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绝密★启用前2013年全国硕士研究生入学统一考试管理类专业硕士学位联考试卷详解太奇教育集团 数学深度解析1. 某工厂生产一批零件，计划10天完成任务，实际提前2天完成任务，则每天的产量比计划平均提高了（ ）A.15%B.20%C.25%D.30%E.35%【考点】比例 【难度】容易【解析】10/8-1=25%，选C.2. 甲乙两人同时从A 点出发，沿400米跑道同向匀速行走，25分钟后乙比甲少走一圈， 若乙行走一圈需要8分钟，甲的速度是（单位：米/每分钟）（ ） A.62B.65C.66D.67E.69【考点】比例 【难度】容易 【解析】400-1616501666.25V V V V ===+=+=甲乙甲乙， 选C. 3. 甲班共有30名同学，在一次满分为100分的考试中，全班的平均成绩为90分，则成 绩低于60分的同学至多有（ ）个A.8B.7C.6D.5E.4 【考点】至少至多 【难度】难【解析】成绩低于60分的设x 人，都按照59分算，其他人都按照100分算， 从而59x+100(30-x)=90×30，取整解得x=7，选B.4. 某工程由甲公司60天完成，由甲、乙两公司共同承包需要28天完成，由乙、丙两公 司共同承包需要35天完成，则由丙公司承包该工程需要的天数为（ ） A.85B.90C.95D.100E.105【考点】工程问题 【难度】容易【解析】有题得到效率关系：1111111=+=+==.602835603528105⇒+−=甲，甲乙，乙丙丙故丙单独需要105 天。
选E 。
5. 已知()()()()()()()111...1223910f x x x x x x x =+++++++++，则()8f =（ ）A.19 B.110C.116D.117E.118【考点】裂项抵消 【难度】容易【解析】11111(),(8)11091818f x f x x =−=−=++，选E 。
2013年江苏省数学竞赛夏令营例题讲义（唐一良）2013江苏省数学奥林匹克夏令营讲义——平面几何江苏省扬州中学唐一良例1.1在△ABC 的外接圆的 AB(不含点C ) 、 BC (不含点A ) 上分别取点K 、L ,使得直线KL 与直线AC 平行. 证明: △ABK 和△CBL 的内心到 AC (包含点B ) 的中点的距离相等.例1.2已知⊙O 、⊙I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D ，都可以作一个△DEF ，使得⊙O 、⊙I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆．例1.3在△ABC 的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆O '，该小圆又分别与AB 、AC 相切于P 、Q 两点。
求证：线段PQ 的中点恰为△ABC 内切圆的圆心。
（IMO -20试题推广）例 1.4.如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ?（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 BC、 AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ?的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ?=?；⑵在弧 AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ?，QCB △的内心分别为1I ，2I ，求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．例1.5如图，设△ABC 内接于⊙O ，P 为弧 BAC的中点，Q 为P 的对径点，I 为△ABC 的内心，PI 与边BC 交于点D ，△AID 的外接圆与P A 的延长线交于点F ，点E 在线段PD 上，满足DE ＝DQ ，记△ABC 的外接圆、内切圆的半径分别为R ,r ，若∠AEF ＝∠APE ，证明：sin 2∠BAC ＝2rR(2013年国家队测试题)例2.1 已知△ABC 的∠C 内的旁切圆与边AB 切于点C '，设Z 为由点C 引出的△ABC 的高的中点，证明：△ABC 的内心在直线C 'Z 上。
2013高考试题解析分类汇编（理数）19：变换与矩阵、极限一、选择题1 ．(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）展开式为ad-bc 的行列式是（ ）A ．a b d cB ．a c b dC ．a d b cD ．b ad cB2 ．在数列{}na 中，21n na=-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i ji j i j aa a a a =⋅++，(1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ）(A ）18 (B)28 (C)48 （D)63,21i j i j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．二、填空题3 ．(2013年高考上海卷（理））若2211x xx y y y=--，则______x y +=0x y +=。
2220x y xy x y +=-⇒+=．4 ．（2013年高考上海卷（理）)计算:20lim ______313n n n →∞+=+根据极限运算法则,201lim 3133n n n →∞+=+．三、解答题（每题10分，共30分）5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题(纯WORD 版））矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.（Ⅰ)求实数,a b 的值；(Ⅱ)若点0(,)p x y 在直线上,且0000x x A yy ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求点p 的坐标。
解:(Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x yy y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由0000x x A yy ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点0(,)P x y 在直线上,所以01x =故点P 的坐标为(1,0)6 ．(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题））B. ［选修4—2:矩阵与变换］本小题满分10分.已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。
中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试卷（第一天）一、填空题（每题7分，共70分）1. 已知*N k ∈，且3≥k ，若一元二次方程2(1)20k x px k --+=的两个根都是正整数,则212()51()3p k p k +++-的值等于 。
【解析】设方程2(1)20k x px k --+=的两个根12,x x 都是正整数，由韦达定理，得121p x x k +=-，① 12x x 21k k =-，② 由②，12x x 21k k =-22,1k =+-又因为*N k ∈，且3≥k ，所以12,3,k k -==即于是12x x 3=，所以124x x +=，代入①得8p =， 故212()51()3p k p k +++-2121151=⨯+113⨯-=2019.2. 若等腰直角三角形的三个顶点均在边长为1的正方形的边上，且不与正方形的顶点重合，则该等腰直角三角形面积的取值范围为______________。
【解析】)21,41[3.2019年全国高中数学联赛一试试卷由8道填空题和3道解答题组成，其中填空题每小题7分；解答题分步给分，第一道解答题14分，分三步各自分数为4,4,6分；第二和第三道解答题均为15分，分三步每步5分，解答题中若第n 步不得分则第m 步（n m >）也不得分; 那么共有______种得分方式恰好能够得到80分。
(用数字作答)【解析】由于填空题每题7分，解答题第二题和解答题第三题均为每步5分，所以我们优先考虑解答题第一题的得分（1）解答题第一题得14分时 由于总分被扣掉20分，因此只能是被扣掉4个5分，填空题满分，这4个5分的扣分情况有3种（第二题扣15第三题扣5，第二题扣10第三题扣10，第二题扣5第三题扣15）（2）解答题第一题得8分时 由于余下题目被扣掉14分，因此只能是余下题目中恰只有两个填空题被扣分，共有C 82 =28种情况 （3）解答题第一题得4分时 由于余下题目被扣掉10分，因此只能是被恰被扣掉2个5分，讨论知这样的情况共有3种（4）解答题第一题得10分或0分时，易知没有得80分的情况 综上知共有 3+28+3+0=34种情况4.若关于x 的方程0)368lg()20lg(2=---+a x x x 有唯一解，则实数a 的取值范围是____________________。
2023年中国科学技术大学强基计划数学试题及参考答案6月11日考试时长90分本次考试一共8道试题，4道填空题，4道解答题，满分100分.一、填空题（20分）1.二元函数()()()22sin 32cos ,y x y x y x f ++++=的值域为.2.设复数z 满足1=z ，且11-+=z z ω，则2241ωω+的最小值为.3.使得()202321x +展开式中nx 的系数最大，则正整数n 的值为.4.已知四条抛物线a x y +=2，a x y -=2，a y x +=2，a y x --=2相邻两条都相切，则它们围成的封闭图形面积为.二、解答题（每题20分，共80分）1.已知实系数函数()d cx bx x x f +++=23，当11≤≤-x 时，()1+≤x x f 恒成立，证明：()0=x f 的三个根全部为实数.2.已知正整数数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，且{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.数列{}n c 满足：n n n b a c +=，若存在正整数k 满足37=k c ，3072=+k c ，求数列{}n c 的通项公式.3.一个箱子里有m 个黑球和n 个白球（n m <），从箱子中不放回的每次抽一个球，直到取完.记()n m P ,为在整个取球过程中，黑球个数始终小于白球个数的概率，求：（1）()42，P 的概率值；（2）()n m P ,的表达式.4.已知*∈N n ，求证：24221222++≤+∑=n nn ni i ni参考答案一、填空题1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+556140，解析：原式可以看作点()32,+x x P 和()y y Q sin ,cos --的距离平方，数形结合得到()55614531,2max +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x f ，2.4解析：设bi a z +=（R b a ∈,），那么由已知可得122=+b a ，以及()()()()ti i a b z z z z z z =-=---+=-+=1111111ω，其中1-=a b t 则2221t a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ω4414141222222≥+=--=+t tt t ωω，当且仅当时取等号2112=⎪⎭⎫⎝⎛-a b .3.1349解析：nx 系数为nn C22023，()()()!2023!12!2023!2023!22023212023n n n n Cn n nn -+⨯≤-⨯=+！.∴1220231+≤-n n ，整理得n n 240461-≤+，即34045≤n ，1348≤n ，∴当1349=n 时1349x 系数最大.4.31解析：方法一：对称性+阿基米德三角形根据对称性知x y =，x y -=与a x y +=2相切，易得41=a ，切点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，，阿基米德三角形的面积为41=S ，故切线与抛物线围成的图形面积为1210=S ，则其总面积为3140=S 方法二：微积分根据对称性知x y =，x y -=与a x y +=2相切，易得41=a ，切点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，，如图，设()x x x F 41313+=，粉色和黄色面积之和为()6102141102=-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰F F dx x .81=黄S ，则2418161=-=粉S ，故总面积为3124188=⨯==粉S S .二、解答题1.解析：（夹逼法）当1-=x 时，()0=x f ，得1=++c b a 设()()()()()n x n m x m x n mx x x x f +++++=+++=23211，有⎪⎩⎪⎨⎧==+=+c n bn m am 10122=+⇒++=++n m n m c b a mm n m 4422+=-=∆下证明0>∆()()()111111122≤++≤-⇒+≤+++≤--⇒+=+≤n mx x x n mx x x x x x x f 当1-=x 时，[]1,020111∈⇒≤-≤⇒≤+-≤-m n m n m ，此时∆单调递增.因此0>∆，有两个实数解综上，原方程()0=x f 的三个解均为实数，证毕.2.解析：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则()d n a n 11-+=，1-=n n q b ，∴()111-+-+=n n qd n c ，∴()111-+-+=k k qd k c ，()1211+++++=k k qd k c 由题可得()()⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+-++-30711371111k k q d k q d k ，两式做差可得()2701212=-+-k q q d 由于36<d ，故()108127012>->-k qq ，1=k 时，361=，舍去2=k 时，()510912702=⇒>->q q q 或6⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6303063363q d q d q d 3=k 时，()4109127022=⇒>->q q q ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+306436242q d q d ，4=q 不成立.4=k 时，()3109127032=⇒>->q q q ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+306536353q d q d ，3=q 不成立.9=k 时，()2109127082=⇒>->q q q ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+306636464q d q d ，2=q 不成立.其余k 的取值无解若()293066130111-+=+-+=--n n c n n n 3.解析：古典概型+二维数列通项根据古典概型模型，设符合要求的事件数为()n m k ,，则可知()()()n m k n m n m n m P ,!!,！+=下计算()n m k ,，有条件（i ）()()()n m k n m k n m k ,11,,-+-=，（ii ）易知当n m ≥时，()0,=n m k ，（iii ）且()1,0=n k ，可得下表易得以下通项()1,0=n k ，()1,1-=n n k ，()()()221,2-+=n n n k ，()()()()6312,3-++=n n n n k 观察发现，()()!21!,121-=n n C n k n ，()()()!321!1,2222-+=n n C n k n ，()()()!4321!2,32223-+=n n C n k n总结得()()()()()()()!!!1!!!!!1!1,2n m m n n m n m n m m m n n m n m k --+=-⋅---+=.带入条件（i ）（ii ）（iii ）均成立故()()()()()()()!!1!n m !!!!!1,n m m n n m n m n m m n n m n m P +--+=+⋅--+=.综上得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+--+=n m n m n m m n n m n m P ,0!!1,，.4.解析：数列缩放∑=+-=ni n i n n LHS 12221，故即证：∑=+-ni n i n n 122212422++≤n n n ，整理得2431122+≥+∑=n ni ni .根据全方和不等式得()()6121341216112321322122++=+++=+≥+∑∑==n n n n n n n n n i n n i ni ni 下证n n n n 323461213422+≤++，移项得6161≥n 由于*∈N n ，故恒成立，因此243323461213422+=+>++n n n n n n n .即24221222++≤+∑=n nn ni i ni 得证.。
关于2013中科⼤数学保研⾯试9⽉26⽇去了中科⼤，8点笔试，笔试了6个⼩时，其中代数（⼏何，⾼代，抽代）3⼩时，分析（数分，复分析，实分析）三⼩时，内容等同于夏令营。
中间只留了⼗⼏分钟⽤来吃饭，时间挺紧的。
下午2点半到6点半的时间⾃由⽀配（这段时间⽼师阅卷），在此感谢矬⽜与孱龚⼆位⼤神的款待，顺便分别祝⼆位出国和保研顺利！晚上7点开始⾯试。
暑假开始准备时⼼⾥最没底的是⾯试。
百度⼀些⾯试经验却感觉没有我想找的，于是趁现在有空写下这篇算得上是⾯试经验的⽂章，希望能帮得上⼀些保研或是考研的朋友。
（同步于blog）USTC的数学⾯试没有英语⾃我介绍，这可能对不少⼈来说再好不过了。
（貌似科⼤更重视专业知识，英语的考查⼒度很⼩）。
⾄于⼀些朋友担⼼没有竞赛奖项或项⽬或论⽂，个⼈觉得在⾯试过程中问题不⼤，只是在材料初审中可能有点作⽤。
最主要的还是专业排名，甚⾄是专业排名不理想，能拿到保研名额也⾏。
我的导师说过，能拿到保研名额的学⽣已经是很优秀的了。
在进⼊正题之前还有个有趣的⼩插曲。
在电梯⾥⾯我们遇到了⼀个⼤⽜⽼师，问我们偏微分⽤什么教材，我回答说是科⼤“陈祖xi（樨）”⽼师的，⼤⽜⽼师说道：“要是他（陈）的⽼婆知道了你念“xi”肯定不录你。
那是‘陈祖墀（chi）’！”当时我就吓尿了。
原来我把⽼师名字读错了，惭愧。
后来回寝室查了⼀下，原来那个⼤⽜⽼师正是⿇希南⽼师，其实当时在电梯⾥我已猜到⼋成，因为他两次提到了董柏青⽼师，⽽董⽼师在科⼤关系好的⽽我知道的正是⿇希南⽼师了。
下⾯重点说⼀下⾯试过程及题⽬。
⾸先，我们⼀群学⽣在会议⾥等着，按照报名表的次序到隔壁教室⾯试。
等待过程中听到别的同学说题⽬很难，⽐如说隐函数定理怎么证明？Cauchy积分公式为什么正确？等等。
说实话，单纯问定义或定理的内容的话⽐较好办，即便问Hilbert零点定理，Noether环也不虚，但问证明的话的确⿇烦。
不明⽩为什么今年保研⾯试卡得⽐较严。
2022年9月广东省清远市小升初分班数学思维应用题模拟试卷四含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.姜堰与上海的公路长252千米，甲乙两辆大客同时从姜堰驶往上海，甲客车每小时行80千米，0.8小时后两车相距16千米．乙客车每小时至少行多少千米？2.车间要加工760个零件，第一周工作5天，每天加工80个．第二周准备每天加工90个，还要几天才能完成加工任务？3.货场有一批货物要运走，第一天运走总数的3/8，第二天运走总数的25%，还有270吨没有运走，这批货物有多少吨？4.有甲、乙两辆汽车同时从朝阳开往相距468千米的锦州，已知甲车每小时行80千米，当乙车到达锦州时，甲车距离锦州还有52千米．乙车每小时行多少千米？5.有甲、乙两个粮食仓库，如果从甲仓库运10吨粮食到乙仓库，这时甲仓库的存粮是乙仓库的40%，已知甲仓库原存粮110吨，乙仓库原存粮多少吨？6.一块三角形玉米地，长120米，高80米。
如果每平方米收玉米0.6千克，这块地可以收玉米多少千克？如果每千克玉米卖1.46元，这些玉米可以卖多少元钱？7.王技师原设计做一个底面周长和高都相等的圆柱形油桶．结果讨论方案时发现这样做太高了，于是将高度降低50厘米，这样不仅美观实用，而且还可以节省314平方分米铁皮．现在这个油桶的容积最大是多少平方分米？8.某工厂五月份用煤135.6吨，是四月份用煤量1.5倍，四月份和五月份共用煤多少吨？9.A、B两地相距1050千米,甲、乙两列火车从A、B两地同时相对开出,甲列火车每小时行60千米,乙列火车每小时行48千米。
