数学必修4教学案：2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

2.3.2—2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算自主学习知识梳理1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝________，则__________叫做向量a 的坐标，__________叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝______.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝____________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．自主探究已知直角坐标系内两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把向量AB →按向量a ＝(m ，n )平移至A ′B ′→的位置．求：(1)点A ′，B ′的坐标；(2)向量A ′B ′→的坐标．对点讲练知识点一 平面向量的坐标运算例1 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →.回顾归纳 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．变式训练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .知识点二 平面向量的坐标表示例2 已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .回顾归纳 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．变式训练2 设i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，a ＝i －(2m －1)j ，b ＝2i ＋m j (m ∈R )，已知a ∥b ，求向量a 、b 的坐标．知识点三 平面向量坐标的应用例3 已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，求顶点D 的坐标．回顾归纳 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．变式训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.课时作业一、选择题1．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →则点P 的坐标为( )A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)二、填空题6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．7．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.8．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.三、解答题9．已知A (1,2)、B (3,2)，a ＝(x ＋3，x －3y －4)，若a ＝AB →，求实数x 的值．10．已知▱ABCD 中，A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)．求顶点D 及对角线交点M 的坐标．2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy ) 自主探究解 (1)设A ′(x ′1，y ′1)，B ′(x ′2，y ′2) AA ′→＝a ，BB ′→＝a ，∴(x ′1－x 1，y ′1－y 1)＝(m ，n )．∴A ′(x 1＋m ，y 1＋n )．同理可得：B ′(x 2＋m ，y 2＋n )． (2)∵A ′(x 1＋m ，y 1＋n )，B ′(x 2＋m ，y 2＋n )．∴A ′B ′→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)或A ′B ′→＝AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 对点讲练例1 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)． ∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)， AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)， BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)． (2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)变式训练1 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 例2 解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1) ＝(－2x ＋3y,3x ＋y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b . 变式训练2 解 ∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb ，即i －(2m －1)j ＝λ(2i ＋m j )．又i 、j 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm ＝－(2m －1).∴m 2＝－2m ＋1，即m ＝25. ∴a ＝i ＋15j ，b ＝2i ＋25j .故a ＝⎝⎛⎭⎫1，15，b ＝⎝⎛⎭⎫2，25. 例3 解 设D (x ，y )．则AB →＝(4,1)， DC →＝(5－x,6－y )，由AB →＝DC →得⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝46－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝5. ∴顶点D 的坐标为(1,5)．变式训练3 解 不妨设A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)．第四个顶点为D (x ，y )．则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形有以下三种情形．(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →， 设点D 的坐标为(x ，y )，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时， 仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)． 综上所述，第四个顶点的坐标可能为 (0，－1)，(2，－3)或(6,15)． 课时作业 1．D2．B [∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.]4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.]5．C [A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．] 6．(7，－6)解析 ∵AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)． ∴x ＝7，y ＝－6. 7.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.8．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等． ∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1. 9．解 AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)．∵a ＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2x －3y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－53，∴x ＝－1.10．解 设D (x D ，y D )，M (x M ，y M )． ∵A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)． ∴BC →＝(5,1)－(3,0)＝(2,1)．∵四边形ABCD 为平行四边形，M 为对角线的中点．∴AD →＝BC →，AM →＝MC →. 即(x D ＋1，y D －2)＝(2,1)(x M ＋1，y M －2)＝(5－x M,1－y M ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x D ＋1＝2y D －2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x M ＋1＝5－x M y M －2＝1－y M ∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1y D ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝2y M ＝32∴D (1,3)，M ⎝⎛⎭⎫2，32.。

《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容：1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

本节内容是向量进行坐标运算的理论基础，是将向量由几何属性转变为代数属性的转折点，具有非常总要的意义。

【三维目标】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

教学重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想.教学难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】（一）回顾旧知：回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

12a e e λμ=+【设计说明】回顾平面向量基本定理，为本节内容做铺垫，特别强调基底的系数是唯一确定的。

（二）情境引入：光滑斜面上的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?【设计说明】利用学生熟知的物理背景类比引出本节课题。

ABCDO2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 【学习目标】1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义；2.了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标；3.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算.4.会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标. 【知识梳理】 1.平面向量的正交分解把一向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 （1）向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与轴轴，y x 方向相同的两个 j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数y x ,使得a = ，则把有序数对 叫做向量a 的坐标. (2)向量的坐标表示在向量a 的直角坐标系中， 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做向量a 在y 轴上的表示， 叫做向量的坐标表示.(3)在平面直角坐标系中，=i ，=j ，）（0,00= 3.平面向量的坐标运算（1）已知向量）（2211,),,(y x b y x a ==和实数λ，那么 =+b a ；=-b a ；a λ= ；（2）已知),(),,(2211y x B y x A ，O 为坐标原点，则)(,1122y x y x OA OB AB --=-=）（，即一个向量的坐标表示等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去的 坐标. 即学即练1.如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是 （ ） A.OA OB AB -= B.AB AD D B -=C.BD AB AD +=D.CB AC AB +=2.已知基向量j i m j i -===4),1,0(),0,1(，则m 的坐标是 （ ） A.（4,1） B.（-4,1） C.（4，-1） D.（-4，-1）3.已知)1,2(),3,1(-==b a ，则a b -等于 （ ） A.（-3,2） B.（3，-2） C.（-3，-2） D.（-2，-3）4.已知)21(，-=MN ,则=-MN 3 （ ） A.(-3,-3) B.(-6,3) C.（3，-6） D.（-4，-1） 【合作探究】探究一、向量的坐标表示例1.如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量j i ,作为基底，分别用j i ,表示OC OB OA ，,，并求出它们的坐标.例2、设向量b a ,的坐标分别是（-1,2），（3，-5），求b a a b a b a 32,3,,+-+；第3页 第4页探究二、向量的直角直角坐标运算例3 、若向量1||||==，且.0,1），求（=+变式：已知)4,3(),1,3(,4,2----C B A ）（，且CB CN CA CM 23==，，求M,N 的坐标和MN 的坐标；【课堂检测】1. 若向量()2,3a x =-r 与向量()1,2b y =+r相等，则 （ ） A.1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =u u u r ，点B 的坐标为()2,1-，则OA u u u r的坐标为 （ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 3. 已知()3,1a =-r ，()1,2b =-r ，则32a b --r r等于 （ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =u u u r 2AB u u u r 3BC -u u ur ，求D 点的坐标.5.已知点A (－1，－5)和向量＝(2,3)，若AB →＝3，则点B 的坐标为 ( ) A ．(6,9)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(9,24)6已知(,),(,)M N ---3251，且=u u u vu u uv MP MN 12，求P 点的坐标.7已知向量()3,2a =-r ，()2,1b =-r ，()7,4c =-r ，试用,a b r r 来表示c r.。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（学案）一、学习目的:1深入了解平面向量基本定理；2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示二、复习：平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有 ,使a 练习．已知向量21,e e ,求作向量a =-2.51e +32e .2e1e三、预习讨论：阅读教材填空：1、 平面向量的正交分解： 叫做把向量正交分解．2、平面向量坐标表示：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a = ，这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把 叫做向量a 的坐标，记作 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,.显然,_____0_____;____;===j i3、向量相等的坐标表示：),(),,(2211y x b y x a == 则{⇔=b a三、典型例题例1：如图,分别用基底,表示向量,,,,并求出它们的坐标．解:例2:在同一直角坐标系内画出下列向量.例3：例4：下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③(1)(1,2)a =r (2)(1,3)b =-r 3,24,1.2a i j b i j c i j =+=--=-r r u r r r r r r u r 1.写出下列向量的坐标：21(,),34(3,1),(1,5)i j a b c ==-=--r r r r r2.用向量、表示下列向量：四、课堂检测：1.在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则u u v OA =_______________，u u vOB =__________________。

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标:会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程: 、复习引入:平面向量基本定理：如果 e , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = x 10+入2e 2(2)基底不惟一，关键是不共线;二、讲解新课:1 .平面向量的坐标表示其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 2②式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为 (x,y). • ••••••••••特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作OA a ，则点A 的位置由a 唯一确定.(1) 理解平面向量的坐标的概念; (2) 掌握平面向量的坐标运算;⑴我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (3)由定理可将任一向量a 在给出基底 e i 、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量如图，在直角坐标系内，我们分别取与底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 y ，使得 i 、j 作为基a xi yj …… ……O 1O11 1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作rAa (x,y) ••….... O 2 Oox设OA xi yj ，则向量OA 的坐标（x, y ）就是点A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x, y ）也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a(X 1, y 1)， b (X 2,y 2)，则a b (X 1 X 2,y 1 y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( X 2，y 2) (X 1，y 1)= (X 2 X 1， y 2 y 1)(3)若 a (X, y)和实数，则 a ( X , y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a (Xi yj) xi yj ，即 a (X, y)三、讲解范例:例 1 已知 A （X 1，y i ）， uuu B （x 2， y 2），求AB 的坐标. r例2已知a =（2, 1）, r r 3a +4b 例3已知平面上三点的坐标分别为 A （ 2， 1）， B （ 1， 3），这四点构成平行四边形四个顶点 解：当平行四边形为 ABCD 时，由AB DC 得D I =（2 , 2）b= 0C （3, 4）,求点D 的坐标使 当平行四边形为ACDB 时，得D 2=（4, 6），当平行四边形为 DACB 时，得D 3=（ 6， 0） 例 4 已知三个力 F , (3， 4)， F 2 (2， 5), F 3(X ,y)的合力 F , + F 2+ F 3 =0，求F 3a b (X 1 X 2, y 1 y ?)，设基底为i 、j ，则a b （X 1i y 1 j ）(X 1(y 1 y 2)j即a b （X 1X 2,y 1 站，同理可得(X 1 X 2, y 1 y 2) (2)若 A (X 1, y 1)， B(X 2,y 2)，则 ABX 2X 1,y 2y 1解: 由题设F I+F2+F3=0 得：（3，4）+ （2，5）+（x，y）=（0，0）即:F3（ 5,1）四、课堂练习1 .若M（3 ,-2）N（-5,-1）且MP^MN2求P点的坐标2 .若A（0,1）,B（1,2），C（3, 4）,则AB 2 BC =3 .已知：四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记:232平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案、复习回顾: 平面向量基本定理:基底不惟一，关键是即入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量二、提出疑惑:如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何一、探究学习1. 平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X 轴、y 轴方向相同的两个单位向量底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X 、y ，使得我们把（x, y ）叫做a (x,y)其中X 叫做a 在X 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O2式叫做 等的向量的坐标也为（Xy ）.•••••••••\J /理解：（1）我们把不共线向量e1、62叫做表示这一平面内所有向量的a xi yjO1由定理可将任一向量 a 在给出基底e 1> e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式 呢？课内探究学案i 、j 作为基，记作特别地，i= j= 0=如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作O A a，则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj，则向量OA的坐标(X, y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2 .平面向量的坐标运算(1)若a (x i, y i),b (X2,y2)，则a b =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1x2 )i,同理可得a b =(2)若A(x i, y i), B(X2,y2)，则AB 他人小y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =0B OA =( x2, y2) (x i, y i)=(3)若a (x, y)和实数，则a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(y i y2)j设基底为i、j，则a (xi yj) xi yj，即a ( x,二、讲解范例:已知A(x i , y i), B(X2,uuuy2),求AB的坐标.已知a=(2, i), rb=(-3, 4)，求a +b , a-b , 3a+4b 的坐标.已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1 , 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点六、课后作业（略） 七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则uv ULV OA = _________________ ，OB =v2、已知向量|a|4 ,的方向与X 轴的正方向的夹角o3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是v A . a v(0,0), b(1, 2)v B . av(1,2), b (5,7)vC. av (3,5) b (6,10)v D . av(2, 3)b(4, 6)v 4、已知向量a 2,4) v b (1,r r2）则a 与b 的关系是（）A .不共线B . 相等C. 同向D .反向 5、已知点A (2, 2)B (-2, 2)C (4, 6)D (-5, 6)E (-2, -2）F （ -5，-6）例4已知三个力F 1 （3,4),F 2 (2， 5)， F 3(X ，y)的合力 F i +F 2 + F 3 =0，求 F 31 .若 M(3 , -2)N(-5, -1)且 MP-MN , 22 •若 A(0,1),B(1, 2), C(3, 4),则 AB3 .已知：四点 A(5,1), B(3, 4),C(1, 3),是梯形.D （5, -3）, 求证：四边形 ABCD是30v，则a 的坐标为三、课堂练习:求P 点的坐标2BC =五、小结ULV uuv uuv uuv uuv LUV在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3平面向量的坐标运算考试标准课标要点学考要求高考要求正交分解的概念a a向量的坐标表示 b b平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示b b平面向量共线的坐标表示 b b 知识导图学法指导1.学习了本节后，可以知道向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．2．向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算.1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则把有序数对a＝(x，y)叫作向量a的坐标．(2)向量的坐标表示在向量a的直角坐标中，x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y 轴上的坐标，(x，y)叫作向量的坐标表示．D ．向量a 与b 关于原点对称解析：因为a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，所以a ＋b ＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0.所以a ＝－b .答案：C3．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2)解析：NM →＝(2－3,3－1)＝(－1,2)． 答案：B4．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝________.解析：BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)． 答案：(－2，－4)类型一 求向量的坐标例1 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，分别求出它们的坐标．【解析】 设点A (x ，y )，B (x 0，y 0)， ∵|a |＝2，且∠AOx ＝45°， ∴x ＝2cos 45°＝2，且y ＝2sin 45°＝ 2.又|b |＝3，∠xOB ＝90°＋30°＝120°，∴x 0＝3cos 120°＝－32，y 0＝3sin 120°＝332.故a ＝OA →＝(2，2)，b ＝OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332. 由于向量a →，b →的起点在坐标原点，因此只需求出终点A ，B 的坐标．方法归纳求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练1 如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.解析：由题意知，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)，同理OD →＝(－1,1)．答案：(1，－1) (1,1) (－1,1)结合图形可知OC →＝－OA →，由正方形的对称性可知B ，D 点坐标. 类型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A.(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)(2)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，3a,2a ＋3b 的坐标．【解析】 (1)方法一 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 方法二 AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A.(2)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)． 【答案】 (1)A (2)见解析方法一先求C 点坐标，再求BC →.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13. (2)OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．(1)OP →＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．(2)若四边形OABP 为平行四边形，则有OA →＝PB →.方法归纳向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．跟踪训练3 若保持本例条件不变，B 为线段AP 的中点，则t ＝______.解析：由OP →＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP →＝2AB →，B 为线段AP 的中点．答案：2由B 是AP 的中点，得AP →＝2AB →，求出t 的值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)解析：因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 答案：D 2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)解析：3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)． 答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)解析：b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 答案：A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )； ②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)解析：设点D (m ，n )，则由题意知，(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72，故选A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.解析：由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 答案：(1，－2)7．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． 答案：(23，6)8．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.解析：易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．解析：由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．10．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标 ；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解析：(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎨⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .[能力提升](20分钟，40分)11．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若第三象限的点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－47D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－35 解析：方法一 设P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)， 又AP →＝AB →＋λAC →＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由AP →＝AB →＋λAC →可得， (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4.因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5λ＋5＜0，7λ＋4＜0，解得λ＜－1.故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．方法二 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)， 所以P (5＋5λ，4＋7λ)，因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，所以λ＜－1.答案：A12．在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________．(只填序号)①OA →＝2i ＋3j ； ②OB →＝3i ＋4j ； ③AB →＝－5i ＋j ； ④BA →＝5i －j .解析：i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i ＋3j ，OB →＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →＝5i －j ，故①③④正确．答案：①③④13．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43， ∠xOA ＝60°，。

第二章平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算1．理解向量的坐标表示．2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量的坐标运算．基础梳理一、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做向量的正交分解．2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj．这样平面内的任一向量a都可由x、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．3．几个特殊向量的坐标表示． i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0)．4．以原点O 为起点作向量OA→，设OA →＝x i ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )，就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )也就是向量OA →的坐标．思考应用1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标．二、向量的坐标运算1．两个向量和差的坐标运算．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．2．数乘向量的坐标运算． 若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )． 3．向量AB→的坐标表示． 若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．思考应用2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量AB→经过平移以后得到向量CD →，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关．自测自评1．若O (0，0)，A (－1，3)且OB→＝3 OA →，则点B 的坐标为(B ) A ．(3，9) B ．(－3，9) C ．(－3，3) D ．(3，－3)解析：OB →＝3 OA →＝3(－1，3)＝(－3，9)，所以点B 的坐标为(－3，9)．故选B.2．已知MA →＝⎝⎛⎭⎫－2，4，MB →＝⎝⎛⎭⎫2，6，则12AB →＝(D ) A ．(0，5) B ．(0，1) C ．(2，5) D ．(2，1)3．已知A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，C ⎝⎛⎭⎪⎫－12，23，则(D )A.AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，13B.BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13C.CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，23D.AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13解析：AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－13，BC →＝(－1，1)，CA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－23，AC →＋AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，13.故选D4．若点A ⎝⎛⎭⎫－2，1，B (1，3)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫－3，－2．基础提升1．若AB→＝()2，3，且点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为(C ) A ．(1，1) B.()－1，1 C.()3，5 D.()4，42．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC 等于(A )A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC→＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A.3．若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于(B ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 4.设a ＝(4，－3)，b ＝(x ，5)，c ＝(－1，y )，若a ＋b ＝c ，则(x ，y )＝________．解析：∵a ＋b ＝c ，∴(4＋x ，2)＝(－1，y )，∴⎩⎨⎧4＋x ＝－1，2＝y ，即⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝2，∴(x ，y )＝ (－5，2)． 答案：(－5，2)5．若将向量a ＝(3，1)按逆时针方向旋转π2得到向量b ，则b 的坐标为________．答案：(－1，3)6．已知平行四边形OABC (O 为原点)，OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，则OC →等于(A)A ．(1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(－1，1)解析：OC →＝AB →＝OB →－OA →＝(3，1)－(2，0)＝(1，1)，故选A. 巩固提高7．作用于原点的两个力F 1＝()2，2，F 2＝()1，3，为使它们平衡，需加力F 3＝________．答案：()－3，－58．已知A ()2，3，B ()4，－3，点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，求点P 的坐标． 解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且⎪⎪⎪⎪AP →＝32⎪⎪⎪⎪PB →，得⎝⎛⎭⎫x －2，y －3＝32⎝⎛⎭⎫x －4，y ＋3， 即⎩⎨⎧2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫8，－15.9．已知A (－2，1)，B (1，7)，求线段AB 的三等分点P ，Q 的坐标(其中P 距点A 近)．解析：设P (x ，y )，∵P 为AB 的三等分点， ∴AP→＝13AB →，即(x ＋2，y －1)＝13(3，6)． ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2，⇒⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3.∴P (－1，3)同理可求Q (0，5)．10．在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF [已知若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2)]．证明：建立如下图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0， a )．设|DP →|＝λ(0＜λ＜2a )，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ，因为|EF→|2＝λ2－2a λ＋a 2， |PA→|2＝λ2－2a λ＋a 2， 所以|EF→|＝|PA →|，即EF ＝PA . 11．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试求t 为何值时：(1)点P 在x 轴？ (2)点P 在y 轴？ (3)点P 在第一象限？解析：∵OP→＝(1＋3t ，3t ＋2)，∴P (1＋3t ，3t ＋2)． (1)若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；(2)若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；(3)若点P 在第一象限上，则⎩⎨⎧1＋3t >0，2＋3t >0，t >－13.1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟悉的数量运算．3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐标．4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点，终点在该点的向量坐标．。

教师姓名单位名称填写时间学科数学年级/册高一教材版本人教版必修4课题名称 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示难点名称平面向量的坐标表示难点分析从知识角度分析为什么难如何引导把向量问题与坐标联系到一起从学生角度分析为什么难对平面向量坐标表示生成过程很难理解难点教学方法设置情景问题，让学生亲身经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

教学环节教学过程导入引入课题如图，光滑的斜面上一个物体受重力G的作用，产生两个效果，一是受平行于斜面的力1F的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F，也就是说，重力G的效果等价于1F和2F的合力的效果，即G=1F+2F.G=1F+2F叫做把重力G分解→→→→→→+=22112211eea使ee，a平面内的任意向量平面向量基本定理λλλλ，，不共线的两个向量均可以分解为，对于由在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

知识讲解（难点突破）新课探究为了研究方便，我们把向量放在平面直角坐标系内，如图设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）．则由平行四边形法则知思考：OA与坐标（2,3）有什么关系？平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量i和j作为基底。

平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x、y，使得→→→+=jyixa①这样平面内的一个向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序的实数对(,)x y叫做向量a的坐标，记为a=(,)x y. ②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示。

显然i=（1,0），j=（0,1）→0=（0,0）如图，在直角坐标系中，一原点O为起点做OA=a，则点A的位置由a唯一确定，设→→→+=jyixOA,则OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标，反过来，终点A的坐标也是OA的坐标。

2. 3.2 平面向量的正交分解及坐标表示学习目标1、能将平面向量的基本定理应用于平面向量的正交分解中。

2、会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:理解平面向量的坐标表示．教学过程对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？——上节课针对这一问题我们做出了肯定的回答，接下来我们共同探究：把任意一个向量用两个互相垂直的向量来表示会给解决问题带来哪些方便。

正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

提出问题我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示？解答问题如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得=x+y①这样,平面内的任一向量都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y) ②其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,i=(1,0), j=(0,1),0=(0,0).提出问题在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？解答问题如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作→=a，则点A的位置由→a唯一确定.设→→+=jyi xOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.例题讲解例1、如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.例2、请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.课堂小结：（1）什么是正交分解？（2）平面直角坐标系中，向量与坐标有什么关系？（3）如何根据平面直角坐标系中的向量求出其坐标？如何根据给出的坐标在平面直角坐标系中画出其对应的向量？2．3．3平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：情景平台:我们用有向线段表示向量时会进行线性运算，现在我们用坐标来表示向量还能不能进行线性运算？ 讲解新课：1．平面向量的坐标运算思考1：已知：→a ),(11y x =，),(22y xb =，你能得出b a ϖϖ+、b a ϖϖ-、a ϖλ的坐标吗？结论：（1） 若),(11y x =，),(22y x =，则b a ϖϖ+),(2121y y x x ++=，b a ϖϖ- ),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 结论：（2）若),(y x =和实数λ，则),(y x λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样求B A ϖ的坐标？结论：（3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --==-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)=(x 2- x 1， y 2- y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x 2- x 1， y 2- y 1)的P 点吗？结论：（4）向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。

2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及运算教学目的：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减 及数乘运算。

教学重点：向量的坐标表示及坐标运算。

教学难点：坐标表示及运算意义的理解。

教学过程一、复习提问 1．复习向量相等的概念相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。

2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e 其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

二、新课1、正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一 是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力 F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。

由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量 a =λ11e +λ22e把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2、平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , 作基底，则平面内作一向量a =x i +y ，O B C A xy a记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。

＝（1,0），＝（0,1），＝（0,0） 例2、如图，分别用基底, 表示向量、、、，并求出它们的坐标。

解：由图可知：21AA +=＝2＋3 所以，＝（2,3）同理，有：＝－2＋3＝（－2,3）＝－2－3＝（－2,－3） ＝2－3＝（2,－3）3、平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a -b 的坐标（2）已知a (x, y)和实数λ, 求λa 的坐标 解：a +b =(x 1i +y 1j )+( x 2i +y 2j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即：a +b =(x 1+ x 2, y 1+y 2)同理：a -b =(x 1- x 2, y 1-y 2)，。