事件的独立性
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事件的独立性名词解释
事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。
它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。
在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。
在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。
通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。
在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。
社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。
例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。
通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。
在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。
法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。
在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。
同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。
在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。
人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。
通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。
总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。
研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。
通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。
事件的独立性
§ 1.5 事件的独立性一、两个事件的独立性在条件概率中，一般情况下，P(B|A)P(B)P(A|B)P(A)≠≠，但在特殊的条件下，就不同了，请看下例：例1.5.1 袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，有返回的取两次， 令A=第一次取新球，B=第二次取新球。
因为是有返回抽取，所以 3P(B|A)P(B)5== 显然也有 3P(A|B)P(A)5== 两个事件独立的直观定义：设A 、B 两个事件，一个事件发生与否对另一个事件的发生及其发生的概率不产生影响，则称A 、B 这两个事件是相互独立的。
这是中文描述性定义。
下面推出数学定义：事件A ，B 互不影响P(B|A)P(B)⇔=，P(A |B)P(A)=P(A)P(B |A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A |B)⎧⇔==⎨⎩或11A B P(AB)P(A)P(B)A B =定义.5.：设有事件、，若则称事件、相互独立。
由定义可证明，必然事件、不可能事件与任何事件都是独立的。
在现实世界中，随机现象独立的情况是大量存在的，如返回抽样、重复试验、彼此无关的工作…..。
若要证明两个事件独立，必须依据定义证明。
而在实际问题中，判断两个事件独立，大多根据实际情况和经验，看是否相互影响，要注意的是我们不能只停留在感觉上。
定理1.5.1 A B A B A B A B 若，相互独立，则与；与；与都相互独立。
证明：A B 以与为例，P (A B )P (A B)=-P (A A B )=-P (A )P (A B =- P (A )P (A )P (=- P (A )[1P (B )]P (A)P (B )=-= 由定义可知 A B 与相互独立。
二、多个事件的独立性152 A B C P(AB)P(A)P(B)P(AC)P(A)P(C)P(BC)P(C)P(B)P(ABC)P(A)P(B)P(C)A B C ====定义..设有事件，，，若满足则称，，相互独立。
4.5事件的独立性及二项概率公式
(1 k n) 和任意 k 个整数 1 i1 i2 ik n,
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 则称A1, A2 , …, An 相互独立。
例4 某种型号高射炮对敌机射击的命中率为0.02，
（1）100门该型号的高射炮同时向敌机射击一 次，求敌机被击中的概率。
A A1 A2 An
所以 P( A) P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An ) r n
串联系统的可靠性, 元件越多越不可靠.
对于并联系统，由题意得 B A1 A2
An
B A1 A2
An A1 A2
An
P(B ) P(A1)P(A2) P(An)
§4.5 事件的独立性及二项概率公式 一、事件的独立性 二、二项概率公式
一、事件的独立性
定义4-6 若事件 A, B 满足
P AB P A P B
则称事件 A, B 相互独立.
定理4-2 若四对事件 A, B; A, B; A, B; A, B 中有一对是 相互独立的，则另外三对也相互独立.
设 B ＝{恰有两次命中}
设 Ai ＝{此人第 i 次射击时打中靶子} (i 1 , 2 , 3)
B ＝{恰有两次命中}
则由题意可知： P( Ai ) 0.6, P(Ai ) 0.4, 且 A1,A2 ,A3 相互独立。 故题目中所求的为： P(B) P( A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 )
训练
１.某型号电子元件使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知一大批产品的一级品率为0.2。现从中随机地抽取
20只，问这20只元件中恰有 k0 k 20 只为一级品 的概率是多少？ P20 k C2k0(0.2)k (0.8)20k
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 则称A1, A2 , …, An 相互独立。
例4 某种型号高射炮对敌机射击的命中率为0.02，
（1）100门该型号的高射炮同时向敌机射击一 次，求敌机被击中的概率。
A A1 A2 An
所以 P( A) P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An ) r n
串联系统的可靠性, 元件越多越不可靠.
对于并联系统，由题意得 B A1 A2
An
B A1 A2
An A1 A2
An
P(B ) P(A1)P(A2) P(An)
§4.5 事件的独立性及二项概率公式 一、事件的独立性 二、二项概率公式
一、事件的独立性
定义4-6 若事件 A, B 满足
P AB P A P B
则称事件 A, B 相互独立.
定理4-2 若四对事件 A, B; A, B; A, B; A, B 中有一对是 相互独立的，则另外三对也相互独立.
设 B ＝{恰有两次命中}
设 Ai ＝{此人第 i 次射击时打中靶子} (i 1 , 2 , 3)
B ＝{恰有两次命中}
则由题意可知： P( Ai ) 0.6, P(Ai ) 0.4, 且 A1,A2 ,A3 相互独立。 故题目中所求的为： P(B) P( A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 )
训练
１.某型号电子元件使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知一大批产品的一级品率为0.2。现从中随机地抽取
20只，问这20只元件中恰有 k0 k 20 只为一级品 的概率是多少？ P20 k C2k0(0.2)k (0.8)20k
事件的独立性
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)
概率论-事件的独立性
P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命 中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地 向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解 记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目 标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充 设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立． 证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一 密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙 译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解 记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译 显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则
事件的独立性-概率与数理统计
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
则称 A1， A2， ， An 这 n 个随机事件相互独立．
说明
在上面旳公式中，
第一行有Cn2 个等式，第二行有Cn3 个等式，，最后 一行共有Cnn 个等式 因此共有
Cn2 Cn3 Cnn 2n Cn0 Cn1
个等式.
2n 1 n
显然，相互独立必两两独立，反之不成立。
n个事件旳相互独立性
设 A1， A2， ， An 为n 个随机事件，如果下列等式成立：
P Ai A j PAi P A j
1 i j n
P Ai A j Ak PAi P A j PAk 1 i j k n
P Ai1 Ai2 Aim P Ai1 P Ai2 P( Ain ) 1 i1 i2 im n
故 P AB P A P B | A P A P B 2“ ” 若 P AB P A P B ， 则 由 乘 法 公 式 得 ：
P A P B | A P A P B （当 P A 0 ） P A 0两边同除以 P A 得 P B | A P B
A，B 独立。
事件独立的三个等价定义：
若 A，B 满足下列条件之一，则称 A，B 独立。
§1．5 事件的独立性
（—）事件的独立性 抽签问题，无放回，故第二次抽签的概率会受到前一次抽到与
否的影响。若有放回的话，则不会影响，这时，各次抽签是相互独 立的，不会相互影响。
投篮，每一次投篮都不会影响其他次投篮的进球的概率，故每 次投篮都是独立的，不会相互影响。
例1
袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球， 取后放回．令： A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }，
A100 相互独立。
概率论第三章事件的独立性
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
事件的独立性
事件的独立性（一）
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
相互独立事件及其同时发生的概率
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P( A B) P( A) P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1145___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
相互独立事件及其同时发生的概率
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P( A B) P( A) P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1145___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
事件的独立性讲义
例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
所求为 P(A1+A2+A3)
1
记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P(A1+A2+A3)
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,
……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2 于是 RⅡ=[r(2-r)]n=rn(2-r)n
Ⅲ 比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。 n>1时，2-rn<(2-r)n，
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 所以事件A、B独立.
练：投掷一枚均匀的骰子。 （1）设A表示“掷得点数小于5”，B表示“掷 得 奇数点”，问A,B是否独立？ 独立。 （2）设A表示“掷得点数小于4”，B表示“掷 得奇数点”，问A,B是否独立？ 不独立。
P(AB)= P(A)P(B)
四个等式同时
P(AC)= P(A)P(C)
成立,则称事件
P(BA)P(B)P(C) 独立。
其中，前三个等式成立时，称A、B、C两两
独立。
如: 将一枚骰子掷两次,设
A：“第一次掷得偶数点”，
B：“第二次掷得奇数点”， C：“两次都掷得奇数或偶数点”。 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0. 于是
事件的独立性与伯努利概型
利公式，得
4
P4(k)1P40P41
k2
1434C4114433
67 0.2617 . 256
23
例1.31 某机构有一个5人组成的顾问小 组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9， 现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾 问的意见，并按多数的意见作出决策，求作 出正确决策的概率．
解 考察一位顾问的意见，相当于作一次
解 在任一时刻，考察一名售货员是否使 用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视
为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的 概率为15/60 =1／4．
现同时考察4名售货员使用台秤的情况，
因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
22
所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名 售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) , 于是
P(A B )P(A )PB.
☎ 3º 相互独立与互不相容没有必然联系．
8
◎从定义来看，A与B独立 P (A B )P (A )P B ,
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与 概率有关，后者的定义没有借助概率．
H H H , H H T , H T H T H H , H T T , T H T , T T H , T T T .
设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}； Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}； C=“ 前 两 次 出 现 反 面 ” ={TTH ，
T◎TTA}B．={HHT} P A B 111P A P B
P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 1 0 .2 0 .3 0 .9 4 . 12
4
P4(k)1P40P41
k2
1434C4114433
67 0.2617 . 256
23
例1.31 某机构有一个5人组成的顾问小 组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9， 现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾 问的意见，并按多数的意见作出决策，求作 出正确决策的概率．
解 考察一位顾问的意见，相当于作一次
解 在任一时刻，考察一名售货员是否使 用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视
为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的 概率为15/60 =1／4．
现同时考察4名售货员使用台秤的情况，
因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
22
所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名 售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) , 于是
P(A B )P(A )PB.
☎ 3º 相互独立与互不相容没有必然联系．
8
◎从定义来看，A与B独立 P (A B )P (A )P B ,
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与 概率有关，后者的定义没有借助概率．
H H H , H H T , H T H T H H , H T T , T H T , T T H , T T T .
设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}； Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}； C=“ 前 两 次 出 现 反 面 ” ={TTH ，
T◎TTA}B．={HHT} P A B 111P A P B
P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 1 0 .2 0 .3 0 .9 4 . 12
第五节 事件的独立性
则称 A, B,C 相互独立
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
这个概念可推广到n 个事件的独立性定义(见p27)
实质: 任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否 的影响
注：仅满足上面三条，称为两两独立
思考: 两两独立与相互独立的区别
对 n ( n >2 ) 个事件
相互独立 ?
两两独立
推论: 设 A1 , A2 , , An是 n个事件 1) 若 A1, A2 ,, An 相互独立, 则其中任意 k 个事件
P(D) P(AB AC) P(AB) P(AC) P(ABC) P(A)P(B) P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) 0.776
例5. 某电路如图所示, 已知 A, B, C 正常工作的概率为 0.8, 0.9和0.7
A
B
假定 A, B, C 能否正常工作是相互独立的,
C
B)
P( AB) P(A B)
P( AB) 1 P(AB)
A42 A120
1
A62 A120
1 5
例题、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一
次，其命中率分别为0.6和0.5．现已知目标命
中，则它是甲射中的概率为
。
[解] 记={甲命中目标}，={乙命中目标}， 则={目标被命中} 所求概率为 p
解: 设 A = “任取一件被认为是合格品” B = “任取一件是次品” C = “这批产品被认为合格品”
由题意 P(B) 0.04 P(B) 0.96 P(A | B) 0.01 P(A | B) 0.95
P(A) P(A | B)P(B) P(A | B)P(B) 0.9124 P(C) 0.91243 0.7595
事件的独立性与非独立性
事件的独立性与非独立性事件的独立性和非独立性是概率论和统计学中的基本概念，用于描述事件之间是否相互影响或相关。
在本文中，我们将探讨事件的独立性和非独立性的含义、特征以及其在实际问题中的应用。
一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件在发生上相互独立，即一个事件的发生不会对其他事件的发生产生影响。
数学上，事件A和事件B是独立事件，当且仅当它们满足以下条件：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立事件的关键特征是事件之间的无关性。
例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是两个独立的事件。
硬币落地时，正反两面的结果相互独立，无论之前的结果如何。
在实际问题中，事件的独立性有着广泛的应用。
例如，在概率计算中，我们经常通过事件的独立性来计算复杂事件的概率。
此外，在统计学中，事件的独立性也是很多统计方法的基础假设之一。
二、事件的非独立性与独立事件相对应，非独立事件指的是两个或多个事件在发生上相互有关联或影响。
在数学上，事件A和事件B是非独立事件，当且仅当它们不满足独立性的条件，即：P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B)非独立事件的特征是事件之间存在相关性。
例如，抽取一张扑克牌，第一次抽到一张红心牌，第二次再抽到红心牌的概率就会受到第一次抽到红心牌的结果影响。
在实际问题中，事件的非独立性也有着重要的应用。
例如，在风险管理和金融领域，我们经常需要考虑事件之间的相关性，以提前识别风险并采取相应的措施。
三、事件独立性和非独立性的意义事件的独立性和非独立性对于概率计算和统计推断具有重要的意义。
通过了解事件之间的关系，我们可以更准确地估计事件发生的概率，做出相应的决策。
当事件是独立的时候，我们可以简单地将不同事件发生的概率相乘，得到复杂事件的概率。
这在概率计算中非常有用，可以大大减少计算的复杂度。
第五讲：事件的独立性
3 2
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
事件的独立性教案
事件的独立性教案教案标题：培养学生独立思考能力——事件的独立性教案教学目标：1. 帮助学生理解事件的独立性概念。
2. 培养学生独立思考和解决问题的能力。
3. 提升学生的批判性思维和分析能力。
教学内容：1. 介绍事件的独立性概念。
2. 探讨事件的独立性对个人和社会的重要性。
3. 引导学生学会独立思考和解决问题的方法。
教学步骤：引入活动：1. 创设情境，例如：让学生回忆一次他们独自完成的重要任务或解决的问题，并分享经验。
导入概念：2. 介绍事件的独立性概念，并提供简单的定义和例子。
- 事件的独立性是指能够独立思考、做出决策和解决问题的能力。
- 例如，一个学生独自完成一项作业，不依赖他人的帮助和指导。
探讨事件的独立性的重要性：3. 引导学生讨论事件的独立性对个人和社会的重要性。
- 个人层面：独立思考和解决问题能够培养学生的自信心和自主性，提高个人学习和生活的能力。
- 社会层面：独立思考和解决问题能够培养社会的创新力和发展潜力，推动社会进步。
培养学生独立思考和解决问题的能力：4. 提供学生独立思考和解决问题的方法和技巧。
- 鼓励学生提出问题，并自己寻找答案。
- 引导学生进行逻辑思考和分析，帮助他们找到解决问题的最佳途径。
- 培养学生的批判性思维，让他们能够评估信息的可靠性和真实性。
练习与巩固：5. 提供一些与事件的独立性相关的案例，让学生进行讨论和分析。
- 例如，让学生分析一个学生独自完成的科学实验，探讨他们在实验设计和结果分析中的独立性。
- 鼓励学生提出自己的观点和解决问题的方法，并与同学进行讨论和交流。
作业：6. 布置作业，要求学生选择一个与他们生活相关的问题，并独立思考和解决该问题，并在下节课上分享经验和成果。
扩展活动：7. 鼓励学生参与实践活动，例如学生社团、志愿者活动等，培养他们的团队合作和独立思考能力。
评估：8. 观察学生在讨论和分析中的参与度和表现。
9. 评估学生在作业中独立思考和解决问题的能力。
事件的独立性和独立试验
a a2 ab P ( A) = , ( AB ) = P ,P( A B ) = , 2 2 a+b (a + b) (a + b)
所以 P( B ) = P( AB) + P( A B )
a ab a = + , 2 2 = (a + b) (a + b) a + b
由于
2
全概率公式
P( ห้องสมุดไป่ตู้B ) = P( A) P( B ) , 所以 A,B 相互独立. , 相互独立.
= 1 P( A1 A2 An ) = 1 P( A1 )P( A2 ) P( An )
= 1 [1 P( A1 )][1 P( A2 )][1 P( An )] .
特别地 , 如果 P( Ai ) = p , (i = 1,2,, n) , 则
P( A ∪ A2 ∪∪ An ) = 1 (1 p) . 1
n
利 用数 学归 纳可 以证 明, 当 n ≥ 2 时 , 有 明, n n 由此可见 , (2 r ) > 2 r , 即 R2 > R1 ,由此可见,用 第二种方法附加元件的系统可靠性较高. 第二种方法附加元件的系统可靠性较高 .
17
课外读物
赌徒的谬误
M:琼斯先生和琼斯太太有五个孩子,都是女儿. :琼斯先生和琼斯太太有五个孩子,都是女儿. 琼斯太太:我希望我们下一个孩子不是女孩. 琼斯太太:我希望我们下一个孩子不是女孩. 琼斯先生: 我亲爱的, 在生了五个女儿之后, 琼斯先生 : 我亲爱的 , 在生了五个女儿之后 , 下一 个肯定是儿子. 个肯定是儿子. M:琼斯先生对吗? :琼斯先生对吗? M: 很多玩轮盘赌的赌徒以为 , 他们在盘子转过很 : 很多玩轮盘赌的赌徒以为, 多红色数字之后, 就会落在黑的上, 多红色数字之后 , 就会落在黑的上 , 他们就可以赢 事情将是这样进行的吗? 了.事情将是这样进行的吗? M :有人坚持认为,如果你在一轮掷骰子中已掷出 有人坚持认为 坚持认为, 五次两点,你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了 五次两点,你下次再掷出两点的机会就要小于 了. 他说得对不对呢? 18 他说得对不对呢?
所以 P( B ) = P( AB) + P( A B )
a ab a = + , 2 2 = (a + b) (a + b) a + b
由于
2
全概率公式
P( ห้องสมุดไป่ตู้B ) = P( A) P( B ) , 所以 A,B 相互独立. , 相互独立.
= 1 P( A1 A2 An ) = 1 P( A1 )P( A2 ) P( An )
= 1 [1 P( A1 )][1 P( A2 )][1 P( An )] .
特别地 , 如果 P( Ai ) = p , (i = 1,2,, n) , 则
P( A ∪ A2 ∪∪ An ) = 1 (1 p) . 1
n
利 用数 学归 纳可 以证 明, 当 n ≥ 2 时 , 有 明, n n 由此可见 , (2 r ) > 2 r , 即 R2 > R1 ,由此可见,用 第二种方法附加元件的系统可靠性较高. 第二种方法附加元件的系统可靠性较高 .
17
课外读物
赌徒的谬误
M:琼斯先生和琼斯太太有五个孩子,都是女儿. :琼斯先生和琼斯太太有五个孩子,都是女儿. 琼斯太太:我希望我们下一个孩子不是女孩. 琼斯太太:我希望我们下一个孩子不是女孩. 琼斯先生: 我亲爱的, 在生了五个女儿之后, 琼斯先生 : 我亲爱的 , 在生了五个女儿之后 , 下一 个肯定是儿子. 个肯定是儿子. M:琼斯先生对吗? :琼斯先生对吗? M: 很多玩轮盘赌的赌徒以为 , 他们在盘子转过很 : 很多玩轮盘赌的赌徒以为, 多红色数字之后, 就会落在黑的上, 多红色数字之后 , 就会落在黑的上 , 他们就可以赢 事情将是这样进行的吗? 了.事情将是这样进行的吗? M :有人坚持认为,如果你在一轮掷骰子中已掷出 有人坚持认为 坚持认为, 五次两点,你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了 五次两点,你下次再掷出两点的机会就要小于 了. 他说得对不对呢? 18 他说得对不对呢?
1.4。事件的独立性
即A1 ，A2 ，A3两两独立
而
但P（A1 A2 A3）=1/4
P（A1）P（A2）P（A3）=1/8
从而A1 ，A2 ，A3不相互独立
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例3 设Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,4,},B={1,5,6,7}, C={1,4,5,8}, 则 但 P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C) P(AB)=1/8≠P(A)P(B)
3） 若P（A）>0,P(B)>0,则A，B相互独立，与A，B互不相 容，不能同时成立。
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铃
例1 抛甲，乙两枚硬币，观察正反面出现的情况。设事件A 为“甲币出现H”，事件B为“乙币出现H”。试讨论事件A，B的 独立性。
解： Ω={HH，HT，TH，TT}
A={HH，HT} B={HH，TH} P（A）=1/2 P（B）=1/2
P（AB）=1/4= P（A）P（B）
所以 事件A，B相互独立
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铃
(二)、独立事件的性质 1、对于任意事件A，A与事件Ω独立，A与Φ独立。 2、如果事件A与事件B相互独立，则A与 BC， AC与B 和 AC与 BC也相互独立 3、如果A与Bi（i=1,2, …,n）相互独立，且BiBj=Φ（i≠j）
2 3 n Cn Cn ... Cn 2n n 1个
（3）
2）由定义3知：若A1，A2，…，An相互独立，则它们 之中任意m（2≤m≤n）个事件也一定相互独立，反之则不一 定。
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20
(二) 多个事件的独立性
1. 三事件两两相互独立的概念 定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), 则称事件 A, B , C 两两相互独立 .
由此可见两事件互斥但不独立. 两事件互斥
两事件相互独立.
13
可以证明： 特殊地，
当 P ( A) 0, P ( B) 0时，有
A与B 独立 A与B 相容( 不互斥)
或 A与B 互斥 A与B 不独立
证 若A与B 独立, 则 P ( AB) P ( A) P ( B)
P ( A) 0, P ( B) 0
P ( AB) P ( A) P ( B) 0
故 AB
即 A与B 不互斥(相容).
14
3.性质1.5
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
即 与A独立.
∵ A=, P()=0
P( Bi ) P( A Bi ) ｜ ｜ P( B ) P( A B )
i 1 i i n
在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为 原因的先验概率和后验概率. P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不 知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸 事件发生可能性大小的认识. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 当有了新的信息（知道A发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计.
P ( B1 ) P ( A B1 ) 3 P ( B1 A) , P ( A) 4 P ( B2 ) P ( A B2 ) 1 P ( B2 A) P ( A) 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为“ • ”的 可能性大
7
我们研究了概率的计算问题
直接计算 几何概率
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥.
12
又如：
1 1 若 P ( A) , P ( B ) (如图) 2 2
则 P ( AB) 0,
1 P ( A) P ( B ) , 4
B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B )
∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
15
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
证 ① A A A( B B ) AB AB
2
由Bayes 公式得
P( B A1 )
P( B) P( A1 B)
P( B) P( A1 B) P( B) P( A1 B) 0.005 0.95 0.005 0.95 0.995 0.05 0.087.
3
首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大
贝叶斯公式
P( Bi | A)
22
例3 设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在
这四张卡片上依次标有下列各组数字：110， 101，011，000 从袋中任取一张卡片，记
Ai {取到的卡片第i位上的数字为1}(i 1,.2,3)
证明： (1) A1 , A2 , A3两两相互独立; ( 2) A1 , A2 , A3不相互独立.
9
一、事件的相互独立性
一般地 P(A|B)≠ P(A)
1例子将一颗均匀骰子连掷两次， A ={第二次掷出6点}， 设 B ={第一次掷出6点}， 显然 P(A|B)= P(A)， 这表明, 事件B发生, 并不影响事件A 发生的概率. 由乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)知， 若 P(A|B)= P(A)， P(AB)=P(A)P(B)
也可以通过计算条件概率去做: 由于 P(A) = 1/13, P(A|B)= 2/26 = 1/13, 显见 P(A)= P(A|B), 所以事件A、B 独立.
实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立
例如: 甲、乙两人向同一目标射击, 记 A={甲命中}, B={乙命中}, A 与 B 是否独立？ (即一事件发生与否并不影 由于 “甲命中” 并不影响 “ 乙命中” 的概 率 响另一事件发生的概率), 故可认为 A 与 B 独立 .
反之, 若P(AB)=P(A)P(B), 且P(B)>0,
则 P(A)= P(AB)/P(B)= P(A|B)
在条件 P(B)>0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B).
10
2. 定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB) P ( A) P ( B )
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
应用举例 —— 肠癌普查
设事件Ai表示第 i 次检查为阳性,事件B 表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：
P( Ai B ) P( Ai B ) 0.95 , 且 P( B) 0.005
某患者首次检查反应为阳性, 试判断该 患者是否已患肠癌？
i 1 Bayes公式 P ( Bi | A ) P ( Bi ) P ( A | B i )
条件概率 P ( A | B ) P ( AB) P( B)
P( B j ) P( A | B j )
j 1
n
8
1.5
事件的独立性
一、事件的相互独立性
二、几个重要定理
三、例题讲解 四、独立试验序列 五、小结
11
2º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如
B
AB A
1
1
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
21
2. 三事件相互独立的概念
定义1.10 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
则称A1，A2， An两两相互独立.
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
注. 1º 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A)
或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
23
证 (1) P ( A1 )
2 1 P ( A2 ) P ( A3 ) 4 2 1 110，101， P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 4 011，000 1 P ( A1 A3 ) P ( A1 ) P ( A3 ) 4 1 P ( A2 A3 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 4 A1 , A2 , A3两两相互独立; 1 0 ( 2) P ( A1 A2 A3 ) 0 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 8 4 A1 , A2 , A3不相互独立.
24
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
2 3 n 共 Cn Cn Cn 0 1 (1 1)n C n C n
4
例如，某地发生了一个案件，怀疑
对象有甲、乙、丙三人. 在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去的前科， 甲 偏小 乙 对他们作案的可能性有一个估计， 丙 分别设为 —→ P(B1) P(B2) P(B3) 知道A 但在知道案情细节后, 这个 发生后 估计就有了变化. 比如原来认为作案可能 P(B1|A) P(B2|A) P(B3|A) 性较小的人甲，现在变成了 最大 重点嫌疑犯.
解 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 B2
收到信号“不清” 为事件 A
6
已知： A B1 B2 , B1 B2
P( B1 ) 0.6, P( B2 ) 0.4
P( A B1 ) 0.2, P( A B2 ) 0.1
P( A) P( B1 ) P( A B1 ) P( B2 ) P( A B2 ) 0.16
古典概型
包含的样本点数 P ( A) A 中的样本点总数 等可能性 A 的度量 P ( A) 的度量
计算
推
算 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) ( P(A)>0) n 重要公式 全概率公式 P ( A) P ( Bi ) P( A| Bi )
5
例10 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信号
“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的概 率分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收 到信号“• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9.已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ” 出现的概率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信 号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的 概率哪个大？