下载文档原格式
完全平方的公式
数学完全平方公式：
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
完全平方公式【概念】 【推导证明】 【典型例题】 【专项练习】 【相关链接】概念：完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。
222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
运用公式时应注意：①公式中的字母a ，b 可以是任意的代数式，②公式的结果应为三项，注意不要漏项和写错符号。
推导证明：方法一：（代数法）1两数和的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++2两数差的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+或(a -b )2=[a +(-b )]2=a 2+2⋅a ⋅(-b )+(-b )2=a 2-2ab +b 2即(a -b )2=a 2-2ab +b 2方法二：（几何法）a b a ba 2ababb 2说明：两数差的完全平方公式几何证法（略）典型例题：【例1】．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2【例2】．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2【例3】下列计算中，正确的有（）（1）(b-4c)2=b2-16c2（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（3）222 1124 a b a ab b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2解析：只有（3）是正确的（1）(b-4c)2=b2-16c2按平方差公式计算了，结果应为b2-8bc+16c2，（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2应该是两数差的完全平方公式，结果应为x2-4xyz+4y2z2（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 , 中间项应该为-8mn而不是-4mn，结果应为16m2-8mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2可以先将(-2a-b)2变形为[-（2a+b）]2=（2a+b)2, 所以结果为4a2+4ab+b2【例4】．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4【例5】．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
完全平方的12个公式完全平方是一种数学计算的方法，它可以帮助我们快速解决一些数学问题和计算。
它可以帮助我们快速计算一个数的平方。
完全平方有12种计算公式，它们分别是：1.平方根：平方根是所有完全平方计算的基础，它用来计算一个数的平方根，表达式为：√a = x。
2.除法法则：除法法则是一种简单的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a÷b = x，其中a和b都是完全平方数。
3.乘法法则：乘法法则是一种基本的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
4.加法法则：加法法则是一种有用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b = x，其中a和b都是完全平方数。
5.减法法则：减法法则是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a-b = x，其中a和b都是完全平方数。
6.指数规律：指数规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2 = x，其中a是完全平方数。
7.分数规律：分数规律是一种比较复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a/b = x，其中a和b都是完全平方数。
8.积分规律：积分规律是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
9.多项式规律：多项式规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：ax^2+bx+c=0，其中a,b,c都是完全平方数。
10.四平方和定理：四平方和定理是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b+c+d = x，其中a,b,c,d都是完全平方数。
11.指数公式：指数公式是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2+b^2+c^2 = x，其中a,b,c都是完全平方数。
乘法公式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2要注意等式的特点：（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）．A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2）C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2）解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．例２运用平方差公式计算：（１）（x2－y）（－y－x2）；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．解：（１）（x2－y）（－y－x2）＝（－y ＋x2）（－y－x2）＝(－y)2－（x2）2＝y2－x4；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）＝（a2－32）（a 2＋9）＝（a2－9）（a2＋9）＝a4－81 ．例３计算：（１）54.52－45.52；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．解：（１）54.52－45.52＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)＝100×9＝900 ；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)=(2x2+1)2-(3x)2=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1二、完全平方公式：(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a －b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）2＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2＝9a2 ＋ 30a ＋ 25（２）（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2＝（a－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．例２利用完全平方公式进行速算.(1)1012 (2)992解: (1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12=10201解: (2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12=9801例３计算：（１）992－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．解：（１）992－98×100＝（100－１）2－98×100＝1002－２×100＋１－9800＝10000 －200－9800＋１＝１；（２）49×51－2499＝（50－1）（50＋１）－2499＝2500－1－2499＝０．例４已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab．解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10所以a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2× 10＝ 44(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4× 10＝ 24 ．三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3)(x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6) (x2+x+1)(x2-x+1)解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] =(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1) -x2=x4+x2+12．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2；(2) a2+b2；解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×3=13(2) a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.在线测试选择题1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x)B、( a+b)(b- a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-83．(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是（）A、x2-4y2B、4y2- x2C、x2+4y2D、- x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
完全平方公式【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1.下列各式是完全平方式的是（）． A ．412+-x xB ．21x +C ．1++xy xD ．122-+x x举一反三：【变式】（2015春•临清市期末）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值是（ ） A ．﹣1 B ． 7 C ． 7或﹣1 D ． 5或12.分解因式：（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+．举一反三：【变式】分解因式：（1）29()12()4a b a b +-++； （2）222()()a a b c b c ++++；（3）21025a a --； （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-．3.分解因式：（1）2234162x y xy y ++；（2）4224168a a b b -+；（3）222(3)(1)x x x +--．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++． （2）22224()4()()x y x y x y +--+-． （3）2244x y xy --+； （4）322344x y x y xy ++； （5）()()2222221x x x x -+-+；4.分解因式：（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+； （3）2222216(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++． （2）22224()4()()x y x y x y +--+-．5.分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．举一反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.类型二、配方法6.（2015春•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求： （1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．举一反三：【变式】已知x 为任意有理数，则多项式x －1－142x 的值为（ ）． A ．一定为负数 B ．不可能为正数 C ．一定为正数 D ．可能为正数，负数或07.用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.类型三、完全平方公式的应用8.（2015春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．举一反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.【变式2】（2015春•萧山区期中）若（2015﹣x ）（2013﹣x ）=2014，则（2015﹣x ）2+（2013﹣x ）2= ．【基础练习】 一.选择题1. 将224144a a ++因式分解，结果为( ).A.()()188a a ++B.()()1212a a +-C.()212a +D.()212a -2．2()n m x y -是下列哪一个多项式分解的结果（ ）A ．22n m x y -B ．2n n m m x x y y -+C ．222n n m m x x y y -+D ．2n n m m x x y y -- 3. （2015•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a 2+b 2的值为（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 5D ．64. 如果222536a mab b ++可分解为()256a b -,那么m 的值为( ). A.30 B.－30 C.60 D.－60 5. 如果229x kxy y ++是一个完全平方公式，那么k 是（ ） A.6 B.－6 C.±6 Ｄ.18 6. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）A.2991x x -- B.2691y y -++ Ｃ.2169y y -- D.2931y y --二.填空题7. 若()22416-=+-x mx x ，那么________m =．8. 因式分解:()()225101a b a b -+-+＝____________. 9. 分解因式：214m m ---＝_____________. 10.（2015春•萧山区期末）将4x 2+1再加上一项，使它成为（a+b ）2的形式（这里a 、b 指代的是整式或分式），则可以添加的项是 ． 11. 分解因式：()()154a a +++ ＝_____________.12. （1）()()225=a a -+；（2）()()22412m mn -+=.13. 若13x x +=，求221x x+的值.14. （2015春•万州区期末）已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．15. 把()()3322x y x y x xy y +=+-+称为立方和公式，()()3322x y x y x xy y-=-++称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解: (1)38a +； (2)3271a -.【提高练习】 一.选择题1. 若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．－5 B ．7 C ．－1 D ．7或－1 2. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）①241a -；②214a a -++；③212x x +-；④()()21025x y x y +-++ A.0 B.1 C.2 D.3 3. 如果24a ab m --是一个完全平方公式，那么m 是（ ） A.2116b B.2116b - C.218b D. 218b -4. （2015•永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 5. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ） A.12 B.6 C.3 D.06. 若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A.0c ≥B. 9c ≥C. 0c >D. 9c >7.（1）21002100244-⨯+＝____________；（2）228001600798798-⨯+＝___________. 8. 因式分解:()222224m nm n +-＝_____________.9. 因式分解: 2221x x y ++-＝_____________.10. 若224250x y x y +-++=，x y +＝_____________.11. 当x 取__________时，多项式2610x x ++有最小值_____________. 12.（2015•宁波模拟）如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．三.解答题13.若44225a b a b ++=，2ab =，求22a b +的值. 14.（2015春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a ﹣）2；（3）a ﹣．15. 若三角形的三边长是a b c 、、，且满足2222220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵2222220a b c ab bc ++--=，∴2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=. 即()()220a b b c -+-= ∵()()22,0a b b c -≥-≥，∴,a b b c a b c ====即.∴该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题：已知： a b c 、、为三角形的三条边，且2220a b c ab bc ac ++---=，试判断三角形的形状.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】C ；【解析】2222()n n m m n m x x y y x y -+=-. 3. 【答案】C ；【解析】解：∵a+b=3，ab=2， ∴a 2+b 2=（a+b ）2﹣2ab =32﹣2×2 =5， 故选C .4. 【答案】D ；【解析】()22256256036a b a ab b -=-+.5. 【答案】C ；【解析】()22222229239693x kxy y x x y y x xy y x y ++=±⋅⋅+=±+=±.6. 【答案】B ；【解析】()2269131y y y -++=-.二.填空题7. 【答案】8；【解析】()224816x x x -=-+.8. 【答案】()2551a b -+；【解析】()()()()()222251015251551a b a b a b a b a b -+-+=-+⋅-+=-+⎡⎤⎣⎦.9. 【答案】212m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；【解析】222111442m m m m m ⎛⎫⎛⎫---=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10.【答案】4x ，﹣4x ，．【解析】解：①4x 2是平方项时，4x 2±4x+1=（2x ±1）2， 可加上的单项式可以是4x 或﹣4x ， ②当4x 2是乘积二倍项时，4x 4+4x 2+1=（2x 2+1）2，可加上的单项式可以是4x 4，③1是乘积二倍项时，，可加上的单项式可以是，故答案为：4x ，﹣4x ，．11.【答案】()23a +；【解析】()()()22154693a a a a a +++=++=+.12.【答案】（1）255,42a -；（2）29,23n m n -. 三.解答题 13.【解析】解：222222111222327x x x x x x ⎛⎫+=++-=+-=-= ⎪⎝⎭.14．【解析】解：∵x ﹣y=1，∴（x ﹣y ）2=1，即x 2+y 2﹣2xy=1； ∵x 2+y 2=25， ∴2xy=25﹣1， 解得xy=12． 15. 【解析】解：（1）()()333282224a a a a a +=+=+-+（2）()()()3322713131931a a a a a -=-=-++.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】D ；【解析】由题意，3m -＝±4，71m =-或. 2. 【答案】C ；【解析】③④能用完全平方公式分解. 3. 【答案】B ；【解析】222211142222a ab m a a b b a b ⎛⎫⎛⎫--=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2144m b -=，选B.4. 【答案】D ；【解析】解：由题意可知a ﹣b=﹣1，b ﹣c=﹣1，a ﹣c=﹣2，所求式=（2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ca ），=[（a 2﹣2ab+b 2）+（b 2﹣2bc+c 2）+（a 2﹣2ac+c 2）]， =[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]， =[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D ．5. 【答案】A ；【解析】原式＝()222623612a b +-=⨯-=. 6. 【答案】B ；【解析】()()22639x x c x c -+=-+-，由题意得，90c -≥，所以9c ≥.二.填空题 7. 【答案】（1）610；（2）4.【解析】()22610021002441002210-⨯+=-=；()22280016007987988007984-⨯+=-=. 8. 【答案】()()22m n m n +-； 【解析】()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-.9. 【答案】()()11x y x y +++-【解析】()()()222221111x x y x y x y x y ++-=+-=+++-. 10.【答案】1；【解析】()()2222425210x y x y x y +-++=-++=，所以2,1x y ==-，1x y +=. 11.【答案】－3，1；【解析】()2261031x x x ++=++，当3x =-时有最小值1. 12.【答案】．【解析】解：可把条件变成（x 2﹣6xy+9y 2）+（x 2﹣4x+4）=0，即（x ﹣3y ）2+（x ﹣2）2=0，因为x ，y 均是实数，∴x﹣3y=0，x ﹣2=0，∴x=2，y=， ∴==．故答案为．三.解答题13.【解析】 解：44224422222a b a b a b a b a b ++=++-()22222a b a b =+-将2ab =代入()222225a b a b +-=()()2222222259a b a b +-=+=∵22a b +≥0，∴22a b +＝3.14.【解析】解：（1）把a+=代入得：（a+）2=（）2=10； （2）∵（a+）2=a 2++2=10， ∴a 2+=8，∴（a ﹣）2=a 2+﹣2•a•=8﹣2=6； （3）a ﹣=±=±．15.【解析】 解：∵2222222220a b c ab bc ac ++---=∴()()()2222222220a ab b b bc c a ac c -++-++-+=()()()2220a b b c a c -+-+-=∴000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴a b c ==，该三角形是等边三角形.。
14.2.2 完全平方公式教学目标：知识与能力：理解掌握完全平方公式，会用公式熟练地进行计算。
掌握去括号法则。
过程与方法：经历观察、计算并运用几何拼图验证公式的过程，培养观察能力、计算能力，体会数形结合的思想情感态度与价值观：在探索运用完全平方公式的过程中，体会数形结合的思想，培养学生对数学的学习兴趣。
重点：完全平方公式的理解及运用。
难点：灵活运用完全平方公式及去括号法则熟练地进行计算。
教学过程：一：情景导入：1、复习平方差公式:( a + b )( a – b )=a2 - b22思考：(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否也能用一个公式来表示呢？二：探究新知：1、根据乘方的意义计算下列各式，你能发现什么规律？(1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)=(2) (m+2)2=（m+2）(m+2)=(3) (p-1)2 =(p-1)(p-1)=(4) (m-2)2 =2、计算, (a+b)2=(a−b)2=你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?3你能利用面积来说明完全平方公式吗？2222+=+a+b)(baba2222-=-a+ab)(bab公式特点：1结果为二次三项式，乘积中两项为两数的平方和，另一项是两数乘积的2倍，且与乘式中间的符号相同2可用口诀记忆完全平方公式：首平方，尾平方，积的2倍加减在中央3公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。
设计意图：让学生利用多项式乘以多项式计算第1题，以旧引新，发现规律，然后利用两个几何图形给出几何解释，从公式的发现，到语言表述，再到几何解释，可以让学生从不同角度深刻理解公式三：典型示例：例1 利用完全平方公式计算：(1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2; (3) (mn−a)2（4）1）2（y-2例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）992答案：例1：（1）91242+-x x （2）22254016y xy x ++（3）2222a mna n m +-（4）412+-y y例2：（1）10404 （2）9801设计意图：通过本组例习题，让学生能利用公式进行计算 四、随堂练习：1利用完全平方公式进行计算：（1）（x+6）2（2）(y-5)2（3）(-2x+5)2（4）2)3243(y x -答案：（1）x2+12x+36（2）y2-10y+25（3）4x2-20x+25（4）2294169y xy x +- 2下列各式的计算错在哪里？应该怎样改正？ (1)(a+b)2=a 2+b 2 (2). (a-b)2=a 2-b 2 (3) (2a −1)2＝2a 2−2a +1; (4) (2a +1)2＝4a 2 +1； (5) (-a −1)2＝-a 2−2a −1.答案：（1）不对，应为222b ab a ++（2）不对，应为222b ab a +- （3）不对 ，应为1442+-a a （4）1442++a a （5）不对，应为122++a a 3、运用完全平方公式计算 (1) ( 21 x − 2y)2 ； (2) (2xy+ 51 x )2 （3） （-2x+5）2（4）(n+1)2-n 2答案：（1）22441y xy x +- （2）2222251544x y x y x ++ （3）252042+-x x （4）12+n设计意图：完全平方公式不仅适用于式的运算，而且适用于数的运算，通过多角度练习，让学生熟练掌握公式。
