变量与函数(一)

第二章函数§2.1函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念【学习要求】1.通过丰富实例，加深对函数概念的理解，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的三要素．3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.填一填：知识要点、记下疑难点1.函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域.2.区间概念：设a，b∈R，且a<b.(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作[a，b]．(2)满足a<x<b 的全体实数x的集合，叫做开区间，记作(a，b)．(3)满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，分别记作[a，b)或(a，b]．(4)满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞) ，(a，＋∞)，(－∞，a] ，(－∞，a) .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．探究点一变量与函数的概念问题1阅读教材29－30页中的(1)，(2)，(3)，(4)四个函数关系的例子，指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的对应关系采用什么形式表达的？问题2从上述的四个例子中，你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量？问题3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点？问题4确定一个函数最少需要几个要素？为什么？问题5若检查给定两个变量之间是否具有函数关系，只须检查什么？例1对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个跟踪训练1下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.探究点二区间的概念问题1阅读教材31页下半段，然后回答区间的概念是如何定义的？问题2实数集R及x≥a，x>a，x≤b，x<b如何用区间表示？问题3在数轴上如何表示区间[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b]、[a，＋∞)、(a，＋∞)?探究点三求函数的定义域导引在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．问题1对于一个确定的函数关系式，我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域？问题2在初中已学函数的定义域和值域是怎样的？例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.跟踪训练2 求函数f(x)＝1x ＋1的定义域．探究点四 求函数值和值域例3 求函数f(x)＝1x 2＋1(x ∈R)，在x ＝0,1,2处的函数值和值域．跟踪训练3 求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝x ＋1.例4 (1)已知函数f(x)＝x 2，求f(x －1)； (2)已知函数f(x －1)＝x 2，求f(x)．跟踪训练4 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x 2)的定义域．(2)已知函数f(2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中，不正确的是 ( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应法则确定后，函数值域也就确定D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( )A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应3.已知函数f(1－x 1＋x)＝x ，求f(2)的值．课堂小结：1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2. f(x)是函数符号，f 表示对应法则，f(x)表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不同的函数中f 的具体含义不同，由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.。

变量与函数大一高数知识点高等数学是大一大二学生必修的一门基础课程，其中包括了许多重要的知识点。

其中，变量与函数是高等数学中最为基础和重要的概念之一。

一、变量变量是数学中使用的一种概念，它可以表示不同数值的符号或字母。

在数学中，我们常常用字母来表示变量，如x、y、z等等。

变量可以代表任意数的集合，也可以代表某一个具体的数值。

在数学中，我们通常用变量来表示未知数，通过解方程等方法来求解变量的数值。

变量在实际问题中也很常见，我们可以通过设定变量来描述实际问题的各种情况，从而得到数学模型并解决问题。

二、函数函数是数学中另一个重要的概念。

函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合（因变量）。

函数常用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。

函数包含了定义域、值域和对应关系三个重要的概念。

定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系是自变量和因变量之间的映射关系。

函数在数学中有着广泛的应用。

它们可以用来描述各种数学模型，如直线方程、曲线方程等等。

通过函数的性质和图像，我们可以研究函数的增减性、极值、导数等，从而了解函数的行为和特点。

函数可以用来解决各种实际问题，如经济学中的生产函数、物理学中的运动方程等等。

因此，对于函数的理解和掌握是我们学习高等数学的基础。

三、变量与函数的关系变量与函数之间有着密切的关系。

在函数中，自变量常常是一个或多个变量，而函数则是对自变量的一种规定或设定。

变量作为函数中的自变量，它的取值范围和变化规律会影响到函数的性质和行为。

因此，变量的取值是函数研究中一个非常重要的问题。

在实际问题中，我们可以通过设定变量来描述问题的各种情况，从而建立函数模型。

通过分析自变量的取值范围和变化规律，我们可以研究函数的图像、性质和规律。

例如，我们可以用变量来表示一个物体的位置，然后建立位置和时间的函数关系，通过分析函数曲线的形状和变化趋势，我们可以了解物体的运动规律和特点。

第十讲 函数【知识梳理】 1、函数的有关定义（1）函数的定义、在一个变化过程中，数值发生变化的量叫 ,数值始终保持不变的量叫做 ，如果有两个变量x 与y ，并且对于每一个x 确定的值，y 都有 值与其对应，则x 是自变量，y 是x 的函数。

如果当x=a 时，y=b ，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值（2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。

2、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以 （1）使分母不为零；（2）开平方时被开方数为非负数； （3）为整式时其自变量的范围是全体实数；另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。

【自我检测】【知识点1】变量与常量1、2x-3y=4中，变量是____________，常量是__________，把它写成用x 的式子表y 的形式是____________。

球的体积公式可以表示为V= 343r π，其中常量是_________，变量是__________。

2、每盒圆珠笔有12支，每盒售价18元，那么圆珠笔的销售总价y (元)与圆珠笔的支数x （支）之间的函数关系式为____________3、若等腰三角的顶角是x 度，底角是y 度，则y 与x 的关系式是___________，其中常量是_________,变量是____________。

4、有一个边长为15的正方形铁皮，在四个角上分别截取边长为x （x ＜7.5）的小正方形后，就可以做成一个无盖的盒子，则盒子的体积V 与x 之间的关系是V=________________5、已知变量x,y,m 满足下列关系:y=2m+1,x=122m -+，则y 与x 之间的关系式是y=________ 【知识点2】函数的概念1、下列问题中，具有函数关系的是（ ）A ．x+2与x B. y 与x+3 C. 22y x =(x ≥0)中的y 与x D 224x y +=中的y 与x2、下列二个变量之间存在函数关系的是（ ）○1圆的面积和半径之间的关系。

1 / 1第二章 函 数§2.1 函 数2.1.1 函 数 第1课时 变量与函数的概念一、基础过关1．下列对应：①M＝R ，N ＝N ＋，对应法则f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”；②M＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应法则f ：x→y＝x 2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N ＝{x|x>0}，对应法则f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”．是集合M 到集合N 上的函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个2．下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2D ．f(x)＝x 2x 和g(x)＝x x 2 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x|x≤1} B ．{x|x≥0} C ．{x|x≥1或x≤0} D ．{x|0≤x≤1} 4．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]5．已知函数f(x)＝2x －3，x∈{x∈N |1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________________．6．若A ＝{x|y ＝x ＋1}，B ＝{y|y ＝x 2＋1}，则A∩B＝__________.7．判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数．(1)A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x→y＝|x|； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y＝x 2；(3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y＝x ； (4)A ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{0}，f ：x→y＝0.8．求下列函数的定义域：(1)y ＝－12x 2＋1； (2)y ＝x －2x 2－4； (3)y ＝1x ＋|x|； (4)y ＝x －1＋4－x ＋2； (5)y ＝4－x 2＋1|x|－3； (6)y ＝ax －3(a 为常数)． 二、能力提升9．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 ( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②10．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( ) A ．f(x)＝|x| B ．f(x)＝x －|x| C ．f(x)＝x ＋1 D ．f(x)＝－x11．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋23)的定义域为________． 12．已知函数f(x ＋ 1)的定义域为[－2, 3]，求f(2x 2－2)的定义域．三、探究与拓展13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m 2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．。

人教版八下数学学霸笔记整理19.1.1变量与函数1.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.2.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b 叫做当自变量的值为a时的函数值.3.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式.4.确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数关系式有意义,而且还要注意问题的实际意义.1.特别注意“π”是一个无理数,是固定的数值,是常量.2.自变量是主动改变的量,而因变量是因为自变量的改变而改变,是被动改变的量.3.函数值是唯一确定的,但对应的自变量可以是多个.且绝不可以同一个自变量对应两个不同的函数值.1.规律方法:(1)求函数值的一般步骤是:①代入;②计算求值;(2)自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.通常有以下几种情况:①当函数的解析式是整式时,自变量取全体实数.例如,在y=5x+1中,x可以取全体实数.②当函数的解析式是分式时,自变量取值要使分式的分母不为零.例如,在y=x+2中,x≠1.x-1③当函数的解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.例如,在√x-1中,x≥1.④当函数的解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为0.例如,在y=2x0和y=-3x-1中,x≠0.⑤综合型,即函数的解析式是由整式、分式、二次根式等综合得到的代数式时,自变量的取值范围是使它们均有意义的公共部分.⑥对于实际问题中的函数的解析式,自变量的取值除必须使函数的解析式有意义外,还要保证实际问题有意义.例如,人数必须是自然数,长度、面积和体积不能为负数等等.2.解题技巧:变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个过程中是常量,而在另一个过程则可能是变量.例如在某一运动过程中有关系式s=vt,当速度一定时,则速度v就是常量,而时间t和路程s则是变量;当时间一定时,则时间t是常量,而速度v和路程s则是变量;同样若路程一定,则路程s是常量,而时间t和速度v就是变量.[典例精析]【例1】对于圆的周长公式C=2πR,下列说法正确的是()A.π,R是变量,2是常量B.R是变量,C,π是常量C.C是变量,2,π,R是常量D.C,R是变量,2,π是常量解析:改变的是C,R,这两个量是变量;不变的是2和π,这两个量是常量.故选D.答案:D解题总结:(1)判断一个量是不是变量,关键是看在某个变化过程中,这个量是否可以取不同的数值,即要抓住一个“变”字.(2)常量的表现形式一般有两种:①是一个实数;②由问题中的已知条件给定.【例2】下列解析式中,y不是x的函数的是()A.y=-xB.|y|=2xC.y=|3x|D.y=x2+1解析:在选项B的关系式|y|=2x中,若x=2,y就有2个值±4与其对应,所以y不是x的函数.故选B.答案:B解题总结:要判断一个关系式是不是函数,首先看这个变化过程中是否有两个变量,其次是看每一个x的值是否对应唯一确定的y值.【例3】写出下列函数中自变量x的取值范围:(1)y=5x-1;(2)y=21-x ;(3)y=√4-x;(4)y=√x-1+1x-4.分析:根据所给的式子确定取值范围.解:(1)∵函数的解析式是整式,∴字母的取值没有限制,为全体实数.(2)∵函数的解析式是分式,∴分母1-x≠0,解得x≠1.(3)∵函数的解析式是二次根式,∴被开方数4-x≥0,解得x≤4.(4)由题意,得x-1≥0且x-4≠0.解得x≥1且x≠4.解题总结:函数自变量的取值范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数的解析式是分式时,分式的分母不能为0;(3)当函数的解析式是二次根式时,被开方数为非负数.。

18.1变量与函数（1）教学目标：1、掌握函数的概念，理解两个变量之间的对应关系．2、知道函数关系的三种表示方法。

3、能列出简单的函数关系式。

创设情景：看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？想一想：在这个变化过程中，任选时刻t的一个确定值，温度T有几个值和这个时刻对应？课堂研讨：问题1：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的？问题2：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f就________．解 :(1) l 与f 的乘积是一个定值，即lf＝300 000，或者说(2)波长l越，频率f 就越。

函数的定义：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做。

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是，y是，此时也称y是x的。

试一试：下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由。

（1）xy=2 （2）x2+y2=10 （3）x+y=5 （4）|y|=3x+1 （5）y=x2-4x+5 （6）x2+y=10函数关系的表示：表示函数关系的方法通常有三种：问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为，如问题2中的课堂练习：1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r 的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间 t（时）的关系式；(3)n 边形的内角和 S与边数n 的关系式．2.写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量：①时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式；②底边长为10的三角形的面积S与这边上的高h之间的关系式；③某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂重物x(千克)之间的关系式;3.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．4.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是: 。

“变量与函数”教学设计南通市第一初级中学赵萍萍教材：人教版数学八年级上教学目标：（一）知识与技能目标:(1)学生通过直观感知，能分清实例中的常量与变量,领悟函数概念的意义，能列举函数的实例，并能写出简单的函数关系式。

(2)学生通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索，学会用函数思想去描述、研究其变化规律，初步理解对应的思想，逐步学会运用函数的观点观察、分析问题。

（二）过程与方法目标：(1) 通过实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，强化数学的应用与建模意识。

（2）引导学生体会函数思想，发展学生的思维，提高分析问题和解决问题的能力。

（三）情感与态度目标：(1)学生经历对实际问题数量关系的探索，提高数学学习的兴趣，学会合作学习，在解决问题的过程中体会到数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验，建立良好的自信。

(2)进一步加深认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

教学重点：重点：函数概念的形成过程。

难点：对函数概念的深刻理解和灵活应用。

教学方法和教学手段：本节的教学，以师生互动探究式教学为主。

同时充分发挥多媒体的功能，通过实验，使抽象的问题形象化，静态的方式动态化，从而突破本节的难点。

教学过程（一）导言：同学们，我们生活的世界处在不停的运动变化中，图中有着许多我们熟悉的变化着的事物。

再来欣赏这张图，近处是平静的湖面和绿洲，远处是雪山。

当我们向平静的湖面扔一块石子，湖面会发生怎样的变化？（以石子落入点为圆心向四周荡漾开去）；登山运动员登山，随着海拔的升高，气温会怎样变化？（降低）那么，我们如何来看待这些变化的事物？这些运动变化的事物之间又有怎样的联系呢？这一节课就让我们从生活实际出发，从运动变化的角度，研究各种变化着的量之间的关系．--变量与函数（二）概念的引入带着两个思考完成下述三个问题：(1)下列三个问题中，分别涉及到了哪些量？(2)这些量之间存在着怎样的关系？问题1、每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是元；若售出205张、310张呢？（2）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y= .问题2、在一根弹簧的下端悬挂重物。