函数的单调性教学设计

一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。

因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。

使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。

使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。

另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。

2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。

在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受---定性描述---定量刻画---具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。

3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。

函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。

《函数的单调性》教学设计一、教学内容1. 函数单调性的定义：函数单调递增和单调递减的定义及其性质。

2. 单调性的判断方法：利用导数、图像以及定义法判断函数的单调性。

3. 单调性在实际问题中的应用：求解最值问题、不等式问题等。

二、教学目标1. 理解函数单调性的定义，掌握单调递增和单调递减的概念。

2. 学会利用导数、图像以及定义法判断函数的单调性。

3. 能够运用单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：单调性的判断方法，特别是利用导数判断单调性。

2. 教学重点：函数单调性的定义，单调性的判断方法以及单调性在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：笔记本、彩笔、函数图像绘制工具。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个实际问题，引发学生对函数单调性的思考。

例题：某商品的价格随销售量的增加而减少，问销售量为多少时，商品的价格最低？3. 单调性的判断方法：（1）利用导数：讲解导数与函数单调性的关系，引导学生学会利用导数判断函数的单调性。

（2）利用图像：引导学生观察函数图像，判断函数的单调性。

（3）利用定义法：讲解如何利用定义法判断函数的单调性。

4. 单调性在实际问题中的应用：通过例题，讲解单调性在求解最值问题、不等式问题等方面的应用。

5. 随堂练习：让学生通过实际问题，运用所学知识解决，巩固所学内容。

六、板书设计1. 函数单调性的定义。

2. 单调性的判断方法：导数法、图像法、定义法。

3. 单调性在实际问题中的应用。

七、作业设计（1）y = x^2（2）y = x^2（3）y = 2x + 3某商品的价格随销售量的增加而减少，已知销售量为100时，价格为5000元，销售量为200时，价格为4000元。

求销售量为多少时，商品的价格最低？八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实际问题引入，让学生了解了函数单调性的概念及其应用，通过讲解和练习，使学生掌握了单调性的判断方法。

函数的单调性（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. （2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明. 2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用. （三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.（四）教学过程 教学 环节教学内容师生互动设计意图提出 问题观察一次函数f (x ) = x 的图象：函数f (x ) = x 的图象特征由左到右是上升的.师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象 的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.yx11 O引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x …–4–3 –2 –1 0f(x)=x216 9 4 1 01 2 3 4 …1 4 9 16 …x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大，图象上升.师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由–4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f (x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数（increasing function）；师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x) = x2在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.O xy如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数（decreasing function）.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x)在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.xx1 x2Oyf (x1) f (x2)y=f (x)xx1 x2Oyf (x1)f (x2)y=f (x)（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.例2 物理学中的玻意耳定律kpV=(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数. 个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2）增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.例2 分析：按题意，只要证明函数kpV=在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即21121212()()V Vk kp V p V kV V VV--=-=.由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0.由V1＜V2，得V2 –V1＞0.强化记题步骤与格式.又k＞0，于是p (V1) –p (V2)＞0，即p (V1) ＞p (V2).所以，函数kpV，V(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p将增大.师：投影训练题2生：自主完成训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，因为f (x1) –f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，即f (x1)＞f (x2)，所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.归纳小结1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间.4°利用定义证明单调性步骤.师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用.反思回顾整理知识，提升能力.课后练习1.3第一课时习案学生独立完成巩固知识培养能力备选例题：例1 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.【证明】设任意x1、x2R，且x1＜x2，则f (x1) –f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) –f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数. 【证明】设任意x 1、x 2(0，+ ∞)且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =21121211x x x x x x --=， 由x 1，x 2(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数.。

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。

函数的单调性教学设计课程名称：函数的单调性目标：通过本课教学，学生将能够理解和应用函数的单调性，包括递增和递减的概念以及如何用图像和导数来确定函数的单调性。

教学内容：一、引入（15分钟）1.导入概念：什么是函数？为什么函数是数学中重要的概念？2.回顾函数的图像和图像上的特点。

例如，曲线上其中一点的斜率和曲线的凹凸性。

3.引入函数的单调性的概念。

二、递增函数和递减函数（30分钟）1.定义递增函数和递减函数。

2.使用一个简单的示例函数来说明递增和递减的概念，并绘制函数图像。

3.引导学生找到图像上的递增和递减的区间。

4.指导学生发现递增函数和递减函数之间的关系。

三、图像判断函数的单调性（30分钟）1.讨论如何通过观察函数的图像来判断函数的单调性。

2.使用不同的函数图像来练习判断函数的递增和递减区间。

3.指导学生发现函数的变化趋势和单调性之间的关系。

四、导数判断函数的单调性（30分钟）1.回顾导数的定义和意义。

2.引导学生理解导数的几何意义，切线的斜率。

3.指导学生通过导数的正负来判断函数的递增和递减区间。

4.使用一个示例函数进行实例演练。

五、综合练习和实际应用（30分钟）1.组织学生进行综合练习，绘制函数图像并判断函数的单调性。

2.引导学生思考如何利用函数的单调性解决实际问题。

六、总结与小结（15分钟）1.回顾本课学习的内容，强调函数的单调性的意义和应用。

2.总结如何用图像和导数来判断函数的单调性。

3.解答学生提出的问题，并答疑。

教学手段与方法：1.讲授引入部分的内容，通过解释和示例帮助学生建立起函数和图像的关系。

2.在递增函数和递减函数的讲解过程中，让学生积极参与，发表自己的观点和意见。

3.使用多个函数的图像让学生进行判断，然后进行讨论和分享。

4.在导数判断函数单调性的部分，通过几何意义的讲解和实例演练来帮助学生理解。

5.在综合练习和应用中，鼓励学生合作，提高解决问题的能力。

评估方法：1.检查学生在课堂讨论和实例中的表现，包括回答问题的准确性和解题的思路。

函数的单调性”教学设计教学目标：1.学生能够了解函数的单调性的概念和判断方法。

2.学生能够利用函数的导数和零点，判断函数的单调性。

3.学生能够应用函数的单调性解决实际问题。

教学重点：教学难点：应用函数的单调性解决实际问题。

教学准备：PPT、黑板、教材、练习题教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）教师通过一个有趣的问题引入“函数的单调性”这一概念。

例如：小明要去市场买苹果，他手上只有一张100元的大钞，而市场上每个苹果的价格各不相同。

请问小明应该如何选择购买的苹果种类和数量，才能使得他手上的钱能够买到尽量多的苹果？同学们可以思考一下。

Step 2：引入函数的单调性（15分钟）教师通过上述问题引导学生思考，提出函数的单调性的概念。

教师解释函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势，即随着自变量的增大，函数值是增大还是减小。

教师用PPT或黑板上的例子展示不同种类的函数图像，并让学生观察函数在不同区间的变化趋势。

Step 3：函数的单调性的判断方法（15分钟）教师介绍函数的单调性的判断方法。

1.对于定义在区间上的函数，可以通过求导数和零点的方法判断函数的单调性。

2.如果函数在一些区间上的导数大于零，则函数在这个区间上是递增的；如果函数在一些区间上的导数小于零，则函数在这个区间上是递减的。

Step 4：练习（15分钟）教师提供一些练习题，让学生运用函数的导数和零点，判断函数的单调性。

例如：1.求函数y=x^2的单调区间。

2.求函数y=x^3的单调区间。

Step 5：函数的单调性的应用（15分钟）教师介绍函数的单调性在实际问题中的应用。

例如：1.根据一些函数的单调性，判断一些实际问题中的一些变量的变化趋势。

2.根据一些函数的单调性，求解实际问题中的最优解。

Step 6：归纳总结（10分钟）教师与学生一起总结函数的单调性的概念、判断方法和应用。

教师鼓励学生提出相关问题，以加深对函数的单调性的理解。

Step 7：课堂练习（10分钟）教师布置一些课堂练习题，让学生巩固所学的内容，并及时纠正错误。

高中数学单调性教案怎么写
一、教学目标
1. 理解函数的增减性和单调性的概念。

2. 掌握函数单调性的判定方法。

3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。

二、教学重点和难点
1. 理解函数的单调性概念，掌握判定方法。

2. 应用函数的单调性解决实际问题。

三、教学准备
1. 教师准备：教案、教学PPT、板书笔、教材、教具等。

2. 学生准备：课前提前预习相关内容。

四、教学过程
1. 导入：通过一个例子引导学生了解单调性的概念，如：函数$f(x) = x^2$在区间$[-
2,2]$上的单调性。

2. 教学：讲解函数的增减性和单调性的定义，及如何判定函数的单调性。

3. 辅导：给学生一些练习题进行实操，让学生自己判断函数的单调性，并解释判断的依据。

4. 实践：通过学生自主解决实际问题的练习，培养学生应用函数单调性解决实际问题的能力。

5. 总结：归纳总结本节课学习的内容，强调函数单调性的重要性。

五、布置作业
布置适量的作业，巩固和拓展学生对函数单调性的理解和应用能力。

六、教学反思
教师根据学生的学习情况，及时进行评价和反思，对今后教学提出改进建议。

七、拓展延伸
学生可自行探究其他函数的单调性，如三角函数、指数函数等，进一步提升应用函数的单
调性解决问题的能力。

3.1.3函数的单调性【教学目标】1.理解增函数㊁减函数的定义及增函数㊁减函数的图象特征,初步掌握函数单调性的判定方法.2.能正确地使用符号语言刻画函数的单调性,提升数学表达和数学交流的能力.3.通过对函数单调性的判断和证明,提升直观想象和逻辑推理的核心素养.【教学重点】函数单调性的定义及判断.【教学难点】利用函数单调性的定义判断函数的单调性.【教学方法】本节课主要采用类比教学法和分组教学法.教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势得出增函数㊁减函数的定义,然后对图象进行代数分析,得出证明函数单调性的步骤.本节课的主要思路是从形的直观感知到严密的代数分析,引导学生用数形结合的方法研究函数.最后,借助两个证明题,深化学生对函数单调性定义的理解.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入艾宾浩斯曲线.教师引导学生观察曲线的变化趋势,引入课题.联系实际,激发学生学习兴趣.续表教学环节教学内容师生互动设计意图新课例2证明函数f(x)=3x+2在区间(-ɕ,+ɕ)上是增函数.证明设x1,x2是任意两个不相等的实数,则Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=(3x2+2)-(3x1+2)=3(x2-x1),ΔyΔx=3(x2-x1)x2-x1=3>0.因此,函数f(x)=3x+2在区间(-ɕ,+ɕ)上是增函数.总结由函数的解析式判断函数单调性的步骤:S1取Δx,计算Δy.S2计算k=ΔyΔx.当k>0时,函数在这个区间上是增函数;当k<0时,函数在这个区间上是减函数.例3证明函数f(x)=1x在区间(0,+ɕ)上是减函数.证明设x1,x2是任意两个不相等的正实数,则Δx=x2-x1,教师讲解例2,板书详细的解题过程.教师引导学生总结解题步骤,可简记为:一设㊁二求㊁三判定.学生讨论并试解例3.教师解答学生的困惑.通过例题解答,加深学生对函数单调性定义的理解.归纳证明步骤,从而突破难点.教师点拨,帮助学生判断ΔyΔx的正负.巩固用函数解析式来证明函数单调性的步骤.教学环节教学内容师生互动设计意图新课Δy=f(x2)-f(x1)=1x2-1x1=x1-x2x1x2=-x2-x1x1x2.又因为x1x2>0,所以ΔyΔx=-1x1x2<0.因此,函数f(x)=1x在区间(0,+ɕ)上是减函数.练习证明函数f(x)=3x在区间(-ɕ,0)上是减函数.学生练习.巩固函数单调性的证明方法.小结1.函数单调性的定义.2.判定函数单调性的方法.学生阅读本节教材,畅谈本节课的收获.教师引导学生总结本节课的知识点.通过梳理,加深学生对所学知识的理解.作业本节练习A组第2题.本节练习B组题目.学生课后完成.巩固本节内容.。

函数的单调性微课教学设计引言函数的单调性是高中数学中的重要概念之一。

掌握函数的单调性对于求解方程、不等式、优化问题等数学应用有着重要的作用。

本文将通过微课教学的方式，针对函数的单调性进行教学设计，帮助学生理解和掌握这一概念。

一、教学目标1. 掌握函数的单调性的定义和判断方法；2. 能够根据函数的导数求解函数的单调性；3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。

二、教学内容1. 函数的单调性的定义和判断方法1.1 定义函数单调递增和单调递减的概念；1.2 利用函数值的比较判断函数的单调性；1.3 利用导数判断函数的单调性。

2. 函数的单调性的判断方法的演示2.1 通过图像展示函数的单调递增和单调递减；2.2 通过函数值的比较判断函数的单调性；2.3 通过导数的正负判断函数的单调性。

3. 函数单调性的最值问题3.1 求解函数在定义域内的最大值和最小值；3.2 利用函数的单调性解决最值问题；3.3 通过实例演示函数单调性应用于最值问题。

三、教学过程1. 引入课题1.1 引导学生回顾函数的基本概念；1.2 提出函数的单调性的重要性。

2. 基本知识的讲解2.1 通过教师讲解的方式介绍函数的单调性的定义；2.2 讲解判断函数单调性的方法：函数值的比较和导数的正负。

3. 案例分析3.1 通过具体的函数案例，让学生掌握函数单调性的判断方法；3.2 分析案例中的函数图像，并强调图像与单调性的联系。

4. 计算与推导4.1 教师带领学生通过计算和推导，巩固函数单调性的判断方法；4.2 注重学生的实际操作，培养解题能力。

5. 实例演示5.1 通过实际应用问题的演示，让学生理解函数单调性在实际问题中的应用；5.2 鼓励学生积极思考，提出自己的解题方法。

6. 总结与归纳6.1 整理函数单调性的判断方法；6.2 强调函数单调性在数学应用中的作用。

四、教学评估1. 小组活动1.1 将学生分成小组，让每个小组设计一个函数单调性的问题，互相出题；1.2 通过小组讨论，提高学生的合作能力。

函数单调性教学设计学校：新邵职业中专教材版本：《数学基础模块》高教版教师周欣年级高一学生人数54授课时间2024.4教学内容3.3.1函数单调性课时安排一课时第1课时授课类型新授课一、学情分析从学生整体的学情方面来讲，本班学生整体学习基础及态度相对较好，学生态度参差不齐。

从学生知识掌握程度来说，学生在初中通过一次函数，二次函数，反比例函数已经初步接触了函数的增减情况。

只是未对函数增减情况又更加“抽象”“严格”的过程。

而本节课就是对函数图像从左到右上升（下降）转化为y随x的增大而增大（减小）进行刻画。

同时学生在完成函数的概念这一节内容后，已经初步具备了用集合语言来描述概念的能力。

从学生活动经验基础方面来讲，学生已经逐渐养成通过小组合作讨论探究得到概念的习惯，所以学生具备了一定的交流与合作能力。

二、教材分析本节课选自高等教育出版社《数学基础模块》第三章函数的性质，是学生学习了函数的概念后学习的函数第一个性质。

函数的单调性是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质，相对于初中用自然语言来刻画函数的性质抽象许多。

在函数单调性的研究过程中，经历观察函数图像，结合图表用自然语言描述函数图像特征，用严谨的数学符号语言定义函数性质的过程。

既有从图像上观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法。

是函数研究的深化与提高，也为后阶段研究函数的其他性质提供了方法依据。

三、教学目标设计知识目标1.能够借助函数图像，会用符号表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义；2.会用定义证明简单函数的单调性；3.会根据问题的实际意义，求函数的单调性。

能力目标1.通过观察函数图像，培养数形结合的能力；2.在抽象函数单调性的过程中，感悟数学概念的抽象过程以及符号表示的作用。

素质目标通过生活中的实例，体会函数增减的变化，感受数学来源于生活的思想。

四、教学重点难点·教学重点1.能够借助函数图像，会用符号表达函数的单调性；2.会根据问题的实际意义，求函数的单调性。

《函数的单调性》教学设计与反思一、教学内容本节课的教学内容选自人教A版高中数学必修1第三章函数的单调性。

具体包括：函数单调性的定义，单调增函数和单调减函数的性质，以及利用单调性解决实际问题。

二、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握单调增函数和单调减函数的性质。

2. 能够运用函数单调性解决简单的实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：函数单调性的证明和应用。

2. 教学重点：函数单调性的定义和性质。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、笔、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中常见的物价变化现象，引导学生思考函数的单调性。

2. 概念讲解：介绍函数单调性的定义，并通过示例进行讲解。

3. 性质探讨：引导学生探究单调增函数和单调减函数的性质，并通过示例进行验证。

4. 例题讲解：讲解利用函数单调性解决实际问题的例题，引导学生学会运用单调性分析问题。

5. 随堂练习：布置随堂练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 函数单调性的定义。

2. 单调增函数和单调减函数的性质。

3. 利用函数单调性解决实际问题的方法。

七、作业设计1. 题目：判断下列函数的单调性，并给出证明。

函数1：y = x^2函数2：y = x^2答案：函数1单调增，函数2单调减。

2. 题目：利用函数单调性解决实际问题。

问题：某商品原价为100元，商家进行两次折扣促销，第一次折扣为8折，第二次折扣为7折，求最终成交价。

答案：最终成交价为84元。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过生活实例引入函数单调性，让学生能够更好地理解概念。

在讲解性质时，通过示例进行验证，增强了学生的理解。

在例题讲解环节，培养了学生的实际应用能力。

2. 拓展延伸：引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微积分中的极值问题。

重点和难点解析一、函数单调性的定义函数单调性是函数性质的重要组成部分，它反映了函数值随着自变量变化的大致趋势。

《函数的单调性》教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．二、学法分析在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。

然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。

整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。

三、教学目标知识与技能：1、理解增函数、减函数的概念及其几何意义。

2、学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。

过程与方法：1、通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。

2、通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。

情感与态度：1、通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2、通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

四、教学重点函数单调性的概念、判断及证明．五、教学难点根据定义证明函数的单调性，求简单函数的单调区间．六、教学方法教师启发讲授，学生探究学习．七、教学过程（一）课题引入函数是描述事物运动变化规律的数学模型。

如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。

函数单调性教学设计与反思一、引言函数单调性是高中数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的增减性质。

掌握了函数单调性的概念和判断方法，能够帮助学生更好地理解函数的变化规律和解决实际问题。

本文将介绍一个针对函数单调性的教学设计，并对教学实施进行反思和总结。

二、教学目标1. 知识目标：掌握函数单调性的概念和判断方法，了解单调递增和单调递减函数的特点。

2. 技能目标：能够判断给定函数在定义域上的单调性。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和思维能力，提高解决问题的能力。

三、教学内容1. 函数单调性的定义和判断方法2. 单调递增函数和单调递减函数的特点3. 解决实际问题中的函数单调性应用四、教学步骤1. 导入与激发兴趣（5分钟）通过举例子、提问等方式引导学生回顾函数的概念和性质，激发学生对函数单调性的兴趣。

2. 概念讲解与示例分析（15分钟）讲解函数单调性的定义和判断方法，并通过几个简单的示例进行分析和讨论。

3. 综合练习与答疑（15分钟）提供一些综合练习题，让学生在教师的指导下进行独立思考和解答，并对解题过程中出现的疑惑进行解答。

4. 实际问题应用（20分钟）提供一些与实际问题相关的函数单调性应用题，引导学生运用所学知识解决问题，并让学生展示解题过程和答案。

5. 总结与反思（10分钟）教师对本节课的教学进行总结和反思，引导学生回顾课上的内容，并提出问题让学生进行思考和总结。

六、教学反思通过本节课的教学实施，学生对函数单调性的概念和判断方法有了初步的了解。

但同时也发现了一些问题。

首先，有部分学生在判断函数单调性时容易出现混淆和错误，需要加强相关练习和巩固。

其次，教学过程中缺少足够的互动与讨论的机会，导致学生的思维能力和解决问题的能力得不到充分的发展。

针对这些问题，我计划在以后的教学中加强练习和巩固环节，提供更多的情景模拟和实际问题，同时注重学生的互动和思维能力的培养。

七、结语函数单调性是高中数学中的一个重要概念，对学生的数学思维能力和解决实际问题的能力有着重要的影响。

《§3 函数的单调性》教学设计一、教学背景分析1、学习任务分析内容：函数的单调性。

地位与作用：《函数的单调性》是《高中数学北师大版》（必修1）第二章第3节的内容。

它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。

研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式的参数范围、绘函数图象）以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

2、学生情况分析从知识储备方面，首先，学生已经学习了函数的基本概念，及初中所学的一次函数与二次函数为本节课的进一步学习准备好了必要的知识基础；另外，由于学生初学，因此在课堂上需要多给学生思考及动手操作的时间，适当的时候也需要老师加以引导。

二、教学目标的确定1、教学目标：知识与技能：理解函数单调性的概念，掌握证明函数单调性的方法和步骤。

过程与方法：通过观察图像，归纳，概括出函数的单调性等概念，能用数学单调性解决简单问题，使学生领会数形结合的思想，培养学生观察、分析、归纳等思维能力。

渗透数形结合、特殊到一般等数学思想方法。

培养学生提出问题，分析问题以及数学表达的能力情感态度与价值观：通过对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考，逐步认识数学的科学价值和应用价值，提高数学学习兴趣，树立学好数学的信心。

2、教学重、难点教学重点：（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的形式化过程，深刻理解函数单调性的本质，并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性的概念的理解教学难点：：判断和证明函数单调性三、教学方法与手段教学方法：采用“三主教学法”教师主导，学生主体，思维主线；充分调动学生学习的积极性和主动性渗透数学思索方程；启发探究相结合四、授课类型：新授课五、教学课时：一课时六、教学用具：计算机、投影仪、彩色粉笔七、教学过程的设计（一）、创设情境，引入新课【活动】：多媒体展示图片，让学生观看图片，引入新课，（二）、归纳探索，形成概念1、借助图象，直观感知回顾一次函数与二次函数图像特征，为本节课研究函数单调性做好准备。

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《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。

把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。

从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。

【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。