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2023年中考数学一轮复习考点过关解直角三角形的应用1. 3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果≈）2 1.4147 2.6462. 如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．3. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：23）4. 如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60︒的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里．(1)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；(2)渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15︒的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C 处，请问补给船能否在83分钟之内到达C3 1.73≈）5. 为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30︒，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60︒，求体温检测有效识别区域CD 段的长（结果保留根号）6. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1m ．参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83︒=，tan340.67︒≈3 1.73）7. 如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A ＝27°，∠B ＝31°，斜拉主跨度AB ＝368米．（1）过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，求CD 的长（结果精确到0.1）；（2）若主塔斜拉链条上的LED 节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC 上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.9：tan31°≈0.6）8. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:23i AB的长（结果保留根号）．9. 某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，地平线到一楼的垂直距离BC＝1米．（1）应在地面上距点B多远的A处开始斜坡施工？（精确到0.1米）（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）10. 如图，某城市的一座古塔CD 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量古塔CD 的高度，在点A 处测得塔尖点D 的仰角∠DAC 为31°，沿射线AC 方向前进35米到达湖边点B 处，测得塔尖点D 在湖中的倒影E 的俯角∠CBE 为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD （结果精确到0.1）．参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60．（结果精确到0.1）11. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB =17cm ，支撑板长CD =16cm ，底座长DE =14cm ，托板AB 联结在支撑板顶端点C 处，且CB =7cm ，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕D 点转动．如图2，若70,60DCB CDE ∠=︒∠=︒，求点A 到直线DE 的距离（精确到0.1cm ）（参考数值sin 400.64,cos400.77,tan 403 1.73︒︒︒≈≈≈）12. 图①是某车站的一组智能通道闸机，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC 和DEF 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC 和EF 均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC ＝∠DEF ＝20°，半径BA ＝ED ＝60cm ，点A 与点D 在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm ．求闸机通道的宽度，即BC 与EF 之间的距离（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．13. 如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90,m 楼间距为AB ．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3︒．1号楼在2号楼墙面上的影高为CA ，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7︒，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA ．已知42CD m =．（1）求楼间距AB ；（2）若2号楼共30层，层高均为3,m 则点C 位于第几层？ ( 参考数据:32.30.53,sin ︒≈32.30.85cos ︒≈，32.30.6355.70.83tan sin ︒≈︒≈，，55.70.5655.7 1.47cos tan ︒≈︒≈，)14. 如图，小明站在江边某瞭望台DE 的顶端D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°．若瞭望台DE 垂直于江面，它的高度为3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.75，坡长BC ＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE 的顶端D 到江面AB 的距离；（2）求渔船A 到迎水坡BC 的底端B 的距离．（结果保留一位小数）15. 如图，小锋将一-架4米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC （结果保留根号）（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B 向内移动多少米（结果精确到0.1米）？参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈．。
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-填空题专训及答案解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题填空题专训1、(2012大连.中考真卷) 如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为________m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．2、(2015阜新.中考真卷) 如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为________m（结果保留根号）．3、(2017庆云.中考模拟) 如图，从一艘船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC （观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离为________．（精确到1m）【参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7】4、(2019苏州.中考模拟) 如图，在楼顶点处观察旗杆测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆的高度为________．（结果保留根号）5、(2014嘉兴.中考真卷) 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为________ 米（用含α的代数式表示）．6、(2016宁波.中考真卷) 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为________m（结果保留根号）．7、(2018枣阳.中考模拟) 如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为________米（精确到0.1）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）．8、(2019孝感.中考真卷) 如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为60°，点的仰角为45°，点到建筑物的距离为米，则________米.9、(2017黄石.中考真卷) 如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为________米．（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）10、(2017番禺.中考模拟) 如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A，B，C在同一条直线上），则河的宽度AB约为________．11、(2019宝鸡.中考模拟) 如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点处飞机的飞行高度是米，从飞机上观测山顶目标的俯角是，飞机继续以相同的高度飞行米到地，此时观察目标的俯角是，则这座山的高度是________米（参考数据：，，）12、(2017.中考模拟) 如图，数学实习小组在高300米的山腰（即PH=300米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°，已知tan∠ABC= ，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥BC，则A，B两点间的距离为________米．13、(2020湖州.中考模拟) 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为________米．14、(2021浦东新.中考模拟) 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．15、(2022汕尾.中考模拟) 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为米，则荷塘的宽为米.（结果保留根号）16、(2021烟台.中考真卷) 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为米．（结果精确到1米，参考数据：，）17、(2021百色.中考真卷) 数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为米.18、(2021赤峰.中考真卷) 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为米．(结果保留整数，参考数据，，)19、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是m.20、如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为，则学校大门ME的高是米.解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题填空题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：。
2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。
若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长 ．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线； （2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式； （2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、 在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。
中考数学复习考点知识与题型专题讲义26 全等三角形的应用（提高篇）1．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝10米，请根据上述信息求标语CD的长度．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得标语CD的长度．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO与△CDO中，{∠ABO =∠CDOOB =OD ∠AOB =∠COD，∴△ABO ≌△CDO （ASA ），∴CD ＝AB ＝10m ．即标语CD 的长度是10m ．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．2．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，延长CE 至F ，使得CF ＝AE ．（1）依题意补全图形（图2）；（2）求证：BF ⊥CE ；（3）作CM ⊥AB 于点M ，连接FM ，若AC ＝a ，∠CAE ＝30°，求FM 的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）证明△ACE ≌△CBF （SAS ），推出∠AEC ＝∠F ＝90°，即可解决问题．（3）如图3中，连接EM ，设CF 交AB 于点O ．证明△MCE ≌△MBF （SAS ），推出ME ＝MF ，∠CME ＝∠BMF ，推出∠EMF ＝∠CMB ＝90°，推出FM =√22EF =√22（CF ﹣EC ），由此即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图2所示：（2）证明：∵CF ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACD ＝90°，∴∠ACE +∠BCF ＝90°，∠CAE +∠ACE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCF ，在△ACE 和△CBF 中，{AC =CB ∠CAE =∠BCF AE =CF，∴△ACE ≌△CBF （SAS ），∴∠AEC ＝∠F ＝90°，∴BF ⊥CF ．（3）如图3中，连接EM ，设CF 交AB 于点O ．在Rt △ACE 中，∵∠AEC ＝90°，AC ＝a ，∠CAE ＝30°，∴EC =12AC =12a ，AE =√3EC =√32a ，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，CM ⊥AB ，∴CM ＝AM ＝BM ．∵∠CMO ＝∠OFB ＝90°，∠COM ＝∠FOB ，∴∠MCO ＝∠MBF ，∵△ACE ≌△CBF ，∴CE ＝BF =12a ，AE ＝CF =√32a在△MCE 和△MBF 中，{CM =BM ∠MCE =∠MBF CE =BF，∴△MCE ≌△MBF （SAS ），∴ME ＝MF ，∠CME ＝∠BMF ，∴∠EMF ＝∠CMB ＝90°，∴FM =√22EF =√22（CF ﹣EC ）=√22（√32a −12a ）=√6−√24a ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED ＝AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．【分析】由已知可以得到∠ABC ＝∠BDE ，又CD ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．【解答】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA），∴DE＝BA．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．4．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A：②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．（1）河的宽度是5米．（2）请你说明他们做法的正确性．【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．【解答】证明：（1）由题意知，DE＝AB＝5米，即河的宽度是5米．故答案是：5．（2）如图，由题意知，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，{∠ABC =∠EDC =90°BC =DC ∠ACB =∠ECD∴Rt △ABC ≌Rt △EDC （ASA ）∴AB ＝ED ．即他们的做法是正确的．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．5．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB 无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB 垂直的岸边BF 上取两点C 、D 使CD ＝ CB ，再引出BF 的垂线DG ，在DG 上取一点E ，并使A 、C 、E 在一条直线上，这时测出线段 DE 的长度就是AB 的长．（1）按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程．【分析】（1）根据全等三角形的性质进行填空，构造全等三角形即可；（2）首先证明△ABC ≌△EDC ，进而可根据全等三角形对应边相等可得DE ＝AB ．【解答】解：（1）在与AB 垂直的岸边BF 上取两点C 、D 使CD ＝CB ，再引出BF 的垂线DG ，在DG 上取一点E ，并使A 、C 、E 在一条直线上，这时测出线段DE 的长度就是AB 的长． 故答案为：CB ，DE ；（2）由题意得DG ⊥BF ，∴∠CDE ＝∠CBA ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，{∠CDE =∠CBACB =CD ∠ACB =∠ECD，∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴DE ＝AB （全等三角形的对应边相等）．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形对应边相等．6．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A ，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A 水平距离为17米，高为3米的矮台B ，求旗杆的高度OM 和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN ．【分析】首先得出△AOE ≌△OBF （AAS ），进而得出CD 的长，进而求出OM ，MN 的长即可．【解答】解：作AE ⊥OM ，BF ⊥OM ，∵∠AOE +∠BOF ＝∠BOF +∠OBF ＝90°∴∠AOE ＝∠OBF在△AOE 和△OBF 中，{∠OEA =∠BFO∠AOE =∠OBF OA =OB，∴△AOE ≌△OBF （AAS ），∴OE ＝BF ，AE ＝OF即OE +OF ＝AE +BF ＝CD ＝17（m ）∵EF ＝EM ﹣FM ＝AC ﹣BD ＝10﹣3＝7（m ），∴2EO +EF ＝17，则2×EO ＝10，所以OE ＝5m ，OF ＝12m ，所以OM ＝OF +FM ＝15m又因为由勾股定理得ON ＝OA ＝13，所以MN ＝15﹣13＝2（m ）．答：旗杆的高度OM 为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出△AOE ≌△OBF 是解题关键．7．如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ，在△ABC 的顶点A ，C 处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t （s ）后，它们分别爬行到了D ，E 处，设DC 与BE 的交点为F ．（1）证明△ACD ≌△CBE ；（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC 与BE 所成的∠BFC 的大小有无变化？请说明理由．【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD ＝CE ，再利用“边角边”证明△ACD 和△CBE 全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC ＝∠ACD ，然后表示出∠BFC ，再根据等边三角形的性质求出∠ACB ，从而得到∠BFC ．【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A 、C 出发，速度相同，∴t （s ）后两只小蚂蚁爬行的路程AD ＝CE ，∵在△ACD 和△CBE 中，{AD =CE ∠A =∠ACB AC =CB，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）；（2）解：∵△ACD ≌△CBE ，∴∠EBC ＝∠ACD ，∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，＝180°﹣∠ACB，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BFC无变化．【点评】本题考查了全等三角形的应用，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，等边三角形的性质，根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE是证明三角形全等的关键．8．如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？【分析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM＝DB，AC＝MB，然后可求出AM的长，进而可得DB长；（2）利用路程除以速度可得时间．【解答】解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠DBA ＝90°，∴∠2+∠D ＝90°，∴∠1＝∠D ，在△CAM 和△MBD 中，{∠A =∠B∠1=∠D CM =MD，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM ＝DB ，AC ＝MB ，∵AC ＝3m ，∴MB ＝3m ，∵AB ＝12m ，∴AM ＝9m ，∴DB ＝9m ；（2）9÷0.5＝18（s ）．答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△CAM ≌△MBD ，掌握全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．9．小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝36°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝54°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB 是多少米？【分析】根据题意可得△CPD ≌△P AB （ASA ），进而利用AB ＝DP ＝DB ﹣PB 求出即可．【解答】解：∵∠CPD ＝36°，∠APB ＝54°，∠CDP ＝∠ABP ＝90°，∴∠DCP ＝∠APB ＝54°，在△CPD 和△P AB 中∵{∠CDP =∠ABPDC =PB ∠DCP =∠APB，∴△CPD ≌△P AB （ASA ），∴DP ＝AB ，∵DB ＝36，PB ＝10，∴AB ＝36﹣10＝26（m ），答：楼高AB 是26米．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△P AB 是解题关键．10．如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA ，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB ．（1）当他在甲房间时，测得MA ＝a ，NB ＝b ，求甲房间的宽AB ；（2）当他在乙房间时，测得MA ＝c ，NB ＝d ，且∠MP A ＝75°，∠NPB ＝45°①求∠MPN 的度数；②求乙房间的宽AB ．【分析】（1）证明△AMP ≌△BPN ，从而得到MA ＝PB ＝a ，P A ＝NB ＝b ，即可求出AB ＝P A +PB ＝a +b ；（2）①根据平角的定义即可求出∠MPN ＝60°；②根据PM ＝PN 以及∠MPN 的度数可得到△PMN 为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN ，MP 的长，可得到房间宽AB 和AM 长相等．【解答】解：（1）∵∠MPN ＝90°，∴∠APM +∠BPN ＝90°，∵∠APM +∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，{∠AMP =∠BPN∠MAP =∠PBN =90°MP =PN，∴△AMP ≌△BPN ，∴MA ＝PB ＝a ，P A ＝NB ＝b ，∴AB ＝P A +PB ＝a +b ；（2）①∠MPN ＝180°﹣∠APM ﹣∠BPN ＝60°；②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴cos15°=xMN=MAMP．∵△PNM为等边三角形，∴NM＝PM．∴x＝MA＝c．即乙房间的宽AB是c．【点评】此题考查了全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．11．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；（2）请模仿正方形情景下构造全等三角形的思路，利用构造全等三角形完成下题：如图2，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长（结果保留根号）．【分析】（1）由正方形的性质就可以得出△ADC ≌△ABE ，就可以得出CD ＝BE ；（2）在AB 的外侧作AD ⊥AB ，使AD ＝AB ，连结CD ，BD ，就可以得出△ADC ≌△ABE ，就有CD ＝BE ，在Rt △CDB 中由勾股定理就可以求出CD 的值，进而得出结论．【解答】解：（1）CD ＝BE ．理由：如图①∵四边形ABFD 和四边形ACGE 都是正方形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ；（2）如图②，在AB 的外侧作AD ⊥AB ，使AD ＝AB ，连结CD ，BD ，∴∠DAB ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°．∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD +∠ABC ＝45°+45°＝90°，即∠DBC ＝90°．∴∠CAE ＝90°，∴∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，即∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．∵AB ＝100m ，在直角△ABD 中，由勾股定理，得BD ＝100√2．∴CD =√1002+(100√2)2=100√3，∴BE ＝CD ＝100√3，答：BE 的长为100√3米．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．12．如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B和由C 向A 爬行，经过7分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，设DC 与BE 的交点为点F ．（1）求证：△ACD ≌△CBE ；（2）蜗牛在爬行过程中，DC 与BE 所成的∠BFC 的大小有无变化？请证明你的结论．【分析】（1）根据SAS 即可判断出△ACD ≌△CBE ；（2）根据△ACD ≌△CBE ，可知∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD ．【解答】（1）证明：∵AB ＝BC ＝CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE ＝AD ；∠A ＝∠BCE ＝60°，在△ACD 与△CBE 中，{AC =CB ∠A =∠BCE CE =AD，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）；（2）解：DC 和BE 所成的∠BFC的大小不变．理由如下：∵△ACD ≌△CBE ，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD ＝120°．【点评】本题考查全等三角形的应用及等边三角形的性质，难度适中，求解第二问时找出∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD 是关键．13．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足∠BAD＝2∠EAF关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（40√3−40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为40（√3+1）米．【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△F AE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD．【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵∠EAF ＝45°，即∠DAF +∠BEA ＝∠EAF ＝45°，∴∠GAF ＝∠F AE ，在△GAF 和△F AE 中，{AG =AE ∠GAF =∠FAE AF =AF，∴△AFG ≌△AFE （SAS ）．∴GF ＝EF ．又∵DG ＝BE ，∴GF ＝BE +DF ，∴BE +DF ＝EF ．【类比引申】∠BAD ＝2∠EAF ．理由如下：如图（2），延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠ABM ＝180°，∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中，{AB =AD ∠ABM =∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，∴∠EAB +∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，在△F AE 和△MAE 中，{AE =AE ∠FAE =∠MAE AF =AM，∴△F AE ≌△MAE （SAS ），∴EF ＝EM ＝BE +BM ＝BE +DF ，即EF ＝BE +DF ．故答案是：∠BAD ＝2∠EAF ．【探究应用】如图3，把△ABE 绕点A 逆时针旋转150°至△ADG ，连接AF ，过A 作AH ⊥GD ，垂足为H ．∵∠BAD ＝150°，∠DAE ＝90°，∴∠BAE ＝60°．又∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG ＝∠B ＝60°，又∵∠ADF ＝120°，∴∠GDF ＝180°，即点G 在 CD 的延长线上．易得，△ADG ≌△ABE ，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵AH ＝80×√32=40√3，HF ＝HD +DF ＝40+40（√3−1）＝40√3，故∠HAF ＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（√3−1）＝40（√3+1）（米），即这条道路EF的长为40（√3+1）．故答案是：40（√3+1）．【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD＝2∠EAF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．14．如图，小强在河的一边，要测河面的一只船B与对岸码头A的距离，他的做法如下：①在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上；②在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O；③画DF ⊥CD 使F 、O 、A 在同一直线上；④在线段DF 上找一点E ，使E 与O 、B 共线．他说测出线段EF 的长就是船B 与码头A 的距离．他这样做有道理吗？为什么？【分析】首先证明△ACO ≌△FDO ，根据全等三角形的性质可得AO ＝FO ，∠A ＝∠F ，再证明△ABO ≌△FEO ，进而可得EF ＝AB ．【解答】解：有道理，∵DF ⊥CD ，AC ⊥CD ，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵O 为CD 中点，∴CO ＝DO ，在△ACO 和△FDO 中{∠C =∠DCO =DO ∠AOC =∠DOF，∴△ACO ≌△FDO （ASA ），∴AO ＝FO ，∠A ＝∠F ，在△ABO 和△EOF 中{∠A =∠FAO =FO ∠AOB =∠FOE，∴△ABO ≌△FEO （ASA ），∴EF ＝AB ．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．15．如图，一个特大型设备人字梁，工人师傅要检查人字梁的AB 和AC 是否相等，但是他直接测量不方便，身边只有一个刻度尺（长度远远不够）．它是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ；②在BC 上取BD ＝CF ；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米，如果a ＝b ，则说明AB 和AC 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【分析】利用全等三角形的判定方法得出△BDE ≌△CFG （SSS ），进而得出答案．【解答】解：合理，理由：在△BDE 和△CFG 中，{BE =CG BD =CF DE =FG，∴△BDE ≌△CFG （SSS ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意正确得出对应边相等是解题关键．16．如图，在等边△ABC 的顶点B 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C 向A 和由B 向C 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、P 处，请问：（1）在爬行过程中，BD 和AP 始终相等吗？（2）在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 有变化吗？若无变化是多少度？【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠CAB ＝∠C ＝∠ABP ＝60°，AB ＝BC ，根据SAS 推出△BDC ≌△APB 即可．（2）根据△BDC ≌△APB 得出∠CBD ＝∠BAP ，根据三角形外角性质求出∠DQA ＝∠ABC ，即可求出答案．【解答】解：（1）在爬行过程中，BD 和AP 始终相等，理由是：∵△ABC 是等边三角形，∴∠CAB ＝∠C ＝∠ABP ＝60°，AB ＝BC ，在△BDC 和△APB 中，{BC =AB ∠C =∠ABP CD =BP，∴△BDC ≌△APB （SAS ），∴BD ＝AP ．（2）蜗牛在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 大小无变化，理由：∵△BDC ≌△APB ，∴∠CBD ＝∠BAP ，∴∠DQA ＝∠DBA +∠BAP ＝∠DBA +∠CBD ＝∠ABC ＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 大小无变化，始终是60°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质以及全等三角形的性质和判定的应用．注意证得△BDC≌△APB是关键．17．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求CDAD的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=√2BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，即可得到CD=√2AD，即CDAD=√2；（2）①由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2＝BP2+BC2，进而得出AP＝BC，再根据PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH＝90°；②由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C 的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=12∠BCD＝45°，又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BCEC=cos45°=√22，即CE=√2BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，∴CD=√2AD，∴CDAD=√2；（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD=√2a，BE＝a，∴AE＝（√2−1）a，如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（√2−1）a，设AP＝x，则BP=√2a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（√2−1）a]2+x2＝（√2a﹣x）2+a2，解得x＝a，即AP＝BC，又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH＝∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠APH+∠BPC＝90°，∴∠CPH＝90°；②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，又∵∠DCH＝∠ECH，∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．18．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC 、FC ．（1）∠B 与∠D 相等吗？请说明理由；（2）求证：EC ＝FC ．【分析】（1）结论∠B ＝∠D ，只要证明△ABC ≌△ADC 即可．（2）欲证明EC ＝FC ，只要证明△EBC ≌△FDC ，或△ACE ≌△ACF 即可．【解答】（1）解：结论∠B ＝∠D ．理由：连接AC ．在△ACB 和△ACD 中，{AC =AC BC =CD AB =AD，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）∴∠B ＝∠D（2）∵点E 与F 分别是AB 、AD 的重点∴BE =12AB ，DF =12AD ，∵AB ＝AD∴BE ＝DF ，在△EBC 和△FDC 中，{BE =DF ∠B =∠D BC =DC，∴△EBC ≌△FDC （SAS ）∴EC ＝FC ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据条件正确寻找全等三角形解决问题，属于基础题．19．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，点D 是BC 上一点，连接AD ，过点A 作AG ⊥AD ，在AG 上取点F ，连接DF ．延长DA 至E ，使AE ＝AF ，连接EG ，DG ，且GE ＝DF ．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出AB CG 的值．【分析】（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别在RT △ABH ，RT △AHC 中求出BH 、HC 即可．（2）如图1中，过点A 作AP ⊥AB 交BC 于P ，连接PG ，由△ABD ≌△APG 推出BD ＝PG ，再利用30度角性质即可解决问题．（3）如图2中，作AH ⊥BC 于H ，AC 的垂直平分线交AC 于P ，交BC 于M ．则AP ＝PC ，作DK⊥AB 于K ，设BK ＝DK ＝a ，则AK =√3a ，AD ＝2a ，只要证明∠BAD ＝30°即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ． ∴∠AHB ＝∠AHC ＝90°，在RT △AHB 中，∵AB ＝2√2，∠B ＝45°，∴BH ＝AB •cos B ＝2√2×√22=2， AH ＝AB •sin B ＝2，在RT △AHC 中，∵∠C ＝30°，∴AC ＝2AH ＝4，CH ＝AC •cos C ＝2√3，∴BC ＝BH +CH ＝2+2√3．（2）证明：如图1中，过点A 作AP ⊥AB 交BC 于P ，连接PG ， ∵AG ⊥AD ，∴∠DAF ＝∠EAC ＝90°，在△DAF 和△GAE 中，{AF =AE DF =EG， ∴△DAF ≌△GAE ，∴AD ＝AG ，∴∠BAP ＝90°＝∠DAG ，∴∠BAD ＝∠P AG ，∵∠B ＝∠APB ＝45°，∴AB ＝AP ，在△ABD 和△APG 中，{AB =AP ∠BAD =∠PAG AD =AG，∴△ABD ≌△APG ，∴BD＝PG，∠B＝∠APG＝45°，∴∠GPB＝∠GPC＝90°，∵∠C＝30°，∴PG=12GC，∴BD=12CG．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP＝PC，在RT△AHC中，∵∠ACH＝30°，∴AC＝2AH，∴AH＝AP，在RT△AHD和RT△APG中，{AH=APAD=AG，∴△AHD≌△APG，∴∠DAH＝∠GAP，∵GM⊥AC，P A＝PC，∴MA＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠MAH＝30°，∴∠DAM＝∠GAM＝45°，∴∠DAH＝∠GAP＝15°，∴∠BAD＝∠BAH﹣∠DAH＝30°，作DK⊥AB于K，设BK＝DK＝a，则AK=√3a，AD＝2a，∴ABAD=a+√3a2a=√3+12，∵AG＝CG＝AD，∴ABCG=√3+12．【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．20．如图，A，B，C，D，E，F，M，N是某公园里的8个独立的景点，D，E，B三个景点之间的距离相等；A，B，C三个景点距离相等．其中D，B，C在一条直线上，E，F，N，C在同一直线上，D，M，F，A也在同一条直线上．游客甲从E点出发，沿E→F→N→C→A→B→M游览，同时，游客乙从D点出发，沿D→M→F→A→C→B→N游览．若两人的速度相同且在各景点游览的时间相同，甲、乙两人谁最先游览完？请说明理由．【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABD＝∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AD，全等三角形对应角相等可得∠BDA＝∠BEC，再利用“角边角”证明△MBD和△NBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BM＝BN，然后求出两人游览路线长度相同．【解答】答：甲、乙两人同时浏览完．理由如下：∵D ，E ，B 三个景点之间距离相等，∴BD ＝BE ＝DE ．∴△BDE 是等边三角形．∴∠DBE ＝60°．同理，△ABC 也是等边三角形，∠ABC ＝60°．∴∠ABE ＝180°﹣∠DBE ﹣∠ABC ＝60°．∴∠DBE ＝∠ABC ＝∠ABE ．∴∠ABD ＝∠ABE +∠DBE ，∠CBE ＝∠ABE +∠ABC ．∴∠ABD ＝∠CBE ．在△ABD 和△CBE 中，{AB =CB∠ABD =∠CBE BD =BE，∴△ABD ≌△CBE （SAS ）．∴CE ＝AD ，∠BDA ＝∠BEC ．在△MBD 和△NBE 中，{∠BDA =∠BEC∠DBE =∠ABE BD =BE，∴△MBD ≌△NBE （ASA ）．∴BM ＝BN ．∴EC +AC +AB +BM ＝AD +AC +BC +BN ．∴沿E →F →N →C →A →B →M ，D →M →F →A →C →B →N 的距离相等，所以甲、乙两人同时浏览完．【点评】本题考查了全等三角形的应用，等边三角形的性质，利用两次三角形全等证明得到BM ＝BN是解题的关键．。
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣方向角问题-填空题专训及答案解直角三角形的应用﹣方向角问题填空题专训1、(2017大连.中考真卷) 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为________ n mile．（结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4）2、(2016大庆.中考真卷) 一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为________海里/小时．3、(2019辽阳.中考模拟) 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）.4、(2016丹东.中考模拟) 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于________ 度．5、(2018青浦.中考模拟) 将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是________．6、(2018滨州.中考模拟) 如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行20分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是________海里.7、(2017肥城.中考模拟) 如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10 海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时？8、(2018潍坊.中考真卷) 如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)9、(2020黄石.中考模拟) 周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛处观看李四在湖中划船（如图），小船从处出发，沿北偏东方向划行200米到处，接着小船向正南方向划行一段时间到处.在处李四观测张三所在的处在北偏西的方向上，这时张三与李四相距________米（保留根号）.10、(2018潜江.中考真卷) 我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B 上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+ ）n mile处，则海岛A，C之间的距离为________n mile．11、(2019广西壮族自治区.中考模拟) 如图，校园内一株树与地面垂直，两次测量它在地面的影长，第一次为太阳光线与地面成60°角时，第二次为太阳光线与地面成30°角时，两次影长差8米，则树高________米（结果保留根号）12、(2017阜康.中考模拟) 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________13、(2020宁波.中考模拟) 如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为________米(精确到1米，参考数据≈1．414，≈1．732)。
