 .x22或考察 f (x) 在 x n 2n(n1,2, ) 的函数值,有 lim f (x n )lim x n e 2, 可见4n nf ( x) 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由f sin f e sine 444 , 知 (A) 不正确；444由 f0, f0 ,而f00 ,知(D)不正确.44证明 (C) 不正确可用反证法.设 g x tan x e sinx, 于是g x的定义域为 D x | x k,k0,1,2,,2且 g x 的全部零点为x n n,n0, 1, 2,.若f x xg x 以 T T0为周期 ,则有x T g x T xg x,x D.令 x0,有 Tg T0,即 g T0.从而 T k,其中 k 为某一正数.于是 2k 也是xg x 的周期.代入即得,对x D 有x 2k g x 2k x 2k g x xg x .这表明 2k g x 0 在 x D 上成立,于是 g x 0 在 x D 上成立,导致了矛盾.故f x xg x 不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则 :若lim f (x) A , lim g(x) B , 则有lim f (x) g( x) AB .x x 0x x 0x x 0(2) 【答案】 (D)【解析】通过变量代换 t x 1或按定义由关系式f (1 x) af ( x) 将 f ( x) 在 x 1的可导性与 f (x) 在 x0 的可导性联系起来 .令 t x1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则 , 知 f (t) 在 t 1 可导,且f (t) t 1 af (t 1)(t 1) t1af (0) ab ,因此 , 应选 (D).【相关知识点】 复合函数求导法则 : 如果 u g ( x) 在点 x 可导 , 而 y f (x) 在点 u g (x) 可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 可导 , 且其导数为dy (u) g ( x) 或dy dy duf dxdu .dxdx(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论, 以及充分必要性条件的概念 .(A)(B)(D) 均是必要条件 , 并非充分条件 . 也就是说 , 向量组1,2,,s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但是不能由 (A)(B)(D) 选项中的任意一个推导出向量组1 ,2,,s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1)(0,0) , 该向量组线性相关.但(A)(B)(D) 均成立 .根据“1, 2 ,, s 线性相关的充分必要条件是存在某 i (i 1,2, , s) 可以由1 ,i 1,i 1 ,, s 线性表出 . ”或由“ 1, 2 , , s 线性无关的充分必要条件是任意一个i (i 1,2, , s) 均不能由1 ,i 1,i 1 ,,s 线性表出 . ”故选 (C).(4) 【答案】 A【解析】由于B A ,所以 A B A ,于是有 P A B P A .故本题选 A.对于 B 选项,因为 B A , 所以事件 B 发生 , 则事件 A 必然发生 , 所以 P ABP B ,而不是 P ABP A ,故B 错.对于 C 选项 ,因为 B A , 由条件概率公式 P B AP( AB), 当 B, A 是相互独立的事P( A)件时,才会有P B A P B ；所以C错.对于 D 选项,因为B A,所以事件 B 发生事件 A不发生是个不可能事件,故P B A 0,所以(D)错.(5)【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率的定义, 有PXYPX1,Y 1 PX 1,Y 1P X1} P{Y 1 PX 1}P{Y111111 2222.2故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项是错误的 .对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量X 和 Y 相互独立,且他们的概率分布相同, 但是二者是不同的事件 , 并不能说事件X 与事件 Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)(1) 【解析】在x[e,e2 ] 上,I ( x)x2ln x1ln x20 ,故函数I (x)在 [ e, e2 ] 上单2x x 1调增加 , 最大值为I (e2) .由dx d (1 x)1, 有(1 x)2(1 x) 2dx)(1e2ln te21I (e2 )2dteln tde t1t1ln te2dte2e2ln t e2t 1 e e t t 1t 1 e e11()dtt 1 t21ln(e2 1) 2 ln( e 1) 1e2 1 e11lne 1.e 1e【相关知识点】 1. 对积分上限的函数的求导公式：若 F (t )(t )(t ) 均一阶可导,则f (x)dx ,(t),(t )F (t)(t ) f (t)(t ) f (t ) .2. 假定u u(x) 与 v v( x) 均具有连续的导函数, 则uv dx uv u vdx, 或者udv uv vdu.(2) 【解析】区域D 是无界函数 , 设yyy y9x 22D bD0 y b{ x, y 0 y b,xy 4x3} ,2不难发现 , 当 b时有D bD ,从而xe y 2xe y 2be y 2yOxdxdylimdxdylimdy2xdxbbyDD b31b 1 y 1 y)e y 2lim (49dy2 b5b ye y 2dy ty 25 b 2e t dtlimlim72b144b5lim (1 e b 2 )5 .144 b1 144(3) 【解析】因系数 a n(n1,2,) , 故2n1a nn2n 2lim 1lim1lim1 ,a n12nnn n 1n 2这样 , 幂级数的收敛半径R 11 . 因此当 1 x3 1,,即2 x4 时级数绝对收敛 .当 x 2时 , 得交错级数( 1)n 1 ；当 x 4 时, 得正项级数1 , 二者都收敛 , 于是原级n 1n 2 n1 n2 数的收敛域为 [2,4] .【相关知识点】 1. 求收敛半径的方法： 如果lim a n 1 , 其中 a n , a n 1 是幂级数a n x n 的na n n 0相邻两项的系数 , 则这幂级数的收敛半径1 ,,R,0,0,.2. 交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数( 1)n 1 u 满足：nn 1(1) u nun 1,n 1,2, ; (2) lim u n 0.n则( 1)n 1 u n收敛,且其和满足0( 1)n 1 u n u1, 余项r n un 1 .n 1n13．p级数：1当 p 1 时收敛；当 p1时发散.n 1n p(4)【解析】方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程, 可直接利用通解公式求解 .ycosxdx cosxdxe e sin x ln xe dx Ce sin x ln xdx C e sin x[ x ln x x C ] .P ( x) dx cos xdxe sin x同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .方法 2: 用函数e e方程两端同乘 e sin x,得 e sin x y ye sin x cos x( ye sin x )( ye sin x ) ln x ,再积分一次得ye sin x C ln xdx C x ln x x .最后 , 再用e sin x同乘上式两端即得通解y e sin x[ x ln x x C ] .【相关知识点】一阶线性非齐次方程y P(x) y Q (x) 的通解为P (x )dx P ( x) dxy e Q (x)edx C ,其中C为任意常数.四、 ( 本题满分 9 分)【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为1514 x132 x28x1 x22x1210x22( x1x2 )1513x131x28x1 x2 2 x1210 x22.由多元函数极值点的必要条件, 有x14x18x2130,x10.75, x2 1.25.x28x120 x2310,因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值, 故投入电台广告费用 0.75万元 , 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润 .(2)若广告费用为 1.5 万元 , 则应当求利润函数 ( 与 (1) 中解析式相同 )15 13x131x28x1x22x1210x22 ,在 x1x2 1.5 时的条件最大值. 拉格朗日函数为L (x1, x2 , ) 1513x131x28x1x22x1210x22( x1 x2 1.5), L4x18x2130,x1由L8x120x2310,x2Lx2 1.50x1x10, x2 1.5.因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最大 .【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数 z f ( x, y) 在附加条件 ( x, y) 0下的可能极值点 , 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y)( x, y),其中为参数 . 求其对x与y的一阶偏导数, 并使之为零 , 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y)f y ( x, y) ( x, y)0.x ( x, y)0, y ( x, y)0,由这方程组解出x, y 及, 这样得到的( x, y ) 就是函数 f (x, y) 在附加条件( x, y)0 下的可能极值点 .五、 ( 本题满分 6 分)【解析】方法 1: 当a0 时, f (a b) f (b) f ( a) f (b) ,即不等式成立；若 a 0,因为f (a b) f (a) f (b) f (0)[ f (a b) f (b)] [ f (a) f (0)]f ( 2 )a f ( 1) a a[ f ( 2 ) f ( 1)],其中 01 a b2 a b .又 f ( x) 单调减少,故 f ( 2 ) f ( 1 ) .从而有f (a b) f (a) f (b) f (0) 0,即 f (a b) f (a) f (b) .方法 2: 构造辅助函数, 将式子移到不等式右边, 再将b视为变量x , 得辅助函数令 F (x) f ( x) f (a) f (a x), x [0, b] ,由于 f (0) 0 ,所以 F (0)0 ,又因为F (x) f (x) f (a x), 且a0 , f ( x)在(0, b)单调减少,所以F (x)0 ,于是 F ( x) 在[0, b]上单调递增, 故F (b) F (0)0 ,即f (a b) f (a) f (b), 其中0 a b a b c .【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x)满足在闭区间[ a, b] 上连续；在开区间a,b内可导, 那么在a, b内至少有一点(a b), 使等式 f (b) f (a) f ( )(b a) 成立.六、 ( 本题满分8 分 )【解析】本题中 , 方程组有解r ( A) r ( A) .(相关定理见第一题 (4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 3 、5分别加到第二、四行上, 有11111a11 1 11a321130012263a,01226b01226b5433120122625a第二行乘以 1、1分别加到第三、四行上, 第二行再自乘 1 ,有1 1111a12263a.b3a22a(1) 当b 3a0 且22a0, 即a1,b3时方程组有解.(2)当 a 1,b 3 时,方程组的同解方程组是x1x2x3 x4x51,x22x32x46x53,由 n r ( A)52 3 ,即解空间的维数为 3. 取自变量为x3 , x4 , x5,则导出组的基础解系为1(1, 2,1,0,0) T , 2(1, 2,0,1,0) T ,3 (5, 6,0,0,1) T.(3)令 x3x4x50 ,得方程组的特解为( 2,3,0,0,0) T.因此,方程组的所有解是k1 1k2 2k33 , 其中k1, k2, k3为任意常数 .【相关知识点】若 1 、2是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系,则 Ax b 的通解形式为 k 1 1 k 2 2 , 其中1 ,2 是 Ax0 的基础解系 , 是 Ax b 的一个特解 .七、 ( 本题满分 5 分 )【解析】若A 、B 是 n 阶矩阵 , 且 AB E, 则必有 BAE. 于是按可逆的定义知 A 1B .如果对特征值熟悉 , 由 A k0 可知矩阵 A 的特征值全是 0,从而EA 的特征值全是1,也就能证明 EA 可逆.由于 A k0 , 故EA(EAA 2A k 1 ) E kA k E .1EAA 2A k 1 .所以 E A 可逆,且 E A八、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 (反证法 ) 若 X 1X 2 是 A 的特征向量 , 它所对应的特征值为, 则由定义有：A( X 1 X 2 ) ( X 1 X 2).由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 21X1 2X 2.两式相减得 (1) X1(2)X20 .由 12 , 知1,2 不全为0, 于是 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾 . 所以 , X 1 X 2 不是 A 的特征向量 .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵 , 若存在数 及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X 成立,则称是矩阵 A 的特征值 , 称非零向量 X 是矩阵 A 的特征向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )【解析】样本空间含样本点总数为C 103 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件 A 1 的样本点数为 C 83 ；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案 .有利于事件 A 2 的样本点数为 2C 93 C 83 ；十个数字除去0 任意选三个的选择方案和十个数字除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数, 即是事件 A 1 被加了两次 , 所以应该减去 C 83 .由古典型概率公式,P(A )C837;P(A)2C93 C8314.1C3152C3151010P(A i )有利于事件 A的样本点数【相关知识点】古典型概率公式：i.样本空间的总数十、 ( 本题满分 5 分 )【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布的定义, 且lim e ax0, (a为常数)有xX 和 Y 的边缘分布函数分别为F X ( x) F ( x,)1e 0.5 x ,若 x0, lim F (x, y)0,若 x0; yF Y ( y) F (, y)1e 0.5 y ,若 y0, lim F ( x, y)0,若 y0. x由于对任意实数x, y 都满足F ( x, y)F X (x) F Y (x) .因此X和Y相互独立.(2)因为 X和Y相互独立,所以有P X 0.1, Y0.1 P X 0.1 PY0.1[1F X (0.1)][1F Y (0.1)]e 0.05 e 0.05e 0.1.十一、 ( 本题满分7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差, 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率, 通过(x)表计算.但是正态分布的参数与 2 未知时, 则应先根据题设条件求出与2的值 , 再去计算有关事件的概率 .设X 为考生的外语成绩,依题意有X ~ N( ,2),且72,但2未知 . 所以可标准化得X72~ N (0,1) .由标准正态分布函数概率的计算公式, 有PX961PX9619672240.023,1240.0230.977.1查表可得242,12,即X ~ N(72,122),X 72P60 X 84P1 2 (1)1 0.682.12。

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)极限n →∞=_________.(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数()sin ,0,(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则常数A =___________.(3) 曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.(4) 若线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s αααL 线性无关的充分条件是 ( )(A) 12,,,s αααL 均不为零向量(B) 12,,,s αααL 中任意两个向量的分量不成比例(C) 12,,,s αααL 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示(D) 12,,,s αααL 中有一部分向量线性无关(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =(C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是 ( ) (A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}12P X Y ==(D) {}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln ()21xet I x dt t t =-+⎰在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分2yDxe dxdy -⎰⎰,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.(3) 求级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )xy y x x e-'+=的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:221212121514328210.R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.六、(本题满分8分)已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0kA =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵).八、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量.九、(本题满分4分)从0,1,2,,9L 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩1-若其他.(1) 问X 和Y 是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表Φ是标准正态分布函数. 表中()x1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出. (5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑ 即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =L .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=L 的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭L 且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±L 若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s αααL 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,s αααL 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”或由“12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x x I x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有 ()2222ln 1()ln 11e e eetI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e et dt t dt t t t t t t =-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln 1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤I ,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbby y y b b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-=(3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==L ,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥=L (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11pn n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦M MM M M M M M , 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦M M M M (1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=L.所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++L .八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （4） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （5） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（6） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出. (5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =L .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=L 的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭L 且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±L 若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s αααL 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,s αααL 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”或由“12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x xI x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有()2222ln 1()ln 11e e ee tI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e e t dt t dt t t t t t t=-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤I ,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbbyyyb b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-= (3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==L ,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥=L (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦M MM M M M M M , 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦M M M M (1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=L.所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++L .八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.。

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程yx y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n nn n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=.则线性方程组T A X B =的解是___________.(5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ( )(A) 10(,)dy f x y dx ⎰(B) 10(,)dy f x y dx ⎰ (C)11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D) 10(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C) 若正项级数1nn u∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()n A A A -**= (B) 1()n A A A +**= (C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m αα和1,,m ββ,若存在两组不全为零的数1,,m λλ和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,则( )(A) 1,,m αα和1,,m ββ都线性相关 (B) 1,,m αα和1,,m ββ都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关 (D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+ (D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-. (1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z z p y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】()1ln dxx y +【解析】方法1：方程yx y =两边取对数得ln ln ln yx y y y ==,再两边求微分,()()11ln 1ln 1dx y dy dy dx x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠. 方法2：把yx y =变形得ln y yx e =,然后两边求微分得()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,由此可得 ()1.1ln dy dx x y =+(2)【答案】C【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰,两边求导数有()1()arcsin ()xf x x f x '==⇒=于是有1()dx f x ⎰212==⎰ ()2112x =--C =.(3)【答案】0c a≥(或2ax c =),b 任意 【解析】对2y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+ 所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即()()()200002y ax bx c ax b x x .-++=+-又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a≥(或2ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T,,,【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0ijA a a =-≠∏.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组T A X B =有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111n n n n n nnn x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 易见 1230n D A ,D D D .=====所以TA XB =的解为12310n x ,x x x =====,即()1000T,,,,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 或简记为 112nij ji j a xb ,i ,,,n ===∑其系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠,则方程组有唯一解12j j D x ,j ,,,n.D==其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b 替换D 中第j 列所成的行列式,即1111111121212212111,j ,j n ,j ,j n j n n,j nn,j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=.(5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据 因2(,0.9)XN μ,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,有20.9(,)XN n μ,将其标准化,~(0,1)XN 得：)1,0(~1N nX μ-由正态分布分为点的定义21P uαα⎫⎪<=-⎬⎪⎭可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间22x u x u αα⎛-+ ⎝,其中21,(0,1)P U u UN αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩⎭,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题9n =, 5X =,因此,根据 95.0}96.11{=<-nX P μ,有 1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=,故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .方法2：由题设,95.01=-α,22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu20.9σ=,9n =, 5X =代入22(x u x u αα-+得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是(),|0,0cos ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭即是由221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y ,=上边界的方程是y =从而D 的直角坐标表示是(){010D x,y |x ,y ,=≤≤≤≤故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为()1,|0,0sin ,2D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A) 【解析】由于级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,可见级数()221nn n uv ∞=+∑收敛.由不等式222n n n nu v u v ≤+及比较判别法知级数12n nn u v∞=∑收敛,从而12n nn u v∞=∑收敛.又因为()2222n n nnn n u v u v u v ,+=++即级数()21n n n u v ∞=+∑收敛,故应选(A).设()21112n n u ,v n ,,n ===,可知(B)不正确. 设()21112n u n ,,n n=-=,可知(C)不正确.设()()11112n nn u ,v n ,,nn--==-=,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **==, 现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=. 方法一：由1n A A-*=及1()AA A*-=,可得 121()().n n A A A A AA A A--****-=== 故应选(C).方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得1()()n AA A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C). (4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγ线性无关,即若11220s s x x x γγγ+++=,必有120,0,,0s x x x ===.既然1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于1122110,s s s s k k k l l αααββ++++++=不能保证必有11220,s s k k k ααα+++=及110,s s l l ββ++=故(A)不正确.由已知条件,有()()()()1111110m m m m m m k k λαβλαβαβαβ+++++-++-=,又1,,m λλ与1,,m k k 不全为零,故1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.故选(D).(5)【答案】(B) 【解析】依题意()()()()()12121212)(,.()()()()()P A A B P A B P A B P A B A B P A B P A B P B P B P B P B P B +⎡⎤++⎣⎦=+=因()0P B >,故有()()1212)(P A B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =.三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x -→→'-++'=0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x --→''''+-+-+= 0()(0)1lim(0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分 1(1)1111ln(1),1x xx x x x xx x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim 001xx xe →+∞-=-=+,故原式ln 2=. 方法2:220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e-+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xxx x xx x xx dx dx e dx e e e e d e e e +∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1)在闭区间[ ,]a b 上连续； (2)在开区间()a,b 内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少. (2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分) 【解析】令y z x =,则dy dzz x dx dx=+. 当0x >时,原方程化为dzz xz dx +=-,dx x =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或C z x=. 代回原变量,得通解(0)y C x =>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下: 令t x =-,于是0t >,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-===.从而有通解(0)y C t +=>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C =.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得=从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,00311311011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于TA A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形Ty y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换考研资料1122334410000100,400150001x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦有 222221234955Tx A x y y y y =+++. 所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有 211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式231000010(1)(9)005445E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即12340000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)Tα=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]123410000100000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣, 则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,t ααα是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=. (2) 由于0A β≠,故120t k k k k ++++=. 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=. (3)把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=.由于12,,,t ααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===.代入(2)式得:0k =. 因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→ 因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B . 由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.X X Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn kn P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍由古典型概率计算公式得到11246619(),3636p P A ++++===2111().3618q P A +===【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分6分) 【解析】依题意,12,,,n X X X 独立同分布,可见22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().ii i i n nn i n ii i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n nn ====-=-====-∑∑ 因此,根据中心极限定理n U =的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有1lim )(),ni n i P X n x x μ→∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ 其中()x Φ是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D X E X E X =-.。

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑ 即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s ααα线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,sααα线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”或由“12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x x I x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有 ()2222ln 1()ln 11e e eetI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e et dt t dt t t t t t t =-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln 1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbby y y b b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-=(3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11pn n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦, 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322aa b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=. 所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++.八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （4） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （5） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（6） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k ,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s ααα线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,sααα线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”或由“12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x xI x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有()2222ln 1()ln 11e e ee tI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e e t dt t dt t t t t t t=-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbbyyyb b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-= (3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦, 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322aa b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ (1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解.(2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0k A =,故 ()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=. 所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++.八、(本题满分6分) 【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+.两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分) 【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,ax x e -→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立.(2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F e e e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得 242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.。

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1e x xy --+=-(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy⎰⎰(B)12D xydxdy⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy+⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E(D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos nn a n ∞=--∑常数0)a >(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x -+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x dx (3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.baa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-=_____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M<<(B)M P N <<(C)N M P <<(D)P M N<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d =(B)4b d =-(C)4a c=(D)4a c=-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222S xdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 01P1212则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X YZ =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰=_____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn n ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x -00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________.(4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,2πλ∈则级数21(1)(tan nnn n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b -(B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b --(D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2n n n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X 的数学期望().E X1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nnn a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S <<(B)213S S S <<(C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I xy dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ 其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,(1,2,),2n n na a a n a +==+= 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTT==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2112limx x→-=_____________.(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________.(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰=(A)2()xf x (B)2()xf x -(C)22()xf x (D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π(B)π(C)4eπ(D)4eππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11(1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αAαAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n nb y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33()x Φ0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t 分布表{()()}p P t n t n p≤=0.950.97535 1.6896 2.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim(tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点。

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)极限n →∞=_________.(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数()sin ,0,(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则常数A =___________.(3) 曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.(4) 若线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s ααα线性无关的充分条件是 ( ) (A) 12,,,s ααα均不为零向量(B) 12,,,s ααα中任意两个向量的分量不成比例(C) 12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示(D) 12,,,s ααα中有一部分向量线性无关(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =(C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是 ( ) (A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}12P X Y ==(D) {}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln ()21xet I x dt t t =-+⎰在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分2yDxe dxdy -⎰⎰,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.(3) 求级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )xy y x x e-'+=的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:221212121514328210.R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.六、(本题满分8分)已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0kA =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵).八、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量.九、(本题满分4分)从0,1,2,,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩1-若其他.(1) 问X 和Y 是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表Φ是标准正态分布函数. 表中()x1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑ 即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s ααα线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,sααα线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”或由“12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x x I x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有 ()2222ln 1()ln 11e e eetI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e et dt t dt t t t t t t =-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln 1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbby y y b b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-=(3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11pn n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦, 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322aa b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=. 所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++.八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,n n →∞=n =,,有原式n =.因为lim0n =,其中a 为常数,所以原式42.11==+(2)【答案】b a +【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.0lim ()x F x →为“0”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1x x f x a x f x a xA b a x →→'++===+.【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰223111124.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭(4)【答案】12340a a a a +++=【解析】由于方程组有解()()r A r A ⇔=,对A 作初等行变换, 第一行乘以()1-加到第四行上,有1122334141100110001100 11000110011 10010101a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有11223312341241100110001101100011110110a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 （4） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （5） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<（6） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p ,则进行四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81n p ==的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p -,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133p p p -=-⇒-=⇒=. 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数,p 表示一次射击的命中率,则(4,)X B p ~,依题意{}{}41101,81k P X P X k ===-==∑即412(1).813p p -=⇒= 【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-,0,1,,k n =.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由于sin 2lim 2x x x e e ππ→⋅=⋅,而2lim tan x x π→=+∞,所以, sin 2lim tan x x x x e π→⋅⋅=+∞,故()f x 无界.或考察()f x 在2(1,2,)4n x n n ππ=+=的函数值,有lim ()lim n n n n f x x →∞→∞==+∞,可见()f x 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sin sin f e f eππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知(A)不正确； 由0044f ,f ππ⎛⎫⎛⎫>->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而()00f =,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设()sinxg x tan x e=⋅,于是()g x 的定义域为0122D x |x k,k ,,,,ππ⎧⎫=≠+=±±⎨⎬⎩⎭且()g x 的全部零点为012n x n ,n ,,,.π==±±若()()f x xg x =以T ()0T >为周期,则有()()()x T g x T xg x ,x D.++=∀∈令0x ,=有()0Tg T ,=即()0g T =.从而T k π=,其中k 为某一正数.于是2k π也是()xg x 的周期.代入即得,对x D ∀∈有()()()()()222x k g x k x k g x xg x .πππ++=+=这表明()20k g x π≡在x D ∈上成立,于是()0g x ≡在x D ∈上成立,导致了矛盾. 故()()f x xg x =不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=,则有 0lim ()()x x f x g x AB →⋅=.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1t x =+或按定义由关系式(1)()f x af x +=将()f x 在1x =的可导性与()f x 在0x =的可导性联系起来.令1t x =+,则()(1)f t af t =-.由复合函数可导性及求导法则,知()f t 在1t =可导,且11()(1)(1)(0)t t f t af t t af ab =='''=--==,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,,,s ααα线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,,,sααα线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)+-=,该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”或由“12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于B A ⊂,所以A B A +=,于是有()()P A B P A +=.故本题选A. 对于B 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生,则事件A 必然发生,所以()()P AB P B =,而不是()()P AB P A =,故B 错.对于C 选项,因为B A ⊂,由条件概率公式()()()P AB P B A P A =,当,B A 是相互独立的事件时,才会有()()P B A P B =；所以C 错.对于D 选项,因为B A ⊂,所以事件B 发生事件A 不发生是个不可能事件,故()0P B A -=,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有{}{}{}1,11,1P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={}{}1}{11}{1P X P Y P X P Y ==-⋅=-+=⋅=1111122222=⨯+⨯=. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2[,]x e e ∈上,()22ln ln ()0211x xI x x x x '==>-+-,故函数()I x 在2[,]e e 上单调增加,最大值为2()I e .由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---,有()2222ln 1()ln 11e e ee tI e dt td t t ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ ()2222ln ln 11()1111e e e e e e e e t dt t dt t t t t t t=-+=-+-----⎰⎰[]2221ln(1)2ln(1)111e e e e =-++------- 11ln1e e e +=++. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(2)【解析】区域D 是无界函数,设{}()0{,0b D D y b x y y b x =≤≤=≤≤≤≤,不难发现,当b →+∞时有b D D →,从而222limlimbby y y b b DD xedxdy xedxdy edy xdx ---→+∞→+∞==⎰⎰⎰⎰⎰20111lim ()249b y b y y e dy -→+∞=-⎰ 2220055lim lim 72144b b y t b b ye dy t y e dt --→+∞→+∞==⎰⎰ 255lim (1).144144b b e -→+∞=-= (3)【解析】因系数21(1,2,)n a n n==,故()()2212211lim lim lim 111n n n n nn a n a n n+→∞→∞→∞+===+, 这样,幂级数的收敛半径11R ρ==.因此当131,x -<-<,即24x <<时级数绝对收敛.当2x =时,得交错级数211(1)nn n ∞=-∑；当4x =时,得正项级数211n n∞=∑,二者都收敛,于是原级数的收敛域为[2,4].【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1n lim n na a ρ+→∞=,其中1,n n a a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0,0, .R ρρρρ⎧≤≤+∞⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<3．p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.cos cos sin ln xdx xdx x y e e xe dx C --⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ sin sin ln [ln ]x x e xdx C e x x x C --⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰.方法2: 用函数()cos sin P x dxxdxx e e e ⎰⎰==同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sin sin sin sin cos ()()ln xx x x ey ye x ye ye x '''+=⇒=,再积分一次得sin ln ln x ye C xdx C x x x =+=+-⎰.最后,再用sin xe-同乘上式两端即得通解sin [ln ]xy ex x x C -=-+.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210.x x x x x x =++---由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75, 1.25.820310,x x x x x x x x ππ∂⎧=--+=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩ 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210,x x x x x x π=++---在12 1.5x x +=时的条件最大值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5),L x x x x x x x x x x λλ=++---++-由 1211221248130,820310,1.50Lx x x Lx x x Lx x λλλ∂⎧=--++=⎪∂⎪∂⎪=--++=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 120, 1.5.x x ⇒==因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1:当0a =时,()()()()f a b f b f a f b +==+,即不等式成立； 若0a >,因为2121 ()()()(0)[()()][()(0)]()()[()()],f a b f a f b f f a b f b f a f f a f a a f f ξξξξ+--+=+---''''=-=- 其中120a b a b ξξ<<≤<<+.又()f x '单调减少,故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()(0)0f a b f a f b f +--+≤,即()()()f a b f a f b +≤+.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b 视为变量x ,得辅助函数 令()()()(),[0,]F x f x f a f a x x b =+-+∈,由于(0)0f =,所以(0)0F =,又因为()()(),F x f x f a x '''=-+且0a ≥,()f x '在(0,)b 单调减少,所以()0F x '≥,于是()F x 在[0,]b 上单调递增,故()(0)0F b F ≥=,即()()()f a b f a f b +≤+,其中0a b a b c ≤≤≤+≤.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中,方程组有解()()r A r A ⇔=.(相关定理见第一题(4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以()3-、()5-分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625a a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦, 第二行乘以1、()1-分别加到第三、四行上,第二行再自乘()1-,有1111112263.322aa b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(1) 当30b a -=且220a -=,即1,3a b ==时方程组有解. (2) 当1,3a b ==时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩ 由()523n r A -=-=,即解空间的维数为3.取自变量为345,,x x x ,则导出组的基础解系为123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ηηη=-=-=-.(3) 令3450x x x ===,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)Tα=-.因此,方程组的所有解是112233k k k αηηη+++,其中123,,k k k 为任意常数.【相关知识点】若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.七、(本题满分5分)【解析】若A 、B 是n 阶矩阵,且,AB E =则必有.BA E =于是按可逆的定义知1A B -=.如果对特征值熟悉,由0kA =可知矩阵A 的特征值全是0,从而E A -的特征值全是1,也就能证明E A -可逆.由于0kA =,故()21()k k k E A E A A A E A E --++++=-=. 所以E A -可逆,且()121k E A E A A A ---=++++.八、(本题满分6分)【解析】(反证法)若12X X +是A 的特征向量,它所对应的特征值为λ,则由定义有：1212()()A X X X X λ+=+.由已知又有 12121122()A X X AX AX X X λλ+=+=+. 两式相减得 1122()()0X X λλλλ-+-=.由12λλ≠,知12,λλλλ--不全为0,于是12,X X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12X X +不是A 的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为310C ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 有利于事件1A 的样本点数为38C ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A 的样本点数为33982C C -；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A 被加了两次,所以应该减去38C .由古典型概率公式,3813107();15C P A C ==33982310214()15C C P A C -==. 【相关知识点】古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5分)【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim 0,axx e-→+∞=(a 为常数)有X 和Y 的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim (,)0,0;x X y e x F x F x F x y x -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 0.51,0,()(,)lim (,)0,0.y Y x e y F y F y F x y y -→+∞⎧-≥=+∞==⎨<⎩若若 由于对任意实数,x y 都满足(,)()()X Y F x y F x F x =.因此X 和Y 相互独立. (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有{}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y α=>>=>⋅>0.050.050.1[1(0.1)][1(0.1)]X Y F F ee e ---=--=⋅=.十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x Φ表计算.但是正态分布的参数μ与2σ未知时,则应先根据题设条件求出μ与2σ的值,再去计算有关事件的概率.设X 为考生的外语成绩,依题意有2~(,)X N μσ,且72μ=,但2σ未知.所以可标准化得72~(0,1)X N σ-.由标准正态分布函数概率的计算公式,有{}{}96722496196110.023,P X P X σσ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2410.0230.977.σ⎛⎫Φ=-= ⎪⎝⎭查表可得242,12σσ==,即2~(72,12)X N ,{}72608412(1)10.68212X P X P ⎧-⎫≤≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭.。