2018年人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试含答案

人教版九年级下学期第二十八章锐角三角函数单元检测试题姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共10题；共30分）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A. B. C. D.2.cos30°的值为（）A. 1B.C.D.3.在中，，，则的值等于（）A. B. C. D.4.如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为（）A. 10tana（米）B. （米）C. （米）D. （米）5.α为锐角，若sinα+cosα= ，则sinα﹣cosα的值为（）A. B. ± C. D. 06.在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB ，AC=8，AB=10，则AD等于（）A. 4.4B. 5.5C. 6.4D. 7.48.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm29.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长度是（）A. B. C. 2 D.10.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为300，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）mA. B. 30 C. D. 40二、填空题（共8题；共24分）11.4cos30°+ +|﹣2|=________．12.在中，若，则的度数是________．13.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为________．14.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为________．15.已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β=________ 度，sinβ=________ （结果保留四个有效数字）16.用计算器计算：3sin38°﹣≈________（精确到0.01）．17.已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2 ，则AP=________．18.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．三、解答题（共6题；共46分）19.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．20.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)21.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C 测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）22.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE= ，cos∠ACD= ，求tan∠AEC的值及CD的长．23.小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）24.如图，A，B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：≈1.732，≈1.414）四、综合题（共2题；共20分）25.如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东方向，船P在船B的北偏西方向，AP的距离为30海里参考数据：．（1）求船P到海岸线MN的距离精确到海里；（2）若船A、船B分别以20海里小时、15海里小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．26.（如图（1）,一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A 处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2）,此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．（1）求B点到OP的距离;（2）求滑动支架AC的长.（参考数据：sin37°= ，cos37°= ，tan37°= ）答案解析部分一、单选题1.C2.D3.B4.A5.D6.C7.C8.C9.D 10.B二、填空题11.3 12.90013.14.15.54；0.8090 16.0.43 17.2 或18.3三、解答题19.解：作AD⊥BC,垂足为D.设AD= xm，∵∠ABC=45°，∴BD＝AD= xm，∵∠ACB=30°，∴DC＝＝xm，∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，∴，解得,，答：则河的宽度为m20.解：设AC的长为x,那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2, x2+（2x）2=（4）2,x=4．答：河床面的宽减少了4米．21.解：过点C作CD⊥AB于D，∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD= BC=100m，BD=BC•cos30°=200× =100 ≈173（m），∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD= ≈ ≈72（m），∴AB=AD+BD=173+72≈245（m）．答：隧道AB的长为245m．22.解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴在Rt△ABC中，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k 由BE：AB=3：5，知BE=3k则，则，．∴，∵，∴．23.解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE= AB=5（m），AE=5 （m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m24.解：过P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠B＝45°，∴BD＝PD．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠A＝30°，∴AD＝＝＝PD，由题意，AD＋BD＝AB＝100，得PD＋PD＝100，∴PD＝≈36.6＞35，故计划修筑的高速公路不会穿过保护区．四、综合题25.（1）解：过点P作于点E，由题意得，海里，在中，海里（2）解：在中，海里，，则海里，A船需要的时间为：小时，B船需要的时间为：小时，，船先到达．26.（1）解：如图所示：在Rt△BHD中，∠BDH=37°，由tan37°= ，可令BH=3x，则DH=4x．由题意∠BOD=90°﹣45°=45°，则OH=BH=3x，由OD=OH+DH=28得：4x+3x=28，解得x=4，∴BH=3x=12（cm）；B点到OP的距离为12cm．（2）解：在Rt △BHD 中，sin ∠BDH= ， ∴BD= ，∴AC=BD=20（cm ）；滑动支架AC 的长为20cm ．。

第28章锐角三角函数单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB 平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF 行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑≈0.44，cos26°≈.90，tan26°AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.010．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC 上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα＝．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．21．计算：tan45°+=；22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．≈（精确到0.01）．B．用科学计算器计算：sin69°24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．﹣cos45°+tan260°．26．计算：sin30°﹣2cos45°．27．计算：2sin30°28．计算：2cos230°+﹣sin60°．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．30．（1）计算与化简：cos60°?tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．﹣cos45°．31．计算：tan260°﹣2sin30°32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′Ａ的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．34．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．35．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C （﹣4，3），求sinB的值．36．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．（1）求BC的长度；（2）若∠ADC=75°，求CD的长．37．C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）38．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732．）39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是 1.6米．（1）请在指定区域内画出小红和小阳测量古松树高的示意图；（2）通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）40．如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）41．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i=1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD=8x （m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→Ｂ）到达B地，平均速度是 2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是 1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．42．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）43．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE ∥BC∥AF，AB=20米，CD=4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）44．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），，请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，CD∥AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37°50′FG=30cm，CD=10cm，求CF的长（结果取整数，参考数据：sin37°50′≈079，≈0.6l，cos37°50′tan37°50′≈0.78）45．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】46．如图，李强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了求得对面办公大楼的高度，李强测得办公大楼顶部点A的仰角为30°，测得办公大楼底部点B的俯角为37°，已知测量点P到对面办公大楼上部AD的距离PM为30m，办公大楼平台CD=10m．求办公大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.73）47．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为 1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）48．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα＝，在与滑沙坡底C 距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB．=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．（结果取整数：参考数据：sin26.6°49．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）50．如图，在一次海警演习中，A、B两地分别同时派出甲、乙两快艇营救一货轮C，已知B地位于A地正西方向相距84海里位置，货轮C位于A地正北方向，位于B地北偏东48.2°方向≈0.7，cos48.2°≈0.6，tan48.2°≈1.05）（所有数据精确到个位，sin48.2°（1）求A、B两地分别与货轮C的距离；（2）若乙快艇每小时比甲快艇多行驶20海里，且它们同时达到货轮C位置，求甲、乙快艇的速度．答案一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，∴tanA===，故选：A．【点评】本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴=，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴==，设AD=2a，则AC=5a，根据勾股定理得到CD=a，因而sinA==．故选：B．【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED ∽△ABC是解决本题的关键．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用sin60°=，cos60°=可求DB=，AD=，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴DB=，AD=c，在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴（a﹣）2=b2﹣c2，即a2+c2=b2+ac，∴．故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出===2，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得=，推出=，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC==2，∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH∽△BAO，∴===2，∴BH=﹣2a，CH=2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴=，∴=，∴FH=2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b=﹣2a，∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选：C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．【分析】过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据S ACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．【解答】解：过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：△ACF和△ABC底之比为1：3；高之比为1：1；∴△ACF和△ABC的面积之比为1：3，又∵AB=2，BC=3，∴S△ABC=3，S△ACF=1，又∵S△ACF=AC×FG，∴FG=．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB 平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AB=MN，AM=BN．在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，∴CM=AM=50m．∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，∴CN=（m），∴MN=CM﹣CN=50﹣（m）．则AB=MN=（50﹣）m．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，∴OG=OA?cos30°=7厘米，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF 行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑≈0.44，cos26°≈.90，tan26°AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.0【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；【解答】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH是矩形．在Rt△FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，∴FM=BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，∴CD=CM+EM+DE=45m，∴GH=CD=45m，在Rt△AGH中，AH=GH?tan26°≈22.05m，∵CH=DG=51.5m，∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC 上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米【分析】延长BC交AD于H．在Rt△DCH中，求出CH，再在Rt△ABH中求出AB即可；【解答】解：延长BC交AD于H．在Rt△CDH中，∵DH：CH=1：0.75，CD=0.5，∴DH=0.4，CH=0.3，∴BH=1.3，在Rt△ABH中，cos63°=，∴AB≈2.9（米），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角俯角的概念，理解坡度坡角的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，∴BD=AB?cos60°＝AB=6，AD=AB?sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60°，∠4=50°，∴∠5=∠4=50°，即B在C处的北偏西50°，故①正确；∵∠2=60°，∴∠3+∠7=180°﹣60°=120°，即A在B处的北偏西120°，故②错误；∵∠1=∠2=60°，∴∠BAC=30°，∴cos∠BAC=，故③正确；∵∠6=90°﹣∠5=40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=，再利用勾股定理计算出AC=，然后利用面积法计算CD的长【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中，∵sinA==，∴BC=×4=，∴AC==，∵CD?AB=AC?BC，∴CD==，即斜边上的高为．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图，tanα＝=故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是α=β＞γ．【分析】首先根据锐角三角函数的概念表示出tan∠1=，tan∠4=，进一步分析平行线，再根据平行线的性质进行分析．【解答】解：如图所示，tan∠1=，tan∠4=，故∠1=∠4．根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠2，于是∠1+∠2=∠3+∠4，即α=β．根据两直线平行，内错角相等，得∠4=∠5，又∠3＞∠6，故∠3+∠4＞∠5+∠6，即β＞γ．所以α=β＞γ．【点评】考查了平行线的性质及识图分析能力．从图中找出同位角、内错角和同旁内角、根据平行线的性质解答．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα＝．【分析】由0°＜α＜90°、tanα=1知∠α=45°，据此可得sinα＝．【解答】解：∵0°＜α＜90°，tanα=1，∴∠α=45°，则sinα＝，故答案为：．【点评】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．【分析】根据tanA=和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA 的值．【解答】解：如图，∵tanA==，∴设AB=5x，则BC=4x，AC=3x，则有：sinA+cosA=+=+=，故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝．【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝，故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用一个角的余切等于它余角的正切是解题关键．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由∠C=90°，若sinA=，得cosB=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案．【解答】解：如图，由tanB=，得AC=4k，BC=3k，由勾股定理，得AB=5k，cosA===，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切的定义得出直角边是解题关键．21．计算：tan45°+=5；【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．【解答】解：tan45°+=1+4=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=30°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=，∴∠A=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．≈ 2.47（精确到0.01）．B．用科学计算器计算：sin69°【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．B．直接使用科学计算器进行计算．【解答】解：A．∵AB=BC，CD=DE，∴=，=，∴+=+，∴∠BOD=90°，∴S阴影=S扇形OBD==π．B．sin69°≈2.47．故答案是：π；2.47．【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．B．考查了计算器的使用．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为8.16．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）【分析】根据计算器的使用，可得答案．【解答】解：tan 42≈0.9004，=0.9004，AC≈8.16，故答案为：8.16．【点评】本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键．三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可．【解答】解：原式=﹣×+×（）2=﹣+×3=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值即可解题，属于基础题型．﹣2cos45°．27．计算：2sin30°【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式=2×﹣2×=1﹣+2=1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=2×（）2+﹣，=+﹣，=3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°==．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．（1）计算与化简：cos60°?tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据提公因式法、公式法，可得答案．【解答】解：（1）原式=×=；（2）3a2﹣6a+3=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，分解因式要彻底，分解到不能分解为止．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′Ａ的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：，由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′则四边形ACC'A'是平行四边形．又∵CD平分∠ACB的外角，∴∠ACA′＝∠A'CC'，∵AA'∥BB'，∴∠C'CA'=∠AA'C，∴∠AA'C=∠ACA'，∴AA'=AC，∴四边形ACC'A'是菱形．（2）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，∴cos∠BAC==，即=，∴AC=26．∴由勾股定理知：BC===10．【点评】本题考查了平移的性质，解直角三角形，勾股定理以及菱形的判定与性质等知识点．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．。

人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数 单元测试卷(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(3分×10＝30分)1．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12C ．cosB ＝32D ．tanB ＝ 32．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则tanA 的值为( ) A. 3 B ．33C ．32D ．123．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( )A.BD BC B ．BC AB C ．AD ACD ．CD AC4．如果∠B 是锐角，且sinB ＝0.7，那么∠B 的范围是( ) A ．0°＜∠B ＜30° B ．30°＜∠B ＜45° C ．45°＜∠B ＜60°D ．60°＜∠B ＜90°5．计算：cos 245°＋tan60°·cos30°＝( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ． 36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2,1)和点B(3,0)，则sin ∠AOB 的值等于( ) A.55 B ．52C ．32D ．127．如图所示，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B 处，在B 处看到灯塔C 在正北方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是( )A ．123海里B ．63海里C ．6海里D ．43海里8．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6m ，则这棵树的高度为________(结果精确到0.1m ，3≈1.73)( )A ．3.5mB ．3.6mC ．4.3mD ．5.1m9．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan ∠DBE 的值是( )A.12 B ．2 C ．52D ．5510．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝12BD ，连接AC ，若tanB＝53，则tan ∠CAD 的值( )A.33 B ．35C ．13D ．15二、填空题(3分×8＝24分)11．△ABC 中，AB ＝17，BC ＝8，AC ＝15，则cosA 、tanB 的值分别 为 . 12．在△ABC 中，如果cosA －32＋|2sinB －1|＝0，那么∠C ＝ .13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知斜边c 和∠B ，可用关系式： ，求出∠A ；可用关系式： ，求出a. 14．如图，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2000米，则他实际上升了 米．15．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点(不与A 、B 重合)，已知BC ＝2，tan ∠ADC ＝34，则AB ＝ .16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sinA ＝32；②cosB ＝12；③tanA ＝33；④tanB ＝3，其中正确的结论是17．在某国道的改造工程中，需沿AC 方向开山修路(如图所示)，为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝1000m ，∠D ＝50°.为了使开挖点E 在直线AC 上，那么DE ＝m ．(供选用的三角函数值：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)18．在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点C 的坐标是(0,4)，点P 为边AB 上一点，∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B′处，则B′点的坐标为 .三、解答题(共66分) 19．(8分)计算：(1)|－2|＋2sin30°－(－3)2＋(tan45°)－1; (2)sin 245°＋tan60°·sin60°－3tan 230°＋4cos 260°.20．(10分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据下列条件进行计算： (1)b ＝20，∠B ＝45°，求a 、c ； (2)a ＝503，b ＝50，求∠A 、∠B.21．(8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠BAC 的平分线AD ＝1633.求∠B 及AB 、BC 的值．22．(9分)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处到公路的距离(结果不取近似值)．23．(9分)如图，小俊在A 处利用高为1.5米的测角仪AB 测得楼EF 顶部E 的仰角为30°，然后前进12米到达C 处，又测得楼顶E 的仰角为60°，求楼EF 的高度．(结果精确到0.1米)24．(10分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD.(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin ∠BPD ＝35，求⊙O 的直径．25．(12分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适(如图1)，侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图3)，侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm.(1)求∠CAO′的度数．(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(3)如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？答案： 一、1---10 DBCBC ADDBD 二、 11. 1517、15812. 120°13. ∠A ＋∠B ＝90° cosB ＝ac14. 1000 15. 5216. ②③④ 17. 642.8 18. (2,4－23) 三、19. 解：(1)原式＝2＋2×12－3＋1＝1；(2)原式＝(22)2＋3×32－3×(33)2＋4×(12)2＝2. 20. 解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°，∴∠A ＝45°，∴∠A ＝∠B ，∴a ＝b ＝20.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝a 2＋b 2＝202；(2)∵a ＝503，b ＝50，∴c ＝a 2＋b 2＝100.又∵sinA ＝a c ＝503100＝32，∴∠A＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝30°.21. 解：在Rt △ACD 中，AC ＝8，AD ＝1633，∠C ＝90°，由cos∠DAC ＝AC AD ＝32得∠DAC ＝30°，又AD 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝16.∴BC ＝AB·sin∠BAC ＝16·sin 60°＝83.22. 解：过点C 作CE⊥AB 于点E ，CF⊥AD 于点F ，由题意知∠ABC ＝30°，∠FCD ＝45°，CD ＝CB ＝1000，在Rt △BCE 中，CE ＝BC·sin 30°＝1000×12＝500(米)，在Rt △DCF ，DF ＝CD·sin 45°＝1000×22＝5002(米)，∵四边形AFCE 为矩形，∴AF ＝CE ，∴AD ＝AF ＋FD ＝CE ＋FD ＝500＋5002(米)，故拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米．23. 解：设楼EF 的高为x 米，可得EG ＝EF －GF ＝(x －1.5)米，依题意得：EF⊥AF ，DC⊥AF ，BA⊥AF ，BD⊥EF (设垂足为G )，在Rt △EGD 中，DG ＝EG tan∠EDG ＝33(x－1.5)米，在Rt △EGB 中，BG ＝3(x －1.5)米，∴CA ＝DB ＝BG －DG ＝ 233(x －1.5)米，∵CA ＝12米，∴233(x －1.5)＝12，解得：x ＝63＋1.5≈11.9，则楼EF 的高度约为11.9米．24. 证明：(1)∵，∴∠BCD ＝∠BPD ，又∵∠1＝∠BCD ，∴∠1＝∠BPD ，∴CB ∥PD ；(2)如图，连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD⊥AB ，∴，∴∠A ＝∠BPD ，∴sinA ＝sinP.在Rt △ABC 中，sinA ＝BCAB ，∵sinP＝35，∴BC AB ＝35，又∵BC ＝3，∴AB ＝5，即⊙O 的直径为5.25. 解：(1)∵O′C⊥OA 于C ，OA ＝OB ＝24cm ，∴sin∠CAO′＝O′C O′A ＝O′C OA ＝1224＝12，∴∠CAO′＝30°； (2)过点B 作BD⊥AO 交AO 的延长线于D ，∵sin∠BOD ＝BDOB，∴BD ＝OB·sin∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠BOD ＝60°，∴BD ＝OB·sin∠BOD ＝24×32＝123，∵O′C⊥OA ，∠CAO′＝30°，∴∠AO′C ＝60°，∵∠AO′B′＝120°，∴∠AO′B′＋∠AO′C ＝180°，∴O′B′＋O′C －BD ＝24＋12－123＝36－123，∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－123)cm ；(3)显示屏O′B 应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：电脑显示屏O′B 绕点O′接顺时针方向旋转α度至O′E 处，过O′点作O′F ∥OA ，∴∠FO′A ＝∠CAO′＝30°，∵显示屏O′B 与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F ＝120°，∴∠FO′A ＝∠CAO′＝30°，∵∠AO′B′＝120°，∴∠EO′B′＝∠FO′A ＝30°，即α为30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.。

2017-2018学年度第二学期人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数 单元检测试卷考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙A ∠A 述正确的是（ ）A.的值越大，梯子越陡B.的值越大，梯子越陡sinA cosA C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关tanA ∠A 2.温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市的A 正西方向千米的处（如图），以每小时千米的速度向东偏南的方向移动，并检300B 10730∘BC 测到台风中心在移动过程中，温州市将受到影响，且距台风中心千米的范围是受台风严重A 200影响的区域．则影响温州市的时间会持续多长？（ ）A A.5 B.6 C.8 D.10 3.如图，两建筑物水平距离为米，从点测得对点的俯角为，对点的俯角为，则建32A C 30∘D 45∘筑物的高约为（ ）CD A.米14 B.米17 C.米20 D.米22 4.在如图所示的方格纸中，点、、都在方格线的交点．则 A B C ∠ACB =()A.120∘B.135∘C.150∘D.165∘ 5.已知，且，则锐角等于（ ）α+β=90∘sinα+cosβ‒3=0αA.30∘ B.45∘C.60∘ D.无法求 6.如图，一根铁管固定在墙角，若米，，则铁管的长为（ ）CD BC =5∠BCD =55∘CD A.米5sin 55∘ B.米5⋅sin 55∘.C.米5cos 55∘ D.米5⋅cos 55∘7.为美化环境，在空地上种植售价为元/平方米的一种草皮，已知，△ABC a AB =20m ，，则购买草皮至少需要（ ）AC =30m ∠A =150∘A.元450a B.元225a C.元150a D.元300a 8.如图，在中．，，，则 △ABC ∠ACB =90∘∠ABC =15∘BC =1AC =()A.2+3 B.2‒3C.0.3D.3‒29.堤的横断面如图．堤高是米，迎水斜坡的长时米，那么斜坡的坡度是（ ）BC 5AB 13AB A.1:3 B.1:2.6C.1:2.4D.1:2 10.小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看30∘5:121300山顶的角度为，求山高（ ）60∘A.米600‒2505 B.米6003‒250C.米350+3503 D.米5003二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 11.在中，，，，则等于________．Rt △ABC ∠C =90∘tanA =3AC =10S △ABC 12.小美同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时A 60∘200m B B 100m C 小美同学离地________．A 13.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，若海里，CA 50o CB 40o AC =40海里，则，两岛的距离等于________ 海里． （结果保留根号）BC =20A B 14.如图，在中，，是高，如果，，那么Rt△ABC∠ACB =90∘CD ∠B =αBC =3________．（用锐角的三角比表示）AD =α15.如图，当小明沿坡度的坡面由到行走了米，那么小明行走的水平距离i =1:3A B 100.________米．（结果可以用根号表示）．AC = 16.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成角时，测得旗杆在地28∘AB 面上的投影长为米，则旗杆的高度是________米．BC 25AB 17.在离建筑物米处，用测角仪测得建筑物顶的仰角为，已知测角仪的高度为米，求12030∘ 1.5这个建筑的高度________米（精确到米）0.1 18.如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则________△ABC 1tan (α+β)．（填“”“”“”）tanα+tanβ>=<19.如图，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了海里到达处，A C 60012B 在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是________．B C C 20.请从以下两题中任选一题作答，若多选，则按所选的第一题计分．如图所示的四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则________．(A )50∘∠1+∠2=如果某人沿坡度的斜坡前进，那么他所在的位置比原来的位置升高了(B )i =1:3100m ________．（结果精确到）m 0.1m 三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.21. (1)2sin 60∘+3tan 30∘(2)sin 260∘+cos 260∘‒tan 45∘ ．(3)cos 60∘‒tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘(4)22sin 45∘+sin 60∘‒2cos 45∘ 22.如图，一艘货轮以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现在它的北偏东30A 方向有一港口，货轮继续向北航行分钟后到达处，发现港口在它的北偏东方向上，48∘B 40C B 76∘若货轮急需到港口补充供给，请求出处与港口的距离的长度．（结果保留整数）B C B CB （参考数据：，，，）sin 76∘≈2021tan 76∘≈4tan 48∘≈109sin 48∘≈45.23.如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟米的速度沿着仰角为的方向上升，A 1075∘分钟后上升到处，这时气球上的人发现在点的正西方向俯角为的处有一着火点，求气20B A 45∘C 球的升空点与着火点之间的距离．（结果保留根号）AC24.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处．这时，一辆出租车由西向东100P 匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．A B 4∠APO =60∘∠BPO =45∘求、之间的路程；(1)A B 请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度？(2)60 25.如图，小明想测山高和索道的长度．他在处仰望山顶，测得仰角，再往山的方B A ∠B =31∘向（水平方向）前进至索道口处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角．80m C ∠ACE =39∘求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；(1).求索道的长（结果精确到）．(2)AC 0.1m （参考数据：，，，）tan 31∘≈35sin 31∘≈12tan 39∘≈911sin 39∘≈711 26.某居民楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，，，斜坡BC // AD BE ⊥AD 长为米，坡角．为了减缓坡面防止山体滑坡，居委会决定对该斜坡进行改AB 30∠BAD =75∘造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，50∘A 坡顶沿向左移米到点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：，B BC 15F sin 75∘≈0.97，，，）cos 75∘≈0.26tan 75∘≈3.73tan 49∘30'≈1.17tan 51∘57'≈1.28答案1.A2.D3.A4.B5.C6.C7.C8.B9.C10.B .11.15012.1003m13.20514.3sinαtanα15.301016.25⋅tan 28∘17.76.518.>19.海里4320.230∘31.621.解：(1)2sin 60∘+3tan 30∘；=2×32+3×33=3+3=23(2)sin 260∘+cos 260∘‒tan 45∘；=1‒1=0(3)cos 60∘‒tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘；=12‒1+3233+32=32‒12536=3‒35(4)22sin 45∘+sin 60∘‒2cos 45∘．=22×22+32‒2×22=12+32‒222.解：海里，AC =30×4060=20在中，，Rt △BDC BD CD =tan 76∘则，BD =CD ⋅tan 76∘在中，Rt △ABD ，BDAD =tan 48∘.即，CD ⋅tan 76∘20+CD =tan 48∘于是，4CD20+CD=109解得，CD =10013，BD =10013×4=40013在中，，Rt △BDC BD CB =sin 76∘，40013BC =2021则海里．BC ≈3223.解：过点作于点，A AD ⊥BCD 由题意得，，，，BE // AC ∠EBC =45∘∠BAD =75∘∴，∠ABD =30∘∵，AB =10×20=200(m )在中，Rt △ABD ，AD =ABsin∠ABD =12×200=100(m )∵，BE // AC ∴，∠BCA =∠EBC =45∘∴，AC =ADsin 45∘=10022=1002(m )即气球的升空点与着火点之间的距离为．A C 1002m 24.解：由题意知：米，，，(1)PO =100∠APO =60∘∠BPO =45∘在直角三角形中，BPO ∵，∠BPO =45∘∴米，BO =PO =100在直角三角形中，APO .∵，∠APO =60∘∴米，AO =PB ⋅tan 60∘=1003∴（米）；∵从处行驶到处所用的时间为秒，AB =AO ‒BO =(1003‒100)=100(3‒1)(2)A B 4∴速度为米/秒，100(3‒1)÷4=25(3‒1)∵千米/时米/秒，60=60×10003600=503而，25(3‒1)>503∴此车超过了每小时千米的限制速度6025.索道长约为米．AC 282.926.解；过作，垂足为，连接，F FG ⊥AD G AF ∵斜坡长为米，坡角，AB 30∠BAD =75∘∴，BE =sin∠BAD ×AB =sin 75∘×30=0.97×30=29.1，AE =cos∠BAD ×AB =cos 75∘×30=0.26×30=7.8∴，，AG =AE +GE =7.8+15=22.8FG =29.1∴，tan∠FAG =FG AG =29.122.8≈1.28∴，∠FAG >50∘∴这样改造不能确保安全．...。

人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元提优测试含答案一、选择题（共10题；共30分）1.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判断正确的是（）A. ∠A=90°B. ∠A=45°C. cotA=D. tanA=2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A. B. C. D.3.如果△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列最确切的结论是( )A. △ABC是直角三角形B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形4.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A. B. 2 C. D.5.cos30°=（）A. B. C. D.6.如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）A. 120°B. 135°C. 150°D. 160°7.Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于( )A. B. C. D.8.在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=60°，a=3时，c的值是（）A. c=4B. c=5C. c=6D. c=79.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的影子CD的长为1米，阳光线与地面的夹角∠ACD = 60°，则AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，则∠A=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（共8题；共24分）11.根据图示填空：（1）sinB=CD/（________ ）=（________ ）/AB（2）cos∠ACD=CD/（________ ）12.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=________13.①代数式3x2﹣3x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为________②比较大小：tan62°﹣cot61°________ 1（可用计算器）．14.若α为锐角，已知cosα=，那么tanα=________ .15.2cos30°=________16.计算：tan45°﹣2cos60°=________．17.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于________．18.已知tanβ=22.3，则β=________（精确到1″）三、解答题（共6题；共36分）19.求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．20.如图是某小区的一个健向器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）21.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米）．22.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高BE=8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）23.如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．24.如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？四、综合题（共10分）25.在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？参考答案一、选择题1.D2. B3.C4.B5.C6. C7.A8.C9.B 10.A二、填空题11.（1）BC；AC（2）AC 12.13. 7；＞14. 15.16.0 17.18.87°25′56″三、解答题19.解：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；（2）∵cosθ=0.7845，∴∠θ≈38.3°．20.解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，∵OD⊥CD，∠BOD=70°，∴AE//OD，∴∠A=∠BOD=70°，在Rt△AFB中，AB=2.7，∴AF=2.7cos70°=2.7×0.34=0.918,∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1（m）.答：端点A到地面CD的距离约是1.1m.21.解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，∴∠CDA=∠EBA=90°，∵∠E=30°，∴AB=AE=8米，∵BC=1.2米，∴AC=AB﹣BC=6.8米，∵∠DCA=90°﹣∠A=30°，∴CD=AC×cos∠DCA=6.8× ≈5.9米．答：该校地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．22.解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．i=，∵BE=8，AE=6，DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5．又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7，∴CA≈9.15≈9.2（米）．答：CA的长约是9.2米．23.解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，∵∠EBC=45°，∴BE=x米，∵∠EAC=30°，∴AE==x米，由题意得，x﹣x=400，解得x=200（+1）米，则CD=800﹣200（+1）≈254米．答：大楼CD的高度约为254米．24.解：过P作PD⊥AB．AB=18× =12海里．∵∠PAB=30°，∠PBD=60°∴∠PAB=∠APB∴AB=BP=12海里．在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=12× =6 海里．∵6 ＞8∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．四、综合题25.（1）解：在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC= = =100，∵OC= ×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里（2）解：作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB= BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM= AB=15，AM= BM=15 ，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15 海里（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH= x，∵BM=15，∴15= x+2x，x=30﹣15 ，∴AN=30 ﹣30，BN= =15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤ ，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．。

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 第6题 第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

人教新版九年级下学期《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，BC≥AC，则tanB=（）A．B．C．D．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tanA的值逐渐增大，cotA的值逐渐减小；②tan12°•tan78°=1；③在△ABC中，已知∠C=90°，如果tan（90°﹣A）=2，那么cot（90°﹣A）=2；④若∠A为锐角，则0＜tanA＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④3．α为锐角，若sinα+cosα=，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinB=（）A．B．C．D．15．已知sinα=，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t=（）A．0.5B．1.5C．4.5D．27．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里二．填空题（共8小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，点C在AD上，∠ACB=45°，tan∠D=，则=．12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．已知α是锐角，且tanα=1，则sinα+cosα=．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=．15．计算：tan45°+=；16．A．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有条．B．用计算器计算：•tan63°27′≈（精确到0.01）．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么tan ∠BAH的值是．18．如图是学生用的台灯，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是cm（用含根号的式子表示）．三．解答题（共10小题）19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．20．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐，cosα的值逐渐，tanα的值逐渐．（2）sin30°=cos，sin=cos60°；（3）sin230°+cos230°=；（4）；（5）若sinα=cosα，则锐角α=．21．计算：sin45°+sin2α+cos2α+22．计算：2cos230°+﹣sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．25．2014年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅游景点，为了衡量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践活动中，小明分别在如图所示的A，B两点处，利用测角仪对“潮海”，门的最高点C进行了测量，测得∠A=30°，∠B=45°，若AB=22米，求“潮海”门的最高点C 到地面的高度为多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）26．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）27．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）28．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB 的距离（结果保留根号）．人教新版九年级下学期《第28章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，BC≥AC，则tanB=（）A．B．C．D．【分析】如图，因为BC≥AC，只有BC边上的中线，满足条件，AD=BC，设CD=BD=a．只要证明∠DAC=30°即可解决问题；【解答】解：如图，∵BC≥AC，∴只有BC边上的中线，满足条件，AD=BC，设CD=BD=a．则AD=2a，CD=a，AD=2CD，∵∠C=90°，∴∠DAC=30°，∴AC=a，∴tanB==．故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数、三角形的中线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tanA的值逐渐增大，cotA的值逐渐减小；②tan12°•tan78°=1；③在△ABC中，已知∠C=90°，如果tan（90°﹣A）=2，那么cot（90°﹣A）=2；④若∠A为锐角，则0＜tanA＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④【分析】当∠A从0°逐渐增大到90°时，tanA的值逐渐增大，cotA的值逐渐减小；一个角的正切值等于它的余角的余切值．【解答】解：①根据锐角三角函数的增减性，可知正确；②∵tan78°=cot12°，∴tan12°•tan78°=1．正确；③根据同角的正切和余切互为倒数．错误；④如tan60°=＞1．错误．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性和同角的三角函数的关系．3．α为锐角，若sinα+cosα=，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α=1，求出sinαcosα的值，解答即可．【解答】解：∵sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα=2．又∵sin2α+cos2α=1，∴2sinαcosα=1．∴（sinα﹣cosα）2=sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1﹣2sinαcosα=1﹣1=0．∴sinα﹣cosα=0．故选：D．【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α=1来进行化简求值的．4．Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinB=（）A．B．C．D．1【分析】设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，根据三角形内角和定理可得x+2x+3x=180，解方程可得x的值，进而可得∠B的度数，然后可得答案．【解答】解：设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，x+2x+3x=180，解得：x=30，∴∠B=60°，∴sinB=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是利用方程思想确定∠B的度数．5．已知sinα=，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT【分析】本题要求熟练应用计算器．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．6．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t=（）A．0.5B．1.5C．4.5D．2【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据正切等于对边比邻边列式求解即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα=，∴t=4.5．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形是利用正切列式的关键，需要熟记正切=对边：邻边．7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，∴OG=OA•cos30°=7厘米，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米【分析】在Rt△ABC中，设BC=5k，AC=12k，利用勾股定理求出k即可解决问题；【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB=13m，BC：AC=5：12，∴可以假设：BC=5k，AC=12k，∵AB2=BC2+AC2，∴132=（5k）2+（12k）2，∴k=1，∴BC=5m，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米【分析】过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF=∠FDC=30°，∴EF=FH，∵∠BGF=90°，∴EF=FH=10，∴DF=20，∴DC=DH+HC=10+1.6≈18.9．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．二．填空题（共8小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，点C在AD上，∠ACB=45°，tan∠D=，则=．【分析】由tan∠D==可设AB=2x、AD=3x，根据∠ACB=45°知AC=AB=2x，得出CD=x，继而可得答案．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠D==，∴设AB=2x，AD=3x，∵∠ACB=45°，∴AC=AB=2x，则CD=AD﹣AC=3x﹣2x=x，∴==，故答案为：．【点评】本题主要考查锐角三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义及等腰三角形的性质．12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°＞cos50°．【分析】先由互余两角的三角函数的关系得出cos50°=sin40°，再根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大得出sin50°＞sin40°，从而得出结果．【解答】解：∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数的关系．13．已知α是锐角，且tanα=1，则sinα+cosα=．【分析】根据α是锐角，且tanα=1，推出α=45°即可解决问题．【解答】解：∵α是锐角，且tanα=1，∴α=45°，∴sinα+cosα=+=故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=．【分析】根据正切函数，可得AC，根据勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得=，即=，∴AC=5．由勾股定理，得AB==13．sinB==，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．15．计算：tan45°+=5；【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．【解答】解：tan45°+=1+4=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．16．A．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有20条．B．用计算器计算：•tan63°27′≈ 5.29（精确到0.01）．【分析】A、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；B、利用计算器计算可得．【解答】解：A、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8，则这个正多边形对角线的条数一共有=20，故答案为：20；B、•tan63°27′≈2.646×2.001≈5.29，故答案为：5.29．【点评】本题主要考查计算器﹣三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么tan ∠BAH的值是．【分析】设AH=BC=2x，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=BC=x，然后得出tan∠BAH的值．【解答】解：设AH=BC=2x，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=BC=x，∴tan∠BAH=，故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=BC=x是就解题的关键．18．如图是学生用的台灯，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20cm（用含根号的式子表示）．【分析】根据sin30°=，求出CF的长，根据sin60°=，再求出BF的长，即可得出CE的长．【解答】解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，∴sin30°=，∴CF=15cm，在直角三角形ABG中，sin60°=，∴，解得：BG=20，又∠ADC=∠BFD=∠BGD=90°，∴四边形BFDG为矩形，∴FD=BG，∴CE=CF+FD+DE=CF+BG+ED=15+20+2=17+20（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．三．解答题（共10小题）19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．20．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°=cos60゜，sin30゜=cos60°；（3）sin230°+cos230°=1；（4）30°；（5）若sinα=cosα，则锐角α=45°．【分析】根据特殊角的三角函数值填写即可；（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；（2）根据同角三角函数的关系解答；（3）根据同角三角函数的关系解答；（4）45°角的正弦和余弦相等．【解答】解：填表如下：（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°=cos 60゜，sin 30゜=cos60°；（3）sin230°+cos230°=1；（4）30°；（5）若sinα=cosα，则锐角α=45°．故答案为：增大，减少，增大．60゜，30゜；1；30°；45°．【点评】考查了三角函数，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．21．计算：sin45°+sin2α+cos2α+【分析】利用平方关系得到sin2α+cos2α=1，再将特殊角的三角函数值代入，即可求出式子的值．【解答】解：原式=×+1+﹣，=1+1+1﹣1，=2．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值和三角函数的平方关系，同时在计算时要注意无理数的运算．22．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=2×（）2+﹣，=+﹣，=3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；（2）根据（1）中的关系可得出结论；（3）任选一个角验证（3）的结论即可；（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°=2××=，sin60°=．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°=≈0.7，∴2sin30°•cos30°=sin60°，2sin22.5°•cos22.5=sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°=；故结论成立；（4）2sinα•cosα=sin2α．【点评】本题考查的是三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键．24．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD=ACsinC=3、，再在△ABD中根据AB=3、AD=3求得BD=3，继而根据BC=BD+CD可得答案．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，．∵AB=，∴在Rt△ABD中，．∴BC=BD+CD=7．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．25．2014年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅游景点，为了衡量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践活动中，小明分别在如图所示的A，B两点处，利用测角仪对“潮海”，门的最高点C进行了测量，测得∠A=30°，∠B=45°，若AB=22米，求“潮海”门的最高点C 到地面的高度为多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）【分析】过C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，分别在直角三角形ACD与直角三角形BCD中，表示出AD与BD，由AD﹣BD=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，在Rt△ACD中，设CD=x米，∴AD==x米，在Rt△BCD中，CD=x米，∴BD=x米，∴x﹣x=22，解得：x=≈30，则“潮海”门的最高点C到地面的高度为30米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．26．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【分析】在Rt△ABC中，根据AB=4米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt △ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．【解答】解答：在Rt△ABC中，AC=AB•sin45°=4×=2，∵∠ABC=45°，∴AC=BC=2，在Rt△ADC中，AD=2AC=4，AD﹣AB=4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．27．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH；（2）过B作DE的垂线，设垂足为G．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．【解答】解：（1）Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5；（2）过B作BG⊥DE于G，由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．28．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB 的距离（结果保留根号）．【分析】作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．【解答】解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，，∴AC=PC，在Rt△PBC中，，∴BC=PC，∵AB=AC+BC=，∴PC=100，答：建筑物P到赛道AB的距离为100米．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．。

人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试（含答案）一、选择题1、在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（）A． B． C． D．32、cos 30°的值等于( )A. B. C．1 D.3、2cos45°的值等于（）A． B． C． D．4、3tan60°的值为（）A． B． C． D．35、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=6、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．7、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2 D．39、如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)( )A．21.7米 B．22.4米C．27.4米 D．28.8米10、．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点为（﹣1，0），则sin α的值是（）A． B． C． D．二、填空题11、计算：=12、在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB= .13、在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为.14、如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 .15、如图，在△ABC中，AB=AC，sinA=，BC=2，则△ABC的面积为．16、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．17、如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为 .18、如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=∠BAD=30°，DE⊥AB，若CD=2，则DE=__________．19、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732）三、简答题20、如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）.21、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．22、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）是多少？23、如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．24、如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．25、如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．26、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为30°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．27、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）28、如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km 的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）参考答案一、选择题1、A解：∵∠C=90°，AB=3，BC=1，∴sinA=，2、B3、B【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故选B．【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主4、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．7、B8、C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵AE⊥BD，AE=3，∴AB==2，故选：C．9、A10、D【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】作AC⊥x轴于点C，根据点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到CA、CB的长，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC=3，AC=4，由勾股定理得，AB=5，则sinα==，故选：D．二、填空题11、12、1．解：由等腰Rt△ABC中，AB=AC，得∠B=45°．tanB=tan45°=1，13、3．解：∵△ABC的面积为6，∴ab=12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，∴a2+b2=62=36，∴tanA+tanB====3，14、解：如图：，tanB==．15、30【解答】解：过B作BD⊥AC，交AC于点D，在Rt△ABD中，sinA==，设AB=AC=5x，BD=3x，根据勾股定理得：AD=4x，即CD=x，在Rt△BDC中，根据勾股定理得：BC2=BD2+CD2，即40=9x2+x2，解得：x=2（负值舍去），∴BD=6，AB=AC=10，则S△ABC=AC•BD=30．16、①②③④．【解答】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．17、2+．解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC中，OC===，∴BC=OB﹣OC=2﹣，∴在Rt△ABC中，tan∠ABO===2+．18、2．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】利用已知条件易求∠CAD=30°，则AD的长可求，又因为∠BAD=30°，进而可求出DE 的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵∠B=∠BAD=30°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AD=4，∵∠BAD=30°，∴DE=AD=2，故答案为：2．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．19、137．【解析】试题分析：如图，∠A BD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴，∴x=≈137，即山高AD为137米．故答案为：137．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．三、简答题20、解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，设AD=DC=xm，则tan30°==21、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．22、AB=km (提示：过点A作AD⊥OB)23、解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，．∵AB=，∴在Rt△ABD中，．∴BC=BD+CD=7．24、解：过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，AB=5，BF=CE=4．∴AF=3．在Rt△CDE中，tanα==i=．∴∠α=30°且DE==4，∴AD=AF+FE+ED=3+4.5+4=7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD为7.5+4．25、【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由是：连接OD．则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=．26、．解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i==，∴∠DCF=30°，…… 2分∵CD=4，∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=30°，∴AG=GEtan∠AEG=4•tan30°=4，则AB=AG+BG=4+3.5=7.5，故旗杆AB的高度为7.5米．27、【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20（m）．答：这栋楼高为（20+20）m．28、解：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB，∴∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=120，在Rt△PBH中，sin∠PBH=，∴PH=PB•sin60°=120×≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是()A．tanα＝2B．tanα＝0.5C．sinα＝2D．cosα＝22.2cos 30°的值等于()A．1B．C．D．23.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是()A．∠B＝60°B．a＝5C．b＝5D．tan B＝4.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为()A．B．C．D．25.用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是() A．cotαB．tanαC．cosαD．sinα6.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα7.若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值()A．扩大为原来的5倍B．不变C．缩小为原来的5倍D．不能确定8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，则下列三角函数值正确的是()A．sin A＝B．tan B＝C．sin B＝D．cos A＝9.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于()A．B．C．D．10.在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为(参考等式：＝)()A．(25＋75)米B．(50＋50)米C．(75＋75)米D．(50＋100)米二、填空题11.在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cos B＝，则BC的长是__________．12.用科学计算器计算：2－sin 60°＝________(结果精确到0.1)13.如图，在坡角∠BAC＝30°的斜坡上，两树间的水平距离AC为米，则两树间的坡面距离AB为________米．14.如图，小明妈妈的高跟鞋很高，但是小明发现妈妈在走上坡路时一点也不累．有一次，妈妈上山上坡正好和走平地一样，脚掌AB正好呈水平，小明偷偷量过妈妈的高跟鞋跟高h 是10 cm，AB长度15 cm，请问妈妈走的那个山坡与水平线夹角的正切值是________．15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝20，则△ABC的面积为________．16.在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则∠C＝________度．17.用科学计算器计算：cos 32°≈________.(精确到0.01)18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.19.若等腰三角形两边为4,10，则底角的正弦值是__________．20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则tan A＝________.三、解答题21.三角形中有3个角、3条边共6个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC中，AB＝，∠B＝45°，BC＝1＋，解△ABC.22.在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1 km的飞机跑道MN(如图)，在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．(1)该飞机航行的速度是多少千米/小时？(结果保留根号)(2)如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．23.如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)，在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，那么钢线ED的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)24.用计算器求下列各式中的锐角α(精确到1″)：(1)sinα＝0.917 1.(2)cosα＝0.550 3.(3)tanα＝72.43.25.△ABC的三边长分别为AB＝1，BC＝，AC＝，求∠ACB的正弦值．26.如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据：cos 75°≈0.2588，sin 75°≈0.9659，tan 75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)27.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)28.同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ例：sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝(1)试仿照例题，求出cos 15°的准确值；(2)我们知道，tanα＝，试求出tan 15°的准确值．答案解析1.【答案】A【解析】过点A作AB⊥x轴于B.∵直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，设OB＝x，则AB＝2x，根据勾股定理得OA＝x，∴tanα＝＝＝2，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝.故选A.2.【答案】C【解析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．2cos 30°＝2×＝.故选C.3.【答案】D【解析】A、∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－30°－90°＝60°，故选项正确；B、sin A＝，则a＝c·sin A＝10·sin 30°＝10×＝5，故选项正确；C、cos A＝，则b＝c·cos A＝10×＝5，故选项正确，D、tan B＝tan60°＝，故选项错误，故选D.4.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝＝2，故选D.5.【答案】A【解析】用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故选A.6.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.7.【答案】B【解析】因为Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切函数值也不变．故选B.8.【答案】B【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，∴AB＝＝＝，A、sin A＝＝＝，故本选项错误；B、tan B＝＝，故本选项正确；C、sin B＝＝＝，故本选项错误；D、cos A＝＝＝，故本选项错误，故选B.9.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝.故选B.10.【答案】D【解析】设AE＝x m，在Rt△AEP中∠PAE＝45°，则∠P＝45°，∴PE＝AE＝x，∵山顶A处高出水面50 m，∴OE＝50 m，∴OP′＝OP＝PE＋OE＝x＋50，∵∠P′AE＝60°，∴P′E＝tan 60°·AE＝x，∴OP′＝P′E－OE＝x－50，∴x＋50＝x－50，解得x＝50(＋1)(m)，∴PO＝PE＋OE＝50(＋1)＋50＝(50＋100)(m)，即飞艇离开湖面的高度是(50＋100) m.故选D.11.【答案】【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝8，cos B＝，∴＝，∴BC＝.12.【答案】14.2【解析】正确使用计算器计算即可．按运算顺序进行计算．2－sin 60°≈2×7.550＝15.10－0.87≈14.2.13.【答案】2【解析】∵△ABC是直角三角形，∴AB＝，∵AC＝米，∠BAC＝30°，∴AB＝＝2(米)．14.【答案】【解析】∵Rt△ABC中，AB＝15 cm，AC＝h＝10 cm，∴BC＝＝＝5，∴tan ∠ABC＝＝＝.15.【答案】150【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝＝20÷＝25，∴AC＝＝＝15，则△ABC的面积为AC·BC＝×15×20＝150.16.【答案】120【解析】∵sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°－30°－30°＝120°.17.【答案】2.68【解析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法取近似数．cos 32°＝3.162 3×0.848 0≈2.68.18.【答案】【解析】设a＝x，则c＝4x，由勾股定理得b＝x，tan A＝＝，故答案为.19.【答案】【解析】∵4＋4＝8＜10，∴AB＝AC＝10，BC＝4.过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2.∵AB＝AC＝10，∴AD＝＝＝4，∴sin ∠ABD＝＝＝.20.【答案】【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，∴tan A＝＝，故答案为.21.【答案】解过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝45°，AB＝，则cos B＝.∴AD＝BD＝AB×cos 45°＝×cos 45°＝1，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝BC－BD＝1＋－1＝，则tan C＝＝＝，∴∠C＝30°，∴AC＝＝2，∠BAC＝180°－45°－30°＝105°.【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，解直角三角形求出BD、AD，求出CD，解直角三角形求出∠C，AC，即可求出答案．22.【答案】解(1)由题意，得∠BAC＝90°，∴BC＝＝10，∴飞机航行的速度为10×60＝600(km/h)；(2)能降落在跑道MN之间．理由：作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F.在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°，又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，∴CE＝AC·sin ∠CAE＝，AE＝AC·cos ∠CAE＝.则AF＝2AE＝15(km)，∴AN＝AM＋MN＝14.5＋1＝15.5 km，∵AM＜AF＜AN，∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．【解析】(1)先求出∠BAC＝90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC，再求解即可；(2)作CE⊥l于E，设直线BC交l于F，然后求出CE、AE，然后求出AF的长，再进行判断即可．23.【答案】解设BD＝x米，则BC＝x米，BE＝(x＋2)米，在Rt△BDE中，tan ∠EDB＝＝，即≈1.33，解得x≈6.06，∵sin ∠EDB＝，即0.8＝，解得ED≈10，即钢线ED的长度约为10米．【解析】根据题意，可以得到BC＝BD，由∠CDB＝45°，∠EDB＝53°，由三角函数值可以求得BD的长，从而可以求得DE的长．24.【答案】解(1)α＝shift sin 0.917 1＝66.505°≈66°30′18″，(2)α＝shift cos 0.550 3＝56.612 4°≈56°364 5″，(3)α＝shift tan 72.43＝89.208 9≈89°12′32″.【解析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，用四舍五入法取近似数．25.【答案】解如图，过B作BD⊥AC于D.设CD＝x，则AD＝－x.∵在Rt△BCD中，BD2＝BC2－CD2＝2－x2，在Rt△BAD中，BD2＝AB2－AD2＝1－(－x)2，2－x2＝1－(－x)2，解得x＝，BD＝＝，sin ∠ACB＝＝＝.【解析】根据勾股定理，可得方程，根据解方程，可得CD的长，再根据勾股定理，可得BD的长，根据三角函数的正弦，可得答案．26.【答案】解延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝，∴AB＝BC·tan 75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHD＝60°，sin ∠FAG＝，∴sin 60°＝＝，∴FG＝2.17，∴DM＝FG＋GM－DF≈3.05米．答：篮框D到地面的距离是3.05米．【解析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．27.【答案】解如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan 37°＝，∴AH＝＝，在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴＝，∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴＝x＋5，∴x＝≈15，∴AE＝AH＋HE＝＋15≈35 km，∴E处距离港口A有35 km.【解析】如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，可得AH＝＝，在Rt△CEH中，可得CH＝EH＝x，由CH∥BD，推出＝，由AC＝CB，推出AH＝HD，可得＝x＋5，求出x即可解决问题．28.【答案】解(1)cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝；(2)tan 15°＝＝＝2－.【解析】从题中给出的信息进行答题：(1)把15°化为45°－30°直接代入三角函数公式：cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ计算即可；(2)把tan 15°代入tanα＝，再把(1)及例题中的数值代入即可．期末复习：人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测试卷(解析版）一、单选题（共10题；共30分）1.sin60°的值为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，∠C =90o，若cosB= ，则∠B的值为（）．A. B. C. D.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A. B. C. D.4.在中，，，则的值等于（）A. B. C. D.5.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )A. 15B. 12C. 9D. 66.一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．A. B. 3 C. D. 以上的答案都不对7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A. 5÷tan26°=B. 5÷sin26°=C. 5×cos26°=D. 5×tan26°=8.在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（）A. 45°B. 75°C. 105°D. 120°9.在中，，，，则cosA等于（）A. B. C. D.10.在学习解直角三角形以后，重庆八中数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）A. 10.61B. 10.52C. 9.87D. 9.37二、填空题（共10题；共30分）11.如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为________．12.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为________．13.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号）14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________ ．15.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD＝________．16.如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为________．17.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米（结果保留根号）．18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，则tanA=________19.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．20.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)三、解答题（共8题；共60分）21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）24.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）25.如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)26.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．27.如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）28.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．（结果精确到1 cm）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.414）答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：sin60°= ．故答案为：B．【分析】由特殊角的三角函数值可求解。

第28章锐角三角函数一、选择题1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinB=，则AC 等于（）A. 3B. 9C. 4D. 12 2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A. cos43°＞cos16°＞sin30°B. cos16°＞sin30°＞cos43°C. cos16°＞cos43°＞sin30°D. cos43°＞sin30°＞cos16°3.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值（）A. 不变B. 缩小为原来的C. 扩大为原来的3倍D. 不能确定4.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）A. B. C. D.5.如图，沿AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 与D 的距离是（）A. 500sin55°米B. 500cos35°米C. 500cos55°米D. 500tan55°米6.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（）A. tanα＜tanβB. sinα＜sinβC. cosα＜cosβD. cosα＞cosβ7.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，上弦AB=BC，∠BAC=25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.8.已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（）A. B. C. D. 19.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. 2B.C.D. 110.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（）A. 甲的最高B. 乙的最低C. 丙的最低D. 乙的最高。

第二十八章锐角三角函数一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A． 4B． 2C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sin A等于()A．B．C．D．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则∠A等于()A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是()A． 5米B． 6米C． 6.5米D． 12米6.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cos A的值是()A．B．C．D．8.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A 测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长()A． 2 kmB． (2＋)kmC． (4－2) kmD． (4－) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是() A． 100tanα米B． 100cotα米C． 100sinα米D． 100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定二、填空题11.若2cosα－＝0，则锐角α＝____________度．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin ∠BAC＝____________.14.已知∠A的补角是120°，则tan A＝________.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是____________．16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米．17.已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜O)，则m的取值范围是__________．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)三、解答题21.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB∶BC＝)，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 75°＝0.2588，sin 75°＝0.9659，tan 75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)23.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，≈1.414)24.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝0.33，＝1.41)26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．27.如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)28.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，求sin A，sin B的值．答案解析1.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A＝＝，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，∴tan A＝＝.∴∠A＝30°，故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sin B＝＝.故选A.7.【答案】B【解析】cos A＝＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC＝α，BC＝100 m，∴AB＝BC·cotα＝100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα－＝0，∴cosα＝，又∵cos 45°＝，∴锐角α＝45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin ∠OAC＝sin ∠BAC＝＝.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴tan A＝tan 60°＝.15.【答案】5∶12【解析】如图所示，由题意可知，PM＝13 m，MC＝5米，∴PC＝＝12，∴MC∶PC＝5∶12，故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sinα＝＝，∴上升的高度是50×＝5(米)．17.【答案】＜m＜【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin 0°＜sinθ＜sin 30°，即0＜km＋＜，∴＜km＜，∴＜m＜.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝3×6＝18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.20.【答案】208【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan 60°＝＝＝，解得DC＝90，故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．21.【答案】解∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝＝＝(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE.∴(x－2)＝2＋x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米．【解析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC＋CE 即可求出x的长．22.【答案】解过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理，得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan ∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【解析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD＋DC求出AC的长即可．23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A＝15°，AO＝30，∴OD＝AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD＝AO·co s 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，∴BD＝OD＝7.77(cm)，∴AB＝AD＋BD＝36.75≈36.8(cm)．答：AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO·sin 15°，AD＝AO·cos 15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知，BD＝OD，再根据AB＝AD＋BD即可得出结论．24.【答案】解∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．25.【答案】解(1)如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝100，∠PAC＝53°，∴PC＝PA·sin ∠PAC＝100×0.80＝80，在Rt△PBC中，∵PC＝80，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝PC＝1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；(2)∵∠CBP＝45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC＝PA·sin ∠PAC＝80，再解Rt△PBC，得出PB＝PC＝1.41×80≈113；(2)由∠CBP＝45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．26.【答案】解∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cos B＝cos ∠AMN＝＝.【解析】根据“同角的余角相等”，可得∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，由勾股定理得MN＝，故 cos B＝cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．28.【答案】解在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，由勾股定理，得AB＝＝＝25，sin A＝＝，sin B＝＝.【解析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．。

九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测卷时间120分钟分数120分一、选择题（每小题3分计30分）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tanA 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.453.计算2cos60°的结果为( )A ．1 B. 3 C. 2 D.124.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于( ) A.6425 B.4825 C.165 D.1255．如图K －17－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( )图K －17－3A．4 B．25C.181313D.1213136.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( )A．csinA＝a B．bcosB＝cC．atanA＝b D．ctanB＝b7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．3.5 cos29°8.如图K－22－4，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )图K－22－4A．20(3＋1)米/秒 B．20(3－1)米/秒C．200米/秒 D．300米/秒9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )图K－20－3A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米二、填空题（每小题3分计18分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．13.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________．14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)图K－21－515.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．16.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).图K－22－7三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.(1)求sin∠BAC的值；(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；(3)求tan∠ADC的值.图K－17－1219.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)图K－18－420.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)b＝10，∠A＝60°；(2)a＝25，b＝2 1521.甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？22.某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图K－20－12所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2米，旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为5米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长为1.6米．(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度；(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图K－20－1223.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)?九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测卷时间120分钟分数120分二、选择题（每小题3分计30分）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tanA 的值是( A ) A.34 B.43 C.35 D.453.计算2cos60°的结果为( A )A ．1 B. 3 C. 2 D.124.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于(B ) A.6425 B.4825 C.165 D.1255．如图K －17－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( A )图K－17－3A．4 B．25C.181313D.1213136.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )A．csinA＝a B．bcosB＝cC．atanA＝b D．ctanB＝b7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( B )A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．3.5 cos29°8.如图K－22－4，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )图K－22－4A．20(3＋1)米/秒 B．20(3－1)米/秒C．200米/秒 D．300米/秒9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( B )A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( A )图K－20－3A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米二、填空题（每小题3分计18分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．[答案] 3 412．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．[答案] 3 713.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________．[答案] 30°14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)图K－21－5[答案] 15.315.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．[答案]43－416.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).图K－22－7[答案] (8 3－5.5)三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝12＋22＝5(cm)，∴sinA＝BCAB＝25＝2 55，sinB＝ACAB＝15＝55.即sinA＝255，sinB＝55.18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.(1)求sin∠BAC的值；(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；(3)求tan∠ADC的值.图K－17－12 解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AB＝5，BC＝3，∴sin∠BAC＝BCAB＝35.(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心，∴E是AC的中点，∴OE＝12BC＝32.(3)∵AC＝AB2－BC2＝4，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝ACBC＝43.19.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)图K－18－4解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cos30°＝CD80＝32，解得CD＝40 3(cm)．即支架CD的长为40 3 cm.(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝OC165＝33，解得OC＝55 3(cm)，∴OA＝2OC＝110 3 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 3－40 3＝15 3(cm)，AB＝OA－OB＝110 3－15 3＝95 3(cm)．即真空热水管AB的长为95 3 cm.20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)b＝10，∠A＝60°；(2)a＝25，b＝2 15解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∵cosA＝bc，∴c＝bcosA＝10cos60°＝1012＝20，∴a＝c2－b2＝202－102＝10 3.(2)c＝a2＋b2＝（2 5）2＋（215）2＝4 5.∵tanA＝ab＝2 5215＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.21.甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE ＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．22.某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图K－20－12所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2米，旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为5米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长为1.6米．(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度；(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图K－20－12解：(1)时钟的时针从9点转到11点转过2个大格，则旋转角的度数为2×30°＝60°.(2)如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设半圆圆心为O，连接OD.∵点D在11点的刻度上，∴∠COD＝60°，∴DE＝OD·sin60°＝2×32＝3(米)，OE＝OD·cos60°＝2×12＝1(米)，∴CE＝2－1＝1(米)，∴DF＝AE＝5＋1＝6(米)．∵同时测得1米长的标杆的影长为1.6米，∴DFBF＝1.61，∴BF＝61.6＝154(米)，∴AB＝BF＋DE＝154＋3≈5.5(米)．答：旗杆AB的高度约为5.5米．23.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)?(1) 解：连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39，在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36.答：此时汽车与点H的距离为36米；(2) 解：由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC＝39.在Rt△DCQ中，DQ＝2QC＝78，在Rt△ADH中，DH＝AH·cot30°＝15 3.∴PQ＝PH－DH＋DQ≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)。

第28章锐角三角函数单元检测一、选择题（共9题；共27分）1.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，上弦AB=BC，∠BAC=25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.2.下列三角函数值最大的是（）A. tan46°B. sin50°C. cos50°D. sin40°3.如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（）米．A. 30+10B. 40C. 45D. 30+154.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（）A. 1：B. ：1C. 1：D. ：15.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A. 25海里B. 25海里C. 50海里D. 25海里6.如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方向角为北偏东80°，测得C处的方向角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方向角为北偏东20°，则C到A的距离是（）A. 15 kmB. 15 kmC. 15（+ ）kmD. 5（+3 ）km7.如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（）A. （50+152）米B. （52+150）米C. （50+150）米D. （52+152）米8.小宇想测量他所就读学校的高度，他先站在点A处，仰视旗杆的顶端C，此时他的视线的仰角为60°，他再站在点B处，仰视旗杆的顶端C，此时他的视线的仰角为45°，如图所示，若小宇的身高为1.5m，旗杆的高度为10.5cm，则AB的距离为（）A. 9mB. （9﹣）mC. （9﹣3 ）mD. 3 m9.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为( )A. 米B. 米C. 6·cos52°米D. 米二、填空题（共8题；共24分）10.规定sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ，则sin15°= ________．11.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．12.如图所示，BD⊥AC于点D ，DE∥AB ，EF⊥AC于点F ，若BD平分∠ABC ，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.13.计算：cot44°•cot45°•cot46°=________14.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是________ m（结果保留根号）.15.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，那么AC=________．16.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________ 小时（用根号表示）．17.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5,CD=3，则tanC等于________三、解答题（共6题；共36分）18.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）19.如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）20.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．21.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．22.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°,已知原滑滑板的长为5米,点、、在同一水平地面上．求:改善后滑滑板会加长多少?（精确到0.01）（参考数据:＝1.414,＝1.732,＝2.449）23.如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．四、综合题（共13分）24.为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具．如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，车轮半径28cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2（1）求车座点E到地面的距离；（结果精确到1cm）（2）求车把点D到车架档直线AB的距离．（结果精确到1cm）．参考答案一、选择题1.B2.A3.A4.A5.D6.D7.A8.C9.D二、填空题10.11.12.4 13.1 14.15.5 16.17.三、解答题18.解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，在Rt△DEB中，，∵∠DBC=65°，∴DE=xtan65°．又∵∠DAC=45°，∴AE=DE．∴132+x=xtan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．19.解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，∴∠DAH=∠FAE=30°，在直角三角形AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=3 ，∴CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中，AC= = ，∴DG=3 + ，BG=x﹣3，在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，∴x﹣3=（3 + ）解得：x≈13，∴大树的高度为：13米．20.解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，∴BN=15，DN=15 ，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=60 ﹣15 =45 ，在RT△ABM中，tan∠ABM= = ，∴AM=27 ，∴AC=AM+CM=15+27 ．21.解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=×1000=500米；在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米，∴CF=CD=500米，∴DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．22.解：在Rt△ABC中,∵AB=5,∠ABC=45°,∴AC=ABsin45°=5×=,在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴AD==5×1.414=7.07,AD﹣AB=7.07﹣5=2.07（米）．答:改善后滑滑板约会加长2.07米．23.解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°，sin∠DBF= = ，cos∠DBF= = ，∵BD=6，∴DF=3，BF=3 ，∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，∴四边形BFCE为矩形，∴BF=CE=3 ，CF=BE=CD﹣DF=1，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=3 ，∴AB=3 +1．答：铁塔AB的高为（3 +1）m．四、综合题24.（1）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，∴EF=AE•sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，即车座点E到车架档AB的距离是63cm，∵车轮半径28cm，∴车座点E到地面的距离是63+28=91cm （2）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，∴EF=AE•sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，即车座点E到车架档AB的距离是63cm．。

人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元综合练习（附答案）1．若锐角α满足cos α＜且tan α＜，则α的范围是（ ）A ．30°＜α＜45°B ．45°＜α＜60°C ．60°＜α＜90°D ．30°＜α＜60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．13．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，cos A ＝，则sin A 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．cos45°的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，则下列等式正确的是（ ）A ．sin A ＝B ．cos A ＝C ．tan A ＝D ．cos A ＝6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，sin B ＝，AC ＝2，则BC 长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．已知△ABC 是锐角三角形，若AB ＞AC ，则（ ）A ．sin A ＜sin BB ．sin B ＜sin CC ．sin A ＜sin CD ．sin C ＜sin A8．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点都是格点，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）A．6B．2C．2D．910．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）A．B．C．D．11．角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（ ）A．0＜sinα＜B．0＜tanβ＜1C．cosβ＜sinαD．sinβ＜cosα12．下列各式中正确的是（ ）A．sin46°＞cos44°B．2sin40°＝sin80°C．cos44°＜cos46°D．sin244°+sin246°＝113．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD 与AB的长度之比为（ ）A．B．C．D．14．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B 在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（ ）A．60（）米B．30（）米C．（90﹣30）米D．30（﹣1）米15．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．16．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m 17．比较大小：tan30° cos30°（用“＞”或“＜”填空）18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A＝ ．19．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）20．用科学计算器计算：tan16°15′≈ （结果精确到0.01）21．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为 ．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝ ．23．计算：2cos45°＝ ．24．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米．（参考数据：sin20°≈0.34）25．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．26．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．27．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系 ．28．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为 ．29．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cos∠ABC＝ ．30．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝ ．31．在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝，则cos A＝ ．32．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是 m （结果保留根号）；33．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．34．计算：sin60°•tan30°+．35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90￿，tan A＝，BC＝6，求AC的长和sin A的值．36．选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（2）题评分）（1）用科学计算器计算：135×sin13°≈ （结果精确到0.1）（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+（）﹣1的值37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝．当c＝2，a＝1时，求cos A．38．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）若∠α＝45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．参考答案1．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．2．解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A是锐角，∵cos A＝＝∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，∴sin A＝＝，故选：A．4．解：cos45°＝．故选：D．5．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，sin B＝，则＝，解得，BC＝6，故选：C．7．解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则∠C＞∠B，则sin B＜sin C．故选：B．8．解：作CD⊥AB于D，由图形可知BC＝2，由勾股定理得，AC＝＝，AB＝＝3，由三角形的面积公式可得，×2×3＝×3×DE，解得，DE＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故选：D．9．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3，∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝2，故选：B．10．解：如图．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，∴AB＝＝5xm，∴A′B′＝AB＝5x（m）．∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣1）m，B′C＝（3x+1）m，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，∴cosβ＝．故选：A．11．解：0°＜α＜β＜45°，A、0＜sinα＜，是真命题，不符合题意；B、0＜tanβ＜1，是真命题，不符合题意；C、cosβ＞sinα，是假命题，符合题意；D、sinβ＜cosα，是真命题，不符合题意；故选：C．12．解：sin46°＝cos（90°﹣46°）＝cos44°，因此选项A不符合题意；2sin40°≠sin80°，因此选项B不符合题意；一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小，于是有cos44°＞cos46°，因此选项C不符合题意；sin244°+sin246°＝sin244°+cos244°＝1，因此选项D符合题意；故选：D．13．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．14．解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝xm，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x﹣x＝60，解得x＝＝30（），答：这段河的宽约为30（）米．故选：B．15．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．故选：A．16．解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE＝9m，AB＝1.5m，∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝9m，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，∴CE＝CD+DE＝3+1.5故选：C．17．解：∵tan30°＝，cos30°，＜，∴tan30°＜cos30°，故答案为：＜．18．解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．19．解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，∴∠BAC＞∠EAD；解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH•NP，＝PN，PN＝，Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．20．解：tan16°15′≈0.71，故答案为：0.71．21．解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∴cos∠ABC＝，故答案为：．22．解：由sin A＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．∴tan A＝＝＝．23．解：原式＝2×＝．故答案为：．24．解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，在Rt△ABE中，∵sinα＝，∴AE＝AB×sin20°≈68米，在Rt△BCG中，∵sinβ＝，∴BG＝BC×sin45°≈142米，∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，故答案为：21025．解：因为坡度比为1：，即tanα＝，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．26．解：在CD上取一点E，使BD＝DE，∵CD⊥AB，∴∠EBD＝45°，AD＝DC，∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，∴CE＝AB＝2km，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC＝2km，∴BD＝ED＝km，∴CD＝2+（km）．故答案为：（2+）km．27．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，即cos A＝，∴余弦的定义为cos A＝；∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，∴cos20°＞cos40°＞cos50°，∴sin70°＞cos40°＞cos50°，故答案为：cos A＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．28．解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，设小正方形的边长为1，则AE＝3，BE＝4，所以tan∠ABC＝＝，故答案为：．29．解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，故答案为：．30．解：tan∠ABC＝＝，故答案为：．31．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝cos A，所以cos A＝，故答案为：．32．解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，CD＝45m．tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，解得：AD＝45（m），∴AB＝45m．故答案为：45．33．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．34．解：原式＝＝+＝1．35．解：∵△ABC中，tan A＝，BC＝6，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝36．解：（1）原式＝135××0.224 95≈135×3.605×0.225≈371293×3.605×0.225≈301165.0；（2）∵α是锐角，且sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴原式＝2﹣4×﹣1+1+3＝3；故答案为：（1）301165.0；37．解：∵∠C＝90°，c＝2，a＝1，∴b＝＝，∴cos A＝＝．38．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞．∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＜AB2＜AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．。

第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦和余弦01 基础题 知识点1 正弦1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sin B ＝(B )A .35B .45C .34D .432．(唐山玉田县月考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值(C )A ．扩大2倍B ．缩小12C ．不变D ．无法确定3．(天津和平区汇文中学单元检测)在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则sin A 的值是(C )A .512B .125C .513D .12134．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若2a ＝3c ，则∠A 25．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3， 设a ＝2k ，c ＝3k(k>0)， 则b ＝c 2－a 2＝5k.∴sin A ＝a c ＝2k 3k ＝23，sin B ＝b c ＝5k 3k ＝53.6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝1213，AB ＝26，求△ABC 的周长．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26，sin A ＝BC AB ＝1213，∴BC ＝24，AC ＝AB 2－BC 2＝262－242＝10. ∴△ABC 的周长为26＋24＋10＝60.知识点2 余弦7．(湖州中考)如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A .35B .45C .34D .438．(承德六校一模)如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C 的值为(D )A .12B .32C .55D .2559．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则cos B 的值为(B )A .74 B .35 C .34 D .4502 中档题10．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为(B )A .12B .55C .1010D .255解析：如图，连接CD 交AB 于O ，根据网格的特点，CD ⊥AB ，在Rt △AOC 中，CO ＝12＋12＝2，AC ＝12＋32＝10.则sin A ＝OC AC ＝210＝55.11．(怀化中考改编)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，求BC 的长度．解：∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x.又∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． ∴BC ＝4x ＝8 cm .12．如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sin A ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．解：∵DE ⊥AB ， ∴∠AED ＝90°.在Rt △AED 中，sin A ＝DE AD ，即DE 10＝35.解得DE ＝6.∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)．13．如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，求cos P 的值．解：作OC ⊥AB 于C 点． 根据垂径定理， AC ＝BC ＝4.∴CP ＝4＋2＝6(cm )．在Rt △OAC 中，OC ＝52－42＝3(cm )． 在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得OP ＝CO 2＋CP 2＝32＋62＝35(cm )．故cos P ＝PC PO ＝635＝255.03 综合题14．(鄂州中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝(D )A .34B .43C .35D .45第2课时 锐角三角函数01 基础题 知识点1 正切1．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是(A )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 5 2．(金华中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A .34B .43C .35D .453．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为(B )A .12B .13C .14D .244．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，55．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BC ＝2，AB ＝3，求tan ∠BCD.解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.又∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝32－22＝ 5. ∴tan A ＝BC AC ＝25＝255.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝255.知识点2 锐角三角函数6．(宜昌中考)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2C ．sin β＝cos βD ．tan α＝17．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为(A )A .43B .45C .54D .348．(福州中考)如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是(C )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sin A ＝BC AB ＝2425，cos A ＝AC AB ＝725，tan A ＝BC AC ＝247.02 中档题10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为(A )A .13B .2－1C ．2－ 3D .1411．(河北模拟)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为(C )A .13B ．2 2C .24D .22312．(泸州中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是(A )A .24 B .14 C .13 D .23解析：由AD ∥BC ，可得△ADF ∽△EBF ，根据相似三角形的性质，可得AD EB ＝AF EF ＝DFBF ，因为点E 是边BC 的中点，AD ＝BC ，所以AD EB ＝AF EF ＝DFBF ＝2.设EF ＝x ，可得AF ＝2x ，在Rt △ABE 中，易证△AFB ∽△BFE ，则BF ＝2x ，再由AD EB ＝AF EF ＝DF BF ＝2，可得DF ＝22x ，在Rt △DEF 中，tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 22x ＝24，故选A .13．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝45，BE ＝2，则tan ∠DBE ＝3．14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝33，求cos A ，tan B 的值．解：∵sin A ＝BC AB ＝33，∴设BC ＝3k ，AB ＝3k(k>0)． 由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝（3k ）2－（3k ）2＝6k. ∴cos A ＝63，tan B ＝ 2.15．(承德六校一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tan B ＝AC BC ＝12，∴AC ＝12BC ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5，∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3. ∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.03 综合题16．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23. 设CD ＝2x ，CF ＝3x(x>0)， ∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan ∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.第3课时 特殊角的三角函数值01 基础题知识点1 特殊角的三角函数值 1．(天津中考)cos 60°的值等于(D )A . 3B ．1C .22D .122．计算2×tan 60°的值等于(D )A .53 B .63C . 5D . 6 3．(防城港中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A .12B ．1C .14D .22 4．(百色中考)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝12，则BC ＝(A )A ．6B ．6 2C ．6 3D ．12 5．求值：sin 60°·tan 30°＝12．6．计算：(1)(安徽中考)|－2|×cos 60°－(13)－1；解：原式＝2×12－3＝－2.(2)(泸州中考)(－3)2＋2 0170－18×sin 45°； 解：原式＝9＋1－32×22＝7.(3)cos 30°·tan 30°－tan 45°； 解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12. (4)22sin 45°＋sin 60°·cos 45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角7．(聊城中考)在Rt △ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是(B )A .22 B .32 C .33 D .128．(河北模拟)在△ABC中，若角A，B满足|cos A－32|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小(D)A．45°B．60°C．75°D．105°9．如果在△ABC中，sin A＝cos B＝22，那么下列最确切的结论是(C)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝60°．知识点3用计算器计算三角函数值11．如图是科学计算器的面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)A.2×cos55＝B.2cos550＝C.2cos55＝D.255cos＝12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)A．0.90 B．0.72C．0.69 D．0.6613．已知sin A＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数)02中档题14．(厦门中考)已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝(A)A．a2B．2a C．b2D．b15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40°B．30°C．20°D．10°16．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)A．23－2 B．0C．2 3 D．217．(邢台县一模)关于x的一元二次方程x2－2x＋cosα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D) A．0°B．30°C．45°D．60°18．(滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为(A)A．2＋ 3 B．2 3C．3＋ 3 D．3 319．如图，有一滑梯AB ，其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则∠A 的度数约为27.8°．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)20．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sin A ＝sin 18°36′≈0.319 0， cos A ＝cos 18°36′≈0.947 8， tan A ＝tan 18°36′≈0.336 5.21．计算：(1)(唐山玉田县月考)tan 45°－3tan 30°＋cos 45°； 解：原式＝1－3×33＋22＝1－1＋22＝22. (2)2sin 60°＋22cos 45°－32tan 60°－3cos 30°. 解：原式＝2×32＋22×22－32×3－3×32＝62＋12－32－32 ＝62－52.22．先化简，再求代数式a 2－ab a 2÷(a b －ba)的值，其中a ＝2cos 30°－tan 45°，b ＝2sin 30°.解：原式＝a （a －b ）a 2÷a 2－b 2ab＝a （a －b ）a 2·ab （a ＋b ）（a －b ） ＝b a ＋b. ∵a ＝2cos 30°－tan 45°＝2×32－1＝3－1， b ＝2sin 30°＝2×12＝1，∴原式＝13－1＋1＝13＝33.23．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB 为2米，一阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米．(精确到0.1米)解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝75°，BC＝2，∴AB＝2cos75°≈7.727(米)，AC＝2×tan75°≈7.464(米)．∴AB－AC＝7.727－7.464≈0.3(米)．答：这棵竹子比楼房高出0.3米．24．若tan A的值是方程x2－(1＋3)x＋3＝0的一个根，求锐角A的度数．解：解方程x2－(1＋3)x＋3＝0，得x1＝1，x2＝ 3.由题意知tan A＝1或tan A＝ 3.∴∠A＝45°或60°.03综合题25．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(B)A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 328.2 解直角三角形及其应用28．2.1 解直角三角形01 基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是(D )A .34B .43C .35D .453．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值是(D )A .43B .34C .35D .454．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则cos A 2＝45．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝20． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形7．(兰州中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝(D )A ．4B ．6C ．8D ．108．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为(B )A ．4.5 cm 2B ．9 3 cm 2C ．18 3 cm 2D ．36 cm 29．(保定月考)如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为(B )A . 3B ．1C . 2D ．210．(牡丹江中考)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝92，点D 在BC 边上，连接AD ，若tan ∠CAD ＝13，则BD 的长为6．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，解这个直角三角形．解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°. ∵sin A ＝ac，∴a ＝c·sin A ＝83×sin 60°＝83×32＝12. ∴b ＝c 2－a 2＝（83）2－122＝4 3.12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. ∵tan B ＝ACBC ，∴BC ＝AC tan B ＝4tan 55°≈2.8. ∵sin B ＝ACAB ，∴AB ＝AC sin B ＝4sin 55°≈4.9.02 中档题13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC 的长为(B )A ．10tan 50°B ．10cos 50°C ．10sin 50°D .10cos 50°14．(随州中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是(A )A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin 36°C ．a ＝2r tan 36°D ．r ＝R cos 36°15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是中线，若BC ＝5，则△ADC 的周长为(B )A ．5＋10 3B ．10＋5 3C ．15 3D ．20 316．(保定月考)如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且sin α＝45，AB ＝4，求AD 的长为(B )A ．3B .163C .203D .16517．(河北模拟)如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝4，BC ＝10，CD ＝6，则tan C 等于(A )A .43B .34C .35D .45提示：连接BD ，则△BCD 为直角三角形．18．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为24．19．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，AD ＝4，AB ＝33，则下底BC 的长为10．03 综合题 20．探究：已知，如图1，在△ABC 中，∠A ＝α(0°＜α＜90°)，AB ＝c ，AC ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示△ABC 的面积；图1图2应用：(孝感中考)如图2，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示▱ABCD 的面积．解：探究：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D. ∵AB ＝c ，∠A ＝α，∴BD ＝c sin α.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12bc sin α.应用：过点C 作CE ⊥DO 于点E. ∴sin α＝ECCO.∵在▱ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ， ∴CO ＝12a ，DO ＝12b.∴S △BCD ＝12CE·BD ＝12×12a sin α·b＝14ab sin α. ∴S ▱ABCD ＝2S △BCD ＝12ab sin α.小专题(五) “四法”确定三角函数值方法1 回归定义1．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长和tan A 的值．解：∵sin A ＝45＝BCAB ，∴BC ＝45AB ＝45×15＝12.∴AC ＝AB 2－BC 2＝9.∴△ABC 的周长为9＋12＋15＝36， tan A ＝BC AC ＝129＝43.2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sin B ＝13，AD ＝1.求：(1)BC 的长；(2)tan ∠DAE 的值． 解：(1)在△ABC 中， ∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1， ∴DC ＝AD ＝1.在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝ADsin B＝3.∴BD ＝AB 2－AD 2＝2 2. ∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1. (2)∵AE 是BC 边上的中线， ∴CE ＝12BC ＝2＋12.∴DE ＝CE －CD ＝2－12.∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12.3．(上海中考改编)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE.求：(1)线段BE 的长； (2)tan ∠ECB 的值．解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3，∴AD ＝2.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝A5°，AB ＝3 2.∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°. ∴AE ＝ 2.∴BE ＝AB －AE ＝2 2. (2)过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H.在Rt △BEH 中，∠EHB ＝90°，∠B ＝45°， ∴EH ＝BH ＝2.又∵BC ＝3，∴CH ＝1. ∴tan ∠ECB ＝EHCH＝2.方法2 巧设参数4．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ∶CD ＝3∶2，则tan B ＝(D )A .32B .23C .62D .635．(定州模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，△ABD 是等边三角形．如图，将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，EF 为折痕，则∠ACE 的正弦值为(D )A .3－17 B .12 C .437 D .176．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点(AF ＞BF)．(1)求证：△ACE ≌△AFE ； (2)求tan ∠CAE 的值．解：(1)证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC ⊥AC ，EF ⊥AF ，∴CE ＝EF. 在Rt △ACE 和Rt △AFE 中，⎩⎨⎧CE ＝FE ，AE ＝AE ，∴Rt △ACE ≌Rt △AFE(HL )． (2)由(1)可知△ACE ≌△AFE ， ∴AC ＝AF ，CE ＝FE.设BF ＝m ，则AC ＝AF ＝2m ，AB ＝3m ， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝9m 2－4m 2＝5m.∴在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝2m 5m ＝255m.在Rt △EFB 中，EF ＝BF·tan B ＝255m ，∴CE ＝EF ＝255m. ∴在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC ＝255m 2m ＝55.方法3 等角代换7．(益阳中考)如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)(B )A .h sin αB .h cos αC .h tan αD ．h ·cos α8．如图，∠1的正切值等于13．9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则tan∠APD 的值是2．10．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G.(1)求证：△DCF ≌△ADG ；(2)若点E 是AB 的中点，设∠DCF ＝α，求sin α的值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝DC ，∠ADC ＝90°.∵CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠CFG ＝90°. ∵AG ∥CF ，∴∠AGD ＝∠CFG ＝90°. ∴∠AGD ＝∠CFD.又∵∠ADG ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，∠DCF ＋∠CDE ＝90°， ∴∠ADG ＝∠DCF.在△DCF 和△ADG 中，⎩⎨⎧∠DFC ＝∠AGD ，∠DCF ＝∠ADG ，DC ＝AD ，∴△DCF ≌△ADG(AAS )．(2)设正方形ABCD 的边长为2a. ∵点E 是AB 的中点，∴AE ＝12×2a ＝a.在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（2a ）2＋a 2＝5a ， ∴sin ∠ADG ＝AE DE ＝a 5a ＝55.∵∠ADG ＝∠DCF ＝α，∴sin α＝55.方法4 构造直角三角形11．(迁安一模)如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 上，若P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为(B )A ．1B ．2C ．3D ．412．(河北中考改编)如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，tan A ＝43.点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ ＝10°时，求∠APB 的大小；(2)当tan ∠ABP ∶tan A ＝3∶2时，求点Q 与点B 间的距离．(结果保留根号)解：(1)当点Q 与B 在PD 异侧时，由∠DPQ ＝10°，∠BPQ ＝90°得∠BPD ＝80°，∴∠APB ＝180°－∠BPD ＝100°.当点Q 与B 在PD 同侧时，如图，∠APB ＝180°－∠BPQ －∠DPQ ＝80°.∴∠APB 是80°或100°.(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，连接BQ.∵tan∠ABP∶tan A＝PHHB∶PHAH＝3∶2，∴AH∶HB＝3∶2.∵AB＝10，∴AH＝6，HB＝4.在Rt△PHA中，∵tan A＝PHAH＝43，∴PH＝8.∴PQ＝PB＝PH2＋HB2＝82＋42＝4 5. ∴QB＝2PB＝410.小专题(六) 走进圆中解直角三角形1．(衢州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为(A )A .12B .22C .32D .332．如图，已知△ABC 的外接圆O 的半径为3，AC ＝4，则sin B 的值为23．3．(凉山中考)如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC ︵的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F ，E ，且BF ︵＝AD ︵.(1)求证：△ADC ∽△EBA ；(2)如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ABC ＋∠CDA ＝180°.又∵∠ABC ＋∠ABE ＝180°，∴∠CDA ＝∠ABE. ∵BF ︵＝AD ︵，∴∠DCA ＝∠BAE. ∴△ADC ∽△EBA. (2)∵A 是BDC ︵的中点， ∴AB ︵＝AC ︵.∴AB ＝AC ＝8. ∵△ADC ∽△EBA ，∴∠CAD ＝∠AEC ，DC BA ＝AC EA ，即58＝8AE .∴AE ＝645.∴tan ∠CAD ＝tan ∠AEC ＝AC AE ＝ 8 645＝58.4．(河北中考)如图，AB ＝16，O 为AB 中点，点C 在线段OB 上(不与点O ，B 重合)，将OC 绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD ，AP ，BQ 分别切优弧CD ︵于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP.(1)求证：AP ＝BQ ；(2)当BQ ＝43时，求QD ︵的长；(结果保留π)(3)若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围．解：(1)证明：连接OQ.∵AP ，BQ 分别与⊙O 相切，∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ，即∠APO ＝∠BQO ＝90°. ∵OA ＝OB ，OP ＝OQ ，∴Rt △APO ≌Rt △BQO. ∴AP ＝BQ.(2)∵BQ ＝43，OB ＝12AB ＝8，∠BQO ＝90°，∴sin ∠BOQ ＝32.∴∠BOQ ＝60°. ∵OQ ＝8×cos 60°＝4，∴QD ︵的长为（270－60）π×4180＝14π3.(3)设点M 为Rt △APO 的外心，则M 为OA 的中点，∴OM ＝4.当点M 在扇形的内部时，OM ＜OC ，∴4＜OC ＜8.5．(保定模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC ＝∠A.(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)连接OC ，如果OC 恰好经过弦BD 的中点E ，且tan C ＝12，AD ＝3，求直径AB 的长．解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠D ＝90°. ∴∠A ＋∠ABD ＝90°. ∵∠DBC ＝∠A ，∴∠DBC ＋∠ABD ＝90°，即∠OBC ＝90°. ∴BC 是⊙O 的切线．(2)∵E 是弦BD 的中点，点O 是AB 的中点， ∴OE ∥AD.∴∠COB ＝∠A.∵∠D ＝∠OBC ＝90°，∴∠C ＝∠ABD. ∵tan C ＝12，∴tan ∠ABD ＝AD BD ＝12，即3BD ＝12.∴BD ＝6.∴AB ＝AD 2＋BD 2＝32＋62＝3 5.6．(河北中考)平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图1摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ ＝60°，OQ ＝OD ＝3，OP ＝2，OA ＝AB ＝1.让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现(1)当α＝0°，即初始位置时，点P 在直线AB 上．(填“在”或“不在”) 求当α是多少时，OQ 经过点B?(2)在OQ 旋转的过程中，简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值； (3)如图2，当点P 恰好落在BC 边上时，求α及S 阴影．拓展(4)如图3，当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM ＝x(x ＞0)，用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．探究(5)当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．备用图解：(1)当OQ 过点B 时，在Rt △OAB 中，AO ＝AB ，得∠DOQ ＝∠ABO ＝45°， ∴α＝60°－45°＝15°.(2)在△OAP 中，OA ＋AP ≥OP ，当OP 过点A ，即α＝60°时，OA ＋AP ＝OP 成立．∴AP ≥OP －OA ＝2－1＝1.∴当α＝60°时，P ，A 间的距离最小．PA 的最小值为1.(3)设半圆K 与BC 的交点为R ，连接RK ，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，过点R 作RE ⊥KQ 于点E. 在Rt △OPH 中，PH ＝AB ＝1，OP ＝2， ∴∠POH ＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.∵AD ∥BC ，∴∠OPB ＝∠RPQ ＝∠POH ＝30°. ∴∠RKQ ＝2×30°＝60°. ∴S 扇形RKQ ＝60π×（12）2360＝π24.在Rt △RKE 中，RE ＝RK·sin 60°＝34， ∴S △RKP ＝12PK·RE ＝316.∴S 阴影＝π24＋316.(4)∵∠OAN ＝∠MBN ＝90°，∠ANO ＝∠BNM ，∴△AON ∽△BMN. ∴AN BN ＝AO BM ，即1－BN BN ＝1x .∴BN ＝x x ＋1. 如图4，当点Q 落在BC 上时，x 取得最大值，作QF ⊥AD 于点F. BQ ＝AF ＝OQ 2－QF 2－OA ＝32－12－1＝22－1. ∴x 的取值范围是0＜x ≤22－1.(5)半圆与矩形相切，分三种情况： ①如图③，半圆K 与BC 切于点T ，设直线KT 与AD 和OQ 的初始位置所在直线分别交于点S ，O ′，则∠KSO ＝∠KTB ＝90°，作KG ⊥OO′于点G.在Rt △OSK 中，OS ＝OK 2－SK 2＝（52）2－（32）2＝2. 在Rt △OSO ′中，SO ′＝OS·tan 60°＝23，KO ′＝23－32.在Rt △KGO ′中，∠O ′＝30°，∴KG ＝12KO′＝3－34.在Rt △OGK 中，sin α＝KGOK＝3－3452＝43－310. ②半圆K 与AD 切于点T ，如图6，同理可得sin α＝KG OK ＝12O′K 52＝12（O′T －KT ）52＝12×[3×（52）2－（12）2－12]＝62－110. ③当半圆K 与CD 相切时，点Q 与点D 重合，且D 为切点． ∴α＝60°.∴sin α＝sin 60°＝32. 综上所述，sin α的值为43－310或62－110或32.28.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1．(丽水中考)如图是某小区的一个健身器材，已知BC ＝0.15 m ，AB ＝2.70 m ，∠BOD ＝70°，求端点A 到地面CD 的距离．(精确到0.1 m ．参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F.又∵OD ⊥CD ，∴AE ∥OD. ∴∠A ＝∠BOD ＝70°. 在Rt △AFB 中，AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos A ≈2.7×0.34＝0.918.∴AE ＝AF ＋BC ＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1. 答：端点A 到地面CD 的距离约是1.1 m .2．(台州中考)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：过A 作AC ⊥OB 于点C ， 在Rt △AOC 中，∠AOC ＝40°， ∴sin 40°＝ACOA .又∵AO ＝1.2米，∴AC ＝OA·sin 40°≈1.2×0.64＝0.768(米)． ∵AC ＝0.768米＜0.8米，∴车门不会碰到墙．知识点2 利用视角解直角三角形3．(石家庄裕华区模拟)如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7 m ，则树高BC 为(用含α的代数式表示)(C )A ．7sin αB ．7cos αC ．7tan αD .7tan α4．(临沂中考)如图，两座建筑物的水平距离BC ＝30 m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．解：延长CD ，交AE 于点E ，则DE ⊥AE ，在Rt △AED 中，AE ＝BC ＝30 m ，∠EAD ＝30°， ∴ED ＝AE·tan 30°＝10 3 m .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝30 m ，∴AB ＝30 3 m .∴CD ＝EC －ED ＝AB －ED ＝303－103＝203(m )．02 中档题5．(邵阳中考)如图所示，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR的距离是40 km ，仰角是30°.n 秒后，火箭到达B 点，此时仰角是45°，则火箭在这n 20)km .6．(东营中考)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A 处测得塔顶的仰角为α，在B 处测得塔顶的仰角为β，又测量出A 、B 两点的距离为s 米，则塔高为tan α·tan β·stan β－tan α米．7．(唐山古冶区一模)如图，河的两岸l 1与l 2相互平行，A ，B 是l 1上的两点，C ，D 是l 2上的两点，某人在点A 处测得∠CAB ＝90°，∠DAB ＝30°，再沿AB 方向前进20米到达点E(点E 在线段AB 上)，测得∠DEB ＝60°，求C ，D 两点间的距离．解：过点D 作l 1的垂线，垂足为F ，∵∠DEB ＝60°，∠DAB ＝30°， ∴∠ADE ＝∠DEB －∠DAB ＝30°.∴△ADE 为等腰三角形．∴DE ＝AE ＝20. 在Rt △DEF 中，EF ＝DE·cos 60°＝20×12＝10.∵DF ⊥AF ，∴∠DFB ＝90°.∴AC ∥DF. 由已知l 1∥l 2，∴CD ∥AF.∴四边形ACDF 为矩形，CD ＝AF ＝AE ＋EF ＝30.∴C ，D 两点间的距离为30米．03 综合题8．(廊坊安次区二模)小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的俯角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为203米．(1)求出大厦的高度BD ； (2)求出小敏家的高度AE.解：(1)∵AC ⊥BD ， BD ⊥DE ，AE ⊥DE ， ∴四边形AEDC 是矩形．∴AC ＝DE ＝203米．∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝45°， ∴BC ＝AC ＝203米．在Rt △ACD 中，tan 30°＝CDAC ，∴CD ＝AC·tan 30°＝203×33＝20(米)． ∴BD ＝BC ＋CD ＝(203＋20)米． ∴大厦的高度BD 为(203＋20)米． (2)∵四边形AED C 是矩形， ∴AE ＝CD ＝20米．∴小敏家的高度AE 为20米．第2课时 与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用方向角解直角三角形1．(河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为(D )A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里2．轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是(D )A ．253海里B ．252海里C ．50海里D ．25海里3．(南京中考)如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上．这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)解：过点C 作CH ⊥AD ，垂足为H ，设CH ＝x km ， 在Rt △ACH 中，∠A ＝37°， ∵tan A ＝CHAH，∴AH ＝CH tan 37°＝xtan 37°.在Rt △CEH 中，∠CEH ＝45°， ∵tan ∠CEH ＝CH EH ，∴EH ＝CHtan 45°＝x.∵CH ⊥AD ，BD ⊥AD ， ∴∠AHC ＝∠ADB ＝90°.∴HC ∥DB. ∴AH HD ＝AC CB. 又∵C 为AB 的中点， ∴AC ＝CB. ∴AH ＝HD.∴xtan 37°＝x ＋5.∴x ＝5×tan 37°1－tan 37°≈5×0.751－0.75＝15.∴AE ＝AH ＋HE ＝15tan 37°＋15≈35(km )．因此，E 处距离港口A 大约35 km .知识点2 利用坡度、坡角解直角三角形4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为(B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米5．已知四个规模不同的滑梯A ，B ，C ，D ，它们的滑板长(平直的)分别为300 m ，250 m ，200 m ，200 m ；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度说法正确的是(B )A ．A 的最高B ．B 的最高C ．C 的最高D ．D 的最高6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度．(精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点E ，F ，则四边形BCFE 是矩形． 由题意，得BC ＝EF ＝6米，BE ＝CF ＝20米， ∵斜坡AB 的坡度i 为1∶2.5，BE ＝20米， ∴BE AE ＝12.5.∴AE ＝50米． 在Rt △CFD 中，∠D ＝30°， ∴DF ＝CFtan D＝203米． ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝50＋6＋203≈90.6(米)． 答：坝底AD 的长度约为90.6米．02 中档题7．(唐山丰南区一模)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是(C )A ．2海里B ．2sin 55°海里C ．2cos 55°海里D ．2tan 55°海里8．(青岛中考)如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520 km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．(结果保留整数．参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，3≈1.73)解：作BD ⊥AC 于点D.在Rt △ABD 中，∠ABD ＝67°， sin ∠ABD ＝AD AB ≈1213，∴AD ≈1213AB ＝480 km .cos ∠ABD ＝BD AB ≈513，∴BD ≈513AB ＝200 km .在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°， tan ∠CBD ＝CD BD ＝33.∴CD ＝33BD ≈115 km . ∴AC ＝CD ＋DA ≈595 km .答：A 地到C 地之间高铁线路的长约为595 km .9．(遵义中考)如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°.∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米．∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米． 在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°， ∴AH ＝HE ＝(25＋103)米．∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米． 答：楼房AB 的高为(35＋103)米．03 综合题10．(连云港中考)如图，湿地景区岸边有三个观景台A ，B ，C.已知AB ＝1 400米，AC ＝1 000米，B 点位于A 点的南偏西60.7°方向，C 点位于A 点的南偏东66.1°方向．(1)求△ABC 的面积；(2)景区规划在线段BC 的中点D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD.试求A ，D 间的距离．(结果精确到0.1米．参考数据：sin 53.2°≈0.80，cos 53.2°≈0.60，sin 60.7°≈0.87，cos 60.7°≈0.49，sin 66.1°≈0.91，cos 66.1°≈0.41，2≈1.414)解：(1)过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E.在Rt △AEC 中，∠CAE ＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°， ∴CE ＝AC·sin 53.2°≈1 000×0.8＝800(米)．∴S △ABC ＝12AB·CE ＝12×1 400×800＝560 000(平方米)．(2)连接AD ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则DF ∥CE.∵D 是BC 的中点，∴DF ＝12CE ＝400米，BF ＝EF ＝12BE ，AE ＝AC·cos 53.2°≈600米．∴BE ＝BA ＋AE ＝1 400＋600＝2 000(米)． ∴AF ＝12BE －AE ＝400米．由勾股定理，得AD ＝AF 2＋DF 2＝4002＋4002＝4002≈565.6(米)． 答：A ，D 间的距离约为565.6米．小专题(七) 构造基本图形解直角三角形的应用题类型1 构造单一直角三角形 1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A 为54°，∠B 为36°，斜边AB 的长为2.1 m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.9 m ．求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长．(结果精确到0.1 m ．参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38)解：由题意，得∠C ＝180°－∠B －∠A ＝180°－36°－54°＝90°. 在Rt △ABC 中，sin A ＝BCAB，∴BC ＝AB·sin A ＝2.1×sin 54°≈1.701(m )，∴CD ＝BC －BD ＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m )．类型2 母子三角形2．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE ＝3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i ＝1∶0.75，坡长BC ＝10米，则此时AB 的长约为(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)(A )A ．5.1米B ．6.3米C ．7.1米D ．9.2米3．(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30°方向上．(1)求∠APB 的度数；(2)已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？解：(1)在△APB 中，∠PAB ＝30°，∠ABP ＝120°， ∴∠APB ＝180°－30°－120°＝30°. (2)过点P 作PH ⊥AB 于点H.在Rt △APH 中，∠PAH ＝30°，AH ＝3PH. 在Rt △BPH 中，∠PBH ＝60°，BH ＝33PH. ∴AB ＝AH －BH ＝233PH ＝50.∴PH ＝253＞25.∴海监船继续向正东方向航行仍然安全．类型3 背靠背三角形4．(天津中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求BP 和BA 的长．(结果取整数，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05，2取1.414)解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.由题意可知，∠A ＝64°，∠B ＝45°，PA ＝120. 在Rt △APC 中，sin A ＝PC PA ，cos A ＝ACPA ，∴PC ＝PA·sin A ＝120×sin 64°.AC ＝PA·cos A ＝120×cos 64°.在Rt △BPC 中，sin B ＝PC BP ，tan B ＝PC BC ，∴BP ＝PC sin B ＝120×sin 64°sin 45°≈120×0.9022≈153.BC ＝PC tan B ＝PC tan 45°＝PC ＝120×sin 64°.∴BA ＝BC ＋AC ＝120×sin 64°＋120×cos 64° ≈120×0.90＋120×0.44≈161.答：BP 的长约为153海里，BA 的长约为161海里．5．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A ，B 的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向，在小区B 的西南方向，小区A ，B 之间距离为300(3＋1)米．求供水站M 分别到小区A ，B 的距离．(结果可保留根号)解：作ME ⊥AB ，垂足为E.设ME ＝x 米．在Rt △AME 中，∠MAE ＝90°－60°＝30°， ∴AM ＝2ME ＝2x, AE ＝MEtan 30°＝3x.在Rt △BME 中，∠MBE ＝90°－45°＝45°， ∴ME ＝EB ＝x ，MB ＝2x.∵AE ＋BE ＝AB ＝300(3＋1)，即3x ＋ x ＝300(3＋1)，解得x ＝300. ∴AM ＝2ME ＝2x ＝600，MB ＝2x ＝300 2.答：供水站M 到小区A ，B 的距离分别是600米、3002米．6．(德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用的时间为0.9秒．已知∠B ＝30°，∠C ＝45°.(1)求B ，C 之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km /h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1，4)解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m . ∵在Rt △ACD 中，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝10 m .在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD ，∵∠B ＝30°， ∴33＝10BD. ∴BD ＝10 3 m .∴BC ＝BD ＋DC ＝(103＋10)m .答：B ，C 之间的距离是(103＋10)m . (2)这辆汽车超速，理由如下： 由(1)知BC ＝(103＋10)m ≈27 m . ∴汽车速度为270.9＝30(m /s )＝108 km /h .∵108＞80，∴这辆汽车超速．类型4 与梯形有关的解直角三角形7．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，斜面坡度i ＝1∶3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为点F. 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB·sin B ＝6×sin 60°＝33， BF ＝AB·cos B ＝6×cos 60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形．∴DE ＝AF ＝33，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝ED EC ＝13，∴EC ＝3ED ＝3×33＝9.∴BC ＝BF ＋FE ＋EC ＝3＋4＋9＝16. ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC)·DE＝12×(4＋16)×3 3≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.章末复习(三) 锐角三角函数01 基础题知识点1 利用定义求锐角三角函数值1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是(C )A .35B .34C .45D .432．(广州中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17．3．(龙岩中考)如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠12知识点2 特殊角的三角函数值4．(贵港一模)若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(C )A .13B .12C .33D .32 5．在△ABC 中，若cos A ＝22，tan B ＝3，则这个三角形一定是(D ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形6．(武威中考)已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝75°．知识点3 解直角三角形7．如图是教学用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan A ＝33，则边BC 的长为(C ) A ．30 3 cm B ．20 3 cm C ．10 3 cm D ．5 3 cm8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，则AD 的长为4．知识点4 解直角三角形的应用9．(宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)。

第二十八章《锐角三角函数》检测卷时间：120分钟 满分：150分题号 -一- -二二 三四 五 六七八总分得分、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. tan30的值等于（ ）2.如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90° AB = 2BC ，贝U sinB 的值为（）33. 已知在 Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° sinA = 3，则 cosB的值为（）A 三 B.3 C.5 D ・44455A . 30 °B . 60 °C . 90 °D . 120 ° A 5.在等腰厶 ABC 中，AB = AC = 10cm , BC = 12cm ，贝U co%的值是（）- 3 5A.”B.5C.4D.4 6. 如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，△ ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan / ABC 的值为（） 3 3 10 BQ C W D . 17.如图，一河坝的横断面为等腰梯形 A BCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i = 1 : 1.5，则坝底AD 的长度为（）A . 26 米B . 28 米C . 30 米D . 46 米&如图，为了测得电视塔的高度 AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶 端A 的仰角为30°再向电视塔方向前进 100米到达F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60 °则这个电视塔的高度 AB 为（ ）B FC 迪 C. 3 3 D.2A.1B •乎 2 2□ AZ Z □ /\二-□4 .在△ ABC 中，若 si nA —+ cosB — 于=0，则/ C 的度数为（疔D . 1第6题图A. 50 ,3米B . 51 米C . （50 . 3 + 1）米D . 101 米9. 如图，O O的直径AB= 4, BC切O O于点B, OC平行于弦AD , OC= 5,贝U AD的110. 如图，在△ ABC 中，/ ACB = 90° AB = 10, tanA =-.点P 是斜边 AB 上一个动点,过点P 作PQ 丄AB ,垂足为P ,交边AC （或边CB ）于点Q.设AP = x ,A APQ 的面积为y ,则 y 与x 之间的函数图象大致为（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. _______________________________________________________ 在△ ABC 中，/ C = 90° AB = 13, BC = 5，贝U tanB = ______________________________________cos 0= _______ .13.如图，一艘轮船在小岛 A 的北偏东60。

【人教版】2018届九年级下《第28章锐角三角函数》检测卷时间：120分钟 满分：150分题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．tan30°的值等于( ) A.13 B.22 C.33 D.322．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( )A.12B.22C.32D ．1第2题图 第6题图 第7题图3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，则cos B 的值为( )A.74 B.34 C.35 D.454．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －322＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A2的值是( )A.35B.45C.34D.546．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105D ．1 7．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米8．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为( )A ．503米B ．51米C ．(503＋1)米D ．101米9．如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( )A.65B.85C.75D.23510．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan A ＝12.点P 是斜边AB 上一个动点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC (或边CB )于点Q .设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则tan B ＝________．12．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cos θ＝________．13．如图，一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时．14．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y .据此判断下列等式成立的是__________(填序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y .三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算： (1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.16．根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝36，b＝9 2.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．巢湖为我国五大淡水湖之一，是皖中著名的旅游胜地．如图，某同学欲测量巢湖的东西向长度，于是他选择了巢湖沿岸三个地点A，B，C，并测得B，C两地直线距离为40km，∠A＝45°，∠B＝30°，求巢湖东西向长度AB(结果精确到0.1km，参考数据：3≈1.73)．18.某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：课题测量教学楼高度方案一二图示测得数据CD＝6.9米，∠ACG＝22°，∠BCG＝13°.EF＝10米，∠AEB＝32°，∠AFB＝43°.参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23.sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93.请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度(结果保留整数)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB的值和AD 的长．20．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．六、(本题满分12分)21．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC .若CD ＝3，BD ＝26，sin ∠DBC ＝33，求对角线AC 的长．七、(本题满分12分)22．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，如图，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D 处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E 点，在点E 处测得雕像顶端A 的仰角为60°，求雕像AB 的高度．八、(本题满分14分)23．如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A 、B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A 、B 两船相距100(3＋1)海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．(1)分别求出A 与C 、A 与D 之间的距离AC 和AD (如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 航行去营救船C ，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.C9．B 解析：连接BD .∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，∴∠ADB ＝90°，OB ＝2.∵OC ∥AD ，∴∠A ＝∠BOC ，∴cos A ＝cos ∠BOC .∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝25，∴cos A ＝cos ∠BOC ＝25.又∵cos A ＝AD AB ，AB ＝4，∴AD ＝85.故选B.10．B 解析：当点Q 在AC 上时，∵在Rt △APQ 中，tan A ＝12，AP ＝x ，∴PQ ＝12x ，∴y ＝12AP ·PQ＝12x ·12x ＝14x 2；当点Q 在BC 上时，∵AP ＝x ，AB ＝10，∴BP ＝10－x .在Rt △BPQ 中，tan B ＝AC BC ＝1tan A ＝2，∴PQ ＝2BP ＝20－2x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x (20－2x )＝－x 2＋10x ，∴该函数图象前半部分是抛物线，开口向上，后半部分也为抛物线，开口向下，并且当Q 点在C 时，x ＝8，y ＝16.故选B.11.125 12.45 13.40＋403314．②③④ 解析：cos(－60°)＝cos60°＝12，故①错误；sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝12×22＋32×22＝24＋64＝2＋64，故②正确；sin2x ＝sin(x ＋x )＝sin x ·cos x ＋cos x ·sin x＝2sin x ·cos x ，故③正确；sin(x －y )＝sin x ·cos(－y )＋cos x ·sin(－y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y ，故④正确．故答案为②③④.15．解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝3＋12－3＝12.(4分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(8分) 16．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(8分)17．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.(1分)∵在Rt △BDC 中，∠B ＝30°，BC ＝40km ，∴CD ＝BC ·sin B ＝40×12＝20(km)，BD ＝BC ·cos B ＝40×32＝203(km)．(4分)∵在Rt △ADC中，∠A ＝45°，CD ＝20km ，∴AD ＝CD ＝20km ，∴AB ＝AD ＋BD ＝20＋203≈54.6(km)．(7分)答：巢湖东西向长度AB 大约是54.6km.(8分)18．解：若选择方法一，解法如下：∵在Rt △BGC 中，∠BCG ＝13°，BG ＝CD ＝6.9米，tan ∠BCG ＝BG CG ，∴CG ＝BG tan13°≈6.90.23＝30(米)．(3分)∵在Rt △ACG 中，∠ACG ＝22°，CG ≈30米，tan ∠ACG ＝AGCG，∴AG ＝CG ×tan22°≈30×0.40＝12(米)，(6分)∴AB ＝AG ＋BG ＝12＋6.9≈19(米)．(7分) 答：教学楼的高度约为19米．(8分)若选择方法二，解法如下：∵在Rt △AFB 中，∠AFB ＝43°，tan ∠AFB ＝AB FB ，∴FB ＝AB tan43°≈AB0.93.(3分)∵在Rt △ABE 中，∠AEB ＝32°，tan ∠AEB ＝AB EB ，∴EB ＝AB tan32°≈AB0.62.(5分)∵EF ＝EB －FB ＝10米，∴AB 0.62－AB0.93＝10，∴AB ≈19米．(7分) 答：教学楼的高度约为19米．(8分)19．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB .(3分)∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x .在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴AC CD ＝2，∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.(7分)由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455.(10分)20．解：过点P 作PN ⊥AB 于点N .(1分)由题意可得∠APB ＝∠90°，ABP ＝30°，AB ＝8cm ，∴AP ＝4cm ，BP ＝AB ·cos30°＝43cm.(4分)∵S △APB ＝12AB ·PN ＝12AP ·BP ，∴PN ＝AP ·BP AB ＝4×438＝23(cm)，(8分)∴9－23≈5.5(cm)．(9分)答：容器中牛奶的高度约为5.5cm.(10分)21．解：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，(1分)则∠E ＝90°.∵在Rt △BDE 中，sin ∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝22，∴BE ＝BD 2－DE 2＝4.∵在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝22，∴CE ＝CD 2－DE 2＝1，∴BC ＝BE －CE ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB .(4分)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD .同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是菱形．(7分)设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ＝6，(10分)∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2OC ＝2 3.(12分)22．解：过点E 作EF ⊥AC ，EG ⊥CD ，垂足分别为点F ，G .(1分)∵在Rt △DEG 中，DE ＝1620尺，∠D ＝30°，∴EG ＝DE ·sin D ＝1620×12＝810(尺)．(3分)由题意可得BC ＝857.5尺，CF ＝EG ＝810尺，∴BF ＝BC －CF ＝857.5－810＝47.5(尺)．∵在Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BFEF ，∠BEF ＝30°，∴EF ＝3BF .(7分)设AB ＝x 尺．∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝60°，tan ∠AEF ＝AFEF ，∴AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝3EF ＝3BF ，∴x ＋47.5＝3×47.5，∴x ＝95.(11分)答：雕像AB 的高度为95尺．(12分)23．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .(2分)设AE ＝x 海里．在Rt △AEC 中，∠CAE ＝60°，∴CE ＝AE ·tan60°＝3x 海里，AC ＝AEcos60°＝2x 海里．(4分)在Rt △BCE 中，∠CBE ＝45°，∴BE ＝CE ＝3x 海里．∵AB ＝AE ＋BE ＝100(3＋1)海里，∴x ＋3x ＝100(3＋1)，解得x ＝100.∴AC ＝200海里．(6分)在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，则∠ACD ＝45°.设AF ＝y 海里．在Rt △AFD 中，∠DAF ＝60°，∴AD ＝2y 海里，DF ＝3y 海里．在Rt △CFD 中，∠DCF ＝45°，∴CF ＝DF ＝3y 海里．∵AC ＝AF ＋CF ＝200海里，∴y ＋3y ＝200，解得y ＝100(3－1)，∴AD ＝2y ＝200(3－1)海里．(9分)答：A 与C 之间的距离AC 为200海里，A 与D 之间的距离AD 为200(3－1)海里．(10分) (2)没有．(11分)由(1)可知DF ＝3AF ＝3×100(3－1)≈127(海里)．(13分)∵127海里＞100海里，∴巡逻船A 沿直线AC 航行去营救船C ，在去营救的途中没有触暗礁危险．(14分)。