1.1.2 基本不等式

基本不等式串一、基本不等式与不等式串的概念1.1 基本不等式的定义及性质在数学中，不等式是描述数值之间相对大小关系的一种数学表达式。

其中，基本不等式是指最基础的、最简单的不等式形式，不等式串则是由多个基本不等式组成的一个整体。

1.1.1 基本不等式的定义基本不等式一般采用“≥”（大于等于）或“≤”（小于等于）的符号，用来表示某个数值与另一个数值之间的关系。

例如，对于实数a和b，如果有a ≥ b或a ≤ b，则称a与b之间存在基本不等式。

1.1.2 基本不等式的性质基本不等式具有以下几个重要性质：•性质1：传递性。

如果一个基本不等式a ≥ b 和另一个基本不等式b ≥c 都成立，那么可以推出第三个不等式 a ≥ c，这就是基本不等式的传递性。

•性质2：反身性。

对于任意的实数a，都成立a ≥ a 或a ≤ a，即一个数与自身之间存在基本不等式。

•性质3：自反性。

对于任意的实数a，都成立 -a ≤ a 或 -a ≥ a，即一个数与其相反数之间存在基本不等式。

二、不等式串的构成与应用2.1 不等式串的构成不等式串是由多个基本不等式通过逻辑运算符号连接而成的数学表达式。

常见的逻辑运算符号有并集（∪）、交集（∩）和合取（∧）、析取（∨）等。

通过逻辑运算符号的运用，可以构建出各种复杂的不等式串，用来描述多个数值之间的相对大小关系。

2.2 不等式串的应用不等式串在数学中有着广泛的应用，在各个学科领域中起到了至关重要的作用。

2.2.1 几何学中的应用不等式串在几何学中有着重要的应用，可用于描述线段、角、面积等几何元素之间的相互关系。

例如，通过构建不等式串，可以判断两个三角形的大小关系，从而推导出它们的面积大小。

2.2.2 经济学中的应用在经济学中，不等式串可用于描述需求与供给之间的关系，进而预测市场的走势。

通过构建不等式串，可以定量地分析产业的发展趋势，对经济政策的制定和市场调控提供参考。

2.2.3 物理学中的应用不等式串在物理学中也有着广泛的应用。

高中不等式知识点总结一、基本概念不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的大小关系。

在高中数学中，我们学习了许多不等式的性质和解法。

下面将从基本概念、性质和解法三个方面对高中不等式的知识点进行总结。

1.1 不等式的定义不等式是指两个数或两个代数式之间的大小关系，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示。

不等式中的符号有以下含义： - “<”表示小于，例如a < b表示a小于b； - “>”表示大于，例如a > b表示a大于b； - “≤”表示小于等于，例如a ≤ b表示a小于等于b； - “≥”表示大于等于，例如a ≥ b表示a大于等于b。

1.2 不等式的解集不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。

根据不等式的类型和题目的要求，解集可以是有限集、无限集或空集。

二、基本性质不等式具有一些基本的性质，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和运用不等式。

2.1 不等式的传递性对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。

这个性质称为不等式的传递性。

利用不等式的传递性，我们可以简化不等式的推导过程。

2.2 不等式的加减性质对于任意实数a、b、c，如果a < b，则有a + c < b + c，a - c < b - c。

这个性质称为不等式的加减性质。

利用不等式的加减性质，我们可以对不等式进行加减运算，从而得到等价的不等式。

2.3 不等式的乘除性质对于任意实数a、b、c（c ≠ 0），如果a < b且c > 0，则有ac < bc；如果a < b且c < 0，则有ac > bc。

这个性质称为不等式的乘除性质。

利用不等式的乘除性质，我们可以对不等式进行乘除运算，从而得到等价的不等式。

2.4 不等式的倒置性质对于任意实数a、b，如果 a < b，则有-b < -a。

2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是( )A.a>0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+3>0,>0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a>3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=log a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为.解析:函数y=log a(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+2>0.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10. 若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k>0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).①于是y====≥=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a>2,试判断log a(a-1)·log a(a+1)与1的大小关系.解:∵a>2,∴log a(a-1)>0,log a(a+1)>0,且log a(a-1)≠log a(a+1),∴log a(a-1)·log a(a+1)<==1,∴当a>2时,log a(a-1)·log a(a+1)<1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(p<v≤q),定义域是(p,q].(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时y min=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2p>q.任取v1,v2∈(p,q],且v1<v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)>0,∴y1-y2>0.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即y min=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2p>q 时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).。

基本不等式构造分母-概述说明以及解释1.引言1.1 概述基本不等式是数学中重要的概念，它在解决各种问题时起着至关重要的作用。

在数学推导和证明过程中，我们经常会遇到需要构造分母的情况，这种技巧在简化计算和推理过程中起着至关重要的作用。

本文将重点讨论基本不等式构造分母的方法和意义，探讨分母构造在数学推导中的应用及其重要性。

我们将介绍基本不等式的基本概念，分析构造分母的意义，以及分母构造在解决实际问题中的应用。

希望通过本文的阐述，读者能够更深入地了解基本不等式构造分母的重要性，提高数学分析和推理的能力。

1.2 文章结构:本文将围绕基本不等式构造分母这一主题展开讨论。

首先，我们将引入基本不等式的概念，介绍其在数学中的重要性和应用。

接着，我们将详细讨论构造分母的意义，探讨在不等式中如何利用构造分母来进行变形和简化，从而解决复杂问题。

在第三部分，我们将探讨分母构造在实际应用中的具体案例，包括在数学证明和优化问题中的应用，以及其在工程、经济等领域的重要性。

最后，我们将总结基本不等式构造分母的重要性，展望未来研究方向，探讨如何进一步深化对这一概念的理解和应用，为读者提供全面的知识和启发。

1.3 目的：本文的主要目的是探讨基本不等式构造分母的重要性和应用。

通过引入分母构造的方法，我们可以更好地理解和应用基本不等式，从而在数学推导和问题解决中获得更深入的认识和启发。

此外，通过本文的研究，我们也希望能够为相关领域的研究提供新的思路和方法，以促进学术和实践的发展。

在本文的探讨中，我们将从理论和实践的角度出发，探讨基本不等式构造分母的意义、方法和应用，以期为读者提供有益的启示和帮助。

2.正文2.1 基本不等式介绍基本不等式是数学中一类常用的不等式，它可以用于证明和推导各种数学问题。

基本不等式通常具有简单的形式，但在实际应用中具有重要的意义。

基本不等式的一般形式为：对于任意实数a、b，存在一个常数k，使得不等式a^2 + b^2 >= k * (a + b)^2成立。

高一基本不等式知识点讲解在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。

本文将对高一基本不等式的知识点进行详细的讲解。

一、不等式的定义和性质不等式是数学中用于表示大小关系的符号，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

在解不等式问题时，需要根据不等式的性质进行推导和分析。

1.1 大于和小于大于和小于是最基本的不等式关系。

对于两个实数a和b，如果a大于b，可以表示为a > b；如果a小于b，可以表示为a < b。

这种大小关系在数轴上可以直观地表示出来，通过比较两个实数在数轴上的位置来确定大小关系。

1.2 大于等于和小于等于大于等于和小于等于是包含了等于的不等式关系。

对于两个实数a和b，如果a大于等于b，可以表示为a ≥ b；如果a小于等于b，可以表示为a ≤ b。

这种不等式关系意味着两个数相等或者一个数大于另一个数。

在数轴上，可以用实心点表示。

二、基本不等式的证明和应用基本不等式是指一些常见且易证明的不等式，它们在解决实际问题时具有重要的作用。

接下来，我们将介绍几个常见的基本不等式及其应用。

2.1 三角不等式三角不等式是指对于任意实数a、b和c，有以下不等式成立：|a + b| ≤ |a| + |b|、|a - b| ≤ |a| + |b|。

这个不等式在解决绝对值问题和距离问题时特别有用。

2.2 平均不等式平均不等式是指对于任意一组非负实数x1、x2、...、xn，有以下不等式成立：（x1 + x2 + ... + xn）/n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)。

平均不等式在数论、代数等领域中有广泛的应用。

2.3 柯西不等式柯西不等式是指对于任意一组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有以下不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)²≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)。

基本不等式的变式与拓展1. 不等式的世界说到不等式，大家可能脑海中浮现的都是那些晦涩难懂的数学公式。

不过，今天咱们就来聊聊这其中的乐趣。

你想啊，不等式其实就是在告诉我们，世界上的事物从来都不是绝对的。

就像人们常说的：“天上没有掉馅饼的事。

”有些时候，我们得接受一些事情的“比较”，这才是生活的真谛。

在日常生活中，我们常常会遇到一些“不等式”的现象。

比如，朋友们一起去吃饭，账单一到，大家的表现可就各有千秋了。

有的人心里默念：“我得省着点，毕竟工资才发了一半！”而有的人则是心安理得，觉得“反正大家一起吃，分摊一下就好！”看吧，这就是生活中的不等式，合理与不合理的比较。

1.1 基本不等式的简单介绍好，咱们先来了解一下基本的不等式。

最常见的就是“阿莫尔不等式”和“柯西施瓦茨不等式”。

这两个小家伙就像是数学界的双子星，闪闪发光，大家都爱它们。

简单来说，阿莫尔不等式告诉我们，两个数的平均值总是比它们的算术平均数大，而柯西施瓦茨不等式则是说，两个向量的内积小于等于它们的模长的乘积。

你看，这听起来是不是有点拗口？但其实，它们的背后藏着许多生活中的道理。

就像我们在一起聚会时，大家的气氛总是能比一个人孤独地呆在家中要好得多，这不就是一个简简单单的“不等式”吗？1.2 不等式的应用不等式在我们的生活中其实随处可见。

想象一下，如果你去买水果，看到一堆苹果，心里想：“买一个苹果的价格肯定比买一斤要划算。

”但等你到了摊主那儿，却发现买一斤便宜的多。

哎，这不就是一个很形象的不等式吗？在某些情况下，选择多一点，成本却可能更低。

再比如，工作中常常需要做选择。

有时候，领导可能会问：“你觉得这个方案好，还是那个方案更好？”这时候，你心里就得进行一番不等式的比较。

虽然每个方案都有自己的优缺点，但你得权衡利弊，找出最划算的选择。

这可不是小打小闹，而是关乎大局的“大不等式”呀。

2. 不等式的变式与拓展现在，我们再来看看不等式的变式。

人生就像一场大舞台剧，有时候演员的表现需要一些“变脸”，这就像不等式的变式一样，让它们在不同的场合发挥出不同的效果。

1 §1.1.2基本不等式一、学习目标1．理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题．【重点、难点】教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

二、学习过程【情景创设】1.我们已经学过重要不等式()R b a ab b a ∈≥+,222，该不等式是怎么推导的？ 2.根据1中重要不等式推导b a ab b a ++,,22),(+∈R b a 的不等关系.并思考它们如何应用.【导入新课】自学探究：（阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理）1.定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.2.定理2（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当 时，等号成立. 说明：1. 基本不等式ab ≤a ＋b 2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数．2. 应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

“积定和最小；和定积最大”。

三 、典例分析例1.(1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值.例2.(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；2例3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【变式拓展】变式1：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。

变式2：若26x y +=，求24x y +的最小值四、总结反思1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，这三个条件缺一不可。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是( )A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时，等号成立． 答案：D4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，选B. 答案：B5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1. 又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．二、填空题6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________． 解析：y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立． 所以y max ＝3－2 3.答案：3－2 37．已知函数f (x )＝2x，点P (a ，b )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f (a )·f (b )的最小值是________．解析：点P (a ，b )在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f (a )·f (b )＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：48．当x ＞0时，f (x )＝2x x 2＋1的值域是________． 解析：因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x ≤12. 所以0＜2x ＋1x ≤1. 又因为f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x ＜0，求2x ＋1x的最大值． 解：由x ＜0，得－x ＞0，得－2x ＋1－x ≥2（－2x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＝22， 所以2x ＋1x≤－22， 当且仅当－2x ＝1－x， 即x ＝－22时等号成立． 故2x ＋1x取得最大值－2 2. 10．若a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：8abc ≤(1－a )·(1－b )(1－c )．证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1－a ＝b ＋c ＞0，1－b ＝a ＋c ＞0，1－c ＝a ＋b ＞0.所以(1－a )(1－b )(1－c )＝(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )．因为a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0，三式相乘，得(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 所以8abc ≤(1－a )(1－b )(1－c )．B 级 能力提升1．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立， 则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9， 所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy， 所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝22xy 2xy＝ 2. 其中x ＞0，y ＞0，当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝2y 时等号成立． 答案： 23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. 所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3， 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤ 50－2 t ＋12·32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， 所以当促销费定在7万元时，年利润最大．。

§1.1.2基本不等式学案（1） 姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 初步掌握不等式证明的方法 ☻知识情景：1. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论4：可倒性：⇒>>0b a .2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)．☻建构新知：1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.证明: ∵2222()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立.∴222a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式) 如果,a b R ∈, 那么2a b+≥ 当且仅当a b =时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?20. 如何证明基本不等式?30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?40. 怎样用语言表述基本不等式?☆案例学习：例1在的条件下，，00>>b a 三个结论：其中正确的个数是（ ）①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，A ．0B ．1C ．2D ．3例2设,a R ∈b ，求证：(1) 22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭; (2) 222a b c ab bc ac ++≥++．例3 (1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ；(2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm 的面 积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．例5（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b xyx y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．§1.1.2基本不等式练习 姓名1. 若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 252. 对一切正整数n ， 不等式112bn b n +<-+恒成立，则B 的范围是（ ）3. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．aa a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2134. 若关于x 的方程94340x x a ++⋅+=()有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)-∞-+∞，，80B ．()-∞-，4C ．[)-84，D ．(]-∞-，8.5 设x y R 、∈+且xy x y -+=()1，则 （ ）A ．x y +≥+221()B ．xy ≤+21C ．x y +≤+()212D ．xy ≥+221().6 若011log 22<++aa a ，则a 的取值范围是.7 f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 .8 若1>a ，10<<b ，且log (21)1b x a ->，则实数x 的范围是 ．.9 函数221()1x x f x x ++=+的值域为 ．.10为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多 少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？.11 （1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取 值范围；（2） 是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．.12已知0,0,,a b a b >>的等差中项是21, 且11,a b a b αβ=+=+, 求αβ+的最小值.。

基本不等式概念1. 概念定义在数学中，不等式是一种数学陈述，它描述了两个表达式之间的大小关系。

基本不等式是指最基本的不等式形式，它通常用于解决各种数学问题和证明中。

基本不等式可以分为线性不等式和二次不等式两种形式。

1.1 线性不等式线性不等式是指一个或多个线性表达式之间的大小关系，其中线性表达式是指仅包含常数和一次项（一次方程）的表达式。

线性不等式的一般形式为：ax+b>0其中a和b是常数，x是变量。

在线性不等式中，我们通常关心的是变量x的取值范围，使得不等式成立。

1.2 二次不等式二次不等式是指一个或多个二次表达式之间的大小关系，其中二次表达式是指包含常数、一次项和二次项（二次方程）的表达式。

二次不等式的一般形式为：ax2+bx+c>0其中a、b和c是常数，x是变量。

在二次不等式中，我们通常关心的是变量x的取值范围，使得不等式成立。

2. 重要性基本不等式在数学中具有重要的地位和作用，它们在解决各种数学问题和证明中起到了关键的作用。

以下是基本不等式的重要性：2.1 解决数学问题基本不等式是解决各种数学问题的基础。

通过研究不等式的性质和解法，我们可以解决线性方程组、二次方程、函数极值、曲线图像、集合运算等各种数学问题。

基本不等式的解法可以应用于实际问题中，如经济学、物理学、工程学等领域。

2.2 证明数学定理基本不等式在证明数学定理中起到了重要的作用。

通过运用不等式的性质和解法，我们可以证明数学定理的正确性。

例如，通过证明柯西-施瓦茨不等式或柯西不等式，我们可以证明向量空间中的内积空间的性质和定理。

2.3 拓展数学知识基本不等式的研究和应用可以拓展数学知识，深化对数学概念和原理的理解。

通过学习不等式的性质和解法，我们可以进一步理解代数、几何、数论、概率等数学领域的知识。

不等式的研究也推动了数学的发展和创新。

3. 应用基本不等式的应用非常广泛，涉及到数学的各个领域和实际问题。

以下是基本不等式的一些常见应用：3.1 函数极值基本不等式可以用于求解函数的最大值和最小值。

基本不等式齐次化基本不等式是初中数学中的重要概念之一，它是解决不等式问题的基础。

齐次化是解决一些特殊不等式的常用方法，本文将重点介绍基本不等式齐次化的相关知识。

一、基本不等式1.1 基本定义基本不等式是指对于任意正整数n和任意正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an) / n >= (a1*a2*...*an)^(1/n)其中，n为正整数，a1,a2,...,an为正实数。

这个不等式也可以写成以下形式：(a1+a2+...+an) / n >= (n/(1/a1+1/a2+...+1/an))这个形式更加方便计算，因为只需要计算每个数的倒数之和就可以了。

1.2 意义基本不等式告诉我们，在一组正实数中，它们的算术平均值大于它们的几何平均值。

这个结论在实际生活中有很多应用。

比如说，在考试中如果一个人每科都得了90分，那么他的总分肯定高于另一个人每科得了80分的总分。

二、齐次化2.1 基本定义齐次化是指将不等式中的所有变量都按照同一比例进行放缩，使得不等式变为关于新的变量的不等式。

这样做的好处是可以将原来复杂的不等式简化成更容易处理的形式。

2.2 实例分析举个例子，我们考虑以下不等式：a/b + b/c + c/a >= 3其中，a,b,c为正实数。

如果我们令x=a/b,y=b/c,z=c/a，则有：xyz=1将原来的不等式进行齐次化，得到：x+y+z >= 3这个不等式就比原来简单了很多。

三、基本不等式齐次化3.1 基本思路基本不等式齐次化是指将基本不等式中的每个变量都除以它们的几何平均数，使得它们的几何平均数变成1。

这样做之后，我们就可以将原来的基本不等式简化成更容易处理的形式。

3.2 实例分析举个例子，我们考虑以下基本不等式：(a+b+c) / 3 >= (abc)^(1/3)如果我们令x=a/(abc)^(1/3),y=b/(abc)^(1/3),z=c/(abc)^(1/3)，则有：xyz=1将原来的基本不等式进行齐次化，得到：(x+y+z) / 3 >= 1这个不等式就比原来简单了很多。