《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【第二章 解析几何初步 章末检测(二)

4.2 导数的乘法与除法法则一、基础过关1． 函数y ＝x1－cos x的导数是( )A.1－cos x －x sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x (1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )22． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．03． 设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B.12C ．－12D ．－2 4． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 25． 曲线f (x )＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．6． 设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，则a ＋b ＝________.7． 求下列函数的导函数：(1)f (x )＝(x 2＋7x －5)sin x ；(2)f (x )＝x 3＋cot x ln x ；(3)f (x )＝2sin x ＋x －2x 3x2. 二、能力提升8． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π9． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]10．若函数f (x )＝e xx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为________．11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．12．已知偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y ＝x－2，求y＝f(x)的解析式．三、探究与拓展13．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程．答案1．B 2.B 3.D 4.B 5.x ＋y －2＝0 6.17．解 (1)f ′(x )＝(x 2＋7x －5)′sin x ＋(x 2＋7x －5)(sin x )′＝(2x ＋7)sin x ＋(x 2＋7x －5)cos x .(2)f ′(x )＝(x 3＋cot x )′ln x －(x 3＋cot x )(ln x )′ln 2x＝(3x 2－1sin 2x)x ln x －x 3－cot xx ln 2x.(3)f ′(x )＝(x ＋2sin x －2x )′x －23＋(x ＋2sin x －2x )·⎝⎛⎭⎫x －23′ ＝(1＋2cos x －2x ln 2)x －23－23(x ＋2sin x －2x )x －53.8．D 9.D 10.1211．解 ∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.12．解 ∵f (x )的图像过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， 可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.① ∵f ′(1)＝4a ＋2c ， ∴4a ＋2c ＝1.②由①②解得a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为 f (x )＝52x 4－92x 2＋1.13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② 因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

5.2 平行关系的性质一、基础过关1. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面 2．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有 3．若平面α∥平面β，直线a ∥α且a β，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线4．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于 ( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶55.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.6．如图，已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD ∥平面EFGH .二、能力提升9. 如图所示，平面α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，β∩γ＝l 3，l 1∥l 2，下列说法正确的是( )A ．l 1平行于l 3，且l 2平行于l 3B ．l 1平行于l 3，且l 2不平行于l 3C ．l 1不平行于l 3，且l 2不平行于l 3D ．l 1不平行于l 3，但l 2平行于l 310．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20 11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .三、探究与拓展13. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．答案1．A 2．B 3．D 4．B5.223a 6．157．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ， ∴N 为AC 的中点．8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH .又GH 平面BCD ，EF 平面BCD .∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF 平面ACD ， ∴EF ∥CD .而EF 平面EFGH ，CD 平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .9．A 10．B11．212．证明 连接A 1C 交AC 1于点E ，∵四边形A 1ACC 1是平行四边形，∴E 是A 1C 的中点，连接ED ，∵A 1B ∥平面AC 1D ，平面A 1BC ∩平面AC 1D ＝ED ，∴A 1B ∥ED ，∵E 是A 1C 的中点，∴D 是BC 的中点．又∵D 1是B 1C 1的中点， ∴BD 1∥C 1D ，又∵C 1D 平面AC 1D ，BD 1 平面AC 1D ， ∴BD 1∥平面AC 1D ，又A 1B ∩BD 1＝B ，∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .13．解 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下： 取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ，①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF平面BFM，∴BF∥平面AEC.。