山东省济宁市第一中学2020届高三数学下学期一轮质量检测试题[含答案]

山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据分式不等式解集合B ，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】由，得且，解得，即，所以，有2个元素.故选：B2. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. 120 D. 160【答案】A 【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得.【详解】二项式展开式的通项为，由，得，所以的展开式中的系数为.故选：A{}22,1,1,2,01x A B x x ⎧⎫+=--=≤⎨⎬-⎩⎭A B ⋂201x x +≤-(2)(1)0≤x x +-10x -≠21x -£<{21}B x x =-≤<{2,}1A B ⋂=--262()x x-3x 160-120-262(x x-261231662C ()()(2)C ,N,6r rr r r r r T x x r r x--+=-=-∈≤1233r -=3r =262()x x-3x 336(2)C 160-=-3. 若随机变量，随机变量，则（ ）A. 0 B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果.【详解】由可知：，又因为，所以，，则，故选：B.4. 已知数列中，，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【详解】由，得，，，，，，()2~32X N ，1(3)2Y X =-()1()1E Y D Y +=+1245()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=()2~32X N ，()3,()4E X D X ==1(3)2Y X =-()131333()(0222222E Y E X E X =-=-=-=()131()(1224D Y D X D X =-==()1011()1112E Y D Y ++==++{}n a ()*1211212n n n a a a a a n n +-===-≥∈N ，，，2024a=2-1-()*12112,1,2,n n n a a a a a n n +-===-≥∈N3211a a a =-=-4322a a a =-=-4531a a a ==--6541a a a =-=7652a a a =-=8761a a a ==-则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C5. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，设，联立直线与抛物线得，消去，得，所以.由抛物线的定义知.而，故，解得.故选：D.{}n a 20243376221a a a ⨯+===2:2(0)C y px p =>F F 2l C A B ||5AB =p =1232:22p l y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()11,A x y ()22,B x y p ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()()1122:2(),,,,2p l y x A x y B x y =-22()22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩y 22460x px p -+=1232x x p +=1212352222p p AB AF BF x x x x p p p p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5AB =552p =2p =6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数，当时，，显然，且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D7. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.故选：A1()cos )cos 2f x x x x =+-()f x π[,]4m -[m ππ[,62ππ[,62π7π[,612π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 211π()cos cos 2cos 2sin(2226f x x x x x x x =+-=+=+π[,]4x m ∈-πππ2[,2]636x m +∈-+π4ππsin(sin 1332-===sin y x =π4π[,]23()f x π[,]4m -[ππ4π2263m ≤+≤π7π612m ≤≤m π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0x <2()ln()f x x x =-+()y f x =(1,(1))f 320x y --=320x y +-=320x y ++=320x y -+=0x >()f x 0x <2()ln()f x x x =-+0x >2()()ln f x f x x x =-=+1()2f x x x'=+(1)3f '=(1)1f =()y f x =(1,(1))f 13(1)y x -=-320x y --=8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A ，B 两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D..【答案】C【解析】【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.【详解】令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线方程为，设，依题意，直线的方程分别为：，，联立消去得：，整理得，令直线的方程为，于是，即点的横坐标为，因此，所以双曲线的离心率.故选：C的2222:1(00)x y C a b a b-=>>，12,F F C ()00,P x y 0022:1(0,0)x x y yl a b a b-=>>12F PF ∠1l 2F C 12121,,AF F BF F ABF 12,,I I I 12II I 212F I I 35C 325312I I I 1I 1212,,AF AF F F ,,P Q T 1122||||,||||,||||AP AQ F P FT F Q F T ===121212||||||||||||2FT F T F P F Q AF AF a -=-=-=0(,0)T x 12(,0),(,0)F c F c -00()()2x c c x a ----=0x a =112I T F F ⊥1I a 2I a 12I I x a =1122(,),(,)A x y B x y ,AI BI 11221x x y y a b -=22221x x y y a b -=y 122122(1)(1)x x x x y y a a -=-2211221()a y y x x y x y -=-AB x my c =+22211221()()()a y y a x my c y my c y c -==+-+I 2a c12212235II I F I I a a S a c S c a c -===- C 53c e a ==【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ）A. B. C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.【详解】A ：设，则，所以，则，故A 正确；B ：设，则，所以，，则，故B 错误；C ：由选项A 知，，，又，所以，不一定有，即推不出；的,a c e ,a c e 12,z z 1212z z z z =⋅1212z z z z +=+12z z ∈R 12z z =12=z z 2212z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++12z z ===1212z z z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12()()i z z a c b d +=+++1z +=12z z +=1212z z z z +≠+12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++2i z c d =-12z z ∈R 0ad bc +=a cb d =⎧⎨=-⎩12z z =由，得，则，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件，故C 正确；D ：设，则，若，则，即，若，则，得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D 错误.故选：AC10. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. 数列是等差数列 D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由数列的前项和为求出判断B ；由递推公式探讨数列的特性判断C ；求出判断A ；由求出，再利用裂求和法求解即得.【详解】由，得，，当时，，满足上式，因此，数列是等比数列，B 正确；由，得，，解得，，A 错误；当时，，两式相减得，于是，两式相加得，整理得，因此数列是等差数列，C 正确；12z z =i i a b c d +=-a cb d=⎧⎨=-⎩0ad bc +=12z z ∈R 12z z ∈R 12z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 22222212()2i,()2i z a b ab z c d cd =-+=-+12=z z =2222+=+a b c d 2212z z=2222()2i ()2i a b ab c d cd -+=-+222222a b c d ab cd⎧-=-⎨=⎩12=z z 2212z z ={}n a n n S 1233n nS +=-{}n b n n T 112n n T b n =+113=a b {}n a {}n b 23b =101319log 10na n nb ==∑{}n a n n S n a {}n b 1b 23b =n b 1233n nS +=-113322n n S +=⋅-113a S ==2n ≥111(33)32n nn n n n a S S +-=-=-=13a =3n n a ={}n a 112n n T b n =+2n n n T b n =+111112b T b ==+12b =113a b ≠2n ≥11112n n n T b n ---=+-121122n n n n b b ---+=11122n n n n b b +-=+112211222n n n n n n b b b -+---=+112n n n b b b -+=+{}n b当时，等差数列的公差为1，通项，，所以，D 错误.故选：BC11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）A. 直三棱柱体积的最大值为B. 三棱锥与三棱锥的体积相等C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B 选项：根据等体积转化可判断；C 选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.【详解】A 选项：由已知可得，又，所以，即体积的最大值为，A 选项错误；B 选项：如图所示，23b ={}n b 1n b n =+31111log (1)1n a n b n n n n ==-++10131111111111011log 22391010111111na n nb ==-+-++-+-=-=∑ 111ABC A B C -2AB BC ==13AA =D E 1AA 1CC 1AD C E =F 11B C 111ABC A B C -1B DEF -A DEF -60ABC ∠=︒123AD AA =D ABC -28π3DF EF ABC P Q 1cos 4ABC ∠=AP CQ +111111sin 6sin 2ABC A B C ABC V S AA BA BC ABC AA ABC -=×=××Ð×=Ð()0,ABC π∠∈(]sin 0,1ABC ∠∈6由点为的中点，则，设点到平面的距离为，则，，又，所以，所以，B 选项正确；C 选项：如图所示，由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，所以外接球半径为，外接球表面积为，C 选项正确；D 选项：如图所示，取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，F 11B C 111B DEF C DEF F C DE V V V ---==F 11AA C C h 11113B DEF F C DE C DE V V S h --==×13B DEF F ADE ADE V V S h --==×1ADC E =1ADE C DE S S = 1F C DE F ADE V V --=ABC O ABC 1O AD M 1OO ⊥ABC 1111123OO AD AA ===12sin AB O A ACB ==∠1O A =R ==228π4π3R =BC N P NA Q BC则，即，设，，易知，，则，，则，,，所以，当且仅当，即时取等号，故D 选项正确；故选：BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数则____________.【解析】【分析】利用已知分段函数，可先求，再求.【详解】因为，所以.所以..13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________.【答案】##05的.22212coc 4122144AN BA BN BA BN ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=2AN =11AD C E AA λ==()0,1λ∈PAD PNF 1QCE FC E PA AD PN NF =11QC CEFC C E=()()2PA PN PA AN PA λλλ==+=+21PA λλ=-111QC FC λλλλ--==211AP CQ λλλλ-+=+≥-211λλλλ-=-1λ=410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，…12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(22f =-1122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11221112222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12【解析】【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和，显然事件与互斥，，，所以.故答案为：14. 已知，则的最小值为____________.【解析】【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解.【详解】由，得，即，解得.，与点的距离之和.如图，点关于x轴的对称点为，连接，A1A2A 1A2A1121()266P A=⨯=2141()263P A=⨯=121()()()2P A P A P A=+=126a a b=-=11()()23f x xa b xa b x=-+-∈Ra b⋅()f x=(,0)P x1111(,(,)2233A B----PA PB+6,a a b=-=222218a b a a b b-=-⋅+=1823618a b-⋅+=18a b⋅=-11()23f x ax b ax b=-+-=====(,0)P x1111(,(,)2233A B----A11(,)22A'-A B'则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 产品重量误差是检测产品包装线效能的重要指标.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的20件产品作为样本，并检测出样本中产品的重量（单位:克），重量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图（如图），已知该产品标准重量为500克.（1）求直方图中的值；（2）若产品重量与标准重量之差的绝对值大于或等于5，即判定该产品包装不合格，在上述抽取的20件PA PB PA PB A B +=+≥=='',,A P B '()f x (,0)P x 1111(,(,)2233A B ----PA PB PA PB A B ++'=≥',,A P B '(485,490],(490,495],,(505,510] a产品中任取2件，求恰有一件合格产品的概率；（3）以样本的频率估计概率，若从该包装线上任取4件产品，设为重量超过500克的产品数量，求的数学期望和方差.【答案】（1）0.05； （2）； （3），.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形面积和为1求出的值.（2）求出抽取的20件产品中的不合格件数，再利用古典概率计算即得.（3）求出样本中，重量超过500克的产品数量及对应概率，利用二项分布的期望、方差公式计算得解.【小问1详解】依题意，，解得，所以直方图中的值是0.05.【小问2详解】样本中不合格产品数量为，记事件表示“在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品”则，所以在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品的概率为.小问3详解】根据该样本频率分布直方图，重量超过500克的产品数量为，则从包装线上任取一件产品，其重量超过500克的概率为所以，随机变量，因此，.16. 图1是由正方形ABCD 和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD 折起使得平面平面，将沿CD 折起使得平面平面，连接EF ，BE ，BF ，如图2.【Y Y 4895652125a (0.010.060.070.01)51a ++++⨯=0.05a =a 20(0.010.060.01)58⨯++⨯=A 11812220C C 48()C 95P A ==489520(0.050.01)56⨯+⨯=632010=3~(4,)10Y B 36()4105E Y =⨯=3321()4(1)101025D Y =⨯⨯-=,ADE CDF △△2AB =ADE V ADE ⊥ABCD CDF CDF ⊥ABCD（1）求证:平面；（2）求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质，结合平行四边形的性质、线面平行的判定推理即得.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】分别取棱的中点，连接，由是边长为2正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，同理平面，于是，即四边形为平行四边形，，而平面平面，所以平面.【小问2详解】//EF ABCD ADE BCF π6,CD AD ,O P O BCF ,CD AD ,O P ,,OF PE OP CDF ,OF CD OF ⊥=CDF ⊥ABCD CDF ⋂ABCD DC =OF ⊂CDF OF ⊥ABCD PE ⊥,ABCD PE =//,OF PE OF PE =OPEF //OP EF OP ⊂,ABCD EF ⊄ABCD //EF ABCD取棱的中点，连接，由四边形为正方形，得，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，由，平面平面，平面平面平面，得平面，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为则，解得，所以平面与平面的夹角为.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，已知.（1）求证:；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明；（2）由（1）得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解.【小问1详解】，，，又，则，，AB Q OQ ABCD OQ CD ⊥O ,,OQ OC OF,,x y z (2,1,0),(0,1,0),(0,1,0)B C F D -(2,0,0),(0,CB CF ==-BCF (,,)n x y z = 200n CB x n CF y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1z =n =CD AD ⊥ADE ⊥ABCD ADE ,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥ADE (0,2,0)DC =ADE ADE BCF θ||cos |cos ,|||||DC n DC n DC n θ⋅=〈〉===π(0,]2θ∈π6θ=ADE BCF π6a b c ，，(1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=π2B C =+ππ4,,86a C ⎛⎫=∈⎪⎝⎭ABC (4,2sin (sin cos )0C C B +=π22A C =-ππ64A <<4tan 2ABC S C = (1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=sin 1cos 2sin cos 2cos sin 20A C A C A C +---=sin cos 21sin(2)0A C A C -+-+=πA CB +=-sin()cos 21sin()0BC C B C +-+--=2sin cos sin cos 12sin 1sin cos sin cos 0B C C B C B C C B +-++-+=，即，又，所以，即，又，所以；【小问2详解】由（1）知，，得，由，得，由正弦定理得，得，所以，又，所以，又在上单调递增，则，所以，即的面积我取值范围为.18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB 过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】22sin 2sin cos 0C C B +=2sin (sin cos )0C C B +=sin 0C >sin cos 0C B +=πcos sin cos()2B C C =-=+0π,0πB C <<<<π2B C =+π2B C =+πA B C ++=π22A C =-ππ86C <<ππ64A <<sin sin a c A C=sin sin 4sin πsin cos 2sin(2)2a C a C Cc A C C ===-2211sin π1sin 4sin 2sin 4sin()4cos 4tan 222cos 222cos 2cos 2ABC C C CS ac B C C C C C C==⨯⨯+=⨯⨯== ππ86C <<ππ243C <<tan y x =ππ(,22-tan 2C ∈4tan 2C ∈ABC (4,2222:1(0)x y E a b a b +=>>F B e =(1,2)P E F l E MPF NPF =∠∠l 2212x y +=550x y ++=,,a b c E 1MP NP k k ⋅=l令，由，得，则直线的斜率，由直线过点，得直线的方程为，因此所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，于是，即有，显然均不等于，则，即直线的斜率满足，由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，消去x 并整理得，，显然，设，则，由，得，即，则，整理得，即，于是，而，解得，，所以直线的方程为，即.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由，结合直线倾斜角及斜率的意义求得(,0)F c -c e a ==,a b c ==FB 1k =FB (1,2)P FB 1y x =+1,b c a ===C 2212x y +=MPF NPF θ∠=∠=MP βNP αFP 1k =FP π4ππ,44αθβθ=+=+π2αβ+=,αβπ2πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-,MP NP 1MP NP k k ⋅=l l 1,1x my m =-≠22122x my x y =-⎧⎨+=⎩22(2)210m y my +--=0∆>1122(,),(,)M x y N x y 12122221,22m y y y y m m +==-++1MP NP k k ⋅=121222111y y x x --⋅=--1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=2221(22)2022m m m m m --⋅--=++25410m m --=1m ≠15m =-l 115x y =--550x y ++=MPF NPF =∠∠是解题之关键.19. 已知.（1）判断在上的单调性；（2）已知正项数列满足.（i ）证明:；（ii ）若的前项和为，证明:.【答案】（1）单调递减；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再判断时，导数值的正负即可得解.（2）（i ）利用（1）的结论，结合分析法可得，再利用分析法推理，构造函数借助导数确定单调性即可得；（ii ）利用（i ）的结论，借助放缩法及等比数列求和即得.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，则，即所以在上单调递减.【小问2详解】（i ）首先证明:，即证明，即证明，即证明，由及（1）知，，所以；要证明，即证，只需证，而，则只需证，，令，则，由，知，则，1MP NP k k ⋅=()(2)e x f x x x =--()f x (0,)+∞{}n a 1*1)1,e e 1(n n a a n a a n +=⋅=-∈N *112()n n n a a a n ++<<∈N {}n a n n S *112()2n n S n -≥-∈N ()f x 0x >1n n a a +<12n n a a +<()f x R ()(1)e 1x f x x '=--()(1)e 1x g x x =--()e x g x x '=-,()0x ∈+∞()0g x '<()g x (0,)+∞()(0)g x g <()0f x '<()f x (0,)+∞1n n a a +<1ee n na a +<e 1e n na a na -<(1e 10)n a n a --<0n a >((1)e 0)1n an n g a a =--<1n n a a +<12n n a a +<112n n a a +<112e e n n a a n n a a +<1*e e 1()n n a a n a n +⋅=-∈N 12e e 1n n aa na ⋅<-12e n a t =2ln n a t =111,n n a a a +=<01n a <≤t ∈只需证，即证，令，求导得，于是函数在上单调递减，，即，因此，所以.（ii ）由（i ）可知，，则当且时，，当时，，所以.【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数某些数列问题，，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.22ln 1t t t ⋅<-12ln ,t t t t<-∈1()2ln (),h t t t t t =--∈222222121(1)()10t t t h t t t t t-+--'=--==-<()ht t ∈()(1)0h t h <=12ln t t t<-12n n a a +<112n n n a a a ++<<1213243231111111,,,222222a a a a a a a =>=>>>>541411111,,2222n n n a a a a -->>>> 2n ≥*n ∈N 1232111111112*********n n nn n S a a a a ---=++++>++++==-- 1n =11S =*112()2n n S n -≥-∈N。

济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题（二）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A.{x |－4<x <3} B.{x |－4<x <－2} C.{x |－2<x <2}D.{x |2<x <3}2.设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D.x 2＋(y ＋1)2＝13.若a >b ，则( )A.ln(a －b )>0B.3a <3bC.a 3－b 3>0D.|a |>|b |4.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322 C.2 2 D.3 26.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.957.已知四棱锥M －ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD ＋∠BAD ＝180°，MA ＝2，BC ＝26，∠ABM ＝30°.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.20π B.22π C.40π D.44π8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP |的最小值为( )A. 2B. 3C.3D.43二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007～2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有( )A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C.该企业连续12年来研发投入逐年增加D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加11.将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A.最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为πD.图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称12.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增 B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值 C.函数y ＝f (x )在区间(－2,2)内单调递增 D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为________.14.已知(2－x 2)(1＋ax )3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝________，展开式中含x 2的项的系数是________.15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种. 16.若函数f (x )＝a ln x (a ∈R )与函数g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.（10分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. (1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .18.（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2. (1)求sin A ；(2)若3c sin A ＝2a sin B ，△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长.19.（12分）已知如图1直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起(如图2)，使平面BED ⊥平面AECD .(1)证明：BE ⊥平面AECD ；(2)在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫32，22. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆：x 2＋y 2＝2交于E ，F 两点，求|AB |·|EF |2的取值范围. 21.（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男 女 总计 网购迷 20 非网购迷 45 总计100(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲 80 40 16 24 乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：P (K 2≥k 0)0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82822.（12分）已知函数f (x )＝x －1＋a e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题（二）参考答案一、单选 1.答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. 2.答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ). 3.答案 C解析 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C. ∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 4.答案 B解析 ∵a ·b ＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2a －sin 2α＝cos 2α， ∴2α＝2k π±π2(k ∈Z )， 解得α＝k π±π4(k ∈Z )，∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z )的必要不充分条件，故选B. 5.答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ 6. 6.答案 A解析 因为数列{a n }是正项等比数列， a 2a 8＝a 25＝16a 5， 所以a 5＝16， 又a 3＋a 5＝20， 所以a 3＝4， 所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，即m ＋n ＝12，所以1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝112⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m ，即m ＝4，n ＝8时“＝”成立， 所以1m ＋4n 的最小值为34.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰△POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 7.答案 C解析 因为∠BCD ＋∠BAD ＝180°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由tan 30°＝2AB ，得AB ＝23，所以AC ＝(23)2＋(26)2＝6. 设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，则OE ∥MA ， 因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 点O 到M ，A ，C ，D 四点距离相等， 易知点O 为四面体MACD 外接球的球心， 所以OC ＝⎝⎛⎭⎫622＋⎝⎛⎭⎫222＝10，所以该球的表面积S ＝4π·OC 2＝40π. 8.答案 B解析 设|AB →|＝3a ，|AC →|＝b ，则△ABC 的面积为12×3ab sin π3＝23， 解得ab ＝83，由AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，且C ，P ，D 三点共线，可知m ＋34＝1，即m ＝14， 故AP →＝14AC →＋34AD →.以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，D (2a ，0)，B (3a ，0)，C ⎝⎛⎭⎫12b ，32b ， 则AC →＝⎝⎛⎭⎫12b ，32b ，AD →＝(2a ，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a ，38b ，则|AP →|2＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a 2＋⎝⎛⎭⎫38b 2＝164b 2＋94a 2＋38ab ＋364b 2＝116b 2＋94a 2＋1 ≥2116b 2×94a 2＋1＝34ab ＋1＝3.⎝⎛⎭⎫当且仅当116b 2＝94a 2即b ＝6a 时取“＝” 故||AP 的最小值为 3. 二、多选 9.答案 BD解析 在A 中，AB 与CE 的夹角为45°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故A 不符合； 在B 中，AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，CE ∩DE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 符合； 在C 中，AB 与EC 的夹角为60°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故C 不符合； 在D 中，AB ⊥DE ，AB ⊥CE ，DE ∩CE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 符合. 10.答案 ABC解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 11.答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos 2x 的图象，对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g (x )＝－32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称，故D 正确. 12.答案 BC解析 对于A ，函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故B 正确；对于C ，当x ∈(－2,2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增，故C 正确； 对于D ，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故D 不正确. 三、填空 13.答案 1 200解析 由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)， 所以该校学生总人数为600÷50100＝1 200. 14.答案 2 23解析 由已知可得，(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2.所以(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)， 所以展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23. 15.答案 600解析 根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5(种)选法，再将“ea ”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种). 16.答案 e 2解析 函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ， 设曲线f (x )＝a ln x 与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)， 由于在公共点处有共同的切线， ∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a >0.由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎨⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e 2.四、解答题17.(1)证明 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. 由b n ＝a n ＋n ，那么b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n ＝2a n ＋n －1＋n ＋1a n ＋n ＝2； 即公比q ＝2，b 1＝a 1＋1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得b n ＝2n ， ∴a n ＋n ＝2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n ， ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(21＋22＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2n ＋1－2－n 22－n 2.18.解 (1)因为3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2， 所以b 2＋c 2－a 2＝423bc ，在△ABC 中，由余弦定理得， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－89＝13.(2)因为3c sin A ＝2a sin B ， 所以3ac ＝2ab ，即b ＝3c2.因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝2， 即12×3c 22×13＝2，解得c ＝2. 所以b ＝32，在△ABC 中，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝6，所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6. 19.(1)证明 连接AC ，则AC ⊥DE ，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC ⊥BE .又BE ⊥CE ，AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面AECD ， 所以BE ⊥平面AECD .(2)解 如图，由(1)得BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE .所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA →，EB →，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E －xyz 如图所示，则E (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)， 设F (a ，0，2)，0≤a ≤2，所以AF →＝(a －2，0，2)，BF →＝(a ，－2，2)， 设平面FAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝(a －2)x ＋2z ＝0，BF →·n ＝ax －2y ＋2z ＝0， 取x ＝2，得n ＝(2，2，2－a ). 取平面EBC 的法向量为m ＝(1，0，0). 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝2a 2－4a ＋12＝23， 所以a ＝1.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23.20.解 (1)由已知可得c a ＝33，所以a 2＝32b 2，所以椭圆C 的方程为x 232b2＋y 2b 2＝1，将点⎝⎛⎭⎫32，22代入方程得b 2＝2，即a 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 不妨设A ⎝⎛⎭⎫1，233，B ⎝⎛⎭⎫1，－233，E (1，1)，F (1，－1)， 所以|AB |＝433，|EF |2＝4，|AB |·|EF |2＝1633； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x －1)， 可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2， 所以|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝43(k 2＋1)2＋3k 2，因为圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1， 所以|EF |2＝4⎝⎛⎭⎫2－k 2k 2＋1＝4(k 2＋2)k 2＋1， 所以|AB |·|EF |2＝43(k 2＋1)2＋3k 2·4(k 2＋2)k 2＋1 ＝163(k 2＋2)2＋3k 2＝1633·k 2＋2k 2＋23＝1633⎝⎛⎭⎪⎫1＋43k 2＋23，因为k 2∈[0，＋∞)，所以|AB |·|EF |2∈⎝⎛⎦⎤1633，163， 综上，|AB |·|EF |2的取值范围是⎣⎡⎦⎤1633，163.21.解 (1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35， 后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内. 设直方图的面积平分线为15＋x ，则0.06x ＝0.5－0.35＝0.15，得x ＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：男 女 总计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 总计6040100因为K 2＝100(45×20－15×20)260×40×35×65＝60091≈6.593>5.024，查表得P (K 2≥5.024)＝0.025， 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，由题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，23.所以E (X )＝2×12＝1，E (Y )＝2×23＝43. 因为ξ＝X ＋Y ，则E (ξ)＝E (X )＋E (Y )＝73， 所以ξ的期望为73. 22.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ， 当a ≥0时，f ′(x )>0， 则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞.综上所述，当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3； 由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0， 从而得g (x )＝f (x )＋2x <0， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0， 即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5， ∴x 1＝1e x ＋2e x －x 2－3， ∴x 1－2x 2＝1e x ＋2e x －3x 2－3， 设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3， 由g ′(x )<0得x <ln 3， 由g ′(x )>0得x >ln 3， 故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3. ∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4， ∴x 1－2x 2>－4＋1e .。

济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题第Ⅰ卷一､选择题1.在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A. {|12}x x <≤B. {|13}x x <<C. {|23}x x ≤<D. {|12}x x <<3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ） A. 0B. 43-C. 0或43D.434.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.A. 0B. 3C. 2D. 15.函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ）.A.B.C .D.6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A. 22B. 3C. 4D. 97.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.316 B. 38C. 14D.188.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122FB F B ，则双曲线的离心率是（ ） 51B.352+ C.51231二､不定项选择题9.等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A. 0d >B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D.0n S >时n 的最小值为8 10.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C. 函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D. 函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 11.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.A. (3)0f =B. 直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C. 函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D. 函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A. 对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小第Ⅱ卷三､填空題13.已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．14.在32nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 15.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．16.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________.四､解答題17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和． 18.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．19.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．20.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 21.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．22.已知函数)f x （a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。

济宁一中高三12月份定时检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）1. 已知1i22i z -=+，则z z -=（ ）A. i -B. iC. 0D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2. 若集合{}2230A x x x =--≤，(){}lg 10B x x =+≤，则A B ⋃=（ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤C. {}13x x -≤≤ D. {}13x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求A ，再根据对数函数的定义域及单调性求B ，最后求并集即可.【详解】由()()[]2231301,3x x x x x --=+-≤⇒∈-，即{}13A x x =-≤≤，由()(](]lg 10lg110,11,0x x x +≤=⇒+∈⇒∈-，即{}10B x x =-<≤，故A B ⋃={}13x x -≤≤.故选：C3. 已知()2,3AB = ，()3,AC t = ，1BC = ，则AB BC ⋅=（ ）A 8B. 5C. 2D. 7【答案】C 【解析】.【分析】由()1,3BC AC AB t =-=-及1BC = ，可得3t =，从而根据向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】解：因为()2,3AB = ，()3,AC t = ，所以()1,3BC AC AB t =-=-，因为1BC = ，所以()22131t +-=，解得3t =，所以()1,0BC =u u u r，所以21302AB BC ⋅=⨯+⨯=，故选：C.4. 函数()3e e x xf x x-+=的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD ；再以图像的切线情况去排除错误选项A ，即可得到函数()3e e x xf x x -+=的正确图像.【详解】()3e e x xf x x -+=的定义域为{}0x x ≠()()()()33e e e e x x x xf x f x x x ----++-===---，则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD ；()()()()()3264e e 3e e e 3e e xx x x xx x x x x e x f x x x ------+--+'==的则()()()1010101010104410e e 3e e 7e 13e 1001010f -----+-'==>即函数()f x 在点()()10,10f 的切线斜率为正值，选项A 的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A.选项B 的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点.故选：B 5. 已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 3329πππθαααα⎛⎫⎛⎛⎫+=+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2532a a a =，47245a a +=，则5S =（ ）A. 29 B. 31C. 33D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据2532a a a =，47245a a +=可求出首项1a ，公比q ，然后利用等比数列求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，所以3252222a a a a q a q =⨯=，即222a q =，则42a =.又因为47245a a +=，故有714a =.所以37418a q a ==，则12q =，所有41316a a q ==，所有551161231112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，故B 项正确.故选：B.7. 已知抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，则其焦点坐标为（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由抛物线的定义可求p 的值，进而可求焦点坐标.【详解】解： 抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知322M p y +=，即3122p +=，所以1p =，所以122p =，∴抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A .8. 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则平面BCG 与平面EMQ 之间的距离是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，可推出11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，结合等体积法求得21A M ，结合对称性求得11M N 即可．【详解】如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，得21A C ==，由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故21EMQ S ==，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得1111323M ⨯=，解得21A M =根据对称性知2111A M N C =，所以112121112M N A C A M N C =--=-=，则平面EMQ 与平面BCG ．故选：D【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下列表述正确的是（ ）．A. 如果0a b >>，c d >，那么ac bd >B. 如果0a b >>>C. 如果0a b >>，0c d >>，那么11ac bd<D. 如果0a b ≥>，那么2a bb a +≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的单调性、不等式的性质等知识逐个验证选项即可．【详解】A ．如果0a b >>，c d >，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac bd =-=，故A 错误；B ．由于12y x ==在[0,)+∞为单调增函数，从而若0a b >>>B 正确；C ．如果0a b >>，0c d >>，则0ac bc bd >>>，而1()f x x =在(0,)+∞上单调递减，从而11ac bd<，故C 正确；D ．如果0a b ≥>，则22a a b b ≥+≥，故2a bb a +≤≤，故D 正确．故选：BCD ．10. 已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 必过点(1,0)B. 直线l 与圆E 必相交C. 圆心E 到直线l 的距离的最大值为1D. 当12m =时，直线l 被圆E 【答案】BC 【解析】【分析】利用直线和圆的相关性质求解即可.【详解】易知直线l 必过点(1,0)-，故A 错误；点(1,0)-在圆E 内，所以直线l 与圆E 必相交，故B 正确；圆心(0,0)E 到直线l 的距离d =，当0m =时距离取最大值1，故C 正确；当12m =时，直线:10l x y ++=，则直线l 被圆E 截得的弦长为=，故D 错误．故选：BC11. 把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B. ()g x 在[]0,π上有2个零点C. ()y g x =的图象关于直线π12x =对称D. ()g x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎢⎣【答案】BC 【解析】【分析】由题意，由函数sin(+)y A x ωϕ=的图象变换规律，求得()y g x =的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin 2y x =的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()πsin(2)3y g x x ==+的图象，π5π(,36x ∈时，π2(π,2π)3x +∈，则()g x 在π7π(,)312单调递减，在7π5π(,)126单调递增，故A 错误；令()0g x =，得π2π(Z)3x k k +=∈，即ππ26k x =-，因为[0,π]x ∈，所以ππ0π26k ≤-≤，解得1733k ≤≤，因为Z k ∈，所以1k =或2k =，所以()g x 在[]0,π上有2个零点，故B 正确；因为ππππ()sin(2)sin 1121232g =⨯+==，为()g x 的最大值，所以直线π12x =是()y g x =的图象的一条对称轴，故C 正确；当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()g x ⎡∈-⎢⎣，故D 错误.故选：BC12. 如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（ ）A. 37142L π=+ B. 31132S π=C. 1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D. 1212n n n S S π++=-【答案】ABD 【解析】【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，再分别写出n L 和n S 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可【详解】根据题意可得纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=- (1121)22n n n n L L π----=-，累加可得1210121112......222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112222111122n n ππ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++---1211222n n π--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以132171421222L ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=+，故A 正确，C 错误；又1211122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=- (121)2n n n S S π---=-，累加可得3521...2222n n S ππππ-=----111841214n ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--211132n π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故31132S π=正确，故B 正确；故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____．【答案】114##2.75【解析】【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解.【详解】解：1523a a a += ，∴112433a d a d +=+，∴1a d =，1012011045551119204S a d d a a d d +===+．故答案为：11414. 已知双曲线2222:1x y M a b-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO 为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.1+【解析】【分析】利用双曲线的对称性，连结1BF ，2BF ，根据图形分析可得12BF F △是直角三角形，且260BF O ∠= ，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点2F ，连结1BF ，2BF ，四边形1F ABO 是菱形，1212BO F F ∴=，12BF BF ∴⊥，并且根据对称性可知2OBF △是等边三角形，260BF O ∴∠=，1BF ∴=，根据双曲线定义可知，122B F B F a -=，2c a -=，即1c a ==1题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15. 如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm 和10cm ，侧面积为2780cm ，则其体积为________．【答案】32800cm 【解析】【分析】利用四棱台的结构特征，作出辅助线，根据侧面积列出方程，求出正四棱台的高，结合棱台的体积公式计算得结论【详解】如图，取11A B 的中点1E 、AB 的中点E ，上、下底面的中心1O 、O ，则1E E 为斜高，四边形11EOO E 为直角梯形．正四棱台的侧面积1114(1020)7802S EE =⨯⨯+⨯=，113cm EE ∴=，在直角梯形11EOO E 中，过点1E 作1M ⊥OE 于点M ，则115cm O E OM ==，11O O E M =，因为111115cm 2O E A B ==，110cm 2OE AB ==，所以5EM OE OM =-=cm ，1112O O E M ∴====cm ，∴该四棱台的体积为()()223112102010202800cm 3V =⨯⨯++⨯=故答案为：32800cm 16. 已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)1,+∞【解析】【分析】求导可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，故()()1212|xxf x f x a e e --等价于()()2121x xf x f x ae ae -<-，即()()1212xxf x ae f x ae ->-，设()()()1,0,2x xh x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤=-=++-∈⎢⎥⎣⎦，易知函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()()'10xh x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1xx cosx a e +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()()1,0,2xx cosx g x x eπ+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()211'0()x xx xcosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e ⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤，故函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥．故答案为：[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()sin()14f x x x π=+-．（1）求()4f π的值及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间[0,2π上的最大值和最小值．【答案】（1）(14f π=；单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈（2；最小值1-【解析】【分析】（1）由()sin()14f x x x π=+-，直接求()4f π；将函数转化为())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解；（2）根据函数())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解.【小问1详解】解：()sin 1442f πππ=-，11=-，1=；()sin(14f x x x π=+-，)1x x x =⋅-， 22sin cos 2cos 1x x x =+-，sin 2cos 2x x =+，4x π=+，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，322244k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈；【小问2详解】因02x π≤≤，所以52444x πππ≤+≤，所以sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 故124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，当2,42x ππ+=即8x π=时，()f x；当2,44x π5π+=即2x π=时，()f x 有最小值1-.18. 已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+ （2）()1422n n T n +=-++【解析】【分析】（1）利用赋值法可得数列的首项及公差；（2）利用错位相减法求数列的前n 项和.【小问1详解】当1n =时，1228a a +=①，当2n =时，23211a a +=②，②-①得，33d =，解得1d =，所以12112228a a a a +=++=，12a =，所以()2111n a n n =+-⨯=+；【小问2详解】由（1）得1n a n =+，为则()()2232nn n nn b a =++=，()()12314252622232n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+++++ ，()()234124252622232n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+++++ ，()12314222232n n n T n +∴-=⨯++++-+ ()()21121283212n n n -+-=+-+-()1422n n +=-+，()1422n n T n +∴=-++.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是BC 的中点.（1）求证：1//BD 平面1C DE ；（2）已知120ABC ∠=︒，1AA =，求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析. （2【解析】【分析】（1）连接1CD 交1DC 于O ，连接OE ，易得1//OE BD ，再根据线面平行的判定即可证结论.（2）F 为AB 中点，结合已知可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，写出对应点坐标，并求出直线1A D 的方向向量和平面1C DE 的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【小问1详解】由题设，连接1CD 交1DC 于O ，易知：O 是1CD 的中点，连接OE ，∵E 是BC 的中点，∴1//OE BD ，又OE ⊂面1C DE ，1BD ⊄面1C DE ，∴1//BD 面1C DE .【小问2详解】底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，即60DAB ∠=︒，若F 为AB 中点，则DF AB ⊥，∴30ADF ∠=︒，故在直四棱柱1111ABCD A B C D -中有DF DC ⊥、1DD DC ⊥、1DD DF ⊥，∴可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，∴1131(0,0,0),,0),42D E C A -，则1131,0),42DE DC DA ===- ，若(,,)m x y z = 是面1C DE的一个法向量，则13040DE m x y DC m y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令x =m=-，∴111|cos,|||||||m DAm DAm DA⋅<>===，故直线1A D与平面1C DE.20. 已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，6328SS=，数列{}nb满足()33log1n nb a=+．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若对任意的*n∈N，3n nb aλ<恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）13nna-=，*n∈N；32nb n=-，*n∈N（2）9,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=求得公比，再由11a=求解；进而由()33log1n nb a=+求解.（2）由332nnλ<-对于任意的*n∈N恒成立，令()332nf nn=-，*n∈N，求得其最小值即可.【小问1详解】解：设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=，显然1q≠，所以631281qq-=-，解得3q=，由于11a=，所以{}n a的通项公式为13nna-=，*n∈N；所以()1333log13log3132nn nb a n-=+=+=-，*n∈N，所以{}n b的通项公式为32nb n=-，*n∈N．【小问2详解】因为3n nb aλ<恒成立，即332nnλ<-对于任意*n∈N恒成立．的令()332nf n n =-，*n ∈N ，则()()()()()136733131323132n n nn f n f n n n n n +⋅-+-=-=+-+-，当1n >时()()1f n f n +>，，所以()()()()1234f f f f ><<<⋅⋅⋅，即()f n 的最小值为()924f =，所以实数λ的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝，且C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．【答案】（121y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）对直线l 分两种情况讨论，直线l 与x 轴重合时，直接求出PA PB ⋅的值，在直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出PA PB ⋅关于m 的代数式，综合可得出PA PB ⋅的取值范围．【详解】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立，由韦达定理可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+，由弦长公式可得()()221223114m PA PB m y y m +⋅=+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥ ，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+.综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数()21)xf x e ax a =-->（，（1）证明：函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）若函数()y f x =有两个不同零点12,x x 且12x x >，当12x x -最小时，求此时a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）求出导数，可判断()f x 在(,0)-∞单调递减，再根据零点存在性定理即可判断；（2）令120t x x =->，则由题可得()22212x t x e e ea tx --==，利用导数可得1()(0)t e g t t t -=>在(0,)+∞单调递增，判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值即可.【详解】（1）()x f x e a '=-， 0x <，1x e ∴<，又1a >，∴()0f x '<，∴()f x 在(,0)-∞单调递减，(0)10f =-<，220a f e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，存在唯一02,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得0()0f x =，所以函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）由条件知12122020x x e ax e ax ⎧--=⎨--=⎩，1212121222x x x x e e e e a x x x x ---∴===-，令()22122120,x t x e e e t x x a t x --=->∴==，则有22212x t x e e t x e --=，令1()(0)t e g t t t -=>，2(1)1()t t e g t t -+='，令()(1)1t h t t e =-+，()0th t te =>'，()h t ∴(0,)+∞单调递增，()(0)0h t h ∴>=，()g t ∴在(0,)+∞单调递增，要求t 的最小值即求()g t 最小值，令()22222x x e v x x e -=，()()()22222222222222,12220x x x x x x e x e x e v x x x e x e'-+-+-==<，在令()22222x m x x e =+-，()2220x m x e =->'，()2m x ∴在(,0)-∞单调递增，又1(0)10,(1)0m m e -=>-=-<，∴存在唯一0(1,0)x ∈-使得()00m x =.此时0022x e x =+，2x ()0,x -∞0x ()0,x +∞()2v x '-0+()2v x 极小 当02x x =时，()2v x 有最小值故12x x -取最小值时000022222x x e a x x +--===.【点睛】关键点睛：解决本题得关键是得出()22212x t x e e e a t x --==，利用导数判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值.。

2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题一、选择题1.在复平面上，复数24i1i++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．434.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表:学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.A ．0B ．3C ．2D ．15.函数()3cos 1x f x x+=的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3C ．4D ．97.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．316 B ．38C ．14D ．188.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B．35+ C ．51+ D ．31+二、填空题9.已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．10.在32nx x ⎛-⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．11.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．12.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题13.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.（1）求{a n }的通项公式；（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和.14.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．15.如图所示，直角梯形AB C D 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形ED C F 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．16.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.17.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．18.已知函数)f x =（a e 2x +（a ﹣2） e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 四、不定项选择题19.（多选）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为820.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 21.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D．当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变小参考答案1.【解析】24i (24i)(1i)62i3i 1i (1i)(1i)2++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A 【答案】A2.0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【答案】A3.【解析】当0a ≠时，过点()1,2P且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a，可设该直线方程为12(1)y x a -=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为11=，解得43a =.故本题正确答案为C ． 【答案】C4.【解析】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系， 不是一次函数关系，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．综上，正确的命题是①，只有1个． 故选：D ． 【答案】D5.【解析】函数()f x 的定义域为()()00+，，-∞∞.()()()3cos +13cos +1x x f x f x xx--==-=--,所以()f x 为奇函数，故排除选项A ． 由当0x >且0x →时，()f x →+∞，故排除选项D ． 由23034f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故排除选项C ． 故选：B 【答案】B6.【解析】∵lg4a 与lg2b 的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)559b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 【答案】D7.【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF====.∴112224BCI S ∆=⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A ． 【答案】A8.【解析】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B 的边长为22b c +，由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ． 由面积相等，可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+， 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由e ca=，可得42e 3e 10-+=， 解得235e 2±=， 可得15e 2+=，或51e 2-=（舍去） 故选：C ． 【答案】C9.【解析】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【答案】3210.【解析】根据题意可得8n =，88831883()()(1)?2?2r r r r r r r r r x T C C x x----+=-=-，令48063r r -==，，可得常数项为7. 【答案】711.【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-. 63-12.【解析】()()2f x f x +=对x ∀∈R 恒成立，∴函数()f x 的周期为2．又当(]1,1x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<⎪=+⎨⎪-<⎩ ∴函数()f x 的图象如下图所示：令函数()()()10g x f x m x =-+=， 则()()=+1f x m x ，若函数()()()1g x f x m x =-+在区间内有6个零点，则()=y f x 与()=+1y m x 的图象在区间[-1,5]内有6个交点．()1y m x =+恒过点()-1,0，过()1,0-，()4,2点的直线斜率为25， 过()1,0-，()2,2点的直线斜率为23，根据图象可得：22,53m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：22,.53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2=3，b 3=9，可得323b q b ==， 所以b n =b 2q n -2=3·3n -2=3n -1， 又由a 1=b 1=1，a 14=b 4=27，所以1412141a a d -==-，所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n -1）×d =1+2（n -1）=2n -1； （2）由题意知c n =a n +b n =（2n -1）+3n -1， 设数列{c n }的前n 项和为n S ，则[13(21)](13931)n S n n =++⋯+-++++⋯+-2(121)13312132n n n n n +---=+=+-. 【答案】（1）21n a n =-；（2）2312nn -+. 14.【解析】（1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x xxx ，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=【答案】（1）,2；（2 15.【解析】（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，∴(1,BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又(1,DF =-，∴30DF n ⋅=-+=，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）∵()1,2,3BE =--，()2,0,3BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z=，∴230,230,x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()23,3,4m =，∴531cos 231m n m n θ⋅===⋅⋅，∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为531． （Ⅲ）设()1,2,3DP DF λλ==- (),2,3λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2,3P λλλ-， ∴()1,22,3BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量()3,0,1n =，∴()()2223333sin cos ,21223BP n λλθλλλ--+===++-+，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，33,1,2BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =；当14λ=时，533,,42BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =． 综上，2BP =．【答案】（I ）见解析（II 531（III ）2BP = 16.【解析】（1）设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件(1,2)i B i =，由已知1()4P A =，()45i P B =. X 的取值为0，2，3，4.则()()()12123113(0)()455100P X P AB B P A P B P B ====⨯⨯=， ()()11223413146(2)45545525P X P AB B P AB B ==+=⨯⨯+⨯⨯=， 1(3)()4P X P A ===，()1234412(4)45525P X P AB B ===⨯⨯=，X 的分布列为:X 的数学期望为:()0234 3.1510025425100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （2）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ， 则111273(3)(4)0.73425100P P X P X ==+==+==， ()()()2121231234414441455555555P P B B P B B B P B B B =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯1120.896125==, ∵21P P >，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.【答案】（1）分布列见解析，3.15（2）方案2，理由见解析17.【解析】（Ⅰ）将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. （Ⅱ）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-. 【答案】（Ⅰ） 24x y =-，1y =； （Ⅱ）见解析.18.【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).19.【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD 【答案】ABD20.【解析】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设()2g x x =，则()22sin 22cos 2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：BC ． 【答案】BC21.【解析】A ：令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+，得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；B ：由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期． 又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确； C ：因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数， C 错误；该抽象函数图象草图如下：D ：函数()f x 周期为6，故()()93f f -=-()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点， D 正确．故答案为：ABD ． 【答案】ABD22.【解析】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确； 平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ． 【答案】AC。

济宁市第一中学2024—2025学年度第一学期质量检测（一）高三化学注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号,并将条形码粘贴在指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.回答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

保持卡面清洁，不折叠，不破损。

可能用到的相对原子质量： Li-7 C-12 N-14 O-16 Na-23 Cl-35.5 Ca-40 Fe-56 Cu-64 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1．2024年7月第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办。

下列属于有机高分子材料的是A ．奥林匹克烯（五环标志）—C 19H 12B ．举重运动员使用的“镁粉”—碳酸镁C ．篮球和排球运动鞋底—顺丁橡胶D ．跳高运动员使用的撑杆—碳纤维 2．在溶液中能大量共存的离子组是A ．B ．C ．D ．3．设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A ．标准状况下，11.2 L Cl 2溶于水，溶液中和的微粒数目之和为N AB ．12 g 石墨中含有的碳碳单键数目为2N AC ．常温常压下，与足量反应，共生成0.2 mol O 2，转移电子的数目为0.4N AD ．0.1 mol/L 的溶液显中性，1 L 该溶液中含的数目为0.1N A 4．对于下列过程中发生的化学反应，相应离子方程式正确的是A ．向FeBr 2溶液中通入足量的氯气：2Fe 2++2Br ⁻+2Cl 2=2Fe 3++Br 2+4Cl⁻B ．泡沫灭火器的工作原理：Al 3++3HCO =Al(OH)3↓+3CO 2↑C ．同浓度同体积溶液与溶液混合：D ．将通入冷的石灰乳中制备漂白粉：5．对下列一些实验事实的理论解释，错误的是+-2+-3H I Ba NO 、、、3++--Fe K CN Cl 、、、+2--2+3Na SiO Br Ca 、、、+2---4433NH SO CH COO HCO 、、、Cl ClO --、HClO 22Na O 2H O 34CH COONH 3CH COO -3-44NH HSO NaOH 432NH OH NH H O +-+=×2Cl 22Cl 2OH =Cl ClO H O ---+++实验事实理论解释A 是非极性分子原子处在4个原子所组成的正方形中心，键的极性的向量和为零B 一氟乙酸的大于一溴乙酸的电负性比的大C 向加入过量氨水的硫酸铜溶液中加入乙醇，将析出深蓝色晶体乙醇的加入降低了[Cu(NH3)4]SO4·H2O的溶解度D P原子的第一电离能大于S原子磷原子的电子排布是半充满的，比较稳定，电离能较高6.已知的结构为，下列叙述错误的是A.的结构中，两边的S原子无孤电子对B.的结构中，中间的两个S原子均有两对孤电子对C.的结构中，a、b为键长，则a＜bD. 沸点：>7．关于有机物检测，下列说法正确的是A．用浓溴水可鉴别溴乙烷、乙醛和苯酚B．用红外光谱可确定有机物的元素组成C．质谱法测得某有机物的相对分子质量为72，可推断其分子式为D．麦芽糖与稀硫酸共热后加调至碱性，再加入新制氢氧化铜并加热，可判断麦芽糖是否水解8．兴趣小组设计了从中提取的实验方案，下列说法正确的是A．还原性：B．按上述方案消耗1 mol Fe可回收1 mol AgC．反应①的离子方程式是D．溶液①中的金属离子主要是9．下列实验的对应操作中，不合理的是4CFC FaK F Br264S O-264S O-264S O-264S O-512C HNaOHAgCl AgAg>Cu>Fe()2++2++344Cu NH+4H=Cu+4NHéùëû2+Fe眼睛注视锥形瓶中溶液A ．用标准溶液滴定溶液B ．稀释浓硫酸C ．从提纯后的溶液获得晶体D ．配制一定物质的量浓度的溶液10．制造隐形眼镜的功能高分子材料Q 的合成路线如下：下列说法错误的是A ．试剂a 为乙醇溶液B ．Y 易溶于水C ．Z 的结构简式可能为D ．M 分子中有3种官能团二、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去） 当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，， 又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集； （2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲 已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->． （1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。

考点49 直线与圆、圆与圆的位置关系1．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =( )A ．34B ．1-C ．12-D ．32【答案】A 【解析】圆C:()()22112x y +++= ,∵ AC BC ⊥∴圆心C 到直线的距离为11= ，解m=34故选：A ．2．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）过点()1,1P 的直线l 将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分为两部分，其面积分别为12,S S ，当12S S -最大时，直线l 的方程是（ ）A ．20x y +-=B ．20x y ++=C ．20x y --=D ．10x y +-=【答案】A 【解析】因为点P 坐标满足224x y +≤，所以点P 在圆224x y +=内，因此，当OP 与过点P 的直线垂直时，12S S -最大， 此时直线OP 的斜率为10110OP k -==-， 所以直线l 的斜率为1k =-，因此，直线l 的方程是1(1)y x -=--， 整理得20x y +-=. 故选A ．3．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）圆221x y +=的一条切线与圆224x y +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，则1212x x y y +=（ ）A．-B ．2-C ．2D．【答案】B切线与圆221x y +=切于点E ，由题干知圆心均为O 点，则根据向量点积坐标公式得到：1212OA OB x x y y ⋅=+||||cos OA OB OA OB AOB ⋅=∠，2,1OA OB OE ===12,cos 2AOB AOE AOE ∠=∠∠=21cos 2cos 1.2AOB AOE ∠=∠-=-故得到：||||cos 2.OA OB OA OB AOB ⋅=∠=- 故答案为：B.4．（2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学理）已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=，则实数m=（ ）A ．1±B ．C ．D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m ＞3或m ＜-3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=±5．（2017届福建省宁德市高三第一次（3月)质量检查数学理）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以,44a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】依题意可知直线过圆心()1,2-，即32110,4a a +-==.故(),1,144a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭.圆方程配方得()()22125x y -++=， ()1,1-与圆心距离为1，故弦长为4=.6．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D 【答案】D 【解析】 如图，c =，则2b 2＝c 2，即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e c a ==．7．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）直线:2l x ay +=被圆224x y +=所截得的弦长为l 的斜率为（ ）A B ．C D ．±【答案】D 【解析】解：可得圆心（0，0）到直线:2l x ay +=的距离，由直线与圆相交可得，2232d +=，可得d=1，即=1，可得a=±y=33x ±+故斜率为 故选D.8．（四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学理）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率22P ==,故选C.9．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）经过点(3,0)M 作圆222430x y x y +---=的切线l ，则l 的方程为（ ） A ．30x y +-= B ．30x y +-=或3x = C ．30x y --= D ．30x y --=或3x =【答案】C 【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心坐标坐标为(1,2)，半径为12x x ，当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)30y k x kx y k =-⇒--=，圆心到它的距离为12x x，所以有1k ==，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠3x =不是圆的切线；因此切线方程为30x y --=,故本题选C ．10．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三）“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,k =∴=. 所以“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A ．11．（吉林省吉林大学附属中学2017届高三第七次模拟考试数学理）已知圆C ： (()2211x y +-=和两点()0A t -，， ()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（ ）A ．3B ．2CD ．1【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：min min 11t t =+⇒=，即t 的最小值为1. 本题选择D 选项.12．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ，使得∠MQN=90°，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]13,3- B ．[]3,1-C ．[]3.13-D ．[]13.13-【答案】A 【解析】过点F （1，0）且斜率为1的直线方程为：1y x =-．联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ ∴AB 的中点坐标为（3，2），|AB |=x 1+x 2+p=8，所以以线段AB 为直径的圆圆D ：22(3)(2)16x y -+-=，圆心D 为：（3，2），半径为r=4， ∵在圆C 上存在两点M ，N ，在直线l 上存在一点Q ，使得∠MQN =90°，∴在直线l 上存在一点Q ，使得Q 到C （3，2=，∴只需C （3，2）到直线l 的距离小于或等于133a ≤⇒-≤≤ 故选：A ．13．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）已知双曲线：的焦距为，直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为，以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：则直线方程为：，即由题意可知：圆的圆心，半径则圆心到直线的距离：整理可得：，即解得：或双曲线离心率本题正确选项：14．（四川省百校2019年高三模拟冲刺卷理）在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于.若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题圆方程为两动圆均过定点故,得同理又即（）（）=1整理得,故故选：C ．15．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）圆：被直线截得的线段长为（ ） A ．2 B ．C ．1D ．【答案】C 【解析】 解：圆：的圆心为，半径为1圆心到直线的距离为，弦长为，故选C ．16．（安徽省濉溪二中2018-2019学年高二下学期4月联考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则b a =（ ）A ．43B ．34C ．169D ．916【答案】B 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线的距离1r ==，得34a b =，所以34b a =，故选B ． 17．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试理）过坐标轴上一点()0M x ,0作圆221C :x y 12⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两条切线，切点分别为A 、B .若||AB ≥0x 的取值范围是（ ）A．,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭B．(),-∞⋃+∞C．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．][(),22,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】根据题意，画出图形，如图所示，由圆221:()12C x y +-=，可得圆心坐标1(0,)2C ，半径1R =， 过点M 作圆C 的两条切线MA 和MB ，切点分别为A 和B ， 分别连接CA 、CB 、CM 、AB ，根据圆的性质可得,,CA AM CB BM CM AB ⊥⊥⊥，当||AB =因为1CA CB ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，所以22CN AN BN ===, 又由ANC AMN ∆∆，所以1AN CN MN AN ==，所以MN AN ==，所以CM CN NM =+=要使得||AB ≥CM ≥≥整理得274x ≥，解得0x ≤0x ≥0x的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭， 故选C.18．（广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学理）设过点()20P －，的直线l 与圆22:4210C x y x y +--+=的两个交点为A B ，，若85PA AB =，则AB =（ ）A B C ．5D 【答案】A 【解析】由题意，设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为2x my =-，由2242102x y x y x my ⎧+--+=⎨=-⎩得()()22182130m y m y +-++=，则121222821311m y y y y m m ++==++，，又85PA AB =，所以()()112121825x y x x y y +=--，，， 故()12185y y y =-，即21135y y =，代入122131y y m =+得：21251y m =+，故2221695251y m =⨯+， 又()22122821m y y m +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即222121222219452682225111m y y y y m m m +⎛⎫++=⨯+= ⎪+++⎝⎭， 整理得：240760m m -+=，解得2m =或38m =，又AB ==当2m =时，5AB =；当38m =时，AB =；综上AB =. 故选A19．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，且过双曲线的右焦点2F 与x 轴垂直的直线l 与双曲线交于点A ，B ，OAB ∆的面积为 ） A ．18 B．C．D．【答案】C 【解析】设双曲线的渐近线为y kx =，1=，所以k =，渐近线为y x =，将x c =代入双曲线方程得2b y a =±，所以22b AB a =，2122OAB b S c a ∆=⋅⋅=b a =a =，b =所以双曲线实轴长为2a =故选C.20．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）已知,x y 满足约束条件20220x y x y x y +-≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若20x y k ++≥恒成立，则直线20x y k ++=被圆()()221125x y +++=截得的弦长的最大值为______．【答案】【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：若20x y k ++≥恒成立，则()min 20x y k ++≥平移直线20x y +=可知，当直线过B 点时，2x y k ++最小由202x y x y -=⎧⎨-=-⎩得：()4,2B --即440k --+≥ 8k ∴≥则圆心()1,1--到直线20x y k ++=的距离为：d =≥=∴弦长≤=本题正确结果：21．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x ty t m =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C ，则m 的值为________________. 【来源】)试题 【答案】12m =-或136m =-. 【解析】由参数方程可得：3344x t y m t ==-, 整理可得直线l 的直角坐标方程为4330x y m -+=，圆C 的极坐标方程即222222cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=+=-+=, 设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式可得：=解得：12d =， 结合点到直线距离公式可得：403152m -+=,解得：12m =-或136m =-. 22．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B 两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.【答案】 【解析】 由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=，设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得k =±故答案为15±. 23．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______． 【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ， 过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 24．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______【答案】( 【解析】因为222:20C x y kx y k ++++=为圆，所以22440k k +->，解得k <<, 又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故21440k k ++++>，解得k ∈R ,综上可知33k -<<.故k 的取值范围是(33-.25．（天津市和平区2018-2019学年第二学期高三年级第二次质量调查数学理）若直线2y x =-+与曲线1222x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)交于两点,A B ，则AB =_________.【解析】 曲线12(22x cos y sin θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数)消去参数θ可得：()()22124x y ++-=，表示圆心为()1,2-，半径为2r =的圆，圆心到直线20x y +-=的距离：2d ==，由弦长公式可得弦长为：2==26．（河北省武邑中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学理）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线22y x =-围成的平面区域的直径为_____．【答案】4 【解析】曲线22y x =-围成的平面区域如下图所示：该平面区域与y 轴的交点为()0,2A ，()0,2B -，4AB =， 平面区域内的任意一个点都在以原点为圆心，半径为2的圆上或圆内， 所以平面区域内任意两点间的距离都小于等于4， 因此，该平面区域的直径为4.。

专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为【经典例题】()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x =R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数ln y x=的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞） 【答案】A 【解析】2340ln ln 0,0x x x y x x x ⎧-++≥-=⎨≠>⎩14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩故选：A【专家解读】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤<故答案为C例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ）A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞【答案】B【解析】函数ln ()1xf x x =-，∴010x x >⎧⎨-≠⎩， 解得x ＞0且x≠1，∴f （x ）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B ．例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，【答案】D【解析】因为函数()f x =R ，所以开口向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即240,22a a ∆=-≤-≤≤，即实数a 的取值范围为[]22﹣，，故选D. 【专家解读】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，()f x =，只需00a >⎧⎨∆≤⎩；（2）对数型，()()2log m f x ax bx c =++，只需00a >⎧⎨∆<⎩，（3）分式型，()21f x ax bx c =++，只需00a ≠⎧⎨∆<⎩. 例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞--【答案】D【解析】令24x x >，即21x <，解得0x <. 若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D.【专家解读】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞ B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞ 【答案】B【解析】使函数有意义的x 满足1010x x ->⎧⎨+≥⎩解得11x -≤<即函数()()2log 1f x x =-+[)1,1-.故选B.【专家解读】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.2．【2020届北京市东城区高三三模】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+【答案】C【解析】由指数函数性质知：()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为()0,∞+.对于A ，定义域为()0,∞+，与()f x 不同，A 错误； 对于B ，值域为[)0,+∞，与()f x 不同，B 错误；对于C ，定义域为R ，值域为()0,∞+，与()f x 相同，C 正确； 对于D ，定义域为{}0x x ≠，与()f x 不同，D 错误. 故选：C .【专家解读】本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题.3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9 B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】作出函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 所以有122x x +=-，341x x =，故()31232343442x x x x x x x -++=+， 再由2log 1x =可得2x =或12x =， 即3112x ≤<，令4()2g x x x =+，(112x ≤<)， 则24()2g x x'=-，因为112x ≤<，所以24()20g x x'=-<，即函数4()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 又1()1892g =+=，(1)246g =+=，所以(]()6,9g x ∈. 即()3122344x x x x x -++的取值范围是(]6,9 故选A【专家解读】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型.4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 【答案】B【解析】∵1cos21x -≤≤，∴0cos212x ≤+≤， 即函数()cos21f x x =+的值域为[]0,2，值域跨度为2； ∵()2221122x x x -++=--+≤， ∴()f x =⎡⎣；∵1,0()121,011,1x f x x x x x x -≤⎧⎪=--=-<<⎨⎪≥⎩，∴函数()1f x x x =--的值域为[]1,1-，值域跨度为2；∵323222222()11(1,1)323232312x x x x x xxx x x x x x f x -+-⋅⋅===-=-∈-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域跨度为2；故选：B.【专家解读】本题主要考查函数值域的求法，掌握初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）.A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣【答案】A【解析】因为y x = 由240x x -，解得04x ．可得函数()y f x x ==-[]0,4．又()1f x '==．令()(2)g x x =-，则()()()1222410g x x x x -'=--+>，即()f x '在[]0,4上单调递增，(2)0x -=，解得2x =即()f x在0,2⎡⎣上单调递减，在2⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以2x =为极小值点，又(22f -=-(0)0f =，()44f =．∴函数y x =的值域为2⎡⎤-⎣⎦．故选：A ．【专家解读】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【答案】C【解析】因为函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，所以()()f x f x -=，即()2cos 2cos 44x x x xx x a a---=++，化简可得：()4141x xa -=-， 解得：1a =，即()2cos cos =4122x x xxx xf x -=++. 又因为c o s 1x ≤，222x x -+≥，所以()12f x ≤（当且仅当0x =时两个“=”同时成立）. 故选：C.【专家解读】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，属于中档题.7．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}【答案】A【解析】∵函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞， ∴2[2(3)]43(3)0m m ∆=-+-⨯⨯+= ∴30m =-或∴实数m 的取值范围为{0,3}-【专家解读】本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围.8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭， 因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16. 故选:A.【专家解读】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-【答案】D【解析】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值()24484412f =-⨯+=-，最大值为()2888844f =-⨯+=，故所求值域为[]12,4-. 故选：D.【专家解读】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题.10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2， 所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C【专家解读】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【专家解读】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________【答案】()(),11,1-∞--【解析】()2134lg x y x x -=--∴210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--，故答案为：()(),11,1-∞--【专家解读】本题主要考查了分式函数与对数函数的定义域，以及不等式组的解法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】函数()f x ，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥， ∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4【专家解读】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.【答案】23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【解析】由1020x x -≥⎧⎨-≥⎩得：12x ≤≤ y ∴=[]1,2又y =∴值域为[]1,1-y ∴=的一个“同域函数”为23x y =-，[]1,2x ∈故答案为：23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【专家解读】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．【答案】1(,]4-∞【解析】令221ty x x =+-， 当0t <时，22211,(0)t t y x m m x x m =+-=+-=>，因为1t y m m=+-在(0,)+∞上单调递增，因此221ty x x=+-值域为[),0,R +∞为R 的子集，所以0t <；当0t =时，222111t y x x x=+-=-≥-， [)0,+∞为[1,)-+∞的子集，所以0t =；当0t >时，22111,t y x x =+-≥=，当且仅当||x =[)0,+∞为1,)+∞的子集，所以11004t ≤∴<≤； 综上，14t ≤故答案为：1(,]4-∞【专家解读】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】01a ≤≤【解析】因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减，所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤， 所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立， 故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，2]2x ∈， 当0a =时，()0g x =，符合题意； 当0a ≠时，函数()g x在,2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+，所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤， 综上，实数a 的取值范围是[0,1]． 故答案为：[0,1]【专家解读】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()g x f x =成立”此类问题“等价转化”策略是利用()g x 的值域是()f x 值域的子集来求解参数的范围．。

济宁一中2017级高三年级第一学期阶段检测数学试题2019.10出题人：杨涛审题人：张善举、曹雷注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

2.选择题答案请填涂在答题卡的相应位置，非选择题答案必须用黑色签字笔写在规定的答题区域内，否则不得分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的子集个数为（）A．B．C．D．2．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在等差数列中，若，，则（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．B．C．D．5．，则的值为（）山东中学联盟A．B．C．D．6．已知向量，，则“”是为钝角的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．8．函数在上单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（）A．B．C．D．9．设函数，若，（）A．B．C．D．10．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（）A．(3,+ ∞) B．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C．(－∞,0)∪(0,+∞) D．(0,+∞)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若等差数列的前项和为，则_________．Sdzxlm14. 已知，，且共线，则向量在方向上的投影为__________．15．设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为__________．16．已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是．三、解答题：本题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）证明；（3）求的值．18.（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；（II）讨论在区间上的单调性．19．（本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．20. （本小题满分12分）设Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．21. （本小题满分12分）某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．(1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数；(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？22．（本小题满分12分）已知为实数，函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，①求实数的取值范围；②证明：．济宁一中2017级高三年级第一学期第二次阶段检测数学答案一、选择题。

2020年高考化学命题提分训练3——阿伏加德罗常数1、（2019年全国卷II ）已知N A 是阿伏加德罗常数的值，下列说法错误的是A. 3g 3He 含有的中子数为1N AB. 1 L 0.1 mol ·L −1磷酸钠溶液含有的34PO -数目为0.1N AC. 1 mol K 2Cr 2O 7被还原为Cr 3+转移的电子数为6N AD. 48 g 正丁烷和10 g 异丁烷的混合物中共价键数目为13N A【答案】B【解析】A. 3He 的中子数为3-2=1，则3g 3He 的中子数为3g 3g/molA N ⨯=N A ，A 项正确； B. 磷酸钠为强碱弱酸盐，磷酸根离子在水溶液中会发生水解，则1L 0.1mol/L 的磷酸钠溶液中磷酸根离子的个数小于1L×0.1mol/L×N A mol -1 =0.1N A ，B 项错误；C. 重铬酸钾被还原为铬离子时，铬元素从+6降低到+3，1mol 重铬酸钾转移的电子数为3mol×2×N A mol -1 =6N A ，C 项正确；D. 正丁烷与异丁烷的分子式相同，1个分子内所含共价键数目均为13个，则48g 正丁烷与10g 异丁烷所得的混合物中共价键数目为48g+10g 58g/mol ×13×N A mol -1 =13N A ，D 项正确。

2、（2019年全国卷III ）设N A 为阿伏加德罗常数值。

关于常温下pH=2的H 3PO 4溶液，下列说法正确的是A. 每升溶液中的H +数目为0.02N AB. c (H +)= c (24H PO -)+2c (24HPO -)+3c (34PO -)+ c (OH −)C. 加水稀释使电离度增大，溶液pH 减小D. 加入NaH 2PO 4固体，溶液酸性增强【答案】B【解析】A 、常温下pH ＝2，则溶液中氢离子浓度是0.01mol/L ，因此每升溶液中H ＋数目为0.01N A ，A 错误； B 、根据电荷守恒可知选项B 正确；C 、加水稀释促进电离，电离度增大，但氢离子浓度减小，pH 增大，C错误；D 、加入NaH 2PO 4固体，H 2PO 4－浓度增大，抑制磷酸的电离，溶液的酸性减弱，D 错误。

济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题答案1.A2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C9.ABD 10.BC 11.ABD 12.AC 13.3214.715.√6−√316.[25,23)17.解：(1)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，由b 2=3，b 3=9，可得q =b3b 2=3，b n =b 2·q n−2=3·3n−2=3n−1； 即有a 1=b 1=1，a 14=b 4=27， 则d =a 14−a 113=2，则a n =a 1+(n −1)d =1+2(n −1)=2n −1； (2)c n =a n +b n =2n −1+3n−1， 则数列{c n }的前n 项和为：[1+3+⋯+(2n −1)]+(1+3+9+⋯+3n−1) =2n 2·n +1−3n1−3=n 2+3n −12．18.解：(1)函数f(x)=cos 2x −sin 2x +12=cos2x +12，x ∈(0,π)，由2kπ−π≤2x ≤2kπ，k ∈Z ， 解得kπ−12π≤x ≤kπ，k ∈Z ， 当k =1时，12π≤x ≤π， 可得f(x)的单调递增区间为[π2,π)； (2)设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b =5， 若f(A)=0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 化为c 2−5c +6=0， 解得c =2或3，若c =2，则cosB =2×√19×2<0， 即有B 为钝角， ∴c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为S =12bcsinA =12×5×3×√32=15√34． 19.解：(Ⅰ)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ，∵平面EDCF ⊥平面ABCD ， 平面EDCF ∩平面ABCD =CD ， DE ⊂平面EDCF ， ∴DE ⊥平面ABCD ．由题意，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，过D 作平行于AB 直线为y 轴， DE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示：则A(1,0，0)，B(1,2，0)，E(0,0，√3)，F(−1,2，√3)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面ABE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∴{−x −2y +√3z =02y =0, ∴y =0，令z =1，则x =√3，所以平面ABE 的法向量为n ⃗ =(√3,0，1)， 又DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，√3)，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3+0+√3=0， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ；又∵DF ⊄平面ABE ， ∴DF//平面ABE ；(Ⅱ)∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−2，√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，√3)， 设平面BEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， ∴{−a −2b +√3c =0−2a +√3c =0,令c =4，则a =2√3,b =√3，则平面BEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(2√3,√3,4)， 设平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√31×2=5√3131， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值是5√3131； (Ⅲ)设DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1,2，√3) =(−λ,2λ,√3λ)，λ∈[0,1]； ∴P(−λ,2λ,√3λ)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ−1,2λ−2,√3λ)，又平面ABE 的法向量为n ⃗ =(√3,0，1)，设直线BP 与平面ABE 所成角为α， ∴sinα=|cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√3(−λ√3λ|√(−λ−1)2+(2λ−2)2+(√3λ)2×2=√34， 化简得8λ2−6λ+1=0， 解得λ=12或λ=14；当λ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−1,√32)，∴|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2；当λ=14时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54,−32,√34)，∴|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2；综上，|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2．20.解：(Ⅰ)设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件B i (i =1,2)，由已知P(A)=14,P(B i )=45.X 的取值为0，2，3，4．则P(X =0)=1B 2)=P(A)P(B 1)P(B 2)=34×15×15=3100，P(X =2)=P(AB 1B 2)+P(AB 1B 2)=34×45×15+34×15×45=625，P(X =3)=P(A)=14，P(X =4)=P(AB 1B 2)=34×45×45=1225， X 的分布列为：X 的数学期望为：E(X)=0×3100+2×625+3×14+4×1225=315100=3.15． (Ⅱ)甲同学选择方案1通过测试的概率为P 1，选择方案2通过测试的概率为P 2，则P1=P(X=3)+P(X=4)=14+1225=73100=0.73，P2=P(B1B2)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=45×45+15×45×45+45×15×45=112125=0.896，∵P2>P1，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．21.解：(Ⅰ)抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1).可得4=2p，即p=2，可得抛物线C的方程为x2=−4y，准线方程为y=1；(Ⅱ)证明：抛物线x2=−4y的焦点为F(0,−1)，设直线方程为y=kx−1，联立抛物线方程，可得x2+4kx−4=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得x1+x2=−4k，x1x2=−4，直线OM的方程为y=y1x1x，即y=−x14x，直线ON的方程为y=y2x2x，即y=−x24x，可得A(4x1,−1)，B(4x2,−1)，可得AB的中点的横坐标为2(1x1+1x2)=2⋅−4k−4=2k，即有AB为直径的圆心为(2k,−1)，半径为|AB|2=12|4x1−4x2|=2⋅√16k2+164=2√1+k2，可得圆的方程为(x−2k)2+(y+1)2=4(1+k2)，化为x2−4kx+(y+1)2=4，由x=0，可得y=1或−3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,−3)．22.解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，则，导函数中2e x+1>0恒成立，当a≤0时，ae x−1<0恒成立，所以在x∈R上有，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；当a>0时，令0'/>，，令，解得，∴在上，f(x)单调递减，在上，f(x)单调递增．综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调递减，当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a )是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；(2)若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a≤0不符合题意；当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，函数有两个零点，f(x)的最小值必须小于0，由(1)知，，f(x)min<0，即，令，0'/>，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(1)=0，此时解得0<a<1．接下来说明0<a<1时f(x)存在两个零点：当x<0时，ae2x>0，(a−2)e x>a−2，此时f(x)>a−2−x，故f(a−2)>0，又f(x)在上单调递减，，故存在，使得f(x1)=0，当时，易证−x>−e x，此时f(x)>ae2x+(a−3)e x=ae x[e x+(a−3)a]，故，且满足，又f(x)在上单调递增，，故存在使得f(x2)=0，所以当0<a<1时，f(x)存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0,1)．。

专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。

高三下学期第七周数学周测试题一．选择题（共8小题，每小题5分）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，2]B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）2．当1＜m＜2时，复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（）A．B．C．D．4．已知m，n，s，t∈R*，m+n＝4，+＝9，其中m，n是常数，且s+t的最小值是，点M（m，n）是曲线﹣＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x﹣4y+6＝0B．4x﹣y﹣6＝0C．4x+y﹣10＝0D．x+4y﹣10＝0 5．已知0.5a＝5b＝3，则（）A．ab＜0＜a+b B．ab＜a+b＜0C．a+b＜ab＜0D．a+b＜0＜ab6．如图所示，△ABC的面积为，其中AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则λ+2μ的值为（）A．B．C．D．7．单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（）A．B．C．D．8．已知函数在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增（多选）10．下列选项中正确的是（）A．若平面向量，满足，则的最大值是5B．在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，则的值为4C．函数f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为，k∈Z D．已知P为△ABC内任意一点，若，则点P为△ABC的垂心（多选）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝S n+2a n+1，数列的前n项和为T n，n∈N*，则下列选项正确的是（）A．数列{a n+1}是等比数列B．数列{a n+1}是等差数列C．数列{a n}的通项公式为D．T n＞1（多选）12．如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于M，N 两点，过点M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M1，N1，准线l与x轴的交点为F1，则（）A．直线F1N与抛物线C必相切B．C．|F1M|•|F1N|＝|F1F|•|MN|D．|FM1|•|FN1|＝|FF1F|•|M1N1|三．填空题（共4小题，每小题5分）13．已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项和的最大值为．14．《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，，，若，则x+y+z ＝．15．已知函数f（x）＝在区间（a，a+）上存在极值，则实数a的取值范围是．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交于点A，B，O是坐标原点，且满足，S△AOB＝，则p＝（）A．2B．C．4D．高三下学期第七周数学周测试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，2]B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）【分析】可求出A＝{x|﹣2≤x≤2}，然后根据A∩B＝∅可得出a的范围．【解答】解：A＝{x|4﹣x2≥0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a+1}，且A∩B＝∅，∴a＞2或a+1＜﹣2，∴a＜﹣3或a＞2，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集和子集的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．当1＜m＜2时，复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：（3+i）+m（2﹣i）＝3+2m+（1﹣m）i，∵1＜m＜2，∴3+2m＞0，1﹣m＜0，∴复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点（3+2m，1﹣m）位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】建立平面直角坐标系，可得双曲线的渐近线方程，由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得a，b的关系，即可求得离心率．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，依题意，可得双曲线的渐近线方程为，由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得﹣11＝•（−13）即可得，则双曲线C的离心率为＝．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的渐近线、离心率，属于中档题．4．已知m，n，s，t∈R*，m+n＝4，+＝9，其中m，n是常数，且s+t的最小值是，点M（m，n）是曲线﹣＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x﹣4y+6＝0B．4x﹣y﹣6＝0C．4x+y﹣10＝0D．x+4y﹣10＝0【分析】由已知求出s+t取得最小值时m，n满足的条件，再结合m+n＝4求出m，n，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．【解答】解：∵，当且仅当，即取等号，∴，又m+n＝4，又m，n为正数，∴可解得，设弦两端点分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减得，∵x1+x2＝4，y1+y2＝4，∴，∴直线方程为，即x﹣4y+6＝0．故选：A．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合运用，属于中档题．5．已知0.5a＝5b＝3，则（）A．ab＜0＜a+b B．ab＜a+b＜0C．a+b＜ab＜0D．a+b＜0＜ab 【分析】化简得a＝log0.53＜0，b＝log53＞0，从而可得ab＜0，化简＝+，从而比较大小．【解答】解：∵0.5a＝5b＝3，∴a＝log0.53＜0，b＝log53＞0，∴ab＜0，＝+＝log35+log30.5＝log32.5，又∴0＜log32.5＜1，∴0＜＜1，∴ab＜a+b＜0，故选：B．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化及对数的运算，属于基础题．6．如图所示，△ABC的面积为，其中AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则λ+2μ的值为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式可求得BC，再根据AD为BC边上的高，求出BD，从而可得出点D的位置，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理求出λ，μ，即可得解．【解答】解：，所以BC＝3，因为AD为BC边上的高，所以，因为M为AD的中点，所以＝，又因为，所以，所以．故选：C．【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题．7．单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（）A．B．C．D．【分析】由题意首先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可．【解答】解：如图为单位正四面体A﹣BCD．过点A作面BCD的垂线交面于点E，F为外接球球心，则E为△BCD的中心，，∴．不妨设AF＝R．在Rt△BEF中，由勾股定理，得．即，解得．∴最大正三角形的边长为．故选：C．【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．8．已知函数在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由第4个正零点小于1，第4个正极值点大于等于1可解．【解答】解：，因为x∈（0，1），所以，又f（x）在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，所以，解得，所以实数ω的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了根据函数的零点和极值点求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增【分析】化简函数f（x），根据函数的单调性与对称性和周期性，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：函数f（x）＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin2x|，画出函数图象，如图所示；所以f（x）的对称轴是x＝，k∈Z；所以x＝是f（x）图象的对称轴，A正确；f（x）的最小正周期是，B正确；f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；x∈[，]时，2x∈[，π]，sin2x≥0，所以f（x）＝|sin2x|是单调减函数，D错误．故选：AB．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．（多选）10．下列选项中正确的是（）A．若平面向量，满足，则的最大值是5B．在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，则的值为4C．函数f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为，k∈ZD．已知P为△ABC内任意一点，若，则点P为△ABC的垂心【分析】对A选项，根据平面向量数量积的定义与性质，函数思想即可求解；对B选项，根据三角形外心的性质，向量的线性运算及向量数量积的几何定义即可求解；对C选项，根据正切函数的图象性质即可求解；对D选项，根据向量数量积的性质，三角形垂心的概念即可求解．【解答】解：对A选项，∵，∴＝＝＝＝≤＝5，∴的最大值是5，∴A选项正确；对B选项，∵在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，∴＝＝＝＝4，∴B选项正确；对C选项，令，可得x＝，k∈Z，∴f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为（，0），k∈Z，∴C选项错误；对D选项，∵，∴，∴，∴PB⊥CA，同理P A⊥BC，PC⊥AB，∴点P为△ABC的垂心，∴D选项正确．故选：ABD．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与性质，函数思想，三角形外心的性质，正切函数的图象性质，三角形垂心的概念，属中档题．（多选）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝S n+2a n+1，数列的前n项和为T n，n∈N*，则下列选项正确的是（）A．数列{a n+1}是等比数列B．数列{a n+1}是等差数列C．数列{a n}的通项公式为D．T n＞1【分析】由a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1可得，，可判断A，B的正误，再求出a n，可判断C的正误，利用裂项相消法求T n，可判断D的正误．【解答】解：因为S n+1＝S n+2a n+1，所以a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1，a n+1+1＝2a n+2，即，且a1+1＝2，所以数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确，B错误；所以，即，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：AC．【点评】本题考查了等比数列的判断和裂项相消求和，属于中档题．（多选）12．如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于M，N 两点，过点M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M1，N1，准线l与x轴的交点为F1，则（）A．直线F1N与抛物线C必相切B．C．|F1M|•|F1N|＝|F1F|•|MN|D．|FM1|•|FN1|＝|FF1F|•|M1N1|【分析】选项A，联列方程，整理成y的一元二次方程，用判别式判定是否恒为零即可；选项B，由•＝4m2≥0知，选项B正确；选项C，计算得|F1F||MN|＝8m2+8，|F1M||F1N|＝4m2+8，两式不恒等，故C不正确；选项D，先计算•，从而得⊥，由等面积法知选项D正确．【解答】解：由已知F（1，0），F1（﹣1，0），设过点F的直线方程为：x＝my+1，设点M（my1+1，y1），N（my2+1，y2），则M1（﹣1，y1），N1（﹣1，y2），F1（﹣1，0），由，得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，选项A：直线F1N的方程为y＝（x+1），联立方程组得：，所以y2﹣4[（m+）y﹣1]＝0，Δ＝16（m+）2﹣16不恒为零，故选项A不正确；选项B：由题得＝（my1+2，y1），＝（my2+2，y2），而•＝m2y1y2+2m（y1+y2）+4+y1y2＝4m2≥0，所以cos＜•＞＝≥0，所以∠MF1N≤，故B正确；选项C：|F1F|＝2，|MN|＝|x1+x2+2|＝|m（y1+y2）+4|＝4m2+4，所以|F1F||MN|＝8m2+8；|F1M|2＝（my1+2）2+y12，|F1N|2＝（my2+2）2+y22，所以|F1M|2•|F1N|2＝[（my1+2）（my2+2）]2+y22（my1+2）2+y12（my2+2）2+y12y22＝（4m2+4）2﹣32m2+64m2+48＝16（m2+2）2，所以|F1M||F1N|＝4（m2+2）＝4m2+8，所以选项C不正确；选项D：∵＝（﹣2，y1），＝（﹣2．y2），∴•＝4+y1y2＝4﹣4＝0，∴⊥，在△M1FN1中，S＝|M1N1|•|F1F|＝|FM1||FN1|，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查抛物线的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项和的最大值为8．【分析】由题意，分类讨论，求出数列的前5项，从而得出结论．【解答】解：已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项分别为0，﹣2，0，﹣2，0；或0，﹣2，﹣4，﹣2，0；或0，2，0，2，0；或0，2，4，2，0；故当{a n}前5项分别为0，2，4，2，0 时，前5项的和最大，为0+2+4+2+0＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查等差数列的定义，数列求和，属于基础题．14．《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，，，若，则x+y+z＝．【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【解答】解：由图可知：，又因为，所以，所以，所以，所以，．故答案为：．【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．15．已知函数f（x）＝在区间（a，a+）上存在极值，则实数a的取值范围是（，1）．【分析】求函数f（x）的导数，利用f′（x）＝0求出极值点，再结合题意列出不等式求解集即可．【解答】解：因为函数f（x）＝，x＞0，所以f′（x）＝﹣，令f′（x）＝0，解得x＝1，当f′（x）＞0，即0＜x＜1，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x＞1，函数单调递减，所以1是函数的极值点，又因为函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，所以a＜1＜a+，解得＜a＜1，所以实数a的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交于点A，B，O是坐标原点，且满足，S△AOB＝，则p＝（）A．2B．C．4D．【分析】过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，由AB＝3FB，丨AC丨＝2丨BD丨，求得丨BE丨，可得直线AB的方程，与抛物线联立方程，表示|AB|的长，进而可表示三角形的面积，根据面积求得p的值【解答】解：不妨设直线AB的斜率k＞0，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，过B作BE⊥AC于E，由AB＝3FB，∴＝2，丨丨＝2丨丨，即丨AC丨＝2丨BD丨，∴E为AC的中点，即丨AE丨＝丨AB丨，∴丨BE丨＝＝丨AB丨，由S△OAB＝S OAF+S OBF＝丨BE丨•丨OF丨＝p丨AB丨，S△OAB＝丨AB丨，∴由丨AE丨＝丨AB丨，则直线AB斜率为k AB＝±2，直线AB的方程y＝2（x ﹣1），，整理得：8x2﹣10px﹣8p2＝0，则x1+x2＝，则丨AB丨＝x1+x2+p＝+p，∴S△OAB＝（+p），∴（+p）＝，解得p＝2．【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属中档题．。