天津市高考数学二轮复习 题型练9大题综合练检测 文

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+, 由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-, 直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln,即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=-,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=--若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos-+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件--则-的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.-17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A--,B--,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列-的前3项和,而---,即S n=-故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则--=0,即--由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,--=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则-所以即=2.故答案为2.10.-40解析(2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos-+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件--作出可行域如图,联立-解得A(3,2),-的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA=--=1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解(1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].----=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n=-=1+-设c n=-,且前n项和为T n,则T n=+…+-,①T n=+…+,②①-②,得T n=1++…+---=2-故T n=4--,S n=n+4--17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),于是可取n=(λ,-λ,1).则由可得-同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1,①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=,③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是-,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=-①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=->0,当x-时,f'(x)<0,则f(x)在区间-内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=-<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得--<ln由于n∈N*,则----<ln<e.。

最新中小学教学设计、试题、试卷专题能力训练 9三角函数的图象与性质一、能力打破训练1.为了获得函数y= sin-的图象,只要把函数y= sin 2x 的图象上全部的点()A. 向左平行挪动个单位长度B.向右平行挪动个单位长度C.向左平行挪动个单位长度D.向右平行挪动个单位长度2.设θ∈ R,则“-”是“sinθ<”的()A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件3.若将函数y= 2sin2x 的图象向左平移个单位长度 ,则平移后图象的对称轴为()A. x=(k∈Z )B. x=(k∈Z )C.x=(k∈Z )D.x=( k∈Z )4.(2018全国Ⅱ,理10)若f(x) = cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.π5.函数f( x)=A sin(ωx+φ)的图象对于直线 x= 对称 ,若它的最小正周期为π,则函数 f(x)的图象的一个对称中心是()A. B.C. D. -6.在平面直角坐标系xOy 中 ,角α与角β均以 Ox 为始边 ,它们的终边对于 y 轴对称 .若 sin α= ,则cos(α-β)=.7.定义一种运算:(a1,a2)? (a3,a4)=a 1a4-a2 a3,将函数 f(x)= ( ,2sin x)? (cos x,cos 2x)的图象向左平移n(n> 0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n 的最小值为.8.函数f( x)=A sin( ωx+ φ)的部分图象以下图,则f(x)=.9.已知函数f(x)= sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数 g(x)= λsin xcos x+ sin2x 的图象的一条对称轴是.(写出此中的一条即可 )10.已知函数f(x)= sin2x-cos2x-2 sin xcos x(x∈R ).(1) 求 f的值 ;(2) 求 f(x)的最小正周期及单一递加区间.11.已知函数22- ,x∈R . f(x)= sin x-sin(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2) 求 f(x)在区间-上的最大值和最小值.二、思想提高训练12.以下图是函数f( x)= 2sin(ωx+ φ)(ω> 0,0≤ φ≤ π)的部分图象 ,此中 A,B 两点之间的距离为5,则 f(-1)等于()A.2B.C.-D.-213.设函数f(x)= 2sin(ωx+φ),x∈ R,此中ω>0,|φ|<π,若f= 2,f= 0,且 f(x)的最小正周期大于2π,则()A. ω= ,φ=B. ω= ,φ=-C.ω= ,φ=-D.ω= ,φ=14.函数y=-的图象与函数y= 2sin πx(-2≤ x≤ 4)的图象全部交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.815.假如两个函数的图象平移后可以重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数 .给出以下四个函数 :①f(x)= sin x+ cos x;② f(x)=(sin x+ cos x);③f(x)= sin x;④f(x)=sin x+ .此中为“互为生成”函数的是.(填序号 )16.如图,在同一个平面内,向量的模分别为 1,1,与的夹角为α,且 tan α= 7,与的夹角为 45° .若=m+n (m,n∈R ),则 m+n=.17.已知函数伸长到本来的f(x)的图象是由函数2 倍 (横坐标不变g( x)= cos x 的图象经以下变换获得:先将),再将所获得的图象向右平移个单位长度g(x)图象上全部点的纵坐标.(1)求函数 f(x)的分析式 ,并求其图象的对称轴方程 ;(2) 已知对于x 的方程 f(x)+g (x)=m 在 [0,2 π)内有两个不一样的解α,β.①务实数 m 的取值范围 ;②证明 :cos(α-β)=-1.专题能力训练9三角函数的图象与性质一、能力打破训练1.D分析由题意 ,为获得函数 y=sin-= sin- ,只要把函数 y= sin 2x 的图象上全部点向右平行挪动个单位长度 ,应选 D .2.A分析当 -时 ,0< θ< ,∴ 0< sin θ<∴-是“sin θ<的充足条件 .当θ=- 时 ,sin θ=-,但不知足-∴-不是“sin θ<的必需条件 .∴-是“sin θ<的充足而不用要条件.应选 A.3.B分析由题意可知 ,将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移个单位长度得 y= 2sin= 2sin的图象 ,令 2x++k π(k∈Z ),得 x=(k∈Z ).应选 B .4.A分析 f(x)=cos,图象以下图 ,要使 f(x)在 [-a,a] 上为减函数 ,a 最大为5.B分析由题意知 T= π,则ω= 2.由函数图象对于直线 x= 对称 ,得 2+ φ= +k π(k∈Z ),即φ=- +k π(k∈Z ).∵|φ|<∴∴,φ=- , f(x)=A sin-令 2x-=k π(k∈Z ),则 x=(k∈Z ).∴函数 f(x)的图象的一个对称中心为应选 B.6.-分析方法 1:由于角α与角β的终边对于y 轴对称 ,依据三角函数定义可得 sin β=sin α= ,cos β=- cos α,所以 ,cos(α-β)= cos αcos β+ sin αsin β=-=-方法 2:由角α与角β的终边对于 y 轴对称可得β= (2k+ 1)π-α,k∈Z ,则 cos(α-β)= cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α= 2sin2α-1= 2-1=-7分析 f(x)=cos 2x-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x= 2cos,将 f(x) 的图象向左平移n 个单位对应的函数分析式为f(x)= 2cos= 2cos,要使它为偶函数 ,则需要2n+ =k π(k∈Z ),所以 n=(k∈Z ).由于 n> 0,所以当 k= 1 时 ,n 有最小值8sin分析由题意得 A=,函数的周期为 T= 16.∵T= ,∴ω= ,此时 f(x)= sin由 f(2) = ,即 sin= sin= 1,则 + φ= 2kπ+ ,k∈Z,解得φ= 2kπ+ ,k∈Z.∵|φ|< ,∴φ= ,∴函数的分析式为f( x)=sin9.x=- (答案不独一)分析将点代入f(x)= sin x+λcos x,得λ=-g(x)=-sin xcos x+sin2x=-sin 2x+cos 2x= -sin,令 2x+ =k π+ ,k∈Z ,得 x=,k∈Z.由 k=- 1,得 x=-10.解(1)由sin,cos =- ,f--2- ,得 f= 2.(2)由 cos 2x= cos2x-sin2x 与 sin 2x=2sin xcos x 得 f(x)=- cos 2x- sin 2x=- 2sin所以 f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤ 2x++ 2kπ,k∈Z ,解得 +k π≤ x+k π,k∈Z ,所以 ,f(x)的单一递加区间是(k∈Z ).11.解(1)由已知,有最新中小学教学设计、试题、试卷---f(x)==cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin-所以 ,f(x)的最小正周期T== π.(2)由于f(x)在区间--上是减函数,在区间-上是增函数,f -=- ,f -=- ,f所以 f(x)在区间-上的最大值为,最小值为-二、思想提高训练12.A分析设函数 f(x)的最小正周期为 T,由于 A,B 两点之间的距离为5,所以= 5,解得T= 6.所以ω=又图象过点 (0,1), 代入得 2sin φ= 1,所以φ= 2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z ).又 0≤φ≤ π,所以φ=或φ=所以 f(x)= 2sin或 f(x) =2sin对于函数 f(x)= 2sin,当 x 稍微大于0 时,有 f(x)> 2sin = 1,与图象不符 ,故舍去 .综上 ,f(x)= 2sin故 f(-1)= 2sin -= 2.13.A分析由题意可知 ,> 2π,,所以< 1.所以清除 C,D .当ω= 时 ,f= 2sin= 2sin=2,所以 sin= 1.所以+ φ= + 2kπ,即φ= + 2kπ(k∈Z ).由于 |φ|< π,所以φ=应选 A.最新中小学教学设计、试题、试卷14.D分析函数y1=,y2= 2sin πx 的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.-当 1<x ≤ 4 时 ,y1< 0,而函数 y2在 (1,4)上出现 1.5 个周期的图象 ,在和上是减函数 ;在和上是增函数 .所以函数 y1在 (1,4)上函数值为负数 ,且与 y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地 ,y1在 (-2,1)上函数值为正数 ,且与 y2的图象有四个交点A,B,C,D,且 x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D +x E= 2,故所求的横坐标之和为8.15.①④分析第一化简题中的四个分析式可得:①f(x)=sin,②f(x)= 2sin,③f( x)= sin x,④f(x)=sin x+可知③f(x)= sin x 的图象要与其余的函数图象重合,纯真经过平移不可以达成 ,一定经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)= sin x 不可以与其余函数成为“互为生成”函数 ;同理①f(x)=sin的图象与②f(x)= 2sin的图象也一定经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=sin x+的图象可以向左平移个单位 ,再向下平移个单位即可获得① f(x)=sin的图象 ,所以①④为“互为生成”函数 .16.3分析||=||= 1,||=,由 tan α= 7,α∈ [0,π]得 0<α< ,sin α> 0,cos α> 0,tan α=,sinα= 7cos α,又 sin 2α+ cos2α= 1,得 sin α=,cos α== 1,= cos=- ,得方程组-解得所以 m+n= 3. -17.(1)解将g(x)= cos x的图象上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍(横坐标不变 )获得 y= 2cos x 的图象,再将 y= 2cos x 的图象向右平移个单位长度后获得y= 2cos-的图象 ,故 f(x)= 2sin x.进而函数 f(x)= 2sin x 图象的对称轴方程为x=k π+(k∈Z ).(2)①解 f(x) +g (x) =2sin x+cos x==sin(x+ φ) 此中依题意 ,sin(x+ φ)=在[0,2π)内有两个不一样的解α,β当且仅当< 1,最新中小学教学设计、试题、试卷故 m 的取值范围是(-).,②证法一由于α,β是方程sin(x+ φ)=m 在 [0,2π)内的两个不一样的解所以sin(α+φ)=,sin( β+φ)=.当 1≤m<时 ,α+ β= 2-,即α-β= π-2(β+ φ);当 - <m< 1 时 ,α+ β= 2-,即α-β= 3π-2(β+ φ),所以 cos(α-β)=- cos 2(β+ φ)= 2sin2(β+ φ)-1= 2-1=-1.,证法二由于α,β是方程sin(x+ φ)=m 在 [0,2 π)内的两个不一样的解所以 sin(α+φ)= ,sin( β+φ)=.当 1≤m<时 ,α+ β= 2-,即α+ φ= π-(β+ φ);当 -<m< 1 时 ,α+ β= 2-,即α+ φ= 3π-(β+ φ).所以 cos(α+ β)=- cos(β+ φ).于是 cos(α-β)= cos[(α+φ) -(β+ φ)]= cos(α+ φ)cos(β+ φ)+ sin(α+ φ)sin(β+ φ)2=- cos (β+ φ)+ sin(α+ φ)sin( β+ φ)=- --1.。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=-,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=--若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos-+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件--则-的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.-17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A--,B--,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列-的前3项和,而---,即S n=-故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则--=0,即--由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,--=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则-所以即=2.故答案为2.10.-40解析(2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-π.12.2解析∵4ρcos-+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件--作出可行域如图,联立-解得A(3,2),-的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA=--=1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解(1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].----=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n=-=1+-设c n=-,且前n项和为T n,则T n=+…+-,①T n=+…+,②①-②,得T n=1++…+---=2-故T n=4--,S n=n+4--17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),于是可取n=(λ,-λ,1).则由可得-同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1,①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=,③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是-,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=-①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=->0,当x-时,f'(x)<0,则f(x)在区间-内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=-<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得--<ln由于n∈N*,则----<ln<e.。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分)1.设全集为R，集合A={x∈R｜x2〈4}，B=｛x|—1〈x≤4},则A∩（∁R B）=（）A。

（—1，2）B.(—2，—1）C。

（-2,—1］D.(—2，2)2。

若复数z=,其中i为虚数单位，则=（)A。

1+i B。

1-iC.-1+i D。

—1-i3。

函数f（x)=sin(-2x）的一个递增区间是()A.B。

C.D.4。

设S n为等比数列{a n｝的前n项和，8a1-a4=0，则=（）A。

—8 B.8C。

5 D。

155.已知命题p:∃x0∈R,使；命题q:∀x∈,tan x〉sin x。

下列是真命题的是()A。

( p）∧q B.（ p)∨（ q)C.p∧（ q) D。

p∨( q)6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入x的值为1，则输出y的值为（)A.2B.7 C。

8 D.1287。

已知双曲线=1(a>0，b〉0),斜率为1的直线截得的弦的中点为（4,1)，则该双曲线离心率的值是（)A。

B.C.D。

28.已知函数f（x）=若f(1）+f（a）=2,则a的所有可能值为(）A.1 B。

—C.1，—D。

1,第Ⅱ卷(非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分,共30分）9。

已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1，f(1)）处的切线过点(2，7),则a=。

10。

设变量x，y满足约束条件的最小值是。

11.（2017全国Ⅰ，文15）已知α∈,tan α=2，则cos=.12.设函数f（x）=｜x+2|+|x-2|，x∈R，则不等式f(x)≤6的解集M=.13。

已知等差数列{a n｝的前n项和为S n=（a+1）n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为。

14。

两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A 的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.三、解答题(本大题共6小题，共80分）15.（13分)在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别是a，b,c。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A={x||x-12|≤32},B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.√52C.√5D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=( ) A.67 B.37 C.89 D.496.已知双曲线x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是( ) A .√52B .√62C .√103D .27.已知函数f (x )={sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0,若f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能值为( )A .1B .-√2C .1,-√2D .1,√28.已知实数a ,b ,c.( )A .若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100B .若|a 2+b+c|+|a 2+b-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100C .若|a+b+c 2|+|a+b-c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100D .若|a 2+b+c|+|a+b 2-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则ab的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos(θ-π6)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件{y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8,则yx-1的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=a n2n-1,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:|NF1||MF1|为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+a2x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,√e<(1+1n2)(1+2n2)…(1+nn2)<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+√p2+2p,x1=1+p-√p2+2p,y2=-p-√p2+2p,x2=1+p+√p2+2p, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A(3-√52,-1+√52),B(3+√52,-1-√52),OA2=x12+y12=5-2√5,OB2=x22+y22=5+2√5,△OAB的面积S=1|OA||OB|=√5.故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B 解析 由题意得,输出的S 为数列{1(2n -1)(2n+1)}的前3项和,而1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1),即S n =12(1-12n+1)=n2n+1.故当输入n=3时,S 3=37,故选B .6.A 解析 设直线l 与双曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2−(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0,即y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x 1+x 2=8,y 1+y 2=2,y 1-y 2x 1-x 2=1, ∴b 2a 2=14,e 2=1+b 2a2=54.∴e=√52.故选A .7.C 解析 ∵f (1)=e 1-1=1,∴f (a )=1.若a ∈(-1,0),则sin(πa 2)=1, ∴a=-√22.若a ∈[0,+∞),则e a-1=1, ∴a=1.因此a=1或a=-√22.8.D 解析 (举反例排除)选项A 中,令a=b=10,c=-110,则|a 2+b+c|+|a+b 2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1. 而a 2+b 2+c 2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A 不成立; 选项B 中,令a=10,b=-100,c=0,则|a 2+b+c|+|a 2+b-c|=0<1. 而a 2+b 2+c 2=100+1002+0>100,故选项B 不成立;选项C 中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c 2|+|a+b-c 2|=0<1. 而a 2+b 2+c 2=1002+1002+0>100,故选项C 不成立;故选D .9.2 解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b )i =a ,则{1+b =a ,1-b =0,所以{a =2,b =1,即a b =2.故答案为2.10.-40 解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=C 5r (2x )5-r (-1)r =(-1)r C 5r 25-r x 5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x 2项的系数为(-1)3C 5325-3=-22C 52=-40.11.3(2-√3)π 解析 ∵AO 1=√3R 1,C 1O 2=√3R 2,O 1O 2=R 1+R 2,∴(√3+1)(R 1+R 2)=√3,R 1+R 2=√3√3+1,球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π·2(R 1+R 22)2=2π(R 1+R 2)2=3(2-√3)π.12.2 解析 ∵4ρcos (θ-π6)+1=0,展开得2√3ρcos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2√3x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1. ∴圆心到直线的距离d=|2√3×0+2×1+1|√(2√3)+2=34<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1 解析 由约束条件{y ≤3x -2,x -2y +1≤0,2x +y ≤8作出可行域如图,联立{x -2y +1=0,2x +y =8,解得A (3,2),yx -1的几何意义为可行域内的动点与定点P (1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA =2-03-1=1.14.②③ 解析 由题意,AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由AC ⊥a ,AC ⊥b ,得AC ⊥圆锥底面,在底面内可以过点B ,作BD ∥a ,交底面圆C 于点D ,如图所示,连接DE ,则DE ⊥BD ,∴DE ∥b.连接AD ,在等腰三角形ABD 中,设AB=AD=√2,当直线AB 与a 成60°角时,∠ABD=60°,故BD=√2.又在Rt △BDE 中,BE=2,∴DE=√2,过点B 作BF ∥DE ,交圆C 于点F ,连接AF ,由圆的对称性可知BF=DE=√2,∴△ABF 为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB 与b 成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a ⊥平面ABC ,直线AB 与a 所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B 2,故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817,故S △ABC =12ac sin B=417ac. 又S △ABC =2,则ac=172. 由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c )2-2ac (1+cos B ) =36-2×172×(1+1517)=4. 所以b=2.16.解 (1)由已知a n =2a n-1-n+2(n ≥2,n ∈N *)得a 2=4,a 3=7.a n -n=2a n-1-2n+2,即a n -n=2[a n-1-(n-1)]. ∵a n -na n -1-(n -1)=2(n ≥2,n ∈N *),且a 1-1=1,∴{a n -n }是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n -n=(a 1-1)·2n-1, 即a n =2n-1+n ,∴b n =a n2n -1=1+n2n -1.设c n =n2n -1,且前n 项和为T n ,则T n =12+221+322+…+n2n -1,① 12T n =121+222+323+…+n2n ,②①-②,得12T n =1+(12+122+123+…+12n -1)−n2n=1-12n1-12−n 2n =2-2+n 2n . 故T n =4-2+n 2n -1,S n =n+4-2+n 2n -1.17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD 1,由ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,知BC 1∥AD 1.当λ=1时,P 是DD 1的中点,又F 是AD 的中点,所以FP ∥AD 1,所以BC 1∥FP. 而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点,所以EF ∥BD ,且EF=12BD.又DP=BQ ,DP ∥BQ ,所以四边形PQBD 是平行四边形,故PQ ∥BD ,且PQ=BD ,从而EF ∥PQ ,且EF=12PQ.在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1, 所以EQ=FP=√1+λ2,所以四边形EFPQ 也是等腰梯形. 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形.分别取EF ,PQ ,MN 的中点为H ,O ,G ,连接OH ,OG , 则GO ⊥PQ ,HO ⊥PQ ,而GO ∩HO=O ,故∠GOH 是平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°. 连接EM ,FN ,则由EF ∥MN ,且EF=MN 知四边形EFNM 是平行四边形. 连接GH ,因为H ,G 是EF ,MN 的中点,所以GH=ME=2. 在△GOH中,GH 2=4,OH 2=1+λ2-(√22)2=λ2+12,OG 2=1+(2-λ)2-(√22)2=(2-λ)2+12,由OG 2+OH 2=GH 2,得(2-λ)2+12+λ2+12=4,解得λ=1±√22,故存在λ=1±√22,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.解法二 以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ).BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,λ),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1). 因为BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BC 1∥FP.而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ. (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则由{FE⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,FP⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0可得{x +y =0,-x +λz =0.于是可取n =(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角, 则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0, 即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±√22.故存在λ=1±√22,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角. 18.解 (1)由已知,有P (A )=C 31C 41+C 32C 102=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P (X=0)=C 32+C 32+C 42C 102=415, P (X=1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715,P (X=2)=C 31C 41C 102=415. 所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×415+1×715+2×415=1. 19.(1)解 依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2√3.∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1.(2)解 由(1)知F 1(-2,0),设P (x 0,y 0),M (x ,y ),过椭圆C 上点P 的切线方程为x 0x 16+y 0y12=1, ①直线F 1P 的斜率k F 1P =y 0x 0+2,则直线MF 1的斜率k MF 1=-x 0+2y 0, 直线MF 1的方程为y=-x 0+2y 0(x+2), 即yy 0=-(x 0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M 的轨迹方程为x=-8.(3)证明 依题意及(2),知点M ,N 的坐标可表示为M (-8,y M ),N (-2,y N ),点N 在切线MP 上,由①式得y N =3(x 0+8)2y 0,点M 在直线MF 1上,由②式得y M =6(x 0+2)y 0, |NF 1|2=y N2=9(x 0+8)24y 02,|MF 1|2=[(-2)-(-8)]2+y M 2=36[y 02+(x 0+2)2]y 02,故|NF 1|2|MF 1|2=9(x 0+8)24y 02·y 0236[y 02+(x 0+2)2]=116·(x 0+8)2y 02+(x 0+2)2, ③注意到点P 在椭圆C 上,即x 0216+y 0212=1,于是y 02=48-3x 024,代入③式并整理得|NF 1|2|MF 1|2=14,故|NF 1||MF 1|的值为定值12. 20.(1)解 ∵f (x )=ln(1+x )+a2x 2-x ,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x )=11+x +ax-1=x (ax+a -1)1+x. ①当a=0时,f'(x )=-x1+x ,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )<0,则f (x )在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f (x )<f (0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=1-aa>0, 当x ∈(0,1-aa )时,f'(x )<0,则f (x )在区间(0,1-aa )内单调递减, 此时,f (x )<f (0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x )=x 21+x ,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,则f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f (x )>f (0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=1-aa<0,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,则f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f (x )>f (0)=0,符合题意. 综上所述,a 的取值范围为[1,+∞).(2)证明 由(1)可知,当a=0时,f (x )<0对x ∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x )<x 对x ∈(0,+∞)都成立,∴ln (1+1n 2)+ln (1+2n 2)+…+ln (1+n n 2)<1n 2+2n 2+…+n n 2,即ln [(1+1n 2)(1+2n 2)·…·(1+nn 2)]<1+2+…+nn 2=n+12n . 由于n ∈N *,则n+12n =12+12n ≤12+12×1=1.∴ln [(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)]<1.∴(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)<e .由(1)可知,当a=1时,f (x )>0对x ∈(0,+∞)都成立, 即x-12x 2<ln(1+x )对x ∈(0,+∞)都成立, ∴(1n 2+2n 2+…+n n 2)−12(12n 4+22n 4+…+n 2n 4)<ln (1+1n 2)+ln (1+2n 2)+…+ln (1+n n 2),即n (n+1)2n 2−12[n (n+1)(2n+1)6n 4]<ln [(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)], 得6n 3+4n 2-3n -112n 3<ln [(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+n n2)]. 由于n ∈N *,则6n 3+4n 2-3n -112n 3=6n 3+(3n 2-3n )+(n 2-1)12n 3≥6n 312n 3=12.∴12<ln [(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)].∴√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn2).∴√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)<e .。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=-,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=--若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos-+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件--则-的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.-17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A--,B--,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列-的前3项和,而---,即S n=-故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则--=0,即--由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,--=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则-所以即=2.故答案为2.10.-40解析(2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-π.12.2解析∵4ρcos-+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件--作出可行域如图,联立-解得A(3,2),-的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA=--=1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解(1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].----=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n=-=1+-设c n=-,且前n项和为T n,则T n=+…+-,①T n=+…+,②①-②,得T n=1++…+---=2-故T n=4--,S n=n+4--17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),于是可取n=(λ,-λ,1).则由可得-同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1,①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=,③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是-,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=-①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=->0,当x-时,f'(x)<0,则f(x)在区间-内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=-<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得--<ln由于n∈N*,则----<ln<e.。

题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.(2018浙江,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π3.已知sin θ=-,cos θ=-,则tan等于()A.--B.--C.D.54.已知实数x,y满足约束条件-则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-155.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-666.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.157.(2018全国Ⅰ,理12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.8.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=69.已知-=1+i(i为虚数单位),则复数z=.10.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.11.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.12.已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ=1,则直线截圆C所得的弦长是.13.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.14.已知直线y=mx与函数f(x)=-的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.思维提升训练1.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-12.已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()4.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为()A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=5.(2018天津,理8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A.B.C.D.36.在△ABC中,AC=BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.7.已知圆(x-1)2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,2)C.(,+∞)D.(2,+∞)8.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列9.设集合A={x|x+2>0},B=-,则A∩B=.10.已知x,y满足约束条件--则z=-2x+y的最大值是.11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.12.设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.13.下边程序框图的输出结果为.14.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)##题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.C解析∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.2.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.3.D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tan也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan>1.4.B解析实数x,y满足约束条件-对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B.5.D解析因为a n=1-2n,S n=--=-n2,=-n,所以数列的前11项和为--=-66.故选D.6.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.7.A解析满足题设的平面α可以是与平面A1BC1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面A1BC1平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S=[(1-a)+a+a]2-3(a)2(-2a2+2a+1),所以当a=时,S max=-。

2022届高三数学统练九答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷 选择题（共45分）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}3,5,1,2,5==A B ，则(）⋂=UB A ()BA ． {2}B ． {1，2}C ． {2，4}D ． {1，2，4} 解析 {}{}{}1,2,3,4,5,3 ,5,1,2,4∵==∴=UA U A 。

又∵B={1，2，5}，∴{}()1,2⋂=U B A 。

故选B 。

2. 设x R ∈，则“12x ->”是“x 2>1”的（A ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件解析 |1|23->⇔>x x 或1x <-，211>⇔>x x 或1x <-，∴“|x —1|>2”是21x >的充分不必要条件，故选A3. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

”函数()()2cos -+=+x x x e e f x x的部分图象大致为（C ）解析∵()()()()2cos()2cos ---++-==-=-+-+x x x x x e e x e e f x f x x x，∴f （x ）为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，()0f x >，排除 D ．故选C 。

4. 中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神。

看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组[40，50），[50，60）……[90，100]，则成绩落在[70，80）上的人数为（D ）A.12 B ． 120 C ． 24 D ． 240解析 由直方图得成绩落在[70，80）上的频率为1−（0.010+0.015×2+0.025+0.005）×10=0.30，故人数为0.30×800=240。

题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.(2018北京,理1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c3.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.44.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.55.(2018全国Ⅰ,理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.57.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-98.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()9.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=.10.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.11.-的展开式中的常数项为.(用数字表示)12.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.13.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.14.在平面直角坐标系中,已知圆C的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin-.若直线l与圆C相切,则实数a=.思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.(2018北京,理8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤时,(2,1)∉A3.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+4.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.55.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.6.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()7.质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()A. B.C. D.8.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1D.9.(2018天津,理9)i是虚数单位,复数=.10.若变量x,y满足约束条件--则z=3x-y的最小值为.11.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.12.一条曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则切线l的极坐标方程为.13.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.14.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.##题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.A解析∵A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.2.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.3.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.4.C解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=2×2+21+2=2+=2+25.A解析设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.6.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.7.C解析=2,∴()=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2||·||,∴()-故答案为-8.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.9.1-2i解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i.10解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=11解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为12解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6°13解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x 2与y=x 的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由得 或 故所求面积S=(x-x 2)d x= -14.-1± 解析 由题意知圆C 的普通方程为(x-a )2+y 2=1,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0.由题意知- =1,解得a=-1±思维提升训练1.C 解析 A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A ∪B={x|x>-1},选C .2.D 解析 若(2,1)∈A ,则有 - -化简得即a> 所以当且仅当a时,(2,1)∉A ,故选D . 3.B 解析 不妨令a=2,b=,则a+ =4,,log 2(a+b )=log 2 (log 22,log 24)=(1,2),即<log 2(a+b )<a+故选B . 4.C 解析 由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x >4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C . 5.C解析 ∵双曲线C :=1(a>0,b>0)的焦点在x 轴上,∴其渐近线方程为y=±x.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直, ∴渐近线的斜率为2,=2,即b 2=4a 2,c 2-a 2=4a 2,c 2=5a 2,=5,,双曲线的离心率e=6.A 解析 容易判断函数y=x sin x 为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C .故选A .7.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.8.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m,)=2m,2,∴m=,故选A.9.4-i解析----=4-i.10.-7解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由得-则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.11.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.12.ρsin13解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=--设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,, 从而V P-BCD d×S△BCD=°BC×CD×sin 30°=--令-=t∈[1,2],则V P-BCD-易知-在上单调递减,即V P-BCD的最大值为14.2解析∵S n=na1+-d,=a1+-d,--d.又=3,∴d=2.。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1<x≤4},则A∩(∁R B)=()A.(-1,2)B.(-2,-1)C.(-2,-1]D.(-2,2)2.若复数z=,其中i为虚数单位,则=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是()A.B.C.D.4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a1-a4=0,则=()A.-8B.8C.5D.155.已知命题p:∃x0∈R,使;命题q:∀x∈,tan x>sin x.下列是真命题的是()A.(p)∧qB.(p)∨(q)C.p∧(q)D.p∨(q)6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出y的值为()A.2B.7C.8D.1287.已知双曲线=1(a>0,b>0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.28.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.10.设变量x,y满足约束条件的最小值是.11.(2017全国Ⅰ,文15)已知α∈,tan α=2,则cos=.12.设函数f(x)=|x+2|+|x-2|,x∈R,则不等式f(x)≤6的解集M=.13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为.14.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos A=-.(1)求sin C和b的值;(2)求cos的值.16.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.17.(13分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,矩形DCBE所在的平面垂直于☉O所在的平面,AB=4,BE=1.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离.18.(13分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19.(14分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.20.(14分)已知函数f(x)=2x-+b ln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-8=0.(1)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.##综合能力训练1.C解析A={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵B={x|-1<x≤4},∴∁R B={x|x>4或x≤-1},则A∩(∁R B)={x|-2<x≤-1}.2.B解析z==1+i,故=1-i.3.D解析f(x)=-sin 2x,由2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),当k=-1时,可知选项D符合.4.C解析 8a1-a4=0⇒q3=8⇒q=2,=1+q2=5.故选C.5.D解析x=-1时,2x>3x,∴命题p是真命题;tan x=,x∈;∵0<cos x<1,sin x>0,∴>1,>sin x,即tan x>sin x,∴命题q是真命题,∴p是假命题,(p)∧q是假命题,q是假命题,(p)∨(q)是假命题,p∧(q)是假命题,p∨(q)为真命题.6.C解析当x=1时,不满足条件“x≥2”,则y=9-1=8.即输出y=8,故选C.7.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即.由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1.∴,e2=1+.∴e=.故选A.8.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-.若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-.9.1解析∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知切点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.10.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.11. 解析由tan α=2,得sin α=2cos α.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin,所以cos.12.[-3,3]解析不等式即|x+2|+|x-2|≤6,而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的距离之和,-3和3对应点到-2,2对应点的距离之和正好等于6,故不等式的解集为M=[-3,3].13. 解析∵{a n}是等差数列,∴a=0,S n=n2,∴a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为θ,由余弦定理,得cos θ=-,∴θ=120°.∴该三角形的面积S=×3×5×sin 120°=.14.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.15.(1)解在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.又由及a=2,c=,可得sin C=.由a2=b2+c2-2bc cos A,得b2+b-2=0.因为b>0,故解得b=1.所以sin C=,b=1.(2)解由cos A=-,sin A=,得cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin A cos A=-,所以,cos=cos 2A cos-sin 2A sin.16.解 (1)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*;数列{b n}的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=(2n-1)·2n-1,设{c n}的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,S n=(2n-3)·2n+3,n∈N*.17.(1)证明∵AB是直径,∴BC⊥AC,又四边形DCBE为矩形,∴CD⊥BC.∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD,∴DE⊥平面ACD,又DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.(2)解由(1)知V C-ADE=V E-ACD=×S△ACD×DE=×AC×CD×DE=×AC×BC≤×(AC2+BC2)=×AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号成立,∴当AC=BC=2时,三棱锥C-ADE体积最大为.此时,AD==3,S△ADE=×AD×DE=3,设点C到平面ADE的距离为h,则V C-ADE=×S△ADE×h=,∴h=.18.解 (1)×(9+9+11+11)=10,×(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.又[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1;[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=,∴,∴甲组成绩比乙组成绩更稳定.(2)记甲组4名同学为A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为B1,B2,B3,B4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本事件,其中得分之和低于20分的共有6个基本事件,∴得分之和低于20分的概率是P=.19.(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA=,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等, 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d==r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.20.解 (1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2+.依题设,f(1)=5,f'(1)=-3,∴a=-3,b=-2.∴f'(x)=2-,令f'(x)>0,又x>0,∴x>.∴函数f(x)的单调增区间为.(2)g(x)=f(x)-=2x-2ln x,g'(x)=2-.设过点(2,2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0,y0),则y0-2=g'(x0)(x0-2),即2x0-2ln x0-2=(x0-2),∴ln x0+=2.令h(x)=ln x+-2,则h'(x)=,当h'(x)=0时,x=2.∴h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.∵h=2-ln 2>0,h(2)=ln 2-1<0,h(e2)=>0,∴h(x)的图象与x轴有两个交点,∴过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.。

2021年高考数学（理科，天津课标版）二轮复习题型练含答案4酷酷酷水水水飒飒题型练4 大题专项(二) 数列的通项、求和问题1.设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0. (1)求{an}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn= .(1)求数列{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}前n项和为Tn,求Tn.和任何人呵呵呵酷酷酷水水水飒飒3.(2021浙江,20)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n. (1)求q的值;(2)求数列{bn}的通项公式.和任何人呵呵呵酷酷酷水水水飒飒4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公比为q 的等比数列{bn}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn; (2)求数列的前n项和Tn.5.已知数列{an}满足a1= ,且an+1=an- (n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{ }的前n项和为Sn,证明: (n∈N*).和任何人呵呵呵酷酷酷水水水飒飒6.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式; (2)设双曲线x2- - =1的离心率为en,且e2= ,证明:e1+e2+…+en> - .和任何人呵呵呵酷酷酷水水水飒飒题型练4 大题专项(二) 数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1. 又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1. (2)证明由(1)可知Sn=所以- -- --,又S3+S6=2S9, --, -化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列. 2.解(1)∵在等差数列{an}中,a1=1,公差d=1,∴Sn=na1+d=,∴bn=(2)bn= =2 - ,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2 +…+ =2 - +…+ =2 -故 Tn=3.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8 =20, 解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn,由cn= 解得cn=4n-1.- - 由(1)可知an=2n-1, 所以-bn+1-bn=(4n-1)-故bn-bn-1=(4n-5),n≥2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5) 设-+(4n-9) -+…+7 +3.-Tn=3+7 +11 +…+(4n-5) ,n≥2,和任何人呵呵呵感谢您的阅读，祝您生活愉快。

题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.3.(2018浙江,20)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;.(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>--题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.(2)证明由(1)可知S n=--,又S3+S6=2S9,所以------,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,∴S n=na1+-d=,∴b n=(2)b n==2-,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2-+…+=2-故T n=3.解(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}前n项和为S n,由c n=--解得c n=4n-1.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)-故b n-b n-1=(4n-5)-,n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)-+(4n-9)-+…+7+3.设T n=3+7+11+…+(4n-5)-,n≥2,T n=3+7+…+(4n-9)-+(4n-5)-,所以T n=3+4+4+ (4)-(4n-5)-,因此T n=14-(4n+3)-,n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)-4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=(2)--+22n+1,∴T n=--+…+-----(22n+3-8)=-5.证明(1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-2) (1)a1)a1>0.由0<a n,得--[1,2],即12.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由和12,得12,所以n2n,因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.(1)解由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)证明由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=-由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以->q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=-,-故e1+e2+…+e n>--。