绵阳市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
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绵阳市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列}{n a 中,821=+n a a ,8123=⋅-n a a ,且数列}{n a 的前n 项和121=n S ,则此数列的项数n 等于( )A .4B .5C .6D .7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式,对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求,难度中等.2. 函数y=a x +2(a >0且a ≠1)图象一定过点( )A .(0,1)B .(0,3)C .(1,0)D .(3,0)3. 若函数f (x )=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点,则实数m 的取值范围是( ) A .m ≥0或m <﹣1B .m >0或m <﹣1C .m >1或m ≤0D .m >1或m <04. 设a=lge ,b=(lge )2,c=lg,则( )A .a >b >cB .c >a >bC .a >c >bD .c >b >a5. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的的值等于126,则判断框中的①可以是( )A .i >4?B .i >5?C .i >6?D .i >7?6. 已知f (x )=2sin (ωx+φ)的部分图象如图所示,则f (x )的表达式为( )A .B .C .D .7. “方程+=1表示椭圆”是“﹣3<m <5”的( )条件.A .必要不充分B .充要C .充分不必要D .不充分不必要8. 函数f (x )=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为( )A .,πB .,C .,πD .,9. 在区域内任意取一点P (x ,y ),则x 2+y 2<1的概率是( )A .0B .C .D .10.设定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ,y ,满足f (x )+f (y )=f (x+y ),且f (3)=4,则f (0)+f (﹣3)的值为( ) A .﹣2 B .﹣4 C .0D .411.若f (x )为定义在区间G 上的任意两点x 1,x 2和任意实数λ(0,1),总有f (λx 1+(1﹣λ)x 2)≤λf (x 1)+(1﹣λ)f (x 2),则称这个函数为“上进”函数,下列函数是“上进”函数的个数是( )①f (x )=,②f (x )=,③f (x )=,④f (x )=.A .4B .3C .2D .112.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1),且图像上两对称轴之间的最小距离为2π,则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为( )1111] A .6π B .3π C .2π D .23π二、填空题13.如图所示是y=f (x )的导函数的图象,有下列四个命题: ①f (x )在(﹣3,1)上是增函数; ②x=﹣1是f (x )的极小值点;③f (x )在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数; ④x=2是f (x )的极小值点.其中真命题为 (填写所有真命题的序号).14.二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α,β和棱l的距离之比为1::2,则这个二面角的平面角是度.15.一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是.16.如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,E、F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:①平面MENF⊥平面BDD′B′;②当且仅当x=时,四边形MENF的面积最小;③四边形MENF周长l=f(x),x∈0,1]是单调函数;④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h(x)为常函数;以上命题中真命题的序号为.17.抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x=.18x和所支出的维修费用y(万元)的统计资料如表:根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程=0.7x+,据此模型估计,该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元.三、解答题19.已知数列{a n }是等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,且a 3=3,S 3=9 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =log 2,且{b n }为递增数列,若c n =,求证:c 1+c 2+c 3+…+c n <1.20.已知函数f (x )=log 2(x ﹣3), (1)求f (51)﹣f (6)的值; (2)若f (x )≤0,求x 的取值范围.21.已知函数()f x =121x a +- (1)求()f x 的定义域.(2)是否存在实数a ,使()f x 是奇函数?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由。
绵阳市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知双曲线(a >0,b >0)的右焦点F ,直线x=与其渐近线交于A ,B 两点,且△ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( )A .B .C .D .2. 若函数y=x 2+(2a ﹣1)x+1在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A .[﹣,+∞)B .(﹣∞,﹣]C .[,+∞)D .(﹣∞,]3. 已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2)且k +与2﹣互相垂直,则k 的值是( )A .1B .C .D .4. cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于( )A B .12 C .12- D . 5. 如果随机变量ξ~N (﹣1,σ2),且P (﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则P (ξ≥1)等于( )A .0.1B .0.2C .0.3D .0.46. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是( )A .1B .C .D .7. 一个几何体的三个视图如下,每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为( )A.4πB.C. 5πD. 2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图,几何体的侧面积等基础知识,意在考查学生空间想象能力和计算能力. 8. (﹣6≤a ≤3)的最大值为( )A .9B .C .3D .9. 已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 4•a 8=2a 52,a 2=1,则a 1=( )A .B .2C .D .10.函数f (x )=sin ωx+acos ωx (a >0,ω>0)在x=处取最小值﹣2,则ω的一个可能取值是( )A .2B .3C .7D .9A .甲B .乙C .丙D .丁12.定义行列式运算:.若将函数的图象向左平移m(m >0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m 的最小值是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知函数f (x )=,点O 为坐标原点,点An (n ,f (n ))(n ∈N +),向量=(0,1),θn 是向量与i 的夹角,则++…+= .14.如图,是一回形图,其回形通道的宽和OB 1的长均为1,回形线与射线OA 交于A 1,A 2,A 3,…,若从点O 到点A 3的回形线为第1圈(长为7),从点A 3到点A 2的回形线为第2圈,从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…依此类推,第8圈的长为 .15.已知平面向量a ,b 的夹角为3π,6=-b a ,向量c a -,c b -的夹角为23π,23c a -=,则a 与c的夹角为__________,a c ⋅的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.16.已知f(x)=x(e x+a e-x)为偶函数,则a=________.17.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环)的茎叶图,则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是.18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC不是直角三角形,则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号)①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC②tanA+tanB+tanC的最小值为3③tanA,tanB,tanC中存在两个数互为倒数④若tanA:tanB:tanC=1:2:3,则A=45°⑤当tanB﹣1=时,则sin2C≥sinA•sinB.三、解答题19.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为﹣12.(1)求a,b,c的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.20.设集合A={x|0<x﹣m<3},B={x|x≤0或x≥3},分别求满足下列条件的实数m的取值范围.(1)A∩B=∅;(2)A∪B=B.21.已知函数f (x )=2x 2﹣4x+a ,g (x )=log a x (a >0且a ≠1). (1)若函数f (x )在[﹣1,3m]上不具有单调性,求实数m 的取值范围; (2)若f (1)=g (1) ①求实数a 的值;②设t 1=f (x ),t 2=g (x ),t 3=2x ,当x ∈(0,1)时,试比较t 1,t 2,t 3的大小.22.已知{}{}22,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3AB =-,求实数的值.23.已知函数f (x )=|2x ﹣1|+|2x+a|,g (x )=x+3. (1)当a=2时,求不等式f (x )<g (x )的解集;(2)设a >,且当x ∈[,a]时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.24.如图,菱形ABCD的边长为2,现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置,并使平面PAC⊥平面ABC.(Ⅰ)求证:AC⊥PB;(Ⅱ)在菱形ABCD中,若∠ABC=60°,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值;(Ⅲ)求四面体PABC体积的最大值.绵阳市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1.【答案】D【解析】解:∵函数f(x)=(x﹣3)e x,∴f′(x)=e x+(x﹣3)e x=(x﹣2)e x,令f′(x)>0,即(x﹣2)e x>0,∴x﹣2>0,解得x>2,∴函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选:D.【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题,是基础题目.2.【答案】B【解析】解:∵函数y=x2+(2a﹣1)x+1的图象是方向朝上,以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间(﹣∞,2]上是减函数,故2≤解得a≤﹣故选B.3.【答案】D【解析】解:∵=(1,1,0),=(﹣1,0,2),∴k+=k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2),2﹣=2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2),又k+与2﹣互相垂直,∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k=.故选:D.【点评】本题考查空间向量的数量积运算,考查向量数量积的坐标表示,是基础的计算题.4.【答案】D【解析】试题分析:原式()()=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30=.考点:余弦的两角和公式.5.【答案】A【解析】解:如果随机变量ξ~N(﹣1,σ2),且P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,∵P(﹣3≤ξ≤﹣1)=∴∴P(ξ≥1)=.【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位.6.【答案】C【解析】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为1;当正视图为对角面时,其面积最大为.因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为.因此可知:A,B,D皆有可能,而<1,故C不可能.故选C.【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键.7.【答案】B8.【答案】B【解析】解:令f(a)=(3﹣a)(a+6)=﹣+,而且﹣6≤a≤3,由此可得函数f(a)的最大值为,故(﹣6≤a≤3)的最大值为=,故选B.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.9.【答案】D【解析】解:设等比数列{a n}的公比为q,则q>0,∵a4•a8=2a52,∴a62=2a52,∴q2=2,∴q=,∵a2=1,∴a1==.故选:D10.【答案】C【解析】解:∵函数f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)在x=处取最小值﹣2,∴sin+acos=﹣=﹣2,∴a=,∴f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+).再根据f()=2sin(+)=﹣2,可得+=2kπ+,k∈Z,∴ω=12k+7,∴k=0时,ω=7,则ω的可能值为7,故选:C.【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.11.【答案】C【解析】解:∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为8.8环,最大,甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小,∴丙的射击水平最高且成绩最稳定,∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是丙.故选:C.【点评】本题考查运动会射击项目比赛的最佳人选的确定,是基础题,解题时要认真审题,注意从平均数和方差两个指标进行综合评价.12.【答案】C【解析】解:由定义的行列式运算,得====.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数解析式为.由该函数为奇函数,得,所以,则m=.当k=0时,m有最小值.故选C.【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵,考查了函数y=Asin(ωx+Φ)的图象变换,三角函数图象平移的原则是“左加右减,上加下减”,属中档题.二、填空题13.【答案】.【解析】解:点An(n,)(n∈N+),向量=(0,1),θn是向量与i的夹角,=,=,…,=,∴++…+=+…+=1﹣=,故答案为:.【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.【答案】63.【解析】解:∵第一圈长为:1+1+2+2+1=7第二圈长为:2+3+4+4+2=15第三圈长为:3+5+6+6+3=23…第n圈长为:n+(2n﹣1)+2n+2n+n=8n﹣1故n=8时,第8圈的长为63,故答案为:63.【点评】本题主要考查了归纳推理,解答的一般步骤是:先通过观察第1,2,3,…圈的长的情况发现某些相同性质,再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论,最后将一般性结论再用于特殊情形.π,18+15.【答案】6【解析】16.【答案】【解析】解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即(-x)(e-x+a e x)=x(e x+a e-x),∴a(e x+e-x)=-(e x+e-x),∴a=-1.答案:-117.【答案】甲.【解析】解:【解法一】甲的平均数是=(87+89+90+91+93)=90,方差是=[(87﹣90)2+(89﹣90)2+(90﹣90)2+(91﹣90)2+(93﹣90)2]=4;乙的平均数是=(78+88+89+96+99)=90,方差是=[(78﹣90)2+(88﹣90)2+(89﹣90)2+(96﹣90)2+(99﹣90)2]=53.2;∵<,∴成绩较为稳定的是甲.【解法二】根据茎叶图中的数据知,甲的5个数据分布在87~93之间,分布相对集中些,方差小些;乙的5个数据分布在78~99之间,分布相对分散些,方差大些;所以甲的成绩相对稳定些.故答案为:甲.【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题,是基础题目.18.【答案】①④⑤【解析】解:由题意知:A≠,B≠,C≠,且A+B+C=π∴tan(A+B)=tan(π﹣C)=﹣tanC,又∵tan(A+B)=,∴tanA+tanB=tan(A+B)(1﹣tanAtanB)=﹣tanC(1﹣tanAtanB)=﹣tanC+tanAtanBtanC,即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故①正确;当A=,B=C=时,tanA+tanB+tanC=<3,故②错误;若tanA,tanB,tanC中存在两个数互为倒数,则对应的两个内角互余,则第三个内角为直角,这与已知矛盾,故③错误;由①,若tanA:tanB:tanC=1:2:3,则6tan3A=6tanA,则tanA=1,故A=45°,故④正确;当tanB﹣1=时,tanA•tanB=tanA+tanB+tanC,即tanC=,C=60°,此时sin2C=,sinA•sinB=sinA•sin(120°﹣A)=sinA•(cosA+sinA)=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣cos2A=sin(2A﹣30°)≤,则sin2C≥sinA•sinB.故⑤正确;故答案为:①④⑤【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了和角的正切公式,反证法,诱导公式等知识点,难度中档.三、解答题19.【答案】【解析】解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c,∴c=0.∵f′(x)=3ax2+b的最小值为﹣12,∴b=﹣12.又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为,则f′(1)=3a+b=﹣6,得a=2,∴a=2,b=﹣12,c=0;(2)由(1)知f(x)=2x3﹣12x,∴f′(x)=6x2﹣12=6(x+)(x﹣),,)∵f(﹣1)=10,f()=﹣8,f(3)=18,∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是f()=﹣8.20.【答案】【解析】解:∵A={x|0<x﹣m<3},∴A={x|m<x<m+3},(1)当A∩B=∅时;如图:则,解得m=0,(2)当A∪B=B时,则A⊆B,由上图可得,m≥3或m+3≤0,解得m≥3或m≤﹣3.21.【答案】【解析】解:(1)因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上,对称轴为x=1,所以函数f(x)在(﹣∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,因为函数f(x)在[﹣1,3m]上不单调,所以3m>1,…(2分)得,…(3分)(2)①因为f(1)=g(1),所以﹣2+a=0,…(4分)所以实数a的值为2.…②因为t1=f(x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,t2=g(x)=log2x,t3=2x,所以当x∈(0,1)时,t1∈(0,1),…(7分)t2∈(﹣∞,0),…(9分)t3∈(1,2),…(11分)所以t2<t1<t3.…(12分)【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.22.【答案】23 a=-.【解析】考点:集合的运算.23.【答案】【解析】解:(1)由|2x﹣1|+|2x+2|<x+3,得:①得x∈∅;②得0<x≤;③得…综上:不等式f(x)<g(x)的解集为…(2)∵a>,x∈[,a],∴f(x)=4x+a﹣1…由f(x)≤g(x)得:3x≤4﹣a,即x≤.依题意:[,a]⊆(﹣∞,]∴a≤即a≤1…∴a的取值范围是(,1]…24.【答案】【解析】解:(Ⅰ)证明:取AC中点O,连接PO,BO,由于四边形ABCD为菱形,∴PA=PC,BA=BC,∴PO⊥AC,BO⊥AC,又PO∩BO=O,∴AC⊥平面POB,又PB⊂平面POB,∴AC⊥PB.(Ⅱ)∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PO⊂平面PAC,PO⊥AC,∴PO⊥面ABC,∴OB,OC,OP两两垂直,故以O为原点,以方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,∵∠ABC=60°,菱形ABCD 的边长为2,∴,,设平面PBC的法向量,直线AB与平面PBC成角为θ,∴,取x=1,则,于是,∴,∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为.(Ⅲ)法一:设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π),∴,,又PO⊥平面ABC,∴=(),∴,∴,当且仅当,即时取等号,∴四面体PABC体积的最大值为.法二:设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π),∴,,又PO⊥平面ABC,∴=(),设,则,且0<t<1,∴,∴当时,V'PABC>0,当时,V'PABC<0,∴当时,V PABC取得最大值,∴四面体PABC体积的最大值为.法三:设PO=x,则BO=x,,(0<x<2)又PO⊥平面ABC,∴,∵,当且仅当x2=8﹣2x2,即时取等号,∴四面体PABC体积的最大值为.【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,直线与平面所成角的求法,几何体的体积的最值的求法,考查转化思想以及空间思维能力的培养.。
绵阳市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,则f(2)+g(2)=()A.16 B.﹣16 C.8 D.﹣82.直线l⊂平面α,直线m⊄平面α,命题p:“若直线m⊥α,则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.33.已知函数f(x)=2ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(0,1) C.(﹣1,0)D.(﹣∞,﹣1)4.i是虚数单位,i2015等于()A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i5.在中,、、分别为角、、所对的边,若,则此三角形的形状一定是()A.等腰直角B.等腰或直角C.等腰D.直角6.已知=(2,﹣3,1),=(4,2,x),且⊥,则实数x的值是()A.﹣2 B.2 C.﹣D.7.已知f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的表达式为()A.B.C.D.8.已知函数f(x)=2x﹣2,则函数y=|f(x)|的图象可能是()A .B .C .D .9. 已知抛物线24y x =的焦点为F ,(1,0)A -,点P 是抛物线上的动点,则当||||PF PA 的值最小时,PAF ∆的 面积为( )A.2B.2C.D. 4【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质,考查学生逻辑推理能力和基本运算能力. 10.已知是虚数单位,若复数22aiZ i+=+在复平面内对应的点在第四象限,则实数的值可以是( ) A .-2 B .1 C .2 D .3 11.lgx ,lgy ,lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的( ) A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件12.函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ,若()(2)f x f x =-,且当(,1)x ∈-∞时,'(1)()0x f x -<,设(0)a f =,b f =,2(log 8)c f =,则( )A .a b c <<B .a b c >>C .c a b <<D .a c b <<二、填空题13.已知直线:043=++m y x (0>m )被圆C :062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍,则=m .14.已知三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上,ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直,3=AB ,3=AC ,32===BD CD BC ,则球O 的表面积为 .15.设函数f (x )=的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= .16.设实数x ,y 满足,向量=(2x ﹣y ,m ),=(﹣1,1).若∥,则实数m 的最大值为 .17.在直角坐标系xOy 中,已知点A (0,1)和点B (﹣3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2,则= .18.已知平面向量a ,b 的夹角为3π,6=-b a ,向量c a -,c b -的夹角为23π,23c a -=,则a 与c的夹角为__________,a c ⋅的最大值为 . 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 三、解答题19.已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,|AB|=4.(I )求p 的值;(II )若经过点D (﹣2,﹣1),斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点,求k 的取值范围.20.已知集合A={x|2≤x ≤6},集合B={x|x ≥3}. (1)求C R (A ∩B );(2)若C={x|x ≤a},且A ⊆C ,求实数a 的取值范围.21.平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程;(2)圆C1与圆C2是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交请说明理由.22.某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10经过长期观测,y=f(t)可近似的看成是函数y=Asinωt+b(1)根据以上数据,求出y=f(t)的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?23.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,H是CF的中点.(1)求证:AC⊥平面BDEF;(2)求二面角H﹣BD﹣C的大小.24.已知椭圆:的长轴长为,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率;(Ⅱ)设动直线与y轴相交于点,点关于直线的对称点在椭圆上,求的最小值.绵阳市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1.【答案】B【解析】解:∵f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,∴f(﹣2)﹣g(﹣2)=(﹣2)3﹣2×(﹣2)2=﹣16.即f(2)+g(2)=f(﹣2)﹣g(﹣2)=﹣16.故选:B.【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法,考查计算能力.2.【答案】B【解析】解:∵直线l⊂平面α,直线m⊄平面α,命题p:“若直线m⊥α,则m⊥l”,∴命题P是真命题,∴命题P的逆否命题是真命题;¬P:“若直线m不垂直于α,则m不垂直于l”,∵¬P是假命题,∴命题p的逆命题和否命题都是假命题.故选:B.3.【答案】D【解析】解:若a=0,则函数f(x)=﹣3x2+1,有两个零点,不满足条件.若a≠0,函数的f(x)的导数f′(x)=6ax2﹣6x=6ax(x﹣),若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,若a>0,由f′(x)>0得x>或x<0,此时函数单调递增,由f′(x)<0得0<x<,此时函数单调递减,故函数在x=0处取得极大值f(0)=1>0,在x=处取得极小值f(),若x0>0,此时还存在一个小于0的零点,此时函数有两个零点,不满足条件.若a<0,由f′(x)>0得<x<0,此时函数递增,由f′(x)<0得x<或x>0,此时函数单调递减,即函数在x=0处取得极大值f(0)=1>0,在x=处取得极小值f(),若存在唯一的零点x0,且x0>0,则f()>0,即2a()3﹣3()2+1>0,()2<1,即﹣1<<0,解得a<﹣1,故选:D【点评】本题主要考查函数零点的应用,求函数的导数,利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键.注意分类讨论.4.【答案】D【解析】解:i2015=i503×4+3=i3=﹣i,故选:D【点评】本题主要考查复数的基本运算,比较基础.5.【答案】B【解析】因为,所以由余弦定理得,即,所以或,即此三角形为等腰三角形或直角三角形,故选B答案:B6.【答案】A【解析】解:∵=(2,﹣3,1),=(4,2,x),且⊥,∴=0,∴8﹣6+x=0;∴x=﹣2;故选A.【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直,解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0,建立关于x的方程求出x的值.7.【答案】B【解析】解:∵函数的周期为T==,∴ω=又∵函数的最大值是2,相应的x值为∴=,其中k∈Z取k=1,得φ=因此,f(x)的表达式为,故选B【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例,考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质,周期与相位等概念,属于基础题.8.【答案】B【解析】解:先做出y=2x的图象,在向下平移两个单位,得到y=f(x)的图象,再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f(x)|的图象.故选B【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出y=f(x)的图象,再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f(x)|的图象.9.【答案】B【解析】设2(,)4yP y,则21||||yPFPA+=.又设214yt+=,则244y t=-,1t…,所以||||2PFPA==,当且仅当2t=,即2y=±时,等号成立,此时点(1,2)P±,PAF ∆的面积为11||||22222AF y ⋅=⨯⨯=,故选B.10.【答案】A 【解析】试题分析:()()()()2224(22)2225ai i ai a a ii i i +-+++-==++-,对应点在第四象限,故40220a a +>⎧⎨-<⎩,A 选项正确. 考点:复数运算.11.【答案】A【解析】解:lgx ,lgy ,lgz 成等差数列,∴2lgy=lgx •lgz ,即y 2=zx ,∴充分性成立,因为y 2=zx ,但是x ,z 可能同时为负数,所以必要性不成立,故选:A .【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质,以及充分必要行得证明,是高考的常考类型,同学们要加强练习,属于基础题.12.【答案】C 【解析】考点:函数的对称性,导数与单调性.【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具,通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不可或缺的重要一环,因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的,如函数()f x 满足:()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-,则其图象关于直线x a =对称,如满足(2)2()f m x n f x -=-,则其图象关于点(,)m n 对称.二、填空题13.【答案】9 【解析】考点:直线与圆的位置关系【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,属于基础题型,涉及一些最值问题,当点在圆的外部时,圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径,当点在圆外,可做两条直线与圆相切,当点在圆上,可做一条直线与圆相切,当点在圆内,过定点做圆的弦时,过圆心即直径最长,当定点是弦的中点时,弦最短,并且弦长公式是222d R l -=,R 是圆的半径,d 是圆心到直线的距离.14.【答案】16π【解析】如图所示,∵222AB AC BC +=,∴CAB ∠为直角,即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O ',ABC △和DBC △所在的平面互相垂直,则球心O 在过DBC △的圆面上,即DBC △的外接圆为球大圆,由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =,球的表面积为24π16πS R ==15.【答案】 2 .【解析】解:函数可化为f (x )==,令,则为奇函数,∴的最大值与最小值的和为0.∴函数f (x )=的最大值与最小值的和为1+1+0=2.即M+m=2. 故答案为:2.16.【答案】6.【解析】解:∵=(2x﹣y,m),=(﹣1,1).若∥,∴2x﹣y+m=0,即y=2x+m,作出不等式组对应的平面区域如图:平移直线y=2x+m,由图象可知当直线y=2x+m经过点C时,y=2x+m的截距最大,此时z最大.由,解得,代入2x﹣y+m=0得m=6.即m的最大值为6.故答案为:6【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用m的几何意义结合数形结合,即可求出m的最大值.根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键.17.【答案】(﹣,).【解析】解:∵,,设OC与AB交于D(x,y)点则:AD:BD=1:5即D分有向线段AB所成的比为则解得:∴又∵||=2∴=(﹣,)故答案为:(﹣,)【点评】如果已知,有向线段A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).及点C 分线段AB 所成的比,求分点C 的坐标,可将A ,B 两点的坐标代入定比分点坐标公式:坐标公式进行求解.18.【答案】6π,18+ 【解析】三、解答题19.【答案】【解析】解:(I)由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为,准线方程为.所以,直线l的方程为…由消y并整理,得…设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=3p,又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4,所以,3p+p=4,所以p=1…(II)由(I)可知,抛物线的方程为y2=2x.由题意,直线m的方程为y=kx+(2k﹣1).…由方程组(1)可得ky2﹣2y+4k﹣2=0(2)…当k=0时,由方程(2),得y=﹣1.把y=﹣1代入y2=2x,得.这时.直线m与抛物线只有一个公共点.…当k≠0时,方程(2)得判别式为△=4﹣4k(4k﹣2).由△>0,即4﹣4k(4k﹣2)>0,亦即4k2﹣2k﹣1<0.解得.于是,当且k≠0时,方程(2)有两个不同的实根,从而方程组(1)有两组不同的解,这时,直线m与抛物线有两个不同的公共点,…因此,所求m的取值范围是.…【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.【答案】【解析】解:(1)由题意:集合A={x|2≤x≤6},集合B={x|x≥3}.那么:A∩B={x|6≥x≥3}.∴C R(A∩B)={x|x<3或x>6}.(2)C={x|x≤a},∵A C,∴a≥6∴故得实数a的取值范围是[6,+∞).【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.21.【答案】【解析】解:(1)由圆C1的参数方程为(φ为参数),可得普通方程:(x﹣2)2+y2=4,即x2﹣4x+y2=0.由圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ,化为ρ2=4ρsinθ,∴直角坐标方程为x2+y2=4y.(2)联立,解得,或.∴圆C1与圆C2相交,交点(0,0),(2,2).公共弦长=.【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.22.【答案】【解析】解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,∴=10,且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12,因此,,故(0≤t≤24)(2)要想船舶安全,必须深度f(t)≥11.5,即∴,解得:12k+1≤t≤5+12k k∈Z又0≤t≤24当k=0时,1≤t≤5;当k=1时,13≤t≤17;故船舶安全进港的时间段为(1:00﹣5:00),(13:00﹣17:00).【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题.解决本题的关键在于求出函数解析式.求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期,最大最小值等.23.【答案】【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.又∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,且AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面BDEF;(2)解:设AC∩BD=O,取EF的中点N,连接ON,∵四边形BDEF是矩形,O,N分别为BD,EF的中点,∴ON∥ED,∵ED⊥平面ABCD,∴ON⊥平面ABCD,由AC⊥BD,得OB,OC,ON两两垂直.∴以O为原点,OB,OC,ON所在直线分别为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系.∵底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,BF=3,∴B(1,0,0),D(﹣1,0,0),H(,,)∴=(﹣,,),=(2,0,0).设平面BDH的法向量为=(x,y,z),则令z=1,得=(0,﹣,1)由ED⊥平面ABCD,得平面BCD的法向量为=(0,0,﹣3),则cos<,>=﹣,由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角,∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°【点评】本题考查面面垂直的性质,考查线面垂直,考查面面角,考查向量法的运用,正确求出平面的法向量是关键.24.【答案】【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】(Ⅰ)因为椭圆C:,所以,,故,解得,所以椭圆的方程为.因为,所以离心率.(Ⅱ)由题意,直线的斜率存在,设点,则线段的中点的坐标为,且直线的斜率,由点关于直线的对称点为,得直线,故直线的斜率为,且过点,所以直线的方程为:,令,得,则,由,得,化简,得.所以.当且仅当,即时等号成立.所以的最小值为.。
绵阳市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知等差数列{a n }中,a 6+a 8=16,a 4=1,则a 10的值是( ) A .15B .30C .31D .642. 已知函数22()32f x x ax a =+-,其中(0,3]a ∈,()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立,在1 和两数间插入2015个数,使之与1,构成等比数列,设插入的这2015个数的成绩为T ,则T =( ) A .20152B .20153C .201523D .2015223. 如图所示,网格纸表示边长为1的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A .4 B .8 C .12 D .20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力. 4. 如图在圆O 中,AB ,CD 是圆O 互相垂直的两条直径,现分别以OA ,OB ,OC ,OD 为直径作四个 圆,在圆O 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .π1B .π21 C .π121- D .π2141- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法,借助圆这个载体,突出了几何概型的基本运算能力,因用到圆的几何性质及面积的割补思想,属于中等难度.DABCO5.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(ax+1)≤f(x﹣2)对任意都成立,则实数a的取值范围为()A.[﹣2,0] B.[﹣3,﹣1] C.[﹣5,1] D.[﹣2,1)6.与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线方程为()A.B.C.D.7.已知函数y=2sinx的定义域为[a,b],值域为[﹣2,1],则b﹣a的值不可能是()A.B.πC.2πD.8.如果函数f(x)的图象关于原点对称,在区间上是减函数,且最小值为3,那么f(x)在区间上是()A.增函数且最小值为3 B.增函数且最大值为3C.减函数且最小值为﹣3 D.减函数且最大值为﹣39.设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.如图,正六边形ABCDEF中,AB=2,则(﹣)•(+)=()A.﹣6 B.﹣2C.2D.611.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.B.C.D.12.命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是()A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1C.若tan α≠1,则α≠D.若tan α≠1,则α=二、填空题13.抛物线y=x 2的焦点坐标为( )A .(0,)B .(,0)C .(0,4)D .(0,2)14.过椭圆+=1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为 .15.对于映射f :A →B ,若A 中的不同元素有不同的象,且B 中的每一个元素都有原象,则称f :A →B 为一一映射,若存在对应关系Φ,使A 到B 成为一一映射,则称A 到B 具有相同的势,给出下列命题: ①A 是奇数集,B 是偶数集,则A 和B 具有相同的势;②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合,B 是复数集,则A 和B 不具有相同的势; ③若区间A=(﹣1,1),B=R ,则A 和B 具有相同的势. 其中正确命题的序号是 . 16.设函数则______;若,,则的大小关系是______. 17.已知1sin cos 3αα+=,(0,)απ∈,则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 .18.袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球,不放回地依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出的也是红球的概率为 .三、解答题19.(14分)已知函数1()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=,其中m ,a 均为实数.(1)求()g x 的极值; 3分(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立,求a 的最小值; 5分(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围. 6分20.(本小题满分12分)已知向量,a b 满足:||1a =,||6b =,()2a b a ∙-=. (1)求向量与的夹角; (2)求|2|a b -.21.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)(不等式选做题)设,且,则的最小值为(几何证明选做题)如图,中,,以为直径的半圆分别交于点,若,则22.【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x af x b+-+=+.(1)当1a b ==时,求满足()3xf x =的x 的取值;(2)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数①存在t R ∈,不等式()()2222f t t f t k -<-有解,求k 的取值范围;②若函数()g x 满足()()()12333xx f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦,若对任意x R ∈,不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立,求实数m 的最大值.23.已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数,且值域为[]2,7. (1)求()f x 的解析式;(2)求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域.24.长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AA 1=AD=4,点E 为AB 中点. (1)求证:BD 1∥平面A 1DE ; (2)求证:A 1D ⊥平面ABD 1.绵阳市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题1. 【答案】A【解析】解:∵等差数列{a n }, ∴a 6+a 8=a 4+a 10,即16=1+a 10, ∴a 10=15, 故选:A .2. 【答案】C 【解析】试题分析:因为函数22()32f x x ax a =+-,()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立,所以()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得3a ≥或1a ≤-,又因为(0,3]a ∈,所以3a =,在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数,使之与,构成等比数列,T 122015...a a a =,201521...T a a a =,两式相乘,根据等比数列的性质得()()2015201521201513T a a ==⨯,T =201523,故选C.考点:1、不等式恒成立问题;2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 3. 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥,且底面为长6,宽2的矩形,高为3,所以此四棱锥体积为1231231=⨯⨯,故选C. 4. 【答案】C【解析】设圆O 的半径为2,根据图形的对称性,可以选择在扇形OAC 中研究问题,过两个半圆的交点分别向OA ,OC 作垂线,则此时构成一个以1为边长的正方形,则这个正方形内的阴影部分面积为12-π,扇形OAC 的面积为π,所求概率为πππ12112-=-=P . 5. 【答案】A【解析】解:∵偶函数f (x )在[0,+∞)上是增函数, 则f (x )在(﹣∞,0)上是减函数,则f (x ﹣2)在区间[,1]上的最小值为f (﹣1)=f (1) 若f (ax+1)≤f (x ﹣2)对任意都成立,当时,﹣1≤ax+1≤1,即﹣2≤ax≤0恒成立则﹣2≤a≤0故选A6.【答案】A【解析】解:由于椭圆的标准方程为:则c2=132﹣122=25则c=5又∵双曲线的离心率∴a=4,b=3又因为且椭圆的焦点在x轴上,∴双曲线的方程为:故选A【点评】运用待定系数法求椭圆(双曲线)的标准方程,即设法建立关于a,b的方程组,先定型、再定量,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出m,n即可.7.【答案】C【解析】解:函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2,1]含最小值不含最大值,故定义域[a,b]小于一个周期b﹣a<2π故选C【点评】本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域,解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2,2],而在区间[a,b]上的值域[﹣2,1],可得函数的定义域与周期的关系,从而可求结果.8.【答案】D【解析】解:由奇函数的性质可知,若奇函数f(x)在区间上是减函数,且最小值3,则那么f(x)在区间上为减函数,且有最大值为﹣3,故选:D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,比较基础.9.【答案】A【解析】解:由“|x﹣2|<1”得1<x<3,由x2+x﹣2>0得x>1或x<﹣2,即“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件,故选:A.10.【答案】D【解析】解:根据正六边形的边的关系及内角的大小便得:===2+4﹣2+2=6.故选:D.【点评】考查正六边形的内角大小,以及对边的关系,相等向量,以及数量积的运算公式.11.【答案】D【解析】解:依题意可知F坐标为(,0)∴B的坐标为(,1)代入抛物线方程得=1,解得p=,∴抛物线准线方程为x=﹣,所以点B到抛物线准线的距离为=,则B到该抛物线焦点的距离为.故选D.12.【答案】C【解析】解:命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠”.故选:C.二、填空题13.【答案】D【解析】解:把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y,∴焦点坐标为(0,2).故选:D.【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键.14.【答案】.【解析】解:由题意知点P的坐标为(﹣c,)或(﹣c,﹣),∵∠F1PF2=60°,∴=,即2ac=b2=(a2﹣c2).∴e2+2e﹣=0,∴e=或e=﹣(舍去).故答案为:.【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质,考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力,属基础题.15.【答案】①③.【解析】解:根据一一映射的定义,集合A={奇数}→B={偶数},不妨给出对应法则加1.则A→B是一一映射,故①正确;对②设Z点的坐标(a,b),则Z点对应复数a+bi,a、b∈R,复合一一映射的定义,故②不正确;对③,给出对应法则y=tan x,对于A,B两集合可形成f:A→B的一一映射,则A、B具有相同的势;∴③正确.故选:①③【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查一一映射的定义,属于基础题型,考查考生对新定义题的理解与应用能力.16.【答案】,【解析】【知识点】函数图象分段函数,抽象函数与复合函数 【试题解析】,因为,所以 又若,结合图像知:所以:。
绵阳市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x|x =a +b ,a ∈A ,b ∈B},则M 中元素的个数为( )。
A3 B4 C5 D62. 在平面直角坐标系中,向量=(1,2),=(2,m),若O ,A ,B 三点能构成三角形,则( )A .B .C .D .3. 已知偶函数f (x )满足当x >0时,3f (x )﹣2f ()=,则f (﹣2)等于( )A .B .C .D .4. 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈,{}|2,N x x k k Z ==∈,{}|42,P x x k k Z ==-∈,则M ,N ,P 的关系( )A .M P N =⊆B .N P M =⊆C .M N P =⊆D .M P N == 5. sin 3sin1.5cos8.5,,的大小关系为( ) A .sin1.5sin 3cos8.5<< B .cos8.5sin 3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin 3<<D .cos8.5sin1.5sin 3<<6. 在复平面内,复数(﹣4+5i )i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 7. 直径为6的球的表面积和体积分别是( )A .144,144ππB .144,36ππC .36,144ππD .36,36ππ 8. 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ,则=⎰dx x f 1)(( )A .67-B .67C .65D .65- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识,重点突出对函数的求导及函数积分运算能力,有一定技巧性,难度中等.9. 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=,其中为实数,当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时,的取值范围是( )A . ()0,1B .⎝C .()1,3⎫⎪⎪⎝⎭D .(10.执行如图所示的程序框图,若输入的分别为0,1,则输出的( )A .4B .16C .27D .3611.已知函数f (x )=Asin (ωx ﹣)(A >0,ω>0)的部分图象如图所示,△EFG 是边长为2 的等边三角形,为了得到g (x )=Asin ωx 的图象,只需将f (x )的图象( )A .向左平移个长度单位B .向右平移个长度单位C .向左平移个长度单位D .向右平移个长度单位12.若复数z=(其中a ∈R ,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,则a=( ) A .3B .6C .9D .12二、填空题13.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上,A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上,则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 .14.已知f(x+1)=f(x﹣1),f(x)=f(2﹣x),方程f(x)=0在[0,1]内只有一个根x=,则f(x)=0在区间[0,2016]内根的个数.15x和所支出的维修费用y(万元)的统计资料如表:根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程=0.7x+,据此模型估计,该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元.16.当a>0,a≠1时,函数f(x)=log a(x﹣1)+1的图象恒过定点A,若点A在直线mx﹣y+n=0上,则4m+2n 的最小值是.17.多面体的三视图如图所示,则该多面体体积为(单位cm).18.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C3门课由于上课时间相同,至多选1门,若学校规定每位学生选修4门,则不同选修方案共有种.三、解答题19.已知数列{a n}满足a1=﹣1,a n+1=(n∈N*).(Ⅰ)证明:数列{+}是等比数列;(Ⅱ)令b n=,数列{b n}的前n项和为S n.①证明:b n+1+b n+2+…+b2n<②证明:当n≥2时,S n2>2(++…+)20.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为C1:为参数),曲线C2:=1.(Ⅰ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)射线θ=(ρ≥0)与C1的异于极点的交点为A,与C2的交点为B,求|AB|.21.(本小题满分12分)如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥底面ABCD,M为A1A的中点,AB=BD=2,且△BMC1为等腰三角形.(1)求证:BD⊥MC1;(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积.22.某城市决定对城区住房进行改造,在建新住房的同时拆除部分旧住房.第一年建新住房am 2,第二年到第四年,每年建设的新住房比前一年增长100%,从第五年起,每年建设的新住房都比前一年减少 am 2;已知旧住房总面积为32am 2,每年拆除的数量相同.(Ⅰ)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番,则每年拆除的旧住房面积是多少m 2?(Ⅱ),求前n (1≤n ≤10且n ∈N )年新建住房总面积S n23.在正方体1111D ABC A B C D 中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点. (1)求证:EG 平面11BDD B ;(2)求异面直线1B H 与EG 所成的角]24.已知函数f(x)=cos(ωx+),(ω>0,0<φ<π),其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为;(1)求f(x)的对称轴方程和单调递增区间;(2)求f(x)的最大值、最小值,并指出f(x)取得最大值、最小值时所对应的x的集合.绵阳市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题1. 【答案】B【解析】由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素,故选B 2. 【答案】B【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O ,A ,B 三点能构成三角形,则O ,A ,B 三点不共线。
绵阳市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 阅读右图所示的程序框图,若8,10m n ==,则输出的S 的值等于( ) A .28 B .36 C .45 D .1202. 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (﹣2)=0,当x >0时,xf ′(x )﹣f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A .(﹣∞,﹣2)∪(0,2)B .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)C .(﹣2,0)∪(2,+∞)D .(﹣2,0)∪(0,2)3. 已知函数22()32f x x ax a =+-,其中(0,3]a ∈,()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立,在1和两数间插入2015个数,使之与1,构成等比数列,设插入的这2015个数的成绩为T ,则T =( ) A .20152B .20153C .201523D .2015224 f x [14]f (x )的导函数y=f ′(x )的图象如图所示.)A .2B .3C .4D .55. 某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如表几组样本数据:0.7,则这组样本数据的回归直线方程是( )A . =0.7x+0.35B . =0.7x+1C . =0.7x+2.05D . =0.7x+0.456. 已知点M 的球坐标为(1,,),则它的直角坐标为( )A .(1,,)B .(,,)C .(,,)D .(,,)7. 圆心在直线2x +y =0上,且经过点(-1,-1)与(2,2)的圆,与x 轴交于M ,N 两点,则|MN |=( ) A .4 2 B .4 5 C .2 2D .2 58. 利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是( )A .①②B .①C .③④D .①②③④9. 双曲线:的渐近线方程和离心率分别是( )A .B .C .D .10.已知函数f (x )满足:x ≥4,则f (x )=;当x <4时f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)=( )A .B .C .D .11.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个,无放回的从中任取3个球,则恰有两个球同色的概率为( )A .B .C .D .12.若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =-+的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4二、填空题13.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下:甲说:“我们四人都没考好.” 乙说:“我们四人中有人考的好.” 丙说:“乙和丁至少有一人没考好.” 丁说:“我没考好.”结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的 两人说对了.14.在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,底面为棱长为1的正三角形,侧棱AA 1⊥底面ABC ,点D 在棱BB 1上,且BD=1,若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α,则sin α的值是 .15.如图:直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上,AP=C ′Q ,则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 .16.方程22x﹣1=的解x=.17.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为.的体积为218.已知正四棱锥O ABCD则该正四棱锥的外接球的半径为_________三、解答题19.已知函数y=f(x)的图象与g(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过(4,2)点.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x﹣1)>f(5﹣x),求x的取值范围.20.2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取7080100位,得到数据如表:70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅱ)根据调查数据,是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由.2.072 2.7063.841 5.024(参考公式:,其中n=a+b+c+d)21.已知cos(+θ)=﹣,<θ<,求的值.22.已知S n为等差数列{a n}的前n项和,且a4=7,S4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.23.已知集合A={x|2≤x ≤6},集合B={x|x ≥3}. (1)求C R (A ∩B );(2)若C={x|x ≤a},且A ⊆C ,求实数a 的取值范围.24.(本题满分15分)正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ,11=a . (1)证明:对任意的*N n ∈,12+≤n n a a ;(2)记数列}{n a 的前n 项和为n S ,证明:对任意的*N n ∈,32121<≤--n n S .【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析和解决问题的能力.绵阳市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题1. 【答案】C【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.121123mnn n n n m S C m---+=⋅⋅⋅⋅=,当8,10m n ==时,82101045m n C C C ===,选C .2. 【答案】A 【解析】解:设g (x )=,则g (x )的导数为:g ′(x )=,∵当x >0时总有xf ′(x )﹣f (x )<0成立, 即当x >0时,g′(x)<0,∴当x >0时,函数g (x )为减函数, 又∵g (﹣x )====g (x ),∴函数g (x )为定义域上的偶函数, ∴x <0时,函数g (x )是增函数, 又∵g (﹣2)==0=g (2),∴x >0时,由f (x )>0,得:g (x )<g (2),解得:0<x <2, x <0时,由f (x )>0,得:g (x )>g (﹣2),解得:x <﹣2, ∴f (x )>0成立的x 的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2). 故选:A .3. 【答案】C 【解析】试题分析:因为函数22()32f x x ax a =+-,()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立,所以()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得3a ≥或1a ≤-,又因为(0,3]a ∈,所以3a =,在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数,使之与,构成等比数列,T 122015...a a a =,201521...T a a a =,两式相乘,根据等比数列的性质得()()2015201521201513T a a ==⨯,T =201523,故选C.考点:1、不等式恒成立问题;2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 4. 【答案】C【解析】解:根据导函数图象,可得2为函数的极小值点,函数y=f(x)的图象如图所示:因为f(0)=f(3)=2,1<a<2,所以函数y=f(x)﹣a的零点的个数为4个.故选:C.【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系.二者之间的关系是:导函数为正,原函数递增;导函数为负,原函数递减.5.【答案】A【解析】解:设回归直线方程=0.7x+a,由样本数据可得,=4.5,=3.5.因为回归直线经过点(,),所以3.5=0.7×4.5+a,解得a=0.35.故选A.【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.6.【答案】B【解析】解:设点M的直角坐标为(x,y,z),∵点M的球坐标为(1,,),∴x=sin cos=,y=sin sin=,z=cos=∴M的直角坐标为(,,).故选:B.【点评】假设P(x,y,z)为空间内一点,则点P也可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r为原点O与点P间的距离,θ为有向线段OP与z轴正向的夹角,φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角,这里M 为点P 在xOy 面上的投影.这样的三个数r ,φ,θ叫做点P 的球面坐标,显然,这里r ,φ,θ的变化范围为r ∈[0,+∞),φ∈[0,2π],θ∈[0,π],7. 【答案】【解析】选D.设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =0(-1-a )2+(-1-b )2=r 2(2-a )2+(2-b )2=r2,解之得a =-1,b =2,r =3,∴圆的方程为(x +1)2+(y -2)2=9, 令y =0得,x =-1±5,∴|MN |=|(-1+5)-(-1-5)|=25,选D. 8. 【答案】A 【解析】考点:斜二测画法. 9. 【答案】D【解析】解:双曲线:的a=1,b=2,c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x ;离心率e==故选 D10.【答案】A【解析】解:∵3<2+log 23<4,所以f (2+log 23)=f (3+log 23) 且3+log 23>4∴f (2+log 23)=f (3+log 23)=故选A .11.【答案】B【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各2个,无放回的从中任取3个球,共有C 63=20种,其中恰有两个球同色C 31C 41=12种,故恰有两个球同色的概率为P==,故选:B . 【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基础题.12.【答案】D 【解析】考点:函数的零点.【易错点睛】函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令0)(=x f ,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:要求函数在],[b a 上是连续的曲线,且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法:先把所求函数分解为两个简单函数,再画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.二、填空题13.【答案】乙 ,丙【解析】【解析】甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确。
绵阳市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 如图,已知平面=,.是直线上的两点,是平面内的两点,且,,,.是平面上的一动点,且有,则四棱锥体积的最大值是( )A .B .C .D .2. 把函数y=sin (2x ﹣)的图象向右平移个单位得到的函数解析式为( )A .y=sin (2x ﹣)B .y=sin (2x+)C .y=cos2xD .y=﹣sin2x3. 已知向量(1,2)a =,(1,0)b =,(3,4)c =,若λ为实数,()//a b c λ+,则λ=( ) A .14 B .12C .1D .2 4. 已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x+4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (2015)=( ) A .2B .﹣2C .8D .﹣85. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的的值等于126,则判断框中的①可以是( )A .i >4?B .i >5?C .i >6?D .i >7?6. 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面,图中相互垂直的平面有( )A .2对B .3对C .4对D .5对 7.已知双曲线(a >0,b >0)的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.8. 过点(0,﹣2)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.B.C.D.9. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁U A )∩(∁U B )=( ) A .{5,8}B .{7,9}C .{0,1,3}D .{2,4,6}10.已知等比数列{a n }的第5项是二项式(x+)4展开式的常数项,则a 3•a 7( ) A .5 B .18C .24D .3611.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ,若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(,则实数m 的取值范围是( )A .1-<mB .10<<mC .1>mD .1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识,突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨,该题属于逆向问题,重点把握好作图的准确性及几何意义的转化,难度中等. 12.已知一组函数f n (x )=sin n x+cos n x ,x ∈[0,],n ∈N *,则下列说法正确的个数是( )①∀n ∈N *,f n (x )≤恒成立②若f n (x )为常数函数,则n=2 ③f 4(x )在[0,]上单调递减,在[,]上单调递增.A .0B .1C .2D .3二、填空题13.已知实数x ,y 满足,则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为14.已知平面向量a ,b 的夹角为3π,6=-b a ,向量c a -,c b -的夹角为23π,23c a -=,则a与c的夹角为__________,a c ⋅的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.15.设变量x ,y 满足约束条件,则的最小值为 .16.(x ﹣)6的展开式的常数项是 (应用数字作答).17.【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()f x '是奇函数()f x 的导函数,()10f -=,当0x >时,()()0xf x f x -<',则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________.18.过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ,C 两点,A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点,则|+|= .三、解答题19.在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程(φ为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程;(Ⅱ)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ+)=3,射线OM :θ=与圆C 的交点为O ,P ,与直线l的交点为Q ,求线段PQ 的长.20.设0<a <1,集合A={x ∈R|x >0},B={x ∈R|2x 2﹣3(1+a )x+6a >0},D=A ∩B . (1)求集合D (用区间表示)(2)求函数f(x)=2x3﹣3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.21.已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=,正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作用下得到矩形区域OA′B′C′,如图所示.(1)求矩阵M;(2)求矩阵N及矩阵(MN)﹣1.22.已知数列{a n}共有2k(k≥2,k∈Z)项,a1=1,前n项和为S n,前n项乘积为T n,且a n+1=(a﹣1)S n+2(n=1,2,…,2k﹣1),其中a=2,数列{b n}满足b n=log2,(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式;(Ⅱ)若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤,求k的值.23.已知f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x).(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)已知函数g(x)=log,当x∈[,]时,不等式f(x)≥g(x)有解,求k的取值范围.24.某实验室一天的温度(单位:)随时间(单位;h)的变化近似满足函数关系;(1) 求实验室这一天的最大温差;(2) 若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?绵阳市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1.【答案】A【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】由题知:是直角三角形,又,所以。
绵阳市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知函数f (x )=31+|x|﹣,则使得f (x )>f (2x ﹣1)成立的x 的取值范围是( )A .B .C .(﹣,)D .2. 已知函数,函数,其中b ∈R ,若函数y=f (x )﹣g (x )恰有4个零点,则b 的取值范围是( )A .B .C .D .3. 已知向量,,其中.则“”是“”成立的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 4. 如图所示,网格纸表示边长为1的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .6103515++B .610+35+14C .6103515++D .4103515++【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力.5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml (不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100ml (含80)以上,属于醉酒驾车.据《法制晚报》报道,2011年3月15日至3月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人,如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为( )A .2160B .2880C .4320D .86406. 若f (x )=x 2﹣2x ﹣4lnx ,则f ′(x )>0的解集为( ) A .(0,+∞) B .(﹣1,0)∪(2,+∞) C .(2,+∞)D .(﹣1,0)7. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主(正)视图和俯视图如下,则它的左(侧)视图是( )A .B .C .D .8. 在下面程序框图中,输入44N ,则输出的S 的值是( )A .251B .253C .255D .260【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以4后按余数分类. 9. 下列各组函数中,表示同一函数的是( )A 、()f x =x 与()f x =2x xB 、()1f x x =- 与()f x =C 、()f x x =与()f x = D 、()f x x =与2()f x =10.如图给出的是计算的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是( )A .i ≤21B .i ≤11C .i ≥21D .i ≥1111.已知a >b >0,那么下列不等式成立的是( )A .﹣a >﹣bB .a+c <b+cC .(﹣a )2>(﹣b )2D .12.已知,,x y z 均为正实数,且22log x x =-,22log y y -=-,22log z z -=,则( )A .x y z <<B .z x y <<C .z y z <<D .y x z <<二、填空题13.已知双曲线﹣=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y=x ,它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准线上,则双曲线的方程是 .14.如果椭圆+=1弦被点A (1,1)平分,那么这条弦所在的直线方程是 .15.如图,一船以每小时20km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向,行驶4小时后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔间的距离为 km .16.(x ﹣)6的展开式的常数项是 (应用数字作答).17.△ABC 中,,BC=3,,则∠C=.18.向量=(1,2,﹣2),=(﹣3,x ,y ),且∥,则x ﹣y= .三、解答题19.(本题满分13分)已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且与直线1l :062=+-y x 相切,设点A 为圆上 一动点,⊥AM x 轴于点M ,且动点N 满足OM OA ON )2133(21-+=,设动点N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)若动直线2l :m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点,过)0,1(1-F ,)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥,21l Q F ⊥,垂足分别为P ,Q ,且记1d 为点1F 到直线2l 的距离,2d 为点2F 到直线2l 的距离,3d 为点P到点Q 的距离,试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值?若存在,请求出最值.20.已知等差数列{a n },满足a 3=7,a 5+a 7=26. (Ⅰ)求数列{a n }的通项a n ;(Ⅱ)令b n =(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .21.如图,四面体ABCD 中,平面ABC ⊥平面BCD ,AC=AB ,CB=CD ,∠DCB=120°,点E 在BD 上,且CE=DE .(Ⅰ)求证:AB ⊥CE ;(Ⅱ)若AC=CE,求二面角A﹣CD﹣B的余弦值.22.已知函数f(x)=lnx+ax2+b(a,b∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=﹣1,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求证:对任意给定的正数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调;(Ⅲ)若点A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线f(x)上的两点,试探究:当a<0时,是否存在实数x0∈(x1,x2),使直线AB的斜率等于f'(x0)?若存在,给予证明;若不存在,说明理由.23.设M是焦距为2的椭圆E:+=1(a>b>0)上一点,A、B是椭圆E的左、右顶点,直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=﹣.(1)求椭圆E的方程;(2)已知椭圆E : +=1(a >b >0)上点N (x 0,y 0)处切线方程为+=1,若P是直线x=2上任意一点,从P 向椭圆E 作切线,切点分别为C 、D ,求证直线CD 恒过定点,并求出该定点坐标.24.已知函数f (x )=ax 2﹣2lnx .(Ⅰ)若f (x )在x=e 处取得极值,求a 的值; (Ⅱ)若x ∈(0,e],求f (x )的单调区间;(Ⅲ) 设a >,g (x )=﹣5+ln ,∃x 1,x 2∈(0,e],使得|f (x 1)﹣g (x 2)|<9成立,求a 的取值范围.绵阳市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题1.【答案】A【解析】解:函数f(x)=31+|x|﹣为偶函数,当x≥0时,f(x)=31+x﹣∵此时y=31+x为增函数,y=为减函数,∴当x≥0时,f(x)为增函数,则当x≤0时,f(x)为减函数,∵f(x)>f(2x﹣1),∴|x|>|2x﹣1|,∴x2>(2x﹣1)2,解得:x∈,故选:A.【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数的单调性,难度中档.2.【答案】D【解析】解:∵g(x)=﹣f(2﹣x),∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣+f(2﹣x),由f(x)﹣+f(2﹣x)=0,得f(x)+f(2﹣x)=,设h(x)=f(x)+f(2﹣x),若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x2,若0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2,若x>2,﹣x<﹣2,2﹣x<0,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8.作出函数h(x)的图象如图:当x ≤0时,h (x )=2+x+x 2=(x+)2+≥,当x >2时,h (x )=x 2﹣5x+8=(x ﹣)2+≥,故当=时,h (x )=,有两个交点,当=2时,h (x )=,有无数个交点,由图象知要使函数y=f (x )﹣g (x )恰有4个零点,即h (x )=恰有4个根,则满足<<2,解得:b ∈(,4),故选:D .【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.3. 【答案】A【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若,则成立;反过来,若,则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。
绵阳市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知函数()2111x f x x ++=+,则曲线()y f x =在点()()11f ,处切线的斜率为( ) A .1 B .1- C .2 D .2- 2. 给出函数()f x ,()g x 如下表,则(())f g x 的值域为( )A .{}4,2B .{}1,3C .{}1,2,3,4D .以上情况都有可能 3. 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈,{}|2,N x x k k Z ==∈,{}|42,P x x k k Z ==-∈,则M ,N ,P 的关系( )A .M P N =⊆B .N P M =⊆C .M N P =⊆D .M P N ==4. 若方程C :x 2+=1(a 是常数)则下列结论正确的是( )A .∀a ∈R +,方程C 表示椭圆B .∀a ∈R ﹣,方程C 表示双曲线C .∃a ∈R ﹣,方程C 表示椭圆D .∃a ∈R ,方程C 表示抛物线5. 如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ,B ,C 三点.分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为( )A .B .C .D .π6. 如图,空间四边形OABC 中,,,,点M 在OA 上,且,点N 为BC 中点,则等于( )A .B .C .D .7. 已知集合A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则集合A ∪B=( ) A .{5,8}B .{4,5,6,7,8}C .{3,4,5,6,7,8}D .{4,5,6,7,8}8. 在正方体1111ABCD A B C D -中,M 是线段11AC 的中点,若四面体M ABD -的外接球体积为36p , 则正方体棱长为( )A .2B .3C .4D .5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题,意在考查空间想象能力和基本运算能力. 9. 某工厂产生的废气经过过虑后排放,过虑过程中废气的污染物数量P (单位:毫克/升)与时间t (单位:小时)间的关系为0e ktP P -=(0P,k 均为正常数).如果前5个小时消除了10%的污染物,为了消除27.1% 的污染物,则需要( )小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用,考查函数思想,方程思想的灵活运用,体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.10.已知f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=3x ﹣1,则f (log 35)=( )A .B .﹣C .4D .11.双曲线=1(m ∈Z )的离心率为( )A .B .2C .D .312.若函数f (x )的定义域为R ,则“函数f (x )是奇函数”是“f (0)=0”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题13.已知△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,asinA=bsinB+(c ﹣b )sinC ,且bc=4,则△ABC 的面积为 .14.在平面直角坐标系中,(1,1)=-a ,(1,2)=b ,记{}(,)|M O M λμλμΩ==+a b ,其中O 为坐标原点,给出结论如下:①若(1,4)(,)λμ-∈Ω,则1λμ==;②对平面任意一点M ,都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω; ③若1λ=,则(,)λμΩ表示一条直线; ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=;⑤若0λ≥,0μ≥,且2λμ+=,则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为22. 其中所有正确结论的序号是 . 15.已知=1﹣bi ,其中a ,b 是实数,i 是虚数单位,则|a ﹣bi|= .16.设MP 和OM 分别是角的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式:①MP <OM <0;②OM <0<MP ;③OM <MP <0;④MP <0<OM , 其中正确的是 (把所有正确的序号都填上).17.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a ,第二次朝上一面的点数为b ,则函数y=ax 2﹣2bx+1在(﹣∞,2]上为减函数的概率是 .18.在数列中,则实数a= ,b= .三、解答题19.已知函数f (x )=ax 2+bx+c ,满足f (1)=﹣,且3a >2c >2b . (1)求证:a >0时,的取值范围;(2)证明函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点; (3)设x 1,x 2是函数f (x )的两个零点,求|x 1﹣x 2|的取值范围.20.如图,在△ABC 中,BC 边上的中线AD 长为3,且sinB=,cos ∠ADC=﹣.(Ⅰ)求sin ∠BAD 的值;(Ⅱ)求AC 边的长.21.设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.22.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2csinA=a.(1)求角C的大小;(2)若c=2,a2+b2=6,求△ABC的面积.23.已知△ABC的三边是连续的三个正整数,且最大角是最小角的2倍,求△ABC的面积.24.(本小题满分13分) 已知函数32()31f x ax x =-+, (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)证明:当2a <-时,()f x 有唯一的零点0x ,且01(0,)2x ∈.绵阳市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题1. 【答案】A 【解析】试题分析:由已知得()2112x f x x x -==-,则()21'f x x=,所以()'11f =. 考点:1、复合函数;2、导数的几何意义. 2. 【答案】A 【解析】试题分析:()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为{}4,2.考点:复合函数求值. 3. 【答案】A 【解析】试题分析:通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±,所以M P N =⊆.考点:两个集合相等、子集.1 4. 【答案】 B【解析】解:∵当a=1时,方程C :即x 2+y 2=1,表示单位圆∴∃a ∈R +,使方程C 不表示椭圆.故A 项不正确;∵当a <0时,方程C :表示焦点在x 轴上的双曲线∴∀a ∈R ﹣,方程C 表示双曲线,得B 项正确;∀a ∈R ﹣,方程C 不表示椭圆,得C 项不正确∵不论a 取何值,方程C :中没有一次项∴∀a ∈R ,方程C 不能表示抛物线,故D 项不正确 综上所述,可得B 为正确答案 故选:B5. 【答案】 A【解析】(本题满分为12分)解:由题意可得:|AA'|=sin α、|BB'|=sin β、|CC'|=sin (α+β), 设边长为sin (α+β)的所对的三角形内角为θ,则由余弦定理可得,cosθ==﹣cosαcosβ=﹣cosαcosβ=sinαsinβ﹣cosαcosβ=﹣cos(α+β),∵α,β∈(0,)∴α+β∈(0,π)∴sinθ==sin(α+β)设外接圆的半径为R,则由正弦定理可得2R==1,∴R=,∴外接圆的面积S=πR2=.故选:A.【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.6.【答案】B【解析】解:===;又,,,∴.故选B.【点评】本题考查了向量加法的几何意义,是基础题.7.【答案】C【解析】解:∵A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},∴A∪B={3,4,5,6,7,8}.故选C8.【答案】C9.【答案】15【解析】10.【答案】B【解析】解:∵f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,∴f(log35)=f(log35﹣2)=f(log3),∵x∈(0,1)时,f(x)=3x﹣1∴f(log3)═﹣故选:B11.【答案】B【解析】解:由题意,m2﹣4<0且m≠0,∵m∈Z,∴m=1∵双曲线的方程是y2﹣x2=1∴a2=1,b2=3,∴c2=a2+b2=4∴a=1,c=2,∴离心率为e==2.故选:B.【点评】本题的考点是双曲线的简单性质,考查由双曲线的方程求三参数,考查双曲线中三参数的关系:c2=a2+b2.12.【答案】A【解析】解:由奇函数的定义可知:若f(x)为奇函数,则任意x都有f(﹣x)=﹣f(x),取x=0,可得f(0)=0;而仅由f(0)=0不能推得f(x)为奇函数,比如f(x)=x2,显然满足f(0)=0,但f(x)为偶函数.由充要条件的定义可得:“函数f(x)是奇函数”是“f(0)=0””的充分不必要条件.故选:A.二、填空题13.【答案】.【解析】解:∵asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc,即:b2+c2﹣a2=bc,∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB,∴cosA===,A=60°.可得:sinA=,∵bc=4,∴S△ABC=bcsinA==.故答案为:【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用,考查了三角形面积公式的应用,属于中档题.14.【答案】②③④【解析】解析:本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力.由(1,4)λμ+=-a b 得124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩,∴21λμ=⎧⎨=⎩,①错误;a 与b 不共线,由平面向量基本定理可得,②正确;记OA =a ,由OM μ=+a b 得AM μ=b ,∴点M 在过A 点与b 平行的直线上,③正确;由2μλ+=+a b a b 得,(1)(2)λμ-+-=0a b ,∵a 与b 不共线,∴12λμ=⎧⎨=⎩,∴2(1,5)μλ+=+=a b a b ,∴④正确;设(,)M x y ,则有2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩,∴21331133x y x y λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,∴200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且260x y -+=,∴(,)λμΩ表示的一条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)-,其长度为15.【答案】.【解析】解:∵=1﹣bi ,∴a=(1+i )(1﹣bi )=1+b+(1﹣b )i ,∴,解得b=1,a=2.∴|a ﹣bi|=|2﹣i|=.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.16.【答案】 ②【解析】解:由MP ,OM分别为角的正弦线、余弦线,如图,∵,∴OM <0<MP . 故答案为:②.【点评】本题的考点是三角函数线,考查用作图的方法比较三角函数的大小,本题是直接比较三角函数线的大小,在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小.17.【答案】.【解析】解:由题意,函数y=ax2﹣2bx+1在(﹣∞,2]上为减函数满足条件.∵第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,∴a取1时,b可取2,3,4,5,6;a取2时,b可取4,5,6;a取3时,b可取6,共9种∵(a,b)的取值共36种情况∴所求概率为=.故答案为:.18.【答案】a=,b=.【解析】解:由5,10,17,a﹣b,37知,a﹣b=26,由3,8,a+b,24,35知,a+b=15,解得,a=,b=;故答案为:,.【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用.三、解答题19.【答案】【解析】解:(1)∵f(1)=a+b+c=﹣,∴3a+2b+2c=0.又3a>2c>2b,故3a>0,2b<0,从而a>0,b<0,又2c=﹣3a﹣2b及3a>2c>2b知3a>﹣3a﹣2b>2b∵a>0,∴3>﹣3﹣>2,即﹣3<<﹣.(2)根据题意有f(0)=0,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+a﹣c=a﹣c.下面对c的正负情况进行讨论:①当c>0时,∵a>0,∴f(0)=c>0,f(1)=﹣<0所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点;②当c≤0时,∵a>0,∴f(1)=﹣<0,f(2)=a﹣c>0所以函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点;综合①②得函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3).∵x1,x2是函数f(x)的两个零点∴x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.故x1+x2=﹣,x1x2===从而|x1﹣x2|===.∵﹣3<<﹣,∴|x1﹣x2|.【点评】本题考查了二次函数的性质,对于二次函数要注意数形结合的应用,注意抓住二次函数的开口方向,对称轴,以及判别式的考虑;同时考查了函数的零点与方程根的关系,函数的零点等价于对应方程的根,等价于函数的图象与x轴交点的横坐标,解题时要注意根据题意合理的选择转化.属于中档题.20.【答案】【解析】解:(Ⅰ)由题意,因为sinB=,所以cosB=…又cos∠ADC=﹣,所以sin∠ADC=…所以sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)=×﹣(﹣)×=…(Ⅱ)在△ABD中,由正弦定理,得,解得BD=…故BC=15,从而在△ADC中,由余弦定理,得AC2=9+225﹣2×3×15×(﹣)=,所以AC=…【点评】本题考查差角的正弦公式,考查正弦定理、余弦定理的运用,属于中档题.21.【答案】【解析】解:(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程得=1,∴b=4,…由e==,得1﹣=,∴a=5,…∴椭圆C的方程为+=1.…(2)过点(3,0)且斜率为的直线为y=(x﹣3),…设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x﹣3)代入椭圆C方程,整理得x2﹣3x﹣8=0,…由韦达定理得x1+x2=3,y1+y2=(x1﹣3)+(x2﹣3)=(x1+x2)﹣=﹣.…由中点坐标公式AB中点横坐标为,纵坐标为﹣,∴所截线段的中点坐标为(,﹣).…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,确定椭圆的方程是关键.22.【答案】【解析】(本小题满分10分)解:(1)∵,∴,…2分在锐角△ABC中,,…3分故sinA≠0,∴,.…5分(2)∵,…6分∴,即ab=2,…8分∴.…10分【点评】本题主要考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.23.【答案】【解析】解:由题意设a=n、b=n+1、c=n+2(n∈N+),∵最大角是最小角的2倍,∴C=2A,由正弦定理得,则,∴,得cosA=,由余弦定理得,cosA==,∴=,化简得,n=4,∴a=4、b=5、c=6,cosA=,又0<A<π,∴sinA==,∴△ABC的面积S===.【点评】本题考查正弦定理和余弦定理,边角关系,三角形的面积公式的综合应用,以及方程思想,考查化简、计算能力,属于中档题.24.【答案】(本小题满分13分)解:(Ⅰ)2'=-=-,(1分)()363(2)f x ax x x ax①当0a >时,解()0f x '>得2x a >或0x <,解()0f x '<得20x a <<, ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a+∞,()f x 的递减区间为2(0,)a . (4分)②当0a =时,()f x 的递增区间为(,0)-∞,递减区间为(0,)+∞. (5分)③当0a <时,解()0f x '>得20x a<<,解()0f x '<得0x >或2x a <∴()f x 的递增区间为2(,0)a ,()f x 的递减区间为2(,)a-∞和(0,)+∞. (7分)(Ⅱ)当2a <-时,由(Ⅰ)知2(,)a -∞上递减,在2(,0)a上递增,在(0,)+∞上递减.∵22240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭,∴()f x 在(,0)-∞没有零点. (9分) ∵()010f =>,11(2)028f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭,()f x 在(0,)+∞上递减,∴在(0,)+∞上,存在唯一的0x ,使得()00f x =.且01(0,)2x ∈ (12分)综上所述,当2a <-时,()f x 有唯一的零点0x ,且01(0,)2x ∈. (13分)。
绵阳市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 如图,已知平面=,.是直线上的两点,是平面内的两点,且,,,.是平面上的一动点,且有,则四棱锥体积的最大值是( )A .B .C .D .2. 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ,过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点,且20FP FQ +=,则OP Q ∆的面积等于( )A .B .C .2 D .43. 若函数f (x )=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为( ) A .5 B .4 C .3 D .24. 点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则的取值范围是( )A .[﹣1,﹣]B .[﹣,﹣]C .[﹣1,0]D .[﹣,0]5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 6. 奇函数()f x 满足()10f =,且()f x 在()0+∞,上是单调递减,则()()210x f x f x -<--的解集为( )A .()11-,B .()()11-∞-+∞,,C .()1-∞-,D .()1+∞,7. 棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A .B .C .D .8. 定义在(0,+∞)上的单调递减函数f (x ),若f (x )的导函数存在且满足,则下列不等式成立的是( )A .3f (2)<2f (3)B .3f (4)<4f (3)C .2f (3)<3f (4)D .f (2)<2f (1)9. 已知抛物线x 2=﹣2y 的一条弦AB 的中点坐标为(﹣1,﹣5),则这条弦AB 所在的直线方程是( ) A .y=x ﹣4 B .y=2x ﹣3 C .y=﹣x ﹣6 D .y=3x ﹣210.函数f (x )=e ln|x|+的大致图象为( )A .B .C .D .11.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公比q=2,S k+2﹣S k =48,则k 等于( )A .7B .6C .5D .412.若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=﹣1,其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1,则下列结论中一定错误的是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半,且2AB BC CA ===,则球表面积是_________.14.定义:分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数.我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和.例如:1=++,1=+++,1=++++,…依此方法可得:1=++++++++++++,其中m ,n ∈N *,则m+n= .15.用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数,要求数字4不出现在首位和末位,数字1,3,5中有且 仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是 .(注:结果请用数字作答)【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用,同时也渗透了分类讨论的思想,本题综合性强,难度较大.16.81()x x-的展开式中,常数项为___________.(用数字作答)【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项,基础题.17.在直角坐标系xOy 中,已知点A (0,1)和点B (﹣3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2,则= .18.不等式的解集为 .三、解答题19.(本小题满分12分)已知向量(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a ,(cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b ,设函数()()2n f x x R =??a b的图象关于点(,1)12p对称,且(1,2)w Î. (I )若1m =,求函数)(x f 的最小值;(II )若()()4f x f p£对一切实数恒成立,求)(x f y =的单调递增区间.【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识,意在考查数形结合思想和基本运算能力.20.(本小题满分12分)已知12,F F 分别是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,且12||2F F =,点在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与以原点为圆心,b 为半径的圆上相切于第一象限,切点为M ,且直线l 与椭圆交于P Q 、两点,问22F P F Q PQ ++是否为定值?如果是,求出定值,如不是,说明理由.21.已知数列{a n}的首项为1,前n项和S n满足=+1(n≥2).(Ⅰ)求S n与数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=(n∈N*),求使不等式b1+b2+…+b n>成立的最小正整数n.22.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若,求的值.23.已知函数f(x)=lnx+ax2+b(a,b∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=﹣1,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求证:对任意给定的正数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调;(Ⅲ)若点A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线f(x)上的两点,试探究:当a<0时,是否存在实数x0∈(x1,x2),使直线AB的斜率等于f'(x0)?若存在,给予证明;若不存在,说明理由.24.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值;(Ⅲ)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.绵阳市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1. 【答案】A【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】由题知:是直角三角形,又,所以。
绵阳市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 实数a=0.2,b=log0.2,c=的大小关系正确的是( )A .a <c <bB .a <b <cC .b <a <cD .b <c <a 2. 已知函数f (x )=2x ﹣2,则函数y=|f (x )|的图象可能是( )A. B.C.D.3. (m+1)x 2﹣(m ﹣1)x+3(m ﹣1)<0对一切实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(﹣∞,﹣1) C.D.4. 把“二进制”数101101(2)化为“八进制”数是( ) A .40(8)B .45(8)C .50(8)D .55(8)5. 已知双曲线(a >0,b >0)的右焦点F ,直线x=与其渐近线交于A ,B 两点,且△ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( )A.B.C.D.6. 已知实数[1,1]x ∈-,[0,2]y ∈,则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为( )A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识,意在考查数形结合思想及基本运算能力.7. 如图,网格纸上的正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )A .30B .50C .75D .1508. 如果对定义在R 上的函数)(x f ,对任意n m ≠,均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立,则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数: ①()ln25x f x =-;②34)(3++-=x x x f ;③)cos (sin 222)(x x x x f --=;④⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f .其中函数是“H 函数”的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D . 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大. 9. 已知向量与的夹角为60°,||=2,||=6,则2﹣在方向上的投影为( ) A .1B .2C .3D .410.∃x ∈R ,x 2﹣2x+3>0的否定是( )A .不存在x ∈R ,使∃x 2﹣2x+3≥0B .∃x ∈R ,x 2﹣2x+3≤0C .∀x ∈R ,x 2﹣2x+3≤0D .∀x ∈R ,x 2﹣2x+3>011.已知函数f (x )=a x +b (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b=( )A .﹣B .﹣C .﹣D .﹣或﹣12.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺, 末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的( ) A .33% B .49% C .62% D .88%二、填空题13.一组数据2,x ,4,6,10的平均值是5,则此组数据的标准差是 .14.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是.已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 .15.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +,内,则正整数k 的值为________. 16.若圆与双曲线C :的渐近线相切,则_____;双曲线C 的渐近线方程是____.17.-23311+log 6-log 42()= . 18.设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ,2x ,且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立,则实数的取值范围是 .三、解答题19.(本题满分15分)正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ,11=a .(1)证明:对任意的*N n ∈,12+≤n n a a ;(2)记数列}{n a 的前n 项和为n S ,证明:对任意的*N n ∈,32121<≤--n n S .【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析和解决问题的能力.20.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E分别是AC、AB上的点,且DE∥BC,将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如图2.(Ⅰ)求证:平面A1BC⊥平面A1DC;(Ⅱ)若CD=2,求BD与平面A1BC所成角的正弦值;(Ⅲ)当D点在何处时,A1B的长度最小,并求出最小值.21.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)当时,求f(x)的最大值,并求此时对应的x的值.22.已知矩阵A=,向量=.求向量,使得A2=.23.椭圆C:=1,(a>b>0)的离心率,点(2,)在C上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值.24.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲1111]CP=.如图,点C为圆O上一点,CP为圆的切线,CE为圆的直径,3(1)若PE交圆O于点F,16EF=,求CE的长;5⊥于D,求CD的长.(2)若连接OP并延长交圆O于,A B两点,CD OP绵阳市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题1.【答案】C【解析】解:根据指数函数和对数函数的性质,知log0.2<0,0<0.2<1,,即0<a<1,b<0,c>1,∴b<a<c.故选:C.【点评】本题主要考查函数数值的大小比较,利用指数函数,对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键.2.【答案】B【解析】解:先做出y=2x的图象,在向下平移两个单位,得到y=f(x)的图象,再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f(x)|的图象.故选B【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出y=f(x)的图象,再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f(x)|的图象.3.【答案】C【解析】解:不等式(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切x∈R恒成立,即(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切x∈R恒成立若m+1=0,显然不成立若m+1≠0,则解得a.故选C.【点评】本题的求解中,注意对二次项系数的讨论,二次函数恒小于0只需.4.【答案】D【解析】解:∵101101(2)=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45(10).再利用“除8取余法”可得:45(10)=55(8).故答案选D.5.【答案】D【解析】解:∵函数f(x)=(x﹣3)e x,∴f′(x)=e x+(x﹣3)e x=(x﹣2)e x,令f′(x)>0,即(x﹣2)e x>0,∴x﹣2>0,解得x>2,∴函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选:D.【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题,是基础题目.6.【答案】B【解析】7.【答案】B【解析】解:该几何体是四棱锥,其底面面积S=5×6=30,高h=5,则其体积V=S×h=30×5=50.故选B.8.【答案】B第9.【答案】A【解析】解:∵向量与的夹角为60°,||=2,||=6,∴(2﹣)•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2,∴2﹣在方向上的投影为=.故选:A.【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题,是基础题目.10.【答案】C【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,∃x∈R,x2﹣2x+3>0的否定是:∀x∈R,x2﹣2x+3≤0.故选:C.11.【答案】B【解析】解:当a>1时,f(x)单调递增,有f(﹣1)=+b=﹣1,f(0)=1+b=0,无解;当0<a<1时,f(x)单调递减,有f(﹣1)==0,f(0)=1+b=﹣1,解得a=,b=﹣2;所以a+b==﹣;故选:B12.【答案】B【解析】二、填空题13.【答案】2.【解析】解:∵一组数据2,x,4,6,10的平均值是5,∴2+x+4+6+10=5×5,解得x=3,∴此组数据的方差[(2﹣5)2+(3﹣5)2+(4﹣5)2+(6﹣5)2+(10﹣5)2]=8,∴此组数据的标准差S==2.故答案为:2.【点评】本题考查一组数据的标准差的求法,解题时要认真审题,注意数据的平均数和方差公式的求法.14.【答案】9.【解析】解:平均气温低于22.5℃的频率,即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,所以总城市数为11÷0.22=50,平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18,所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9.故答案为:915.【答案】2【解析】16.【答案】,【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线【试题解析】双曲线的渐近线方程为:圆的圆心为(2,0),半径为1.因为相切,所以所以双曲线C 的渐近线方程是:故答案为:,17.【答案】332【解析】试题分析:原式=233331334log log 16log 16log 1622+=+=+=+=。
涪城区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知数列{}n a 的首项为11a =,且满足11122n n n a a +=+,则此数列的第4项是( ) A .1 B .12 C. 34 D .582. “x 2﹣4x <0”的一个充分不必要条件为( ) A .0<x <4 B .0<x <2 C .x >0 D .x <43. 函数f (x )在x=x 0处导数存在,若p :f ′(x 0)=0:q :x=x 0是f (x )的极值点,则( ) A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件4. 已知函数(5)2()e22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩,则(2016)f -=( ) A .2e B .e C .1 D .1e【命题意图】本题考查分段函数的求值,意在考查分类讨论思想与计算能力.5. 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (﹣2)=0,当x >0时,xf ′(x )﹣f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A .(﹣∞,﹣2)∪(0,2)B .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)C .(﹣2,0)∪(2,+∞)D .(﹣2,0)∪(0,2)6. 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形,则该四棱锥的体积为( )A .24B .80C .64D .2407. 某工厂产生的废气经过过虑后排放,过虑过程中废气的污染物数量P (单位:毫克/升)与时间t (单位:小时)间的关系为0e ktP P -=(0P ,k 均为正常数).如果前5个小时消除了10%的污染物,为了消除27.1% 的污染物,则需要( )小时.A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用,考查函数思想,方程思想的灵活运用,体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.8. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+3)=f (x ),当0<x ≤1时,f (x )=2x ,则f (2015)=( )A .2B .﹣2C .﹣D .9. 若将函数y=tan (ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan (ωx+)的图象重合,则ω的最小值为( )A .B .C .D .10.不等式的解集为( )A .或B .C .或D .11.设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b ⊥m ,则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( ) A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件12.已知复数z 满足:zi=1+i (i 是虚数单位),则z 的虚部为( ) A .﹣i B .i C .1D .﹣1二、填空题13.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为 .14.1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b-=(a ,0b >)的左、右焦点,点P 在双曲线上,满足120PF PF ⋅=,若12PF F ∆______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查基本运算能力及推理能力.15.设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ,2x ,且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立,则实数的取值范围是 .16.已知(1+x+x 2)(x )n (n ∈N +)的展开式中没有常数项,且2≤n ≤8,则n= .17.过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ,C 两点,A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点,则|+|= .18.定义在R 上的函数)(x f 满足:1)(')(>+x f x f ,4)0(=f ,则不等式3)(+>x x e x f e (其 中为自然对数的底数)的解集为 .三、解答题19.在数列中,,,其中,.(Ⅰ)当时,求的值;(Ⅱ)是否存在实数,使构成公差不为0的等差数列?证明你的结论; (Ⅲ)当时,证明:存在,使得.20.某同学在研究性学习中,了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量(单位:百件)的数据如(Ⅰ)该同学为了求出y 关于x 的回归方程=x+,根据表中数据已经正确算出=0.6,试求出的值,并估计该店铺6月份的产品销售量;(单位:百件)(Ⅱ)一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品,顾客甲现从该零售商处随机购买了3件,后经了解,该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题,而3月份的产品都没有质量问题.记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X ,求X 的分布列和数学期望.21.在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点.(Ⅰ)求证:DE∥平面ACF;(Ⅱ)求证:BD⊥AE.22.已知f(x)=x2﹣3ax+2a2.(1)若实数a=1时,求不等式f(x)≤0的解集;(2)求不等式f(x)<0的解集.23.全集U=R ,若集合A={x|3≤x <10},B={x|2<x ≤7}, (1)求A ∪B ,(∁U A )∩(∁U B );(2)若集合C={x|x >a},A ⊆C ,求a 的取值范围.24.【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测(一)】已知函数()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4,且满足()01f =.(1)求实数b 和c 的值;(2)试问:是否存在这样的定值0x ,使得当a 变化时,曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线互相平行?若存在,求出0x 的值;若不存在,请说明理由; (3)讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.涪城区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1. 【答案】B 【解析】2. 【答案】B【解析】解:不等式x 2﹣4x <0整理,得x (x ﹣4)<0 ∴不等式的解集为A={x|0<x <4},因此,不等式x 2﹣4x <0成立的一个充分不必要条件,对应的x 范围应该是集合A 的真子集.写出一个使不等式x 2﹣4x <0成立的充分不必要条件可以是:0<x <2,故选:B .3. 【答案】C【解析】解:函数f (x )=x 3的导数为f'(x )=3x 2,由f ′(x 0)=0,得x 0=0,但此时函数f (x )单调递增,无极值,充分性不成立.根据极值的定义和性质,若x=x 0是f (x )的极值点,则f ′(x 0)=0成立,即必要性成立, 故p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件, 故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键,比较基础.4. 【答案】B【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==,故选B . 5. 【答案】A【解析】解:设g (x )=,则g (x )的导数为:g ′(x )=,∵当x >0时总有xf ′(x )﹣f (x )<0成立,即当x >0时,g ′(x )<0,∴当x >0时,函数g (x )为减函数,又∵g (﹣x )====g (x ),∴函数g (x )为定义域上的偶函数, ∴x <0时,函数g (x )是增函数,又∵g (﹣2)==0=g (2),∴x >0时,由f (x )>0,得:g (x )<g (2),解得:0<x <2, x <0时,由f (x )>0,得:g (x )>g (﹣2),解得:x <﹣2, ∴f (x )>0成立的x 的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2). 故选:A .6. 【答案】B 【解析】 试题分析:8058631=⨯⨯⨯=V ,故选B. 考点:1.三视图;2.几何体的体积. 7. 【答案】15 【解析】8. 【答案】B【解析】解:因为f (x+3)=f (x ),函数f (x )的周期是3, 所以f (2015)=f (3×672﹣1)=f (﹣1);又因为函数f (x )是定义R 上的奇函数,当0<x ≤1时,f (x )=2x,所以f (﹣1)=﹣f (1)=﹣2,即f (2015)=﹣2. 故选:B .【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出f (2015)=f (3×672﹣1)=f (﹣1).9. 【答案】D【解析】解:y=tan(ωx+),向右平移个单位可得:y=tan[ω(x﹣)+]=tan(ωx+)∴﹣ω+kπ=∴ω=k+(k∈Z),又∵ω>0∴ωmin=.故选D.10.【答案】A【解析】令得,;其对应二次函数开口向上,所以解集为或,故选A答案:A11.【答案】B【解析】解:∵b⊥m,∴当α⊥β,则由面面垂直的性质可得a⊥b成立,若a⊥b,则α⊥β不一定成立,故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选:B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用线面垂直的性质是解决本题的关键.12.【答案】D【解析】解:由zi=1+i,得,∴z的虚部为﹣1.故选:D.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.二、填空题13.【答案】3+.【解析】解:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n ﹣1行共有正整数1+2+…+(n ﹣1)个,即个,因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个,即为3+.故答案为:3+.14.1 【解析】15.【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析:因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,即()()()()()221212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦,由于()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故()12122133x x a ax x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤,因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦.考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法.【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法,属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数,令()'0f x =考虑判别式大于零,根据韦达定理求出1212,x x x x +的值,代入不等式12()()0f x f x +≤,得到关于的高次不等式,再利用“穿针引线”即可求得实数的取值范围.111] 16.【答案】 5 .【解析】二项式定理. 【专题】计算题.【分析】要想使已知展开式中没有常数项,需(x )n (n ∈N +)的展开式中无常数项、x ﹣1项、x ﹣2项,利用(x)n (n ∈N +)的通项公式讨论即可.【解答】解:设(x )n(n ∈N +)的展开式的通项为T r+1,则T r+1=x n ﹣r x ﹣3r =x n ﹣4r ,2≤n ≤8,当n=2时,若r=0,(1+x+x 2)(x)n(n ∈N +)的展开式中有常数项,故n ≠2;当n=3时,若r=1,(1+x+x 2)(x)n(n ∈N +)的展开式中有常数项,故n ≠3;当n=4时,若r=1,(1+x+x 2)(x)n(n ∈N +)的展开式中有常数项,故n ≠4;当n=5时,r=0、1、2、3、4、5时,(1+x+x 2)(x )n(n ∈N +)的展开式中均没有常数项,故n=5适合题意;当n=6时,若r=1,(1+x+x 2)(x )n(n ∈N +)的展开式中有常数项,故n ≠6;当n=7时,若r=2,(1+x+x 2)(x)n(n ∈N +)的展开式中有常数项,故n ≠7;当n=8时,若r=2,(1+x+x 2)(x)n(n ∈N +)的展开式中有常数项,故n ≠2;综上所述,n=5时,满足题意.故答案为:5.【点评】本题考查二项式定理,考查二项展开式的通项公式,突出考查分类讨论思想的应用,属于难题.17.【答案】 4 .【解析】解:由题意可得点B 和点C 关于原点对称,∴|+|=2||,再根据A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点,可得A (0,﹣2),∴2||=4,故答案为:4.【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质,属于基础题,利用|+|=2||是解题的关键.18.【答案】),0(+∞ 【解析】考点:利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以xe ,即()()0>-'+x x x e x f e x f e ,因此构造函数()()x x e x f e x g -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.1三、解答题19.【答案】【解析】【知识点】数列综合应用 【试题解析】(Ⅰ),,.(Ⅱ)成等差数列,,即 ,,即.,.将,代入上式, 解得. 经检验,此时的公差不为0. 存在,使构成公差不为0的等差数列.(Ⅲ),又,令.由,,……,将上述不等式相加,得,即.取正整数,就有20.【答案】【解析】解:(1),=5…且,代入回归直线方程可得∴=0.6x+3.2,x=6时,=6.8,…(2)X的取值有0,1,2,3,则,,,…【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望,考查学生分析解决问题的能力.21.【答案】【解析】【分析】(Ⅰ)连接FO,则OF为△BDE的中位线,从而DE∥OF,由此能证明DE∥平面ACF.(Ⅱ)推导出BD⊥AC,EC⊥BD,从而BD⊥平面ACE,由此能证明BD⊥AE.【解答】证明:(Ⅰ)连接FO,∵底面ABCD是正方形,且O为对角线AC和BD交点,∴O为BD的中点,又∵F为BE中点,∴OF为△BDE的中位线,即DE∥OF,又OF⊂平面ACF,DE⊄平面ACF,∴DE∥平面ACF.(Ⅱ)∵底面ABCD为正方形,∴BD⊥AC,∵EC⊥平面ABCD,∴EC⊥BD,∴BD⊥平面ACE,∴BD⊥AE.22.【答案】【解析】解:(1)当a=1时,依题意得x2﹣3x+2≤0 因式分解为:(x﹣2)(x﹣1)≤0,解得:x≥1或x≤2.∴1≤x≤2.不等式的解集为{x|1≤x≤2}.(2)依题意得x2﹣3ax+2a2<0∴(x﹣a)(x﹣2a)<0…对应方程(x﹣a)(x﹣2a)=0得x1=a,x2=2a当a=0时,x∈∅.当a>0时,a<2a,∴a<x<2a;当a<0时,a>2a,∴2a<x<a;综上所述,当a=0时,原不等式的解集为∅;当a>0时,原不等式的解集为{x|a<x<2a};当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<a};23.【答案】【解析】解:(1)∵A={x|3≤x <10},B={x|2<x ≤7},∴A ∩B=[3,7];A ∪B=(2,10);(C U A )∩(C U B )=(﹣∞,3)∪[10,+∞); (2)∵集合C={x|x >a},∴若A ⊆C ,则a <3,即a 的取值范围是{a|a <3}.24.【答案】(1)1,14b c ==;(2)答案见解析;(3)当1a <-或0a >时,()g x 在()0,4有两个零点;当10a -≤≤时,()g x 在()0,4有一个零点. 【解析】试题分析:(1)由题意得到关于实数b ,c 的方程组,求解方程组可得1,14b c ==;(3)函数()g x 的导函数()()2132444g x x a x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭',结合导函数的性质可得当1a <-或0a >时,()g x 在()0,4有两个零点;当10a -≤≤时,()g x 在()0,4有一个零点.试题解析:(1)由题意()()01{ 440f c f b c =+=-+=,解得1{ 41b c ==;(2)由(1)可知()()324f x x a x =+--1414a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭, ∴()()2132444f x x a x a ⎛⎫=+--+⎪⎝⎭'; 假设存在0x 满足题意,则()()2000132444f x x a x a ⎛⎫=+--+⎪⎝⎭'是一个与a 无关的定值, 即()2000124384x a x x -+--是一个与a 无关的定值, 则0240x -=,即02x =,平行直线的斜率为()1724k f ==-'; (3)()()()324g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭, ∴()()2132444g x x a x a ⎛⎫=+--+⎪⎝⎭',其中()21441244a a ⎛⎫∆=-++= ⎪⎝⎭()224166742510a a a ++=++>, 设()0g x '=两根为1x 和()212x x x <,考察()g x 在R 上的单调性,如下表1°当0a >时,()010g a =+>,()40g a =>,而()152302g a =--<, ∴()g x 在()0,2和()2,4上各有一个零点,即()g x 在()0,4有两个零点; 2°当0a =时,()010g =>,()40g a ==,而()15202g =-<, ∴()g x 仅在()0,2上有一个零点,即()g x 在()0,4有一个零点;3°当0a <时,()40g a =<,且13024g a ⎛⎫=->⎪⎝⎭, ①当1a <-时,()010g a =+<,则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,42⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点,即()g x 在()0,4有两个零点;②当10a -≤<时,()010g a =+≥,则()g x 仅在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点, 即()g x 在()0,4有一个零点;综上:当1a <-或0a >时,()g x 在()0,4有两个零点; 当10a -≤≤时,()g x 在()0,4有一个零点.点睛:在解决类似的问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数y =f (x )在[a ,b ]内所有使f ′(x )=0的点,再计算函数y =f (x )在区间内所有使f ′(x )=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.。
绵阳市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=()A.B.C.D.2.若向量(1,0,x)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则x为()A.0 B.1 C.﹣1 D.23.如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C 对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置C到AB的距离是()A.2m B.2m C.4 m D.6 m4.一个椭圆的半焦距为2,离心率e=,则它的短轴长是()A.3 B.C.2D.6N ,则输出的S的值是()5.在下面程序框图中,输入44A.251B.253C.255D.260【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以4后按余数分类. 6.若命题p:∃x0∈R,sinx0=1;命题q:∀x∈R,x2+1<0,则下列结论正确的是()A.¬p为假命题B.¬q为假命题C.p∨q为假命题D.p∧q真命题7.已知等比数列{a n}的公比为正数,且a4•a8=2a52,a2=1,则a1=()A.B.2 C.D.8.执行如图所示的程序框图,输出的结果是()A.15 B.21 C.24 D.359.某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为()A.20+2πB.20+3πC.24+3πD.24+3π10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOF的面积为()A.B.C.D.211.设实数,则a、b、c的大小关系为()A.a<c<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c12.已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x﹣y的最大值是()A.6 B.0 C.2 D.2二、填空题13.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABC,此图形中有个直角三角形.14.直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为.15.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为.16.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为.①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点(0,1)成中心对称;②对∀x,y∈R.若x+y≠0,则x≠1或y≠﹣1;③若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;④若△ABC为锐角三角形,则sinA<cosB.⑤在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且•=5,则△ABC的形状是直角三角形.17.已知函数y=log(x2﹣ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.18.已知复数,则1+z50+z100=.三、解答题19.选修4﹣4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ.(Ⅰ)求C的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A、B两点,求弦长|AB|.20.(本小题满分12分)一直线被两直线12:460,:3560l x y l x y ++=--=截得线段的中点是P 点, 当P 点为()0,0时, 求此直线方程.21.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,四边形ABCD 外接于圆,AC 是圆周角BAD ∠的角平分线,过点C 的切线与AD 延长线交于点E ,AC 交BD 于点F . (1)求证:BDCE ;(2)若AB 是圆的直径,4AB =,1DE =,求AD 长22.在数列{a n}中,a1=1,a n+1=1﹣,b n=,其中n∈N*.(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)设c n=b n+1•(),数列{c n}的前n项和为T n,求T n;(3)证明:1+++…+≤2﹣1(n∈N*)23.(本小题满分12分)中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众,先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加,各(1)求各大学抽取的人数;(2)从(1)中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言,求这2名学生来自同一所大学的概率.24.已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b,a、b为实数.(1)若曲线y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为12,求a的值;(2)若f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,且1<a<2,求函数f(x)的解析式.绵阳市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1.【答案】A【解析】解:∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)且3+log23>4∴f(2+log23)=f(3+log23)=故选A.2.【答案】A【解析】解:由题意=,∴1+x=,解得x=0故选A【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式,考查根据公式建立方程求解未知数,是向量中的基本题型,此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解,正确利用概念与公式解题是此类题的特点.3.【答案】A【解析】解:建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2py(p>0),将点(4,﹣4)代入,可得p=2,所以抛物线方程为x2=﹣4y,设C(x,y)(y>﹣6),则由A(﹣4,﹣6),B(4,﹣6),可得k CA=,k CB=,∴tan∠BCA===,令t=y+6(t>0),则tan∠BCA==≥∴t=2时,位置C对隧道底AB的张角最大,故选:A.【点评】本题考查抛物线的方程与应用,考查基本不等式,确定抛物线的方程及tan∠BCA,正确运用基本不等式是关键.4.【答案】C【解析】解:∵椭圆的半焦距为2,离心率e=,∴c=2,a=3,∴b=∴2b=2.故选:C.【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题.5.【答案】B6.【答案】A【解析】解:时,sinx0=1;∴∃x0∈R,sinx0=1;∴命题p是真命题;由x2+1<0得x2<﹣1,显然不成立;∴命题q是假命题;∴¬p为假命题,¬q为真命题,p∨q为真命题,p∧q为假命题;∴A正确.故选A.【点评】考查对正弦函数的图象的掌握,弧度数是个实数,对∀∈R满足x2≥0,命题¬p,p∨q,p∧q的真假和命题p,q真假的关系.7.【答案】D【解析】解:设等比数列{a n}的公比为q,则q>0,∵a4•a8=2a52,∴a62=2a52,∴q2=2,∴q=,∵a2=1,∴a1==.故选:D8.【答案】C【解析】【知识点】算法和程序框图【试题解析】否,否,否,是,则输出S=24.故答案为:C9.【答案】B【解析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体(一个半圆柱与正方体的组合体),其底面面积S=2×2+=4+,底面周长C=2×3+=6+π,高为2,故柱体的侧面积为:(6+π)×2=12+2π,故柱体的全面积为:12+2π+2(4+)=20+3π,故选:B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键.10.【答案】B【解析】解:抛物线y2=4x的准线l:x=﹣1.∵|AF|=3,∴点A到准线l:x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2,∴y A=±2,∴△AOF的面积为=.故选:B.【点评】本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定A的坐标是解题的关键.11.【答案】A【解析】解:∵,b=20.1>20=1,0<<0.90=1.∴a<c<b.故选:A.12.【答案】A解析:解:由作出可行域如图,由图可得A(a,﹣a),B(a,a),由,得a=2.∴A(2,﹣2),化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,∴当y=2x﹣z过A点时,z最大,等于2×2﹣(﹣2)=6.故选:A.二、填空题13.【答案】4【解析】解:由PA⊥平面ABC,则△PAC,△PAB是直角三角形,又由已知△ABC是直角三角形,∠ACB=90°所以BC⊥AC,从而易得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△PCB也是直角三角形,所以图中共有四个直角三角形,即:△PAC,△PAB,△ABC,△PCB.故答案为:4【点评】本题考查空间几何体的结构特征,空间中点线面的位置关系,线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键.14.【答案】.【解析】解:∵△AOB是直角三角形(O是坐标原点),∴圆心到直线ax+by=1的距离d=,即d==,整理得a2+2b2=2,则点P(a,b)与点Q(1,0)之间距离d==≥,∴点P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为.故答案为:.【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式,考查学生的计算能力.15.【答案】A.【解析】解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为:A.【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.16.【答案】:①②③【解析】解:对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确;对于②对∀x,y∈R,若x+y≠0,对应的是直线y=﹣x以外的点,则x≠1,或y≠﹣1,②正确;对于③若实数x,y满足x2+y2=1,则=,可以看作是圆x2+y2=1上的点与点(﹣2,0)连线的斜率,其最大值为,③正确;对于④若△ABC为锐角三角形,则A,B,π﹣A﹣B都是锐角,即π﹣A﹣B<,即A+B>,B>﹣A,则cosB<cos(﹣A),即cosB<sinA,故④不正确.对于⑤在△ABC中,G,O分别为△ABC的重心和外心,取BC的中点为D,连接AD、OD、GD,如图:则OD⊥BC,GD=AD,∵=|,由则,即则又BC=5则有由余弦定理可得cosC<0,即有C为钝角.则三角形ABC为钝角三角形;⑤不正确.故答案为:①②③17.【答案】a≤4.【解析】解:令t=x2﹣ax+a,则由函数f(x)=g(t)=log t 在区间[2,+∞)上为减函数,可得函数t在区间[2,+∞)上为增函数且t(2)>0,故有,解得a≤4,故实数a的取值范围是a≤4,故答案为:a≤4【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.18.【答案】i.【解析】解:复数,所以z 2=i ,又i 2=﹣1,所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50=1+i ﹣1=i ;故答案为:i .【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用;注意i 2=﹣1.三、解答题19.【答案】【解析】解:(I )由曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=8cos θ,得ρ2sin 2θ=8ρcos θ.∴y 2=8x 即为C 的直角坐标方程;(II )把直线l 的参数方程,(t 为参数),代入抛物线C 的方程,整理为3t 2﹣16t ﹣64=0,∴,.∴|AB|=|t 1﹣t 2|==.【点评】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线参数方程的参数的几何意义等是解题的关键.20.【答案】16y x =-. 【解析】试题分析:设所求直线与两直线12,l l 分别交于()()1122,,,A x y B x y ,根据因为()()1122,,,A x y B x y 分别在直线12,l l 上,列出方程组,求解11,x y 的值,即可求解直线的方程. 1考点:直线方程的求解. 21.【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识,意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力.∴DE DC BC BA =BC AB=,则24BC AB DE =⋅=,∴2BC =. ∴在Rt ABC ∆中,12BC AB =,∴30BAC ∠=︒,∴60BAD ∠=︒,∴在Rt ABD ∆中,30ABD ∠=︒,所以122AD AB ==.22.【答案】【解析】(1)证明:b n+1﹣b n =﹣=﹣=1,又b 1=1.∴数列{b n }为等差数列,首项为1,公差为1. (2)解:由(1)可得:b n =n .c n =b n+1•()=(n+1).∴数列{c n }的前n 项和为T n =+3×++…+(n+1).=+3×+…+n+(n+1),∴T n =+++…+﹣(n+1)=+﹣(n+1),可得T n =﹣.(3)证明:1+++…+≤2﹣1(n ∈N *)即为:1+++…+≤﹣1.∵=<=2(k=2,3,…).∴1+++…+≤1+2[(﹣1)+()+…+(﹣)]=1+2=2﹣1.∴1+++…+≤2﹣1(n ∈N *).23.【答案】(1)甲,乙,丙,丁;(2)25P . 【解析】试题分析:(1)从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生,则各大学人数分别为甲,乙,丙,丁;(2)利用列举出从参加问卷调查的40名学生中随机抽取两名学生的方法共有15种,这来自同一所大学的取法共有种,再利用古典慨型的概率计算公式即可得出.试题解析:(1)从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生,则各大学人数分别为甲2,乙3,丙2,丁3.(2)设乙中3人为123,,a a a ,丁中3人为123,,b b b ,从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为12{,}a a ,13{,}a a ,11{,}a b ,12{,}a b ,13{,}a b ,32{,}a a ,12{,}b a ,22{,}b a ,32{,}b a ,31{,}a b ,32{,}a b ,33{,}a b ,12{,}b b ,13{,}b b ,23{,}b b ,共15种,这2名同学来自同一所大学的结果共6种,所以所求概率为62P==.155考点:1、分层抽样方法的应用;2、古典概型概率公式.24.【答案】【解析】解:(1)由导数的几何意义f′(a+1)=12∴3(a+1)2﹣3a(a+1)=12∴3a=9∴a=3(2)∵f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b∴由f′(x)=3x(x﹣a)=0得x1=0,x2=a∵x∈[﹣1,1],1<a<2∴当x∈[﹣1,0)时,f′(x)>0,f(x)递增;当x∈(0,1]时,f′(x)<0,f(x)递减.∴f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值为f(0)∵f(0)=b,∴b=1∵,∴f(﹣1)<f(1)∴f(﹣1)是函数f(x)的最小值,∴∴∴f(x)=x3﹣2x2+1【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率;求函数的最值,一定要注意导数为0的根与定义域的关系.。
绵阳市民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+3)=f (x ),当0<x ≤1时,f (x )=2x ,则f (2015)=( )A .2B .﹣2C .﹣D .2. 设x ,y ∈R ,且满足,则x+y=( )A .1B .2C .3D .43.=( )A .﹣iB .iC .1+iD .1﹣i4. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,a=5,b=4,cosC=,则△ABC 的面积是( ) A .16B .6C .4D .85. 设函数()()21xf x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数,使得()0f t <,则的取值范围是( ) A .3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B .33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C .33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D .3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111]6. 函数y=a 1﹣x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny ﹣1=0(mn >0)上,则的最小值为( ) A .3 B .4C .5D .67. 若P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆=1(a >b >0)上的一点,且=0,tan ∠PF 1F 2=,则此椭圆的离心率为( )A .B .C .D .8. A={x|x <1},B={x|x <﹣2或x >0},则A ∩B=( )A .(0,1)B .(﹣∞,﹣2)C .(﹣2,0)D .(﹣∞,﹣2)∪(0,1)9. 下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( ) A .y=x ﹣1 B .y=lnxC .y=x 3D .y=|x|10.设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中x k 的系数不可能是( )A .10B .40C .50D .80 11.下面的结构图,总经理的直接下属是( )A .总工程师和专家办公室B .开发部C .总工程师、专家办公室和开发部D .总工程师、专家办公室和所有七个部12.阅读如右图所示的程序框图,若输入0.45a =,则输出的k 值是( ) (A ) 3 ( B ) 4 (C ) 5 (D ) 6二、填空题13.已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点,且()f x 在32x = 处的导数302f ⎛⎫'<⎪⎝⎭,则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________. 14.如图,函数f (x )的图象为折线 AC B ,则不等式f (x )≥log 2(x+1)的解集是 .15.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为 .16.如果直线3ax+y﹣1=0与直线(1﹣2a)x+ay+1=0平行.那么a等于.17.下列命题:①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数;②若函数f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,函数f(x)在(a,b)上至少有一个零点;③数列{a n}为等差数列,设数列{a n}的前n项和为S n,S10>0,S11<0,S n最大值为S5;④在△ABC中,A>B的充要条件是cos2A<cos2B;⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强.其中正确命题的序号是(把所有正确命题的序号都写上).18.考察正三角形三边中点及3个顶点,从中任意选4个点,则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于.三、解答题19.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA﹣sinC(cosB+sinB)=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,且△ABC的面积为,求a,b的值.20.已知函数f(x)=ax2﹣2lnx.(Ⅰ)若f(x)在x=e处取得极值,求a的值;(Ⅱ)若x∈(0,e],求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设a>,g(x)=﹣5+ln,∃x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)﹣g(x2)|<9成立,求a的取值范围.21.(本题满分15分)设点P 是椭圆14:221=+y x C 上任意一点,过点P 作椭圆的切线,与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ,B 两点.(1)求证:PB PA =;(2)OAB ∆的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.22.2008年奥运会在中国举行,某商场预计2008年从1日起前x 个月,顾客对某种奥运商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是且x ≤12),该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )=150+2x ,(x ∈N*且x ≤12). (1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式;(2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?23.已知数列{a n }满足a 1=a ,a n+1=(n ∈N *).(1)求a 2,a 3,a 4;(2)猜测数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明.24.(本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,且60oABC ∠=,侧面PDC 为等边三角形,且与底面ABCD 垂直,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:PA ⊥DM ;(Ⅱ)求直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值.绵阳市民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1.【答案】B【解析】解:因为f(x+3)=f(x),函数f(x)的周期是3,所以f(2015)=f(3×672﹣1)=f(﹣1);又因为函数f(x)是定义R上的奇函数,当0<x≤1时,f(x)=2x,所以f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,即f(2015)=﹣2.故选:B.【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出f(2015)=f (3×672﹣1)=f(﹣1).2.【答案】D【解析】解:∵(x﹣2)3+2x+sin(x﹣2)=2,∴(x﹣2)3+2(x﹣2)+sin(x﹣2)=2﹣4=﹣2,∵(y﹣2)3+2y+sin(y﹣2)=6,∴(y﹣2)3+2(y﹣2)+sin(y﹣2)=6﹣4=2,设f(t)=t3+2t+sint,则f(t)为奇函数,且f'(t)=3t2+2+cost>0,即函数f(t)单调递增.由题意可知f(x﹣2)=﹣2,f(y﹣2)=2,即f(x﹣2)+f(y﹣2)=2﹣2=0,即f(x﹣2)=﹣f(y﹣2)=f(2﹣y),∵函数f(t)单调递增∴x﹣2=2﹣y,即x+y=4,故选:D.【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用条件构造函数f(t)是解决本题的关键,综合考查了函数的性质.3.【答案】B【解析】解:===i.故选:B .【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.4. 【答案】D【解析】解:∵a=5,b=4,cosC=,可得:sinC==,∴S △ABC =absinC==8.故选:D .5. 【答案】D 【解析】考点:函数导数与不等式.1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用,涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,xg x e x h x ax a =-=-,将题意中的“存在唯一整数,使得()g t 在直线()h x 的下方”,转化为存在唯一的整数,使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值,由此可求得m 的取值范围.6. 【答案】B【解析】解:函数y=a 1﹣x(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (1,1), ∵点A 在直线mx+ny ﹣1=0(mn >0)上, ∴m+n=1.则=(m+n )=2+=4,当且仅当m=n=时取等号.故选:B .【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质,属于基础题.7. 【答案】A【解析】解:∵∴,即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形.∵Rt△PF1F2中,,∴=,设PF2=t,则PF1=2t∴=2c,又∵根据椭圆的定义,得2a=PF1+PF2=3t∴此椭圆的离心率为e====故选A【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题.8.【答案】D【解析】解:∵A=(﹣∞,1),B=(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞),∴A∩B=(﹣∞,﹣2)∪(0,1),故选:D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.9.【答案】D【解析】解:选项A:y=在(0,+∞)上单调递减,不正确;选项B:定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故y=lnx为非奇非偶函数,不正确;选项C:记f(x)=x3,∵f(﹣x)=(﹣x)3=﹣x3,∴f(﹣x)=﹣f(x),故f(x)是奇函数,又∵y=x3区间(0,+∞)上单调递增,符合条件,正确;选项D:记f(x)=|x|,∵f(﹣x)=|﹣x|=|x|,∴f(x)≠﹣f(x),故y=|x|不是奇函数,不正确.故选D10.【答案】 C【解析】二项式定理.【专题】计算题.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数,将k 的值代入求出各种情况的系数.【解答】解:(x+2)5的展开式中x k 的系数为C 5k 25﹣k当k ﹣1时,C 5k 25﹣k =C 5124=80, 当k=2时,C 5k 25﹣k =C 5223=80, 当k=3时,C 5k 25﹣k =C 5322=40, 当k=4时,C 5k 25﹣k =C 54×2=10, 当k=5时,C 5k 25﹣k =C 55=1,故展开式中x k的系数不可能是50故选项为C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数. 11.【答案】C【解析】解:按照结构图的表示一目了然, 就是总工程师、专家办公室和开发部. 读结构图的顺序是按照从上到下,从左到右的顺序.故选C .【点评】本题是一个已知结构图,通过解读各部分从而得到系统具有的功能,在解读时,要从大的部分读起,一般而言,是从左到右,从上到下的过程解读.12.【答案】 D.【解析】该程序框图计算的是数列前n 项和,其中数列通项为()()12121n a n n =-+()()11111113352121221n S n n n ⎡⎤∴=+++=-⎢⎥⨯⨯-++⎣⎦90.452n S n n >∴>∴最小值为5时满足0.45n S >,由程序框图可得k 值是6. 故选D . 二、填空题13.【答案】12【解析】考点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式.【思路点晴】本题主要考查两个知识点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式.三角函数的极值点,也就是最大值、最小值的位置,所以两个极值点之间为半周期,由此求得周期和ω,再结合极值点的导数等于零,可求出ϕ.在求ϕ的过程中,由于题目没有给定它的取值范围,需要用302f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭来验证.求出()f x 表达式后,就可以求出13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.114.【答案】 (﹣1,1] .【解析】解:在同一坐标系中画出函数f (x )和函数y=log 2(x+1)的图象,如图所示:由图可得不等式f (x )≥log 2(x+1)的解集是:(﹣1,1],. 故答案为:(﹣1,1]15.【答案】 3+ .【解析】解:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式. 前n ﹣1行共有正整数1+2+…+(n ﹣1)个,即个,因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个,即为3+.故答案为:3+.16.【答案】.【解析】解:∵直线3ax+y﹣1=0与直线(1﹣2a)x+ay+1=0平行,∴3aa=1(1﹣2a),解得a=﹣1或a=,经检验当a=﹣1时,两直线重合,应舍去故答案为:.【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.17.【答案】②③④⑤【解析】解:①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数,不正确,取x=,,但是,,因此不是单调递增函数;②若函数f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,函数f(x)在(a,b)上至少有一个零点,正确;③数列{a n}为等差数列,设数列{a n}的前n项和为S n,S10>0,S11<0,∴=5(a6+a5)>0,=11a6<0,∴a5+a6>0,a6<0,∴a5>0.因此S n最大值为S5,正确;④在△ABC中,cos2A﹣cos2B=﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2sin(A+B)sin(B﹣A)<0⇔A>B,因此正确;⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强,正确.其中正确命题的序号是②③④⑤.【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析,考查了推理能力与计算能力,属于难题.18.【答案】.【解析】解:从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个,共有=15种选法,其中4个点构成平行四边形的选法有3个,∴4个点构成平行四边形的概率P==.故答案为:.【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,是基础题.确定基本事件的个数是关键.三、解答题19.【答案】【解析】(本题满分为12分)解:(1)∵由题意得,sinA=sin(B+C),∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0,…(2分)即sinB(cosC﹣sinC)=0,∵sinB≠0,∴tanC=,故C=.…(6分)(2)∵ab×=,∴ab=4,①又c=2,…(8分)∴a2+b2﹣2ab×=4,∴a2+b2=8.②∴由①②,解得a=2,b=2.…(12分)【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.20.【答案】【解析】解:(Ⅰ)f′(x)=2ax﹣=由已知f′(e)=2ae﹣=0,解得a=.经检验,a=符合题意.(Ⅱ)1)当a≤0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减函数.2)当a>0时,①若<e,即,则f(x)在(0,)上是减函数,在(,e]上是增函数;②若≥e,即0<a≤,则f(x)在[0,e]上是减函数.综上所述,当a≤时,f(x)的减区间是(0,e],当a>时,f(x)的减区间是,增区间是.(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知f(x)的最小值是f()=1+lna;易知g(x)在(0,e]上的最大值是g(e)=﹣4﹣lna;注意到(1+lna)﹣(﹣4﹣lna)=5+2lna>0,故由题设知,解得<a<e2.故a的取值范围是(,e2)21.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.PA ;…………7分∴点P为线段AB中点,PB(2)若直线AB 斜率不存在,则2:±=x AB ,与椭圆2C 方程联立可得,)1,2(2--±t A ,)1,2(2-±t B ,故122-=∆t S OAB ,…………9分若直线AB 斜率存在,由(1)可得148221+-=+k km x x ,144422221+-=k t m x x ,141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ,…………11分 点O 到直线AB 的距离2221141kk km d ++=+=,…………13分∴12212-=⋅=∆t d AB S OAB ,综上,OAB ∆的面积为定值122-t .…………15分 22.【答案】【解析】解:(1)当x=1时,f (1)=p (1)=37.当2≤x ≤12时,且x ≤12)验证x=1符合f (x )=﹣3x 2+40x ,∴f (x )=﹣3x 2+40x (x ∈N*且x ≤12).该商场预计销售该商品的月利润为g (x )=(﹣3x 2+40x )(185﹣150﹣2x )=6x 3﹣185x 2+1400x ,(x ∈N*且x ≤12),令h (x )=6x 3﹣185x 2+1400x (1≤x ≤12),h'(x )=18x 2﹣370x+1400,令h'(x )=0,解得(舍去).>0;当5<x ≤12时,h'(x )<0.∴当x=5时,h (x )取最大值h (5)=3125.max =g (5)=3125(元).综上,5月份的月利润最大是3125元.【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识.新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中,如何建模是解决这类问题的关键.同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题.23.【答案】【解析】解:(1)由a n+1=,可得a 2==,a 3===,a 4===.(2)猜测a n=(n ∈N *).下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,左边=a 1=a , 右边==a ,猜测成立.②假设当n=k (k ∈N *)时猜测成立,即a k=.则当n=k+1时,a k+1====.故当n=k+1时,猜测也成立. 由①,②可知,对任意n ∈N *都有a n=成立.24.【答案】【解析】由底面ABCD 为菱形且60oABC ∠=,∴ABC ∆,ADC ∆是等边三角形, 取DC 中点O ,有,OA DC OP DC ⊥⊥,∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角, ∴90oPOA ∠=.分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系如图,则(0,1,0),(0,1,0)A P D B C -. …… 3分(Ⅰ)由M 为PB 中点,(22M ∴3(2DM =(3,0,3),PA =-0),0,DC PA DM PA DC =∴== ∴ PA ⊥DM …… 6分(Ⅱ)由(0,2,0)DC =,0PA DC ⋅=,∴PA ⊥DC , ∴ 平面DCM 的法向量可取(3,0,PA = …… (0,1,PC =, 设直线PC 与平面DCM 所成角为θ则sin |cos ,|||||||6PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===.即直线PC与平面DCM.……12分。
绵阳市第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 数列1,,,,,,,,,,…的前100项的和等于( )A .B .C .D .2. 下列说法正确的是( )A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形;B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体;C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥;D.通过圆台侧面上的一点,有无数条母线.3. 下列计算正确的是( )A 、2133x x x ÷= B 、4554()x x = C 、4554x x x = D 、44550x x -=4. 函数的最小正周期不大于2,则正整数k 的最小值应该是( )A .10B .11C .12D .135. 设n S 是等比数列{}n a 的前项和,425S S =,则此数列的公比q =( )A .-2或-1B .1或2 C.1±或2 D .2±或-1 6. 已知函数f (x )=lg (1﹣x )的值域为(﹣∞,1],则函数f (x )的定义域为( ) A .[﹣9,+∞) B .[0,+∞)C .(﹣9,1)D .[﹣9,1)7. 已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则tan α=( )A .B .C .D .8. 若某算法框图如图所示,则输出的结果为( )A.7 B.15 C.31 D.63N ,则输出的S的值是()9.在下面程序框图中,输入44A.251B.253C.255D.260【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以4后按余数分类. 10.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标系是( )。
ABCD11.执行如图所示的程序框图,若输入的分别为0,1,则输出的()A.4 B.16 C.27 D.3612.设f(x)=e x+x﹣4,则函数f(x)的零点所在区间为()A.(﹣1,0)B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)二、填空题13.阅读右侧程序框图,输出的结果i的值为.14.已知点A的坐标为(﹣1,0),点B是圆心为C的圆(x﹣1)2+y2=16上一动点,线段AB的垂直平分线交BC与点M,则动点M的轨迹方程为.15.已知z,ω为复数,i为虚数单位,(1+3i)z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,则复数ω=.16.已知奇函数f(x)的定义域为[﹣2,2],且在定义域上单调递减,则满足不等式f(1﹣m)+f(1﹣2m)<0的实数m的取值范围是.17.设向量=(1,﹣3),=(﹣2,4),=(﹣1,﹣2),若表示向量4,4﹣2,2(﹣),的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量的坐标是.18.已知随机变量ξ﹣N(2,σ2),若P(ξ>4)=0.4,则P(ξ>0)=.三、解答题19.设函数,若对于任意x∈[﹣1,2]都有f(x)<m成立,求实数m的取值范围.20.如图,点A是以线段BC为直径的圆O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF;(2)求证:PA是圆O的切线.21.求下列各式的值(不使用计算器):(1);(2)lg2+lg5﹣log 21+log 39.22.在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=1﹣,b n =,其中n ∈N *.(1)求证:数列{b n }为等差数列;(2)设c n =b n+1•(),数列{c n }的前n 项和为T n ,求T n ;(3)证明:1+++…+≤2﹣1(n ∈N *)23.(本小题满分16分)给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- (1)若()f x 在1=x 处取最值.求的值;(2)若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减,求实数的取值范围; (3)试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数,并说明理由.24.设函数f(x)=e mx+x2﹣mx.(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x1,x2∈,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.绵阳市第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题1.【答案】A【解析】解:=1×故选A.2.【答案】C【解析】考点:几何体的结构特征.3.【答案】B【解析】试题分析:根据()a aβααβ⋅=可知,B正确。
绵阳市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入a =6 102,b =2 016时,输出的a 为( )A .6B .9C .12D .182. 已知命题p :2≤2,命题q :∃x 0∈R ,使得x 02+2x 0+2=0,则下列命题是真命题的是( ) A .¬p B .¬p ∨qC .p ∧qD .p ∨q3. 某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信 息,可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为( )A .20,2B .24,4C .25,2D .25,44. 函数f (x )=lnx ﹣的零点所在的大致区间是( )A .(1,2)B .(2,3)C .(1,)D .(e ,+∞)5. 将函数x x f ωsin )(=(其中0>ω)的图象向右平移4π个单位长度,所得的图象经过点 )0,43(π,则ω的最小值是( ) A .31 B . C .35D .6. 已知三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则=( )A .﹣1B .2C .﹣5D .﹣37. 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形,则该四棱锥的体积为( )A .24B .80C .64D .2408. 已知集合A ,B ,C 中,A ⊆B ,A ⊆C ,若B={0,1,2,3},C={0,2,4},则A 的子集最多有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个9. 已知△ABC 是锐角三角形,则点P (cosC ﹣sinA ,sinA ﹣cosB )在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限10.设集合A={x|2x ≤4},集合B={x|y=lg (x ﹣1)},则A ∩B 等于( ) A .(1,2) B .[1,2] C .[1,2) D .(1,2]11.设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长},则A 所表示的平面区域是( )A .B .C .D . 12.抛物线x=﹣4y 2的准线方程为( )A .y=1B .y=C .x=1D .x=二、填空题13.已知条件p :{x||x ﹣a|<3},条件q :{x|x 2﹣2x ﹣3<0},且q 是p 的充分不必要条件,则a 的取值范围是 .14.如图,一船以每小时20km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向,行驶4小时后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔间的距离为 km .15.已知f (x )=,则f (﹣)+f ()等于 .16.设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ,令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ,都有1[]x x x -<≤恒成立; ②若(1,3)x ∈,则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-;③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(n N *∈),则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -;④当0100x ≤≤时,函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ,函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ,则100m n +=.其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的编号)【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳,同时又是新定义题,应熟悉理解新定义,将问题转化为已知去解决,属于中档题。
2018年11月绵阳南山中学2018年秋季高2018级半期考试数学试题(理科)本试卷分试题卷和答题卡两部分,其中试题卷由第I 卷(选择题)和第u 卷 (非选择题)两部分组成,共 4页;答题卡共4页.满分100分,考试时间100 分钟.第I 卷(选择题,共48分)注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上 一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求的.1、 抛物线x 2 =8y 的焦点F 的坐标是 () A 、(-2,0) B 、(2,0) C 、(0, -2) D 、(0,2)2、 已知直线ax ・2y -1=0与直线(a-4)x - ay T =0垂直,则实数 a 的值为()A 、0B 、-4 或 2C 、0 或 6D 、-43、 已知等差数列 订鳥中,a 7 a 9 =16,其前n 项和为S n ,则乂二() A 、240 B 、120 C 、80 D 、不确定4、 过点A (3, -1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有() A 、2条 B 、3条C 、4条D 、无数多条 C 、“5 6、若圆C 的方程为(x -3)2 • (y -2)2 =4,直线l 的方程为x - y • 1=0,则圆C 关 于直线丨对称的圆的方程为 ()命题人:李庆普审题人:蔡晓军5、已知椭圆意一点到其两个焦点的距离之和为20,则椭圆的离心率 e 的值为 且椭圆上任 () 10 A 、(x 1)2 (y 4)2 =4 B 、(x-1)22 a b 2 x 2=1(a b 0)与双曲线 - 16=1的焦点相同,2 2 5 7、已知双曲线C:当-笃=1(a . 0,b . 0)的离心率为二,则双曲线C 的渐近线方程 b y 」 4 」X 32 10、椭圆 — y^1的焦点为F 1、 4 上,那么IPF 1I 是|PF 2 I 的 () A 、3倍 B 、4倍 C 、5倍 D 、7倍 2 2 X y 11、已知F 1、F 2是双曲线C:二 2 =1(a 0,b 0)的左、右焦点,过点 R 且垂直 a b 于X 轴的直线交双曲线 C 于P 、Q 两点,若.F 2PQ 为正三角形,则双曲线 C 的离 心率e 的值为 () A 、3 B 、212、已知抛物线C 的方程为y 2=2px(p0), 一条长度为4 p 的线段AB 的两个端点A 、B 在抛物线C 上运动,则线段 AB 的中点D 到y 轴距离的最小值为 5 5A 、 2 pB 、 p 2第H 卷(非选择题,共52分) C 、(X —4)2 (y_1)2 =4 D 、(X 4)2 (y 1)2 =4 y 」x 2 &已知圆C ! : x 2 y 2 的条数为 2 2 =4 和圆 C 2 : X y -6X 8y 1^ 0,则这两个圆的公切线 () 9、已知等比数列 N {中,a 4 =2,a 7 ^16,则数列Uog 2a^?的前10项和为 () A 、27 B 、26 C 、25 D 、24 C 、3D、 、、5 F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴x2y13、已知R,F2是椭圆2\ =1(a . b . 0)的两个焦点,P为椭圆上任意一点,且a bPF| PF? =0.若cPRF?的面积为9,则b =___________ .14、已知直线ax y 0与圆心为C的圆(x - 2)2 (y - a)2 = 9相交于A、B两点,且;ABC为等边三角形,则实数a二15、已知等差数列:an 1的公差d 0,S n为其前n项的和.若S^ =S io,则数列:aj的前n和S n取得最小值时,n的值为16、给出下列命题:①直线x •3y -1=0的倾斜角是—:②已知过抛物线32C : y =2px(p 0)的焦点F的直线与抛物线C交于A(%,y1),B(x?,y?)两点,2 2 2则有X1X2二丄,y°2二-p2;③已知F1、F?为双曲线C :笃y2= 1的左、右焦4 a b点,点P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,贝y .PF1F2的内心I始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为三、解答题:本大题共4小题,每小题10分,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(本题满分10分)已知一圆经过点A(3,1) , B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2 = 0上.(1)求此圆的方程;(2)若点D为所求圆上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.18、(本题满分10分)已知数列:a n/的前n项和为S n,且S n=2 n2• n , n・N*,数列 g 满足a^4log?b n 3, n N*.(1)求a n, b n的表达式;(2)求数列:a n b n』的前n项和T n .19、(本题满分10分)、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分.|AB| P 3p -2 2,当且仅当AT 三点共线时,等号成立.、填空题: 本大题共4小题,每小题3分,共12分.13、3 14 、4—15 、7 16 16、解答: ③设L PF J F ?的内切圆与边F 1F 2、PF 2、PF 1分别相切于点 D 、E 、F 三点,贝U x I = x D = |OF 2|-|DF 2|=|OF 2H F 2EFc-|PF 2| |PE|= C-|PF 2| |PF| = c-|PF 2| |PF 1|-|FF 1|=c 2aT F 1D |=c 2a 「(c x D ) =2a 「x D =2ap(2)若 ABC 的三个顶点都在(1 )所确定的抛物线G 上,且点A 的纵坐标y A =8 ,ABC 的重心恰是抛物线 G 的焦点F , 求直线BC 的方程.20、(本题满分10 分)x 2 y 2 1已知椭圆E : —2 2 =1 (a b 0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e . a b 2过F 1的直线交椭圆于 A 、B 两点,且.ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线I : y 二kx • m 与椭圆E 有且只有一个公共点 P ,且与直线x = 4相交于 点Q .求证:以PQ 为直径的圆恒过一定点 M .并求出点M 的坐标.绵阳南山中学2018年秋季高2018级半期考试数学试题参考答案及评分标准A 、B 、D 1 ,则点D 到y 轴的距离等于|DD 1|-牛号1AF| |BF| p、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分. Ai ^— _■— 12题解答:如图所示,设线段 AB 的中点为D ,分别过点A 、B 、D 作抛物线的准线的垂线,垂足分别为Bi ----------D AF所以X I 二a ,故点I 在过双曲线右支的顶点 (a,0)且与x 轴垂直的直线上三、解答题:本大题共4小题,每小题10分,共40分.17、(本题满分10分)解:(1)法一:由已知可设圆心 N (a,3a_2),又由已知得|NA|=|NB|,从而有解得:y y 1 05 22 5消去参数:.得:(X- ) ,(y_2)二.故所求的轨迹方程为 2 2 55 (X )2 (y -2)2 .……(10分) 2 218、(本题满分10分)解:(1): Sn =2n • n,n • N ,•••当 n =1 时,a 1=51=3. .. ( 1 分) 当 n —2时,a n 二S n —S n 」=2n 2 n -[2(n-1)2 (n -1)] =4n —1.•「n 二1 时,a^ =3满足上式,• a n =4n -1, n • N • ... ( 3 分) 又 a n =4log 2b n 3,n N *, • 4n -1 =4log 2b n 3,解得:b n =2n 」•故 a n = 4 n -1, , b n = 2n 」,nN . ... ( 5 分) (2)••• a n =4n —1,, b n -2n J , n N *•- T n 二印鸟 a 2b 2 川 a 》=320 7 21 川(4n-5) 2^ (4n-1) 2n ,…① 2T n =3 21 7 22 II 丨(4n _5) 2心(4n-1)2n …② ……(7 分) 由①-②得:-T n =3 4 21 4 22 川 4 2nJ -(4n — 1) 2n=3 4 ——)-(4n-1) 2n=(5-4n ) 2n -5……(9 分) 1-2 5 5 故所求的轨迹方程为(x )2・(y-2)2 . ……(10 分) 法二:设M(x,y),又点D 是圆N :(x-2)2 • (y -4)2 =10上任意一点,可设D(2 . 10cos : ,4 10sin :). ……(6 分)19、解: 2 a(1 )•••抛物线G : y =ax(a 0)的焦点在x 轴上,且其坐标为(才0) (2分)•- T n =(4n-5) 25 , n N . ……(10分) 对方程 y=2x-16,令 y=0得:X =8.(3分)••• C(3,0),点M 是线段CD 的中点,.••有 (8 分)3 2川*10 cos :20 A - ..10sin :2a从而由已知得8, a =32.4(4分)(2)由(1)知:抛物线G的方程是y2=32x, F(8,0).又•••点A 在抛物线G 上,且y A =8 , ••• A(2). ……(5 分) 延长AF 交BC 于点D ,则由点F 是:ABC 的重心得:点D 为线段BC 的中点. 设点 D(x,y),则由 AF =2FD 得:(8 一2,0 一8) = 2(x 一8, y 一0),解之得: x"1 . [y = -4 • D(11, -4) ……(7 分) 2 I y 1 = 32 X i 设B(x 1,y 1),C(x 2, y 2),则由点B,C 在抛物线y 2 =32x 上得: 2 ,两式相减得: ! y 2 32x 2 " y 1 (y-i y 2) =32,又由点D 为线段BC 的中点得% • y 2 - -8, k BC - -4. …… X 2 - X 1 (9分) •直线 BC 的方程为 y - (-4) = _4(x -11),即 4x y - 40 = 0. ……(10 分) 20、解:(1 )v | AB | | AF 2 | |BF 2|=8,即 |AF 1 | | BF 1 | | AF 2 | | BF 2 ^8. 又 |AF 11 | AF 2|=|BF 1 | | BF 2 h2a ,所以 4a = 8,a = 2. ……(2分) 又因为e =;,即: = ;,所以c",所以b = 2 2 故椭圆E 的方程为—=1.4 3y 二 kx mx 2 y 2 消去 y 得(4k 2+3)x 2+8kmx 十4m 2-12=0. .4 3 _因为动直线I 与椭圆E 有且只有一个公共点 P(x 0, y 0),64k 2m 2 -4(4k 2 3)(4m 2 -12) =0,化简得 4k 2 -m 23=0. (*) (6分)4 km 4k ,丄 3此时《一产二-启,y °g 心匚,所以 P (-巡丄 m m由 x 一4得Q(4, 4k m) y = kx m (7 分)4k 3从而以线段PQ 为直径的圆的方程满足 (x-4, y-4k-m) (x , y ) = 0,化简得 m m x 2 4(k 「1)x y 2「(4k m 3)y 3-坐=0. m m m (8 分) (4分) (2 )法一:由* 所以m = 0,且几=0,即、.,(a -3) (3a -2 -1) (a 1) (3a 「2 -3),解得:a = 2.……(2 分) 于是圆N 的圆心N (2, 4),半径r = . (a -3)2 (3a -2 -1)2「10 .……(4分) 所以,圆N 的方程为(x-2)2 • (y-4)2 =10. ……(5 分)3 —11 法二:••• A(3,1), B( -1,3), k AB,线段 AB 的中点坐标为(1,2), ……(1 一1 一3 2分) 从而线段AB 的垂直平分线的斜率为 2,方程为y — 2=2(x-1)即2x - y = 0……(2分)f 2x —■ y = 01 x =2 由方程组 解得 , 由对称性知,点M 必在x 轴上•而当y =0时,x 24( k 1)x 3 4k = 0,易得x = 1,此 m m 式恒成立. 故命题成立•定点坐标为M (1,0) • (10 分) y kx m 法二:由 x 2 y 2 消去 y 得(4k 2 3)x 2 8kmx 4m 2-12 = 0・因为动直线I 与椭圆E 有且只有一个公共点 P(x 0, y 0), 所以m = 0,且代=0,即 2 2 2 2 2 2 64k 2m 2 -4(4k 2 3)(4m 2 -12) = 0,化简得 4k -m -3=0. (*) (6分) 4 km 4k , 3 此时x o 2 , y^ kx o m ,所以 4k +3 m m P^4k ,- m m由!x =4 得 Q (4, 4k+m ) y 二 kx m (7 分) 因为存在定点 M 满足条件,由图形对称性知:点 M 必在x 轴上•取k =0,m =、3, 此时P(0,'、.3),Q(4,\3),以PQ 为直径的圆的方程为(x-2)2 • (y -、..3)2 =4,交X 轴于 1 3 M 1(1,0), M 2(3,0);取 k = -2,口=2,此时 P(1,2),Q(4,0),以 PQ 为直径的圆的方程为 5 2 3 2 45 (x -刁)•(y -才)=16,交x 轴于点M 3(1O ), M 4(4,0).所以满足条件的点存在, 其必为 (1,0).(8 分) F 面证明点M (1,0)满足条件• 3),MQ =(3,4k m ),所以 M7 M5 = 4k 因为 MP =■( 1, m m L ; MP _MQ ,故点M(1,0)恒在以线段PQ 为直径的圆上• 咚!<-33=0,故 m m恒有MP - (10 分)(2)法一:设M(x, y),D(X1,yJ,则由C(3,0)及M为线段CD的中点得:X1 3% = 2x - 3. ……(7分)y^2y又点D 在圆N :(x -2)2• (y-4)2 =10上,所以有(2x-3-2)2• (2y-4)2 =10,化简得: (X-?)2(y-2)2石. ……(9 分)。
绵阳市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1.已知复数z满足zi=1﹣i,(i为虚数单位),则|z|=()A.1 B.2 C.3 D.2.设m、n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;④若α⊥β,m⊥β,则m∥α;其中正确命题的序号是()A.①②③④B.①②③ C.②④D.①③3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为()A.B.C.D.4.“x≠0”是“x>0”是的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.下列命题中正确的是()A.若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p∧q”为真命题B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x≠0”C.“”是“”的充分不必要条件D.命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“”6.如果执行右面的框图,输入N=5,则输出的数等于()A .B .C .D .7. 已知全集U=R ,集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn )图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )A .3个B .2个C .1个D .无穷多个8. 已知集合{2,1,1,2,4}A =--,2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈,则A B = ( ) A .{2,1,1}-- B .{1,1,2}- C .{1,1}- D .{2,1}-- 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力.9. 设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中x k 的系数不可能是( )A .10B .40C .50D .8010.如图,半圆的直径AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则的最小值为( )A .B .9C .D .﹣911.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E 为底面ABCD 上的动点.若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大,则E 点位于( )A .点A 处B .线段AD 的中点处C .线段AB 的中点处D .点D 处12.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数,则k 的取值范围是( ) A .(][),4064,-∞+∞ B .[40,64] C .(],40-∞ D .[)64,+∞二、填空题13.【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2f x ax bx c =++(,,a b c 为常数)的导函数为()f x ',对任意x R ∈,不等式()()f x f x ≥'恒成立,则222b ac +的最大值为__________.14.若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-,则m =__________.【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查逆向思维能力、方程思想.15.设O 为坐标原点,抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,焦点为F ,过F 斜率为的直线与抛物线C相交于A ,B 两点,直线AO 与l 相交于D ,若|AF|>|BF|,则= .16.不等式的解集为 .17.设集合A={﹣3,0,1},B={t 2﹣t+1}.若A ∪B=A ,则t= .18.【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与函数()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切(其中a 为常数),切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ,则12x x +的值为__________. 三、解答题19.已知函数f (x )=sinx ﹣2sin 2(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[0,]上的最小值.20.已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2(n ∈N *),若{a n }为等比数列,且a 1=2,b 3=3+b 2.(1)求a n 和b n ;(2)设c n =(n ∈N *),记数列{c n }的前n 项和为S n ,求S n .21.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,111,A A AB CB A ABB =⊥. (1)求证:1AB ⊥平面1A BC ;(2)若15,3,60AC BC A AB ==∠= ,求三棱锥1C AA B -的体积.22.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ,DE ⊥AC ,交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F . (1)求证:DE 是⊙O 的切线.(2)若,求的值.23.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.(1)若x=5,其中能被5整除的共有多少个?(2)若x=9,其中能被3整除的共有多少个?(3)若x=0,其中的偶数共有多少个?(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252,求x.24.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,,E,F分别是A1C1,AB的中点.(I)求证:平面BCE⊥平面A1ABB1;(II)求证:EF∥平面B1BCC1;(III)求四棱锥B﹣A1ACC1的体积.绵阳市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1.【答案】D【解析】解:∵复数z满足zi=1﹣i,(i为虚数单位),∴z==﹣i﹣1,∴|z|==.故选:D.【点评】本题考查了复数的化简与运算问题,是基础题目.2.【答案】B【解析】解:由m、n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面:在①中:若m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得m⊥n,故①正确;在②中:若α∥β,β∥γ,则α∥γ,∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ,故②正确;在③中:若m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n,故③正确;在④中:若α⊥β,m⊥β,则m∥α或m⊂α,故④错误.故选:B.3.【答案】C【解析】解:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为1,故外接球半径为,外接球的体积为,故选C.【点评】本题考查球的内接多面体,球的体积等知识,考查逻辑思维能力,是中档题.4.【答案】B【解析】解:当x=﹣1时,满足x≠0,但x>0不成立.当x>0时,一定有x≠0成立,∴“x≠0”是“x>0”是的必要不充分条件.故选:B.5.【答案】D【解析】解:若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p∧q”为假命题,故A不正确;命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy ≠0,则x ≠0”,故B 不正确;“”⇒“+2k π,或,k ∈Z ”,“”⇒“”,故“”是“”的必要不充分条件,故C 不正确;命题“∀x ∈R ,2x>0”的否定是“”,故D 正确.故选D .【点评】本题考查命题的真假判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答.6. 【答案】D【解析】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出S=的值.∵S==1﹣=故选D .7. 【答案】B【解析】解:根据题意,分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N , 又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3, 即M={x|﹣1≤x ≤3}, 在此范围内的奇数有1和3.所以集合M ∩N={1,3}共有2个元素, 故选B .8. 【答案】C【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时,2log ||1{1,1,0}y x =-∈-,所以A B = {1,1}-,故选C . 9. 【答案】 C【解析】 二项式定理. 【专题】计算题.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数,将k 的值代入求出各种情况的系数.【解答】解:(x+2)5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k当k﹣1时,C5k25﹣k=C5124=80,当k=2时,C5k25﹣k=C5223=80,当k=3时,C5k25﹣k=C5322=40,当k=4时,C5k25﹣k=C54×2=10,当k=5时,C5k25﹣k=C55=1,故展开式中x k的系数不可能是50故选项为C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数.10.【答案】C【解析】解:∵圆心O是直径AB的中点,∴+=2所以=2•,∵与共线且方向相反∴当大小相等时点乘积最小.由条件知当PO=PC=时,最小值为﹣2×=﹣故选C【点评】本题考查了向量在几何中的应用,结合图形分析是解决问题的关键.11.【答案】A【解析】解:如图,E为底面ABCD上的动点,连接BE,CE,D1E,对三棱锥B﹣D1EC,无论E在底面ABCD上的何位置,面BCD1的面积为定值,要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大,则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大,而当E与A重合时,三侧面的面积均最大,∴E点位于点A处时,三棱锥B﹣D1EC的表面积最大.故选:A.【点评】本题考查了空间几何体的表面积,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.12.【答案】A 【解析】试题分析:根据()248f x x kx =--可知,函数图象为开口向上的抛物线,对称轴为8kx =,所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数,则应满足:58k ≤或88k≥,所以40k ≤或64k ≥。
故选A 。
考点:二次函数的图象及性质(单调性)。
二、填空题13.【答案】2【解析】试题分析:根据题意易得:()'2f x ax b =+,由()()'f x f x ≥得:()220ax b a x c b +-+-≥在R上恒成立,等价于:0{ 0a >≤ ,可解得:()22444b ac a a c a ≤-=-,则:222222241441c b ac a aa c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭,令1,(0)c t t a =->,24422222t y t t t t==≤=++++,故222b a c +的最大值为2. 考点:1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 14.【答案】2-【解析】由题意,得336160C m =-,即38m =-,所以2m =-.15.【答案】.【解析】解:∵O 为坐标原点,抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,焦点为F , 过F斜率为的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,直线AO与l相交于D,∴直线AB的方程为y=(x﹣),l的方程为x=﹣,联立,解得A(﹣,P),B(,﹣)∴直线OA的方程为:y=,联立,解得D(﹣,﹣)∴|BD|==,∵|OF|=,∴==.故答案为:.【点评】本题考查两条件线段的比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握抛物线的简单性质.16.【答案】(0,1].【解析】解:不等式,即,求得0<x≤1,故答案为:(0,1].【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法,属于基础题.17.【答案】0或1.【解析】解:由A∪B=A知B⊆A,∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0,①无解或t2﹣t+1=0②,②无解或t2﹣t+1=1,t2﹣t=0,解得t=0或t=1.故答案为0或1.【点评】本题考查集合运算及基本关系,掌握好概念是基础.正确的转化和计算是关键.18.【答案】56 27【解析】三、解答题19.【答案】【解析】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin (x+)﹣∴f (x )的最小正周期T==2π;(2)∵x ∈[0,],∴x+∈[,π],∴sin (x+)∈[0,1],即有:f (x )=2sin (x+)﹣∈[﹣,2﹣],∴可解得f (x )在区间[0,]上的最小值为:﹣.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.20.【答案】【解析】解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,∵数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2(n ∈N *),a 1=2,∴,,,∴b 1=1,=2q >0,=2q 2,又b 3=3+b 2.∴23=2q 2,解得q=2. ∴a n =2n.∴=a 1•a 2•a 3…a n =2×22×…×2n =,∴.(2)c n ===﹣=,∴数列{c n }的前n 项和为S n =﹣+…+=﹣2=﹣2+=﹣﹣1.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】试题分析:(1)有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥,再由菱形的性质可得11AB A B ⊥,进而有线面垂直的判定定理可得结论;(2)先证三角形1A AB 为正三角形,再由于勾股定理求得AB 的值,进而的三角形1A AB 的面积,又知三棱锥的高为3BC =,利用棱锥的体积公式可得结果.考点:1、线面垂直的判定定理;2、勾股定理及棱锥的体积公式. 22.【答案】【解析】(I )证明:连接OD ,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD ∥AE 又AE ⊥DE ∴DE ⊥OD ,又OD 为半径 ∴DE 是的⊙O 切线(II )解:过D 作DH ⊥AB 于H , 则有∠DOH=∠CAB设OD=5x ,则AB=10x ,OH=2x ,∴AH=7x 由△AED ≌△AHD 可得AE=AH=7x又由△AEF ∽△DOF 可得∴【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等,辅助线的做法,是解题关键,本题是难题.23.【答案】【解析】【专题】计算题;排列组合.【分析】(1)若x=5,根据题意,要求的三位数能被5整除,则5必须在末尾,在1、2、4三个数字中任选2个,放在前2位,由排列数公式计算可得答案;(2)若x=9,根据题意,要求的三位数能被3整除,则这三个数字为1、2、9或2、4、9,分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案;(3)若x=0,根据题意,要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为0或2或4,分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案;(4)分析易得x=0时不能满足题意,进而讨论x≠0时,先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数,进而可以计算出每个数字用了18次,则有252=18×(1+2+4+x),解可得x的值.【解答】解:(1)若x=5,则四个数字为1,2,4,5;又由要求的三位数能被5整除,则5必须在末尾,在1、2、4三个数字中任选2个,放在前2位,有A32=6种情况,即能被5整除的三位数共有6个;(2)若x=9,则四个数字为1,2,4,9;又由要求的三位数能被3整除,则这三个数字为1、2、9或2、4、9,取出的三个数字为1、2、9时,有A33=6种情况,取出的三个数字为2、4、9时,有A33=6种情况,则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数;(3)若x=0,则四个数字为1,2,4,0;又由要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为0或2或4,当末位是0时,在1、2、4三个数字中任选2个,放在前2位,有A32=6种情况,当末位是2或4时,有A21×A21×A21=8种情况,此时三位偶数一共有6+8=14个,(4)若x=0,可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数,即1、2、4、0四个数字最多出现18次,则所有这些三位数的各位数字之和最大为(1+2+4)×18=126,不合题意,故x=0不成立;当x≠0时,可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种,共用了24×3=72个数字,则每个数字用了=18次,则有252=18×(1+2+4+x),解可得x=7.【点评】本题考查排列知识,解题的关键是正确分类,合理运用排列知识求解,第(4)问注意分x为0与否两种情况讨论.24.【答案】【解析】(I)证明:在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以,BB1⊥BC.又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B,所以,BC⊥平面A1ABB1.因为BC⊂平面BCE,所以,平面BCE⊥平面A1ABB1.(II)证明:取BC的中点D,连接C1D,FD.因为E,F分别是A1C1,AB的中点,所以,FD∥AC且.因为AC∥A1C1且AC=A1C1,所以,FD∥EC1且FD=EC1.所以,四边形FDC1E是平行四边形.所以,EF∥C1D.又因为C1D⊂平面B1BCC1,EF⊄平面B1BCC1,所以,EF∥平面B1BCC1.(III)解:因为,AB⊥BC所以,.过点B作BG⊥AC于点G,则.因为,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1⊂平面A1ACC1所以,平面A1ACC1⊥底面ABC.所以,BG⊥平面A1ACC1.所以,四棱锥B﹣A1ACC1的体积.【点评】本题考查了线面平行,面面垂直的判定,线面垂直的性质,棱锥的体积计算,属于中档题.。