第二章 解三角形小结

解xxx的总结第1篇一、函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数.f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数.1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x )=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)= 0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.二、函数的极值1、函数的极小值：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 f=__x=__>0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2、函数的极大值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.三、函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数f(x )在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数f(x)的定义域;2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.五、求函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′(x)=0的根;3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况.六、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在(a，b)内的极值;2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.解xxx的总结第2篇其次，对其他的整个知识体系的版块有一个基本认识，可分为以下板块：函数的基本题型、函数与导数、三角函数相关内容、平面向量和空间向量、立体几何、数列、不等式、解析几何初步、圆锥曲线、统计与概率，选修内容不同省份安排不一样：极坐标、不等式、平面几何等。

解三角形知识点总结三角形是平面几何中的基本图形之一，具有丰富的性质和定理。

解三角形是指给定一些已知条件，求解出三角形的各个属性，如边长、角度、面积等。

在解三角形中，常用的知识点包括三角形的角度关系、三角形的边长关系、三角形的面积公式等。

一、三角形的角度关系：1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和为180度，即A+B+C=180°。

2.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于其对角的两个内角之和，即∠D=∠A+∠B或∠E=∠B+∠C或∠F=∠C+∠A。

3.三角形的角平分线定理：三角形的内角的角平分线相交于三角形的内心，且与三角形的边的交点到对边的距离相等。

4.三角形的等角定理：三角形的等边的角相等，等角的边相等，等边的边相等。

5.三角形的相似定理：存在三个角相等的三角形为相似三角形，相似三角形的三边成比例。

二、三角形的边长关系：1.三角形的直角定理：一个三角形中，如果一些角是直角，则其余两边的平方和等于斜边的平方。

2.三角形的余弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c对应的角为A、B、C，则有c²=a²+b²-2ab*cosC，其余两个角的余弦定理类似。

3.三角形的正弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c对应的角为A、B、C，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC。

三、三角形的面积公式：1.一般三角形的面积公式：假设三角形的三个边长分别为a、b、c，则其面积S可以通过海伦公式计算：S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s=(a+b+c)/2为半周长。

2.直角三角形的面积公式：假设直角三角形的两个直角边分别为a、b，则其面积S可以通过S=(1/2)*(a*b)计算。

3.正弦定理求面积：设三角形的一边长为a，对应的角为A，该边对应的高为h，则三角形的面积S可以通过S=(1/2)*a*h*sinA计算。

综上所述，解三角形的问题需要运用三角形的角度关系、边长关系和面积公式进行求解。

解三角形知识点小结一、知识梳理1.内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -sin sin A B A B >⇔>，cos cos A B A B >⇔<〔cos y x =在(0,)π上单调递减〕面积公式:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===设2a b cp ++=那么()()()S p p a p b p c =---在三角形中大边对大角，反之亦然.2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边化正弦)形式三：::sin :sin :sin a b c A B C =〔比的性质〕形式四：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===〔正弦化边〕3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A=+-2222cos b c a ca B =+- (遇见二次想余弦)2222cos c a b ab C =+-形式二：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=二、方法归纳(1)两角A 、B 与一边a,由A+B+C=π及sin sin sin a b cA B C ==，可求出角C ，再求b 、c.（2）两边及一角，用余弦定理。

（3）三边，用余弦定理。

（4）求角度，用余弦。

三、经典例题问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在ABC ∆中，假设5b =，4B π∠=,1sin 3A =，那么a = .【例2】在△ABC 中，a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c. 问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.1=a ，2=b ，41cos =C . 〔Ⅰ〕求ABC ∆的周长，〔Ⅱ〕求()C A -cos 的值.【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=- 【例4】〔2021重庆文数〕设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a bc .(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值. 假设条件改为：2223sin 3sin 3sin sin B C A B C +-=？ 2 .在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-c a b +2. 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设b=13，a+c=4，求△ABC 的面积. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】〔2021山东文数〕在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cos A-2cos C 2c-a=cos B b．〔I 〕求sin sin CA的值；〔II 〕假设cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【注】“边化正弦，正弦化边〞“余弦直接代入〞考虑以下式子：1cos 2a C c b+=，(2)cos cos a c B b C -=，(2)cos cos 0a c b b C -+=【例6】〔2021全国卷Ⅰ理〕在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【注】对条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。

解三角形知识点归纳总结三角形是平面几何中重要的图形之一，研究三角形的性质可以帮助我们解决各种几何问题。

下面对常见的三角形知识点进行归纳总结。

一、三角形的定义和分类1.三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。

2.根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

3.根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

二、三角形的性质和关系1.三角形的内角和等于180度。

2.等边三角形的三个角都是60度。

3.等腰三角形的两个底角相等。

4.直角三角形的一个角是90度。

5.顶角相等的两个等腰三角形是全等的。

6.等腰三角形的底边上的高是它的中位线、垂直线和角平分线。

7.等边三角形的高、中位线、垂直线和角平分线是重合的。

8.三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三、三角形的重要线段和关系1.三角形的重心：三条中线的交点，也是三条中线的重心。

2.三角形的垂心：三条高线的交点，也是三条高线的垂心。

3.三角形的外心：三个顶点关于其中一直线对称的焦点，也是三个外接圆的圆心。

4.三角形的内心：三条内角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。

5.等腰三角形的高、两边中线和角平分线等于底边。

6.直角三角形的斜边是其他两边的和。

四、三角形的面积计算1.根据底和高的关系，可以计算普通三角形的面积。

2.根据两边和夹角的关系，可以使用正弦定理、余弦定理和海伦公式计算三角形的面积。

五、三角形的相似与全等1.两个三角形如果对应的角相等，则它们是相似的。

2.两个三角形如果对应的边和角都相等，则它们是全等的。

3.相似三角形的边长比例相等，面积比例为边长比例的平方。

六、勾股定理1.直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。

2.勾股定理可以用于证明三角形是否为直角三角形，也可以用于计算三角形的边长。

七、三角函数1.正弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的对边与斜边之比。

2.余弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的临边与斜边之比。

解三角形知识点归纳总结归纳三角形是平面几何中的基本图形之一，是由三条边和三个顶点组成的多边形。

学习三角形的知识点对于解题和理解几何性质非常重要。

下面是关于三角形的知识点的归纳总结，包括定义、分类、性质和求解方法等内容。

一、三角形的定义和分类：1.定义：三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。

三角形的边可以是直线段，但必须满足三边相交于一点的条件。

2.分类：根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类：-按边长分类：-等边三角形：三条边相等的三角形。

-等腰三角形：两条边相等的三角形。

-普通三角形：没有边相等的三角形。

-按角度分类：-直角三角形：有一个角度为直角（90度）的三角形。

-钝角三角形：有一个角度大于直角（90度）的三角形。

-锐角三角形：三个角度都小于直角（90度）的三角形。

-按边长和角度分类：-等腰直角三角形：既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。

二、三角形的性质：1.内角和性质：三角形的三个内角之和等于180度。

2.外角性质：三角形的一个内角的补角等于与其不相邻的两个外角的和。

3.边长性质：-任意两边之和大于第三边。

-任意两边之差小于第三边。

4.等腰三角形性质：等腰三角形的两底边相等，两底角相等。

5.等边三角形性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60度。

6.直角三角形性质：直角三角形的一条边是其他两边的平方和的开方。

7.勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

8.三角形的中线性质：三角形三条中线的交点是三角形的重心，重心将中线按1:2的比例分成两段。

9.三角形的高线性质：三角形的高是从一个顶点向对边作垂线所得的线段，三角形三条高的交点是三角形的垂心。

三、三角形的求解方法：1.应用勾股定理求解直角三角形的边长。

2.应用正弦定理求解三角形的边长和角度。

3.应用余弦定理求解三角形的边长和角度。

4.应用海伦公式求解已知三边求三角形的面积。

5.利用相似三角形的性质解题。

6.利用三角形的中线、高线和角平分线的性质解题。

第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。

如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

解三角形知识点总结解三角形是数学中非常重要的一个知识点，涉及到计算角度和边长的方法。

在解三角形的过程中，我们需要运用多种方法和公式，通过观察和计算来确定三角形的未知量。

本文将对解三角形的一些基本概念、方法和公式进行总结和归纳。

一、三角形的基本概念三角形是由三条边和三个角所组成的一个几何图形。

根据三角形的边长和角度的不同，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等不同类型。

二、解三角形的基本方法1.已知两边和夹角如果我们已知两条边和它们之间的夹角，可以根据余弦定理来计算第三边的长度。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2ab*cosC其中，a和b分别表示已知的两条边的长度，C表示夹角的大小，c 表示未知边长。

2.已知两边和非夹角当我们已知两边和一个非夹角时，可以利用正弦定理来计算其他两个角的大小。

正弦定理的表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形对应的角度。

3.已知边长和高当我们已知一个边和它对应的高时，可以通过面积公式来计算另外两个未知量。

三角形的面积公式为：S = 1/2 * 底 * 高其中，底表示三角形的底边长度，高表示从底边到对应顶点的垂直距离。

三、特殊的三角形1.等边三角形等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个角都是60度。

2.等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（基角）是相等的。

3.直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，可以利用勾股定理来计算未知边长。

四、解三角形的实际应用解三角形的知识在实际应用中有很多重要的用途。

在地理学中，我们可以通过测量地球上两个点的经纬度来计算它们之间的距离和方位角。

在建筑学中，解三角形的方法可以用于测量高楼大厦的高度。

解三角形的知识也广泛应用于导航、航空和测量等领域中。

解三角形知识点总结一、正弦定理正弦定理是指在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。

正弦定理的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如，已知三角形的两角$A$、＄B$和一边$c$，则可以先通过三角形内角和为$180^｛＼circ}＄求出角$C$，然后利用正弦定理求出其他两边$a$和$b$。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。

此时需要注意可能会出现一解、两解或无解的情况。

二、余弦定理余弦定理是对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

对于边$a$，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$；对于边$b$，有$b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$；对于边$c$，有$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。

余弦定理的应用包括：1、已知三边，求三个角。

可以直接代入余弦定理的公式求出角的余弦值，进而得到角的大小。

2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

三、面积公式三角形的面积公式有多种形式，常见的有：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$2、＄S ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A$3、＄S ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些公式可以根据已知条件的不同灵活选择使用。

四、三角形中的常见结论1、大边对大角，大角对大边。

即三角形中，较长的边所对的角较大，较大的角所对的边较长。

2、三角形内角和为$180^｛＼circ}＄。

3、在锐角三角形中，＄＼sin A ＞＼cos B$；在钝角三角形中，若$A$为钝角，＄B$为锐角，则$＼sin A ＜＼cos B$。

高中数学解三角形知识点总结1500字高中数学中的三角形知识点非常重要，对于解题和理解概念都有着重要的作用。

下面是一个对于高中数学解三角形知识点的总结，包括三角形的性质、相似三角形、勾股定理、三角函数等内容。

一、三角形的基本概念及性质1. 三角形：由三条线段(即三边) 和它们的位置所决定的一个平面图形。

2. 三角形的分类：(1) 根据边的关系，可以分为等腰三角形、等边三角形、普通三角形；(2) 根据角的关系，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

3. 三角形的性质：(1) 三角形的三个内角的和为180°；(2) 任意一个角的补角和它的余角的和都等于90°；(3) 三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

二、相似三角形1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

2. 相似三角形的性质：(1) 对应两个角相等的两个三角形，对应的边成比例；(2) 如果两个三角形的对应两边成比例，那么对应的角相等。

3. 相似三角形的判定：(1) AA相似判定法：如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的；(2) SAS相似判定法：如果两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，那么这两个三角形是相似的；(3) SSS相似判定法：如果两个三角形的三个边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。

三、勾股定理1. 勾股定理的概念：直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边分别的平方的和。

2. 勾股定理的公式：a² = b² + c²。

3. 勾股定理的应用：(1) 判断三边长度是否满足勾股定理，从而判断三角形是否为直角三角形；(2) 利用勾股定理求解三角形的边长；(3) 通过勾股定理推导三角形的其他性质。

四、三角函数1. 三角函数的定义：三角函数是一种描述角度与边长之间关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。

解 三 角 形正弦定理要点1 正弦定理在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝csinC.要点2 解三角形三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题1.已知两角及一边解三角形，只有一解.2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.方法1:计算法.方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：要点3 正弦定理的变式CB A c b a sin :sin :sin ::)1(=RA aC B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )2(==++++=++=++=++A c C aB cC b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===B Cb A C ac A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===要点5 常用结论1．A ＋B ＋C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.5．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3.7.sin A ＝sin B ⇔A ＝B ； sin(A －B )＝0⇔A ＝B ； sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a<bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解（角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(===要点4 三角形的面积公式 Bac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆题型一 解三角形例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B.例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ；(2)A ＝60°，a ＝2，b ＝233，求B ；(3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B.题型二 判断三角形解的个数(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个(2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定(3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围【解析】 例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45°sin30°＝10 2.B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6×222＝32.又0°<A<180°，且a>b ，∴A>B.∴A ＝60°或120°.∴C ＝75°或C ＝15°. (2)由正弦定理，得sinB ＝bsinAa＝233×322＝22.∵a ＝2＝323>b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4×323＝23>1.∴这样的角B 不存在．练习(1)A ． (2) B. (3)2<x<2 2题型三 判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2tanA ，试判断△ABC 的形状．(2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ；(3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosCc.【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2sinAcosA.由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2BsinAcosA.∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B.∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)由已知a 2＝b 2＋c 2.∴A ＝90°，C ＝90°－B.由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝22(负值舍去)．∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形．(3)由已知，得cosA sinA ＝cosBsinB.∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB.∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形．题型四 正弦定理中的比例性质例4 (1)已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，求a －2b ＋csinA －2sinB ＋sinC.(2)在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求sinA ∶sinB ∶sinC ． 【解析】 (1)∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝1sin30°＝2，∴a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，c ＝2sinC.∴a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC＝2. (2)若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则存在常数k(k>0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k. ，则有a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3题型五 三角形的面积公式例5 (1)在△ABC 中，A ＝30°，c ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积． (2)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，求边AB 的长．(3)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，求θcos .(4)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.【解析】(1)由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝4sin30°3＝23.，∵c>a ，A 为锐角，∴角C 有两解．①当角C 为锐角时，cosC ＝1－sin 2C ＝53，sinB ＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin150°cosC －cos150°sinC ＝12·53＋32·23＝16(5＋23)， ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×3×4×16(5＋23)＝5＋23；②当角C 为钝角时，cosC ＝－53，sinB ＝sin(150°－C)＝16(23－5)， ∴S △A B C ＝12acsinB ＝23－ 5.综上可知：△ABC 的面积为23＋5或23－ 5.(2)在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·CA ·sinC ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC＝2.∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2.(3)∵S △ABC ＝12AB ·BCsin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.(4)因为cosB ＝2cos 2B2－1＝35，故B 为锐角，sinB ＝45.所以sinA ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝107，所以S ＝12acsinB ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余 弦 定 理要点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：C ab b a c cos 2222-+=；A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=要点2 余弦定理的推论bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 222-+= 要点3 由余弦定理如何判断三角形形状是锐角三角形是锐角是钝角三角形是钝角是直角三角形是直角ABC A c b a ABC A c b a ABC A cb a∆⇒⇔+∆⇔⇔+>∆⇔⇔+=<222222222要点4 利用余弦定理可以解决的问题（1）已知两边和夹角解三角形（2）已知两边及一边的对角解三角形 （3）已知三边解三角形题型一 已知两边和夹角解三角形例1 （1）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A.【解析】 方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.又b>a ，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得sinA ＝a c sinC ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°.方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3.∴c ＝6－ 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A<180°，∴A ＝30°.题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a.（2）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形． 【解析】（1）方法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°.∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理，得sinA ＝asinBb＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二：由b<c ，B ＝30°，b>csin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝33×123＝32.∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.（2）由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得22＝(2)2＋c 2－22ccos45°， c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)．∴c ＝1＋ 3.cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3）＝32.∴B ＝30°，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.题型三 已知三边解三角形例3 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sinC.【解析】 ∵a>c>b ，∴A 为最大角．∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A<180°，∴A ＝120°.∴sinA ＝sin120°＝32. 由正弦定理，得sinC ＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A 为120°，sinC ＝5314. 题型四 判断三角形的形状 例4 （1）在△ABC 中，cos 2A2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．（2）在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cosA ·sinB ＝sinC ，试确定△ABC的形状．【解析】（1）方法一：在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cosA 2＝b 2c ＋12，∴cosA ＝b c.又由余弦定理知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．方法二：由方法一知cosA ＝b c ，由正弦定理，得b c ＝sinB sinC，∴cosA ＝sinBsinC .∴sinCcosA ＝sinB ＝sin[180°－(A ＋C)]＝sinAcosC ＋cosAsinC.∴sinAcosC ＝0，∵A ，C 是△ABC 的内角，∴sinA ≠0.∴只有cosC ＝0，∴C ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．（2）方法一(角化边)：由正弦定理，得sinC sinB ＝cb.由2cosA ·sinB ＝sinC ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c 2b .cosA ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc.即c 2＝b2＋c 2－a 2，∴a ＝b.又∵(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，∴(a ＋b)2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c. ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(边化角)：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin(A ＋B)．又∵2cosA ·sinB ＝sinC ，∴2cosA ·sinB ＝sinA ·cosB ＋cosA ·sinB. ∴sin(A －B)＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B.又由(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，得(a ＋b)2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab.即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝12.而0°<C<180°，∴C ＝60°.又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．1．2 应用举例(第一课时)解三角形的实际应用举例要点1 基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．要点2 仰角和俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，要点3 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.要点4 方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°；正南方向：指目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向．要点5 坡度坡面的铅直高度和水平宽度L 的比叫做坡度(或叫做坡比)．即坡角的正切值.要点6 测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝a2＋b2－2abcosC AB＝asinCsin（B＋C）①AC＝asin∠ADCsin（∠ACD＋∠ADC）②BC＝asin∠BDCsin（∠BCD＋∠BDC）③AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB要点7测量高度的基本类型及方案类别点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝a1tan∠ACB－1tan∠ADBAB＝asin∠BDC×tan∠ACBsin（∠BCD＋∠BDC）题型一 有关距离问题例1 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【解析】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5，∴A ，B 之间的距离为 5 km.题型二 测量高度例2 A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD. 【解析】 如图，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以，山高CD 为2 186 m.题型三 测量角度例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．【解析】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t. 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°， 可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t 2－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°.所以sin ∠CAB ＝BCsin120°AB ＝10×32103＝12.所以∠CAB ＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°.1．2 应用举例(第二课时)题型一 有关面积问题三角形面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12 bc sin A ＝12 ac sin B .(3)S ＝12·r ·(a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径 )．(4),))()((c p b p a p p S ---=其中2cb a p ++=例1 （1）已知△ABC 的面积为1，tanB ＝12，tanC ＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.①若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； ②若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．【解析】（1） ∵tanB ＝12，∴0<B<π2.∴sinB ＝55，cosB ＝255.又∵tanC ＝－2，∴π2<C<π.∴sinC ＝255，cosC ＝－55.则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵a sinA ＝b sinB ，∴a ＝bsinA sinB ＝35b.则S △ABC ＝12absinC ＝12·35b 2·255＝1. 解得b ＝153，于是a ＝ 3.再由正弦定理，得c ＝asinC sinA ＝2153. ∵外接圆的直径2R ＝a sinA ＝533，∴R ＝536.∴外接圆的面积S ＝πR 2＝25π12.（2）①∵S ＝12absinC ＝12ab ·32＝3，∴ab ＝4. ①∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ＝(a ＋b)2－12＝4，∴a ＋b ＝4. ② 由①②可得a ＝2，b ＝2.②∵sinB ＝2sinA ，∴b ＝2a.又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433.∴S ＝12absinC ＝233题型二 正余弦定理的综合问题例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC.①求A 的大小；②求sinB ＋sinC 的最大值．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【解析】 (1)①由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故cosA ＝－12，∴A ＝120°.②由(1)，得sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(60°－B)＝32cosB ＋12sinB ＝sin(60°＋B)． 故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1.(2)由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC. ∴sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理，得sinB ＝bc sinC.故b ＝4ccosA.② 由①②解得b ＝4.例3 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)①求cos ∠CAD 的值；②若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】(1)①在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.②设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD)＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.(2)①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314.②在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.题型三 证明恒等式例4 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sinC.(2)在△ABC 中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A －B)＝a 2－b2c .(3)已知在△ABC 中，a 2＝b(b ＋c)，求证：A ＝2B.【证明】 (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ， 两式相减，得a 2－b 2＝b 2－a 2－2bccosA ＋2cacosB.∴a 2－b 2c 2＝acosB －bcosAc.由正弦定理，知a c ＝sinA sinC ，b c ＝sinB sinC .∴a 2－b 2c 2＝sinAcosB －sinBcosA sinC ＝sin （A －B ）sinC .(2)由正弦定理的变形形式：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R 及由等号左边的a 2，b 2，c 2，运用余弦定理进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB －cosAsinB)＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2－b2c ＝右边．(3)方法一：∵a 2＝b(b ＋c)，根据正弦定理，得sin 2A ＝sinB(sinB ＋sinC)，即sin 2A －sin 2B ＝sinBsinC. ∴cos2B －cos2A2＝sinBsinC.∴sin(A ＋B)sin(A －B)＝sinBsinC.又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sinC ≠0，∴sin(A －B)＝sinB.∴A －B ＝B 或(A －B)＋B ＝π(舍去)．∴A ＝2B. 方法二：2bcosB ＝2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝b （c 2＋bc ）ac ＝b （b ＋c ）a ＝a ，即2bcosB ＝a ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBcosB ，即sinA ＝sin2B.∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C.由a 2＝b(b ＋c)，知a 2＝b 2＋c 2. ∴B ＝C ＝π4，A ＝π2，∴A ＝2B.。

第十课时《解三角形》本章小结与复习一、教学目标：1、熟练掌握三角形中的边角关系：掌握边与角的转化方法；掌握三角形的形状判断方法。

2、通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向杰斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。

3、注重思维引导及方法提炼，展现学生的主题作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心。

二、教学重难点：重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形。

难点：正弦定理、余弦定理的灵活应用，及将实际问题转化为数学问题并能正确地解出这个数学问题。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（二）、知识归纳1.解三角形常见类型及解法(1)已知一边和两角,利用正弦定理求其它边和角;(2)已知两边和夹角,利用余弦定理求其它边和角;(3)已知三边,利用余弦定理求其它的角;(4)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求其它边和角,注意有两解和一解的情形. 2.三角形解的个数的确定： 已知两边和其中一边的对角不能确定唯一的三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形理解.3.三角形形状的判定方法： 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.4.解三角形应用题的基本思路： 解三角形应用题的关键使将实际问题转化为解三角形问题来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属于哪种类型的问题,然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答. （三）例题探析例1、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π， AB∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，， ∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin ABC AB C==．所以，最小边BC = 例2、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 例3、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan cos C C C =∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5c o s 2a b C ∴=， 20ab ∴=．又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．例4、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例5、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解三角形知识点归纳总结一、基本概念三角形：由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

三角形的元素：三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c。

二、三角形的分类按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

锐角三角形：三个内角都小于90度。

直角三角形：有一个内角等于90度。

钝角三角形：有一个内角大于90度。

按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

等腰三角形：两边相等的三角形，相等的两边称为腰，另一边称为底边。

等边三角形：三边都相等的等腰三角形，也是特殊的等腰三角形。

三、三角形的性质三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。

三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。

四、解三角形的常用定理和公式正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中R是三角形的外接圆半径。

余弦定理：c² = a² + b² - 2ab·cosC（以及针对其他角的类似公式）。

面积公式：S = 1/2 * bc * sinA（以及针对其他角的类似公式），或者S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]，其中p是半周长，即p = (a + b + c) / 2。

五、解三角形的过程解三角形通常涉及已知三角形的几个元素（如两个角和一条边，或三条边等），然后利用上述定理和公式求出其他未知元素的过程。

六、应用解三角形在实际问题中有广泛应用，如在航海、测量、地理、工程等领域中，经常需要利用三角形的性质进行角度和距离的计算。

通过学习和掌握这些知识点，可以更深入地理解三角形的性质和应用，为解决实际问题提供有力工具。

同时，解三角形也是培养逻辑思维和空间想象能力的重要途径。

解三角形知识点总结三角形是几何学中一种重要的图形，本文将总结解三角形的知识点。

解三角形指的是根据已知条件，求解三角形的各个元素，如边长、角度等。

在解三角形时，我们可以运用不同的数学方法和定理，下面将从几何关系和三角函数两方面进行总结。

一、几何关系 1. 角的和与差三角形内角的和为180度，即三个内角之和等于180度。

当我们已知其中两个内角的大小时，可以用180度减去这两个已知角的和，即可得到第三个未知角的大小。

2.直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。

在直角三角形中，我们可以运用勾股定理来求解边长，即a² + b² = c²，其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。

3.等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角的大小相等，可以用底角的角度来求解。

4.正弦定理正弦定理是解三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边长。

正弦定理表达式为a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应边的角度。

5.余弦定理余弦定理也是解三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边长。

余弦定理表达式为c² = a² + b² -2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹在a和b两边的角度。

二、三角函数 1. 正弦函数正弦函数是三角函数中常用的函数之一，用于求解三角形的边长和角度。

在三角形中，正弦函数的定义为sinA = 对边/斜边，也可表示为sinA = a/c。

通过已知条件，我们可以利用正弦函数来求解三角形的其他元素。

2.余弦函数余弦函数是三角函数中常用的函数之一，也用于求解三角形的边长和角度。

在三角形中，余弦函数的定义为cosA = 邻边/斜边，也可表示为cosA = b/c。

通过已知条件，我们可以利用余弦函数来求解三角形的其他元素。

3.正切函数正切函数是三角函数中常用的函数之一，用于求解三角形的角度。

解三角形知识点总结解三角形向来是数学中的一个考点，那么相关的解三角形知识点又有什么呢?下面是推荐给大家的解三角形知识点总结，希望能带给大家帮助。

解三角形知识点总结解三角形定义：一般地,高中历史，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

主要方法：正弦定理、余弦定理。

解三角形常用方法：已知一边和两角解三角形：已知一边和两角(设为b、A、B)，解三角形的步骤：2.已知两边及其中一边的对角解三角形：已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判断是否有解，例如在中，已知，问题就无解。

如果有解，是一解，还是两解。

解得个数讨论见下表：3.已知两边及其夹角解三角形：已知两边及其夹角(设为a,b,C)，解三角形的步骤：4.已知三边解三角形：已知三边a，b，c，解三角形的步骤：①利用余弦定理求出一个角;②由正弦定理及A +B+C=&pi;，求其他两角.5.三角形形状的判定：判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，要特别注意等腰直角三角形与等腰三角形或直角三角形的区别，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：①利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状;②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数的恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B +C=&pi;这个结论，在以上两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.6.解斜三角形应用题的一般思路：(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等;(2)根据题意画出图形;(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答，。

解三角形知识点小结a :b :c si nA:si n B :si nC (比的性质)sin A — ,si nB — ,si nC—2R 2R2R (正弦化边)3•余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍..形式二:、知识梳理1.内角和定理: 在 ABC 中，ABC ；sin(A B)sin C ； cos(A B) cosCsin A sin B cos A cos BA B （ y COSX 在（0,）上单调递减）S ABC 面积公式： 1 1absinC bcsin A 2 21 acsin B2 S 「p(p a)(p b)(p c)在三角形中大边对大角，反之亦然 2.正弦定理：在一个三角形中 ，各边和它的所对角的正弦的比相等 形式一: 」b J 2Rsin A si nB sinC （解三角形的重要工具） 2Rsin A 形式二:2Rsin B 2RsinC（边化正弦）cos A、方法归纳b 2 2 2c ar cosB2bc2 2 , 2 a c bcosC2ac2 . 2 2a b c 2ab形式三: 形式四: 形式一:a 2b 2c 2 2bccosA b 22cacosB（遇见二次想余弦）b 2 2abcosC⑴已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=n 及sin A sinB sinC ，可求出角c,再求b 、c.(2 )已知两边及一角，用余弦定理。

(3 )已知三边，用余弦定理。

(4)求角度，用余弦。

三、经典例题问题一：利用正弦定理解三角形1【例1】在 ABC 中，若b 5， B , si nA —，则a .4 3【例2】在厶ABC 中，已知a= . 3 ,b= .2 ,B=45 ° ,求A 、C 和c.问题二：利用余弦定理解三角形1【例3】设 ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知a 1，b 2，cosC -.4(I)求 ABC 的周长，(n)求cos A C 的值.【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:2sin(A -)sin(B C -)(I )求sinA 的值；(n )求4L 的值.1 cos2A若条件改为：3sin 2B 3sin 2C 3sin 2A 4. 2sin BsinC ?(1)求角B 的大小；(2)若b= J3 , a+c=4,求厶ABC 的面积. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】(2011山东文数)在 ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为 a,b, c.已知令sinsin cos cos sinsin 2 2sin cos令cos cos cos msin sin cos2cos 2 sin 2, tan tan tan1 mta n tanc22cos2 1+cos2 cos =2 2sin.21 cos2 sin =2tan 22 tan 1 tan 2【例4】(2010重庆文数)设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c,且 3b 2 +3 c 2 -3 a ?=4 2 bc .2 .在厶 ABC 中, a 、b 、c 分别是角A, B , C 的对边，且cos B = b cosC 2a ccosA-2cos C 2c-a cosB1若cosB= - , VABC 的周长为5,求b 的长.4且 si nAcosC 3cos As in C,求 b【注】对已知条件(1) a 2 c 22b 左侧是二次的右侧是一次的，可以考虑余弦定理；而对已知条件 (2) si nAcosC3cosAs inC，化角化边都可以。