北京四中数学教育传统的形成与发展

建国以来我国中小学数学教学传统发展历程第一阶段：50年代至70年代初这一阶段，数学教学的指导思想是“做好数学教学，培养数学人才”，重点培养数学天才和优秀学生。

教材使用《小学数学》、《初中数学》、《高中数学》等教材，这些教材注重训练和技能的练习，强调实用性和应用性。

同时，这个时期还有很多数学教育家和教学家进行了具有开创性的门类研究，例如，教育家陈景润提出了“深化中小学数学教育”的思想；数学教学家吴大猷则提出了“几何之长”的教学方法；另外，像华罗庚、邵逸夫等一批名师也对中国的数学教育和数学科研作出了不可磨灭的贡献。

这一阶段，数学教育思想的本质发生了重大变化，由重视“人才培养”转向注重“素质教育”。

国家文化教育政策的关注点也从经济建设向文化建设转移。

在数学教学中，这意味着教师不再重视单纯的计算技能，而是注重帮助学生建立自己的知识结构，提高思维水平，发展正确的学习方法。

对此，教材也出现了变化，例如，初中数学教材中增加了一些有关应用、生活和趣味的题目。

此外，教学方式也发生了一定的转变，例如，对学生个性的关注，更加注重启发性教学，鼓励学生多进行自主探究，构建自己的数学世界。

这个阶段是我国中小学数学教育的丰收期。

在国际上，中国学生在国际数学竞赛中不断取得较为优异的成绩，从而在国际上赢得了于极高的声誉。

这一阶段，数学教育的重点在于培养学生的数学思维能力和创新素质。

在教材编写上，出现了更多具有启发性和创新性的题目，教师在教学中需要更多地帮助学生加深对数学概念的理解和巩固数学基础。

此外，在支持教学和研究方面，国家也逐渐重视相关的学术研究，并在大力支持新教育技术和新教育模式的应用。

最后，由于我国经济发展的日益增长，未来中小学数学教育的中国特色和本土化将得到更多的发展和创新。

2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2020年北京故宫迎来了600岁生日，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅力．据不完全统计，今年“十一”双节期间故宫累计接待观众约为240000人次，将240000用科学记数法可表示为（）A．24×104B．2.4×105C．0.24×105D．0.24×1062．（3分）﹣5的倒数是（）A．5B．﹣5C．﹣D．3．（3分）下列各式结果为负数的是（）A．﹣（﹣1）B．（﹣1）4C．﹣|﹣1|D．|1﹣2|4．（3分）下面计算正确的是（）A．3x+2x2＝5x B．2a2b﹣a2b＝1C．﹣ab﹣ab＝0D．﹣y2x+xy2＝0 5．（3分）下列各式去括号正确的是（）A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+cB．a+（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+dC．a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+dD．2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝06．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定7．（3分）下列对使用四舍五入法得到的近似数描述正确的是（）A．近似数5.1万精确到十分位B．2.709的近似数是3C．0.154精确到十分位为0.1D．近似数1.31×105精确到千位8．（3分）如果|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．3或13B．13或﹣13C．3或﹣3D．﹣3或﹣13 9．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．210．（3分）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．下列结论中：①若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．其中正确的所有结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题（每小题2分，共20分）11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作m．12．（2分）比较大小：﹣﹣．13．（2分）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是米．14．（2分）若|x+7|+（y﹣6）2＝0，则（x+y）2021的值为．15．（2分）如图的框图表示解方程3x+32＝7﹣2x的流程，其中第3步的依据是．16．（2分）如图，若开始输入的x的值为正数，最后输出的结果为51，则满足条件的x的值为．17．（2分）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠16%，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到家商店买比较省钱，这时实际只需要付元．18．（2分）已知数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|﹣|a+b|的结果为．19．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是天．20．（2分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第9行第7个数是；（2）2020是表中第行第个数．三、解答题（共50分）21．（16分）计算（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）；（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）；（3）﹣8×（﹣+﹣）÷；（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]．22．（8分）化简（1）5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．（2）2（2a﹣3b）﹣3（2b﹣3a）．23．（10分）解方程（1）3x﹣4＝2x+5；（2）＝1．24．（5分）先化简，再求值：求代数式7a2b﹣2（2a2b﹣3ab2）+（﹣4a2b+5ab2）的值，其中a＝2，b＝﹣．25．（5分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝；（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝；（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．26．（6分）在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．（1）求线段AB的长；（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1＝x﹣2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由．（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断AP﹣NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．四、B卷（满分20分）27．（4分）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过m次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则m的最小值为．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为．28．（6分）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第16个数为2，第78个数为3﹣2m，则m的值为，第2021个数为．7m﹣129．（4分）天坛中的数学一瞥，天坛始建于明朝永乐十八年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所．中和韶乐在中国古代的发生、发展、沉寂，经历了历代传承，随着对中国传统文化重新认识，中和韶乐逐渐复苏．自从2004年9月天坛神乐署修复完成，中和韶乐又一次展现在世人面前．中和韶乐主要是宫、商、角、徵、羽五声音阶的运用，在确定这五音的时候，中国古代最初由三分损益计算而来，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，得到宫商角徵羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为81×（1﹣）＝54，能发出第三个基准音的乐器的长度为54×（1+）＝72…，（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．那么第五个基准音的乐器的长度为．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，那么能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是．30．（6分）阅读材料：你知道“二维码”吗？它是一种编码，通过表示1和0的黑白小方块排列成图案传递信息．二维码广泛应用于我们生活，“扫一扫”成为人们的习惯动作．你知道二维码究竟是怎样生成的吗？你想亲自制作一个二维码吗？首先来了解一个定义：定义符号“⊕”表示一种运算叫做“异或”运算，即当a＝b时，a⊕b＝0；当a≠b 时，a⊕b＝1．下面就让我们试着为“BHSF”制作一个二维码吧！【步骤一】查表可得字母“B”的八位二进制编码为01000010，“H”为01001000，“S”为01010011，“F”为01000110．【步骤二】将每个字母的编码按照一定的顺序排布在方格内，例如字母“S”的编码排布如图第一个表格．然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进行“方格一一对应”的“异或”运算（如图第三个表格），并将结果中1的位置填涂黑色，0的位置填涂白色（如图第四个表格）．解决问题：（1）请根据上面的定义将表格补充完整．0001010110（2）仿照上面【步骤二】，完成“F”的编码排布、运算及二维码填涂．“BHSF”二维码的其余部分已生成，你可以将获得的结果填涂在对应的空白位置．一个完整的二维码就大功告成啦，试着扫一扫它吧！2020-2021学年北京四中七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）2020年北京故宫迎来了600岁生日，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅力．据不完全统计，今年“十一”双节期间故宫累计接待观众约为240000人次，将240000用科学记数法可表示为（）A．24×104B．2.4×105C．0.24×105D．0.24×106【解答】解：将240000用科学记数法可表示为2.4×105．故选：B．2．（3分）﹣5的倒数是（）A．5B．﹣5C．﹣D．【解答】解：﹣5的倒数是﹣，故选：C．3．（3分）下列各式结果为负数的是（）A．﹣（﹣1）B．（﹣1）4C．﹣|﹣1|D．|1﹣2|【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1是正数，故A错误；B、（﹣1）4＝1是正数，故B错误；C、﹣|﹣1|＝﹣1是负数，故C正确；D、|1﹣2|＝1，故D错误；故选：C．4．（3分）下面计算正确的是（）A．3x+2x2＝5x B．2a2b﹣a2b＝1C．﹣ab﹣ab＝0D．﹣y2x+xy2＝0【解答】解：A．3x与2x2不是同类项，不能合并，此选项错误；B．2a2b﹣a2b＝a2b，此选项错误；C．﹣ab﹣ab＝﹣2ab，此选项错误；D．﹣y2x+xy2＝0，此选项正确；故选：D．5．（3分）下列各式去括号正确的是（）A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+cB．a+（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+dC．a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+dD．2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝0【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c；B、a+（b﹣c﹣d）＝a+b﹣c﹣d；C、a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d；D、2a﹣[2a﹣（﹣2a）]＝2a﹣（2a+2a）＝2a﹣2a﹣2a＝﹣2a；故选：C．6．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定【解答】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，则绝对值最大的是b，故选：B．7．（3分）下列对使用四舍五入法得到的近似数描述正确的是（）A．近似数5.1万精确到十分位B．2.709的近似数是3C．0.154精确到十分位为0.1D．近似数1.31×105精确到千位【解答】解：A．近似数5.1万精确到千位，此选项错误；B．2.709精确到个位的近似数是3，此选项错误；C．0.154精确到十分位为0.2，此选项错误；D．近似数1.31×105精确到千位，此选项正确；故选：D．8．（3分）如果|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．3或13B．13或﹣13C．3或﹣3D．﹣3或﹣13【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝5，∴a＝±8，b＝±5，∵a+b＞0，∴a＝8，b＝±5，∴a﹣b＝8﹣5＝3，或a﹣b＝8﹣（﹣5）＝8+5＝13．故a﹣b的值是3或13．故选：A．9．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2【解答】解：由题意，得|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：A．10．（3分）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．下列结论中：①若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．其中正确的所有结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：①若f（x）+g（y）＝0，即|x﹣2|+|y+3|＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，则2x﹣3y＝4+9＝13，符合题意；②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣1﹣2x，符合题意；③若f（x）＝g（x），则|x﹣2|＝|x+3|，即x﹣2＝x+3或x﹣2＝﹣x﹣3，解得：x＝﹣0.5，即能使已知等式成立的x的值存在，不符合题意；④式子f（x﹣1）+g（x+1）＝|x﹣3|+|x+4|的最小值是7，符合题意．正确的所有结论是：①②④．故选：B．二、填空题（每小题2分，共20分）11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作﹣3m．【解答】解：∵水位升高3m时，水位变化记作+3m，∴水位下降3m时，水位变化记作﹣3m．故答案为：﹣3．12．（2分）比较大小：﹣＞﹣．【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，而＜，∴﹣＞﹣．故答案为：＞．13．（2分）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是9259.43米．【解答】解：8844.43﹣（﹣415）＝9259.43（米）．答：两处高度相差是9259.43米．故答案为：9259.43．14．（2分）若|x+7|+（y﹣6）2＝0，则（x+y）2021的值为﹣1．【解答】解：∵|x+7|+（y﹣6）2＝0，∴x+7＝0，y﹣6＝0，解得：x＝﹣7，y＝6，∴（x+y）2021＝（﹣7+6）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（2分）如图的框图表示解方程3x+32＝7﹣2x的流程，其中第3步的依据是等式的基本性质2．【解答】解：根据框图中的解方程流程，得第3步的依据为等式的基本性质2．故答案为：等式的基本性质2．16．（2分）如图，若开始输入的x的值为正数，最后输出的结果为51，则满足条件的x的值为10或或．【解答】解：根据题意得：5x+1＝51，解得：x＝10，可得5x+1＝10，解得：x＝，可得5x+1＝，解得：x＝，则所有满足题意x的值为10或或．故答案为：10或或．17．（2分）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠16%，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到甲家商店买比较省钱，这时实际只需要付1250元．【解答】解：由题意可得，到甲店购买需要花费：25×50＝1250（元），到乙店购买需要花费：25×60×（1﹣16%）＝1260（元），到丙店购买需要花费：25×60﹣×15＝1500﹣225＝1275（元），∵1250＜1260＜1275，∴到甲店购买比较省钱，故答案为：甲，1250．18．（2分）已知数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|﹣|a+b|的结果为2a．【解答】解：由数轴得，b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|＞|a|，所以a+c＞0，b+c＜0，a+b＜0，所以原式＝a+c﹣b﹣c+a+b＝2a．故答案为：2a．19．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是510天．【解答】解：孩子自出生后的天数是1×73+3×72+2×7+6＝510，故答案为：510．20．（2分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第9行第7个数是71；（2）2020是表中第45行第84个数．【解答】解：（1）由题意知第n行最后一数为n2，则第8行的最后一个数是64，所以第9行第1个数是65，所以第9行第7个数是71．故答案为：71；（2）由（1）知第n行的最后一数为n2，则第一个数为：（n﹣1）2+1＝n2﹣2n+2，第n行共有2n﹣1个数；因为442＝1936，452＝2025，2×45﹣1＝89，所以第45行有89个数，最后一个数是2025，所以2020在第45行，第84个数．故答案为：45，84．三、解答题（共50分）21．（16分）计算（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）；（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）；（3）﹣8×（﹣+﹣）÷；（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]．【解答】解：（1）（+11）+（﹣12）﹣（+18）＝11+（﹣12）+（﹣18）＝﹣19；（2）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）＝﹣1+5×（﹣4）×（﹣4）＝﹣1+80＝79；（3）﹣8×（﹣+﹣）÷＝﹣8×（﹣+﹣）×6＝（﹣8×6）×（﹣+﹣）＝（﹣48）×（﹣+﹣）＝﹣×（﹣48）+×（﹣48）﹣×（﹣48）＝8+（﹣36）+4＝﹣24；（4）﹣43÷（﹣32）﹣[（﹣）3×（﹣3）2+（﹣）]＝﹣64÷（﹣32）﹣[（﹣）×9+（﹣）]＝2﹣[（﹣）+（﹣）]＝2+＝．22．（8分）化简（1）5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．（2）2（2a﹣3b）﹣3（2b﹣3a）．【解答】解：（1）原式＝5xy﹣3xy﹣4y2﹣2y2＝2xy﹣6y2．（2）原式＝4a﹣6b﹣6b+9a＝13a﹣12b．23．（10分）解方程（1）3x﹣4＝2x+5；（2）＝1．【解答】解：（1）方程移项得：3x﹣2x＝5+4，合并得：x＝9；（2）去分母得：2（2x﹣5）﹣3（3﹣x）＝12，去括号得：4x﹣10﹣9+3x＝12，移项合并得：7x＝31，解得：x＝．24．（5分）先化简，再求值：求代数式7a2b﹣2（2a2b﹣3ab2）+（﹣4a2b+5ab2）的值，其中a＝2，b＝﹣．【解答】解：原式＝7a2b﹣（4a2b﹣6ab2）+（﹣4a2b+5ab2）＝7a2b﹣4a2b+6ab2﹣4a2b+5ab2＝﹣a2b+11ab2，当a＝2，b＝﹣时，原式＝2+＝．25．（5分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝﹣13；（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝1；（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣3×3﹣2×2＝﹣9﹣4＝﹣13；（2）根据题中的新定义化简得：（2x﹣1）+3（x+1）＝7，去括号得：2x﹣1+3x+3＝7，解得：x＝1；（3）已知等式化简得：k（2x﹣1）+3（x+k）＝5+2k，整理得：2kx﹣k+3x+3k＝5+2k，即（2k+3）x＝5，解得：x＝，由x为整数，得到2k+3＝±1或2k+3＝±5，解得：k＝﹣1，﹣2，1，﹣4．故答案为：（1）﹣13；（2）1．26．（6分）在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．（1）求线段AB的长；（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1＝x﹣2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB＝AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由．（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断AP﹣NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．【解答】解：（1）∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝|﹣3﹣2|＝5．（2）存在．设M点对应的数为m，解方程x+1＝x﹣2，得x＝﹣6，∴点C对应的数为﹣6，∵MA+MB＝AB+BC，∴|m+3|+|m﹣2|＝|﹣3﹣2|+|﹣6﹣2|，即，|m+3|+|m﹣2|＝13①当m≤﹣3时，有﹣m﹣3+2﹣m＝13，解得m＝﹣7；②当﹣3＜m≤2时，有m+3+2﹣m＝13，此方程无解；③当2＜m时，有m+3+m﹣2＝13，解得m＝6；综上，M点的对应数为﹣7或6．（3）设点N对应的数为n，则NA＝﹣n﹣3，NB＝2﹣n，∵若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，∴NQ＝1﹣n，则点Q对应的数为n+1；NP＝﹣n﹣1，则P点对应的数为n﹣1；∴AP＝﹣n﹣2，则AP﹣NQ＝﹣．∴随着点N的移动，AP﹣NQ的值不变．四、B卷（满分20分）27．（4分）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过m次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则m的最小值为3．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为5．【解答】解：（1）给5只杯子从左往右①②③④⑤．第一次翻①②③只杯子；第二次翻②③④只杯子；第三次翻②③⑤只杯子．故m的最小值为3．故答案为：3；（2）11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，6只杯口朝上的茶杯，经过2次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，另外的5只杯子按照（1）的方法进行则n＝2+3＝5．故答案为：5．28．（6分）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第16个数为2，第78个数为3﹣2m，则m的值为﹣4，第2021个数为﹣5．7m﹣1【解答】解：根据题意得：m﹣1+3﹣2m+7+2＝15，解得m＝﹣4，则m﹣1＝﹣4﹣1＝﹣5，∵2021÷4＝505…1，∴第2021个数是﹣5．故答案为：﹣4；﹣5．29．（4分）天坛中的数学一瞥，天坛始建于明朝永乐十八年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所．中和韶乐在中国古代的发生、发展、沉寂，经历了历代传承，随着对中国传统文化重新认识，中和韶乐逐渐复苏．自从2004年9月天坛神乐署修复完成，中和韶乐又一次展现在世人面前．中和韶乐主要是宫、商、角、徵、羽五声音阶的运用，在确定这五音的时候，中国古代最初由三分损益计算而来，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，得到宫商角徵羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为81×（1﹣）＝54，能发出第三个基准音的乐器的长度为54×（1+）＝72…，（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．那么第五个基准音的乐器的长度为64．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，那么能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则a的值是54．【解答】解：81×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）＝81××××＝64，依题意有a×（1﹣）×（1+）×（1﹣）＝32，解得a＝54．故第五个基准音的乐器的长度为64，a的值是54．故答案为：64，54．30．（6分）阅读材料：你知道“二维码”吗？它是一种编码，通过表示1和0的黑白小方块排列成图案传递信息．二维码广泛应用于我们生活，“扫一扫”成为人们的习惯动作．你知道二维码究竟是怎样生成的吗？你想亲自制作一个二维码吗？首先来了解一个定义：定义符号“⊕”表示一种运算叫做“异或”运算，即当a＝b时，a⊕b＝0；当a≠b 时，a⊕b＝1．下面就让我们试着为“BHSF”制作一个二维码吧！【步骤一】查表可得字母“B”的八位二进制编码为01000010，“H”为01001000，“S”为01010011，“F”为01000110．【步骤二】将每个字母的编码按照一定的顺序排布在方格内，例如字母“S”的编码排布如图第一个表格．然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进行“方格一一对应”的“异或”运算（如图第三个表格），并将结果中1的位置填涂黑色，0的位置填涂白色（如图第四个表格）．解决问题：（1）请根据上面的定义将表格补充完整．a b结果000101011110（2）仿照上面【步骤二】，完成“F”的编码排布、运算及二维码填涂．“BHSF”二维码的其余部分已生成，你可以将获得的结果填涂在对应的空白位置．一个完整的二维码就大功告成啦，试着扫一扫它吧！【解答】解：（1）填表如下：a b结果000101011110（2）“F”的编码排布，运算及二维码填涂如下：第21页（共21页）。

建国以来我国中小学数学教学传统发展历程自1949年新中国成立以来，中小学数学教学一直秉承着“以培养人才、造就人才”为宗旨，致力于培养具有创新精神和科学素养的优秀人才。

在长期的教学实践中，数学教学传统逐渐形成，并不断得到传承和发展。

下面我们将对中国建国以来的中小学数学教学传统发展历程进行简要的梳理。

1949年以前，中国的数学教学主要受到传统文化的影响，以注重学生基本技能的培养和传授为主要特点。

学生通常通过背诵九九乘法表、计算天书、学习《算经》等方式来掌握基本运算技能，并且以应试教育为主导，注重对学生的死记硬背。

但这种传统的数学教学方式也给学生们带来了压力，不利于学生的综合素质的培养。

1950年代至1970年代，我国推进了一系列的教育改革，数学教学也得到了一定的发展。

在这一时期，我国数学教学以提高学生的思维能力和创新能力为目标，注重培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

在教学内容方面，我国开始推行“数学思想”的教学理念，引导学生掌握数学的基本思想和原理，并注重让学生理解数学的本质。

新课程体系的建立也使得学生有更多的机会接触到数学应用，培养学生的计算能力和解决实际问题的能力。

建国以来我国中小学数学教学传统发展历程是一个不断进步、不断改革的过程。

在长期的教学实践中，我国的数学教育逐步由注重基础技能培养转向注重学生的思维能力和创新能力的培养，由应试教育转向素质教育，由传统单一的教学方式转向多元化的教学方式。

我国的数学教育也得到了更广泛的国际合作和交流，在全球范围内推动了数学教育的发展和创新。

相信随着全社会教育水平的不断提高和教育资源的不断完善，我国的中小学数学教学一定会取得更加显著的成就，为培养更多具有创新精神和科学素养的优秀人才做出更大的贡献。

建国以来我国中小学数学教学传统发展历程建国以来，我国中小学数学教学传统发展历程经历了许多变迁和改革。

数学教学一直是教育改革的重点领域之一，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要意义。

本文将从建国以来的数学教学传统发展历程，探讨我国中小学数学教育的发展变迁。

建国初期，我国数学教育以“数理化”为主导，注重基本概念的训练。

学生在学习数学时注重对基础知识的学习和掌握，重视基本的计算能力和数学思维的培养。

在数学教学中，注重给学生灌输数学公式，进行机械式的计算训练，这种教学方法传承自西方的数学教学模式，帮助学生掌握了基本的数学知识和计算能力。

进入20世纪70年代，我国数学教学开始引入了思维能力和实际问题解决能力的培养。

数学思维从单一的计算和公式应用，逐渐向逻辑推理和问题解决能力的培养转变。

数学教学开始强调培养学生的思维能力和创新能力，注重学生的数学问题解决能力和实际应用能力。

随着改革开放的深入发展，我国中小学数学教育开始向国际接轨，注重培养学生的创新思维和能力。

在课程设置上，开始引入一些新颖的数学知识和方法，注重引导学生进行实际问题的解决和建模训练。

在教学方法上，也逐渐引入了一些新颖的教学手段，如情境教学、探究式教学等，注重培养学生的独立探究和问题解决能力。

在这一历程中，我国中小学数学教学传统发展经历了从重视基础知识的训练到注重思维能力和实际问题解决能力培养的转变。

数学教育不再仅仅是为了掌握知识，更重要的是培养学生的数学素养和创新能力。

随着教育理念的不断更新，我国中小学数学教学也将会朝着更加符合时代需求的方向不断发展，为培养更多具有国际竞争力的数学人才做出贡献。

建国以来我国中小学数学教学传统发展历程建国以来，我国中小学数学教学传统经历了不断的发展变化，取得了一系列令人瞩目的成就。

本文将从建国初期到现在的数学教学传统发展历程进行梳理和总结，并对未来的发展方向提出一些建议。

建国初期，我国的数学教学传统主要受到苏联数学教育模式的影响。

在这一时期，数学教学主要以传统的“注重基础训练、强调死记硬背”的教学方式为主。

学生们在课堂上主要进行数学公式的刻板诵读和机械式计算，忽视了数学的普适性和启发性。

这种教学方式虽然培养了学生们的计算能力，但却严重忽视了他们的创造力和批判性思维能力。

随着我国改革开放与科技发展的进程，我国的中小学数学教学传统经历了一系列改革与创新。

从80年代开始，我国开始引进国外先进的数学教育理念，并逐步融入到我国的数学教学中。

这一时期，数学教学逐渐注重培养学生的数学思维与创造能力，强调问题解决能力和实践能力的培养。

我国的数学教材编写也进行了一系列的改革，以更好地适应时代的发展和学生的需求。

这些改革使得我国中小学的数学教学传统有了明显的改善和提升。

到了21世纪，我国中小学数学教学传统进入了全新的发展阶段。

随着数字化技术的不断发展和普及，我国的数学教学开始向数字化、智能化的方向转变。

数字化教育工具、智能教学设备等开始广泛应用到数学教学中，为传统的数学教学模式带来新的可能性。

我国中小学数学教学传统也逐渐注重多元发展，强调培养学生的创新精神和团队协作能力。

数学教学不再仅仅停留在课堂上，而是更多地融入到学生的生活和实践中，引导学生从实际问题出发，主动探索和解决数学问题。

在数学教学传统发展的过程中，我国还不断加强对数学教师的培训和引进优秀的教育资源。

通过各种培训途径，提高数学教师的教学水平和教学能力，引导他们更好地适应教学环境的变化和学生需求的变化。

我国还积极引进国外的优秀数学教学资源，借鉴国外数学教学理念和方法，丰富我国数学教学传统的内涵，提升数学教学的整体水平。

跳出框架思考浅析北京四中新初一数学分班难点在北京，初中数学的分班一直是备受关注的话题，而作为首都的一所名校，北京四中更是备受重视。

最近，北京四中新初一开学，针对数学分班的问题引起了公众的广泛关注。

本文旨在从跳出框架思考的视角，分析北京四中新初一数学分班的难点。

一、分班原则首先，我们需要知道北京四中数学分班的原则。

在学校官网上，我们可以看到，数学分班是根据考生成绩来决定的。

而考试的内容包括初中各年级所学过的数学知识点，例如代数、几何等。

此外，还有一部分比较难的题目，需要对学生的数学能力进行综合考察。

二、数学思维的培养在北京四中，数学教育一直是鲜明的特色之一。

初一的数学教学不仅包括知识点的讲解和习题的讲解，更注重培养学生的数学思维。

通过启发式教学、探究式学习等手段，让学生学会用数学的思维方式解决问题。

这种方法能够更好地帮助学生适应高中阶段的数学学习，而且在数学分班中也有很大的优势。

三、数学能力的考察在与其他初中数学教学相比，北京四中的数学教育更注重对学生数学能力的考察。

从初一开始，学生就需要参加多次的数学考试。

而这些考试，不仅仅是为了提高学生的成绩，更是一次次的对学生数学能力的综合考察。

这种方法的好处是，不仅可以及时发现学生数学能力的短板，还能够帮助学生更好地适应高中数学的学习。

四、考试分析为了更好地组织数学分班，北京四中还会对每次考试的成绩进行详细的分析。

通过分析，可以了解学生在各个知识点上的掌握程度，及时发现问题。

同时，考试分析还能够对学生的学习方式进行指导，帮助他们更好地掌握数学知识。

五、案例分析在北京四中新初一的数学分班过程中，学生成绩偏低的情况会受到更多的关注。

对于这些学生，学校会尽可能提供更多的帮助。

比如，课后辅导、小组集训等。

特别是在疫情期间，北京四中也会通过网络授课、线上答疑等方式，为学生提供更好的学习环境和条件。

六、结论在跳出框架思考的角度下，我们分析了北京四中新初一数学分班的难点。

4三尺讲台，一颗爱心；潜心研究，乐此不疲。

这就是数学专家杨虎老师从师以来的真实写照，也是他一生的执着追求。

杨虎，1962年8月出生，1983年毕业于宁夏大学数学系，后就读于北京师范大学数学学院，获得硕士学位。

中国数学奥林匹克金牌教练，数学奥林匹克竞赛、大学自主招生命题研究专家。

曾任2012年“罗马尼亚大师杯”中国代表队主教练，2014年圣彼得堡数学奥林匹克中国代表队主教练，2010年香港数学奥林匹克中国代表队副领队、主教练，2013年香港科技大学理学院数学与科学夏令营主试委员。

目前任北京四中数学高级教师，北京四中数学奥林匹克主教练,中国西部数学奥林匹克主试委员，北京市女子数学奥林匹克教练组长。

一、一线数学教学的先进工作者和蔼可亲的面孔、朴素得体的打扮是数学专家杨虎老师留给笔者的第一印象。

一开始跟杨虎老师交谈的时候，他用亲切诙谐的语言，结合自己的任教经历，讲述了自己作为教师的成长感悟和体验。

这其中，有艰难、有幸运，也历经坎坷，但通过杨虎老师的自强不息，秉持着将职业变成事业的精神和态度，坚持对数学学科进行深入研究。

最终，他成为了一名优秀的一线数学教师和数学奥林匹克主教练。

拥有一桶水才能给学生一杯水，杨虎老师在学生时代就注重老师数学教学方法和数学专业知识的学习，积极进取、勤奋努力，不断夯实专业基础。

当他将教师这一职业列入职业生涯规划时，他就紧紧围绕教师所必备的职业技能进行学习，广泛汲取多学科知识，以构建完整的知识架构，努力做到又专又博。

学高为师，身正为范。

杨虎老师在日常教学工作中，坚持立德树人，注重个人修养，努力用自己的行动影响学生。

兴趣是最好的老师，为了培养学生学习数学的兴趣，他不断研究新的数学教学模式，积极推动教育教学改革，拓宽思路，不断创新教学方式方法，多渠道打造精品课堂。

因材施教，结合学生实际情况，实施个性化教学，提升学生的数学思维能力，形成了一套具有自己独特风格的教学方法。

在教学备课环节提出了详实具体的经验：一是备学生、备教材、备教法；二是备学生、备思维、备分析；三是备学生、备思想、备拓展。

建国以来初中数学教学大纲的演变和启示蔡上鹤(人民教育出版社100009)1建国以来的初中数学大纲,可分为两个时期. 111第一时期(19501~990)(1)第一阶段(1950~1966)¹供普通中学教学参考适用数学精简纲要(草案)(1950年7月).制订此纲要的根据之一是/学生负担过重0.这说明当时已将这个问题提了出来.同时还提出/数学教材应尽可能与实际结合0.º中学数学科课程标准草案(1951年3月).此草案把教学目标分为形数知识、科学习惯、辩证思想、应用技能四个部分.»中学数学教学大纲(草案)(1952年12月).此草案是以当时苏联十年制学校中学数学教学大纲为蓝本编订的.¼中学数学教学大纲(修订草案)(1956年5月).大纲增加了/逻辑思维和空间想象力0/实习作业0/创造的才能0等词语.½教育部向国务院文教办的请示报告(1959年11月).报告认定初中学完平面几何,高中增加平面解析几何、变数法等.¾全日制中学数学教学大纲(草案)(1963年5月).大纲正式写进了/计算能力0和/空间想象能力0等词语.(2)第二阶段(1966~1977)这一阶段没有全国统一的数学教学大纲.(3)第三阶段(1977~1990)¹全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)(1978年2月).大纲是在当时大力宣传实现四个现代化的形势下制订的.º全日制六年制重点中学数学教学大纲(征求意见稿)(1981年11月).大纲在拨乱反正、继承和改革相结合等方面作出了新的努力.»全日制中学数学教学大纲(1986年).为了减轻负担,此大纲把一些内容改成选学内容,在考试中不作要求.¼全日制中学数学教学大纲(修订本)(1990年).此大纲规定/常用对数0移至高中一年级,并首次允许在/解三角形0时可使用计算器.以上初中数学教学大纲,包括修订的版本,一共有10种(其中含课程标准草案1种、请示报告1种).它们的共同特点是:¹与当时的政治、经济形势密切相关.重视联系实际,重视数学教育的思想性和对于发展经济的意义.现今中华民族的中坚、精英,基本上是这一时期的中学生.º大纲的制订大都经过反复的、深入细致的调查研究和实验阶段,吸收了各方面的意见,在一定程度上适应了当时的教学条件和培养人才的目标要求.»从1956年起,大纲就反复提出了基础知识、基本技能和运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力,经过全国中学教师和教材编者的努力,已形成我国中学数学教育的一种国际优势.¼大纲一贯遵循、并于1978年起明确提出的/精简、增加、渗透0六字方针,使得10份大纲在某种程度上呈现出发展趋势,这种发展是连续的、渐进的;如果大幅度跳跃,就会同时失去必要性和可行性.½根据中国国情,大纲应由教育部颁发.大纲应根据各地不同的条件规定必学内容和选学内容.各地还可在部颁大纲的前提下制订补充的地方纲要.没有统一的、权威的部颁大纲,就会对数学教育造成严重后果.¾这10份大纲大部分都由教育部委托人民教育出版社起草,这会在一定程度上影响大纲的学术水平和普适性./一纲一本0的理论和实践,造成了52005年第44卷第3期数学通报/制定大纲-减轻负担-修订大纲0的反复循环,造成教材资源的相对匮乏./一纲一本0还容易造成大纲的的篇幅过小,文字过于简练(例如核心部分/教学目的0只有五、六行字),许多环节界定不清楚,使广大教师在教学、测试中难以把握.112第二时期(1986~2000)(1)第一阶段(1986~1994)¹九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲(初审稿)(1988年)º九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)(1992年6月)(2)第二阶段(1994~2000)九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)(2000年3月).以上初中数学教学大纲,实际只有1种.它的特点是:¹建国以来第一部正式的教育法规)))5中华人民共和国义务教育法6,从1986年7月1日起开始实施.1993年2月13日,中共中央、国务院正式印发了5中国教育改革和发展纲要6,文件中明确界定了四项素质的名称(见第(7)条),指出/中小学教材要在统一基本要求的前提下实行多样化0(见第(33)条).1995年3月18日,5中华人民共和国教育法6颁布施行.1999年,中共中央、国务院作出5关于深化教育改革全面推进素质教育的决定6,国务院批转了5面向21实际教育振兴行动计划6.以上文件都成为制订、修订大纲的重要依据.º国家教委、教育部不再委托人教社一个下属部门代为起草大纲,而是同时委托人教社、北京师大、辽宁教育学院、上海市教研室四个下属部门(单位)分别拿出草稿,再由国家教委召集会议,整合成初稿.»对大纲中的基本词语,例如/基础知识0/基本技能0/运算能力0/逻辑思维能力0、/空间观念0/了解0/理解0/掌握0/灵活运用0和/初中代数0/初中几何0等,都在大纲正文中或在注解中对其涵义作出界定.¼大纲根据国家教委颁布的课程计划(试行)来制订.课程计划和大纲合称为/课程方案0.同一份大纲要适合年限不同的两种学制,教学内容分为必学内容和选学内容,其中必学内容及其要求是必须保证达到的,这里的指导思想是/保底不封顶0.大纲由国家教委或教育部颁发后,作为教学、教材编写、考核和教学评估这四种教育活动过程的依据.½打破/一纲一本0的旧模式,实行编审分开,成立全国(以及各省、自治区、直辖市)中小学教材审查机构,分别负责对于大纲、通用教材和地方教材的审查,通过后方可在相应范围内试(使)用.国家教委、教育部负责制订审查的指导思想、基本原则、合格条件和确定审查、审定委员会的成员名单.¾大纲(2000年试用修订版)在/教学目的0中增加了培养学生的创新意识一类要求,并在/教学中应该注意的几个问题0中加以呼应和强调,此外,还增加了/改进教学测试和评估0一段.在/教学内容和教学要求0中,2000年大纲增加了以下/探究性活动0:长方体和它的表面,a=bc 型的数量关系,镶嵌.这些内容成为初中阶段/研究性课程0的有机组成部分.这份大纲在积极提倡运用模型、投影、录像、计算器和计算机等教学手段的基础上,增加了重视计算机和多媒体技术等现代教育手段的提法.这份大纲还首次认可教学中/要有适度的开放题0.以上的演变过程,反映了这样一个基本事实:大纲的变迁,就是我国社会政治、经济、文化的变迁的一种体现,其中渗透着教育行政部门、一线教研人员和教材编写者共同的、长期不懈的努力.所有的教学大纲合在一起,就是一份宝贵的精神成果和科研成果.只批判、不继承的做法使不可取的.2初中数学教学大纲的演变给我们有哪些启示? 211大纲的制订必须符合中国国情,必须立足于我国当时的社会基础,同时放眼世界、放眼未来.历次大纲的修订,其中着力解决的一个问题就是学生负担过重,它反映了我国各地经济基础和教育条件的差异,强求一律是不现实的./必学+选学0/国家+地方0/保底不封顶0等,都是极其宝贵的经验. /民族的才是世界的0,这是一条共同的规律.例如,就以/教学班级的学生容量0和/学校的升学率0两项因素来说,我国就具有许多特殊性,照搬发达国家的做法是不可能的.212大纲的演变必须是一个连续的、渐进的过程,大幅度的跳跃必然造成严重后果.1958~1959以及十年动乱时期的所谓教育革命,浪费了大量人力、6数学通报2005年第44卷第3期TIMSS2003与美国数学课程评介李建华(北京四中100034)1TIMSS的由来TI MSS是由国际教育成就评价协会(the Internat ional Association for the Evaluation of Educational Achievement,简称IEA)发起和组织的国际教育评价研究和评测活动.成立于1959年的IEA 曾经在60年代初组织了有十多个国家参加的第一次国际数学评测和第一次国际科学评测.70年代末、80年代初,IEA又组织了第二次国际数学评测和第二次国际科学评测.1994年,国际教育成就评价协会IEA在美国国家教育统计中心NCES(National Center for Education Statistics)和国家科学基金会NSF(National Science Foundat ion)的财政支持下,发起并组织了第三次国际数学和科学评测(Third Internat ional Mathemat ics and Science Study)这次活动被简称为TIMSS,1999年,这项活动继续进行,并被成为TI MSS-R或TI MSS-REPEAT.2003年,为了更好地延续这项有意义的研究活动,TIMSS成为国际数学和科学评测趋势(The Trends in International Mathe matics and Science Study)的缩写,从而使1995年、1999年、2003年的三次测试有了统一的名称.这三次测试是当代青少年数学教育和科学教育的重要的国际比较研究,对我国的数学教育和科学教育有一定的启发和借鉴意义.2美国学生在TIMSS中的表现美国中小学生参加了所有这三次测试,总体来看,数学教育和科学教育呈上升趋势.#1995年,41个国家或地区参加了测试.美国4年级学生成绩位列3甲,8年级居中游,12年级陪榜尾.#1999年,38个国家或地区参加了测试(只进行了8年级的测试),美国学生位居中游.#2003年,46个国家或地区参加了测试.进行了4年级和8年级的测试,8年级学生的成绩得到稳步提高.3TIMSS2003的基本情况46个国家或地区不同程度地参加了测试.25个国家或地区参加了4年级的测试,45个国家或地区参加了8年级的测试.4年级的测试大约需要72分钟完成,8年级的测试需要90分钟.除了测试,学生、教师和校长还填写了有关学校和教学环境的调查问卷.财力和时间,还造成当时的中学生学不到真正的知识.十年动乱中大批知识青年上山下乡,不能说社会生活的能力没有长进,但他们却因知识贫乏、无一技之长而进入中老年阶段,不少人面临下岗的境地.213一部大纲必须有它的基本结构和基本词汇,对所有的基本词汇都必须作出教育教学意义方面的界定,而且应保持一定的稳定性.这样作,既反映了大纲的法定效力、它的学术厚重度和经验价值,又可使广大教师有章可循,作为创造新理论的基础.所以大纲内容、文字都反映着数学教育理论与实践的一种积淀,而不能只是标新立异,大量增添政治的、心理学的、其他国家的热门词汇,而不作界定.214大纲的制订必须立法化.必须以社会发展的要求为前提,并以科学研究为基础.起草人员、审查人员都必须经过一定的资格审查,而不是单由行政领导部门指定.大纲必须经过/实验搞0/修订稿0/正式稿0这三个阶段,每一个阶段不能少于3年,三个阶段加起来,应该不少于9年.频繁地制订全新的大纲,并不会带来多大的好处.我本人赞成用/课程标准0代替大纲.以上所说,希望能对课程标准的制订、修订工作有益.(2005年2月22日)72005年第44卷第3期数学通报。

用高观点教数学作者：周长生（北京四中）选自《为不教而教》一书概述这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。

中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。

这句话虽然家喻户晓。

但是，怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。

任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。

严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。

因此，从数学教学的角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。

课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。

高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。

可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。

没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。

可以这样讲：精读深思+高观点=如虎添翼。

就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。

第一、共性个性原理；第二、简易逻辑知识；第三、学习数学的主要原则；第四、数学的主要特点；第五、一些数学学习方法口诀。

以下，将分别加以叙述。

一、共性个性原理（一）回顾和问题本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手段。

方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。

渔和鱼，无论如何不能混为一谈。

试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？但是，严格说来，方法和知识又很难区分。

比如，有个计算题“已知三角形的两个角分别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。

又比如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。

在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。

事实上，教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带“法”字的所谓方法又都是基本知识。

北京四中提倡的数学学习的科学方法一、课堂上要做到“四个超前”1．超前想：老师提出课题后，自己要尽量超在老师讲解之前，想出思路和答案。

2．超前做：老师写出例题后，自己要尽量超在老师讲解之前，发现思路，甚至做出结果。

3．超前总结：老师做完解答后，自己要尽量超在老师讲解之前，对解答过程进行反思、概括与总结。

4．超前提问题：老师作出总结后，自己要尽量超在老师讲解之前，发现问题，研究问题。

“四个超前”的基本思想是课堂上要使自己的思维处于非常积极的状态，主动地对信息进行多方位的搜集、分析、综合与转换，从这个过程中获得新的猜想，新的思路、新的感悟、新的创造。

做到了“四个超前”，就有可能同老师的讲解和同学们的讨论、交流进行对比，找出差距，学习就更有针对性。

二、课下要学会“三种复习”1．及时复习——每天课后，要通过阅读课本和整理笔记完成两项任务：(1)深抠理论(概念、定理、公式、法则)①理论产生的背景和过程(为什么要提出这个概念?定理是怎样发现的?怎样证明的?公式是怎样推导的?)②理论适用的条件。

(什么条件下这个理论不能用?)③理论的结构特征。

(数与式子的结构特征，图形的结构特征，命题的结构特征等)④理论的本质与功能。

(要透过形式看本质并且关注功能。

．)(2)深抠例题。

我们把例题的学习划分为三种水平：怎么做(学会做法)，怎么想(学会想的方法，核心是学会“用理论思想”)，为什么要这样想，还能怎么想(真正做到明理)，要知道，“会做不等于会想，会想未必明理”，只有会想，而且达到明理的水平，才算“知其然更知其所以然”．才能举一反三，触类旁通。

2．单元复习——每个单元读完之后，要做单元复习，完成以下任务：(1)整理、串联知识点，形成单元的理论系统。

知识点经串联以后，理论发展的来龙去脉一目了然，其主干和枝权经纬分明，容易看清基本数学思想的指导作用，它能使你“站在系统的高度”总揽全局，甚至能把握理论发展的去向。

(2)归纳单元理论的基本思想、中心课题和数学方法，使理解达到更高的层面。

北京四中的师资力量如何？一、师资力量的整体情况北京四中作为一所具有百年历史的名校，一直以来都注重师资力量的培养与招聘，拥有一支高素质的教师队伍。

从整体来看，师资力量在学术造诣、教学经验以及教育理念等方面都表现出色。

在学术造诣方面，北京四中的教师拥有扎实的学术背景和广泛的学科知识。

绝大部分教师具有硕士以上学位，并有丰富的科研经验。

他们在教学过程中，能够灵活运用自己的学科知识，为学生提供充实、深度的教学内容。

在教学经验方面，北京四中的教师积累了丰富的教学经验。

他们有着多年的教学实践，并且经常参与教学改革与教师培训。

这使得他们对教学方法、教学策略等方面有着较为深入的了解，能够更好地应对学生的学习需求。

在教育理念方面，北京四中的教师注重培养学生的全面素质和创新意识。

他们坚持以学生为中心，尊重学生的个性差异，注重培养学生的自主学习能力和创造力。

同时，他们也注重学生的品德教育，培养学生的道德观念和社会责任感。

二、不同学科的师资情况1. 文科师资北京四中的文科师资力量雄厚。

在语文、历史、地理等学科中，教师们具备深厚的学科知识和教学经验。

他们能够将抽象的知识内容生动地呈现给学生，并激发学生对于人文社科的兴趣。

同时，他们注重培养学生的阅读能力和文学素养，使学生在学科学习中培养出批判性思维和创新思维。

2. 理科师资北京四中的理科师资力量强大。

在数学、物理、化学等学科中，教师们具备丰富的学科知识和实验经验。

他们能够将抽象的知识内容与实际应用相结合，让学生更好地理解和掌握科学原理。

同时，他们注重培养学生的逻辑思维和实验探究能力，为学生的科学发展奠定良好基础。

3. 艺术师资北京四中的艺术师资力量独特。

在音乐、美术等学科中，教师们具备广泛的艺术知识和专业技能。

他们能够引导学生发展自己的艺术潜能，并培养学生对于艺术的审美能力。

同时，他们注重培养学生的创造力和表达能力，使学生在艺术领域扬长避短。

三、师生互动与教学效果在北京四中，师生之间的互动是密切而有益的。

数学教育理论的形成与发展数学教育理论的形成与发展可以追溯到古代。

古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中，系统地阐述了几何学的基本原理和推理方法，为几何学教育奠定了基础。

此后，古代数学教育理论逐渐发展起来，形成了一些教学方法和原则。

到了中世纪，数学教育进入了一个相对低迷的时期。

当时的数学教育缺乏系统性和探索性，教学内容大部分是以记忆和机械应用为主，缺乏对数学思维和创造性思维的培养。

到了近代，数学教育理论得到了一次重大的发展。

19世纪末，德国数学教育家弗雷贝尔提出了数学教育的“抽象理论”，强调数学教育应该注重培养学生的抽象思维能力和数学思维习惯，而不仅仅是机械记忆和应用技巧。

这一理论对数学教育的发展产生了深远的影响，也为后来的数学教育理论奠定了基础。

20世纪初期，美国数学教育家杜埃曾提出了“现代数学教育”理念，强调数学教育应该关注学生的生活实际和问题解决能力，注重培养学生的思维能力和创新能力。

这一理论对数学教育的起到了积极的推动作用。

在20世纪中叶，约翰·迪维·布鲁纳等数学教育家提出了“建构主义数学教育”理念，认为学生应该通过自主探究和合作学习来构建自己的数学知识体系，强调数学教育应该注重学生的学习主体性和创造性。

这一理论在世界范围内引起了广泛的关注和研究，为数学教育的提供了新的思路和方法。

随着信息技术的发展，数学教育理论也逐渐与现代技术相结合，形成了“数字化数学教育”理念。

数字化数学教育通过利用计算机、网络和其他多媒体技术，提供更丰富、多样化的学习资源和工具，为学生提供更灵活、个性化的学习环境。

这一理论受到了越来越多教育者和学生的认可和接受。

总的来说，数学教育理论的形成和发展是一个逐步深化和完善的过程。

从古代的几何学到现代的数字化数学教育，每一次理论的提出和发展都是对过去的经验总结和反思的结果，也是对数学教育价值和目标的不断思考和探索。

通过不断地研究和实践，数学教育理论将会不断发展和完善，为数学教育的和发展提供更多的启示和指导。

正数和负数、有理数撰稿：朱晓琳审稿：赵云洁责编：邵剑英教学目标：1、知道什么是正数和负数及有理数；2、了解数轴的概念，会画数轴；3、掌握相反数、绝对值的概念；4、会比较有理数的大小.教学重点：数轴、相反数、绝对值的概念.教学难点：在本学段的学习中体会分类讨论、数形结合的思想方法.教学内容解析：引言:通过本章的学习,将认识一种新的数-负数,并在有理数的范围内研究数的表示、大小比较与运算等，使运算能力和应用数学解决问题的能力得到提高.1.1正数和负数1、数的产生和发展离不开生活和生产的需要由计数、排序，产生数1、2、3，…；由表示“没有”“空位”，产生数0；由分物、测量，产生分数，…；而实际生活中出现的相反意义的量，如卖出与买入、盈利与亏损、上升与下降、增加与减少、前进与后退等，无法用自然数表示；在解方程的过程中，如何解决较小的数减去较大的数等.这时需要一种新数来解决问题.2、正数和负数的定义正数：大于0的数叫做正数.负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数.例如：-3，-2，-27%，-…根据需要，有时在正数前面也加上“+”（正）号.一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号.数0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界.0的意义已不仅是表示“没有”.3、课堂拓展：为了区分正数与负数，古代数学家创造了两种方法：一种是用不同颜色的算筹分别表示，通常用红筹表示正数，黑筹表示负数；另一种是采用在正数上面斜放一只筹，来表示负数，因为后者的思想较新，很快发展为在数的最前面一位数码上斜放一小横来表示负数，1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算，吉拉尔的负数符号得到人们的公认，一直沿用至今.1.2.1有理数1、通过上一节的学习，在我们学过的数的基础上，又有了负整数：如-1，-2，-3…；负分数：如-0.5，，….整数可以看作分母为1的分数.正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数.2、有理数的分类：说明：分类要做到“不重复、不遗漏”，掌握分类的标准是关键.1.2.2数轴1、问题情境：课间操时，同学南北朝向排成一列，等间距1米站好，体育委员在班长的南边2米处，生活委员在班长北边3米处，请画图表示这一情境，并思考怎样用书简明的表示这些同学之间的相对位置关系.归纳：一条直线上的某些点可以用正数、0、负数来表示；反过来，可以把正数、0、负数用一条直线上的点来表示.2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3、画数轴：注意检查正方向、原点是否体现出来，习惯上表示点的大写字母表在数轴的上方；数字标在下方.4、趣谈数轴：数轴，一根不起眼的直线，谁也没有想到它有无穷的法力.你看：千千万万、形形色色的有理数一旦回到数轴上就变得规规矩矩、井然有序，从左向右依次排列成一队，谁也不能站错位.如果将数轴看成一个庄园，那么可以说在这个庄园里有三个部落：正数、零、负数.正数人丁兴旺，谁也不清楚它们究竟有多少；零孑然一身，名副其实的孤苦“0”丁；负数虽然出现比较晚，但它的后代并不比正数逊色，尽管正数和负数家族十分兴旺，但它们并不欺负无依无靠的“0”，将庄园中最好的位置让给了它-原点.值得注意的是，所有的有理数可以在数轴上各自找到唯一的栖身之处，但数轴这个大庄园里不全是有理数，还有无理数，在以后的学习中会学到.5、思考：在数轴上能否实际画出表示一千万分之一的点？这个点存在吗？答：只要在数轴上确定了原点和正方向后，在原点右边随便点一点就可表示一千万分之一，其实数轴上确定了任何一个除原点外的点也就确定了单位长度.1.2.3相反数1、中心对称的概念：数轴上，在原点左右并且到原点距离相等的两个点，我们称之为关于原点中心对称.2、相反数的概念：只有符号不同的两个数，称之为相反数；特别的，0的相反数仍是0.有理数a的相反数记为-a.3、相反数的几何特征：数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称.1.2.4绝对值1、绝对值的概念：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作.有绝对值的定义可得：注意：要确定一个有理数，需要确定两方面的特征：一是符号、二是绝对值.相反数就是符号不同、但绝对值相同的数.2、比较有理数的大小：借助数轴，千千万万、形形色色的有理数一旦回到数轴上就变得规规矩矩、井然有序，从左向右依次按从小到大排列成一队.因此，异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值.3、绝对值的性质：①；②；③则；④则.例题解析:1、把下列各数分别填在相应的大括号里：+9，-1，+3，，0，，-15，，1.7．正有理数集合：{…}，负有理数集合：{…}．2、的绝对值是_______________，的相反数是_____________，______________的绝对值是.3、最大的负整数是___________；小于3的非负整数有______________________.4、__________的相反数是它本身.5、绝对值小于4的所有整数有________________.6、在横线上填上适当的“＞”，“＜”或“=”.（1）（2）（3）（4）7、绝对值等于它的相反数的是_____________.8、如果a表示一个有理数，那么下面说法正确的是（）A. 是负数B. 一定是正数C. 一定不是负数D. 一定是负数9、如果a、b表示的是有理数，并且，那么（）A. a、b互为相反数B. a=b=0C. a和b符号相反D. a、b的值不存在10、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B.C. D.11、若，则（）A、a＞bB、a＜bC、a≠bD、a≤012、若a与3a+1互为相反数，则a=_________13、已知，求a+b的值14、比较1+a与1-a的大小15、一只小虫在数轴的某点P0，第一次从P0向左跳了1个单位长度到P1，第二次从P1向右跳了2个单位长度到P2，第三次从P2向左跳了3个单位长度到P3，第四次从P3向右跳了4个单位长度到P4……按以上规律跳了100次，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2053.你能确定这只小虫的初始位置P0点所表示的数吗？参考答案:1、+9，+3，，1.7；-1，，，-15；2、，，；3、-1；0，1，2；4、0；5、-3，-2，-1，0，1，2，3；6、＞，＜，＞，=；7、非正数；8、C；9、B；10、D；11、C；12、；13、5或1或-1或-5；14、a＞0时1+a＞1-a；a＜0时1+a＜1-a；a=0时1+a=1-a.15、2003.。

建国以来我国中小学数学教学传统发展历程建国以来，我国中小学数学教学传统经历了多个发展阶段，逐步形成了独特的教学模式和教学理念。

本文将就这一发展历程进行详细介绍。

新中国成立之初，我国中小学数学教学传统还比较落后。

当时，由于战争的破坏和经济的困难，数学教育资源十分匮乏，教材质量不高，教学方法也比较传统，以讲授为主。

在这个时期，教师主要通过口头讲解来传授知识，学生主要是被动接受，而缺乏探究和实践的机会。

从上世纪50年代起，我国开始进行了大规模的教育改革，并在数学教育方面取得了一系列的成果。

教育部门制定了全国性的统一教学大纲，提出了促进思维发展和能力培养的教学目标。

教材内容得到了全面更新和改进，不仅注重基础知识的学习，而且注重培养学生的思维能力和创新意识。

教学方法也发生了很大的变化，引进了一系列的教学手段和教学技巧，如课堂讲授、问题解决、实践操作等，以提高学生的主动性和参与度。

随着改革的不断推进，80年代后期至90年代初期，我国中小学数学教学传统进一步发展。

这一时期，对数学素养的培养及数学教育的质量提升成为教学改革的重点。

教学重点由单纯的知识传授转向培养学生的数学思维和解决问题的能力，并逐步引入一些先进的教学方法，如任务型教学、探究式学习等。

这些教学方法注重培养学生的创新思维和动手能力，通过实践和探究提高学生的学习兴趣和学习能力。

进入21世纪后，随着信息技术的迅速发展，我国中小学数学教学传统再度迎来了新的挑战和机遇。

信息技术的应用使得教学手段更加多样化和灵活化，如电子教室、网络学习平台、数学软件等，为学生的学习提供了更广阔的空间和更丰富的资源。

教师不再是传统的知识传授者，而是充当学生学习的指导者和引导者，通过信息技术的应用创设一些情境和问题，培养学生的创新能力和解决问题的能力。

建国以来我国中小学数学教学传统经历了由传统教学向能力培养和素质教育转变的过程。

教学目标由知识传授转向思维发展和能力培养，教学方法由讲授为主转向多样化和多元化，培养学生的主动性和创新能力。