Wolfram 神器秒杀高考数学试题

一、单选题1. 技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（）A．倍B．倍C．倍D．倍2. 已知集合，则（）A．B．C．D．3. 某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84. 若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（）A．B．C．D．5. 已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6. 已知复数，则的共轭复数为（）A．B．C．D．7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为A．B．C．D．9. 如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（）.A．与可能平行B．与始终异面二、多选题C ．与平面可能垂直D ．与始终垂直10. 安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（）A．B．C．D．11. 已知，，，，则下列关系正确的是A．B．C．D．12. 设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ）A．B．C．D．13. 已知平面向量，，两两之间的夹角均相等，且，，，则（ ）A．B．C．D．14.已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（ ）A．B．C．D．15. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．16. 已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是A．B．C．D．17. 下列双曲线的渐近线方程为的是（ ）A．B．C．D．18. 一个人的领导力由五种能力—影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，每项能力分为三个等级，“一般”记为3分､“较强”记为4分､“很强”记为5分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（ ）三、填空题A ．甲､乙的五项能力指标的均值相同B ．甲､乙的五项能力指标的方差相同C ．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D ．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力19. 若正数a ，b满足，则（ ）A．B．C．D．20. 已知函数的部分图像如图所示，若将函数的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列命题正确的是（）A．函数的解析式为B ．函数的解析式为C．函数图像的一条对称轴是直线D ．函数在区间上单调递增21. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（ ）A．B．C．D．22. 已知m ，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题一定正确的是（ ）A ．若α∥β，γ∥β，则α∥γB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β23. 已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．424.已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（ ）A．若为线段上的动点，则与所成为的范围为B．若为侧面上的动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为D．若为侧面上的动点，则存在点满足四、解答题25. 曲线在点（0，f （0））处的切线方程为________.26. 某校体育节10名旗手的身高分别为则中位数为___________.27.若函数是奇函数，则______．28. 某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .29.已知点为抛物线：的焦点，定点和动点都在抛物线上，点，则的最大值为_____．30. 已知，若对于任意n N*恒成立，则实数的取值范围是___________.31. 已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________.32. 已知抛物线，圆，设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，则的最大值________.33. 已知的内角的对边分别为，且，(1)求的大小；(2)若，求的面积．34. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.35. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.36.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.37. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.五、解答题(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.（1）求出函数在上的解析式；（2）画出函数的图像，并写出单调区间；（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.40. 春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物，采取推广使用“某某到家”线上购物APP ，再由物流人员送货到家，下左图为从某区随机抽取100位年龄在的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了“某某到家”线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图．（1）从年龄段在的样本中，随机抽取两人，估计都不使用“某某到家”线上购物APP 的概率；（2）若把年龄低于40岁（不含）的人称为“青年人”，为确定是否有的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP ，填写下列联表，并作出判断．“青年人”人数非“青年人”人数合计使用APP 的人数没有使APP 的人数合计参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．41. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，点E在棱BF上，且.(1)求三棱锥的体积；(2)判断直线AE与平面DCF是否相交，如果相交，在图中画出交点H（不需要说明理由），并求出线段AH的长；如果不相交，求直线AE到平面DCF的距离.42. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？参考数据：43. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB1＝BB1＝2.（1）过B1作出三棱柱的一个截面，使AB与截面垂直，并给出证明；（2）过C作平面α//平面AB1C1，且平面α∩平面ACC1A1＝l，求l与平面BCC1B1所成角的正弦值.44. 有一种画椭圆的工具如图1所示.定点是滑槽的中点，短杆绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.六、解答题（1）求曲线的方程；（2）在平面直角坐标系中，过点的动直线与曲线交于､两点，是否存在异于点的定点，使得平分？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.45. 在△中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且，．(1)求证：△为等腰三角形；(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC 边上的高h ．条件①：△的面积为；条件②：△的周长为20．46.如图，四棱锥中，，平面平面．(1)求证：；(2)设，点N 在棱上，，求多面体的体积．47. 已知，，.（1）若，求证：；（2）若，求的最小值.48. 如图，在四棱锥中，，△是边长为2的正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD，，点E ，F ，H 分别是线段PB ，PC ，AB 的中点.(1)求证：点H 在平面DEF 内；(2)若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.49. 已知数列满足：，．（1）求证：数列是等比数列；（2）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．七、解答题50. 已知x ，y ，．(1)若，证明：；(2)若，证明．51. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm ）， 将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率0.1080.5010合计50 1.00(1)将上面表格中缺少的数据填在相应的位置；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的概率；不超过52. 某手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲､乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲､乙两车间各抽检了件配件，其检测结果：等级一等品二等品次品甲车间配件频数乙车间配件频数其中一､二等品为正品.（1）分别估计甲､乙车间生产出配件的正品的概率；（2）该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的倍.已知每件配件的生产成本为元，根据环保要求，每件次品需要处理费用为元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于元，求二等品每件的出厂的最低价.53. 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数模型的基本要求，并分析是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．54. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.八、解答题(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；(2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）55.生产某种特殊零件的废品率为（），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为，设的最大值点为．(1)求；(2)若工厂生产该零件的废品率为．（ⅰ）从生产的产品中随机抽取个零件，设其中优等品的个数为，记，，已知时优等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率为，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．56. 已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．57. 已知数列，其前项和为，且满足，．（1）求；（2）求满足的最小整数．58. 第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办，其标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米.图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图.如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，，其中米；圆心距米：半径米：椭圆中心与圆心的距离米，、为直线与半圆的交点，.（1）设，计算的值；（2）计算的大小（精确到1°）.59. 设数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设，若对所有的，都有，求实数的取值范围．60. 游泳是人在水的浮力作用下产生的向上漂浮，凭借浮力通过肢体有规律的运动，使身体在水中有规律运动的技能，游泳的好处是非常多的，主要包括这几个方面：第一个，提高身体的体能，因为游泳是一个比较消耗体力的活动，长期的游泳可以使自己保持很好的体能．第二个，塑身作用和塑形减肥的作用，游泳消耗量比较大，可以消耗我们体内的脂肪，另外，由于在游泳中水压的作用，我们的体形可以得到塑造，所以有塑形减肥的作用．第三个，它可以提高心肺功能，特别是肺活量，游泳以后，我们不断地有规律的调整自己的呼吸，使肺活量能明显的增加，同时由于游泳需要消耗大量的氧，所以我们心脏的功能，也得到很好的锻炼，所以能够提高心肺的功能．第四个，游泳对我们心情，对我们精神状态，也能起到一个改善，在游泳锻炼当中，我们心情愉悦，对我们身心健康是非常好的锻炼．现有，，三家游泳馆，其中游泳馆有2名教练，游泳馆有3名教练，游泳馆有5名教练．(1)若从，，三家游泳馆抽取2名教练参加培训，求抽取的2人来自不同游泳馆的概率；(2)若从，，三家游泳馆抽取4名教练参加培训，记表示从游泳馆抽取的人数，求的分布列和数学期望．61. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求a，b的值；(2)若当时，，求m的取值范围．62. 已知椭圆的长轴长为4，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，的中垂线交椭圆于两点，为的中点，若，求实数的值.。

一、单选题1. 2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI 发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）A ．36B ．37C ．38D ．392. 已知全集，，则集合（ ）A．B．C．D．3. 已知集合，，则A．B．C．D．4.为等腰三角形，且，则以A ，C 为焦点且过点B 的椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．5.已知，那么“”是“共线”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．8. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（ ）2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷二、多选题A．B．C．D ．710. 在一个半径为的圆内有一个长和宽分别为的圆内接矩形，则这个矩形面积的最大值为（ ）A．B．C．D．11. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（ ）A．与互为对立事件B．与互斥C．与相等D．与互为独立事件12. 已知集合,则（ ）A．B．C．D．13. 已知复数的实部、虚部互为相反数，且，在正实数的值为（ ）A．B．C．D．14. 定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（ ）A．B．C．D．15. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．16. i为虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）A．B．C．D．17. 已知双曲线：的离心率，则下列说法正确的是（ ）A ．或B ．双曲线的渐近线方程为C ．双曲线的实轴长等于D ．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于18. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）A ．周长为B ．三个内角A ，C ，B满足关系C ．外接圆半径为D ．中线CD的长为19. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X 即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷A．B．C ．70分以下的人数约为6人D ．本次考试的平均分约为93.620. 在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若点O 为△ABC 的外心，BC ＝4，则21.已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．B ．数列是公比为8的等比数列C ．若，则数列的前2020项和为4040D ．若，则数列的前2020项和为22. 素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆（Sundaram ，1934）素数筛法矩阵：4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……………………其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数n 出现在矩阵中，则一定是合数，反之如果正整数n不在矩阵中，则一定是素数，下面结论中为真命题的有（ ）A ．第4行第10列的数为94B ．第7行的数构成公差为15的等差数列C ．592不会出现在此矩阵中D ．第10列中前10行的数之和为125523. 若正数，满足，则（ ）A．的最大值是三、填空题四、解答题B．的最小值为C ．当时，D．的最小值为24. 下列说法中正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围为D ．若，，则25.某同学使用计算器求个数据的平均数时，错将其中一个数据输为，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是__________．26. 已知向量，，，若，则_______________.27.若，，则_________28. 定义域为的奇函数满足当时，．若，则______．29. 已知正三棱台中，，圆柱的一个底面经过，，的中点，另一个底面的圆心为的中心，则该圆柱的侧面积为______．30.计算_____．31. 已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为__________.32. 已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.33. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.8416.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．五、解答题34. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.35. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.36. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.37.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．38.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.39.如图，在以为顶点的多面体中，平面，平面，．（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；（2）求直线和平面所成角的正弦值．40. 作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）．41. 某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、.(1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分；(2)从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率；(3)已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率.42. 南中数学教研室对高二学生的记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程(3)根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为 11 的学生的判断力．(参考公式：)43. 已知函数．六、解答题(1)画出函数和函数的图象；(2)若不等式恒成立，且，求实数a 的取值范围．44. 强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：7910111334567请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．参考数据：，，；参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．45. 已知抛物线C ：的准线方程为．(1)求抛物线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P ，Q 在C 上且关于直线l 对称，求证：A ，B ，P ，Q 四点共圆．46. 已知直三棱柱中，D 为的中点．(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；①；②；③．(2)若，，，求直线与平面ABD 所成角的正弦值．七、解答题47. 如图，在三棱锥中，AB 是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，，.(1)求证：平面平面ABC ；(2)求直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值.48.如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．（1）证明：；（2）求的长，并求点到平面的距离．49. 正实数数列中,,且成等差数列.(1)证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.50. 已知椭圆经过点，.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点.求证：四边形的面积为定值.51. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere ）向另一位著名的数学家帕斯卡（B ．Pascal ）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat ）讨论了这个问题，后来惠更斯（C ．Huygens ）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢(，)局，谁便赢得全部奖金元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．(1)规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．若，，，，求．(2)记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．52. 某商品定货单价为40元，若按50元一个销售，能卖出500个，如果销售单价每涨5元，销售量就减少50个，为获得最大利润，此商品的销售价应为每个多少元？53. 今年全国两会期间，习近平总书记在看望参加全国政协十三届五次会议的农业界､社会福利和社会保障界委员时指出“粮食安全是‘国之大者’.悠悠万事，吃饭为大.”某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量的关系，收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，每亩化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中.(1)根据散点图判断作为粮食亩产量y（单位：百公斤）关于每亩化肥施用量x（单位：公斤）的回归方程类型比较适宜.根据表中数据，建立y关于x的回归方程；(2)请预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；（预测时取）附：对于一组数据（），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.54. 2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：超市A B C D E F G广告支出1246101320销售额19324440525354(1)建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；(2)若将超市的销售额与广告支出的比值称为该超市的广告效率值，当时，称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为，求的分布列与期望.附注：参考数据，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.55. 年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：）统计后，得到的频率分布直方图如图所示：八、解答题(1)求这批芯片的最高频率的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差；(2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率服从正态分布．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率；(3)若传感芯片的最高频率大于，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？附：，，．56. 某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：高二高三热爱3020不热爱20(1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；(2)若至少有的把握认为热爱数学与学生的年级有关，求的最小值．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82857.已知（1）求的最大值，及当取最大值时x 的取值集合．（2）在三角形中，分别是角所对的边，对定义域内任意，有,若 ,求的最大值.58. 对甲、乙两名学生的数学学习成绩进行分析，共进行了5次单元测验，取得的成绩如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的数学成绩比较稳定？甲6580708570乙807070807559. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班30位女同学，12位男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按性别比例分层抽样，男、女生抽取多少位才符合抽样要求?(2)随机抽出7位，这7位同学的数学、物理成绩分数对应下表：(i)若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班级随机调查一位同学，则该生的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？(ii)根据上表数据，用变量与的相关系数说明物理成绩与数学成绩之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求与的线性回归方程，并估测该班某位同学数学分数是95分时的物理成绩；如果不具有线性相关关系，说明理由.（系数精确到0.01）参考公式：相关系数，对于相关系数的大小，如果，那么与负相关很强；如果，那么与正相关很强；如果或，那么与相关性一般；如果，那么与相关性较弱．回归直线方程：其中参考数据：,,.60. 已知集合，函数的定义域为.（1）若，求实数的取值范围；（2）若方程在内有解，求实数的取值范围.61. 某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽查了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并估计锻炼时长的平均数（同组数据用该组区间的中点值代替）；(2)从锻炼时长分布在，，，的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．62. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列的通项公式，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：，．2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷2024高中数学高考高频考点经典题型模拟卷。

2025年高考数学二轮复习模块1数列专题-特技大招1-特殊值秒解数列选填大招总结当数列的选择填空题中只有一个条件时,在不违背题意的条件下,我们可以直接利用特殊值,令其公差为0或者公比为1,即令数列为常数列,每一项设为x ,只需5秒搞定一道题.题目本身难度其实也不大,但用此方法更快.注意:一定检验是否符合题意,题目中如果出现公差不为0或者公比不为1,则慎用此法.另外,如果问题是求取值范围,则此方法失效.如果问题是求固定值,则可放心使用,详细用法,我们通过例题讲解.典型例题例1.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++=（）A.12B.18C.24D.36解方法1：等差数列{}n a 前n 项和为n S ，()199597292a a S a +===,58a ∴=.故24915312324a a a a d a ++=+==,故选C.方法2:令每一项为x ，972S =,即972x =，8x =，249324a a a x ++==,故选C.例2.在等差数列{}n a 中,912162a a =+,则数列{}n a 的前11项和11S =（）A.24B.48C.66D.132解方法1：数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ，912162a a =+,()11181162a d a d ∴+=++，1512a d ∴+=,即612a =.∴数列{}n a 的前11项和111211S a a a =+++()()()111210576611132a a a a a a a a =+++++++==.故选D.方法2：令每一项为x ，912162a a =+，162x x =+，12x =，1111132S x ==,故选D.已知数列{}n a 是等差数列,且1472a a a π++=,则()35tan a a +的值为()A.3B.C.D.33-方法1:数列{}n a 是等差数列,且1472a a a π++=,147432a a a a π∴++==，423a π∴=，()()3544tan tan 2tantan 33a a a ππ∴+====,故选C.方法2:令每一项为x ，14732a a a x π++==，23x π=,()()354tan tan 2tantan 33a a x ππ∴+====,故选C.例4.已知数列{}n a 是等差数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,269S a +=,则5S 的值为（）A.10B.15C.30D.3解方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，269S a +=，1369a d ∴+=,化为:1323a d a +==,则()155355152a a S a +===.故选B.方法2:令每一项为x ，2629S a x x +=+=，3x =，515S =,故选B.例5.已知{}n a 为等差数列,且6154a a +=,若数列{}n a 的前m 项的和为40,则正整数m 的值为()A.10B.20C.30D.40解方法1:由题意可得,()()120206152010402a a S a a +==+=,所以20m =.故选B.方法2:令每一项为x ，61524a a x +==，2x =，240m S m ==,所以20m =.故选B.例6.已知数列{}n a 为正项等比数列,且13355724a a a a a a ++=,则24a a +=（）A.1B.2C.3D.4方法1：数列{}n a 为正项等比数列,且13355724a a a a a a ++=,数列{}n a 为正项等比数列,262a a ∴+=.故选B.()222133557226626224a a a a a a a a a a a a ∴++=++=+=,方法2:令每一项为x ,则222133557224a a a a a a x x x ++=++=， 1.x =2622a a x +==,故选B.例7.已知等比数列{}n a 的各项圴为正数,且39a =,则313233log log log a a a +++3435log log a a +=（）A.52B.53C.10D.15方法1：()553138333415312345333log log log log log log log log 910a a a a a a a a a a a ++++====,故选C.方法2:不妨令数列为常数项,每一项n 39a a ==，3132333435log log log log log 2a a a a a ++++=+222210+++=,故选C.例8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且212227log log log a a a +++=7，则2635a a a a +=（）A.16B.14C.8D.4解方法1:等比数列{}n a 的各项均为正数,且212227log log log 7a a a +++=，(212log a a ⋅)77a =，71272a a a ∴⋅=，7742a ∴=，42a ∴=，22635428a a a a a ∴+==,故选C.方法2:令每一项为x ,则2122272log log log 7log 7a a a x ++==，2x =，222635a a a a x x +=+=8,故选C.例9.已知{}n a 为等差数列,公差2d =，24618a a a ++=,则57a a +=（）A.8B.12C.16D.20解方法1:根据题意知,4262a a a =+，57424a a a d +=+，24618a a a ++=，4318a ∴=，4 6.a ∴=∴57424264220a a a d +=+=⨯+⨯=.故选D.方法2:此题为反例,题干中明确说了公差2d =,所以不能用特殊值的方法,令公差为0,故不能用大招.例10.在等比数列{}n a 中,若3212a a a =+,则2538a a a 的值为()A.12或1-B.12-或1C.2或1-D.12解方法1:根据题意,设等比数列{}n a 的公比为q ,若3212a a a =+,则220q q --=,解可得2q =或1-,若2q =,则22851273811112a a q a a a q a q q ===,若1q =-,则2285127381111a a q a a a q a q q ===-,故2538a a a 的值为12或1-,故选A .方法2:此题为反例,若令每一项为x ,则3212a a a =+变为2x x x =+，0x =,等比数列中0n a ≠,故不能用大招.例11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是()A.25B.254C.5D.25解方法1：等比数列{}n a 的各项都为正数,()2222265986688682225a a a a a a a a a a ∴++=++=+=，6a ∴85a +=，268113682524a a a a a a +⎛⎫∴==⎪⎝⎭,当且仅当6852a a ==时取等号,113a a ∴的最大值是254.故选B.方法2:此题为反例，题目问的是“最大值”，而不是定值，故不能用特殊值这种大招.例12.已知数列{}{},n n a b 满足n 2n b =log a ，n N +∈,其中{}n b 是等差数列,1020112a a =,则122020b b b +++=________.解方法1:数列{}{},n n a b 满足2log n n b a =，n N +∈,其中{}n b 是等差数列,2bn n a ∴=是等比数列,1020112a a =，122020212222020log log log b b b a a a ∴+++=+++()2122020log a a a =⨯⨯⨯=方法2:令数列{}n a 每一项为x ,则21020112a a x ==，n a x ==，21log 2n n b a ==，1220201202010102b b b +++=⨯=.自我检测1.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若23109a a a ++=,则9S =（）A.27B.18C.9D.3【解析】方法1:设公差为d ,则13129a d +=，1543a d a ∴+==，95927S a ∴==,故选A.方法2:令每一项为x ,则23109a a a x x x ++=++=，3x =，927S =.故选A.2.在等差数列{}n a 中,18153120a a a ++=,则9102a a -的值为()A.20B.22C.24D.8-【解析】方法1：在等差数列{}n a 中,18153120a a a ++=，85120a ∴=，824a ∴=，910182724a a a d a -=+==.故选C.方法2:令每一项为x ，181535120a a a x ++==，24x =,故选C.3.等差数列{}n a 中,若81126a a =+,则19a a +等于()A.54C.10D.6【解析】方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，等差数列{}n a 中,81126a a =+，()1127610a d a d ∴+=++,解得146a d +=.191182612a a a a d ∴+=++=⨯=.故选B.方法2:令每一项为x ,81126a a =+,26x x =+,6x =,19212a a x +==,故选B.4.已知数列{}n a 是等差数列,且23451a a a a +++=,则16a a +=()A.14B.12D.2【解析】方法1：数列{}n a 是等差数列,且23451a a a a +++=，()23451621a a a a a a ∴+++=+=，解得16a a +12=.故选B.方法2:令每一项为x ，234541a a a a x +++==，14x =，16122a a x +==,故选B.5.已知数列{}n a 是等差数列,且31120a a +=,则11152a a -=（）A.10B.9C.8D.7【解析】方法1:数列{}n a 是等差数列,且31120a a +=,则1121020a d a d +++=,即1610a d +=,则11152a a -=11122014610a d a d a d +--=+=,故选A.方法2:令每一项为x ，311220a a x +==，10x =，则11152210a a x x x -=-==,故选A.6.在等差数列{}n a 中,3456a a a ++=,则()17 a a +=A.2B.3C.4D.5【解析】方法1:由等差数列的性质,得345436a a a a ++==,解得42a =，17424a a a ∴+==,故选C.方法2:令每一项为x ，34536a a a x ++==，2x =,则1724a a x +==,故选C.7.等差数列{}n a 中,5101530a a a ++=,则22162a a -的值为()A.10-B.20-C.10D.20【解析】方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，5101530a a a ++=，10330a ∴=，1010a ∴=，221610212a a a d ∴-=+()10102610a d a -+=-=-,故选A.方法2:令每一项为x ，51015330a a a x ++==，10x =,则22162210a a x x x -=-=-=-,故选A.8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若152a a +=,则5S =()A.5B.7C.9D.11【解析】方法1:因为数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,前n 项和为n S ,则()2121n n S n a -=-.所以535S a =,又152a a +=,所以31a =,所以5355S a ==,故选A.方法2:令每一项为x ，1522a a x +==，1x =,则555S x ==,故选A .9.已知数列{}n a 是等差数列,57918a a a ++=,则其前13项的和是()A.45B.56C.65D.78【解析】方法1：在等差数列{}n a 中,57918a a a ++=，5797318a a a a ∴++==,解得76a =，∴该数列的前13项之和:()1311371313136782S a a a =⨯+==⨯=,故选D.方法2:令每一项为x ，579318a a a x ++==，6x =,则131378S x ==,故选D.10.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =,则5a =（）A.4B.2C.1D.8【解析】方法1：公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =，210112216a a ∴⋅⋅⋅=,且10a >,解得1412a =，4541212a ∴=⋅=.故选C .方法2:题目中提到公比为2,所以不能用大招.11.已知各项均为正数的等比数列{}n a ,若543264328a a a a +--=,则7696a a +的最小值为（）A.12C.24D.32【解析】方法1:由题意知等比数列{}n a 中0n a >,则公比0q >,因为543264328a a a a +--=,所以432111164328a q a q a q a q ⋅+⋅-⋅-⋅=,即()432164328a q q q q +--=,所以()()2132218a q q q +-=,所以1(3a q q 282)21q +=-,所以()654476111224824969633232121a a a q a q q a q q q q q q+=⋅+⋅=⋅+=⋅=--,设x =21q,则0x >，22242121(1)1y x x x q q =-=-=-- ,所以2421q q -取最大值1时,7696a a +取到最小值24.故选C.方法2:此题为反例,题目问的是“最小值”,而不是定值,故不能用特殊值这种大招.12.已知正项等比数列{}n a ,满足21232527log log log log 4a a a a +++=,则(226log ) a a +的最小值为（）A.1B.2D.4【解析】由对数的运算性质可得,()2123252721357log log log log log 4a a a a a a a a +++==，135716a a a a ∴=，由等比数列的性质可知,413574a a a a a =且40a >，42a ∴=，()226224log log log 22a a a ∴+= ，故(22log a )6a +的最小值为2，故选B.方法2:此题为反例,题目问的是“最小值”,而不是定值,故不能用特殊值这种大招.13.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=__________.【解析】方法1:由等差数列的性质得:()()()()5755756563832222220a a a a a a a a a a a +=++=+=+=+=,故答案为:20.方法2:令每一项为x ，3810a a +=，5x =，57320a a +=,故答案为:20.14.等比数列{}n a 的各项均为正数,且1516a a =,则2122232425log log log log log a a a a a ++++=__________.【解析】方法1：等比数列{}n a 的各项均为正数,且1516a a =，2122232425log log log log log a a a a a ∴++++=()521252log log 410a a a ⨯⨯⨯==.故答案为:10.方法2:令每一项为x ，1516a a =，4x =，2122232425log log log log log 10a a a a a ++++=,故答案为:10.15.在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中,若()()1536932a a a a a ++++18=,则8__________.S =【解析】解:方法1:由等差数列的性质有366618a a +=,有363a a +=,则()()1883684122a a S a a +==+=.故答案为:12.方法2:令每一项为x ，()()()()153********a a a a a x x x x x ++++=++++=，1218x =，32x =，所以83812.2S =⨯=。

python automat库的用法Automat是一个Python库，用于实现有限状态机（FSM）的建模和执行。

Automat可以帮助你将复杂的任务分解为多个状态，并在每个状态中定义不同的行为。

这可以帮助你更好地组织代码，并使其更易于理解和维护。

以下是使用Automat库的一般步骤：1. 定义状态：使用`@attr.s`装饰器创建一个新类并定义它的属性。

每个属性都代表一个状态。

例如：```pythonimport attr@attr.sclass MyStates:STATE_A = attr.ib()STATE_B = attr.ib()STATE_C = attr.ib()```2. 定义转换：在每个状态类中，使用`@MyState_name.transitions_to(next_state, conditions)`装饰器来定义状态之间的转换。

`next_state`是要转换到的下一个状态，`conditions`是一个函数，用于确定是否可以执行此转换。

```python@MyStates.STATE_A.transitions_to(MyStates.STATE_B, conditions=[some_condition])def transition_to_b(self):pass```3. 定义条件：定义每个转换中条件的函数。

此函数应该返回True（表示可以执行转换）或False（表示不能执行转换）。

```pythondef some_condition(obj):if obj.some_value > 10:return Truereturn False```4. 创建状态机：使用StateMachine类创建状态机并指定初始状态和所有可能的状态。

```pythonfrom automat import MethodicalMachinemachine = MethodicalMachine()machine.add_state(MyStates.STATE_A, initial=True)machine.add_state(MyStates.STATE_B)machine.add_state(MyStates.STATE_C)```5. 运行状态机：在状态机中定义每个状态之间的转换后，可以通过调用`to_STATE_name()`方法来执行转换，并在状态之间移动。

以下是一些高考数学题的秒杀技巧：
1.特殊化法：当题目中给出的条件很复杂时，我们可以将问题中的某些元素特殊化，
以便更好地解决问题。

2.极限法：当题目中需要解决的数值处于一个范围之间时，我们可以考虑使用极限思
想，将问题转化为一个简单的形式，以便更快地解决问题。

3.归纳法：当问题中的数值规模较大时，我们可以使用归纳思想，从特殊情况开始，
逐步推导出一般规律，以便更快地解决问题。

4.转化法：当题目中给出的条件或问题比较复杂时，我们可以将其转化为一个更简单、
更易理解的形式，以便更好地解决问题。

5.方程法：当题目中涉及到多个数值之间的关系时，我们可以使用方程思想，建立这
些数值之间的方程关系，以便更好地解决问题。

这些技巧并不是适用于所有高考数学题，而是需要根据具体情况灵活运用。

同时，使用技巧时也需要遵守数学规律和逻辑，避免出现错误。

插字母法(试用满足起点相同，中点在一条直线上)例.则，如插插一个字母在它们中间,C AB 证明:1.已知O,A,B 是平面向量上三点，直线AB 上有一点C,满足2==+OC O CB AC 则,A.OB OA -2B.OB OA 2+C.OBOA 3132-D.OBOA 3231+-解：所有答案都有O 开头，而O 在平面内，所以2.BD ABC 3B C ,=∆已知在,则ADA.()AB AC 231+B.()AB AC +231C.)3(41AB AC + D.)2(41AB AC +解：在则间加字母，分别在,B C A BD 解：()cb AB AC AD ACAD AD AB ACDA AD BA DCBD A DC BD 313231322222+=+=+-=+-+=+=，则之间分别加字母和==+=++∆m m m ,0MA D ABC .5成立，则使得实数若存在满足和点已知AM AC AB MC MB 3m 0,0=+=++=++++=++ACAB AM AM AM AC MA AB MA MA MC MB MA A MC MB ，则加字母和解：在秒解平面向量(试用满足起点相同，中点在一条直线上)插子母法（交叉相乘法)若AB=31AC,BC=AC32例1.在∆ABC 中，M 是BC 边靠近B 点的三等分点，若===AM b AC a AB则,,解析：a b AB AC AM 32313231+=+= 2.在∆ABC 中，b c ==AC AB ，，若点D 满足DC BD 2=,则=ADA.c b 3132+ B.b3235c - C.cb 31-32D.c b 3231+解：c b AB AC AD 31323132+=+=3.若D 为∆ABC 所在平面内一点CD BC 3=,则（）A.AC AB 3431+- B.AC AB 3431- C.ACAB 3134+ D.ACAB 3134- 解ABAC AD AB AC AD AB AD AC 31434143,4143-=-=+=4.∆ABC 中，点D 在AB 上,CD 平分∠ACB,若bCA CB ==，a ，2||,1||==b a ，则=CD解证明：A1B D 3 CΘAC=2AB ，BC=3,AD 是∠BAC 平分线，∴BD33=,DC=332 ,故BD:DC=1：25.设D,E 分别是∆ABC 的边AB,BC 上的点，AD=,32,21BC BE AB =若ACAB DE 21λλ+=(1λ,2λ为实数)，则 1λ +2λ =6.已知AB =(-5，2),)02(，=AC D 是线段BC 上靠近点B 的四等分点，则=ADA.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,41B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,41C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,413D.⎪⎭⎫⎝⎛-23,413面积综合应用若：AD AB AO 3141+=,则1.若点M 是∆ABC 所在平面的一点，且满足ACAB AM 35+=,则的面积比为与ABC ∆∆ABMA.51B.52C.53D.5453ABC :=∆∆∴ABM 2.设O 在∆ABC 内部，且有032OA =++OC OB的面积之比为的面积和则AOC ∆∆ABC （）3.设O 在∆ABC 的内部，且2=++,则面积之比为（）的面积和AOC ABC ∆∆4.在ABC ∆所在平面有一点P,且满足=++ ,则ABC ∆∆与PAB 的面积之比为（）解：在则间加字母，,PC A PB建立直角坐标系求向量的最值。

题目：wolfram alpha证明题内容：1. Wolfram Alpha（沃尔夫勒姆阿尔法）是什么？Wolfram Alpha是一款强大的计算引擎，它拥有丰富的数学、物理、化学、生物、工程、统计学等领域的知识库，可以对各种复杂的问题进行计算、分析和解答。

作为一个人工智能工具，Wolfram Alpha在学术研究、教育、实践应用等方面都发挥着重要作用。

2. Wolfram Alpha的功能和特点Wolfram Alpha拥有强大的符号计算能力，可以对代数、微积分、几何学、线性代数等数学领域的问题进行求解和分析；它还能够进行数据分析和统计、绘图和可视化、自然语言处理等方面的工作。

其独特的知识库和智能搜索功能使得用户可以通过输入自然语言问题或者数学表达式来获取相关信息和答案。

3. Wolfram Alpha的证明功能作为一种高级的计算工具，Wolfram Alpha还具有一定的证明功能。

在数学领域，它可以进行数学定理的证明和验证，这对于学习数学、进行研究和解决实际问题都具有重要意义。

下面我们以一个具体的数学问题为例，来讨论Wolfram Alpha的证明功能。

4. 举例：证明1+2+...+n=n(n+1)/2我们将以一个经典的数学问题作为示例来讨论Wolfram Alpha的证明功能。

这个问题是要证明等差数列1, 2, 3, ..., n的和为n(n+1)/2。

我们可以使用Wolfram Alpha进行数学表达式的输入和求解。

在Wolfram Alpha的搜索框中输入“sum of k for k=1 to n”，它会自动展示出数学表达式和对应的求和公式：n(n+1)/2。

这就是一个快速获取数学公式的方法。

Wolfram Alpha还可以进行数学定理的证明和验证。

在搜索框中输入“prove 1+2+...+n=n(n+1)/2”，它会给出相应的证明过程和结论。

证明的过程中可能涉及到数学归纳法、代数运算、数列求和等知识，Wolfram Alpha会通过这些步骤来完成整个证明过程。

新疆乌鲁木齐市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再沿轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为.关于函数，现有如下命题：①函数的图象关于点对称；②函数在上是增函数：③当时，函数的值域为；④函数是奇函数.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(2)题若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（）A．0.02B．0.98C．0.049D．0.05第(3)题设全集，，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知向量，，，若，则实数（）A．-6B．-5C．5D．6第(5)题已知，，则“”是“”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件第(6)题已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题已知是抛物线：的焦点，若点在抛物线上，则（）A．3B．C．4D．第(8)题已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（）A．的图象关于点对称B．8是的一个周期C．一定存在零点D．第(2)题函数的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知是两个单位向量，若，，则（ ）A ．三点共线B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知样本数据的平均数为5，方差为8；样本数据的平均数为8，方差为5．现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为______．第(2)题已知双曲线，则的离心率为__________；以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）第(3)题已知椭圆：的左顶点为，为坐标原点，、两点在上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题记的内角的对边分别为，，，已知．(1)求角和角之间的等式关系；(2)若，为的角平分线，且，的面积为，求的长．第(2)题已知，，均为非负实数，且，求的取值范围.第(3)题我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S 型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y （单位：mm ）关于滚道径向方位角x （单位：rad ）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.(1)求函数的解析式；(2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm 且不高于0.02mm 的钢筋，若这批钢筋由题中这种S 型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S 型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.第(4)题已知，，分别为三个内角，，的对边，且．(1)求；(2)若，点在边上，，且，求．第(5)题如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，Q、M分别为、的中点，，，.（1）求证：（2）求三棱锥的体积.。

什么软件可以解题答案在学习过程中，解题成为了我们必须要面对的难题。

很多时候，我们可能会因为解决问题的费时间、费力，或者是面对困难题目而感到烦恼。

但是，如今我们越来越依赖于科技。

与此同时，我们也需要科技的力量来帮助我们处理这些学习问题。

因此，有很多的软件可以用来解题答案。

下面，我们一起来看看这些软件。

第一种软件是数学软件。

数学软件在解数学题目方面的能力是非常强的。

比如，用于数学问题的软件可以计算出数学公式和方程的解。

最常见的应该是Wolfram Alpha。

Wolfram Alpha是现代计算机在处理数学问题方面表现最好的软件之一。

它会查询数学方程式，并返回答案以及相关的图表，可以大大简化数学问题的解决过程。

第二种软件是编程软件。

如果您正在学习计算机科学，您会知道一些编程语言，比如Python, Javascript和Java等，这些语言提供了很多功能，可帮助您在编写代码时进行数学计算。

它们在解决编程问题和数学问题方面都非常有用。

其中，Python的Numpy和Scipy软件库是很方便和有用的工具。

第三种软件是翻译软件。

这些软件注册时给学生提供免费的高级账户，可以用于数学题目的解答。

翻译软件可以将题目翻译成多种语言，包括中文、英文、法语和西班牙等等，使我们可以通过其他语言理解这些问题。

对于一些数学单词或名词的当地化翻译，这些翻译软件可大大方便我们的理解和解题能力。

第四种软件是科学计算器。

有些软件，比如Mathway和Symbolab，提供了一个非常强大的科学计算器，旨在帮助学生解决数学题目。

它们可以让您输入数学方程式，然后提供解答，这是非常有用的，在您无法解决问题时，可以为您提供一些指导。

最后，一些思考。

这些软件在解决问题方面是非常有用的工具。

但它们并不能代替我们自己的思考和学习。

在使用这些软件时，我们需要进行全面的思考和分析，正确理解结果并将其运用于我们的学习中。

总的来说，无论是数学软件、编程软件、翻译软件、科学计算器，还是其他类似的工具，都可以为我们的学习旅程提供有力的帮助。

马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新高考I 卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。

2023年新高考I 卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I 卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A 版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A 版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。

本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。

基本原理虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0=t 时，位于点)(+∈=N i i x ，下一个时刻，它将以概率α或者β（1),1,0(=+∈βαα）向左或者向右平移一个单位. 若记状态i t X =表示：在时刻t 该点位于位置)(+∈=N i i x ，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111+==++=−==+−==+⋅+⋅=i t i t i t i t i t i t i t X X P X P X X P X P X P另一方面，由于αβ==+==+−==+)|(,)|(1111i t i t i t i t X X P X X P ，代入上式可得：11−+⋅+⋅=i i i P P P βα.进一步，我们假设在0=x 与),0(+∈>=N m m m x 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00==m P P .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：2024年高考数学专项复习马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）（解析版）11+−++=i i i i cP bP aP P2023·新高考Ⅰ卷T211．乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q == = ∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．2019·全国Ⅰ卷2．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .（1）求X 的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)0,1,2,,8(i p i =⋅⋅⋅表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11()127i i i i p ap bp cp i ==++…－＋，，，，其中)1(a P X ==－，(0)b P X == (1)c PX ==. 假设0.5α=，0.8β=. ①证明：1)0{,1,2,,}7(i i p p i−=⋅⋅⋅＋为等比数列； ②求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P913．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率．重点题型·归类精讲3．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，2023届惠州一模4．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为n P（Ⅰ）证明：25nP−为等比数列；（Ⅱ）证明：当2n≥时，512nP≤.2023届佛山二模·165．有n 个编号分别为1,2,3,,n ⋅⋅⋅的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n 个盒子中取到白球的概率是 .2023·唐山调研6．甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k 次传球后球在甲手中的概率为*N k p k ∈，，则下列结论正确的有（ ）A. 10p =B. 213p = C. 121k k p p ++= D. 202313p >2024届武汉高三九月调研T167．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ； ．2024届·湖北荆荆恩高三9月起点联考·218．甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为.(1)求；(2)设，证明：；(3)求的数学期望的值. *n ∈N n p 3p =n p =()*n n ∈N n X n p n q 11,p q 2n n n c p q =+11233n n c c +=+n X ()n E X2023·济南开学考10．甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率.2023届·杭州二模11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X −，1t X −，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()t 1t 2t 1t t 1t ,,,X X X X X X P P +−−+= ∣∣. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为*(,)A A N A B ∈<元，赌博过程为如图所示的数轴．当赌徒手中有n 元()0,n B n N ≤≤∈时，最终输光的概率为()P n ，请回答下列问题：（1）请直接写出()0P 与()P B 的数值；（2）证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ；（3）当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →+∞时，()P A 的统计含义.12．校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 欧拉函数的定义是：小于m且与m互素的正整数的个数叫做欧拉函数，记作φ(m)。

下列哪个数不是欧拉函数的值？A. φ(8) = 4B. φ(9) = 6C. φ(10) = 4D. φ(11) = 102. 若m=15，则m的所有正约数中，与m互质的正约数个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若m=12，则m的既约剩余类个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列哪个等式不成立？A. φ(2p) = p - 1 （其中p为质数）B. φ(p^k) = p^k - p^(k-1) （其中p为质数，k为正整数）C. φ(mn) = φ(m)φ(n) （其中m、n为互质的正整数）D. φ(mn) = φ(m) + φ(n) （其中m、n为互质的正整数）5. 下列哪个数不是欧拉函数的周期？A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）6. 欧拉函数φ(m)的值域是______。

7. 若m=12，则m的欧拉函数φ(m)的值为______。

8. 若m=15，则m的既约剩余类中，与5互质的数有______个。

9. 若p为质数，则φ(p^2)的值为______。

10. 若m=8，则m的既约剩余类中，与2互质的数有______个。

三、解答题（每题20分，共60分）11. （10分）证明：若m为正整数，则φ(m)为偶数当且仅当m含有2这个因子。

12. （10分）若m=30，求m的欧拉函数φ(m)的值。

13. （20分）设m=15，求模m的一个既约剩余类。

四、附加题（10分）14. （10分）若p为质数，证明：对于任意整数a，都有a^φ(p)≡ 1 (mod p)。

答案：一、选择题1. D2. B3. C4. D5. D二、填空题6. {1, 2, ..., φ(m)}7. 48. 49. p10. 4三、解答题11. （证明略）12. φ(30) = φ(2)φ(3)φ(5) = 1×2×4 = 813. （解略）四、附加题14. （证明略）本试卷主要考查欧拉函数及其相关性质，要求学生掌握欧拉函数的定义、性质、计算方法以及应用。

2024年高考数学三角函数空间向量历年真题详解为了帮助广大高中生备战2024年高考数学考试，本文将详细解析数学科目中的三角函数和空间向量部分的历年真题。

通过对每道题目的解析和详细讲解，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分知识点，并提供备考的指导。

1. 试题一第一道题目涉及三角函数的求解，题目如下：已知三角函数$\sin\theta = \frac{1}{2}$，求$\cos\theta$的值。

解析：根据已知信息，我们可以利用三角函数的定义来求解。

由于$\sin\theta = \frac{1}{2}$，我们可以根据单位圆上的特点得出$\sin$对应的坐标为$\left(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$。

根据单位圆上的关系，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

因此，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2. 试题二第二道题目涉及空间向量的投影问题，题目如下：已知向量$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$，向量$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$，求向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。

解析：首先，我们需要计算向量$\overrightarrow{AC}$的模长。

根据向量的定义，$\overrightarrow{AC}$的模长为$\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$。

接下来，我们需要计算向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。

用Scratch解这道高考题
作者：陈新龙
来源：《电脑报》2020年第21期
编程不仅仅在少年儿童中越来越受欢迎，现在高考中也逐渐有它的身影了。

因为编程和数学所需的能力是相通的，编程能够帮助学生理解一些数学中抽象的概念，使我们解决问题的方法更加全面。

学好编程能有效提高数学能力和逻辑思维能力。

今天就来和大家分享一下，如何用Scratch编程来解决2019年北京高考卷中的一道题：执行左图示的程序框图，最终输出S的值为？
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
这是一张流程图，作为经常看电脑报编程栏目的读者来说，流程图应该不陌生。

这道题目本身的难度系数并不高，不过流程圖和编程可是天生一对，用我们学到的编程知识根据这个流程图用Scratch编程来解决这道高考题目吧。

程序运行开始，为变量K和变量S赋值为1，接下来重复执行语句并且判断，只有当K大于等于3才能跳出循环，否则将重复执行里面的操作。

S=2*S^2/3*S-2。

运行程序输出的S的值为2，选B。

对比手动计算，当K比较小时，编程不如笔算，如果循环次数较多时，用编程解决问题就显得优势明显了。

摘要：高考数学作为高考的重要科目之一，对考生的逻辑思维和解题能力有着极高的要求。

为了帮助广大考生在高考数学中取得优异成绩，本文将为您推荐几款优秀的刷题软件，助力考生高效备战。

一、善利AI学习软件善利AI学习软件是一款功能强大的高考数学学习工具。

它具有以下特点：1. 丰富题库：涵盖历年高考真题、模拟试题等多种题型，满足不同层次考生的需求。

2. 智能推荐：根据学生的学习情况，智能推荐相关题目和教材，提高学习效率。

3. 在线答疑：遇到难题时，可进入在线答疑社区，获取老师或同学的解题步骤和思路。

4. 实时反馈：提供实时的学习反馈和个性化的学习计划，帮助学生了解自己的学习进度和优势、不足。

5. 用户体验：界面简洁、易用，操作流畅，让考生在轻松愉悦的氛围中学习。

二、高考通APP高考通APP是一款综合性的高考学习软件，具有以下特点：1. 全面题库：汇集各省不同年份的高考数学试卷，满足考生多样化需求。

2. 限时答题：模拟真实考试环境，锻炼考生的应试能力。

3. 科目齐全：支持政治、历史、地理等科目的刷题，方便考生全面备考。

4. 评分系统：自动评分，让考生了解自己的答题情况。

三、必刷题必刷题是一本深受广大考生喜爱的数学学习资料，具有以下特点：1. 质量优良：题目难度适中，梯度合理，能够有效锻炼思维和解题能力。

2. 知识点全面：涵盖高考数学的所有考点，帮助考生全面掌握知识。

3. 梯度合理：由浅入深，循序渐进，让考生逐步提高解题水平。

四、其他推荐1. 智学网：提供在线刷题、模拟考试等功能，帮助学生查漏补缺。

2. 学而思网校：提供丰富的课程资源和在线答疑服务，助力考生提升数学成绩。

总结：刷题是提高高考数学成绩的有效途径，选择合适的刷题软件对于考生来说至关重要。

以上推荐的几款软件都具有各自的优势，考生可以根据自己的需求选择合适的工具，助力高考数学备考。

祝广大考生在高考中取得优异成绩！。

湖南省益阳市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）A．B．C．D．第(2)题下列函数中，在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，若实数满足，则（）A．1B．2C．D．4第(4)题在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（）A．B．C．D．第(5)题设全集，若集合，则（）A．{-2，0，2，3}B．{-2，2，3}C．{0，2，3}D．{-2，-1}第(6)题已知集合，，则的子集个数为（）A．0B．1C．2D．4第(7)题已知复数z满足，则（）A．B．C．D．第(8)题已知抛物线的焦点在圆上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（）A．过点的平面截三棱锥所得截面是菱形B．平面平面C．异面直线互相垂直D．三棱锥外接球的半径为第(2)题ChatGPT是OpenAI公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查机构为了解美国大学生用ChatGPT代写作业的学生比例，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了代写作业的学生占比，将数据从小到大依次排列为：71%、75%、77%、80%、82%、85%，另外两所学校以侵犯隐私为由拒绝给出调查数据，那么这8所学校使用ChatGPT代写作业的学生比例的中位数可能是（）A．76%B．77.5%C．80%D．81.5%第(3)题已知直线和平面，则下列命题中正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则________．第(2)题已知，则_____________.第(3)题已知正四棱锥，底面边长为4，高为2，则该四棱锥外接球的体积为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知是函数的极小值点．(1)求的单调性；(2)讨论在区间的最大值．第(2)题已知、、为正实数，且，证明：.第(3)题某城市在创建“国家文明城市”的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评组随机调取了该城市某一年中100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下表：AQI空气质量优良轻度污染中度污染重度污染天数17482015(1)某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失S（单位：元）与空气质量指数（AQI）（记为x）有关系式，在本年度内随机抽取一天，求这一天的经济损失S大于400元且不超过800元的概率.(2)若本次抽取得样本数据中有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.重度污染非重度污染合计供暖季的天数非供暖季的天数合计100附：0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828第(4)题已知函数有两个相异零点．（1）求a的取值范围．（2）求证：．第(5)题据统计，截止2023年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计社区100户居民的网上购物情况如下图表所示：(1)是否有的把握认为社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？(2)用频率估计概率，现从社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为，表示20位居民中有位居民喜欢网上购物的概率，当取得最大值时，求的值．附：．0.0500.0100.0013.841 6.63510.828。

高考数学选择题秒杀技巧
1. 嘿，你知道吗？特殊值法简直就是高考数学选择题的大救星啊！比如这道题“若函数 f(x)满足 f(2)=3，那 f(4)等于多少”，咱就直接找个满足条件的特殊值带进去，说不定一下就出来啦，这多省事儿呀！
2. 哇塞，选项代入排除法可太好用啦！就像找宝藏一样，把不合适的选项一个一个排除掉，最后剩下的不就是正确答案嘛！比如那道求角度的题，一试就知道哪个对啦！
3. 哎呀呀，图形结合法真是绝了呀！碰到几何题，画个图出来，答案有时候就一目了然啦！像那道求阴影面积的，画出来不就清楚多啦！
4. 嘿，数量关系分析法也很牛呀！看看题目里的数量关系，分析分析，答案也许就自己蹦出来咯！比如那道算速度的题，通过关系一分析不就懂啦！
5. 哇哦，反推法有时候能带来大惊喜呢！从答案反推条件，看看合不合理，不就知道选哪个啦！就像那道判断函数奇偶性的题，反推一下嘛！
6. 哈哈，极限思维法也是个厉害角色呀！把数值往极限去想，往往能找到突破点呢！像那道求最大值的题，想想极限情况呀！
7. 哟呵，整体代换法可别小瞧呀！把一个复杂的式子整体代换一下，说不定难题就变简单啦！比如那道含有多项式的题，整体代换一下多轻松呀！
8. 哎呀，类比法也很有趣呀！想想类似的题目怎么做的，这道题也许就有思路啦！就像那道和之前做过的类似的题，类比一下就懂啦！
9. 哇，估算法有时候能快速解决问题呀！大致估算一下范围，就能排除好多选项呢！比如那道计算面积的题，先估算个大概嘛！
10. 嘿，规律总结法可是很重要的哟！多做几道题总结总结规律，以后碰到类似的题就不怕啦！就像那类找数列规律的题，总结好规律就简单啦！
我的观点结论就是：这些高考数学选择题秒杀技巧真的超有用，大家一定要好好掌握呀，能帮你在考场上节省不少时间，提高准确率呢！。

秒杀真题之十年高考真题分类训练与答案（理科）向量的应用2019年1.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是.2.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________，最大值是_______.3.（2019天津理14）在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= .2010-2018年一、选择题1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==． 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uur AE BE 的最小值为A ．2116B ．32C ．2516D ．3EDC B A2．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1 B1 C ．2 D．2 3．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3 B． CD ．24．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．43- D ．1- 5．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 OAB CDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I6．（2016四川）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA DB ⋅=DB DC ⋅=DC DA ⋅=-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是A ．434B ．494CD7．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅＝A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a8．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 9．（2015福建）已知AB AC ⊥， 1AB t =， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4ABACAP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于A ．13B ．15C ．19D ．2110．（2015四川）设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点,M N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=A ．20B ．15C ．9D ．611．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥．若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．912．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,a b ，||||1==a b ，0⋅=a b ，点Q 满足2()OQ =+a b ．曲线{|cos sin ,02}C P OP θθθπ==+a b ≤≤，区域 {|0||,}P r PQ R r R Ω=<<≤≤．若C Ω为两段分离的曲线，则A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<<13．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE λBC =，DF μDC =.若1AE AF?，23CE CF ?-，则λμ+= A ．12 B ．23 C ．56 D ．71214．（2012天津）在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-，则λ=A ．13B ．23C ．43D ．215．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A ．(-B ．(-C ．(2)--D ．(2)-16．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足||||0>…a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈n n Z 中，则a b =A ．12B ．1C ．32D ．5217．（2011山东）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ=(μ∈R )，且112λμ+=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题18．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______．19．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．20．（2017天津）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =， AE AC AB λ=-()λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．21．（2016年浙江）已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有||||+…ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．22．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x = ；y = ．23．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ∥,2AB =,1BC =,60ABC ∠=．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE BC λ=，19DF DC λ=，则A E A F ⋅的最小值为 ．24．（2015江苏）设向量(cos ,sin cos )666k k k k πππ=+a (0,1,2,,12)k =⋅⋅⋅，则∑=+⋅1201)(k k k a a 的值为 ．25．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为________．26．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0),A B C -动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是 ．27．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．28．（2012山东）如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()1,0，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动。

高考数学试卷解析题
数学是一门重要的科学学科，是高考必考科目之一。

以下是一道高考数学试卷中的题目解析及答案思路。

题目：已知集合$A$的元素个数为$5$，集合$B$的元素个数为$7$，且$A\subseteq B$。

现将集合$B$中$3$个元素去掉后所得集合为$C$，求集合$C$的元素个数。

解析及答案思路：
1. 题目中给出集合$A$与集合$B$的元素个数分别为$5$和$7$，并且$A\subseteq B$，因此可以得出两个集合的关系：$A$是$B$的子集。

2. 继续分析题目，将集合$B$中$3$个元素去掉后所得集合为$C$，也就是$C=B\backslash D$，其中$D$是集合$B$中的$3$个元素，所以集合$C$的元素个数就是$7-3=4$个。

综上所述，集合$C$的元素个数为$4$个。

解题思路总结：
1. 了解集合的基本概念及关系：集合、子集、并集、交集等。

2. 分析题目中的信息，找出关键点及关系。

3. 运用已知的数学概念和知识，进行逻辑推理和计算，得出正确结果。

最后提醒：高考数学试卷中重视数学的基本概念和运算技巧的运用，
掌握好基础知识，多做题加强练习，提高数学能力和应试水平。