2018年4月上海市杨浦区高考二模数学试题及解析

2018年浦东新区高考数学二模含答案 2018．4注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1.21lim 1n n n →+∞+=-________ .2 2.不等式01xx <-的解集为________.(0,1)3.已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = ________.114.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.35.91)x二项展开式中的常数项为________.846.椭圆2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)7.满足约束条件2423x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为________.1638.函数2()cos 2,R f x x x x =+∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 9.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。

当水面下降1米后，水面的宽为_____米。

10.—个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，0)，则该四面体的体积为________.1311.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是________.[1,0]-12.已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上存在1m +个实数012,,,,m a a a a L 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++L 成立，则m 的最大值为________.6二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．13.已知方程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（ ）AA ．B ． C.D ． 14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；相应的在向量运算中，下列式子：（1）a b a b +≤+r r r r ，（2）a b a b ⋅=⋅r r r r，（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r；正确的个数是（ ）BA ． 0B ．1 C. 2 D ．315.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018届浦东新区高考数学二模(附答案)D18. 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边. （1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a BC a b A-=-+-，求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，23C π=，3c =ABC ∆的面积.19. 已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.20. 已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-.（1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域；（3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n，*n N ∈上的最大值与最小值.21. 已知数列{}n a 中11a =，前n 项和为nS ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}na 为“()H k 数列”.（1）若数列{}na 为“(1)H 数列”，求数列{}na 的前n 项和nS ；（2）若数列{}na 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}na ，使得211||40nn n a a a -+-≤对一切2n ≥，*n N ∈恒成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由； （3）若数列{}na 为“()H k 数列”，且121ka a a==⋅⋅⋅==，证明：211(1)2n kn kk a -+-≥+.参考答案2018.04一. 填空题1. 22. ()0,13.114.35.846.()1,07.1638. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 9.6 10.1311.[]1,0- 12.6二. 选择题 13-16. ABAD 三. 解答题 17.（1）圆锥的底面积214S r ππ== ……………3分 圆锥的侧面积2410S rl ππ==……………3分 圆锥的全面积124(110)S S S π=+=+……………1分 （2）2BOC π∠= OC OB ∴⊥ 且OC OA ⊥，OC ⊥平面AOB ……………2分CDO∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角 ……………1分 在Rt CDO 中，2OC =,10OD , ……………1分10tan 5CDO ∠=,10arctan 5CDO ∴∠= ……………2分 所以，直线CD 与平面AOB 所成角的为101分 18.（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-；……………2分 由正弦定理得()()2222c a b a b a b=-+-，∴222c a b ab=+-，……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；……………2分 （2）由4sin 5A =，3c =sin sin a c A C =，∴85a =；…………2分 由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,…………2分∴()334sin sin sin cos cos sin B A C A C A C -=+=+=；…………2分∴11883sin 225ABCSca B ∆-==…………2分19.（1）2(2,0)F …………1分 渐近线x y ±=………1分1R = (2)分22(2)1x y +=………………2分（2）设经过点B 的直线方程为1y kx =-,交点为1122(,),(,)M x y N x y ………………1分22221(1)2201x y k x kx y kx ⎧-=⇒-+-=⎨=-⎩…1分 则212121,00120k x x k x x ⎧≠∆>⎪+>⇒<<⎨⎪>⎩ (2)分MN的中点为221(,)11k k k ----，…1分 得中垂线2211:()11kl y x k k k+=-+--…1分令0x =得截距2222211t kk -==>--………………2分即线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是(2,)+∞. 20.（1）(1)3f =-且(2)2()f x f x =- (2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分 22(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分 33(2)3(2)f ∴=-⋅-………1分44(16)(2)3(2)48f f ∴==-⋅-=-……1分（2）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-，(1,2]x ∈时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，()(1,2]f x ∈……………1分(2,4]x ∈时，221()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---，……………1分 ()[4,2)f x ∈--……………1分(4,8]x ∈时，2211()2()2[(2)2](4)42224x xf x f x =-=----=-+， (1)分()(4,8]f x ∈……………1分得：222(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ⎧⎪-+∈⎪⎪=---∈⎨⎪⎪-+∈⎪⎩，值域为[4,2)12](4,8]--（， (1)分（3）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-当(1,2]x ∈时，3()2f x x =--得：当2(2,2]x ∈时，()2()32xf x f x =-=-……1分当1(2,2]n n x -∈时，1(1,2]2n x-∈，21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222n n n n n n x xxxf x f f f x -----=-=-=-=---=--⋅……………2分当1(2,2]n nx -∈，n 为奇数时，22()32[,0]4nn f x x -=--⋅∈-当1(2,2]n nx -∈，n 为偶数时，22()32[0,]4nn f x x -=-⋅∈综上：1n =时，()f x 在(1,2]上最大值为0，最小值为12-……………1分2n ≥，n 为偶数时，()f x 在(1,2]n上最大值为24n ，最小值为28n -……………1分3n ≥，n 为奇数时，()f x 在(1,2]n上最大值为28n ，最小值为24n -……………1分21.（1）数列{}na 为“()1H 数列”，则11nn Sa +=-，故121n n Sa ++=-，两式相减得：212n n a a ++=， …………………1分又1n =时，121a a =-，所以2122a a ==，………………1分 故12n na a +=对任意的N*n ∈恒成立，即12n na a +=（常数），故数列{}na 为等比数列，其通项公式为12,*n na n N -=∈；………………1分21,*n n S n N =-∈………………1分（2）2132321132()2N*nn n n n n n n n n Sa a a a a a a n Sa +++++++++=-⎧⇒=-⇒=+∈⎨=-⎩21(2,)N*n n n a a a n n ++⇒=+≥∈………………1分 当*2,n n N ≥∈时，()222121111()n n n n n n n n n n n aa a a a a a a a a a ++++++-=-+=--因为*11,(3,)n n n a a a n n N +--=≥∈，则22*1211,(3,)n n n n n n aa a a a a n n N ++-+-=-≥∈；则22*1211,(3,)n n n n n n aa a a a a n n N ++-+-=-≥∈………………2分则22*11324(3,)nn n aa a a a a n n N -+-=-≥∈，因为432aa a =+则222*113232(3,)n n n a a a a a a a n n N -+-=--≥∈………………1分因为13132,13Sa a a =-=⇒=，则2229340aa --≤，且2n =时，22340a-≤，解得：20,1,2,3,4,5,6a=±±±±±-………………2分（3）*1*11(2,)(2,)n k n n k n k n n k n a S k a a a n n N a S k n n N +++--+-=+⎧⎪⇒=+≥∈⎨=+≥∈⎪⎩…………1分110k a S k +=+>，由归纳知，20,,0k na a +>⇒>，…………1分1211,1kk a a a a k +=====+，由归纳知，*1,()n n a a n N +≤∀∈， (2)分 则*11112(2,)n kn k n n k n k n k aa a a a a n n N ++-+-+-+-=+≤+=≥∈*12(2,)n k n k a a n n N ++-≤≥∈…………1分*122121111,()222n k n k n k n k k a a a a n N ++++++--⇒≥≥≥≥∈…………1分于是*2212111(1),()2n kn k n k n k k a a a a n N ++-++--=+≥+∈于是1*2211(1),()2n n kk k aa n N -+-≥+∈…………1分22k k a S k k=+=，∴112111111(1)2(1),(2(1))222n n k kn kk k k ak k ----+---≥+⋅>+>+…1分结论显然成立.。

杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷答案 2018.4.10一、填空题 1. 10x = ；2． 21 ； 3．4 ； 4. 12 ； 5．3 ； 6. 2； 7．3 ；8．4； 9． 2424.77-或 ；10．4 ； 11．； 12. 34二、选择题13． C ； 14 . A ； 15． B ; 16. D ;三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 【解】（1） 要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， …………………………………2分解得8040<<x . …………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .…………………………………7分 （2）6080021+--=xx x y …………………………………9分 20604002=+-≤ 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0），B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1） （1）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =--………2分 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=………4分所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CD 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ，所以⎩⎨⎧-==x t y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，可得||||45sin 11n DA =︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分 由于AB=1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处. …14分 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S . 即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n=2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+.又32λμ+= 可以解得21=λ，1=μ………9分所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n .猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明：①当n=1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立； ②假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分 所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列.………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n nS a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+- 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+-1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 【解】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K所以2212()(,)8KF KF x y x y x y ⋅=-⋅--=+-由于2299x y +=，所以2299y x =-，22212(99)881KF KF x x x ⋅=+--=-+ …3分由椭圆性质可知11x -≤≤，所以12[7,1]KF KF ⋅∈-……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ，所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于 -9为定值. …………10分 （3）因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mk kx y +-=3. 由（2）的结论可知x k y OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分 由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k kmm k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【解】 （1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠，只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a xa x a x a x t tb t t +-+-+++=++， ……5分化简得，22(1)(22)(2)2a xa x a btb t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=.因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2xg x t=+是ψ函数. …………10分 （3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+由（1 ） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-= 由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-，所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数，2)()1(bx h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分 综上，函数)(x h 为周期函数。

2018高三理科二模数学试卷（杨浦等区附答案）
5 c 高三年级静安、杨浦、青浦、宝区高考模拟考试
数学试卷（理科） 201804
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，则
2．若复数满足（是虚数单位），则
3．已知直线的倾斜角大小是，则
4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是
5．已知函数和函数的图像关于直线对称，
则函数的解析式为
6．已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为7．函数的最小正周期
8．若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，
那么这个圆锥的母线长为．
11．某中学在高一年级开设了门选修，每名学生必须参加这门选修中的一门，对于该年级的
甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．
12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其比的取值范围是
13．已知两个不相等的平面向量， ( )满足| |＝2，且与－的夹角为120°，。

杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研语文学科试卷〔答案做在答题卡上〕〔满分150分钟，时间150分钟〕 2018年4月一、积累运用〔10分〕1、按要求填空。

〔5分〕〔1〕，长安不见使人愁。

〔李白《登金陵凤凰台》〕〔2〕，尽西风，季鹰归未。

〔辛弃疾《水龙吟·》〕〔3〕韩愈在《师说》中客观的指出弟子不一定不与老师，老师也不一定比弟子贤能，其原因在于“，〞。

[考点]默写，高中必背古诗文[解析]略[答案]1、总为浮云能蔽日 2、休说鲈鱼堪脍登建康赏心亭 3、闻道有先后术业有专攻2、按要求选择。

〔5分〕〔1〕同学们在毕业二十年后聚会，各自事业有成，班主任想要用一句古诗词来表达此刻的喜悦激动的心情，恰当的一句是〔〕。

A、芳林新叶催陈叶，流水前波让后波。

B、长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

C、江山代有才人出，各领风骚数百年。

D、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

[考点]课外文学常识积累。

[解析]从语境来判断，班主任应该是想感慨学生很出色，比他自己都还优秀，是赞学生，所以选A.[答案]A〔2〕填入下面语段空白处的语句，最恰当的是〔〕？这在很多人看来是一个不可理喻，甚至有点蠢的问题，但却是我们必须弄明白的问题。

电影是人类历史上最伟大的发明之一，自然有其独特的魅力所在。

可是作为最古老的艺术形式之一的戏剧也不能被我们忘记，因为其生动的现场总是充满了震撼人心的力量，让我们站在生活之上俯瞰生活。

A、有了戏剧，为什么会出现电影这项发明B、有了电影，为什么人们还需要看戏剧电影和戏剧C、哪一种艺术形式最终会永远被人铭记D、电影和戏剧对于我们日常生活的意义究竟在哪里？[考点]语境判断[解析]由这“可是作为最古老的艺术形式之一的戏剧也不能被我们忘记〞，可判断，问的是，戏剧和电影的问题，选B比较合适。

[答案]B二、阅读〔70分〕（一）阅读下文，完成第3-7题。

〔15分〕①任何文字都是为了满足交际需要，适应口语发展而创造出来的。

2018年浦东新区⾼考数学⼆模含答案2018年浦东新区⾼考数学⼆模含答案 2018．4注意：1．答卷前，考⽣务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．⼀、填空题（本⼤题共有12⼩题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则⼀律得零分．21lim 1n n n →+∞+=- .2 2.不等式01xx <-的解集为________.(0,1)3.已知{}n a 是等⽐数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = ________.114.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.35.91)x⼆项展开式中的常数项为________.846.椭圆2cos ,x y θθ=（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)7.满⾜约束条件2423x y x y x y +≤??+≤?≥≥的⽬标函数32f x y =+的最⼤值为________.1638.函数2()cos 2,R f x x x x =+∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ?-+∈9.已知抛物线型拱桥的顶点距⽔⾯2⽶时，量得⽔⾯宽为8⽶。

当⽔⾯下降1⽶后，⽔⾯的宽为_____⽶。

10.—个四⾯体的顶点在空间直⾓坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，0)，则该四⾯体的体积为________.111.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成⽴，则实数a 的取值范围是________.[1,0]-12.已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n ??+上存在1m +个实数012,,,,m a a a a 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++成⽴，则m 的最⼤值为________.6⼆、选择题(本⼤题共有4⼩题，满分20分) 每⼩题都给出四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的，选对得 5分，否则⼀律得零分．13.已知⽅程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（）A A ． 3± B ．5± C. 3,5 D ． 3,5±± 14.在复数运算中下列三个式⼦是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ?=?，（3）123123()()z z z z z z ??=??；相应的在向量运算中，下列式⼦：（1）a b a b +≤+，（2）a b a b ?=?，（3）()()a b c a b c ??=??；正确的个数是（）BA ． 0B ．1 C. 2 D ．315.唐代诗⼈杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升⾼望，不到蓬莱不成仙。

杨浦区2018学年度第二学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1.函数()f x =的定义域是 .2.若集合()(){}22,1,,,2x A x y y B x y x Z y Z ⎧⎫⎪⎪=+<=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则AB的元素个数为 . 3.若42321xx=，则x 的值是 .4.62x ⎛ ⎝的展开式中的常数项的值是 .5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为.6.对数不等式()()331log log 0x a x +->的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a 的值为 . 7.极坐标方程sin 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭所表示的曲线围成的图形面积为 .8.如图，根据该程序框图，若输出的y 为2，则输入的x 的值为 .9.若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 .10.已知12,e e 是不平行的向量，设1212,a e ke b ke e =+=+，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 . 11.已知方程()210x px p R -+=∈的两根为12x x 、，若121x x-=，则实数p 的值为 .12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .13.已知*N n ∈，在坐标平面中有斜率为n 的直线nl 与圆222xy n +=相切，且nl 交y 轴的正半轴于点nP ，交x 轴于点nQ ，则2lim2n n x P Q n →∞的值为 .14.对于自然数*N 的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替ACB∙∙∙地加减各数，例如{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=；则集合{}1,2,3,4,5,6,7的所有非空子集的交替和的总和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.“2a ≤-”是“函数()()21R f x xax x =++∈只有一个零点”的 （ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.在复平面中，满足等式112z z +--=的z 所对应点的轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的一支C.一条射线D.两条射线17.设反比例函数()1f x x=与二次函数()2g x axbx =+的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，且12xx <，则12y y =A.2或12B.2-或12- C.2或12-18.如图，设店A在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）A. B. C.D.三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.ABC19.（本题满分12分）如图，一条东西走向的大江，其河岸A 处有人要渡江到对岸B 处，江面上有一座大桥AC ，已知B 在A 的西南方向，C 在A 的南偏西15︒，10BC =公里.现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC 渡江到C 处，然后再到B 处； 方案二：直接坐船从A 处渡江到对岸B 处.若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B 处，应选择哪个方案？说明理由.20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD上的动点.（1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ; （2）当1D E ⊥平面1AB F 时，求二面角1CEF A --的大小（结果用反三角函数表示）.A 1C21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分） 已知函数()()31R 31x x t f x t ⋅-=∈+是奇函数. （1）求t 的值；（2）求()f x 的反函数()1f x -；（3）对于任意的0m >，解不等式：()131logxf x m-+>.22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分） 数列{}na 满足11a=，2a r =（0r >），令1n n n b a a +=⋅，{}n b 是公比为()0,1q q q ≠≠-的等比数列，设212nn n ca a -=+.（1）求证：()11n nc r q -=+⋅；（2）设{}nc 的前n 项和为nS ，求1lim n nS →∞的值；（3）设{}nc 前n 项积为nT ，当12q =-时，nT 的最大值在8n =和9n =的时候取到，求n 为何值时，nT 取到最小值.23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分） 已知抛物线()2:20C ypx p =>的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MPMQ +为定值；（3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.。

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷2018.04一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)… 2n 11.Iimn n 12.不等式一X0的解集为x 13•已知｛a n｝是等比数列，它的前n项和为S n，且83 4，8，则S5 _________________4.已知f 1(x)是函数f(x) log2(x 1)的反函数，贝U f 1(2) ______5.Ox丄)9二项展开式中的常数项为____________xx 2cos6.椭圆_ (为参数)的右焦点坐标为_____________y v3sinx 2y 42x y 3 一7.满足约束条件的目标函数f 3x 2y的最大值为_____________x 0y 08.函数f(x) cos2x ' 3si n2x , x R的单调递增区间为29.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为________ 米10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0),则该四面体的体积为 __________11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)在［0,)上是增函数，如果对于任意x ［1,2］, f (ax 1) f (x 3)恒成立，则实数a的取值范围是 _______________12.已知函数f (x) x2 5x 7 ,若对于任意的正整数n，在区间［1,n -］上存在m 1个n实数a。

、a1、a2、、a m，使得f(a°) f(Q) f(a2) f (a m)成立，则m 的最大值为_________二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)213.已知方程x px 1 0的两虚根为洛、X2，若|X1 X2I 1，则实数p的值为( )A. 3B. 、5C. - 3 , ■- 5D. , 514. 在复数运算中下列三个式子是正确的： （1 ）1乙Z 2| | Z 1 |匕|;（ 2） |Z 1 Z 2 ||Z 1 | | Z 2 |；r r r r（3）（z i Z 2） Z 3 Z 1 （Z 2 Z 3），相应的在向量运算中，下列式子：（1） | a b| | a | |b|;（2）|a b| |a| |b| ； （ 3）（a b ） c a （b c ），正确的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）＝2．（4分）不等式＜0的解集为．3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3＝4，a4＝﹣8，则S5＝4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）＝log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）＝5．（4分）（）9二项展开式中的常数项为6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为7．（5分）满足约束条件的目标函数f＝3x+2y的最大值为8．（5分）函数f（x）＝cos2x+，x∈R的单调递增区间为9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为米10．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m 的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p的值为（）A．B．C．，D．，14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|＝|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||＝||•||；（3）（）＝），正确的个数是（）A．0B．1C．2D．315．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y＝f（x）满足：（1）Q＝{f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．（1）若＝0，求角C的大小；（2）若sin A＝，C＝，c＝，求△ABC的面积．19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．20．（16分）已知函数y＝f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）＝﹣2f（x）．（1）若f（1）＝﹣3，求f（16）的值；（2）若x∈（1，2]时，f（x）＝x2﹣2x+2，求函数y＝f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；（3）若x∈（1，2]时，f（x）＝﹣|x﹣|，求y＝f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．21．（18分）已知数列{a n}中a1＝1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n+k﹣k （k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使得﹣a n﹣1a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1＝a2＝…＝a k＝1，证明：a n+2k≥（1）n﹣k．2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）＝2【解答】解：．故答案为：2．2．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【解答】解：由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故答案为：（0，1）．3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3＝4，a4＝﹣8，则S5＝11【解答】解：∵a3＝4，a4＝﹣8，∴公比q＝＝＝﹣2，则a2＝﹣2，a1＝1，a5＝16，则S5＝1﹣2+4﹣8+16＝11，故答案为：11．4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）＝log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）＝3【解答】解：∵f﹣1（x）是函数f（x）＝log2（x+1）的反函数，令f（x）＝log2（x+1）＝2，解得：x＝3，故f﹣1（2）＝3，故答案为：35．（4分）（）9二项展开式中的常数项为84【解答】解：（）9的展开式的通项为＝．取，得r＝3．∴（）9二项展开式中的常数项为．故答案为：84．6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为（1，0）【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数）的普通方程为+＝1，其中a＝2，b＝，则c＝1；故椭圆的右焦点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）7．（5分）满足约束条件的目标函数f＝3x+2y的最大值为【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．化目标函数f＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，f有最大值为．故答案为：．8．（5分）函数f（x）＝cos2x+，x∈R的单调递增区间为[，]，k∈Z．【解答】解：函数f（x）＝cos2x+＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+），令2x+，k∈Z．可得：≤x≤，∴单调递增区间为[，]，k∈Z．故答案为：[，]，k∈Z．9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为4米【解答】解：由题意，设y＝ax2，代入（4，﹣2），∴a＝﹣，∴﹣3＝﹣x2，解得x＝2∴水面的宽为4，故答案为：410．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．【解答】解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．∴该四面体的体积V＝＝．故答案为：．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，0]．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，可得|ax+1|≤|x﹣3|在x∈[1，2]恒成立，即有|ax+1|≤3﹣x，即x﹣3≤ax+1≤3﹣x，可得x﹣4≤ax≤2﹣x，即1﹣≤a≤﹣1在x∈[1，2]恒成立，由y＝1﹣在x∈[1，2]递增，可得y的最大值为1﹣2＝﹣1；y＝﹣1在x∈[1，2]递减，可得y的最小值为1﹣1＝0，则﹣1≤a≤0，故答案为：[﹣1，0]．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m的最大值为6【解答】解：∵n为正整数，∴n+≥，∴f（x）在区间[1，]上最大值为f（）＝，最小值为f（）＝，∵＝×6+，∴m的最大值为6．故最大值为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p的值为（）A．B．C．，D．，【解答】解：方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，∴△＝p2﹣4＜0，解得﹣2＜p＜2，∴方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，即x1＝，x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝1，解得p＝±．故选：A．14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|＝|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||＝||•||；（3）（）＝），正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：根据在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|＝|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||，正确；（2）而||＝||•||cos＜＞，因此不正确；（3）由于与不一定共线，因此（）＝）不正确．因此正确的个数是1．故选：B．15．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，故选：A．16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y＝f（x）满足：（1）Q＝{f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，对于A，定义域为R，值域为整数集，且为递增函数，找不出这样的函数；对于B，定义域为Z，值域为Q，且为递增函数，找不出这样的函数；对于C，定义域为[1，2]，值域为（0，1），且为递增函数，找不出这样的函数；对于D，可取f（x）＝tan（πx﹣），且f（x）在（1，2）递增，可得值域为R，满足题意．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵圆锥AO的底面半径为r＝2，母线长为l＝2，∴圆锥的全面积S＝πrl+πr2＝+π×22＝（4+4）π．（2）∵圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．∴以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，OA＝＝6，C（2，0，0），A（0，0，6），B（0，2，0），D（0，1，3），＝（2，﹣1，﹣3），平面ABO的法向量＝（1，0，0），设直线CD与平面AOB所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴θ＝arcsin．∴直线CD与平面AOB所成角为arcsin．18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．（1）若＝0，求角C的大小；（2）若sin A＝，C＝，c＝，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意，2c sin C＝（2a﹣b）sin A•（1+），即2c sin C＝（2a﹣b）sin A+（2b﹣a）sin B由正弦定理得2c2＝（2a﹣b）a+（2b﹣a）b．∴c2＝a2+b2﹣ab．∴cos C＝．∵0＜C＜π．∴C＝（2）由sin A＝，C＝，c＝，根据正弦定理：，可得：a＝由a＜c即A＜C，∴cos A＝那么：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝故得△ABC的面积S＝ac sin B＝．19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．【解答】解：（1）双曲线的右焦点为F2（，0），渐近线方程为：x±y＝0．∴F2到渐近线的距离为＝1，∴圆的方程为（x﹣）2+y2＝1．（2）设经过点P的直线方程为y＝kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y得：（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，∴，解得1＜k＜．∴MN的中点为（，），∴线段MN的中垂线方程为：y+＝﹣（x+），令x＝0得截距t＝＝＞2．即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是（2，+∞）．20．（16分）已知函数y＝f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）＝﹣2f（x）．（1）若f（1）＝﹣3，求f（16）的值；（2）若x∈（1，2]时，f（x）＝x2﹣2x+2，求函数y＝f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；（3）若x∈（1，2]时，f（x）＝﹣|x﹣|，求y＝f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．【解答】解：1）f（1）＝﹣3，f（2x）＝﹣2f（x）．那么f（2）＝﹣2f（1）＝﹣3×（﹣2）∴f（4）＝f（22）＝﹣2f（2）＝﹣3×（﹣2）2∴f（23）＝﹣3×（﹣2）3∴f（16）＝f（24）＝﹣3×（﹣2）4＝﹣48（2）由f（2x）＝﹣2f（x）．可得f（x）＝﹣2f（）当x∈（1，2]时，f（x）＝x2﹣2x+2，那么：x∈（2，4]时，f（x）＝﹣2f（）＝﹣2[）]＝那么：x∈（4，8]时，f（x）＝﹣2f（）＝﹣2[]＝故得x∈（1，8]的解析式为f（x）＝根据二次函数的性质，可得值域为[﹣4，﹣2）∪（1，2]∪（4，8]．（3）（2）由f（2x）＝﹣2f（x）．可得f（x）＝﹣2f（）当x∈（1，2]时，f（x）＝﹣||，得当x∈（2，22]时，f（x）＝﹣2f（）＝|x﹣3|；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（1，2]，f（x）＝﹣2f（）＝（﹣2）n﹣1f（）＝（﹣1）n|x﹣3•2n﹣2|；当x∈（2n﹣1，2n]时，n为奇数时，f（x）＝|x﹣3•2n﹣2|∈[，0]当x∈（2n﹣1，2n]时，n为偶数时，f（x）＝﹣|x﹣3•2n﹣2|∈[0，]综上：n＝1时，f（x）在（1，2]上最大值为0，最小值为n≥2，n为偶数时，f（x）在（1，2n]上最大值为，最小值为n≥3，n为奇数时，f（x）在（1，2n]上最小值为﹣，最大值为．21．（18分）已知数列{a n}中a1＝1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n+k﹣k （k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使得﹣a n﹣1a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1＝a2＝…＝a k＝1，证明：a n+2k≥（1）n﹣k．【解答】（1）解：数列{a n}为“H（1）数列”，则S n＝a n+1﹣1，可得：S n+1＝a n+2﹣1，两式相减得：a n+2＝2a n+1，又n＝1时，a1＝a2﹣1，∴a2＝2＝2a1．故a n+1＝2a n，对任意的n∈N*恒成立，故数列{a n}为等比数列，其通项公式为a n＝2n﹣1，n∈N*．∴S n＝2n﹣1．（2）解：S n＝a n+2﹣2，S n+1＝a n+3﹣2，相减可得：a n+1＝a n+3﹣a n+2，a n+1+a n+2＝a n+3，n≥2时，a n+2＝a n+1+a n（n≥2），∴n≥3时，﹣a n a n+2＝﹣a n（a n+1+a n）＝a n+1（a n+1﹣a n）﹣＝a n+1a n﹣1﹣．则|﹣a n a n+2|＝﹣a n﹣1a n+1|，则﹣a n﹣1a n+1|＝（n≥3），∵a4＝a3+a2．∴﹣a n﹣1a n+1|＝|﹣a2a3﹣|，∵S1＝a3﹣2，a1＝1，可得：a3＝3，∴≤40，且≤40．解得：a2＝0，±1，±2，±3，±4，5，﹣6．（3）证明：a n+k＝S n+k，a n﹣1+k＝S n﹣1+k（n≥2），可得：a n+k＝a n+k﹣1+a n，a k+1＝S1+k＞0，由归纳知，a k+2＞0，……，a n＞0，a1＝a2＝……＝a k＝1，a k+1＝k+1，由归纳知，a n≤a n+1．则a n+k＝a n+k﹣1+a n≤a n+k﹣1+a n+k﹣1＝2a n+k﹣1，n≥2，a n+k≤2a n+k﹣1，n≥2，∴a n+k a n+k+1≥a n+k+2≥……≥a n+2k﹣1（n∈N*），于是：a n+2k＝a n+2k﹣1+a n+k≥（1+）a n+2k﹣1（n∈N*），于是：a n+2k≥a2k．a2k＝S k+k＝2k，∴a n+2k≥•2k＞（2k＞）．∴a n+2k≥（1）n﹣k．。

杨浦区2018学年度第二学期高三年级学业质量调研数学理 2018.04.12一、填空题1.函数()f x =的定义域为 .2.已知线性方程组的增广矩阵为11334a -⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a = .3.计算2123lim 1n nn →∞+++++= .4.若向量a、b满足||1,||2a b ==，且a与b的夹角为π3，则||a b +=.5.若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||z z i+的虚部为 . 6.61(x-的展开式中，常数项为.7.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a cb ac a b b--=，则角C 的大小是 .8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为 .9.在极坐标系中曲线C ：2cos ρθ=上的点到(1,π)距离的最大值为 .10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是 .11.已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则||||PM PF = .12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）13.若关于x 的方程54(4)|5|x x m xx+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为 .14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .二、选择题15.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）A.||2x y = B.ln y x = C.13y x = D.1y x x=+16.已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“π3α<”是“k <（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 17.设x ,y ,z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）A.2211x x x x++≥C.1||2x y x y-+-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤18.已知命题：“若a ,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a ,b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a ,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a ,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条D.无数多条 三、解答题19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.(1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB (假设OM 、ON 这两面墙都足够长).已知|PA |=|PB |=10 (米),π4AOP BOP ∠=∠=,OAP OBP ∠=∠.设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .(1)将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； (2)求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.21.已知函数2()log (21)x f x ax =++，其中a ∈R .(1)根据a 的不同取值，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)已知a >0，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为21log 3+，求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值.22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为F 与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y ，且在椭圆C 上存在点M ，使得：3455OM OA OB =+（其中O为坐标原点），则称直线l 具有性质H . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程； (3)求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H .23.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11,(1)(1),n n a na n a n n n λ+==+++∈*N ,且对一切n ∈*N ,均有12(2)n a n bb b =.(1)求证：数列{}n a n为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若2λ=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；(3)设()n n n n na b c n a b -=∈*N ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，问：是否存在正整数λ，对一切n ∈*N ，均有4n T T ≥恒成立.若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由.19、（1）证明：因为直三棱柱111ABC A B C -中，CC 1⊥平面ABC ，所以，CC 1⊥BC ，又底面ABC 是直角三角形，且AC ＝BC ＝1，所以AC ⊥BC ， 又1ACCC ＝C ，所以，BC ⊥平面ACC 1A 1，所以，BC ⊥DC 1（2）11C BDC B CDC V V --=＝111211323⨯⨯⨯⨯=20（1）在三角POB 中，由正弦定理，得：103sin()sin44OB ππθ=-，得OB ＝10（cos sin θθ+） 所以，S ＝121010(cos sin )sin 2θθθ⨯⨯⨯+＝2100(sin cos sin )θθθ+，（2）S ＝2100(sin cos sin )θθθ+＝250(2sin cos 2sin )θθθ+ ＝50(sin 2cos 21)θθ-+＝)504πθ-+所以，21、（1）当a ＝－12时，21()log (21)2x f x x =-++，定义域为R ，21()log (21)2xf x x --=++2112log ()22x x x +=+＝221log (21)log 22x x x ++-＝21log (21)2x x -++＝()f x ，偶函数。

1．C【解析】由函数()()(0)f x sin x ωϕωϕπ=+><，的图象可知：T π=， 2ω=122f ππϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选C . 2．A3．B【解析】22110a b +≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”化为12210a b a b -=，即1212a ab b -=- 直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”可推出：1212a a b b -=-， 1212c cb b -≠-22110a b ∴+≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的必要不充分条件故选B . 4．D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值. 5．10x =【解析】 函数1y lgx =-单调递增，在()0+∞，只有一个零点10lgx ∴-=10x =.6．12【解析】221414n n n limlimn n→∞→∞=++ 10n limn→∞=2211424n limn→∞∴==+【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；学@科网(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 8．12【解析】掷一颗均匀的骰子，则掷的点数只可能是123456，，，，，其中的一种，每种结果等可能出现，属于古典概率记“出现奇数点”为事件A ，则A 包含的结果有135，，共3种结果，由古典概率公式可得()3162P A == 9．3；【解析】画出可行域,如下图阴影部分,其中()()1,1,1,0,A B 令0z = ，则20x y +=,为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点()1,1A 时, 2z x y =+ 有最大值3.10．2【解析】设z a bi =+1z =221a b ∴+=z i -===当1b =时， 2max z i -=11．3【解析】由图可得： 1r h ==，21133V r h ππ∴==⨯⨯=13．247±【解析】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦ 3sin 5y =-，y ∴为第三或第四象限的角当y 为第三象限的角时，3tan 4y =，则22tan 24tan 217y y tan y ==-当y 为第四象限的角时，3tan 4y =-，则22tan 24tan 217y y tan y ==--24tan 27y ∴=±14．415【解析】212124cos C sin C =-=-， 0C π<<sin C ∴=2a = ， 2sinA sinC =由正弦定理sin sin a C A C =可得： sin 24sin a Cc a A=== 212214cos C cos =-=- ， 0C π<<cosC ∴=由余弦定理可知2222cos c a b ab C =+-可得：2120b -=解得b =1sin 2ABC S ab C == 点睛：本题主要考查的知识点是正弦定理和余弦定理。

2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（满分150分，答题时间120分钟） 2018.4考生注意：1． 本试卷包括试题卷和答题纸两部分．试题卷上题号后注明[文科]的试题，表示文科生做，注明[理科]的试题表示理科生做，未注明的试题所有考生都要做．答题纸另页，正反面． 2． 在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 .2．函数sin cos y x x = .3．已知=U R ，集合23|02x M x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R C M = . 4．若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .5．若11{2,1,0}12x∈--，则x = . 6．[文科] 若α是方程2x 4x 50-+=在复数范围内的根，则||α= .[理科]设集合{}C x x x A ∈=-=,01|4，z 23i =-，若A x ∈，则z x -的最大值是 .7. [文科]非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则3x y +的最大值为 .[理科]在极坐标系中，圆θθρsin 3cos 4+＝的半径长是 .8．[文科]有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是 .[理科] 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是 分.9．程序框图如图所示，其输出的结果是 . 10．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = .11．[文科] 一个用立方块搭成的立体图形，小张从前面看和从上面看到的图形都是同一图形，如图，那么，搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块．[理科]在ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径长为 . 12．[文科]如图，要做一个圆锥形帐篷（不包 括底面），底面直径6米，高4米，那么至少 需要 平方米的帆布.[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径 均是d ，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 .13．[文科] 以抛物线x y 82=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以x y 3±=为渐近线的双曲线方程是 .[理科]已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02=++q px x （,p q 是实数）的两个实根，则直线AB 的方程是 .14．[文科] 已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=⋅+⋅+⋅，则ABC S ∆= .[理科]已知O 是∆ABC 的外心，2=AB ，3=AC ，21+=x y ，若=⋅+⋅AO x AB y AC ，(0)xy ≠，则cos ∠=BAC .二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（ ）.第9题第12题[文科]第11题(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件16.下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a c a c,b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”． 其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 317. [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ (C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ 18．[文科] 已知函数2a x f (x)x+=，(a 0)>，x (0,b)∈，则下列判断正确的是（ ）.(A)当b >时，f (x)的最小值为；(B)当0b <≤时，f (x)的最小值为(C)当0b <≤时，f (x)的最小值为2a b b+；BA 1C 1D(D)对任意的b 0> ，f (x)的最小值均为[理科] 设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．三．解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)[文科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，四棱柱的体积为1AD 与PB 所成的角大小.（结果用反三角函数值表示）[理科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P 是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，若PB 与平面11ADD A 成045角，求点1A 到平面ACP 的距离.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．把水放在温度为0θ℃的空气中冷却，若水原来的温度是1θ℃10()θθ>，t 分钟后物体温度θ℃可由公式010()kt e θθθθ-=+-求得，其中，k 是由不同盛水的容器所确定的正常量．（1）若室温为20℃，往某容器中倒入98℃的热水，一小时后测得水温为71.2℃，求k 的值；（精确到0.001）（2）若一保温杯的0.01k =，往该保温杯中倒入100℃的开水，经过2.5小时测得水温为40℃，求此时的室内温度（假设室内恒温，精确到0.1℃）．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．[文科]已知平面向量)1),(sin(x a -=π，)cos ,3(x b =，函数b a x f ⋅=)(． （1）写出函数)(x f 的单调递减区间；第19题[文、理科]（2）设1)6()(+-=πx f x g ，求直线2=y 与)(x g y =在闭区间],0[π上的图像的所有交点坐标.[理科] 已知平面向量(sin(2),1)=- a x π，b =，函数a x f ⋅=)(．（1）写出函数)(x f 的单调递减区间；（2）设nnnn g(x)lim ,(0x 2)x →+∞π=<<ππ+，求函数()=y f x 与)(x g y =图像的所有交点坐标. 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．已知12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=,()0a b >>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 作垂直于x 轴的直线2MF 交椭圆于M ，设2MF d = .（1）证明：,,d b a 成等比数列；(2)若M 的坐标为)，求椭圆C 的方程；（3）[文科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若0⋅=OA OB ，求直线l 的方程．[理科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若椭圆C 上存在点P ，使得OP OA OB =+，求直线l 的方程．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()=y f x 使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()=y f x 是数列{}n a 的“保三角形函数”，(n N*)∈.(1)已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若(),(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2)已知数列{}n c 的首项为2018，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足1438040+-=n n S S ，证明{}n c 是“三角形”数列；(3) [文科] 若()lg =g x x 是(2)中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项．[理科] 根据“保三角形函数”的定义，对函数2()2h x x x =-+，[1,]∈x A ，和数列1，1+d ，12+d ，（0>d ）提出一个正确的命题，并说明理由.2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟数学试卷参考答案2018.4一、填空题1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023112 2.π=T 3.]23,2[- 4.43πα= 5. 0 6. 文理7. 文9 理2.5 8. 文128 理 7759. 127 10.12 11. 文5 理15158 12. 文 15π13. 文1322=-y x 理03=++q y px2(40)∆=->p q14. 文65 理 34二、选择题 15.B 16.C 17. 文 C 理C 18.文 A 理A 三、解答题19．[文科]解：由体积为202sin 60⋅=h h=4… 3分 取AD 的中点为E ，联结PE ，PB ，则11⊥BE ADD A ， ……5分1//AD PE ，∠EPB 为直线PB 与直线1AD 所成的角． ……8分经计算=BE=PB …… 10分sin ∠=EPB ， 即异面直线1AD 与PB所成的角为arcsinarctan ）．… 12分 [理科] 解：取AD 的中点为E ，联结BE ，PB ，则11⊥BE ADD A ，∠EPB 为PB 与平面11ADD A 所成的角． …… 2分经计算=BE=PB=PD1=DD…… 4分以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴建立空间直角坐标系，… 5分A，(C，(0,1-P ，= AC，,=PA ， …… 7分 设平面ACP 的法向量(,,)=n x y z ，由00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ AC n PA n得= n ， … 10分而1= A A，所以1||⋅== A A n d n …… 12分20．（1）由题意，6071.220(9820)0.007k e k -=+-⇒= …5分 （2）01(1)kt kt e e θθθ--=-+，当0θ、1θ越大时，水温保持时间越长．… 7分0.011500.0115000040(1)10022.8-⨯-⨯=-+⇒=e e C θθ …… 13分答:此时的室内温度为022.8C ． …………………… 14分 21. [文科] 解：（1）)6sin(2cos )sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…4分单调递减区间)](342,32[Z k k k ∈++ππππ； …… 6分 （2）1sin 21)6()(+=+-=x x f x g π，…………………………… 8分 解2)(=x g ，即21sin =x ，],0[π∈x 得65,6ππ=x ，…………12分 所以交点坐标为：)2,65(),2,6(ππ． ……14分 [理科]解：(1))62sin(22cos )2sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…2分单调递减区间为2[k ,k ](k Z)63πππ+π+∈； ……6分 （2）1,(0x )1g(x),(x )20,(x 2)<<π⎧⎪⎪==π⎨⎪π<<π⎪⎩， …… 8分当0x <<π时，解2sin(2x )16π+=，得x 3π=， ……10分 当x =π时，解12sin(2x )62π+=，无解， ……11分 当x 2π<<π时，解2sin(2x )06π+=，得17x 12π=， ……13分 所以交点坐标为：(,1)3π，17(,0)12π． ……14分22.(1)证明：由条件知M 点的坐标为()0,c y ，其中0=y d ，222221,∴+===c d b d b a b a， …… 3分 d bb a∴=，即,,d b a 成等比数列． …… 4分 (2)由条件知1c d =，22212b a a b ⎧=⋅∴⎨=+⎩ …… 6分2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩椭圆方程为22142x y += …… 8分 （3）[文科]设点A ),(11y x 、B ),(22y x ，当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，所以0⋅≠OA OB ． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ．…………… 11分所以21222122x x ,12k 4k 4x x 12k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪⎩+…………………………………………… 13分 由0⋅=OA OB 得1212x x y y 0⋅+⋅=222212121212x x k (x (1k )x x (x x )2k 0⋅+=+⋅++=代入得2222222(1k )(4k 4)2k 012k 12k+--+=++，解得k = 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分[理科]设点P （x,y ），A ),(11y x 、B ),(22y x ，由 OP OA OB =+ ，得1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，此时P )0,22(-不在椭圆上． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ． …… 11分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=++=+=+-=+=222212122212122)222124()22(,2124k kk k k x x k y y y k k x x x … 13分把点P （x,y ）代入椭圆方程得1)21(28)21(432222224=+++k k k k ，解得212=k ， 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分 23． (1)显然1n a n =+，12n n n a a a +++>对任意正整数都成立， 即{}n a 是三角形数列． …… 2分因为k>1，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<⋅⋅⋅，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>，解得k <所以当∈k 时，()x f x k =是数列{}n a 的“保三角形函数”. …… 5分 (2) 由1438040+-=n n S S 得1438040--=n n S S ,两式相减得1430+-=n n c c所以，1320104-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n c ，经检验，此通项公式满足1438040+-=n n S S ……7分显然12++>>n n n c c c ，因为11123321320102010201044164+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n c c c ，所以{}n c 是“三角形”数列． …… 10分(3) [文科] 因为n g(c )是单调递减函数，所以，由12lg lg lg --+>n n n c c c 得333lg 2010(2)lg lg 2010(1)lg lg 2010(3)lg 444+-++->+-n n n ……14分 化简得4lg 2010lg 3>n ，解得26.4<n ， 即数列{}n b 最多有26项． ……18分(3) [理科] 探究过程： 函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d (0)d >是三角形数列，所以1112d d ++>+，即01d <<．②数列中的各项必须在定义域内，即12+≤d A .③(1),(1),(12)++h h d h d 是三角形数列.由于2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是单调递减函数，所以(1)(12)(1)h d h d h +++>，解得0d <<． 评分建议原则：从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次．对于非完备性的探索包括指向有误的探索，应坚持完成评卷．1．没有写出命题，但有比较完整的探究过程，得分最高不超过4分．2．写出“2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’” 的必要条件之一或者充分条件之一（当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’），并能适当说明理由，得分最高不超过6分．3．能正确指出“当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’”，并能适当说明理由，得分最高不超过4分．4．考生解答出现上述2、3两条交叉情况的，以较高的得分赋分．第一层次 ………………命题4分，证明4分.示例1： 2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的充要条件是12,05+≤<<d A d ． 证明：必要性：因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <，且12+≤d A .充分性：当12,0+≤<<d A d 时，22(1)1,(1)1,(12)14h h d d h d d =+=-+=-， 有(1)(1)(12)0h h d h d >+>+>，且22(1)(12)(1)(14)1(1)h d h d d d h +++=-+->=，故函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”．综上，充要条件是12,05+≤<<d A d . 第二层次 …………… 命题3分，证明3分.示例2：2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的必要条件是550<<d . 解：在A d ≤+21条件下，因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <. 第三层次 …………… 命题2分，证明2分.示例3：当12d A +>时，显然()y h x =不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”.因为，此时(12)h d +不存在.。

2018年上海市杨浦区高三模拟测试(数学试卷)考生注意：1. 答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号等填写清楚；2. 本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔书写，请不要将答案写在试卷的密封线以内；3. 新教材试点学校的考生请注意试卷最后的符号说明。

一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=023x x x A ，集合}1|1|{>-=x x B ，则A ⋃B =__________。

2. 若向量},5{t =，}1,3{-=，并且+与垂直，则实数t 的值为__________。

3. 若函数y =8x 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛a ,32，则log a 8的值是__________。

4. 若数列{log 3a n }为等差数列，并且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=10，则a 5⋅a 6=__________。

5. 方程x 5+lg x =100的近似解为__________(精确到0.1)。

6. (理) 若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+231(n 为正整数)展开式中只有第6项的系数最大，则展开式的常数项的值为__________。

(文) 无穷等比数列{a n }，公比为q ，并且21)(lim 32=+++∞→n n a a a ，则首项a 1的范围是__________。

7. 如图，三棱锥A -BCD 中，AC ⊥平面BCD ，∠BCD =90︒，BC =8，CD =34，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF =8，EF 与BC 所成的角为60︒，则三棱锥A -BC D 的体积V =__________。

ABDCEF8. 若双曲线1922=-m y x 的渐近线的方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为__________。

杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.4.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．函数lg 1y x =-的零点是 ． 2．计算：=+∞→142limn nn ．3．若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 4．掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．5．若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．6．若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．8．若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．9．若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 ． 10．若为等比数列，0n a >，且2018a =2017201912a a +的最小值为 ． 11．在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =．若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ． 12．已知非零向量OP uuu r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++u u u u r u u u r u u ur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤u u u u r u u u r恒成立，则实数k 的最小值为 ．()13nx +2x 54{}na二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13．已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为 （ ） )(A4π )(B 2π )(C 2π-)(D 3π-14．设B A 、是非空集合，定义：B A ⨯={|}x x A B x A B ∈⋃∉⋂且.已知{|A x y ==， }{1>=x x B ，则A B ⨯等于 （ ）)(A ),2(]1,0[+∞Y ． )(B ),2()1,0[+∞Y ． )(C ]1,0[． )(D ]2,0[．15．已知222211220,0a b a b +≠+≠,则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=”平行的（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件 16．已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）1()arccos()arccos()arccos()arccos3399A B C D三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元）与营运天数()*x x N ∈满足 21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.ABCD A 1B 1C 1D 119．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2≥n ，n *∈N ， λ，μ∈R .(1) 若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和； (2) 若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 已知椭圆222:9(0)x y m m Ω+=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记函数()f x 的定义域为D 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数tx g x+=21)(，其中常数0≠t ，证明：)(x g 是ψ函数； （3）若)(x h 是定义在R 上的ψ函数，且函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断)(x h 是否为周期函数？并证明你的结论杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷答案 2018.4.10一、填空题 1. 10x = ；2． 21； 3．4 ； 4. 12 ； 5．3 ； 6. 2； 7．； 8．4； 9． 2424.77-或 ；10．4 ； 11．； 12. 34二、选择题13． C ； 14 . A ； 15． B ; 16. D ;三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 【解】（1） 要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， …………………………………2分解得8040<<x …………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 …………………………………7分 （2）6080021+--=xx x y …………………………………9分 20604002=+-≤ 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 …14分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0），B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1）（1）证明：1(1,0,1)DA =u u u u r ，1(1,,1)ED m =--u u u u r………2分111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=u u u r u u u u r………4分所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥ ……………2分又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥ ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CD n 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ，所以⎩⎨⎧-==xt y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，可得45sin 11=︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分 由于AB=1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o时，点E 在线段AB 中点处 …14分 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+ 两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S 即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列 nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n=2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+ 又32λμ+= 可以解得21=λ，1=μ………9分所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明：①当n=1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立；①假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立 由①、①可知，对任意正整数n ，1+=n a n………13分 所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+- 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 【解】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K所以2212()(,)8KF KF x y x y x y ⋅=-⋅--=+-u u u r u u u u r由于2299x y +=，所以2299y x =-，22212(99)881KF KF x x x ⋅=+--=-+u u u r u u u u r …3分 由椭圆性质可知11x -≤≤，所以12[7,1]KF KF ⋅∈-u u u r u u u u r……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ， 所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y ……………8分kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于 -9为定值 …………10分 （3）因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mk kx y +-=3由（2）的结论可知x ky OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分 由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k kmm k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【解】 （1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠，只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a xa xb tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a xa x a x a x t tb t t +-+-+++=++， ……5分化简得，22(1)(22)(2)2a xa x a btb t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=.因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2xg x t=+是ψ函数. …………10分 （3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+由（1 ） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-= 由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44- ……………15分第 11 页 当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-， 所以2)(b x a h =+为常数 所以函数)(x h 为常数函数，2)()1(b x h x h ==+，)(x h 是一个周期函数 ……………17分 综上，函数)(x h 为周期函数。