解答题规范专练(四)

解答题专题练(四) 解析几何(建议用时：40分钟)1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．2．(2019·无锡模拟)已知椭圆C 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点M (4，2)、N (6，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 上的任一点R (x 0，y 0)，从原点O 向圆R ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .试探究OP 2＋OQ 2是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2和直线l ：x ＝a (其中r 和a 均为常数，且0＜r ＜a )，M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P ，Q .(1) 若r ＝2，点M 的坐标为(4，2)，求直线PQ 的方程； (2) 求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标．4.如图，设斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C ：x 29＋y 23＝1交于A ，B 两点，且OA ⊥OB .(1)求直线l 在y 轴上的截距(用k 表示)； (2)求△AOB 面积取最大值时直线l 的方程．参考答案与解析1．解：(1)由题可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则过点F 且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px (p ＞0)，得x 2－3px ＋p 24＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝3p . 因为|MN |＝8，所以x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ， 得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0. 因为l 为抛物线C 的切线，所以Δ＝0，解得b ＝1.所以l 的方程为y ＝x ＋1.设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))， 所以PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2. 由(1)可知，x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1， 所以(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4.因为y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1＋y 2＝4x 1－x 2y 1－y 2＝4，所以PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2，3)时等号成立，则PM →·PN →的最小值为－14. 2．解：(1)依题意，设此椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1，过点M (4，2)、N (6，3)，可得⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝16m ＋9n ＝1，解得m ＝124，n ＝112，所以椭圆C 的方程为x 224＋y 212＝1.(2)(i)当直线OP ，OQ 的斜率均存在时，不妨设直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ， 依题意|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，化简得(x 20－8)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－8＝0， 同理(x 20－8)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－8＝0.所以k 1，k 2是方程(x 20－8)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－8＝0的两个不相等的实数根，k 1k 2＝y 20－8x 20－8.因为x 2024＋y 2012＝1，所以y 20＝12－12x 20. 所以k 1k 2＝4－12x 20x 20－8＝－12，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1x 1·y 2x 2＝－12，所以y 21y 22＝14x 21x 22， 因为⎩⎨⎧x 2124＋y 2112＝1x 2224＋y 2212＝1，所以⎩⎨⎧y 21＝12－12x 21y 22＝12－12x 22，所以⎝⎛⎭⎫12－12x 21⎝⎛⎭⎫12－12x 22＝14x 21x 22， 所以x 21＋x 22＝24，y 21＋y 22＝12，所以OP 2＋OQ 2＝36.(ii)当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有OP 2＋OQ 2＝36， 综上，OP 2＋OQ 2＝36.3．解：(1)若r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0)． 直线MA 1的方程为x －3y ＋2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －3y ＋2＝0，解得P ⎝⎛⎭⎫85，65. 直线MA 2的方程为x －y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －y －2＝0，解得Q (0，－2)．由两点式得直线PQ 的方程为2x －y －2＝0. (2)法一： 由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0)．设M (a ，t )，则直线MA 1的方程为y ＝t a ＋r (x ＋r )，直线MA 2的方程为y ＝t a －r (x －r )，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta ＋r（x ＋r ）， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫r （a ＋r ）2－rt 2（a ＋r ）2＋t 2，2tr （a ＋r ）（a ＋r ）2＋t 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta －r（x －r ）， 解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫rt 2－r （a －r ）2（a －r ）2＋t 2，－2tr （a －r ）（a －r ）2＋t 2.于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2， 直线PQ 的方程为y －2tr （a ＋r ）（a ＋r ）2＋t 2＝2at a 2－t 2－r 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －r （a ＋r ）2－rt 2（a ＋r ）2＋t 2. 令y ＝0得x ＝r 2a ，是一个与t 无关的常数，故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0.法二：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0)．设M (a ，t )，则直线MA 1的方程为y ＝t a ＋r (x ＋r )，直线MA 2的方程为y ＝ta －r (x －r )，则直线MA 1与圆C 的交点为P (x 1，y 1)，直线MA 2与圆C 的交点为Q (x 2，y 2)．则点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在曲线[(a ＋r )y －t (x ＋r )][(a －r )y －t (x －r )]＝0上， 化简得(a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2)＝0.①又因为点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2＋y 2－r 2＝0.②由①＋t 2×②＝0得(a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2)＋t 2(x 2＋y 2－r 2)＝0， 化简得(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)＋t 2y ＝0.所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)＋t 2y ＝0.令y ＝0得x ＝r 2a，故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0. 4．解：(1)设l ：y ＝kx ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C ：x 29＋y 23＝1交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，所以∠AOB ＝90°，所以OA →·OB →＝0， 所以x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝0，(*)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t x 29＋y 23＝1，消去y 得x 2＋3(kx ＋t )2＝9，即(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－9＝0，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2，x 1x 2＝3t 2－91＋3k 2，且Δ＞0，代入(*)， 得(1＋k 2)(3t 2－9)－6k 2t 2＋t 2(1＋3k 2)＝0，所以3t 2－9－9k 2＋t 2＝0， 所以t 2＝94(1＋k 2)，所以t ＝±321＋k 2，所以直线l 在y 轴上的截距为321＋k 2或－321＋k 2.(2)设△AOB 的面积为S ，O 到直线l 的距离为d ， 则S ＝12·|AB |·d ，而由(1)知d ＝|t |k 2＋1＝32，且|AB |＝k 2＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2×36k 2t 2（1＋3k 2）2－4（3t 2－9）1＋3k 2＝k 2＋11＋3k 2×31＋9k 2＝3（k 2＋1）（1＋9k 2）1＋3k 2， 所以S ＝94×1＋4⎝⎛⎭⎫9k 2＋1k 2＋6≤94×1＋13＝332， 当S max ＝332时，9k 2＝1k 2，解得k ＝33，所以t ＝±3， 所以所求直线方程为y ＝33x ＋3或y ＝33x － 3.。

高考解答题专项训练(四) 空间向量与立体几何1．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P -ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →＝(1,1,0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ，v ，w )． 因为点H 在棱PC 上， 所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)， 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)． 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量， 所以n ·AH →＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0. 解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，23，23.所以PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝2. 2．如图，在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．解：(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH .在三棱台DEF -ABC 中， AB ＝2DE ，G 为AC 的中点， 可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形．则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD，又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)设AB＝2，则CF＝1.在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点，由DF＝12AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点，所以AB＝BC，GB⊥GC，因此GB，GC，GD两两垂直．以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (0,0,1)．可得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，F (0，2，1)．故GH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，GF →＝(0，2，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的法向量，则由⎩⎨⎧n ·GH →＝0，n ·GF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，－1，2)． 因为GB →是平面ACFD 的一个法向量，GB →＝(2，0,0)， 所以cos 〈GB →，n 〉＝GB →·n |GB →|·|n |＝222＝12.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.3．(2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12(如图①)，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1-DE -B 成直二面角，连接A 1B ，A 1C (如图②)．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：题图①中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.从而DE＝12＋22－2×1×2×cos60°＝ 3.故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.∴题图②中，A1D⊥DE，BD⊥DE，∴∠A1DB为二面角A1-DE-B的平面角，又二面角A1-DE-B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ， 设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，易知A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a,0)，E (0，3，0)， 所以P A 1→＝(a －2，－3a,1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)． 因为直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin60°＝|P A 1→·DE →||P A 1→||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32，解得a ＝54. ∴PB ＝2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.4．(2019·河北衡水中学、河南顶级名校联考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AB ＝AA 1，过AA 1的平面分别交BC ，B 1C 1于点D ，D 1.(1)求证：四边形ADD1A1为平行四边形；(2)若AA1⊥平面ABC，D为BC的中点，E为DD1的中点，求二面角A-C1E-C的余弦值．解：(1)证明：因为AA1∥BB1，AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AA1∥平面BCC1B1.又因为AA1⊂平面ADD1A1，平面ADD1A1∩平面BCC1B1＝DD1，所以AA1∥DD1.因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ADD1A1＝AD，平面A1B1C1∩平面ADD1A1＝A1D1，所以AD∥A1D1.所以四边形ADD1A1为平行四边形．(2)因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC.因为AA1∥DD1，AA1⊥平面ABC，所以DD1⊥平面ABC，从而DD1⊥AD.又DD1∩BC＝D，所以AD⊥平面BCC1B1.分别以DA，DB，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AC ＝BC ＝AB ＝AA 1＝2，则A (3，0,0)，E (0,0,1)，C 1(0，－1,2)，AE →＝(－3，0,1)，C 1E →＝(0,1，－1)．设平面AC 1E 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由⎩⎨⎧AE →·n ＝0，C 1E →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋c ＝0，b －c ＝0，取c ＝3，得n ＝(1，3，3)．由AD ⊥平面BCC 1B 1，得平面CC 1E 的一个法向量为DA →＝(3，0,0)，所以cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →|·|n |＝37×3＝77，又易知二面角A -C 1E -C 为锐二面角， 故二面角A -C 1E -C 的余弦值为77.5．(2019·天津十二校联考)如图，ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝26，DE ＝3 6.(1)求证：面ACE ⊥面BED ；(2)求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；(3)在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M -BE -D 的大小为60°？若存在，求出AMAF 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面ADEF ，DE ⊥AD ，所以DE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又因为DE ∩BD ＝D ，DE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面BED . (2)因为DE ⊥DC ，DE ⊥AD ，AD ⊥DC ， 所以建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示．则A (3,0,0)，F (3,0,26)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)，所以CA →＝(3，－3,0)，BE →＝(－3，－3,36)，EF →＝(3,0，－6)． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎨⎧n ·BE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1－3y 1＋36z 1＝0，3x 1－6z 1＝0， 令x 1＝6，则y 1＝26，z 1＝3，则n ＝(6，26，3)．所以cos 〈CA →，n 〉＝CA →·n |CA →|·|n |＝－3632×39＝－1313. 所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为1313.(3)存在．点M 在线段AF 上，设M (3,0，t )，0≤t ≤2 6.则BM →＝(0，－3，t )，BE →＝(－3，－3,36)，设平面MBE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧m ·BM →＝－3y 2＋tz 2＝0，m ·BE →＝－3x 2－3y 2＋36z 2＝0，令y 2＝t ，得m ＝(36－t ，t,3)，|cos 〈m ，CA →〉|＝|m ·CA →||m |·|CA →|＝|96－6t |32×(36－t )2＋t 2＋9＝12， 整理得：2t 2－66t ＋15＝0，解得t ＝62或t ＝562(舍)，故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M -BE -D 的大小为60°，此时AM AF ＝14.6．(2019·广州模拟)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 的中点，点R 在线段BH 上，且BR RH ＝λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B (该点记为P )，如图2所示．(1)若λ＝2，求证：GR ⊥平面PEF ；(2)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由题意，可知PE ，PF ，PD 三条直线两两垂直． ∴PD ⊥平面PEF .在图1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 为BD 的中点， 则EF ∥AC ，GD ＝GB ＝2GH .在图2中，∵PR RH ＝BR RH ＝2，且DG GH ＝2，∴在△PDH 中，GR ∥PD .∴GR ⊥平面PEF .(2)存在．由题意，分别以PF ，PE ，PD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系P -xyz .设PD ＝4，则P (0,0,0)，F (2,0,0)，E (0,2,0)，D (0,0,4)， ∴H (1,1,0)．∴BR RH ＝PR RH ＝λ，∴PR →＝λ1＋λPH →，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，0.∴RF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ1＋λ，－λ1＋λ，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－λ1＋λ，0. EF →＝(2，－2,0)，DE →＝(0,2，－4)，设平面DEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧EF →·m ＝0，DE →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，2y －4z ＝0. 取z ＝1，则m ＝(2,2,1)．∵直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225，∴|cos 〈m ，RF →〉|＝|m ·RF →||m ||RF →| ＝41＋λ3⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ2＝223λ2＋2λ＋2＝225，∴9λ2＋18λ－7＝0，解得λ＝13或λ＝－73(不合题意，舍去)．故存在正实数λ＝13，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225.。

2025届高考数学解答题专练：数列的性质一、解答题（共13题）1.我们知道，在等差数列{a n}中，当公差d>0时，{a n}单调递增；当公差d<0时，{a n}单调递减．请你探究等比数列{b n}单调递增的充要条件．2.在数列{a n}中，a n=2n−5，求数列{a n}的最大项与最小项．2n−7a n，n∈N∗．3.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，S n=a n2+12(1) 求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n，求证：(2) 设数列{b n}满足：b1=1，b n−b n−1=2a n(n≥2)，数列{1b nT n<2；(3) 若T n≤λ(n+4)对任意n∈N∗恒成立，求λ的取值范围．4.已知有限数列{a n}共有30项，其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为S n．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：条件①：a2=4，S5=30，a21=20；条件②：S3=0，a20=−36，a22=−9；条件③：S1=48，a21=20，a24=160．(1) d，q的值；(2) 数列{a n}中的最大项．5.在公比大于0的等比数列{a n}中已知a3a5=a4，且a2，3a4，a3成等差数列．(1) 求{a n}的通项公式；(2) 已知S n=a1a2⋯a n，试问当n为何值时，S n取得最大，并求S n的最大值（n∈N∗，a∈R，且a≠0）．6.已知数列{a n}中，a n=1+1a+2(n−1)(1) 若a=−7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2) 若对任意的n∈N∗，都有a n≤a6成立，求实数a的取值范围．7. 在数列 {a n } 中，若 a n ∈N ∗，且 a n+1={a n2,a n 是偶数a n +3,a n 是奇数（n =1,2,3,⋯），则称 {a n } 为“J 数列”．设 {a n } 为“J 数列”，记 {a n } 的前 n 项和为 S n ． (1) 若 a 1=10，求 S 3n 的值； (2) 若 S 3=17，求 a 1 的值；(3) 证明：{a n } 中总有一项为 1 或 3．8. 用 [x ] 表示一个小于或等于 x 的最大整数．如：[2]=2，[4.1]=4，[−3.1]=−4．已知实数列 a 0，a 1，⋯ 对于所有非负整数 i 满足 a i+1=[a i ]⋅(a i −[a i ])，其中 a 0 是任意一个非零实数． (1) 若 a 0=−2.6，写出 a 1，a 2，a 3； (2) 若 a 0>0，求数列 {[a i ]} 的最小值；(3) 证明：存在非负整数 k ，使得当 i ≥k 时，a i =a i+2．9. 若数列 {a n } 是首项为 6−12t ，公差为 6 的等差数列；数列 {b n } 的前 n 项和为 S n =3n −t ． (1) 求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式；(2) 若数列 {b n } 是等比数列，试证明：对于任意的 n (n ∈N,n ≥1)，均存在正整数 c n ，使得b n+1=ac n ，并求数列 {c n } 的前 n 项和 T n ．(3) 设数列 {d n } 满足 d n =a n b n ，且 {d n } 中不存在这样的项 d k ，使得“d k <d k−1 与 d k <d k+1”同时成立（其中 k ≥2，k ∈N ∗），试求实数的取值范围．10. 已知等比数列 {a n } 的公比为 q ，a 1=32，其前 n 项和为 S n (n ∈N ∗)，S 2，S 4，S 3 成等差数列．(1) 求数列 {a n } 的通项公式； (2) 求 b n =S n −1S n(n ∈N ∗) ,求 b n 的最大值与最小值．11. 在数列 {a n } 中，a 1=1，a n+1=1−14a n，b n =12an−1，其中 n ∈N ∗． (1) 证明数列 {b n } 是等差数列，并写出证明过程；(2) 设 c n =2bn2b n−1，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n ；(3) 已知当 n ∈N ∗且 n ≥6 时，(1−mn+3)n<(12)m，其中 m =1,2,⋯n ，求满足等式 3n +4n +⋯+(n +2)n =(b n +3)b n 的所有 n 的值之和．12. 设 m 为正整数，各项均为正整数的数列 {a n } 定义如下：a 1=1，a n+1={a n2,a n 为偶数a n +m,a n 为奇数．(1) 若m=5，写出a8，a9，a10；(2) 求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；(3) 若m为奇数，是否存在n>1满足a n=1？请说明理由．13.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a2=a．(1) 若数列{a n}是等差数列，且a8=15，求实数a的值；(2) 若数列{a n}满足a n+2−a n=2(n∈N∗)，且S19=19a10，求证：{a n}是等差数列；(3) 设数列{a n}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{a n}具有如下性质M：对于任意的n≥2(n∈N∗)，都存在m∈N∗，使得(S m−a n)(S m−a n+1)<0，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a的集合．答案一、解答题（共13题）1. 【答案】b1>0，q>1或b1<0，0<q<1，其中q是等比数列{b n}的公比．2. 【答案】{a n}的最大项为a4=3，最小项为a3=−1．3. 【答案】(1) n=1时，a1=a12+12a1，所以a1=12，{S n+1=a n+12+12a n+1,S n=a n2+12a n⇒a n=a n2−a n−12+12a n−12a n−1⇒(a n+a n−1)(a n−a n−1−12)=0，因为a n>0，所以a n−a n−1=12，所以{a n}是以12为首项，12为公差的等差数列，所以a n=12n．(2) b n−b n−1=n，{b2−b1=2,b3−b2=3,⋮b n−b n−1=n⇒b n−b1=(n+2)(n−1)2⇒b n=n(n+1)2，1 b n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．(3) 由2nn+1≤λ(n+4)得λ≥2n(n+1)(n+4)=2n+4n+5，当且仅当n=2时，2n+4n+5有最大值29，所以λ≥29．4. 【答案】(1) 选择条件①：a2=4，S5=30，a21=20．因为{a n}的前20项成等差数列，a2=4，S5=30，所以 {a 1+d =4,5a 1+5×42d =30, 解得 {a 1=2,d =2.所以 a 20=2+19×2=40．因为数列 {a n } 后 11 项成公比为 q 的等比数列， 所以 q =a 21a 20=12．综上，d =2，q =12．选择条件②：S 3=0，a 20=−36，a 22=−9．因为 {a n } 的前 20 项成等差数列，S 3=0，a 20=−36， 所以 {3a 1+3d =0,a 1+19d =−36,所以 {a 1=2,d =−2.因为数列 {a n } 后 11 项成公比为 q 的等比数列，a 20=−36， 又因为 a 22=−9，q 2=a22a 20=14，所以 q =±12．综上，d =−2，q =±12．选择条件③：S 1=48，a 21=20，a 24=160．因为数列 {a n } 后 11 项成公比为 q 的等比数列，a 21=20，a 24=160， 所以 q 3=a24a 21=8，解得 q =2，所以 a 20=a 21q=10，又因为 {a n } 的前 20 项成等差数列，S 1=a 1=48， 所以 d =a 20−a 120−1=−2，综上，d =−2，q =2．(2) 选择条件①：a 2=4，S 5=30，a 21=20． {a n } 的前 20 项成等差数列，d >0，所以前 20 项为递增数列．即：前 20 项的最大项为 a 20=40， 数列 {a n } 的后 11 项成等比数列，q =12，所以后 11 项是递减数列．即：后 11 项的最大项为 a 20=40， 综上，数列 {a n } 的最大项为第 20 项，其值为 40．选择条件②：S 3=0，a 20=−36，a 22=−9．{a n } 的前 20 项成等差数列，d <0，所以前 20 项为递减数列，前 20 项的最大项为 a 1=2， 因为 q =±12，ⅰ．当 q =12 时，a n =−36(12)n−20（20≤n ≤30 且 n ∈N ∗），所以当 20≤n ≤30 时，a n <0，此时，数列 {a n } 的最大项为第 1 项，其值为 2． ⅱ．当 q =−12 时，a n =−36(−12)n−20（20≤n ≤30 且 n ∈N ∗），后 11 项的最大项为 a 21=18，此时，数列 {a n } 的最大项为第 21 项，其值为 18．综上，当 q =12 时，数列 {a n } 的最大项为第 1 项，其值为 2； 当 q =−12 时，数列 {a n } 的最大项为第 21 项，其值为 18． 选择条件③：S 1=48，a 21=20，a 24=160． {a n } 的前 20 项成等差数列，d <0，所以前 20 项为递减数列，前 20 项的最大项为 a 1=48， {a n } 的后 11 项成等比数列，而 a 20=10，q =2， a n =10⋅2n−20（20≤n ≤30 且 n ∈N ∗），所以后 11 项为递增数列，后 11 项的最大项为 a 30=10240， 综上，数列 {a n } 的最大项为第 30 项，其值为 10240．5. 【答案】(1) 设 {a n } 的公比为 q ，由 a 3a 5=a 4，得 a 4=1． 因为 a 2，3a 4，a 3 成等差数列，所以 a 2+a 3=6a 4，则 6q 2−q −1=0， 解得 q =12 或 q =−13（舍），故 a 1=8． 所以 a n =8×(12)n−1=24−n ．(2) S n =a 1a 2⋯a n =23+2+1+⋯+(4−n )=2(7−n )n 2，当 n =3或4 时，S n 取得最大值，(S n )max =64．6. 【答案】(1) 因为 a n =1+1a+2(n−1)（n∈N ∗，a ∈R ，且 a ≠0），a =−7，所以 a n =1+12n−9．结合函数 f (x )=1+12x−9 的单调性，可知 1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>⋯>a n >1(n ∈N ∗)．所以数列 {a n } 中的最大项为 a 5=2，最小项为 a 4=0． (2) a n =1+1a+2(n−1)=1+12n−2−a 2．因为对任意的 n ∈N ∗，都有 a n ≤a 6 成立，并结合函数 f (x )=1+12x−2−a 2的单调性，所以 5<2−a 2<6，所以 −10<a <−8．即实数 a 的取值范围为 (−10,−8)．7. 【答案】(1) 由 a 1=10，a n+1={a n2,a n 是偶数a n +3,a n 是奇数（n =1,2,3,⋯）， 得 a 2=5，a 3=8，a 4=4，a 5=2，a 6=1，a 7=4，⋯， 由上可知，数列 {a n } 自第四项起以 3 为周期周期出现， 当 n =1 时，S 3n =23；当 n ≥2 时，S 3n =23+3(n −1)=3n +20． 所以 S 3n ={23,n =13n +20,n ≥2．(2) S 3=a 1+a 2+a 3=17， 若 a 1 为偶数，则 a 2=a 12， 若 a 2 为偶数，则 a 3=a 14，此时 S 3=74a 1=17，a 1=687（舍）；若 a 2 为奇数，则 a 3=a 12+3，此时 S 3=2a 1+3=17，a 1=7（舍）；若 a 1 为奇数，则 a 2=a 1+3 为偶数，则 a 3=a 1+32，此时 S 3=5a 1+92=17，a 1=5；综上，a 1 的值为 5．(3) 利用数学归纳法（Ⅱ）证明如下： （1）当 a 1=1,2,3 时，对应的数列分别为： 1，4，2，1，4，2，1，⋯ 2，1，4，2，1，4，2，⋯ 3，6，3，6，3，6，3，⋯ 可知当 a 1=1,2,3 时，命题为真；（2）假设当 a 1<k （k ≥4）命题成立，下面证明 a 1=k 时命题成立．若 k 为偶数，则 a 2=k2<k ，由归纳假设，自 a 2 以后，必然出现 1 或 3，命题为真；若 k 为奇数，则 a 2=k +3，a 3=k+32<k （k ≥4），由归纳假设，自 a 3 以后，必然出现 1 或3，命题为真．综（1）（2）可知，{a n } 中总有一项为 1 或 3．8. 【答案】(1) a 1=−1.2，a 2=−1.6，a 3=−0.8．(2) 因 a 0>0，则 [a 0]≥0，所以 a 1=[a 0](a 0−[a 0])≥0，设 [a i ]≥0，i ≥1，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])≥0，所以 [a i ]≥0，∀i ≥0．又因 0≤a i −[a i ]<1，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])≤[a i ]，则 [a i+1]≤[a i ]，∀i ≥0． 假设 ∀i ≥0，都有 [a i ]>0 成立，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])<[a i ]， 则 [a i+1]<[a i ]，∀i ≥0，即 [a i+1]≤[a i ]−1，∀i ≥0， 则 [a n ]≤[a 0]−n ，∀n ≥1，则当 n ≥[a 0] 时，[a n ]≤0， 这与假设矛盾，所以 [a i ]>0，∀i ≥0 不成立，即存在 k ∈N ，[a k ]=0，从而 {[a i ]} 的最小值为 0．(3) 当 a 0>0 时，由（2）知，存在 k ∈N ，[a k ]=0，所以 a k+1=0，所以 [a k+1]=0，所以 a i =0，∀i ≥k ，成立． 当 a 0<0 时，若存在 k ∈N ，a k =0，则 a i =0，∀i ≥k ，得证； 若 a i <0，∀i ≥0，则 [a i ]≤−1，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])>[a i ]， 则 [a i+1]≥[a i ]，∀i ≥0，所以数列 {[a i ]} 单调不减． 由于 [a i ] 是负整数，所以存在整数 m 和负整数 c ， 使得当 i ≥m 时，[a i ]=c ．所以，当 i ≥m 时，a i+1=c (a i −c )， 则 a i+1−c 2c−1=c (a i −c 2c−1)，令 b i =a i −c 2c−1，即 b i+1=cb i ，i ≥m ．当 b m =0 时，则 b i =0，i ≥m ，则 a i =c 2c−1，i ≥m ，得证． 当 b m ≠0 时，b i ≠0，i ≥m ，b i =c i−m b m ，i ≥m ，因当 i ≥m 时，[a i ]=c ，则 a i ∈[c,c +1)，则 {b i } 有界， 所以 ∣c∣≤1，所以负整数 c =−1．所以 a i =−12+(−1)i−m b m =−12+(−1)i−m (a m +12)(i ≥m )，则 a i ={a m ,i =m,m +2,m +4,⋯−1−a m ,i =m +1,m +3,⋯．令 k =m ，满足当 i ≥k 时，a i =a i+2．综上，存在非负整数 k ，使得当 i ≥k 时，a i =a i+2．9. 【答案】(1) 因为 {a n } 是等差数列，所以 a n =(6−12t )+6(n −1)=6n −12t ，而数列 {b n } 的前 n 项和为 S n =3n −t ，所以当 n ≥2 时，b n =(3n −1)−(3n−1−1)=2×3n−1， 又 b 1=S 1=3−t ，所以 b n ={3−t,n =12×3n−1,n ≥2．(2) 因为 {b n } 是等比数列，所以 3−t =2×31−1=2，即 t =1， 所以 a n =6n −12．对任意的 n (n ∈N,n ≥1)，由于 b n+1=2×3n =6×3n−1=6×(3n−1+2)−12，令 c n =3n−1+2∈N ∗，则 a c n =6(2+3n−1)−12=b n+1，所以命题成立． 数列 {c n } 的前 n 项和 T n =2n +1−3n 1−3=12×3n +2n −12．(3) 易得 d n ={6(3−t )(1−2t ),n =14(n −2t )3n ,n ≥2，由于当 n ≥2 时，d n+1−d n =4(n +1−2t )3n+1−4(n −2t )3n =8[n −(2t −32)]×3n ，所以（ⅰ）若 2t −32<2，即 t <74，则 d n+1>d n ， 所以当 n ≥2 时，{d n } 是递增数列，故由题意得 d 1≤d 2，即 6(3−t )(1−2t )≤36(2−2t )， 解得−5−√974≤t ≤−5+√974<74．（ⅱ）若 2≤2t −32<3，即 74≤t <94， 则当 n ≥3 时，{d n } 是递增数列，故由题意得 d 2=d 3，即 4(2t −2)32=4(2t −3)33，解得 t =74．（ⅲ）若 m ≤2t −32<m +1(m ∈N ∗,m ≥3)，即m 2+34≤t <m 2+53(m ∈N,m ≥3)，则当 2≤n ≤m 时，{d n } 是递减数列，当 n ≥m +1 时，{d n } 是递增数列， 则由题意，得 d m =d m+1，即 4(2t −m )3m =4(2t −m −1)3m+1，解得 t =2m+34．综上所述，取值范围是 −5−√974≤t ≤−5+√974或 t =2m+34（m ∈N ，m ≥2）．10. 【答案】(1) 若 q =1，又 a 1=32，所以 S 2=2a 1=3，S 4=4a 1=6，S 3=3a 1=92，则 2S 4≠S 2+S 3，不满足条件，所以 q ≠1，由 S 2，S 4，S 3 成等差数列，得 2S 4=S 2+S 3，所以2a 1(1−q 4)1−q=a 1(1−q 2)1−q+a 1(1−q 3)1−q,整理得2q 4=q 2+q 3,又 q ≠0，所以 2q 2=1+q ，解得 q =−12 或 q =1 (舍)，所以q =−12,所以a n =a 1q n−1=32(−12)n−1.(2) 由（1）知 S n =32[1−(−12)n ]1−(−12)=1−(−12)n={1+(12)n,n 为奇数,1−(12)n,n 为偶数.①当 n 为奇数时，S n 随着 n 的增大而减少，所以 1<S n ≤S 1=32，因为 y =x −1x 在 (0,+∞) 上为增函数，故 0<S n −1S n≤S 1−1S 1=32−23=56，即0<b n ≤56;②当 n 为偶数时，S n 随着 n 的增大而增大，所以 S 2≤S n <1， 因为 y =x −1x 在 (−∞,0) 上为增函数，故 S 2−1S 2≤S n −1S n<0，又 S 2=1−(12)2=34，则S 2−1S 2=34−43=−712,所以 −712≤S n −1S n<0，即 −712≤b n <0，综上，∀n ∈N ∗，总有 −712≤b n ≤56，且 b n ≠0，所以 b n 的最大值为 56，最小值为 −712．11. 【答案】(1) 因为 a 1=1，a n+1=1−14a n，b n =12an −1，所以b n+1−b n=12a n+1−1−12an −1=12(1−14a n)−1−12an −1=11−12a n−12an −1=2a n2a n−1−12a n −1=1.所以数列 {b n } 是以 1 为公差，1 为首项的等差数列． (2) 由（1）可得 b n =1+n −1=n ， 所以 c n =2b n 2b n−1=2n 2n−1=2n ⋅(12)n−1，所以 T n =2[(12)0+2(12)1+3(12)2+⋯+(n −1)(12)n−2+n (12)n−1]，12T n =2[(12)1+2(12)2+3(12)3+⋯+(n −1)(12)n−1+n (12)n]，所以12T n=2[(12)0+(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−1]−2n (12)n =2⋅1−(12)n1−12−2n (12)n=4−4(12)n −2n (12)n .所以 T n =8−8(12)n −4n (12)n ． (3) 由（1）将 3n +4n +⋯+(n +2)n =(b n +3)b n 化为 3n +4n +⋯+(n +2)n =(n +3)n ， 即 (3n+3)n +(4n+3)n +⋯+(n+2n+3)n =1，所以 (1−n n+3)n +(1−n−1n+3)n +⋯+(1−1n+3)n =1，因为当 n ∈N ∗ 且 n ≥6 时，(1−m n+3)n <(12)m ，所以 (1−1n+3)n <12，(1−2n+3)n <(12)2，⋯⋯，(1−n n+3)n <(12)n ， 所以 (1−n n+3)n +(1−n−1n+3)n +⋯+(1−1n+3)n <12+(12)2+⋯+(12)n =1−(12)n<1， 所以当 n ≥6 时，3n +4n +⋯+(n +2)n <(n +3)n ，当 n =1 时，31<(1+3)1，当 n =2 时，32+42=(2+3)2， 当 n =3 时，33+43+53=(3+3)3=216，当 n =4 时，34+44+54+64=2258<(4+3)4=2401，当 n =5 时，35+45+55+65+75=12168<(5+3)5=32768， 所以满足 3n +4n +⋯+(n +2)n =(b n +3)b n 的所有 n =2和3，其和为 5．12. 【答案】(1) a 8=6，a 9=3，a 10=8．(2) 先证“充分性”．当 m 为偶数时，若 a n 为奇数，则 a n+1 为奇数．因为 a 1=1 为奇数，所以归纳可得，对 ∀n ∈N ∗，a n 均为奇数，则 a n+1=a n +m ， 所以 a n+1−a n =m >0，所以数列 {a n } 单调递增．再证“必要性”．假设存在 k ∈N ∗ 使得 a k 为偶数，则 a k+1=a k 2<a k ，与数列 {a n } 单调递增矛盾， 因此数列 {a n } 中的所有项都是奇数．此时 a n+1=a n +m ，即 m =a n+1−a n ，所以 m 为偶数．(3) 存在 n >1 满足 a n =1，理由如下：因为 a 1=1，m 为奇数，所以 a 2=1+m ≤2m 且 a 2 为偶数，a 3=1+m 2≤m ．假设a k为奇数时，a k≤m；a k为偶数时，a k≤2m．当a k为奇数时，a k+1=a k+m≤2m，且a k+1为偶数；当a k为偶数时，a k+1=a k2≤m．所以若a k+1为奇数，则a k+1≤m；若a k+1为偶数，则a k+1≤2m．因此对∀n∈N∗都有a n≤2m．所以正整数数列{a n}中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合A={(r,s)∣a r=a s,r<s}，设集合B={r∈N∗∣(r,s)∈A}⊆N∗．因为A≠∅，所以B≠∅．令r1是B中的最小元素，下面证r1=1．设r1>1且a r1=a s1(r1<s1)．当a r1≤m时，a r1−1=2a r1，a s1−1=2a s1，所以a r1−1=a s1−1；当a r1>m时，a r1−1=a r1−m，a s1−1=a s1−m，所以a r1−1=a s1−1．所以若r1>1，则r1−1∈B且r1−1<r1，与r1是B中的最小元素矛盾．所以r1=1，且存在1<s1∈N∗满足a s1=a1=1，即存在n>1满足a n=1．13. 【答案】(1) 设等差数列{a n}的公差为d．由a1=1，a8=15得1+7d=15，解得d=2，则得a2=a1+d=1+2=3，所以a=3．(2) 由S19=19a10，得10×1+10×92×2+9a+9×82×2=19×(a+8)，解得a=2，由a n+2−a n=2，且a1=1，a2=2，得当n为奇数时，a n=a1+n−12×2=n；当n为偶数时，a n=a2+n−22×2=n．所以对任意n∈N∗，都有a n=n，当n≥2时，a n−a n−1=1，所以数列{a n}是以1为首项、1为公差的等差数列．(3) 由题意a n=a n−1．①当0<a<1时，a3<a2<a1≤S m，所以对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)>0，因此数列{a n}不具有性质M；②当a=1时，a n=1，S n=n，所以对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)=(m−1)2≥0，因此数列{a n}不具有性质M；③当1<a<2时，(a−1)2>0⇔a(2−a)<1⇔12−a >a⇔log a12−a>1n≥log a12−a ⇔a n−1a−1≥a n⇔S n≥a n+1，n<log a12−a ⇔a n−1a−1<a n⇔S n<a n+1，取⌈log a12−a⌉=n0（⌈x⌉表示不小于x的最小整数），则S n0≥a n0+1，S n0−1<a n．所以对于任意m∈N∗，(S m−a n0)(S m−a n0+1)≥0，即对于任意m∈N∗，S m都不在区间(a n0,a n0+1)内，所以数列{a n}不具有性质M；④当a≥2时，S n−a n+1=a n−1a−1−a n=(2−a)a n−1a−1<0，且S n>a n，即对任意的n≥2(n∈N∗)，都有(S m−a n)(S m−a n+1)<0，所以当a≥2时，数列{a n}具有性质M．综上，使得数列{a n}具有性质M的正实数a的集合为[2,+∞)．③④的另解：当a>1时，{a n}单调递增，{S n}单调递增，且n≥2时，S n>a n．若对任意n≥2(n∈N∗)，都存在m∈N∗，使得(S m−a n)(S m−a n+1)<0，即存在S m在区间(a n,a n+1)内．观察(a2,a3)，(a3,a4)，⋯，发现在(a n,a n+1)内的S m只能是S n．证明：在n−1个区间(a2,a3)，(a3,a4)，⋯，(a n,a n+1)内需要n−1个S m，因为S1<a2，S n+1>a n+1，所以可选择的S m只能是S2，S3，⋯，S n，共n−1个．由S2<S3<⋯<S n，得a n<S n<a n+1．所以只需满足S n<a n+1恒成立，即a n−1a−1<a n，得2−1a n<a对任意n∈N∗都成立．因为数列{2−1a n }单调递增，且limn→∞(2−1a n)=2，所以a≥2．综上，使得数列{a n}具有性质M的正实数a的集合为[2,+∞)．结束。

大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．解：(1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sin C ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C －8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B 结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值． 解：(1)取AB 的中点O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB .又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ， 因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1. 又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的正方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)． 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ，故cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m|B 1D →|·|m |＝－217.则sin θ＝217. ∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.分组 持赞同意见的人数占本组的频率[25,30) 4 0.80 [30,35)80.80[35,40) 12 0.80 [40,45) 19 0.95 [45,50) 24 0.80 [50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为40.80＝5，其频率为5100＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为80.80＝10，其频率为10100＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为120.80＝15，其频率为15100＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为190.95＝20，其频率为20100＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为240.80＝30，其频率为30100＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为170.85＝20，其频率为20100＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为25＋302×0.05＋30＋352×0.1＋35＋402×0.15＋40＋452×0.2＋45＋502×0.3＋50＋552×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为20100＝15，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为15，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A ，则P (A )＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫150＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153×15＝512625.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 04C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 06C 34C 310＝130.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P16 12310130E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.4．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C 是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解：(1)解法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.解法二：设直线BF 交AC 于点D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线， ∴OD ═∥12AB ，∴AB →∥OD →， ∴△OFD ∽△AFB .∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2， 从而FP →·FQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F .5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a ＞0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x ，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a ＞0)．①若a ≥14，x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0＜a ＜14，由x 2－x ＋a ＞0得0＜x ＜1－1－4a 2或x ＞1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a ＜0得1－1－4a 2＜x ＜1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0＜a ＜14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a .∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2)＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜14，则g ′(x )＝ln x ＜0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θθ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＜－1－3x ，－1≤x ＜12，x －2，x ≥12作函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∴1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5.∴x的取值范围是[－1,5]．。

解答题规范专练(四)立体几何1.如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，P A⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝1，CD＝2，P A＝3，E为PD的中点．(1)求证：AE∥平面PBC；(2)求直线AC与PB所成角的余弦值．2.(2014·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝BC＝P A＝1，CD＝2，点E在棱PB上，且PE＝2EB.(1)求证：PD∥平面EAC；(2)求二面角A-EC-B的余弦值．3．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N分别是AB，SA的中点．(1)求证：NB⊥MC；(2)求平面SAD 与平面SMC 所成角的余弦值．答 案1．解：(1)证明：取PC 的中点为F ，连接EF ，BF ，又E 为PD 的中点，所以EF ∥DC 且EF ＝12DC ， 所以EF ∥AB ，且EF ＝AB ，所以四边形ABFE 为平行四边形，所以AE ∥BF ，因为AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，所以AE ∥平面PBC .(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，P 的坐标分别为A (0,0，0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,3)．从而AC ＝(2,1,0)， PB ＝(1,0，－3)，设AC 与PB 的夹角为θ，则cos θ＝AC ·PB | AC ||PB |＝25.2.解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，则OB ∶OD ＝AB ∶DC＝1∶2，即OD ＝2OB .又PE ＝2EB ， ∴OB OD ＝BE PE ， 连接OE ，则OE ∥PD .又OE ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ，∴PD ∥平面EAC .(2)设CD 的中点为F ，连接AF ，则AB ＝CF ，∴四边形ABCF 是正方形，如图，分别以AF ，AB ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0，1)，设点E (x ，y ，z )，则PE ＝(x ，y ，z －1)，EB ＝(－x,1－y ，－z )．由PE ＝2EB ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2x ，y ＝2(1－y )，z －1＝－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝23，z ＝13.∴E ⎝⎛⎭⎫0，23，13， ∴AE ＝⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC ＝(1,1,0)． 设n ＝(a ，b ，c )是平面AEC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE ＝23b ＋13c ＝0，n ·AC ＝a ＋b ＝0，令a ＝1，得b ＝－1，c ＝2，n ＝(1，－1,2)，同理可得平面BEC 的一个法向量m ＝(0,1,1)，cos 〈m ，n 〉＝－1＋26×2＝36，图像可判断二面角A -EC -B 是钝角， ∴二面角A -EC -B的余弦值是－36. 3．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，S (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∴CM ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0， BN ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，1， ∴CM ·BN ＝1×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＋0×1＝0，∴CM ⊥BN ，即NB ⊥MC . (2)易知平面SAD 的一个法向量是DC ＝(0,1,0)，设平面SMC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 又SM ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－2，SC ＝(0,1，－2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b －2c ＝0，b －2c ＝0，令c ＝1，则b ＝2，a ＝1，故n ＝(1,2,1)，于是cos 〈DC ，n 〉＝DC ·n|DC ||n |＝26＝63.故平面SAD 与平面SMC 所成角的余弦值为63.。

定义比：两个数相除又叫做两个数的比。

如b a ÷可以记作b a b a =:。

其中“：”是比号，读作“比”。

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项（比的后项不能为0），比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。

如y x b a ::=，组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

性质比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变。

比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

若y x b a ::=，则ay bx =。

类型比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题。

解答比和比例问题应综合运用比和比例的意义、性质，它常常同分数应用题、工程问题以及行程问题等交织在一起，使数量关系变得复杂起来。

正反比例正比例：两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，k xy =（k 一定）； 反比例：两种量中相对应的两个数的积一定，k xy =（k 一定）。

化简下列各比。

1.0:52 31:54 3米 ：5分米 【分析】知识点：化简比，可将比号变为除号，计算出一个分数形式的值，再写成比。

难度：A 出处：《从满分到培优》【解答】1:41.0:52= ，5:123154=： ，3米 ：5分米= 6:1 。

化简下列比。

0.4 ：2.4 56:6.3 1.2米 ：36厘米 【解答】0.4 ：2.4= 1:6 ，1:356:6.3= ，1.2米 ：36厘米= 10:3 。

求比值。

36 ：48 2.1:322 25.1:41 【分析】知识点：求比值，可将比号变为除号，计算出数值，不写比的形式。

难度：A 出处：《小学数学升学夺冠训练A 体系》【解答】36 ：48 =43（或0.75） ，9202.1:322= ， 5125.1:41=（或0.2） 。

求比值。

3:53 35.0:207 cm m 55:43.1 【解答】513:53=（或0.2） ，135.0:207= ，51355:43.1=cm m （或2.6） 。

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第四单元比解决问题专项
一、解答题
1．家里的菜地共450m²，按3∶2的面积比种黄瓜和茄子。

两种蔬菜的面积分别是多少？
2．一种混凝土是水泥、沙子和石子按3∶4∶6的比搅拌而成的。

现在要搅拌这种混凝土39吨，需要水泥、沙子和石子各多少吨？
3．某校六年级有学生324人，男生人数与女生人数的比是14∶13，男生和女生各有多少人？
4．学校新购进一批科技书按4∶5分给五年级和六年级，已知六年级分到120本。

五年级分到多少本？
5．中国农历中的“冬至”是一年中白昼最短、黑夜最长的一天。

这一天在我国黑龙江省瑷珲县，白天与黑夜时间的比是1∶2。

瑷珲县“冬至”这一天白天、黑夜的时间分别是多少小时？
6．开心农场种了1000株玉米和高粱，玉米和高粱的株数比是3∶2。

玉米种了多少株？
7．六年一班的男、女生人数比为2∶3，又来4名男生，全班共44人，现在六年一班男、女生人数之比是多少？。

有理数解答题专练1、指出下列各数中哪些数是正数，哪些数是负数．，，，，，，．2、把下列各数填入相应集合的括号内：，，，，（1；（2；（3；（4．3、把下列各数分别填入相应的集合中：，，，，，．4、试用正、负数表示下列问题中的具体量：5、将下面一组数填入相应的圈内：，，，．并指出上图中，重叠部分分别表示什么数的集合?6、下表是“某年5月的11—20日我国个城市主要食品平均价格变动情况”：请你说出上表中每个数据的含义．7、如图，两个圈分别表示负数集合和分数集合，将，，，中符合条件的数填人相应的圈中．8、用正数和负数表示下列问题中的数据：（1）节约水，浪费水；（2）向油罐车里注入汽油；（3）赤道地区的年平均气温是零上，南极大陆中部某地的年平均气温是零下．9、下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请在每个圈内填入个数，其中个既是负数，又是整数．10、；．11、把，，，，，，填在相应的括号内．正数集合：；整数集合：；非负数集合：；负分数集合：．12、小刚在超市买了一袋袋装食品，外包装袋上印有“”的字样．请问“”表示什么意义?小刚拿去称了一下，发现只有，问食品生产厂家有没有欺诈行为?13、一定是负数吗?14、不用负数，说出下列各题的意义：（1）某企业年的生产结余情况是万元；（2）运进吨棉纱；（3）某种机器零件比标准尺寸长；（4）温度上升．15、把下面的有理数填在相应的大括号里：（友情提示：将各数用逗号分开），，，．正数集合；负数集合；整数集合；非负数集合．16、某市冬季的一天，最高气温为，最低气温为，这天晚上的天气预报说，将有一股冷空气袭击该市，第二天气温将下降，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少?最低气温不会低于多少?17、某校对七年级新生进行身体素质测试'其中每分钟跳绳要达到个（称为达标），超过个的个数用正数表示，不足个的个数用负数表示．下表是七年级（1）班名学生的成绩记录情况：（1）这名学生每分钟跳绳的个数分别是多少?（2）在这名学生中，达标的人数有多少?18、体育课上，对初三（）班的学生进行了仰卧起坐的测试，以能做个为标准，超过的个数用正数来表示，不足的个数用负数来表示，其中名女学生成绩如下：请你写出这名女生分别做了多少个仰卧起坐．19、学校对七年级男生进行立定跳远的测试，以能跳及以上为达标，超过的厘米数用正数表示，不足的厘米数用负数表示．第一组名男生的成绩如下：（单位：）问：第一组有百分之几的学生达标?20、在井下米处有只蜗牛正在往上爬，蜗牛小时向上爬米，却又下滑米，接着再向上爬，又下滑．按此规律，几小时后蜗牛才能爬到井外去?有人这样计算：小时向上爬米，又滑落米，结果小时只向上爬米，于是（小时）．答：蜗牛是在小时后才能爬到井外去．你认为这样计算对吗?21、把下列各数填在相应的圆圈集合内：，，，，，，，，．22、一种零件的内径尺寸在图纸上是（单位：），表示这种零件的标准尺寸是，加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少?23、把下列各数分别填入相应的集合内：，，整数集合；分数集合；正有理数集合；负有理数集合；自然数集合．24、将下列一组数有选择的填入相应集合的圈内：，，，，25、 2007年7月9日上海股市升、跌幅前三名如表格所示，请统一用“升幅”表示这六种股票的变化情况：26、，，．27、任意写出个正数与个负数，并分别把它们填入相应的集合内：正数集合：28、把下列各数填在相应的集合内．，，，，．29、把下列各数填人它属于的集合圈内：，，，，，，．30、某学校七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为分，以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负．将五名同学的成绩分别记作分，分，分，分．这五名同学的实际成绩分别是多少分?31、在适当的空格里打上“√”号．32、某水果店记录了 7 月 1 日，7 月 2 日，7 月 3 日三天卖香蕉和西瓜两种水果的盈亏情况，如表（记盈利为正，亏损为负．单位：元）．（1）写出 7 月 3 日这一列中”和“”的实际意义．（2）写出西瓜一行中“”，“”和“”的实际意义．33、把下列各数填入相应的集合中，并指出两个圆圈重合部分各表示什么数的集合．，，，．34、某次数学测验的平均分为分，如果以平均分为基准，规定得分为分的成绩为标准分，记为分，用正数表示得分高出平均分的分数，那么：（1）小明在这次测验中得分，高出平均分分，记为什么?（2）小亮在这次测验中得分，低于平均分分，用负数怎样表示?35、把下面的有理数填人相应的括号内．，，，．正数集合：，负数集合：，整数集合：，分数集合：．36、请把大括号内表示的，，三个数集中的数填在如图所示圈内的位置．；；．37、按下列要求写数：（1）既不是正数，也不是负数的数；（2）两个正有理数；（3）两个负整数．38、下列是个同学的体温测量结果，以为标准体温，请用正负数的形式表示这些同学的体温与标准体温之间的关系．（高出标准体温的部分用正数表示，低于标准体温的部分用负数表示）李明张华李丽刘芳魏红张力张伟杨明肖燕孙芳39、请用，，这三个数，尽可能多地写出各数位上数字互不重复的三位数．40、有一次同学聚会，他们的座位号是：小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等．，，，，， .（1）试问小王、小李坐的各是第几号位置?（2）若这次同学聚会的人数是小王的座位号的倍与小李的座位号的倍的和，请问这次聚会到了多少名同学?41、阅读下面短文，找出其中的自然数，并说说它们哪些表示计数和测量，哪些表示标号或排序．年月日出现的“日环食”天象是年月日后在中国境内又一次可见的日环食．本次日环食的环食带约千米宽，数千千米长；持续时间为小时分．下一次日环食出现时间为年月日．42、把下列各数填入正确的集合里．，，，，，，．（1）正数集合；（2）负数集合；（3）整数集合；（4）有理数集合．43、把下列各数填在相应的集合圈里：，，，，44、某生产车间计划每天生产个零件．现将一周五天中每天的生产情况记录如下，请再制定一张表格直观反映出这五天中（除周一）后一天比前一天多生产的零件数．45、海边的一段堤岸高出海平面米，附近的一建筑物高出海平面米，海里一潜水艇在海平面下米处，现以海边堤岸高度为基准，将其记为米，那么附近建筑物及潜水艇的高度各应如何表示?46、将下列各数：，，，填入相应的括号里．47、一个物体沿着南北方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走，走，走的意义各是什么?48、把下列各数填在相应的大括号内：，．；；；．49、张云清华大学毕业后，成为一名优秀的设计师．如图所示，是她设计的某零件的生产图纸．这种零件直径的标准尺寸是多少?加工时最大不超过标准尺寸多少?符合要求的最小尺寸是多少?50、把下列各数填在相应的大括号里：，；；．51、出租车司机老王某天上午的营运全是在东西走向的解放路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午的行车里程（单位：）如下：，，，．若汽车的耗油量为，这天上午老王耗油多少升?52、把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，．正整数集；负整数集；整数集；分数集；负分数集；非负有理数集．53、把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，正有理数集合：{ }非负整数集合：{ }整数集合：{ }负分数集合：{ }既不是分数也不是正整数的数的集合：{ }是负数而不是整数的数的集合：{ }54、，，，，，，．正有理数集合：；负分数集合：；有理数集合：．55、把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内．，，，（1；（2；（3；（4；（5；（6．56、有这样一个数字游戏：将，，，，，，，，这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字和固定在图中所示的位置时，代表的数字是，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有种．57、观察下面一列数：，（1）请写出这一列数中的第个数和第个数；（2）在前个数中，正数和负数分别有多少个?（3）和是否都在这一列数中?若在，请指出它们分别是第几个数；若不在，请说明理由．58、文具店、书店与玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店的西边米处，玩具店位于书店的东边米处．小明从书店沿街向东走了米，接着又向东走了米，此时小明的位置在哪里?59、把下列有理数填入相应的大括号里：，，，．整数；分数．60、检修小组从甲地出发，在东西方向的路上检修线路°如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，，，（1）求收工时检修小组与甲地之间的距离．（2）检修小组距甲地最远的是哪-次?（3）若每千米耗油升，从出发到收工共耗油多少升?61、把下列各数填在相应的大括号内：，，，．正数集合非负数集合整数集合负分数集合62、在一次数学测验中，小颖所在的班级平均分为分，把高于平均分的部分记为正数．（1）小颖的得分为分，应记为多少?（2）小明的得分被记为分，他的实际得分为多少?（3）小华的得分被记为分，他的实际得分为多少?63、如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集合．请在每个椭圆内填入个数，其中有个数既是正数又是整数，这个数应填在处（填 A，B 或 C ），你能说出两个椭圆重叠部分表示什么数的集合吗?64、不用负数，说出下列个体在生活中的实际意义：（1）某企业 2005 年亏损了万元；（2）某销售公司购进吨钢材；（3）小明向西走了千米．65、请用两种不同的分类标准将下列各数分类：，，，，，，．66、指出下列各数哪些是正数，哪些是负数．，，，，．67、把下列各数填入相应的括号内：，，，，，，，，，．正整数；负整数；正分数；负分数．68、下面是几个家庭五月份用电支出比上月用电支出的变化情况：赵力减少，肖刚增加，王辉减少，李玉增加，田红增加，陈佳减少．分别用正、负数写出这几家五月用电支出比上月支出的增长率．69、把下列各数填在相应的集合内．，，，，；；；；；．70、某人向南走米，记作米，那么这个人又移动米是什么意思?如何描述这人现在的位置?71、将下列各数填在相应的集合里．，，，；；；；；．72、某班同学的标准身高为，如果用正数表示身高高于标准身高的高度，那么（1和各表示什么?（2）身高低于标准身高和高于标准身高各怎么表示?73、将下列各数填在相应的集合里．，，，，，，整数集合：{ …}；分数集合：{ …}；正数集合：{ …}；负数集合：{ …}．74、下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律．（1）根据这种规律，的值是；（2）根据这种规律，写出第幅图中的四个数．75、某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“ ”字样，请问“ ”是什么含义?质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格?76、在一次数学测验中，某班的平均分为分，把高于平均分部分的分数记为正，则：（1）小英得分，应记为多少?（2）小东被记作分，他实际得分是多少?77、把下列各数填到相应的括号内；，，，，，正有理数 { }负有理数 { }整数 { }分数 { }．78、某奶粉的标准质量是，在质量检测中，若超过标准质量，若低于标准质量以上，则视为不合格产品．现抽出袋产品进行质量检测，记录如下：（1）这袋奶粉中，有哪几袋不合格?（2）质量最多的是哪几袋?它们的实际质量是多少?（3）质量最少的是哪几袋?它们的实际质量是多少?79、把下列各数填入它所属的集合内：，，，非负数集合{ }负分数集合{ }整数集合 { }．80、已知某水库的正常水位是，下表是该水库9月第一周的水位记录情况（高于正常水位记为正，低于正常水位记为负）．（1）本周三的水位是多少米?（2）本周的最高水位、最低水位分别出现在哪一天，分别是多少米?81、用正数和负数表示下列具有相反意义的量：（1）股市涨点和跌点．（2）向东米和向西米．（3）高于海平面米和低于海平面米．（4）运进车煤和运出车煤．82、将下列各数按要求分别填入相应的集合中．，，，，，，，．正整数集合；负整数集合；正分数集合；负分数集合；整数集合；分数集合；非负整数集合．答案第一部分1、正数有：，，，，；．2、（1），，，（2），（3）（4）3、正数集合：，，．．4、；元；箱；元；5、两个圈的重叠部分分别表示的是正整数和负分数的集合．6、大米平均价格与上期相比没有变化；面粉平均价格比上期跌了；豆制品平均价格比上期涨了；花生油平均价格比上期跌了．7、8、（1）若节约为正，浪费为负，则节约水表示为，浪费水表示为．（2）若注入为正，放出为负，则注入汽油表示为，放出汽油表示为．（3）若零上为正，零下为负，则零上表示为，零下表示为．9、略，答案不唯一10、11、正数集合：，，，，，；整数集合：，，，，；非负数集合：，，，，，，；，．12、”表示一袋袋装食品的误差为，食品生产厂家没有欺诈行为．13、不一定是负数，有可能是正数、负数或．当就是负数；当时，；当就是正数．14、（1）该企业年亏损万元．（2）运出吨棉纱．（3）某种机器零件比标准尺寸短了．（4）温度下降．15、正数集合；负数集合；整数集合；非负数集合．16、根据题意得：， .第二天该市最高气温不会高于，最低气温不会低于 .17、（1），，，，，，， .（2）由记录情况可知一共有人达标.18、这名女生做仰卧起坐个数分别为，，，，，．19、由题意得：达标的有人，因而达标率是．答：第一组有的学生达标．20、不对，最后米只需小时..蜗牛在小时后才能爬到井外去．21、22、最大不超过标准尺寸；最小不小于标准尺寸 .23、，，；，，，24、25、26、正分数：，．27、答案不唯一，例如正数可以是，，，，，；负数可以是，，，，28、，，；，；，，，，，；，29、30、分表示比平均分分少分，即分；分表示比平均分少分，即分；分表示和平均分相同，即分；分表示比平均分多分，即分；分表示比平均分多分，即分．这五名同学的实际成绩分别是分，分，分，分，分．31、32、（1）表示 7 月 3 日卖香蕉亏损元，表示 7 月 3 日卖西瓜盈利元．（2）表示 7 月 1 日卖西瓜盈利元，表示 7 月 2 日卖西瓜亏损元，表示这三天卖西瓜共盈利元．33、如图．34、（1）分．（2）分．35、，，；，；．36、37、（1）．（2）答案不唯一，如，．（3）答案不唯一，如38、39、，，，，共个．40、（1）小王：号，小李：号（2）名41、自然数有，，，，，，，，，，，．其中，，，，，，，，表示排序；，，表示测量．42、（1）正数集合．（2）负数集合．（3）整数集合．（4）有理数集合．43、负有理数集合：，；分数集合：，，；非负数集合：，，．44、周二比周一少个，记为个，记为；周四比周三少个，记为；周五比周四多个，记为．45、以海边堤岸高度为基准，将其记为米，建筑物比海边堤岸高出米，因而记作米，潜水艇比海边堤岸低米，因而记作米．46、整数集合：有理数集合：47、走的意义是向南走了，走的意义是向北走了，走的意义是原地不动．48、正数：；非负整数：；整数：；．49、“ ”表示零件直径的标准尺寸是，允许误差是，即零件的直径最大不超过标准尺寸，最小不低于标准尺寸，即符合要求的最小尺寸是．50、正整数：；整数：；负分数：．51、，，答：这天上午老王耗油．52、正整数集；负整数集；整数集；分数集；负分数集；非负有理数集．53、正有理数集合：{ ，，，， }非负整数集合：{ ，， }整数集合：{ ， }负分数集合： }既不是分数也不是正整数的数的集合：{ ， }是负数而不是整数的数的集合：，， }54、，，，，，，，，【解析】正有理数集合：，，，，；，，，．55、（1），（2），（3）（4），（5），（6），56、；【解析】根据题意知，且，则或，因为前面的数要比小，所以，因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，所以只能填在右下角，只能填右上角或左下角，之后与之相邻的空格可填，，任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法，所以共有种结果．57、（1）第个数是，第个数是．（2）在前个数中，有个正数，个负数．（3）在这一列数中，是第个数；不在这一列数中，因为在这一列数中奇数是正数，偶数是负数．58、如图在文具店.59、，，，，，60、（1）千米．（2）第次．（3）升．61、正数集合；非负数集合；整数集合；负分数集合．62、（1）分．（2）分．（3）分．63、（答案不唯一）；A；两椭圆重叠部分表示正整数64、（1）某企业 2005 年盈利万元．（2）某销售公司运出吨钢材．（3）小明向东走了千米．65、分类一：整数：，，；，，，；21 / 23 分类二： 正数：，，； ；负数：． 66、 正数：，，，；，．67、 正整数 ；负整数；正分数 ；负分数． 68、 这六家五月用电支出比上月支出的增长率分别为： 赵力 ，肖刚，，王辉 ， 李玉 ，田红发，，陈佳 ．69、，，；，；，，，； ，，，； ，，． 70、 移动 米表示该人向北走了米，这人现在在出发点的北边米处． 71、 ；；；；正整数集合：；．72、（1）表示比标准身高高表示比标准身高低 ． （2） 身高低于标准身高 表示为，身高高于标准身高表示为 ． 73、 整数集合：{ ，， }22 / 23 分数集合：，，， }正数集合：{ ，， } 负数集合：，， }． 74、 （1）（2） 【解析】 ，，， 75、 “ ”表示： 是标准容量，是合格范围；所以抽查的 瓶容量均是合格的． 76、 （1）（分），应记作 分； （2）（分），所以小东的实际得分是 分． 77、 ， ， ， ， ，， ；，；，， ，；， ， ，， ， 78、（1） 第， ，袋不合格.（2） 质量最多的是第 ，袋，均为 . （3） 质量最少的是第 ， 袋，均为．79、 非负数集合{ ，，， } 负分数集合 ，整数集合{ ， ， ，80、 （1） ． 答：本周三的水位是 米 （2） 最高水位是周四，； 最低水位是周日，．23 / 23 81、 （1） 、 （2） 、 （3）、（4） 、82、 正整数集合：；；正分数集合：；；整数集合：；；非负整数集合：．。

四年级上册数学应用题解答问题专题练习及答案(4)一、四年级数学上册应用题解答题1．一个粮食运输队用卡车运送面粉，每辆卡车装50袋，每袋面粉25千克。

4辆卡车一次可以运面粉多少千克？2．甲、乙两人同时从相距40千米的两地出发，相向而行。

甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一只狗，狗每小时跑15千米，这只狗和甲同时出发，碰到乙时掉头跑向甲，碰到甲时又掉头跑向乙，直到两人相遇时才停止。

这只狗一共跑了多少米？3．有甲、乙两列火车，甲火车长93米，每秒行驶21米；乙火车长126米，每秒行驶18米。

两车同向而行，开始时甲火车的车头与乙火的车尾相平。

经过多长时间后，甲火车的车尾与乙火车的车头相平。

4．关爱老人活动，李叔叔给敬老院送20箱苹果，每箱8千克，每千克18元。

李叔叔买这些苹果花了多少元？5．黄英和李华分别同时从家出发走向电影院（如下图），黄英每分钟走50米，李华每分钟走70米，15分钟后两人在电影院门口相遇。

两家相距多少米？6．丽丽家的厨房铺地砖，有两种方案。

方案一：铺边长是3分米的正方形地砖，需要100块。

方案二：铺长3分米、宽2分米的长方形地砖。

（1）丽丽家厨房的面积是多少平方分米？合多少平方米？（2）若采用第二种方案，则需要多少块长方形地砖？（3）哪种方案比较便宜？7．一批零件有3800个。

李师傅平均每天能加工零件132个。

李师傅28天能把这批零件加工完吗？8．一辆洒水车，每分钟行驶250米，洒水的宽度是8米。

洒水车行驶13分钟，能给多大的地面洒上水？9．张大伯家有一块菜地（如图），种黄瓜的面积比种西红柿的面积多多少平方米？10．有一块等腰梯形的菜地，它的下底是80米，上底55米，腰长28米，如果要在菜地的四周围上篱笆，篱笆的长是多少米？11．李经理带了2000元要买16部同样的电话机，算一算他能买哪种？12．（1）量一量下面两个图中的1∠和2∠分别是多少度，你有什么发现？左图：1∠=（）；∠2＝（）右图：∠1＝（）；∠2＝（）我发现：13．四年级师生去看儿童剧，去了108名学生和2位老师。

第4章《几何图形初步》解答题专练1．（2019秋•西城区期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是；（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．2．（2020春•东城区校级期末）已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝30°，求∠DOE的度数．3．（2019秋•密云区期末）如图，点O在直线AB上，OC是∠AOD的平分线．（1）若∠BOD＝50°，则∠AOC的度数为．（2）设∠BOD的大小为α，求∠AOC（用含α的代数式表示）．（3）作OE⊥OC，直接写出∠EOD与∠EOB之间的数量关系．4．（2019秋•北京期末）如图，请度量出需要的数据，并计算阴影部分的面积．5．（2019秋•通州区期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠AOC＝70°，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，那么∠COE的度数为；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按顺时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分∠AOE，求∠COD 的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠AOC的内部，请直接用等式表示∠AOD 和∠COE之间的数量关系．6．（2019秋•海淀区期末）阅读下面材料：小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD，如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．（1）小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明：已知：如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补．（2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余．（保留画图痕迹）（3）已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是．7．（2019秋•门头沟区期末）阅读材料，并回答问题：材料：数学课上，老师给出了如下问题．已知，点A、B、C均在直线l上，AB＝8，BC＝2，M是AC的中点，求AM的长．小明的解答过程如下：解：如图2，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝AB﹣BC＝8﹣2＝6．∵M是AC的中点，∴AM=12AA=12×6＝3（①）．小芳说：“小明的解答不完整”．问题：（1）小明解答过程中的“①”为；（2）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由．8．（2019秋•平谷区期末）已知：如图，∠AOB＝30°，∠COB＝20°，OC平分∠AOD．求∠COD的度数．∵∠AOB＝30°，∠COB＝20°（已知），∴∠AOC＝∠+∠＝°．∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠（角平分线定义）．∴∠COD＝°．9．（2019秋•怀柔区期末）（1）已知∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，BP平分∠ABD，请补全图形，并求∠ABP的度数．（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝a，∠CBD＝β，直接写出∠ABP的度数．10．（2019秋•延庆区期末）补全解题过程．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．若∠AOC＝60°，求∠DOE数；解：∵O是直线AB上的一点，（已知）∴∠BOC＝180°﹣∠AOC．（）∵∠AOC＝60°，（已知）∴∠BOC＝120°．（）∵OE平分∠BOC，（已知）∴∠COE=12∠BOC．（）∴∠COE＝°．∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE，且∠COD＝90°，∴∠DOE＝°．11．（2019秋•大兴区期末）已知，如图，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，BC＝6cm，求线段BD 的长．请将以下求解过程补充完整：因为点C是线段AB的中点，所以，因为BC＝6cm，所以AC＝cm，因为点D是线段AC的中点，所以DC＝．所以DC＝cm．所以BD＝＝cm．12．（2019秋•石景山区期末）已知：射线OC在∠AOB的内部，∠AOC：∠BOC＝8：1，∠COD＝2∠COB，OE 平分∠AOD．（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，OD是∠AOC内部的一条射线，请根据题意补全图形，并求∠COE 的度数；（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜18），直接写出∠COE的度数（用含α的代数式表示）．13．（2019秋•东城区期末）根据题意，补全解题过程：如图，∠AOB＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．求∠EOF的度数．解：因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC所以∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12．所以∠EOF＝∠EOC﹣=12（∠AOC﹣）=12＝°．14．（2019秋•昌平区期末）已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．（1）若AB＝8，AC＝2，求线段CD的长．（2）若点E是线段AC的中点，直接写出线段DE和AB的数量关系是．15．（2019秋•西城区期末）24、已知：如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，∠COD与∠COE互余．求证：∠AOE与∠COE互补．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵O是直线AB上一点∴∠AOB＝180°∵∠COD与∠COE互余∴∠COD+∠COE＝90°∴∠AOD+∠BOE＝°∵OD是∠AOC的平分线∴∠AOD＝∠（理由：）∴∠BOE＝∠COE（理由：）∵∠AOE+∠BOE＝180°∴∠AOE+∠COE＝180°∴∠AOE与∠COE互补16．（2019秋•丰台区期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东60°的方向上，同时，在它南偏西20°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B和海岛C，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B和海岛C方向的射线．17．（2019秋•丰城市期末）已知正方体的展开图如图所示，如果正方体的六个面分别用字母A，B，C，D，E，F 表示，当各面上的数分别与它对面的数互为相反数，且满足B＝1，C＝﹣a2﹣2a+1，D＝﹣1，E＝3a+4，F＝2﹣a时，求A面表示的数值．18．（2019秋•丰润区期末）如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为；（2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图①的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图①的位置，其他条件不变．直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：．19．（2019秋•门头沟区期末）已知：如图，OC是∠AOB的平分线．（1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；（3）当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示）20．（2018秋•延庆区期末）如图，点O是直线AB上一点，∠BOC＝120°，OD平分∠AOC．（1）求∠COD的度数．请你补全下列解题过程．∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝°．∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝°．∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC．∴∠COD＝°．（2）若E是直线AB外一点，满足∠COE：∠BOE＝4：1，直接写出∠BOE的度数．21．（2018秋•密云区期末）已知：如图，AC＝2BC，D为AB中点，BC＝3，求CD的长．请你补全下面的解题过程：解：∵AC＝2BC，BC＝3∴AC＝．∴AB＝AC+BC＝．∵．∴BD=12＝．∴CD＝BD﹣BC＝．22．（2018秋•石景山区期末）已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC＝8，CB＝6，求线段MN的长；（2）若AC＝a，MN＝b，则线段BC的长用含a，b的代数式可以表示为_____．解：（1）∵AC＝8，CB＝6，∴AB＝AC+CB＝14．∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，NC＝BC，（填推理依据）∴MN＝＝．（2）线段BC的长用含a，b的代数式可以表示为．23．（2018秋•丰台区期末）如图，∠CAB+∠ABC＝90°，AD平分∠CAB，与BC边交于点D，BE平分∠ABC与AC边交于点E．（1）依题意补全图形，并猜想∠DAB+∠EBA的度数等于；（2）证明以上结论．证明：∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴∠DAB=12∠CAB，∠EBA＝．（理由：）∵∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DAB+∠EBA＝×（∠+∠）＝．24．（2018秋•昌平区期末）补全解题过程．已知：如图，∠AOB＝40°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．解：∵∠AOC＝∠AOB+∠，又∵∠AOB＝40°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC（）．∴∠AOD＝50°．∴∠BOD＝∠AOD﹣∠．∴∠BOD＝°．25．（2018秋•平谷区期末）已知直线AB上一点O，以O为端点画射线OC，作∠AOC的角平分线OD，作∠BOC 的角平分线OE；（1）按要求完成画图；（2）通过观察、测量你发现∠DOE＝°；（3）补全以下证明过程：证明：∵OD平分∠AOC（已知）∴∠DOC＝∠AOC．∵OE平分∠BOC（已知）∴∠EOC＝∠BOC．∵∠AOC+∠BOC＝°．∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝°．26．（2018秋•房山区期末）填空，完成下列说理过程：O是直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；解：∵O是直线AB上一点，∴∠AOC+∠BOC＝180．∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝130°．∵OE平分∠BOC（已知），∴∠COE=12∠BOC（）∴∠COE＝°．∵∠COD＝90°，∠DOE＝∠﹣∠．∴∠DOE＝°．（2）将图1中∠COD按顺时针方向转至图2所示的位置，OE仍然平分∠BOC，试猜想∠AOC与∠DOE的度数之间的关系为：．27．（2018秋•北京期末）分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|＝3，|y|＝2求x+y的值．情况若x＝3，y＝2时，x+y＝5情况若x＝3，y＝﹣2时，x+y＝1情况①若x＝﹣3，y＝2时，x+y＝﹣1情况①若x＝﹣3，y＝﹣2时，x+y＝﹣5所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5．几何的学习过程中也有类似的情况：如图，点O是直线AB上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点O作射线OE平分∠BOC．当直角三角板绕点O继续顺时针旋转一周回到图1的位置时，在旋转过程中你发现∠AOC与∠DOE（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOE≤180°）之间有怎样的数量关系？情况（1）如图1，当0°≤∠AOD≤90°时，若∠AOC＝40°，则∠DOE度数是；情况（2）如图2，当∠AOC是钝角时，使得直角边OC在直线AB的上方，若∠AOC＝160°，其他条件不变，则∠DOE的度数是；情况（3）若∠AOC＝α，在旋转过程中你发现∠AOC与∠DOE之间有怎样的数量关系？请你直接用含α的代数式表示∠DOE的度数；28．（2018秋•通州区期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A，C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字母B，D，E，F表示．已知A＝kx+1，B＝3x﹣2，C＝1，D＝x﹣1，E＝2x﹣1，F＝x．（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；（2）如果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数k的值．29．（2018秋•北京期末）如图，点A，B，C是平面上三个点．（1）按下列要求画图：①画线段AB；①画射线CB；①反向延长线段AB；①连接AC（2）请你测量点B到直线AC的距离，大约是cm．（精确到0.1cm）30．（2018秋•顺义区期末）阅读材料并回答问题：阅读材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．若∠COD＝20°，请你补全图形，并求∠BOD的度数．以下是小明的解答过程：解：如图2，∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．∴∠BOC＝∠AOB＝．∵∠COD＝20°，∴∠BOD＝．小敏说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠BOC内部的情况，事实上OD还可能在∠AOC的内部”．完成以下问题：（1）请你将小明的解答过程补充完整；（2）根据小敏的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，此时∠BOD的度数为．31．（2018秋•海淀区期末）已知点C在线段AB上，点M为AB的中点，AC＝8，CB＝2．（1）如图1，求CM的长；（2）如图2，点D在线段AB上，若AC＝BD，判断点M是否为线段CD的中点，并说明理由．32．（2018秋•朝阳区期末）填空，完成下列说理过程如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠COE的度数解：因为∠AOB＝90°．所以∠BOC+∠AOC＝90°因为∠COD＝90°所以∠AOD+∠AOC＝90°．所以∠BOC＝∠AOD．（）因为∠BOC＝20°．所以∠AOD＝20°．因为OA平分∠DOE所以∠＝2∠AOD＝°．（）所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝°33．（2018秋•西城区期末）已知：如图，点A，点B，点D在射线OM上，点C在射线ON上，∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，CA平分∠OCD．求证：∠ACD＝∠OBC．请将下面的证明过程补充完整：证明：∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，∴∠OCA＝∠．（理由：）∵CA平分∠OCD∴∠ACD＝．（理由：）∴∠ACD＝∠OBC．（理由：）．34．（2018秋•门头沟区期末）填空，完成下列说理过程如图，已知点A，O，B在同一条直线上，OE平分∠BOC，∠DOE＝90°求证：OD是∠AOC的平分线；证明：如图，因为OE是∠BOC的平分线，所以∠BOE＝∠COE．（）因为∠DOE＝90°所以∠DOC+∠＝90°且∠DOA+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝°．所以∠DOC+∠＝∠DOA+∠BOE．所以∠＝∠．所以OD是∠AOC的平分线．参考答案与试题解析一．解答题（共34小题）1．【解答】解：（1）∵∠AOB1在∠MON的外部，∴射线OA、OB1组成的∠AOB1的平分线在∠MON的外部，∴OB1不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，∵∠B2OM＝15°，∠AOM＝10°，∴∠AOB2＝25°，∴射线OA、OB2组成的∠AOB2的平分线在∠MON的内部，∴OB2是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，故答案为：OB2；（2）由（1）可知，当OC在直线OA的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，∴10°≤12（x+10）°≤30°，∴10≤x≤50；（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，∴50﹣t≤3A−30+50−A2≤70﹣t，∴20≤t≤30；若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，∴50﹣t≤50−A+3A−402≤70﹣t，∴22.5≤t≤32.5，综上所述：20≤t≤32.5．2．【解答】解：∵∠BOD＝30°，∠COD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠BOD＝60°．∵OC平分∠AOE，∴∠COE＝∠AOE＝60°．∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝30°．3．【解答】解：（1）∵点O在直线AB上，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∵∠BOD＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°，∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOC=12∠AOD=12×130°＝65°，故答案为：65°；（2）∵点O在直线AB上，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∵∠BOD＝α，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣α，∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOC=12∠AOD=12×（180°﹣α）＝90°−12α；（3）①OE在AB的上面，如图，∵OC是∠AOD的平分线，∴∠DOC＝∠AOC=12∠AOD，∵OC⊥OE，∴∠EOD＝90°﹣∠COD＝90°−12∠AOD，∵∠EOB＝90°﹣∠AOC＝90°−12∠AOD，∴∠EOD＝∠EOB；OE在AB的下面，如图，同OE在AB上面的方法得，∠EOD＝∠EOB．4．【解答】解：测量可得半圆半径为2cm，扇形半径为4cm．S半圆＝3.14×22÷2＝6.28（cm2），S扇形＝3.14×42÷4＝12.56（cm2），S阴影＝12.56﹣6.28＝6.28 （cm2）．5．【解答】解：（1）∠COE＝∠DOE﹣∠AOC＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．（2）∵OC平分∠AOE，∠AOC＝70°，∴∠COE＝∠AOC＝70°，∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．（3）∠COE﹣∠AOD＝20°或∠COE＝20°+∠AOD．理由如下：当OD始终在∠AOC的内部时，有∠AOD+∠COD＝70°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COE﹣∠AOD＝90°﹣70°＝20°，∴∠COE﹣∠AOD＝20°或∠COE＝20°+∠AOD．6．【解答】解：（1）证明：∵点O在直线AD上，∴∠AOB+∠BOD＝180°．即∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°．∴∠AOC+∠COD＝180°．∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD．∴∠AOC+∠BOC＝180°∴∠AOC与∠BOC互补．（2）如图所示即为所求作的图形．（3）如图，∵∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．∴锐角∠MPN的度数是45°∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β，PQ平分∠FPF′．则锐角∠MPN的度数是|β﹣45°|．故答案为：45°或|β﹣45°|．7．【解答】解：（1）小明解答过程中的“①”为线段中点的定义；故答案为：线段中点的定义；（2）我同意小芳的说法，将小明的解答补充如下：如图：∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝8+2＝10．∵M是AC的中点，∴AA=12AA=12×10=5．8．【解答】证明：∵∠AOB＝30°，∠COB＝20°（已知），∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝50°∵OC平分∠AOD（已知），∴∠AOC＝∠COD＝50°（角平分线定义）故答案为：AOB；COB；50；COD；50．9．【解答】（1）解：符合题意的图形有两个，①如图，∵∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°．∵BP平分∠ABD，∴∠AAA=12AAAA=30°．①如图，∵∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°∵BP平分∠ABD，∴∠AAA=12AAAA=60°．综上，∠ABP的度数为30°或60°．（2）由（1）可知：∠ABC ＝a ，∠CBD ＝β，∠ABP =A +A 2或A −A 2． 10．【解答】解：∵O 是直线AB 上的一点，（已知）∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ．（平角定义）∵∠AOC ＝60°，（已知）∴∠BOC ＝120°．（等量代换）∵OE 平分∠BOC ，（已知）∴∠COE =12AAAA ．（角平分线定义）∴∠COE ＝60°．∵∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ，且∠COD ＝90°，∴∠DOE ＝30°．故答案为：平角定义；等量代换；角平分线定义；60；30．11．【解答】解：因为点C 是线段AB 的中点，所以AC ＝BC ，因为BC ＝6cm ，所以AC ＝6cm ，因为点D 是线段AC 的中点，所以DC =12AC ． 所以DC ＝3cm ．所以BD ＝CD +BD ＝9cm ，故答案为：AC ＝BC ，6，12AC ，3，CD +BD ，9．12．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：∵点A 、O 、B 在同一条直线上，∴∠AOC +∠BOC ＝180°（平角的定义）．∵∠AOC ：∠BOC ＝8：1，∴∠BOC ＝20°，∠AOC ＝160°．∵∠COD ＝2∠COB ，∴∠COD ＝40°．∴∠AOD ＝180°﹣∠COB ﹣∠COD ＝120°．∵OE 平分∠AOD ，∴∠EOD =12∠AOD ＝60°（角平分线的定义）．∴∠EOC ＝∠EOD +∠DOC ＝60°+40°＝100°．（2）当射线OD 在∠AOC 的内部时，∠EOC ＝5α；当射线OD 在∠AOC 的外部时，∠EOC ＝3α．答：∠COE 的度数为：5α或3α．13．【解答】解：因为OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC所以∠EOC =12∠AOC ，∠FOC =12=∠BOC ．所以∠EOF ＝∠EOC ﹣∠FOC=12（∠AOC ﹣∠BOC ）=12∠AOB＝45°．故答案为：∠BOC、∠FOC、∠BOC、∠AOB、45．14．【解答】解：（1）如图1，当C在点A右侧时，∵AB＝8，AC＝2，∴BC＝AB﹣AC＝6，∵D是线段BC的中点，∴AA=12AA=3；如图2，当C在点A左侧时，∵AB＝8，AC＝2，∴BC＝AB+AC＝10，∵D是线段BC的中点，∴AA=12AA=5；综上所述，CD＝3或5；（2）AB＝2DE，理由是：如图3，当C在点A右侧时，∵E是AC的中点，D是BC的中点，∴AC＝2EC，BC＝2CD，∴AB＝AC+BC＝2EC+2CD＝2ED；如图4，当C在点A左侧时，同理可得：AB＝BC﹣AC＝2CD﹣2CE＝2（CD﹣CE）＝2DE．15．【解答】证明：∵O是直线AB上一点∴∠AOB＝180°∵∠COD与∠COE互余∴∠COD+∠COE＝90°∴∠AOD+∠BOE＝90°∵OD是∠AOC的平分线∴∠AOD＝∠COD（理由：角平分线的定义）∴∠BOE＝∠COE（理由：等式性质）∵∠AOE+∠BOE＝180°∴∠AOE+∠COE＝180°∴∠AOE与∠COE互补．故答案为：90；COD；角平分线的定义；等式性质．16．【解答】解：如图所示，17．【解答】解：根据题意∵E面和F面的数互为相反数，∴3a+4+2﹣a＝0，∴a＝﹣3，把a＝﹣3代入C＝﹣a2﹣2a+1，解得：C＝﹣2，∵A面与C面表示的数互为相反数，∴A面表示的数值是2．18．【解答】解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE＝∠COD−12∠BOC＝90°−12×150°＝15°；（2）∠AOC＝2∠DOE；理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），所以得：∠AOC＝2∠DOE；（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE；理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝2∠COE，则得∠AOC＝180°﹣∠BOE＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（∠DOE﹣90°），所以得：∠AOC＝360°﹣2∠DOE；故答案为：（1）15°；（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE．19．【解答】解：（1）∵OC是∠AOB的平分线（已知），∴∠AOC=12∠AOB，∵∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°．（2）∵OE⊥OC，∴∠EOC＝90°，如图1，∠AOE＝∠COE+∠COA＝90°+30°＝120°．如图2，∠AOE＝∠COE﹣∠COA＝90°﹣30°＝60°．（3）∠AOE＝90°+12α或∠AOE＝90°−12α．20．【解答】解：（1）∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°．∵∠BOC＝120°，∴∠AOC ＝60°．∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD =12∠AOC ．∴∠COD ＝30°．故答案为：180°；60°；30°；（2）分情况讨论：①当OE 在∠BOC 的内部时，∠COE +∠BOE ＝120°，∵∠COE ：∠BOE ＝4：1，∴5∠BOE ＝120°，即∠BOE ＝24°；①OE 在∠BOC 的外部时，∠COE +∠BOE ＝360°﹣120°＝240°，∵∠COE ：∠BOE ＝4：1，∴∠BOE ＝240°÷5＝48°，∠COE ＝192°（不合题意，舍去）；①OE 在∠BOC 外部时，∠BOE ＝120°÷3＝40°．故∠BOE 的度数为24°或40°．21．【解答】解：∵AC ＝2BC ，BC ＝3∴AC ＝6，∴AB ＝AC +BC ＝9，又∵D 为AB 中点∴BD =12AB ＝4.5， ∴CD ＝BD ﹣BC ＝1.5．故答案为6，9，D 为AB 中点，AB ，4.5，1.5．22．【解答】解：（1）∵AC ＝8，CB ＝6，∴AB ＝AC +CB ＝14．∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC =12AC ，NC =12BC （线段中点的定义），∴MN =12（AC +BC ）＝7； （2）理由如下：∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC =12AC ，NC =12BC ，∴MN ＝MC +NC =12AC +12BC ＝b ，∵AC ＝a ，∴BC ＝2b ﹣a ，∴线段BC 的长用含a ，b 的代数式可以表示为2b ﹣a ．故答案为：12，12，线段中点的定义，12（AC +BC ），7，2b ﹣a ． 23．【解答】解：（1）补全图形，并猜想∠DAB +∠EBA 的度数等于45°；（2）证明：∵AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，∴∠DAB =12∠CAB ，∠EBA =12∠CBA ． （理由：角平分线的定义）∵∠CAB +∠ABC ＝90°，∴∠DAB +∠EBA =12×（∠CAB +∠ABC ）＝45°．故答案为：45°，12∠CAB ，角平分线的定义，12，∠CAB ，∠ABC ，45°．24．【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∵∠AOB＝40°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝100°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=12∠AOC（角平分线定义）．∴∠AOD＝50°．∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB．∴∠BOD＝10°．故答案为：BOC，100，角平分线定义，AOB，10．25．【解答】解：（1）如图所示，（2）通过观察、测量你发现∠DOE＝90°；（3）∵OD平分∠AOC（已知），∴∠DOC=12∠AOC（角平分线定义），∵OE平分∠BOC（已知），∴∠EOC=12∠BOC（角平分线定义），∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC=12（∠AOC+∠BOC）＝90°．故答案为：90，角平分线定义，角平分线定义，180，90．26．【解答】解：（1）∵O是直线AB上一点，∴∠AOC+∠BOC＝180°．∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝130°．∵OE平分∠BOC（已知），∴∠COE=12∠BOC（角平分线定义）∴∠COE＝65°．∵∠COD＝90°，∠DOE＝∠COD﹣∠COE．∴∠DOE＝25°，故答案为：角平分线定义，65，COD，COE，25；（2）∠DOE=12∠AOC，理由：∵O是直线AB上一点，∴∠AOC+∠BOC＝180°．∴∠BOC＝180°﹣∠AOC，∵OE平分∠BOC（已知），∴∠COE=12∠BOC（角平分线定义），∵∠COD＝90°，∠DOE＝∠COD﹣∠COE．∴∠DOE＝90°−12（180°﹣∠AOC）=12∠AOC．故答案为：∠DOE=12∠AOC．27．【解答】解：（1）∵∠AOC +∠BOC ＝180°，∠AOC ＝40°，∴∠BOC ＝140°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE =12∠BOC 70°，∵∠COD ＝90°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝20°；故答案为：20°；（2）∵∠AOC +∠BOC ＝180°，∠AOC ＝160°，∴∠BOC ＝180°﹣160°＝20°；∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE =12∠BOC ＝10°，∵∠COD ＝90°，∴∠DOE ＝90°﹣10°＝80°；故答案为：80°；（3）∠DOE =12∠AOC =A 2（0°≤∠AOC ≤180°），∠DOE ＝180°−12∠AOC ＝180°−A 2（0°≤∠DOE ≤180°）．28．【解答】解：（1）∵正方体的左面B 与右面D 代表的代数式的值相等，∴x ﹣1＝3x ﹣2，解得x =12；（2）∵正面字母A 代表的代数式与对面F 代表的代数式的值相等，∴kx +1＝x ，∴（k ﹣1）x ＝﹣1，∵x 为整数，∴x ，k ﹣1为﹣1的因数，∴k ﹣1＝±1，∴k ＝0或k ＝2，综上所述，整数k 的值为0或2．29．【解答】解：（1）如图所示：（2）根据测量可得，点B 到直线AC 的距离，大约是1.5cm ，故答案为：1.5．30．【解答】解：（1）如图2，∵∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ．∴∠BOC =12∠AOB ＝60°．∵∠COD ＝20°，∴∠BOD ＝60°﹣20°＝40°．故答案为：12；60°；40°；（2）如图1，∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．∴∠BOC=12∠AOB＝60°．∵∠COD＝20°，∴∠BOD＝60°+20°＝80°．故答案为：80°．31．【解答】解：（1）方法一：∵AC＝8，CB＝2，∴AB＝AC+CB＝10，∵点M为线段AB的中点，∴AA=12AA=5，∴CM＝BM﹣CB＝5﹣2＝3．或方法二：∴CM＝AC﹣AM＝8﹣5＝3．（2）点M是线段CD的中点，理由如下：方法一：∵BD＝AC＝8，∴由（1）可知，DM＝DB﹣MB＝8﹣5＝3．∴DM＝MC＝3，∴由图可知，点M是线段CD的中点．方法二：∵AC＝BD，∴AC﹣DC＝BD﹣DC，∴AD＝CB．∵点M为线段AB的中点，∴AM＝MB，∴AM﹣AD＝MB﹣CB，∴DM＝MC∴由图可知，点M是线段CD的中点．32．【解答】解：因为∠AOB＝90°．所以∠BOC+∠AOC＝90°因为∠COD＝90°所以∠AOD+∠AOC＝90°．所以∠BOC＝∠AOD．（同角的余角相等）因为∠BOC＝20°．所以∠AOD＝20°．因为OA平分∠DOE所以∠DOE＝2∠AOD＝40°．（角平分线的定义）所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝50°故答案为：同角的余角相等，DOE，40，角平分线的定义，50．33．【解答】证明：∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，∴∠OCA＝∠OBC．（理由：同角的余角相等）∵CA平分∠OCD∴∠ACD＝∠OCA．（理由：角平分线的定义）∴∠ACD＝∠OBC．（理由：等量代换）．故答案为：OBC，同角的余角相等，∠OCA，角平分线的定义，等量代换．34．【解答】证明：如图，因为OE是∠BOC的平分线，所以∠BOE＝∠COE（角平分线定义）因为∠DOE＝90°，所以∠DOC+∠COE＝90°，且∠DOA+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°．所以∠DOC+∠COE＝∠DOA+∠BOE．所以∠DOC＝∠DOA．所以OD是∠AOC的平分线．故答案为：角平分线定义；COE；90；COE；DOC；DOA．。

2021年八下期中考试金牌解答题压轴题训练（四）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、解答题1．观察下列等式：1 ========回答下列问题：（1（2；（3…．【答案】（1（2（3）1【分析】（1）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；（2）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；（32121121n nn n，化简求值即可．【详解】（1257575222757552775=（222121212121n n n n n2222212121n n n n22212121n n n n22221n n2121n n（3）由（22121121n n n n53757573=15375757331537573717573175531【点睛】本题考查了利用平方差公式对二次根式进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键． 2．（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a )，B(a ，0)(a >0)．C 为线段AB 的中点，CD⊥x 轴于D ，若⊥AOB 的面积为2，则⊥CDB 的面积为 ．（2）如图2，⊥AOB 为等腰直角三角形，O 为直角顶点，点E 为线段OB 上一点，且OB ＝3OE ， C 与E 关于原点对称，线段AB 交x 轴于点D ，连CD ，若CD⊥AE ，试求ADDB的值．（3）如图3，点C 、E 在x 轴上，B 在y 轴上，OB ＝OC ，⊥BDE 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB 、ED 交于点A ，CD 交y 轴于点F ，试探究：CO EOBF-是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．【答案】（1）12；（2）2AD DB =；（3）是定值，2CO EO BF-=． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得12DC BD a ==，分别表示∴AOB 和∴CDB 的面积，根据∴AOB 的面积为2即可得出结论；（2）连接AC ，作DM∴BC ，与BC 交于M ，证明∴ACO∴∴DCM 可得OE=CO=DM=MB ，设它们为m ，从而可得OB=3m ，借助勾股定理和线段的和差分别表示AD 和BD ，即可得出它们的比值；（3）作DN∴OB ，交y 轴与N ，证∴ACO∴∴DCM 和∴COF∴∴DNF 全等，借助全等三角形的性质和线段的和差可得2F C E B O O -=，由此可得结论． 【详解】解：（1）∴A(0，a )，B(a ，0)，∴AO=OB=a ，∴ABO=45°，， ∴C 为线段AB 的中点，∴122BC AB ==， ∴CD∴x 轴，∴∴CDB=90°，∴DCB=90°-∴ABO=45°， ∴DC=BD ，∴222DC DB BC +=，∴12DC BD a ==， ∴∴AOB 的面积为2，即2122a =， ∴2111111222422CDB S a a a ∆=⋅⋅=⋅=， 故答案为：12； （2）如下图连接AC ， ∴C 与E 关于原点对称， ∴CO=OE ，∴∴AOB 为等腰直角三角形， ∴∴OAB=∴B=45°，AO∴CB ， ∴∴EAO+∴AEC=90°，AC=AE ， ∴∴CAO=∴EAO ， ∴AE∴CD ，∴∴BCD+∴AEC=90°， ∴∴CAO=∴EAO=∴BCD ，∴∴ADC=∴BCD+∴B ，∴CAB=∴CAO+∴OAB, ∴∴ADC=∴CAB ， ∴AC=CD ，作DM∴BC ，与BC 交于M ，∴∴DMC=90°，∴∴MDB=∴B=45°，∴DM=MB，在∴ACO和∴DCM中，∴DMC AOCCAO BCDAC CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∴ACO∴∴DCM（AAS）,∴OE=CO=DM=MB，∴OB＝3OE，设OE=CO=DM=MB=m，∴OB＝3OE，∴OA=OB=3m，∴,BD AB====，∴AD=，∴2ADDB==；（3）是定值，作DN∴OB，交y轴与N，∴∴DNB=∴BOE=∴BOC=90°， ∴∴DBN+∴NBD=90°， ∴∴BDE 为等腰直角三角形， ∴∴DBN+∴OBE=90°，BD=BE ， ∴∴NBD=∴OBE ， 在∴NBD 和∴OEB 中∴90NBD OBE DNB BOE BD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴∴NBD∴∴OEB （AAS ）， ∴ND=OB=OC ，NB=OE ， 在∴COF 和∴DNF 中∴90CFO NFD DNB BOC CO ND ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴∴COF∴∴DNF （AAS ）， ∴NF=OF ，∴OE BN NF BF OF BF ==-=-,OC OB OF BF ==+, ∴()2F CO E OF BF O O F BF B +-=--=，∴2CO EOBF-=．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的性质和判定等．能正确作出辅助线，构造全等三角形建立线段之间的联系是解题关键． 3．在平面直角坐标系中点A 、B 的坐标分别为()0,A a ，(),0Bb ．（1）如图1，若点C 、B 关于y 轴对称，126CAB ∠=︒，请直接写出ABC ∠的度数ABC ∠=___________；（2）如图2，点D 的坐标为()1,2D c a b c ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ADO ABO ∠=∠，试用字母b 、c 表示线段AB 的长；（3）如图3，点D 的坐标为()(),0D a a b <，且EA ED EB EF ===，点F 的坐标分别为(),F m m ，试用字母a 、b 、m 表示线段AB 的长． 【答案】（1）27°；（2）AB=2c －b ；（3）2AB m a b =-- 【分析】（1）由点C 、B 关于y 轴对称可得AB=AC ，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（2）作辅助线如图，易得DE 是∴AOG 的中位线，可得AD=DG ，根据直角三角形的性质可得AD=OD=DG ，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和以及等量代换可得∴BAD=∴BGD ，从而可得AB=BG ，进一步即可求出答案；（3）连接OE ，作EG∴DB 于G ，EH∴x 轴于H ，如图，易证O 、E 、F 三点共线，设E （n ，n ），根据两点间的距离公式可得)EF m n =-，由等腰三角形的性质可推出2a bn +=，然后在Rt∴BEG 中，由勾股定理结合上述结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∴点C 、B 关于y 轴对称， ∴AB=AC ， ∴126CAB ∠=︒， ∴ABC ∠=1801801262722CAB ︒-∠︒-︒==︒；故答案为：27°；（2）延长AD 交x 轴于点G ，作DE∴y 轴于E ，DF∴x 轴于F ，如图， ∴()1,2D c a b c ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴OE=DF=12a ，DE∴OG ，∴OA=a ， ∴AE=OE=12a ， ∴DE 是∴AOG 的中位线， ∴AD=DG ， ∴AD=OD=DG ， ∴∴DOG=∴DGO ，∴∴ADO=∴ABO ，∴AHD=∴OHB ， ∴∴DAB=∴DOG ， ∴∴BAD=∴BGD ， ∴AB=BG ，∴DO=DG ，DF∴x 轴， ∴OG=2OF=2c ，又∴OG=OB+BG=b+AB=2c ， ∴AB=2c －b ；（3）连接OE ，作EG∴DB 于G ，EH∴x 轴于H ，如图，∴EA=ED ，OA=OD=a ，OE=OE ， ∴∴AOE∴∴DOE ， ∴∴AOE=∴DOE=45°， ∴OE 平分∴AOD ， ∴(),F m m ，∴F 在∴AOD 的平分线上， ∴O 、E 、F 三点共线，设E （n ，n ），则)EF m n ==-，∴ED=EB ，EG∴DB ，∴DG=BG ，即n －a=b －n ，可得2a bn +=， 在Rt∴BEG 中，由勾股定理得()222222222222a b a b a b BE BG EG n b n +-+⎛⎫⎛⎫=+=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴222AB a b =+，∴()222222AB BE EF m n ===-，∴()222442a b AB m n m +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴2AB m a b =--． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理以及整式的乘法运算等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．4．阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：==><再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+≥-≥可知2x≥，而y==当2x=2，所以的最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y=【答案】（1）4<；（2）y的最大值为21．【分析】（1）利用分子有理化得到4=然后比较4和的大小即可得到4与（2）利用二次根式有意义的条件得到01x ，而y 利用当0x =时，有最大值11得到所以y 的最大值；利用当1x =时，10得到y 的最小值．【详解】解：（1）4==，=，而>4>4∴>4∴<（2）由10x -，10x +，0x 得01x ，y =+∴当0x =11，所以y 的最大值为2；当1x =有最大值，1，0，所以y 1．【点睛】 本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．5．已知：在⊥ABC 中，CA =CB ，⊥ACB =90º，D 为⊥ABC 外一点，且满足⊥ADB =90°． （1）如图1，若2AC =，AD =1，求DB 的长．（2）如图1，求证：DA DB +=．（3）如图2所示，过C 作CE ⊥AD 于E ，BD =2，AD =6，求CE 的长．【答案】（1）DB=（2）见解析；（3）2【分析】（1）在Rt∴ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt∴ABD中，根据勾股定理，得DB=；（2）过C点作CF∴CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；（3）过C点作CF∴CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．【详解】（1）解：在Rt∴ABC中，∴CA CB==∴2AB=，∴在Rt∴ABD中，DB==（2）证明：如图，过C点作CF∴CD交DB的延长线于点F．∴∴ACB=∴DCF=90°，∴∴ACD=∴BCF，∴∴CAD+∴CBD=360°－(∴ACB+∴ADB)=180°，∴CBF+∴CBD=180°，∴∴CAD=∴CBF，又∴CA=CB，∴∴CAD∴∴CBF(ASA)，∴CD=CF，AD=BF，∴DF=，∴DF=DB+BF=DB+DA，∴DA DB+=．（3）解：如图，过C点作CF∴CD交AD与F点，∴∴ACB=∴DCF=90°，即∴ACF+∴BCF=∴BCD+∴BCF=90°，∴∴ACF=∴BCD，∴∴AFC=∴FCD+∴CDA=90°+∴CDA，∴CDB=∴CDA+∴ADB=90°+∴CDA，∴∴AFC=∴CDB，又∴CA=CB，∴∴CAF∴∴CBD(AAS)，∴CF=CD，AF=BD，∴∴CDF是等腰直角三角形，又∴CE∴AD，∴E为DF中点，∴AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴122CE DF==．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.6．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，点B（4，3），E，F分别为OA，BC边上的中点，动点P从点E出发以每秒2个单位速度沿EO方向向点O运动，同时，动点Q从点F出发以每秒1个单位速度沿FB方向向点B运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接EF、PQ，且EF与PQ相交于点M，连接AM．（1）求线段AM的长度；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，连接CH，求线段CH长度的最小值．【答案】(1)【分析】(1)证明∴FMQ∴∴EMP，且相似比为1=2=FM FQME PE，由EF=3求出FM=1，ME=2，再在Rt∴MEA中，由勾股定理即可求出AM的长度；(2)连接AM，取MA中点I，只要C、H、I，此时会形成∴ICH，根据三角形两边之差小于第三边可知，CH>IC-IH，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，由此即可求解．【详解】解：(1)∴BC∥OA，∴∴FQM=∴EPM，且∴FMQ=∴EMP，∴∴FQM∴∴EPM，设运动时间为t，则FQ=t，PE=2t∴1=2=FM FQME PE，又FE=3，∴FM=1，ME=2，又E为OA的中点，∴EA=OE=2，∴在Rt∴MEA中，===MA故答案为：(2)如下图所示，连接AM，取AM中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，否则构成∴ICH，三角形两边之差小于第三边CH，过I点作IN∴BC于N，连接IH，∴FM ∥IN ∥AB ，且I 是AM 的中点，∴IN 是梯形MFBA 的中位线，∴IN=11()(13)222+=+=MF AB ，112==FN FB ,在Rt∴CIN 中，由勾股定理：CI又I 为直角∴AHM 斜边AM 上的中点，∴111222=====IH IM MA∴当C 、H 、I 三点共线时，CH 有最大值为=-=CH CI IH【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，梯形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两边之差小于第三边等知识点，具有一定的综合性，熟练掌握各性质是解决本题的关键．7．阅读下列材料，然后回答问题．⊥一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．⊥学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1+...（2）已知 m 是正整数， a，b 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ．（31=【答案】（1）12-；（2）2；（3）9 【分析】（1）先将式子的每一项进行分母有理化，再计算即可；（2）先求出,a b ab +的值，再用换元法计算求解即可；（31=的值，再对【详解】解：（1）原式12019+2222=+++12019122+++==（2）∴a ，b∴2(21),1a b m ab +==+= ∴2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴222()18232019a b ++=∴2298a b +=∴24(21)100m +=∴251m =±-∴m 是正整数∴m=2．（31=得出21=20=∴2281=+=0≥≥9=．【点睛】本题考查的知识点是分母有理化以及利用换元思想求解，解此题的关键是读懂题意．理解分母有理化的方法以及利用换元方法解题的方法．8．已知ABC 中，60BAC ∠=︒，以AB 和BC 为边向外作等边ABD △和等边BCE ．（1）连接AE 、CD ，如图1，求证：AE CD =；（2）若N 为CD 中点，连接AN ，如图2，求证：2CE AN =；（3）若AB BC ⊥，延长AB 交DE 于M ，DB =3，则BM = ．（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2． 【分析】（1）由等边ABD △和等边BCE ．AB=DB ，BC=BE ，可推得∴ABE=∴DBC ，可证(SAS)ABE DBC △≌△由性质AE CD =即可；（2）延长AN 使NF AN =，连接FC ，由N 为CD 中点，可得CN=DN ，可证(SAS)ADN FCN △≌△，可得CF AD AB ==，NCF NDA ∠=∠，可求∴DAC=120°，可推出60ACF ∠=︒，可证(SAS)ABC CFA ≌，由性质得2CE BC AF AN ===即可；（3）过E 作EG∴BE ，交AM 延长线于G 由AB BC ⊥，60BAC ∠=︒，DB =∴EBM =30°，求得∴G==60°=∴CAB ，可证∴CAB∴∴BGE （AAS ）由性质得GE=AB=DB =，利用30°角的直角边与斜边关系得，再证∴AD∴∴GME （AAS ），得AM=GM 可求得BG=即可．【详解】（1）证明：∴等边ABD △和等边BCE ．AB=DB ，BC=BE ，∴ABD=∴CBE=60°，∴∴ABD+∴ABC=∴CBE+∴ABC ，∴∴ABE=∴DBC ，(SAS)ABE DBC △≌△，AE CD ∴=；（2）延长AN 使NF AN =，连接FC ，∴N 为CD 中点，∴CN=DN ，又∴AND=∴FNC ，(SAS)ADN FCN △≌△，CF AD AB ∴==，NCF NDA ∠=∠，∴60BAC ∠=︒，∴DAB=60°，∴∴DAC=120°，∴60ACF ACD NCF ACD ADN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，BAC ACF ∴∠=∠，∴AC=CA ，(SAS)ABC CFA ≌，2CE BC AF AN ∴===；（3）过E 作EG∴BE ，交AM 延长线于G ，∴AB BC ⊥，60BAC ∠=︒，DB =，，由勾股定理得：=∴∴EBM=180°-∴ABC -∴CBE=30°，∴∴G=180°-∴GBE -∴BEG=60°=∴CAB ，∴BC=EB ，∴∴CAB∴∴BGE （AAS ），∴GE=AB=DB =，∴∴DAM=60°=∴G ，又∴∴AMD=∴GME ，∴∴AD∴∴GME （AAS ），∴AM=GM ，∴GM=AB+BM ，，，∴2BM =．故答案为：2．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段中点，线段和差，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理应用，线段中点，线段和差计算是解题关键．9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．（1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG OH 、、、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若3,2,4AB BC CD ===，求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答；（2）根据矩形的判定定理解答；（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；（4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．【详解】解：（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，故选：A．（3）由和美四边形的定义可知，AC∴BD，则∴AOB＝∴BOC＝∴COD＝∴DOA＝90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴∴AOE的面积＝∴BOE的面积，∴BOF的面积＝∴COF的面积，∴COG的面积＝∴DOG的面积，∴DOH的面积＝∴AOH的面积，∴S1+S3＝∴AOE的面积+∴COF的面积+∴COG的面积+∴AOH的面积＝S2+S4；（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC∴BD，∴在Rt∴AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt∴DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD．【点睛】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．。

数列高考真题汇编1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，(3分)由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(5分)(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.(6分)当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.(10分)2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.3．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1.(4分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(5分)(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n .(7分)S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①—②，得－2S n ＝31＋32＋ (3)－n ·3n＋1＝3·(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝(1－2n )·3n ＋1－32.(10分)所以S n ＝(2n －1)·3n ＋1＋34.(12分)4．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列；(2)若c n ＝n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <45.解析 (1)证明：因为a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2， 所以当n ＝1时，a 1＋a 2＝3a 1＋12＋2，解得a 2＝7.(2分)由S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2及S n ＝3S n －1＋(n －1)2＋2(n ≥2)，两式相减，得 a n ＋1＝3a n ＋2n －1.故a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )． 即b n ＋1＝3b n (n ≥2)．(4分)又b 1＝3，b 2＝9，所以当n ＝1时上式也成立． 故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(5分) (2)由(1)知b n ＝3n，所以c n ＝n3n .所以T n ＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ， ①3T n ＝1＋23＋332＋…＋n －13n －2＋n3n －1. ②(7分)②－①，得2T n ＝1＋13＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝32－3＋2n2·3n . 所以T n ＝34－3＋2n4·3n .(10分) 因为n ∈N *，显然有3＋2n4·3n >0. 又34<45，所以T n <45.(12分)5．已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1＝12， 又∵S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列， ∴2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3.∴S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3，即3a 2＝a 1＋2a 3. ∴32q ＝12＋q 2，解得q ＝1或q ＝12.(4分) 又{a n }为递减数列，于是q ＝12. ∴a n ＝a 1q n -1＝(12)n .(6分) (2)∵b n ＝a n log 2a n ＝－n (12)n ，∴T n ＝－[1×12＋2×(12)2＋…＋(n －1)(12)n －1＋n ×(12)n ]． 于是12T n ＝－[1×(12)2＋…＋(n －1)(12)n ＋n ×(12)n ＋1]．(8分)两式相减，得12T n ＝－[12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1]＝－12×[1－(12)n ]1－12＋n ×(12)n ＋1.∴T n ＝(n ＋2)(12)n－2，6．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n -1，求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.(4分)所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1. 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1， 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n .所以S n ＝(n －1)3n ＋1.7．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解析 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减，得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.8．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1·a 2＝2，a 3·a 4＝32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b 11＋b 23＋b 35＋…＋b n 2n －1＝a n ＋1－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和．解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎨⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1>0，q >0，∴⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由题意，可得b 11＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1＝2n －1.∴2n －1－1＋b n 2n －1＝2n －1(n ≥2)，b n2n －1＝2n －1.∴b n ＝(2n －1)2n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，b 1＝1，符合上式， ∴b n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)．设T n ＝1＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)·2n －1，2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减，得－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3. ∴T n ＝(2n －3)2n ＋3.9．已知数列{a n }是a 3＝164，公比q ＝14的等比数列．设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解析 (1)证明：由已知，可得a n ＝a 3q n －3＝(14)n . 则b n ＋2＝3log 14(14)n ＝3n ，∴b n ＝3n －2. ∵b n ＋1－b n ＝3，∴{b n }为等差数列． (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝(3n －2)(14)n ，∴S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －2)×(14)n ， ①14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. ② ①－②，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋(14)4＋…＋(14)n ]－(3n －2)·(14)n ＋1 ＝14＋3·(14)2[1－(14)n －1]1－14－(3n －2)·(14)n ＋1 ＝12－(3n ＋2)·(14)n ＋1.∴S n ＝23－3n ＋23·(14)n.健康文档 放心下载 放心阅读。

2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列期末典例专练04：角度计算问题“综合版”一、填空题。

1．已知∠1＋∠2＝180°，如果∠1＝80°，那么∠2＝( )。

2．55°的角是( )角，55°的2倍的角是( )角，180°的一半的角是( )角。

3．小星画了一个65度的锐角，如果要把它改成一个平角要增加( )度，如果要改成一个钝角至少要增加( )度。

（结果取整数）4．钟面上2时整时，时针和分针所夹的最小角是( )°；9时，时针和分针所夹的角是一个( )角。

5．( )时整时，时针和分针成平角；( )时整时，时针和分针成直角，9点半时，分针和时针成( )角。

6．从“3”走到“9”，分针旋转了( )°，形成的角是( )角。

从“6”走了一圈又回到“6”，分针旋转了( )°形成的角是( )角。

7．已知∠1＋∠2＝140°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )。

8．计算下面图形中角的度数。

（已知∠2＝25°）那么∠1＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。

9．图中，已知∠1＝75°，∠2＝( )，∠3＝( )。

10．如图是一正方形纸折起来以后的图形，∠2＝( )°。

二、解答题。

11．两个正方形相交如图，已知∠1＝32°，求∠2、∠3各是多少度。

12．如图，已知∠1＝35°，那么∠2、∠3和∠5各是多少度？13．测量下面各角的度数，你发现了什么？∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。

14．测量下面各角的度数，你发现了什么？∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。

发现：15．已知∠2＝60°，请求出∠3、∠4的度数。

16．如下图所示，将一张正方形纸沿AB折叠，如果∠2＝40°，那么∠1是多少度？17．如图是把一张长方形纸折起来以后形成的图形，∠1＝35°，求∠2的度数。

10．游泳馆建了一个长150米、宽16米、深20分米的长方体游泳池。

（1）将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（2）在游泳池内壁1.6米高处用红漆画一条水位线，按水位线注入水，应注入水多少立方米？11．学校运来30捆树苗，每捆5棵，按4∶6分给五、六年级学生种植，每个班级各分得多少棵树苗？12．把一个高6分米的圆柱平均截成四段，表面积增加了48平方分米，每小段圆柱的体积是多少立方分米？13．某商品的原价是120元，先降价15%，再打九折出售后，仍可赚50元。

这件商品的进价是多少元？14．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，他将受到扣几分的处罚？《道路交通安全法实施条例》规定：超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速未达20%扣3分。

15．甲、乙两个工程队合修一条水渠，如果甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，已知甲队每天比乙队多修30米，这条水渠全长多少米？16．金星电器商场进回一批成本1500元的空调，按获利20%定价，然后打出“九折出售”，该空调的售价是多少元？17．在比例尺是1∶30000000的地图上，甲、乙两地航空线的图上距离是6厘米。

一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，几小时可以到达？18．学校要给一间教室铺地砖，如果用长3分米，宽2分米的长方形地砖，800块正好铺满，如果改用边长是8分米的正方形地砖，至少需要多少块？19．妈妈给家里新装的圆柱形柜机空调做了一个布套（如图），至少要用多少布料？20．如果长期背负过重物体，会导致腰痛及腿痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长，儿童的负重最好不要超过体重的15%。

亮亮的体重是38千克，书包重6.5千克，亮亮的书包超重了吗？度，剩下的路程还要几分钟走完？（用比例解）28．建党100周年之际，县教科体局全体党员于今年4月份乘坐大巴车奔赴瑞金，开展党史学习教育研学培训。

数列解答题专练[破题之道] 求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳，对于非等差或等比数列，可从特殊情景出发，归纳出一般性的方法、规律；将已知数列化归为等差(比)数列，然后借助数列的性质或基本量运算求解.【典例示范】 (12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式.规范解答 (1)由na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，且b n ＝a n n ，得a n ＋1n ＋1＝2·a n n ，则b n ＋1＝2b n . 2分又a 1＝1，知b 1＝1，因此b 2＝2b 1＝2，b 3＝2b 2＝4.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.4分(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.5分理由如下：由(1)知，b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1≠0，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.8分(3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12分[高考状元满分心得] ❶写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中，写出b n ＋1＝2b n ，由条件a 1＝1，分别求出b 1，b 2，b 3.❷写明得分关键：数列解答题要严谨，如第(2)问“首先明确指出数列{b n }的首项和公比(基本量)，再写出b n ＝2n －1.❸计算正确是得分的保证：如第(1)问正确求得b 1，b 2，b 3；第(3)问准确求出a n ＝n ·2n －1，否则不能得分.[满分体验]1.(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和.若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m .解 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8.解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3. 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知log 3a n ＝n －1.故S n ＝n （n －1）2. 由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m (m －1)＋(m ＋1)m＝(m ＋3)(m ＋2)，即m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1(舍去)或m ＝6.2.(2020·石家庄质检)已知函数f (x )＝3cos πx －sin πx (x ∈R )的所有正的零点构成递增数列{a n }(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋23，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f (x )＝3cos πx －sin πx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6， 由题意令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ).又函数f (x )的所有正的零点构成递增数列{a n }，所以{a n }是首项a 1＝13，公差d ＝1的等差数列，因此a n ＝(n －1)×1＋13＝n －23(n ∈N *).(2)由(1)知b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋23＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 则T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 12T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，② 由①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 所以T n ＝2－n ＋22n .。

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：经典题型专练1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD 于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．4.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．6． CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．8. 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．9. 如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．11. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．12. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练（答案版）全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。